Dinamica de Los Fluidos Reales 4

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

USS.

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS REALES 1. MARCO TEÓRICO: 1.1 Flujo laminar: En el flujo laminar las partículas del fluido solo se mezclan a escala molecular, de modo que, durante el movimiento, dichas partículas se desplazan según trayectorias paralelas bajo la acción de la viscosidad. En la práctica, el flujo laminar se produce cuando el número de Reynolds no excede los valores de 1.500 a 2.000.

1.2 Flujo turbulento: En el flujo turbulento las partículas del fluido se mezclan a escala molar, de modo que durante el movimiento se produce un intercambio de cantidad de movimiento entre partículas adyacentes, ocasionando una rápida y continua agitación y mezcla en el seno del fluido. En la práctica el flujo turbulento se produce para números de Reynolds por encima de valores entre 6.000 a 10.000.

1.3 Pérdida de energía: También es llamada pérdida de carga, y es la pérdida de energía que experimentan los líquidos que fluyen en tuberías y canales abiertos. La energía necesaria para vencer los efectos del rozamiento en el flujo turbulento es la pérdida de carga. Las pérdidas de energía localizadas en las turbulencias incluidas por las piezas especiales y los accesorios accesorios que se utilizan en tuberías y canales son también pérdidas de carga. La pérdida de carga se representa habitualmente por el símbolo h 1.

MECANICA DE FLUIDOS I

1 a n i g á P


USS.

1.4 Línea piezométrica Línea piezométrica como muestra la figura 1, es la línea que une los puntos hasta los que el líquido podría ascender si se insertan tubos piezométricos en distintos lugares a lo largo de la tubería o canal abierto. Es una medida de la altura de presión hidrostática disponible en dichos puntos.

1.5 Línea de energía: También es llamada línea de carga. La energía total del flujo en cualquier sección, con respecto aun plano de referencia determinado, es la suma de la altura geométrica o de elevación Z , la altura piezométrica o de carga, y , y la altura cinética o de presión dinámica V 2 /2g . La variación de la energía total de una sección a otra se representa por una línea denominada de carga o de energía y también gradiente de energía. (Figura 1). En ausencia de pérdidas de energía, la línea de carga se mantendrá horizontal, aún cuando podría variar la distribución relativa de la energía entre las alturas geométrica, piezométrica y cinética. Sin embargo, en todos los casos reales se producen pérdidas de energía por rozamiento y la línea de carga resultante es inclinada.

Figura 1. Diagrama entre dos secciones de tubería, donde se muestran todas las líneas, las alturas, los ejes y niveles de referencia

1.6 Flujo permanente:


2 a n i g á P


USS.

El flujo permanente, se produce cuando la descarga o caudal en cualquier sección transversal permanece constante.

1.7 Flujo uniforme y no uniforme: Se llama flujo uniforme aquel en que el calado, sección transversal y demás elementos del flujo se mantienen sustancialmente constantes de una sección a otra. Si la pendiente sección transversal y velocidad cambian de un punto a otro de la conducción, el flujo se dice no uniforme. Un ejemplo de flujo permanente no uniforme es aquel que atraviesa un tubo Venturi utilizado para medir caudales.

2.

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad expresa la conservación de la masa del fluido a través de las distintas secciones de un tubo de corriente, como muestra la figura 2. Con arreglo al principio de conservación de la masa, ésta no se crea ni se destruye entre las secciones A 1 y A2. Por lo tanto, la ecuación de continuidad será:

Dónde:



     

= Densidad del fluido, kg/m 3

A = Área de la sección transversal, m 2 V = Velocidad, m/s Q = Caudal, m3/s Si el fluido es incompresible Q 1 = Q2 entonces:

FIGURA 2 DIAGRAMA DE FLUJO

La ecuación de Bernoulli es:


3 a n i g á P


Z1 

p1





V12 2g

 Z2 

p2





V22 2g

USS.

