UNIVERSIDAD “CÉSAR VALLEJO” - TRUJILLO F acul acu l tad de I n gen gen i er í a E scuela Pr ofe of esi onal de I n gen gen i er í a Civi Ci vill
TEMA:
DINAMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS.
NOMBRE DEL CURSO:
MECÁNICA DE FLUIDOS I
PROFESOR:
ING. LOAYZA RIVAS, CARLOS ADOLFO
FECHA:
05 DE JULIO DE 2013 TRUJILLO ALUMNOS
CÓDIGO
BACA MEZA, JULIO
291020058
BACA BILCHEZ, LEIDER
2101035503
BOCANEGRA MORENO, MILTON
2110073093
BRICEÑO VEGA, JHORDEN
2101033932
CRUZ MENDOZA, COLBERT DAVID
2101052476
HUACACOLQUI CRUZADO, THAIS
2110061340
LOLOY VELASQUEZ, EDUARD
2101052257
RAMIREZ MERCEDES, JORGE SALINAS ASMAT, EDDA
2102058792
OBSERVACIONES:
1.2.-
……………………………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………………………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………………………………………… ……………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………….. ………..
NOTA: .
......................
…….....
EN NÚMERO
EN LETRA
...
......................
…..…….....
FIRMA DEL PROFESOR
“Cinemática de de
los fluidos ” ”
INTRODUCCIÓN
Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento. Estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática, sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos. Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.
Dinámica de fluidos tiene una amplia gama de aplicaciones, incluyendo el cálculo de fuerzas y momentos en los aviones, la determinación de la tasa de flujo de masa de petróleo a través de oleoductos, la predicción de los patrones del clima, la comprensión de las nebulosas en el espacio interestelar y, según informes modelar detonación fisión arma. . Las moléculas de los fluidos pueden desplazarse libremente, lo que da lugar a que tengan una gran variedad de movimientos. En una corriente fluida y en un instante determinado, cada partícula va a poseer una velocidad, que queda definida en un campo vectorial de velocidades. Su representación gráfica se realiza mediante líneas vectoriales, llamadas líneas de corriente. Dichas líneas son tangentes en cualquiera de sus puntos a la dirección de la velocidad de la partícula fluida. Por otra parte también podemos seguir el curso de cada molécula individualmente, y así obtenemos las trayectorias que, en general, son líneas, diferentes a las líneas de corriente. Si el régimen es estacionario, es decir, la velocidad del fluido y demás magnitudes físicas en cada punto son constantes en el tiempo, las líneas de corriente y las trayectorias son coincidentes.
-2-
“Cinemática de
los fluidos ”
I. OBJETIVOS. A. OBJETIVO GENERAL.
Definir, comprender y aplicar la dinámica de los fluidos perfectos.
B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Definir los tipos de fluidos(Fluidos ideales, Fluidos reales, flujo laminar y flujo turbulento)
Determinar la ecuación vectorial de la dinámica del fluido perfecto.
Determinar la ecuación escalar de la dinámica del fluido perfecto.
Estudiar la ecuación de Bernoulli.
Estudiar
los
Fluidos
Líquidos
(Incompresibles),
en
Movimiento
Rotacional o Irrotacional:
II. JUSTIFICACIÓN: Este
trabajo esta hecho para comprender y aprender mejor, uno
de los
conocimientos tan importantes de la ingeniería civil, y así nos sirva más adelante para plasmar los conocimientos adquiridos de manera teórica en el campo, al realizar diferentes obras hidráulicas de construcción. El tema a tratar (dinámica de los fluidos perfectos), es vital para sumergirnos en el complejo mundo de los fluidos e ir comprendiéndolo.
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“Cinemática de
los fluidos ” III. MARCO TEÓRICO: DINAMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS
1) FLUIDOS IDEALES: Llamamos fluido ideal a aquel que fluye sin dificultad alguna, aquel cuya viscosidad vale cero.
Evidentemente,
no
encontraremos
fluidos ideales en la Naturaleza pero en ciertas circunstancias en las que resulta una razonable aproximación a la realidad se pueden aplicar algunas de sus propiedades y leyes de movimiento a los fluidos de verdad.
PROPIEDADES:
Viscosidad cero
Son incompresibles (su densidad es constante)
El flujo es laminar (se desplaza ordenadamente sin hacer remolinos, ni reflujos)
La velocidad de todas las moléculas del fluido en una sección transversal de tubería es la misma.
