UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON RESPECTO (RELATIVO) A UN SISTEMA COORDENADO MÓVIL CON TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
Se deducirán ecuaciones cinemáticas generales, para velocidad y aceleración, que describen el movimiento relativo de una partícula con respecto a un sistema de coordenadas móviles. Debido a la generalidad en la derivación, estos dos puntos pueden representar dos partículas que se mueven de manera independiente o bien dos puntos que se encuentra en un mismo o diferentes cuerpos rígidos.
Curso: DINÁMICA – EC114
Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
MOVIMIENTO RELATIVO CON TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
Z
z’ P rr r
k’
X
i
j O
Curso: DINÁMICA – EC114
j’ O’
ro’
k
y’ i’ x’ Y
1) Coordenadas: a) X, Y y Z corresponden al sistema coordenado fijo. b) x’, y’ y z’ corresponden al sistema coordenado móvil con una velocidad de traslación ro’ para O’ y con una velocidad de rotación w con respecto a los ejes fijos X, Y y Z. 2) Puntos: a) P es el punto móvil. b) O y O’ son los orígenes del sistema fijo y móvil.
Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa
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MOVIMIENTO RELATIVO CON TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
Z
3) Vectores de posición:
z’ P
a) r, es el vector posición del rr
r
k’
X
i
b)
j’ O’
ro’
k
y’ i’ x’
j O
Curso: DINÁMICA – EC114
Y
punto móvil con respecto al sistema coordenado fijo. ro’, es el vector posición de O’ con respecto al sistema coordenado fijo X, Y y Z.
c) rr es el vector posición
del punto móvil con respecto al sistema coordenado móvil O’.
Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa
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MOVIMIENTO RELATIVO CON TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
Z
z’ P
4) Vectores unitarios:
rr r
k’
X
i
j’ O’
ro’
k
y’ i’ x’
a) i, j
y k son los vectores unitarios del sistema coordenado fijo (absoluto).
b) i’, j’y k’ son los vectores unitarios del sistema coordenado móvil.
j O
Curso: DINÁMICA – EC114
Y Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa
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MOVIMIENTO RELATIVO CON TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
Z
z’ P rr r
k’
X
i
j’ O’
ro’
k
y’
r= Xi+Y j+Zk
i’ x’
Curso: DINÁMICA – EC114
r= Xi+Y j+Zk r= Xi+Y j+Zk
j O
El vector posición, la velocidad y la aceleración del punto P pueden escribirse con respecto a las coordenadas fijas:
Y Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa
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MOVIMIENTO RELATIVO CON TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
Velocidad relativa del punto P con respecto al sistema coordenado móvil.
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x’ i’ + y’ j’ + z’ k’ = w x rr (T. C. Huang)
w x rr=w x (x’i’ + y’ j’ + z’k’)=x’ w x i’ + y’ w x j’ + z’ w x k’
x’ i’ + y’ j’ + z’ k’ = x’ w x i’ + y’ w x j’ + z’ w x k’ i’ = w x i’ Curso: DINÁMICA – EC114
j’ = w x j’
k’ = w x k’
Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
r = ro’ + rrr + x’ i’ + y’ j’ + z’ k’ r = ro’ + rrr + x’(w x i’) + y’(w x j’) + z’(w x k’) r = ro’ + rrr + w x [ x’ i’ + y’ j’ + z’ k’ ] r = ro’ + rrr + w x rr
Velocidad absoluta (con respecto al sistema fijo XYZ )
Hallando aceleración:
r = ro + x’ i’ + y’ j’ + z’ k’+ w x rr
Derivando:
r = ro’ + x’i’+y’ j’+z’k’ + x’ i’ + y’ j’ + z’k’ + w x rr + w x rr rrr Curso: DINÁMICA – EC114
w x rrr Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
MOVIMIENTO RELATIVO CON TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
r = ro’ + x’i’+y’ j’+z’k’ + x’ i’ + y’ j’ + z’k’ + w x rr + w x rr rrr
w x rrr
r = ro’ +rrr+ w x rrr + w x rr + w x ( rrr + w x rr ) r = ro’+ rrr+ w x rrr + w x rr + w x rrr + w x (w x rr) r = ro’+ rrr+ w x rr + 2 w x rrr + w x (w x r
2 w x rrr Curso: DINÁMICA – EC114
Aceleración absoluta r) (con respecto al sistema fijo XYZ )
Aceleración de CORIOLIS Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa
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r
rrr
=
+
ro’
Velocidad del origen de coordenadas móviles Velocidad absoluta
Velocidad relativa
Curso: DINÁMICA – EC114
+
w x rr
Efecto de la velocidad angular de las coordenadas móviles Velocidad coordenada
Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa
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r =
rrr + ro’ + w x rr + w x (w x rr) + 2 w x rrr
Aceleración del origen de coordenadas móviles
Aceleración absoluta
Aceleración relativa
Curso: DINÁMICA – EC114
Efecto de la aceleración angular de las coordenadas móviles
Efecto de la velocidad angular de las coordendas móviles
Aceleración coordenada
Efecto de la interacción de la velocidad angular coordenada y la velocidad relativa (aceleración de Coriolis)