…………………

(1)

z = Energía de posición o potencial o carga de posición p

 v2 2g

= Energía de presión o piezométrica o carga de presión. = Energía cinética o carga de velocidad.

Válida para una línea de corriente de un flujo permanente, de un fluido ideal incompresible. Cada término tiene unidades de energía por unidad de peso y los tres términos se refieren a energía utilizable. De considerarse la viscosidad en el análisis anterior, aparecerá un término adicional en función del esfuerzo cortante”  ” que representaría la energía por

unidad de peso, empleado para vencer las fuerzas de fricción. Este término, por razones de orden práctico se puede expresar e interpretar del modo que sigue: Z1 

p1





V12 2g

 Z2 

p2





V22 2g

 hp  …………. 1 2

(2)

Donde: hp   pérdida de energía por unidad de peso. 1 2

Ecuación que explica el principio de la energía para una línea de corriente: “La energía total por unidad de peso en (1), es igual a la energía por unidad de peso en (2) más la pérdida de la energía producida desde (1) hasta (2)”


4 a n i g á P

USS.


Para una tubería se puede considerar: 1. El filete hidráulico o la línea de corriente coincide con el eje de la tubería. 2. Que, los valores de z, p y  son los representativos de cada sección.

3. Que, el valor de V en esta línea de corriente no es representativo de las velocidades en la sección. 4. Que, consecuencia de “3”, conviene utilizar como valor representativo de estas velocidades, el valor medio v (velocidad media); debiendo, en consecuencia reemplazar: v2 2g



v

2

2g

 Reemplazando en (2):

Z1 


p1



V12  1 2g

 Z2 

p2



 2

V22 2g

 hp 

1 2

……..….

(3)

5 a n i g á P


USS.

Ecuación de energía para una tubería en flujo permanente real viscoso bajo campo gravitacional ; donde las presiones como las velocidades en las

secciones (1) y (2) son las medias.

Potencia de una corriente líquida Corriente líquida: son escurrimientos líquidos bajo campo gravitacional que puede concebirse formado por filetes rectos o de suave curvatura.

Sea: H z

p



V2  2g

La carga total o energía total por unidad de peso en una sección, con respecto a un plano de referencia (m, kg-m/kg).

 Q = representa el peso del líquido que pasa por la sección en la unidad de tiempo (kg/seg). w t



 t

 Q

 QH = representa la energía por unidad de tiempo, es decir la potencia de la corriente

con respecto al plano de referencia (kg-m/seg) en la sección.

Por eso: Pot   QH


Pot   H Vm S

Pot  Bm  VmS

6 a n i g á P


USS.

Expresión del coeficiente de Coriolis: - La potencia elemental de un filete hidráulico o de una línea de corriente es:

 p v2  dP   z     v ds ………………………..  2g  

(4)

La potencia total de toda la corriente será:

 p v2  Pot.    z     v ds ……………………… 2g   s

(5)

- La potencia total de toda la corriente que le corresponde utilizando la velocidad media

será: Pot  H  VmS ………………………………………

(a7)

(a6) = (a7)

 p v2  H  VmS    z     v ds  2g  s

 p v2  s  z    2g   v ds H VmS Para el caso de los líquidos;



= cte.

p

H

 (z   ) v ds  

S

VmS

S

v2  v ds 2g

VmS

vds  v ds p  3

 

H  z 

s  s    VmS 2gVm S

 v ds  V S  Q

Pero:

m

s

 v ds 3

 

H  z 

p

   2gVm S s

Multiplicando el numerador y el denominador por Vm2

 v ds 3

 

H  z 


p

2 m s

V

   2g Vm3 S

7 a n i g á P

USS.


 p Vm2 ……………………….. Bm  H   z     2g   

(a8)

 v ds 3



Donde: =

s

Vm3 S

Coeficiente de Coriolis o Coeficiente de Corrección de la Energía

Cinética Principio de la Cantidad de Movimiento aplicado a las corrientes líquidas.

