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Dinámica

Prof. Dr. Emilio M. Becerra C. [email protected]

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El legado de Newton Física General

Experimentación  100 años

Tycho Brahe (1546-1601)

Johanes Kepler (1571-1630)

Galileu Galilei (1564-1642) 3

Isaac Newton (1642-1727) El legado de Newton es posiblemente la creación mas importante y bien sucedida de la historia del pensamiento humano 2

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Fuerza y movimiento Física General

La Dinámica es la rama de la mecánica que se ocupa de estudiar el movimiento de los cuerpos y las propiedades del mismo en relación con las causas (fuerzas) que lo producen.

La dinámica se basa en las leyes naturales que rigen el movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza dada.

3

3


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Concepto de Fuerza Física General

La fuerza es una cantidad física vectorial, la cual resulta de la interacción entre dos cuerpos y como consecuencia de ello podemos observar el estado de movimiento o reposo de los mismos.

3

4


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Cuatro tipos de fuerzas comunes Física General

Fuerza normal 𝑛.

Cuando un objeto descansa o se empuja sobre una superficie, ésta ejerce un empujón sobre el objeto que es perpendicular a la superficie.

Fuerza de fricción 𝑓𝑟 . Además de la fuerza normal, una superficie puede ejercer una fuerza de fricción 3

sobre un objeto, la cual es paralela a la superficie.

5


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Cuatro tipos de fuerzas comunes Física General Fuerza de tensión 𝑇.

Una fuerza de tirón ejercida sobre un objeto por una cuerda, un cordón, etc.

Peso 𝑤. El tirón de la gravedad sobre un objeto es una fuerza de largo alcance (una fuerza que actúa en una distancia). 3

6


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Las leyes de Newton del movimiento Física Newton General Primera ley de y marco inerciales

Hemos visto algunas propiedades de las fuerzas, pero no hemos dicho cómo afectan al movimiento. ¿Qué sucederá si la fuerza neta es cero y actúa sobre un cuerpo en movimiento?

3

7


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Las leyes de Newton del movimiento Primera leyFísica deGeneral Newton Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y aceleración cero. Un marco de referencia inercial es aquel que se mueve a velocidad constante o permanece en reposo. Otro enunciado de la Primera ley de Newton 3

En ausencia de fuerzas externas, y cuando se ve desde un marco de referencia inercial, un objeto en reposo se mantiene en reposo y un objeto en movimiento continúa en movimiento con velocidad constante (esto es, con rapidez constante en una línea recta). 8


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Las leyes de Newton del movimiento Física General

La tendencia de un cuerpo a seguir moviéndose una vez iniciado su movimiento o la tendencia de un cuerpo en reposo a permanecer en reposo es el resultado de una propiedad llamada inercia.

Lo que importa en la primera ley de Newton es la fuerza neta.

Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante (en línea recta con rapidez constante), decimos que el cuerpo está en equilibrio. Para que 3

esté en equilibrio, sobre un cuerpo no deben actuar fuerzas, o deben actuar varias fuerzas cuya resultante – es decir , la fuerza neta – sea cero. 𝐹=0 9

(cuerpo en equilibrio) Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

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Ejercicios de Aplicación Física General

1. Una caja

con muestras de rocas de 100 kg, es empujada hacia arriba a

velocidad constante sobre un tablón, para subirlo a la caja de un camión. El tablón tiene 30° con respecto a la horizontal. a)¿qué fuerza horizontal F es requerida?. b) ¿cuánto vale la fuerza ejercida por el tablón sobre la caja?.

F

3

30°

10


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2. Un gimnasta de 55 kg de masa está suspendido de manera vertical de un par de cuerdas de argollas paralelas (figura a). a) Si las cuerdas que soportan las argollas son verticales y están fijas al techo que están directamente arriba, ¿cuál es la tensión en cada cuerda?.(figura b) b) Si las cuerdas están fijas de modo que formen un ángulo de 45° con el techo, ¿cuál es la tensión en cada cuerda. (figura c)

3

11


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Las leyes de Newton del movimiento Física General Masa y Fuerza

3

Nuestros resultados indican que para un cuerpo dado, el cociente de la magnitud 𝐹 de la fuerza neta entre la magnitud 𝑎 = 𝑎 de la aceleración es constante, sin importar la magnitud de la fuerza neta. 12


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Masa y Fuerza Llamamos a este cociente masa inercial, o simplemente masa, del cuerpo y la denotamos con 𝑚. Es decir,

𝑚=

𝐹 𝑎

o

𝐹 = 𝑚𝑎

o

𝐹 𝑎= 𝑚

La masa es una medida cuantitativa de la inercia. La unidad de masa en el S.I es el kilogramo.

