Dinamica de Los Trenes

TRANSPORTE FERROVIARIO

DINÁMICA DE LOS TRENES

CAPITULO XI

DINAMICA DE LOS TRENES XI-1) MOVIMIENTO XI-1.1) Potencia y fuerza tractiva: Cuando todos los ejes son propulsores, el peso adherente es igual al peso de la locomotora, sino la relación entre el peso adherente y el total es la misma que existe entre el número de ejes propulsores y el total de número de ejes. Cabe aclarar que, a diferencia de los camiones, el peso de las locomotoras se distribuye casi uniformemente en todos los ejes. Resulta importante conocer la configuración de una locomotora. Los boggies de las locomotoras son de 2 ó 3 ejes, salvo excepciones, y poseen diferentes configuraciones. Los bogies de 3 ejes, pueden tener todos sus ejes propulsores, en cuyo caso el peso adherente coincide con el total y se nota como C-C ó Co-Co; ó sólo dos ejes propulsores, en cuyo caso se nota como A-1-A y el peso adherente es 2/3 del total. En este último caso siempre se deja libre el eje central. Los boggies de 2 ejes, pueden tener pueden tener ambos ejes propulsores, por lo que el peso adherente coincide con el total y se nota como B-B ó Bo-Bo; ó sólo un eje propulsor, en cuyo caso se nota como B-1 y el peso adherente es ½ del total. Para que haya movimiento con rodamiento, la fuerza propulsora debe ser menor que el producto del peso adherente (P a) por la adherencia (ψ), es decir Ft ≤ P.ψ, sino hay movimiento con deslizamiento. Si hay deslizamiento aparecen problemas en la circulación por lo que se busca andar siempre en rodamiento. La potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo, por lo que usando las unidades usuales, se tiene que: Pot Pot  HP   Pot Pot  kW 

F kg k g  .v .v  km km k  75, 5.3, 6



F kg k g  .v .v km km k  272

1

F kg .v km k  370

La potencia disponible en una locomotora es la potencia al freno menos la potencia utilizada en elementos internos. Además, no toda esa potencia es realmente utilizable sino que el fabricante indica qué porcentaje de la misma sí se usa a través de un coeficiente llamado rendimiento mecánico (), que generalmente varía entre 82 y 87 %. Para establecer la fuerza tractiva a partir de la potencia, se tiene que

1

1 HP = 0,736 kW 209


Pot(HP) 


Ft ( Kg ).v(km / h )

272.

Ft ( kg ) 



Pott ( HP). 272.Po v( km/ h)

Como la potencia es constante, al graficar la fuerza tractiva en función de la velocidad, se obtiene una hipérbola. Pero esto genera un inconveniente práctico, pues de ser así en el arranque la velocidad sería nula y por tanto la fuerza tractiva infinita. En realidad, la fuerza tractiva está limitada por la adherencia continua que es un parámetro dado por el fabricante, que generalmente vale entre 21 y 27 %. Así se tiene la mínima velocidad a la que una locomotora puede traccionar sin sufrir problemas, que generalmente ronda los 10 km/h y es llamada velocidad crítica. Mientras que la velocidad supere ese valor mínimo, la locomotora puede traccionar indefinidamente sin hacer sufrir al motor. Normalmente, en el tablero de la locomotora se tiene un indicador de cuánto tiempo se puede andar a velocidades por debajo de la velocidad crítica, y también se tiene un sistema que detecta el deslizamiento, mejorando la adherencia en el arranque. Así, la gráfica fuerza en función de velocidad es entonces una hipérbola para velocidades mayores a la crítica y se une en línea recta desde el punto crítico a la fuerza tractiva en el arranque. Un riel húmedo tiene menor adherencia, por lo que las locomotoras tienen sistemas que van tirando arena sobre riel dado que ésta es una sustancia abrasiva.