ds1

 n1ds1 ds2

F

 n2 ds2

 V  V  ds     V V  ds  1

1

1

2

s1

2

2

s2

Luego aceptando que los filetes hidráulicos son rectos o a lo más con suave curvatura. V1

Luego:

 n1 V1

;

V2



 n 2 V2



F   n1 V1V1ds1   n2 V2 V2 ds2 s1



s2



F   V12ds1n1   V22ds2 n2 ; ordenando: s1



s2



F   V22ds 2n2   V12ds1n1 s2



 

s1





F    V22ds2 n2  V12ds1 n1  …………………. s2

Pero:


s1

Vm2Sn  VmQn



(a9)

En general,

8 a n i g á P

USS.


O, en particular:

2 Vm1 S1n1

 Vm1Qn1

 Vm2 Qn2

2 Vm2 S2 n 2

En la Ec. (a9), multiplicando el numerador y al denominador por " Vm2 Qn2 " y 2 " Vm2 S2 n2 " , respectivamente tenemos:

 V22ds2 n2  V12ds1n1  Vm Qn2   2  Vm Qn1  F   2 V S n V S n m 1 1 s  s m 2 2  2

2

1

1

1

2

 V ds 2



Donde:

s

Vm2 S

 = Es el coeficiente de Boussinesq o Coeficiente de Corrección de la Cantidad de Movimiento F  Q 2 Vm2



Para el caso de líquidos:  

1

 g F

Relación entre y

 1 Vm 

Q  2 Vm  1 Vm  g  2

1

:

Sea:

 V ds 2



s

Vm2 S

De la figura superior, reemplazando:

 (V

m

S


 V)2 ds 2 m

V S

 V

2 m

S

 2VmV  ( V) 2  ds Vm2 S

9 a n i g á P

USS.


 V ds  2V 2 m



m

S

S

2 m

V S

 (  V ) ds

(  V )ds

2



2 m

V S

S

Vm2S

El segundo término del segundo miembro se puede eliminar debido a que V, son de signos positivos y también negativos, y tomando en cuenta la simetría de la sección, entonces se cancelarán mutuamente, reduciéndose a cero, quedando:



Vm2 ds



 ( V) ds 2



s 2 m

V S

s

Vm2S

La reducción del primer término es 1, Entonces:

 ( V) ds 2

  1

s

Vm2 S

Luego:  1

  V 

2

ds

………………(a 10)

s

Vm2 S

Además, se sabe que: 

 s

3 m

V S

  Vm  V 

3

V 3 ds



ds



S

Vm3 S

  1 3Vm2

 Vm3  3Vm2     3Vm   2    3  ds s  

  V  ds s

3 m

V S

Vm3 S

  V 

2

 3Vm

s

3 m

V S

 V 

3

ds



ds

s

Vm3 S

Por similar fundamento, que en el caso anterior, el segundo y cuarto término del segundo miembro de la ecuación inmediata anterior, se reducen a cero, quedando: 3

  1

  V 

2

ds

s

Vm2S

    MECANICA DE FLUIDOS I

0 1 a n i g á P


 1 3



   

2

s

Vm2S

USS.

ds

…………………(a 11)

De (a10) y (a11) :

 1 


 2 3

 1 3

……………………(a 12)

1 1 a n i g á P


USS.

APLICACIONES DE LA ECUACION DE ENEGÍA: -Tubería que conecta dos depósitos o descarga entre dos depósitos,

                      

 

          

(P A= PB= Presión atmosférica, igual a cero, trabajando con presiones relativas).

          ∑   ∑ 

……………………………. . (13)

Donde:

………………… (14)

Es decir la pérdida de carga desde A hasta B, será la suma de las pérdidas de carga debida a la fricción, más las pérdidas de cargas localizadas e igual al desnivel de las superficies libres de agua de los estanques o carga estática “H”, es decir:

De (13) y (14):


2 1 a n i g á P


 ∑  ∑ 

USS.

………………..……………… (15)

-Tubería que conecta dos depósitos mediante una instalación de bombeo.