3

Un Newton es la cantidad de fuerza neta que proporciona una aceleración de

1 metro por segundo al cuadrado a un cuerpo de 1 kilogramo. 𝟏 N = 1 kg. m/𝒔𝟐 13


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Enunciado de la segunda ley de Newton

Segunda ley del movimiento de Newton: Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, éste se acelera. La dirección de la aceleración es la misma que la dirección de la fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración.

En símbolos 3

𝐹 = 𝑚𝑎

14

(segunda ley del movimiento de Newton)


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Uso de la segunda ley de Newton Hay al menos cuatro aspectos de la segunda ley de Newton que merecen atención especial. 1.

La ecuación que define la segunda ley de Newton, es una ecuación vectorial. 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥

𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦

𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧

2. El enunciado de la segunda ley de Newton se refiere a fuerzas externas, es decir , fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por otros cuerpos de su entorno. 3 3. Las ecuaciones anteriores son válidas si la masa 𝑚 es constante. 4. Por último, la segunda ley de Newton sólo es válida en marcos de referencia inerciales, al igual que la primera ley. 15


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Tercera ley de Newton Una fuerza que actúa sobre un cuerpo siempre es el resultado de su interacción con otro cuerpo, así que las fuerzas siempre vienen en pares. Los experimentos muestran que, al interactuar dos cuerpos, las fuerzas que ejercen mutuamente son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Tercera ley del movimiento de Newton: si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una “acción”), 3 entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una “reacción”).

Estas dos fuerzas tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, y actúan sobre diferentes cuerpos.

16

𝐹𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐵 = −𝐹𝐵 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴


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1. Para el siguiente sistema mecánico, calcular la aceleración de las masas y la tensión de la cuerda.

3

17


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2. En el sistema mostrado el dinamómetro D de masa insignificante registra una fuerza de 20 N. Determine las masas m y M (en Kg). Considere g= 10 m/s2

3

18


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3. Un joven de 75 Kg se arroja desde un precipicio con paracaídas de 5 Kg accionándolo 10 segundos después. Si después de 10 s de desaceleración empieza a moverse con rapidez constante de 1 m/s. Determine la fuerza que actúan sobre el paracaídas: a) Durante la desaceleración.

b) Cuando empieza a moverse con rapidez constante. Considere g=10 m/s2

3

19


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4. El carrito se mueve con una aceleración 𝑎 = 4𝑔 y el dinamómetro marca una lectura de 4𝑚𝑔. Hallar el ángulo “𝜃”.

3

20


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Aplicaciones de las leyes de Newton que implican fricción Física General Hasta ahora hemos ignorado la fricción; sin embargo, debe tomarse en cuenta en la mayoría de los casos prácticos. La fuerza de rozamiento, se define como la fuerza tangencial que actúa en la superficie de contacto entre dos cuerpos y que se opone al movimiento relativo de uno de ellos con respecto al otro. La fuerza de fricción cinética 𝑓𝑘 Es aquella que se presenta cuando hay movimiento de un cuerpo respecto al otro. En 3

muchos casos prácticos, la magnitud de la fuerza de fricción cinética 𝑓𝑘 experimental es aproximadamente proporcional a la magnitud N de la fuerza normal. 𝑓𝑘 = 𝜇𝑘 𝑁 21

(magnitud de la fuerza de fricción cinética) Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

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Aplicaciones de las leyes de Newton que implican fricción Física General La fuerza de fricción estática 𝑓𝑠 La fuerza de fricción también puede actuar cuando no hay movimiento relativo. La fuerza de fricción estática entre superficies en contacto actúa en la dirección que se opone al inició de un movimiento relativo entre las superficies.. La magnitud tiene diferentes valores, tales que 𝑓𝑠 ≤ 𝜇𝑠 𝑁 (condiciones estáticas) 3