La adherencia disminuye con el aumento de la velocidad, es decir que es máxima en el arranque cuando su valor varía hoy en día de 30 a 33 %. En el transporte por carretera, dicho valor se duplica debido a que la fricción entre cubierta y pavimento es mayor que entre los metales de la rueda y el riel. En el arranque, no sólo la fuerza tractiva es máxima sino que la resistiva también. En ese caso conociendo la adherencia continua ó el esfuerzo continuo, su relación está dada en función de la velocidad crítica (v c) por Ftcontinua  kg  

272..Pot  HP  . 272 vc  km k 

210



XI-1.2) Ecuación del movimiento: La ley de Newton indica que la aceleración, es decir la variación de la velocidad con el tiempo, multiplicada por la masa es igual a la fuerza aceleratriz. En este caso, la fuerza aceleratriz es la diferencia entre el esfuerzo continuo y el esfuerzo resistivo, ambas a la velocidad considerada. Para poder acelerar, las fuerzas tractivas deben superar a las resistivas; y si se igualan, la velocidad se mantiene constante. ma  m Siendo :

dv dt

 Fa  Ft   R

Fa

la fuerza aceleratriz

Ft

la fuerza tractiva

 R la sumatoria de todas las fuerzas resistivas XI-1.3) Resistencias al movimiento Tanto el conjunto de las unidades que constituyen el tren como cada una de ellas individualmente oponen al movimiento una serie de resistencias que es necesario conocer a fin de realizar el estudio del movimiento del tren. Si el tren marcha sobre un trayecto de características constantes, como ser alineación y pendiente, y a una velocidad constante, las resistencias globales al movimiento son equilibradas por el esfuerzo tractivo del vehículo motor en las llantas de los ejes motrices, si se considera el conjunto del tren incluida la unidad tractiva, ó en el gancho de tracción si se considera únicamente el material remolcado. Del mismo modo, al cambiar el régimen de marcha ó las características de la línea, la resistencia de inercia ó las correspondientes al nuevo trazado deben ser superadas por el esfuerzo tractivo desarrollado por la unidad motriz. Todas esas resistencias, que en su conjunto se denominan resistencia a la tracción, son de naturaleza muy diversa, aunque puede señalarse que son función del peso y velocidad del tren y son atribuibles a causas de carácter interno y externo. Las causas internas dependen de las características constructivas de los vehículos y de la vía, mientras que las externas de la configuración del trazado de la vía, como ser alineación y pendiente, y de las condiciones atmosféricas en que se mueve el tren. Las resistencias globales a la tracción están constituidas por las resistencias elementales que pueden ser divididas en tres grandes grupos, a saber ►

►

►

Resistencias al avance resistencias a la rodadura ó mecánicas, y ■ resistencia del aire ■ Resistencias locales rampas, ■ pendientes, y ■ curvas ■ Resistencias de inercia cambios de la velocidad. Resulta de la energía necesaria para comunicar al tren ■ su velocidad de régimen partiendo del reposo ó al efectuar un cambio en el 211



régimen de marcha. Este gasto de energía se refiere tanto a la velocidad de traslación del tren como a la rotación de las partes giratorias (ruedas, motor de tracción, etc.) tanto de la unidad motriz como del tren remolcado. Las resistencias a la rodadura se expresan en kg ó en Newton. A veces se trabaja con la resistencia específica, que se obtiene dividiendo la resistencia a la rodadura por el peso del vehículo expresándose entonces en kg/ton ó N/ton.

XI-1.3.1) Resistencias al avance: a la rodadura o mecánicas Rozamiento en las cajas punta de eje R

 1.000.P  P0 .f .

r Ri

donde ●

● ● ● ●

●

r es el radio del eje en el círculo de rodadura (m), Ri es el radio de la llanta ó rueda (m), P es el peso total del vehículo (ton), P0 es el peso no suspendido (ton), f es el coeficiente de fricción entre el cojinete y la punta del eje, y R es la resistencia (kg ó N).