                     Donde: bomba.



= Altura dinámica total o carga neta que el agua recibe de la

H

= Altura Estática a carga estática.

B

h

L

= Pérdidas de cargas localizadas desde

hasta

es decir de

hasta

es decir las

A

la tubería de succión y de la tubería de impulsión. B

h

f

= Perdidas de cargas por fricción desde

A

producidas en la tubería de succión y en la de impulsión.

Potencia Neta o Potencia Útil de la Bomba:

   


3 1 a n i g á P


USS.

          Potencia Bruta o Potencia Entregada:

         

P BRUTA = P UTIL + P PÉRDIDA

     -Tubería que conecta dos depósitos mediante una Turbina.


4 1 a n i g á P


USS.

                                           (   )   Donde: HT

= Altura o carga neta que la turbina recibe del agua.

H

= Altura o carga estática.

B

h

L

= Pérdidas de cargas localizadas desde

hasta

.

= Perdidas de cargas por fricción desde

hasta

.

A

B

h

f

A

Potencia Neta o Potencia Útil de la Turbina.

   


5 1 a n i g á P


USS.

         


6 1 a n i g á P


USS.

PROBLEMAS DE APLICACION 1. Calcular  y  para la siguiente distribución de velocidades:

  r 2  V  2Vm 1     que se produce en una tubería de sección circular.   R  

Solución:

 V ds 3

Por definición se sabe que:  

s

Vm3 S

  r 2  V  2Vm 1       R  

Pero:

Según dato del problema es una distribución de velocidades característica de un flujo laminar. Diferencial de área o superficie: ds  2rdr V

3



8Vm3 R

6

R

2

3

 r2 

S  R2

Vmedia

 Vm

 8Vm3 2 2 3   1      6 R  r    3 2  2rdr R   Vm R  s 

8Vm3 2 R6 Vm3 R2

R

 R

2

3

 r 2  rdr

0

Simplificando e integrando resulta: 

2 2 8 R  r   8 R 4

4 R

2 0

Reemplazando “α” en la Ec. (a12), resulta:



4 3

2. Se desea abastecer de agua a un edificio por el método cisterna – bomba – tanque elevado; con la ayuda del plano de arquitectura se ha bosquejado el sistema que se muestra en la figura. Los diámetros de las tuberías de


7 1 a n i g á P

USS.


succión e impulsión son 16” y 12” respectivamente, obteniéndose una

descarga en el tanque elevado de 0.10 m3/s ¿Qué bomba seleccionaría Ud. y cual seria la presión en los puntos B y C? Nota: Considere e = 0,8 y hallar la potencia en HP

La perdida de carga entre a A y B es equivalente a 4 cargas de velocidad. La pérdida de carga entre C y D es igual a 5 m. de agua

H

HB HB VB



Q SB



 12 

VD



SD



 12,00m 

D

A

C

  hp   hp

VD2 2g

VB2 4 2g



 5m  0,770m seg

(16 x 0,0254)

2

0,10m3 / s

 4

HB

B

0,10m3 seg 4

Q

VD2 2g

 1,37m / s

(12 x 0,0254)

1,37 m s

2

2g HB

4

 0,770 m s 2g

2

 5,00m

 17,180m

Cálculo la Potencia Bruta de la Bomba. Pot.BOMBA




QH 75  e

8 1 a n i g á P


USS.

1000kg m 0,10m s  17,18m   3

Pot.BOMBA

3

75  0,80

Pot.BOMBA

 28.63

(H.P)

Calculo de la Presión en B

 Bm  hp

Bm A

B



z A

p A





VA2 2g

1       pB

 zB 

pB

pB

VB2



 1 5



pB

 pB

AB

5



VB2



2g

4

VB2 2g

2g

VB2 2g

 1 5

 0,77 

2

2g

 0,84875m  pB  848,75 kg m 2



pB

 0,084875kg cm2

Cálculo de la Presión en C:

 Bm  hp

Bmc

D



pC



VC2  2g



pC

VC2

ZC

 ZD 

C D

pD





VD2 2g

 5m

Pero, VC  VD , entonces:

pC







2g

2g

 5m

 18,00 m  pC  18 000 kg / m2 pc


 13   

VC2

 1,8kg/ cm2

9 1 a n i g á P


USS.