La fuerza de fricción estática mayor, o máxima, se ejerce antes de que el cuerpo comience a deslizarse y, en tal caso, la ecuación anterior da el valor máximo de fricción estática. 22

𝑓𝑠 = 𝜇𝑠 𝑁 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

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Aplicaciones de las leyes de Newton que implican fricción Física General

3

23


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1. El plano inclinado mostrado en la figura tiene una aceleración “a” hacia la derecha. Si el coeficiente de fricción estático entre el plano y el bloque es

,

encontrar la condición para que el bloque resbale. (g= 10 m/s2).

3

24


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2. Un esquiador de 60 kg de masa, desciende por una pendiente de 37o sin impulsar con los bastones. El coeficiente de fricción entre el esquí y la nieve es de 0,5. Existe una fuerza de resistencia del aire paralela a la pendiente y es de la forma

𝐹 = 1,6 𝑣 2 , donde 𝑣 es la velocidad máxima que obtiene durante su

movimiento. Calcule “𝑣”. (g= 10 m/s2).

3

25


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3.

Los bloques m1 y m2 de 20 y 60 kg respectivamente, están unidos por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento. El coeficiente de rozamiento cinético entre las masas y la superficie es de 0,3. Determinar la velocidad del sistema 4 segundos después de partir del reposo

3

26


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4.

Un bloque de masa m1 =30 kg está apoyada sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal, este bloque está unido mediante un hilo inextensible sin masa, que pasa por una polea sin fricción (masa despreciable), a un segundo bloque de masa, m2 =50 kg que cuelga verticalmente. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre m1 y el plano es

µc =0.4, calcular: a)

La aceleración de cada bloque.

b)

La tensión en la cuerda que vincula ambos bloques

27

3


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Dinámica del movimiento circular

Dinámica

General En elFísica movimiento circular uniforme mostramos que, cuando una partícula

se mueve en un círculo con rapidez constante, su aceleración siempre es hacia el centro del círculo (perpendicular a la velocidad instantánea). La magnitud de la aceleración es constante y está dada en términos de la rapidez y el radio del círculo por:

𝑎𝑟𝑎𝑑

𝑣2 = 𝑅

También podemos expresar la aceleración centrípeta 𝑎𝑟𝑎𝑑 en términos del periodo T, el tiempo que tarda una revolución: 𝑇 =

2𝜋𝑅 . 𝑣

3

En términos del periodo, la aceleración centrípeta es: 𝑎𝑟𝑎𝑑 28

4𝜋 2 𝑅 = 𝑇2 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

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Dinámica

Dinámica del movimiento circular Física General

El movimiento circular uniforme, como

todos los movimientos de una partícula, se rigen por la segunda ley de Newton. Para hacer que la partícula acelere hacia fuerza neta

el centro del círculo, la

𝐹 sobre la partícula debe ser dirigida

siempre hacia el centro. La magnitud de la aceleración es constante, así que la magnitud 𝐹𝑛𝑒𝑡 3 de la fuerza neta también debe ser constante.

29


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Dinámica

Dinámica del movimiento circular Física General

La magnitud de la aceleración radial está dada por: 𝑎𝑟𝑎𝑑 =

𝑣2 , 𝑅

así que la magnitud 𝐹𝑛𝑒𝑡 de la

fuerza neta sobre una partícula de masa 𝑚, en movimiento circular uniforme, debe ser

𝐹𝑛𝑒𝑡 = 𝑚𝑎𝑟𝑎𝑑

𝑣2 =𝑚 𝑅

(movimiento circular uniforme) 3

30


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Dinámica


1.