El peso no suspendido incluye a la masa que se encuentra por debajo de los boggies; por ejemplo los ejes, las cajas de grasa, las cajas de tracción, los motores eléctricos, etc. El coeficiente de fricción es función del tipo de caja, por ejemplo caja de bronce, cojinetes, etc., y también del peso sobre la caja, de la velocidad, de la viscosidad del aceite, de la humedad y de la temperatura exterior. La experiencia muestra que la resistencia a la rodadura disminuye dentro de ciertos límites cuando aumenta la temperatura del aceite y es tanto más pequeña cuanto mayores son las cargas y la tara de los vehículos. La resistencia es máxima en el arranque y disminuye rápidamente hasta alcanzar un valor mínimo a 25Km/h; es tanto mayor cuanto más baja es la temperatura exterior y más prolongada la parada del vehículo previo al arranque. Se tienen varias formulaciones de origen experimental. Por ejemplo, para un material articulado de 4 ejes, la resistencia puede calcularse como R = 0,65.P + 52,8 (kg); mientras que para vehículos de N ejes, Davies establece que R = 0,65.P + 13,2.N. En el gráfico siguiente, se observa que R es función del peso del vehículo. Por otro lado, r es función de la velocidad del vehículo. La resistencia al arranque en vehículos con cojinetes es del orden del 100 % menor que en las cajas de bronce; a 25 km/h es del orden del 50 al 80 % menor; a 50 km/h del 20 % y a velocidades del orden de 100 km/h del 5 %. El coeficiente de fricción (f) en cajas con rodillos (cojinetes) varía entre 0,0015 a 0,002.

212



Resistencia a la rodadura La resistencia a la rodadura es provocada por la compresión del riel bajo la carga de la rueda. La rueda y el riel se deforman hasta que existe una superficie de contacto suficiente para soportar la carga. La deformación es más ó menos elástica, pero no lo suficiente como para que al volver al estado inicial se libere toda la energía absorbida durante la deformación. Una parte de esa energía de disipa en forma de calor y otra parte en desintegración. Las ruedas después de cierto recorrido acusan cierta elevación de la temperatura y además la disminución del peso del riel y de la rueda confirman la existencia de una desagregación del material. La fuerza de tracción necesaria (R2) y la depresión del metal en el punto considerado ( ) verifican la relación R2

 P.

2. R

Si la dicha fuerza es proporcional al peso, puede definirse un coeficiente de proporcionalidad ( ) entre ellos, obteniéndose la fórmula de Dupuit que indica 

2. R

La resistencia específica r2 vale 1.000. . El valor de la depresión depende de la naturaleza de los metales de la rueda y el riel, y es del orden de 18 x 10 -10m. Para ruedas de 1 m de diámetro resulta que  = 8,65 x 10 -5 y r2 ≈ 0,1 kg/ton, aproximadamente.

Resistencia debida a los choques y deformaciones de la vía Al pasar por las juntas las ruedas sufren choques cuya importancia depende de la luz entre las juntas. Estos choques producen una pérdida de fuerza viva y por lo tanto implican una resistencia suplementaria a la tracción.

213



En el dibujo anterior, la velocidad absoluta del punto M es V A = (V/R)AM. Al pasar la junta, el centro de rotación pasa del punto A al B, y la velocidad absoluta del punto M es entonces VB = (V/R)BM. De este modo, la disminución de velocidad es VA

V  V  VB    .    R  AmBM R

Por lo que la disminución de fuerza viva para una junta es 2

dW



1  V  . .  .dM  W 2  R 

2



2

1  V  1  V  P . .  .M  . .  . 0 2  R  2  R  g

Este valor multiplicado por el número de juntas es igual a la disminución de fuerza viva debida a las juntas. La integral se hace para toda la masa no suspendida. En cuanto a la masa suspendida, la pérdida de energía viene representada por el trabajo de los resortes de suspensión, correspondiente al descenso de la rueda en la discontinuidad, pero adquiere valores despreciables. Si se tiene un recorrido con rieles de longitud (l) conocida en el que entran un número (n) de juntas también conocido, el esfuerzo resistente, que aplicado en las llantas da lugar a un trabajo equivalente, es calculable por 2

2

1  V  P0 1  V  P . .  . .n  R 3 .n.l  R 3 kg   . .  . 0 2  R  g 2  R  g.l

Y la resistencia específica es 2

1.000 1  V  P0 r3 kg t   . . .  . P 2  R  g.l

siendo en general el valor de r 3 muy pequeño. Wilson experimentalmente da para estas resistencias valores del orden de 0,125 a 0,25 kg/ton.