2) FLUIDOS REALES: Los fluidos reales se distinguen de los ideales en que poseen una cierta viscosidad, es decir, un rozamiento interior que origina tensiones tangenciales entre los filetes fluidos.
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“Cinemática de
los fluidos ” Cuando un elemento de fluido se mueve respecto a los elementos contiguos, este movimiento
es
obstaculizado
por
la
existencia de esfuerzos tangenciales o cortantes que tienden a disminuir la velocidad
relativa
del
elemento
considerado con respecto a los elementos contiguos. Entonces se dice que el fluido es viscoso, y el fenómeno recibe el nombre de viscosidad.
3) FLUJO LAMINAR: Se llama flujo laminar o corriente laminar, al movimiento de un fluido cuando éste es ordenado, estratificado, suave. En un flujo laminar el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse y cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente. En flujos laminares el mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular. El flujo laminar es típico de fluidos a velocidades bajas o viscosidades altas, mientras fluidos de viscosidad baja, velocidad alta o grandes caudales suelen ser turbulentos. Las partículas se desplazan siguiendo trayectorias paralelas, formando así en conjunto capas o láminas de ahí su nombre, el fluido se mueve sin que haya mezcla significativa de partículas de fluido vecinas.
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“Cinemática de
los fluidos ”
4) FLUJO TURBULENTO: Se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimiento de un fluido que se da en forma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos. El flujo turbulento ocurre cuando las velocidades de flujo son generalmente muy altas como por ejemplo el agua en un canal de gran pendiente o, en fluidos en los que las fuerzas viscosas son muy pequeñas. La turbulencia puede originarse por la presencia de paredes en contacto con el fluido o por la existencia de capas que se muevan a diferentes velocidades. Además, un flujo turbulento puede desarrollarse bien sea en un conducto liso o en un conducto rugoso. Debido a esto, la trayectoria de una partícula se puede predecir hasta una cierta escala, a partir de la cual la trayectoria de la misma es impredecible, más precisamente caótica.
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“Cinemática de
los fluidos ” CARACTERÍSTICAS Y DESARROLLO En el flujo turbulento las partículas se mueven en trayectorias irregulares, que no son suaves ni fijas. El flujo es turbulento si las fuerzas viscosas son débiles en relación con las fuerzas inerciales. La turbulencia según la definición de Taylor y von Kármán, puede producirse por el paso del fluido sobre superficies de frontera, o por el flujo de capas de fluido, a diferentes velocidades que se mueven una encima de la otra.
Tipos de turbulencia * Turbulencia de pared: Generada por efectos viscosos debida a la existencia de paredes. * Turbulencia libre: Producida en la ausencia de pared y generada por el movimiento de capas de fluido a diferentes velocidades.
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“Cinemática de
los fluidos ” DINÁMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS 5) DEFINICIÓN: Estudiaremos el elemento diferencial ortoédrico, situado en el interior de la masa de un fluido en movimiento, sometido a las presiones que sobre sus caras ejerce el resto del fluido y a la acción de fuerzas exteriores o de masa
Sea “p” la pr esión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:
Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero
⃑
Resultante de fuerzas externas unitaria o fuerza total externa por unidad de masa
⃑
(concentrada en el centro de gravedad de la masa contenida en el elemento diferencial ortoedrico de volumen
Dónde:
son las componentes de la fuerza unitaria o fuerza por unidad de
masa.
Siendo
)
⃑
la masa de una partícula en movimiento y su aceleración interna y
la fuerza que actúa, esto se puede describir
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“Cinemática de
⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑
los fluidos ”
Con relación a cada uno de los ejes se presentan las siguientes ecuaciones generales, cuando existen movimientos relativos:
∑⃑ ( )
Desarrollo de la ecuación (1)
Pero “m” = masa contenida en el elemento diferencial ortoedrico
Análogamente desarrollamos (2) y (3), resulta:
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“Cinemática de
los fluidos ” Sumando miembro a miembro (I), (II) , Y (I II), vectorialmente
⃑ ⃑ ⃑ ( )⃑ (⃑ ⃑)
La expresión (IV), constituye la
Ecuación Fundamental Vectorial de la Dinámica
del Fluido Perfecto
Dónde:
⃑ ⃑ ⃑
= presión media que actúa sobre las caras del volumen diferencial ortoedrico más próximo de origen de coordenadas. = densidad del fluido
= fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa; que depende del volumen considerado, como por ejemplo peso. Es una aceleración, pero externa. = Aceleración (interna) de la partícula fluida.
⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ () ⃑⃑ () ⃑
Si
= 0 entonces,
De la expresión (IV), despejando resulta:
Se conoce que:
Reemplazando la ecuación (6) en (5)
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“Cinemática de
los fluidos ” 6) ECUACIÓN DE BERNOULLI: Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente al campo gravitacional Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la Ecuación de Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados), en movimiento permanente. En estas condiciones, de la Ecuación (M), o Ecuación de Euler:
; (Movimiento permanente; las características hidráulicas en un punto
se mantienen constantes).
⃗ ⃗
Como esta solo a la acción del campo gravitacional, en estas condiciones:
Dónde:
Luego:
Y que remplazándolo en la ecuación anterior resulta:
() ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗[( )]⃗ ⃗ ⃗
Proyectamos la expresión vectorial en la dirección d (vector direccional de la partícula):
CASOS: MOVIMIENTO IRROTACIONAL: -11-
“Cinemática de
⃗ [ ( ) ] ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
los fluidos ”
Luego:
Calculo de:
Remplazando (A),(B) y (C) en (
-gdz
Dividiendo entre “g”:
MOVIMIENTO ROTACIONAL
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“Cinemática de
los fluidos ”
v y dr son vectores paralelos (tienden a ser colineales). Es decir que
dr se considera tangente a la línea de corriente y por lo tanto paralelo o colineal con v . De la ecuación de Euler ( ): 1
1 (v 2 ) dr ( v) v dr p dr gk dr ........( ) 2
Desarrollo del término ( v) v dr : De la figura se observa que los vectores
( v) v y dr ; son ortogonales,
por lo tanto por definición de producto escalar: ( v) v dr = 0 Por lo tanto la ecuación de Euler ( ) se reduce a la expresión ( ): 1
1
(v2 ) dr p dr gk dr ........( ) 2 Cuyo desarrollo es el mismo para el caso del Movimiento Irrotacional; es decir, la Ecuación Diferencial de Bernoulli:
1 d(v 2 ) dz d(p) 0 2 g 1
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“Cinemática de
los fluidos ” FLUIDOS LÍQUIDOS (INCOMPRESIBLES) En movimiento rotacional o irrotacional, en movimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo gravitacional. = Cte. (si no habría que expresarlo en función de “”)
v2 z Cte. 2g p
Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli , o Ecuación de la Energía para un fluido incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una corriente líquida será: z1
p1
2
v1
2g
z2
p2
v2
2
2g
Cte.
“A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas
cinéticas (V2 /2g), piezométricas (p/ ) y potencial (z) es constante”
El Teorema de Bernoulli no es otra cosa que el principio de Conservación de la Energía. Cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de Energía o la capacidad de producir trabajo: z = Energía de posición o potencial o carga de posición p
= Energía de presión o piezométrica o carga de presión. -14-
“Cinemática de
los fluidos ” v
2
2g
= Energía cinética o carga de velocidad.
Significado de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli: Primer Término: (z)
Es una cota, o sea la distancia de un plano “P” a un cuerpo “M”. Imaginemos que el cuerpo tiene una masa “M” y un peso “W”. Por su posición respecto a “P” este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a “P”. Siendo la energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de una posición en su plano a otro plano, tenemos: Ep = W z Cuando W = 1, ya sea un kilogramo o una libra; la energía de posición del cuerpo es “z”. “z” representa entonces la energía de posición de un kilogramo o una libra de agua. Ep = z = Energía potencial o de posición por unidad de peso.
Segundo Término: (V2 /2g)
Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una velocidad “V”, que desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia sabemos que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa
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“Cinemática de
los fluidos ” indefinidamente su movimiento; entonces la energía cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo, estará medida por la relación: Ec
m
V2 2
Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:
W V2 Ec g 2 Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es:
V2 Ec 2g Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la energía cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama carga de velocidad.
Tercer Término: (p/ )
Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y conteniendo una cierta cantidad de agua. La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos “p” y que es igual a:
p = F/S.
Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la presión “p”, si abrimos la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que significa que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le da el trabajo producido por “F”. Llamando “L” a la distancia que
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“Cinemática de
los fluidos ” recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la energía que pueda poseer el líquido por la acción de “F” vale: Ep = F L ; Ep = p S L
pero F = p S ;
pero S L =
Ep = p Pero también:
Ep = p
W
W
,
luego:
;
W
cuando W = 1 (kg o lb)
Ep
p
Esta última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior pero es cómodo considerarla como poseída por aquel.