En el extremo de un plano inclinado (ángulo 𝛼) descansa un cuerpo. El plano gira uniformemente alrededor de un eje vertical con una velocidad angular 𝜔. La distancia del cuerpo al eje de giro del plano es igual a “R”. Encontrar el valor mínimo del coeficiente 𝜇, para que el cuerpo se mantenga sobre el plano inclinado que gira. 𝜔

3

𝛼 R 31


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2. Se tiene una barra doblada en “L” (b=0,57 m) en su extremo hay una cuerda de longitud “𝑙" = 0,83 𝑚 y está unida a una masita m = 4,74 kg y 𝜃 = 50°. Calcular: La velocidad angular con que debe girar el eje de la barra; y la tensión de la

cuerda. a) Si la tensión máxima que puede soportar la cuerda es de 98 N; encontrar el ángulo “𝛼” que se inclinara la cuerda.

3

32


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Dinámica


3. El sistema de la figura gira con velocidad angular constante alrededor del eje vertical. Si la rapidez del bloque A es de 2 m/s, halle la tensión de la cuerda, 𝑚𝐴 = 0,5 𝑘𝑔 (longitud de la cuerda 5 m)

.



A

3

33

53°


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Dinámica


4. Una esfera pequeña de masa “m” se desliza en una trayectoria circular en el interior de una superficie cónica y la generatriz del cono forma un ángulo de 30° con la vertical. Suponga que no hay fricción entre la superficie y la esfera, y que

ésta se desliza con 5 rad/s de velocidad angular. ¿ A que altura vertical sobre el vértice del cono se desliza el bloque?

3

34


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Dinámica


5. Un collarín

gira a rapidez angular constante. Determine cuánto es la

deformación máxima del resorte de 20 cm de longitud natural si ocurre cuando su rapidez angular es de 5 2 red/s y el collarín está a punto de deslizar. g= 10 m/s2

3

35


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Trabajo y Energía

Trabajo y Energía

General hemos estudiado el movimiento traslacional de un objeto en términos HastaFísica ahora

de las tres leyes de Newton del movimiento. En ese análisis, la fuerza ha jugado un papel fundamental como la cantidad que determina el movimiento. En esta parte del curso,

veremos un análisis alternativo del movimiento traslacional, el nuevo método que vamos a presentar usa las ideas de trabajo y energía. Estas dos cantidades son escalares, por consiguiente, no tienen una dirección asociada a ellas, lo cual las hace más fácil de tratar que las cantidades vectoriales como la aceleración y fuerza. La importancia del concepto

de energía surge del principio de conservación de la energía. La energía es una cantidad que se puede convertir de una forma a otra, pero no puede crearse ni destruirse. Las leyes 3 de conservación de la energía

son especialmente valiosas al tratar con sistemas de

muchos objetos, donde una consideración detallada de las fuerzas implícitas sería difícil o

imposible. Estas leyes son aplicables a una amplia gama de fenómenos, incluyendo los mundos atómicos y subatómicos, donde no son aplicables las leyes de Newton. 36


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Trabajo y Energía

Trabajo realizado por una fuerza constante Física General

La palabra trabajo tiene diversos significados en el leguaje cotidiano: vamos al trabajo, trabajamos en proyectos, trabajamos en nuestros escritorios o con computadoras, trabajamos en problemas. Sin embargo en física trabajo tiene un

significado muy específico.

Mecánicamente, el trabajo implica fuerza y

desplazamiento, y usamos la palabra trabajo para describir cuantitativamente lo

que se logra cuando una fuerza mueve un objeto cierta distancia. En el caso más sencillo de una fuerza constante que actúa sobre un objeto, el trabajo se define como sigue:

37

3


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Trabajo y Energía


El trabajo efectuado por una fuerza constante que actúa sobre un objeto es igual al producto de las magnitudes del desplazamiento y el componente de la fuerza paralelo a ese desplazamiento. Podría aplicarse, una fuerza, como el de la figura, pero si no hay movimiento (no hay desplazamiento), no se efectúa trabajo.