Resistencias debidas a las pérdidas de energía en los aparatos de tracción y en las suspensiones Las resistencias debidas a las pérdidas de energía en los aparatos de tracción y en las suspensiones son de difícil determinación y lo más importante es reducirlas al mínimo posible.

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Acción del viento lateral Se supone que la acción del viento lateral es perpendicular al tren y se manifiesta por el esfuerzo que provoca sobre la superficie lateral que ha llegado en ciertos casos a volcar vehículos livianos de gran superficie. El empuje lateral provoca, una vez vencido el rozamiento rueda – riel, que las pestañas rocen contra el riel en el punto A de la siguiente figura

El punto C es el centro instantáneo de rotación. El esfuerzo de rozamiento que va dirigido en sentido contrario al del movimiento vale el producto de la fuerza F y el coeficiente de rozamiento f. El esfuerzo de traslación extra que es necesario aplicar en el centro de la rueda para superar esa resistencia vale R5.R = f.F.z. El esfuerzo F totaliza al empuje del viento sobre todos los vehículos del tren Por ejemplo, para un tren con 10 vagones de 20 m de longitud por 2,5 m de altura y suponiendo un viento violento que ejerza una presión de 80 kg/m 2, tomando 2 cm como valor de z, 0,50 m para R y 0,25 para f, se tiene que F = 10 x 20 x 2,5 x 80 = 40.000 kg y que Rv = ( 40.000 x 0,25 x 0,02 ) / 0,5 = 400 kg. Si el tren pesa 400 ton, tiene una resistencia específica (r5) de 1 kg/ton.

Resistencia del aire La resistencia del aire es una de las mayores a considerar y es el resultado de una serie de fenómenos complejos como son ►

la compresión frontal del aire en la cabeza del tren,

►

la deflexión de los filetes fluidos y su rozamiento con las caras laterales del tren,

►

la depresión de la cola del tren, y

►

la formación de torbellinos en diferentes lugares del tren.

Para la compresión frontal del aire en la cabeza del tren conviene aplicar la fórmula de Newton R = ½.(C. .v2.s), en que C es un coeficiente adimensionado que depende de la forma del cuerpo, de la naturaleza de su superficie y del número de Reynolds,  es la masa específica del aire expresada en kg2 /m4 que vale 0,123 a 20ºC, v es la velocidad relativa entre el vehículo y el aire en m/s, y s es la superficie máxima expuesta a la corriente del aire en m2. Cabe recordar que el número de Reynolds se calcula como R = dl/  donde dl designa una medida de longitud característica para una forma geométrica dada y  es la viscosidad del aire en m 2 /s. Los valores de s y .V2 se determinan fácilmente, el problema es determinar el valor de C.

215



Se ha observado que C es función de s aumentando con ésta y con el perímetro de la superficie puesta en contacto con el aire, con lo que en forma empírica se llega a una expresión R (kg) = 0,0062.s.V 2, si la velocidad se expresa en km/h. Para calcular s se toma 1,1 veces la proyección de la superficie frontal de la locomotora sobre un plano perpendicular al eje longitudinal de la misma. Para vehículos remolcados se toma s de 0,5 a 0,56 m 2 por cada vagón cerrado; de 0,32 a 0,40m 2 por cada vagón abierto y cargado; de 1,00 a 1,62 m 2 por cada vagón abierto y vacío; y de 1,70 a 2,00m 2 para el vagón ó furgón de cola. La deflexión de los filetes fluidos y su rozamiento con las caras laterales del tren, es la resistencia lateral y obedece a la existencia de espacio entre vagones consecutivos y al rozamiento del aire contra las paredes laterales. La fórmula de Zahn da para esa resistencia adicional el valor R = 0,00003.A.v.1,85 en que A es la superficie lateral en m2, y v la velocidad en km/h. Habitualmente se supone una superficie suplementaria de 0,1 a 0,2 m2 para cada vehículo no sujeto a la acción directa del aire y llevar ese valor adicional de la superficie al valor s de la fórmula de Newton ya vista para el caso anterior. Cuando se tiene en cuenta el efecto de la depresión de la cola del tren, el efecto de succión producido por el vacío formado atrás del último vehículo, provoca una resistencia que se disminuye afinando la cola. Un sólido de mínima resistencia sería el de la figura siguiente