7) EJERCICIOS: 1. En la figura, el fluido es el agua y descarga libremente a la atmosfera. Para un flujo másico de 15 kg/s determine la presión en el manómetro
Solución
-17-
“Cinemática de
los fluidos ”
Aplic ando la ecuación de Berno ulli
* + 2. en un cilindro vertical se tiene un nivel de agua inicial de 350mm, por encima del agujero del que sale horizontalmente hacia el exterior un chorro de agua ¿Cuál es la velocidad del agua a la salida del chorro?
datos:
h= 0.35m
Solución:
Primero analicemos la velocidad en el punto A:
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“Cinemática de
los fluidos ”
Luego analizamos las alturas en los dos puntos:
Observamos las presiones en los dos puntos:
√ √
Ahora se aplicara la formula de Bernoulli:
Remplazando:
Como se observa llegamos al teorema de Torricelli.
Remplazando los datos obtenemos:
Por lo tanto concluimos que la velocidad del agua a la salida del chorro es de 2.62 m/s.
3. Se desea diseñar el muro de anclaje en un corto tramo de la tubería de presión de una central hidroeléctrica. En dicho tramo se produce una reducción de la sección (1): ( 24" ) a la sección (2): ( 12" ); fluyendo un caudal de 0,250 m 3 /s. La presión en la sección aguas abajo es 1,48 -19-
“Cinemática de
los fluidos ” kg/cm2. Hallar el módulo y ángulo que hace con la horizontal la fuerza que soporta el muro.
SOLUCIÓN: a. Cálculo de F1: Aplicando Bernoulli entre (1) y (2): E1 = E2 z1
z
1
z2
p1
2
v1
2g
z2
p2
v2
2
2g
0,50m 0,00m
v1
v2
4Q 2 1
D
4Q D2
2
4(0,25) 0,868m / s 2 (24"x0,0254)
4(0,25) 3,43m / s 2 (12"x0,0254)
p1 1,48kg/ cm 2 14800kg/ m 2 Remplazando los datos en la Ecuación de Bernoulli, resulta:
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“Cinemática de
los fluidos ” p1 14860kg/ m 2 1,486kg/ cm 2 F1 p1A 1 (14860kg/ m 2 )( x0,612 m 2 / 4) 4343kg. F2 p2 A 2 (14800kg/ m 2 )( x0,305 2 m2 / 4) 1081kg.
b. Cálculo del Módulo y Ángulo de la Fuerza que soporta el muro: Aplicando la Ecuación de la Cantidad de Movimiento:
F F
x
Q(V2X V1X )......(A)
y
Q(V2Y V1Y )......(B)
De la Ecuación (A): F1 cos 45 F2 FX
Q
(V2 V1 cos 45)
g
Remplazando los valores conocidos de F1 , F2 ,
, Q,
g , V2 y V1 en la
expresión anterior y despejando el valor de FX , resulta: FX
1917,66kg
De la Ecuación (B):
Q
F1sen45 FY
g
(0,00 V1sen45)
Remplazando los valores conocidos de F1 ,
, Q,
g y V1 en la
expresión anterior y despejando el valor de FY , resulta: FY
3054,84kg
La Resultante de la Fuerza que soporta al muro, será: 1
F (F
2
x
F
2
Y
)
2
F 3606,86kg -21-
“Cinemática de
los fluidos ” La inclinación de la Fuerza que soporta el muro:
arc tan(
FX FY
)
122,118 4.
El tanque de una poceta tiene una sección rectangular de dimensiones 20cmx40cm y el nivel del agua está a una altura h = 20 cm por encima de la válvula de desagüe, la cual tiene un diámetro d 2 = 5 cm. Si al bajar la palanca, se abre la válvula: a) ¿Cuál será la rapidez inicial de desagüe por esa válvula en función de la altura de agua remanente en el tanque? b) ¿Cuál es la rapidez inicial de desagüe? No desprecie la velocidad en la superficie del tanque.
Aplicando la ecuación de Bernoulli
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“Cinemática de
los fluidos ”
Calculamos la rapidez:
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“Cinemática de
los fluidos ”
IV. CONCLUSIONES:
Se definir, comprendió y aplico la dinámica de los fluidos perfectos. Se definió los tipos de fluidos(Fluidos ideales, Fluidos reales, flujo laminar y flujo turbulento)
Se determino la ecuación vectorial de la dinámica del fluido perfecto.
Se determino la ecuación escalar de la dinámica del fluido perfecto.
Se estudio la ecuación de Bernoulli.
Se estudio los Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional o Irrotacional:
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