3.-En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,30m en “B”.En “B” se bifurca; la tubería BC

0,45m en “A” a

tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25m de diámetro. “C” y “D”

descargan en la atmósfera. La velocidad media en “A” es 0,80 m/s y la velocidad media en “D” es 1,60 m/s. Calcular el gasto en “C” y “D” y las velocidades en “B” y “C”.

Cálculo de Q A : V A

 0,80m / s

S A

 0,1590 m2

Q A

 VA SA

 Q A  0,127 m3 / s Por el principio de continuidad:

Q A V A SA

 QB

 VBSB

0,127m3 / s  VBSB SB

 0,0707 m2  VB  1, 80m / s

Cálculo de QD : VD

 1, 60 m / s

SD

 0,7854 m2

QD

 VDSD

 QD  0,079 m3 / s Cálculo de QC :

QB

 QC  QD

Despejando:

QC

 QB  QD

QB

 0,127 m3 / s


0 2 a n i g á P


QD

USS.

 0,079 m3 / s  QC  0,048 m3 / s

Cálculo de VC : QC

 0,048 m3 / s

SC

 0,01767m2

QC

 VCSC

 VC  2,72m / s


1 2 a n i g á P


USS.

4.-Se desea diseñar el muro de anclaje en un corto tramo de la tubería de presión de una central hidroeléctrica. En dicho tramo se produce una reducción de la sección (1): (   24" ) a la sección (2): (   12" ); fluyendo un caudal de 0,250 m 3 /s. La presión en la sección aguas abajo es 1,48 kg/cm2. Hallar el módulo y ángulo que hace con la horizontal la fuerza que soporta el muro.

a.- Cálculo de F 1 : Aplicando Bernoulli entre (1) y (2): E1 = E 2 z1  z

1

p1



2



v1

2g

 z2 

p2





v2

2

2g

 0,50m

z2

 0,00m

v1



v2



4Q

D

2 1

4Q

D22



4(0,25) (24"x0,0254)2

 0,868 m / s



4(0,25)

 3,43m / s

(12" x0,0254)2

p1  1,48kg/ cm 2

 14800kg/m 2

Reemplazando los datos en la Ecuación de Bernoulli, resulta: p1  14860kg/ m2

 1,486kg/ cm2

 F1  p1A1  (14860kg/m 2 )(  x0,612 m2 / 4)  4343kg.


2 2 a n i g á P


USS.

 F2  p2 A 2  (14800kg/ m2 )(  x0,3052 m2 /4)  1081kg. b.- Cálculo del Módulo y Angulo de la Fuerza que soporta el muro. Aplicando la Ecuación de la Cantidad de Movimiento:

F F

x

 Q(V2X  V1X )......(A)

y

 Q(V2Y  V1Y )......(B)

De la Ecuación (A): F1 cos 45  F2

 FX 

Q

(V2  V1 cos 45)

g

Reemplazando los valores conocidos de F1 , F2 ,  , Q , g , V2 y V1 en la expresión anterior y despejando el valor de FX , resulta: FX

 1917,66kg

De la Ecuación (B):

F1sen45  FY 

Q g

(0,00  V1sen45)

Reemplazando los valores conocidos de F1 ,  , Q , g y V1 en la expresión anterior y despejando el valor de FY , resulta: FY

 3054,84kg

La Resultante de la Fuerza que soporta al muro, será: F  (F

2

x

F Y) 2

1 2

F  3606,86kg La inclinación de la Fuerza que soporta el muro:

  arc tan(

FX ) FY

  122,118


3 2 a n i g á P



USS.

4 2 a n i g á P

Dinamica de Los Fluidos Reales 4

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