En general se ensayan en túneles aerodinámicos ó túneles de viento, en los que se hace el ensayo sobre modelos de gran tamaño ó incluso el propio vehículo.

XI-1.3.2) Resistencias locales Por acción de la pendiente Expresando el gradiente (i) en ‰, se tiene que la re sistencia

local por acción de la

pendiente es r6 = i (kg/ton).

Ri

 P.sen 

P.tg 1  tg

2





P.i 1 i

2

 P.i

Resistencia debida a las curvas La resistencia debida a las curvas se origina por tres razones principales: solidaridad de las ruedas y los ejes, paralelismo entre los ejes en el bastidor rígido del bloque ó de la caja, y la fuerza centrífuga no compensada.

216



En primer lugar, la solidaridad de las ruedas y los ejes da lugar a un deslizamiento horizontal. Prescindiendo de la conicidad y siendo t el ancho de la vía, la diferencia de caminos recorridos es 2. (R + t/2) - 2. (R - t/2) = 2..t, que resulta independiente del radio de la curva. Cuando el vehículo avanza 1 m sobre una curva de radio R, la diferencia de camino recorrida por ambas ruedas es (2. .t) / (2..R) = t / R. Suponiendo que el deslizamiento tiene lugar en un solo lado del vehículo, y por lo tanto bajo la carga P/2, la fuerza de rozamiento es f.P/2 y su recorrido por unidad de longitud. Así, el trabajo realizado por dicha fuerza es P.f.t / 2.R, que es la resistencia buscada.

En segundo lugar, el paralelismo entre los ejes en el bastidor rígido del bloque ó de la caja da lugar a un deslizamiento transversal. Un vehículo de base rígida b describe una circunferencia completa de radio R, que desde el punto de vista del rozamiento equivale a un giro completo alrededor del centro geométrico con un radio de giro de t 2  b2 ; el trabajo consumido por el rozamiento es 2.

 b2

t2

2

.P.f 2 P.f 2.. t 2

 b2

luego, dividiendo por 2. .R se tiene el valor de la resistencia en el recorrido de 1 m. Por último, la fuerza centrífuga no compensada origina el rozamiento de las pestañas sobre el riel, que está dada por P V  V0 .f . g R 2

2

pero ésta por dar valores muy pequeños se desprecia frente a los demás. En conjunto, todo esto da lugar a la resistencia total en curva que resulta función de la base rígida, del radio de curvatura, y de la trocha. El valor del coeficiente de fricción (f) es muy variable, dependiendo entre otras cosas de la velocidad y el estado higrométrico de la atmósfera. Como valores extremos pueden tomarse 0,33 (330 kg/ton) para rieles secos y limpios en verano, y 0,10 (110 kg/ton) para rieles húmedos en invierno. Como valor promedio se toma f entre 0,2 y 0,25. Existen fórmulas experimentales para determinar la resistencia específica r, a saber ►

►

►

►

Desduits: rc = 500.t / R, siendo t la distancia entre zonas de apoyo de las ruedas. Un valor corriente para la trocha media de 1.435 mm es tomar r c = ºC x 0,65, y como además ºC = 1.145 / R se tiene r c = 750 / R Röckl: rc = 500 / (R - 30) para R ≤ 250 m; r c = 530 / (R - 35) para 250 m ≤ R ≤ 350 m; y rc = 650 / (R - 45) para R > 350 m. Von Borries: rc = (4.b + b2) / (R - 45) haciendo intervenir la base rígida b.