3

38


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Trabajo y Energía


Para una fuerza constante 𝐹

que actúa en la misma dirección que el

desplazamiento 𝑑 (figura b), el trabajo 𝑊 se define como el producto de sus magnitudes:

𝑊 = 𝐹𝑑

El trabajo tiene la unidad S.I de newton-metro (N.m). 3

Esta unidad recibe el nombre de joule (J): 𝑁. 𝑚 = 𝐽

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Trabajo y Energía


En general lo único que efectúa trabajo es una fuerza, o componente de fuerza, paralela a la línea de movimiento o desplazamiento del objeto (figura c). Es decir, si la fuerza actúa con ángulo 𝜃 con respecto al desplazamiento del objeto, 𝐹∥ = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 será la componente de la fuerza paralelo al desplazamiento. Por lo tanto la ecuación más general para el trabajo efectuado por una fuerza constante es: trabajo realizado por una fuerza constante 3

𝑊 = 𝐹∥ 𝑑 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑 𝑊 =𝐹∙𝑑

40


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Trabajo realizado por una fuerza constante Ejemplo:

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Esteban ejerce una fuerza constante de 210 N (aproximadamente 47 libras) sobre el automóvil averiado (ver figura), mientras lo empuja una distancia de 18 m. Además, un neumático se desinfló, así que, para lograr que el auto avance al frente, Esteban debe empujarlo con un ángulo de 30° con respecto a la dirección del movimiento. ¿ Cuánto

trabajo efectúa Esteban? (b) Con ánimo de ayudar, Esteban empuja un segundo automóvil averiado con una fuerza constante 𝐹 = 160 𝑁 𝑖 − 40 𝑁 𝑗. El desplazamiento del automóvil es 𝑑 = 14 𝑚 𝑖 + 11 𝑚 𝑗. ¿cuánto trabajo efectúa Esteban en este caso ? 3

Respuesta: (a) 3.3 × 103 𝐽 (b)1.8 × 103 J

41


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Trabajo y Energía

Trabajo: Positivo, negativo o cero General RecordemosFísica que el trabajo es una cantidad escalar y, como tal, puede tener un

valor positivo negativo o cero. Ésta es la diferencia esencial entre la definición de trabajo y la definición “cotidiana” del mismo.

3

42


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Trabajo y Energía

El trabajo gráficamente General constante 𝐹 en la dirección 𝑥 actúa sobre un objeto mientras Suponga unaFísica fuerza

éste se mueve una distancia 𝑥.

Trabajo consumido por una fuerza variable 3 𝑥𝑓

W = lim ∆𝑥→0

43

𝐹𝑥 ∆𝑥 = 𝑥𝑖

𝑥𝑓 𝑥𝑖

𝐹𝑥 𝑑𝑥 = á𝑟𝑒𝑎


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Trabajo y Energía

Potencia Física General

La potencia es una magnitud escalar cuyo valor se obtiene como el cociente entre el trabajo realizado por una fuerza y el intervalo de tiempo empleado. Esta magnitud nos indica la rapidez con la que se puede realizar trabajo.

Este término esta asociado con máquinas, una máquina es más potente que otra, si hace el mismo trabajo en menos tiempo o más trabajo en el mismo tiempo.

∆𝑊 𝐹∆𝑑 𝑃= =3 = 𝐹𝑣 ∆𝑡 ∆𝑡

44

Unidades: 1 𝑤𝑎𝑡𝑡 =

𝐽 𝑠


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Trabajo y Energía

Eficiencia Física General

Es el grado de aprovechamiento de la energía en una máquina. Toda máquina se usa para realizar trabajo, esta máquina se alimenta y también pierde energía en forma de calor. Por lo tanto tenemos: 𝑃𝑠 = potencia suministrada o consumida por la máquina. 𝑃𝑢 = Potencia útil o potencia desarrollada por la máquina.

𝑃𝑝 = potencia perdida o disipada por la máquina.

3

45

𝑃𝑢 𝜂= 𝑃𝑠


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Trabajo y Energía

Ejercicio 1. Un estudiante sostiene su libro de psicología, que tiene una masa de 1.5 kg, afuera de una ventana del segundo piso de su dormitorio hasta que su brazo se

cansa; entonces lo suelta (ver figura) (a)¿ Cuánto trabajo efectúa el estudiante sobre el libro por el simple hecho de sostenerlo fuera de la ventana? (b) ¿Cuanto trabajo efectúa la fuerza de gravedad durante el tiempo en el3que el libro cae 3.0 m?