217



La resistencia en curva disminuye cuando los rieles están húmedos ó engrasados, de donde surge la necesidad de engrasadores automáticos instalados en las curvas. AFE utiliza la fórmula de Desduits como resistencia específica, aunque cada vez se utiliza más la correspondiente a pendiente y curva.

XI-1.3.3) Resistencias de inercia Cuando el movimiento es variable, es decir en aceleraciones ó deceleraciones, intervienen las fuerzas de inercia que actúan como fuerzas resistentes, si la velocidad es creciente, ó como esfuerzo propulsor, cuando la velocidad decrece. Esto ocurre tanto en los arranques como en las detenciones así como en los casos de variaciones de velocidad. Estas resistencias tienen como expresión Rkg   m.

dV dt



1.000 .W dV . g dt

Si la aceleración se expresa en cm/s2 y el peso del tren en kg, se tiene que R = W.a, o sea r (kg/ton) = a (cm/s2). Así, la resistencia específica es de 1 kg/ton por cada cm/s 2 de aceleración. Sin embargo, la energía cinética suministrada al tren no es solamente la relativa al movimiento de traslación, que se expresa como Ec = ½.m.v2, sino también la correspondiente a las masas que están animadas de un movimiento de rotación como por ejemplo las ruedas, ejes, cajas cónicas, motores eléctricos, etc. Esta expresión E’c vale ½.I.2, siendo I el momento de inercia de todas las masas giratorias y  su

velocidad angular. Llamando  al radio de giro relativo al eje de rotación, se tiene que I = m. 2, o sea E’ c puede calcularse como ½.m.(.v/r)2. Tomando una masa ficticia m e que esté animada de una velocidad de traslación v y cumpla la condición m e = m.( /r)2, puede reescribirse la 2 expresión de E’c como ½.m e.v , y en consecuencia Et = Ec

+ E’ c

= ½.(m + me).v2 = ½.m.v2.(1+me/m) = ½.m.v2.

donde el factor  es el coeficiente de inercia y se calcula por 1 + me /m. En el valor m e se comprenden todas las masas giratorias del tren, que deben reducirse al diámetro 2.r de las ruedas motoras. Los valores de  varían de 1,25 a 1,35 en locomotoras eléctricas, de 1,15 a 1,20 en locomotoras a vapor, y de 1,05 a 1,10 en locomotoras diesel, tanto eléctricas como hidráulicas. En la expresión del peso de la locomotora (P), es necesario tomar el valor .P para este cálculo.

XI-1.4) Resistencias globales al movimiento La suma de todas estas resistencias dan para la resistencia específica global del tren una expresión de la forma r (kg/t) = a + b.v + c.v 2, y para la resistencia total otra de la forma R (kg) = a.P + b.v.P + k.v 2. Pero en la realidad se ha observado que esta fórmula no suministra datos exactos; en ese sentido la experiencia ha demostrado que la pérdida total de energía en el remolque de un tren es notablemente superior a la suma de las pérdidas elementales. Por otro lado ha sido siempre de interés ferroviario poder expresar la resistencia global de un tren por una fórmula matemática lo más sencilla posible del tipo a + c.v2 ó a + b.v + c.v 2, en las cuales los coeficientes sean constantes ó por lo menos independientes de la velocidad. 218



Estas fórmulas deducidas por interpolación de los resultados obtenidos en ensayos, son útiles y necesarias pero no deben ser consideradas como fórmulas ó leyes estrictas dado la heterogeneidad de sus componentes y su relativa precisión. Deben pues considerarse como fórmulas empíricas y aplicables solamente en condiciones similares a aquellas en que fueron deducidas. El término c.v2 comprende a la resistencia del aire y el coeficiente c depende de la forma de los vehículos y es independiente del peso. El termino a + b.v representa la resistencia mecánica. El coeficiente a, que es función del peso y no rigurosamente constante, comprende la resistencia en la llanta y una parte del rozamiento en las puntas de eje; la otra parte está incluida en el término b.v, a la que se agregan las resistencias proporcionales al peso y a la velocidad, como podría ser el rozamiento de las pestañas y los diversos choques y oscilaciones.