46


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Trabajo y Energía

Ejercicio 2. Un disco de 2 kg se suelta sobre un plano inclinado rugoso (𝜇𝑘 = 0.4) que hace 37° con la horizontal. Encuentre el trabajo total sobre el disco cada vez que el disco se desplace en 10 m.

3

47


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Trabajo y Energía

Ejercicio 3. Un tejo de Hockey de 0.20 kg y se suelta sobre un plano inclinado rugoso ( 𝜇𝑘 = 0,5 ) observándose

que el tejo desciende aceleradamente. Halle el

trabajo por efecto de la fricción

en 4 s

de descenso por el plano cuya

inclinación es de 37°. Usar g= 10 m/s2.

3

48


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Trabajo y Energía

Energía cinética y el teorema de trabajo-energía El trabajo total realizado por fuerzas externas sobre un cuerpo se relaciona con el desplazamiento de

éste (los cambios en su posición ), pero también está

relacionado con los cambios en la rapidez. 𝑊𝑡𝑜𝑡

1 1 2 = 𝐹𝑑 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣 21 2 2

Definición de energía cinética

1 𝐾 = 𝑚𝑣 2 2 3

El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de la energía cinética de la partícula. 𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝐾2 − 𝐾1 = ∆𝐾 49

(teorema de trabajo−energía) Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

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Ejercicio Una jugadora (ver figura) empuja un disco de 0.25 kg que inicialmente está en reposo, de manera que una fuerza horizontal constante de 6.0 N actúa sobre él durante una distancia de 0.50 m. (Despreciaremos la fricción). a) ¿Qué energía cinética y rapidez tiene el disco cuando se deja de aplicar la fuerza? b) ¿Cuánto trabajo se requeriría para detener el disco?

3

50


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Trabajo y Energía

Energía potencial gravitacional Un objeto en movimiento tiene energía cinética. Sin embargo, sea que un objeto esté o no en movimiento, podría tener otra forma de energía: energía potencial. Como su nombre sugiere, un objeto con energía potencial tiene potencial para efectuar trabajo. La energía potencia es la energía asociada a la posición de un sistema3 respecto a un nivel de referencia, no a su movimiento.

51


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Energía potencial gravitacional

3

𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝐹𝑑 = 𝑚𝑔 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑚𝑔𝑦1 − 𝑚𝑔𝑦2

𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝑚𝑔𝑦 (energía potencial gravitacional)

𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 − 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,2 = − 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,2 − 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 = −∆𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 52


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Conservación de la energía mecánica Las leyes de conservación son las piedras angulares de la física, tanto en la teoría como en la práctica. La mayoría de los científicos probablemente diría que la conservación de la energía es la ley más importante y la que tiene mayor alcance de las leyes. Cuando decimos que una cantidad física se conserva, queremos decir

que es constante, o que tiene un valor constante. Dado que tantas cosas cambian continuamente en los procesos físicos, las cantidades que se conservan

son

extremadamente útiles para entender y describir el universo. 3

53


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Trabajo y Energía

Conservación de la energía mecánica (sólo fuerzas gravitacionales)

Vamos a suponer que el peso del cuerpo es la única fuerza que actúa sobre el sistema mostrado en la figura, es decir:

𝐹𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 = 0.

Entonces,

el cuerpo cae

libremente sin resistencia del aire. Teorema de trabajo−e𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑊𝑡𝑜𝑡 = ∆𝐾 = 𝐾2 − 𝐾1

Si la gravedad es la única fuerza que actúa, 3

𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = −∆𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 − 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,2

54


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Conservación de la energía mecánica (sólo fuerzas gravitacionales)

Que podemos reescribir como 1 1 2 𝑚𝑣1 + 𝑚𝑔𝑦1 = 𝑚𝑣2 2 + 𝑚𝑔𝑦2 2 2

(si sólo la gravedad realiza trabajo)

Definimos la energía mecánica total del sistema . 𝐸 = 𝐾 + 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣

Por “sistema ” nos referimos al cuerpo de masa 𝑚 y la tierra considerados juntos, por que la energía potencial es una propiedad compartida de ambos cuerpos. 3

𝐸 = 𝐾 + 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Una cantidad que siempre tiene el mismo valor es una cantidad que se conserva. Si sólo la fuerza de gravedad efectúa trabajo, la energía mecánica total es constante, es decir se conserva. 55


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Trabajo y Energía

Cuando realizan trabajo otras fuerzas distintas de la gravedad Si otras fuerzas actúan sobre el cuerpo además de su peso, entonces 𝐹𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 ≠ 0

El trabajo total realizado por todas las fuerzas es: 𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 +𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝐾2 − 𝐾1

Además, tenemos que: 𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = −∆𝑈𝑔𝑟𝑞𝑣 = 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 − 𝑈𝑔𝑟𝑞𝑣,2

De estas dos ecuaciones tenemos: 3

𝑊𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 = (𝐾2 +𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,2 ) − 𝐾1 + 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 = ∆𝐸𝑀

El significado de la ecuación anterior, es que el trabajo realizado por todas las fuerzas distintas de la fuerza gravitacional es igual al cambio en la energía mecánica total del sistema. 56


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Energía potencial gravitacional para movimiento en una trayectoria curva ¿Qué sucede si la trayectoria es inclinada o curva?. Para calcular

el trabajo efectuado por la fuerza

gravitacional durante este desplazamiento, dividimos la trayectoria en segmentos pequeños ∆𝑑

En términos de vectores 3 unitarios tenemos : Fuerza gravitacional: el vector desplazamiento ∶ 57

𝑤 = 𝑚𝑔𝑗 ∆𝑑 = ∆𝑥𝑖 + ∆𝑦𝑗 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

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Energía potencial gravitacional para movimiento en una trayectoria curva El trabajo efectuado por la fuerza gravitacional es 𝑤 ∙ ∆𝑑 = −𝑚𝑔𝑗 ∙ ∆𝑥𝑖 + ∆𝑦𝑗 = −𝑚𝑔∆𝑦 El trabajo efectuado por la gravedad es el mismo que si el cuerpo se hubiera desplazado verticalmente una distancia ∆𝑦, sin desplazamiento horizontal. 𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = −𝑚𝑔 𝑦2 − 𝑦1 = −∆𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 3

Este resultado es igual al mostrado anteriormente, donde se supuso una trayectoria completamente vertical. Así que, aun si la trayectoria de un cuerpo entre dos puntos es curva, el trabajo efectuado por la gravedad depende sólo de la diferencia de altura entre esos dos puntos. 58


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Energía potencial elástica Consideremos la energía potencial asociada con materiales elásticos. Trabajo efectuado por un resorte 1 1 𝑊𝑒𝑙 = 𝑘𝑥1 2 − 𝑘𝑥2 2 2 2 Energía potencial elástica: 1 𝑈𝑒𝑙 = 𝑘𝑥 2 2 3

Trabajo por la fuerza elástica 𝑊𝑒𝑙 = −∆𝑈𝑒𝑙 59


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Trabajo y Energía

Fuerzas conservativas y no conservativas Es importante

que clasifiquemos las fuerzas en dos tipos: Conservativas y no

conservativas. Fuerzas conservativas:

Decimos que una fuerza que ofrece oportunidad de

conversión bidireccional entre las energías cinética y potencias es una fuerza conservativa. El trabajo realizado por una fuerza conservativa siempre tiene estas propiedades: 1.

Puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final de una función

de energía potencial. 3

2.

Es reversible.

3.

Es independiente de la trayectoria seguida por el cuerpo y depende sólo de los

puntos inicial y final. 4. 60

Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero. Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

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Fuerzas conservativas y no conservativas Muchas fuerzas como la fricción, el empuje o el jalón por una persona, son fuerzas no

conservativas por que

el trabajo que realizan depende de la

trayectoria.



3 El trabajo realizado por una fuerzas no

conservativas no puede

representarse con una función de energía potencial. 

Las fuerzas no conservativas que actúan dentro de un sistema causan un

cambio en la energía mecánica total del sistema. 61


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Trabajo y Energía

Ejercicios de Aplicación Bloques conectados en movimiento. En la figura se muestran dos bloques conectados entre sí por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción. El bloque de masa m1 descansa sobre una superficie horizontal y está conectado a un resorte de constante de fuerza k. El sistema se libera desde el reposo cuando el resorte no está deformado. Si m2 cae una distancia h antes de quedar en reposo, calcule el coeficiente de fricción cinética entre m1 y la superficie. 3

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Trabajo y Energía

Ejercicios de Aplicación Una esfera es soltada desde el punto “A”. ¿Cuál debe ser el valor de “H” para que cuando la esfera pase por el punto “B”, la reacción normal tenga el mismo valor que el peso de la esfera? (R = 2m).

3

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Trabajo y Energía

Ejercicios de Aplicación Un niño se deja caer desde el punto “A” a través de la esfera. ¿Cuánto vale el ángulo “ 𝜃 ”, sabiendo que el niño se desprende en el punto “B”, no hay rozamiento

3

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Trabajo y Energía

Ejercicios de Aplicación Un bloque de 200 g se presiona contra un resorte con 1.40 k N/m de constante de fuerza hasta que el bloque comprime el resorte 10.0 cm. El resorte descansa una rampa inclinada 60 ° con la horizontal. Mediante

en la parte baja de

consideraciones de energía, determine cuánto se mueve el bloque (distancia) hacia arriba del plano inclinado antes de detenerse a) si la rampa no ejerce fuerza de fricción en el bloque y b) si el coeficiente de fricción cinética es de 0.4.

3

65


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Trabajo y Energía

Ejercicios de Aplicación Se suelta una pequeña esfera en el punto “A”. En el punto “O” existe un clavo. ¿Cuánto debe valer el ángulo

para que cuando pase por el punto “B”; la

tensión en la cuerda sea cero?

3

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Trabajo y Energía

Ejercicios de Aplicación Una teja de 10N de peso se libera sobre una concavidad lisa, al descender incide y comprime el muelle (K=260 N/m) sobre el piso rugoso (𝜇𝑘 = 0.2), si el radio de la concavidad es 0.15 m, halle la máxima deformación del muelle.

3

67


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Trabajo y Energía

3


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Ejercicios de Repaso Un profesor de física hacia acrobacias audaces en su tiempo libre. Su ultima acrobacia fue un intento por saltar un rio en motocicleta (figura 3.51). La rampa de despegue esta inclinada a 53.08, el rio tiene 40.0 m de ancho y la ribera lejana esta a 15.0 m bajo el tope de la rampa. El rio esta a 100 m abajo de la rampa. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) .Que rapidez se necesita 3

en el tope de la rampa para alcanzar apenas el borde de la ribera lejana? b) Si su rapidez era solo

la mitad del valor obtenido en a), .donde cayo? 57


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Ejercicios de Repaso Se lanza una pequeña piedra con una velocidad de 10 m/s en la forma mostrada en la figura. Si la piedra se introduce en un tubo que se orienta 45° respecto a la vertical, de modo que el movimiento de la piedra coincide con el eje del tubo, se pide calcular los valores de x e y en el instante que la piedra penetra en el tubo 3

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Ejercicios de Repaso Hállese la máxima velocidad angular alrededor del poste vertical, de modo que el collarín no se desprenda del brazo rugoso. El coeficiente de rozamiento estático entre el collar y el brazo es de 0,5 . (g=10 m/s2).

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Ejercicios de Repaso Si la partícula se soltara en la posición mostrada ésta resbalaría, por ello es necesario que la concavidad rugosa gire en torno al eje vertical, ¿cuál debe ser la mínima velocidad angular de la concavidad de modo que la partícula no resbale sobre la concavidad?

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Ejercicios de Repaso En el instante que se muestra en la figura el pequeño bloque posee una aceleración centrípeta de módulo 12 m/s2 . Determine el módulo de la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque. Datos:𝑚 = 100 𝑔; 𝜇𝑘 = 0,2; g=10 m/s2

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Ejercicios de Repaso En la figura la esfera de 0,2 kg gira con rapidez angular constante. Determinar la deformación en el resorte de constante K = 200 N/m. Despreciar rozamiento. (g = 10 m/s2 )

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Ejercicios de Repaso Hallar la mínima velocidad angular con la cual puede girar el sistema sin que el bloque “m” resbale.

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