XI-1.4.1) Resistencia de los vehículos Los tres factores fundamentales que intervienen en la resistencia de los vehículos son la influencia de la carga, la influencia del número de vehículos y la influencia de las condiciones atmosféricas. Admitir que los coeficientes sean constantes en la expresión r (kg/t) = a + b.v + c.v 2 implica que la resistencia de un tren es proporcional a su peso. Pero en los numerosos ensayos realizados se ha observado que la resistencia específica de los vehículos pesados es menor que la de los livianos y menor la correspondiente al vehículo cargado que descargado. De las experiencias en EE.UU. con vagones de mercadería de 4 ejes, en horizontal y en recta con velocidades por debajo de los 40 km/h se observa que la resistencia específica de un vagón cargado es un 60 % de lo que le corresponde cuando está vacío, suponiéndose que esta disminución es debida a que el rozamiento de las pestañas disminuye cuando aumenta la carga. En definitiva, la resistencia total de un vagón de mercadería cuando la velocidad es reducida tiene la forma R (kg) =  + .P, es decir r (kg/ton) =  /P + , que prácticamente es el valor del coeficiente a en la fórmula general. Un ejemplo de este tipo es la fórmula de la Pennsylvania RR, que dice r (kg/t) = 1,16 + 32/P. Para velocidades de 1 a 3 km/h, (estaciones de clasificación) la diferencia es aún mayor, llegando hasta 3 veces mayor la resistencia específica para el material vacío que para el cargado. Otras fórmulas incluyen el efecto de la velocidad, como por ejemplo la fórmula de Parodi, que indica la relación entre la resistencia específica y el peso (P) del vagón y la velocidad (V) en km/h, según r (kg/ton) = (1,13 + 15/P).(1 + V2 /4.000) En experiencias realizadas se ha observado que el número de vehículos posee una influencia considerable sobre el valor de la resistencia, disminuyendo ésta a medida que aumenta aquél. En EE.UU., se admite que el empuje del aire sobre un coche remolcado es 1/10 del correspondiente al coche aislado; el término V 2 de la fórmula general toma entonces la forma V 2  n  1  c.s. .1   P  10 

La resistencia de las condiciones atmosféricas es mayor en invierno que en verano, alcanzándose el mínimo de resistencia a una cierta distancia del arranque. Para la resistencia global de los trenes de mercadería a pequeña velocidad la AREA da estimaciones de la resistencia en función del peso (P) en ton y el número de vehículos (n) según la temperatura ambiente. Así, para temperaturas por debajo de – 18ºC, r = 2,7 + 78.n/P; y para temperaturas por encima de – 7ºC, r = 1,1 + 55.n/p. 219



Fórmula de General Electric

r



23,8 P1 2

 0,0093 .V  0,00377 .s.

V 2  n  1  .1   P  10 

Representación gráfica

XI-1.4.2) Fórmulas de Davies 13,16 r  0,65  P

V2  0,0093 .V  0,00453 .s. WL

►

Para locomotoras Diesel

►

Para vagones de carga r  0,65  13,16  0,0141 .V  0,000944 .s. V P

►

2

WL

Para salones de pasajeros r  0,65  13,16  0,0093 .V  0,000639 .s. V P

2

WL

Para resistencias específicas, hoy en día se aplican las fórmulas de Davies, que permiten calcular la resistencia específica (r), en kg/ton, en función del peso por eje del vehículo (P) en ton, el peso total del vehículo considerado (W), la velocidad del vehículo (V) en km/h, y la superficie frontal del vehículo considerado en m 2 (S).

XI-2) COTA DE VELOCIDAD La energía cinética es la capacidad de ejecutar un trabajo; para el desplazamiento de un vehículo la energía cinética de traslación es ½.m.v 2, estimando un incremento de un 5 a un 10 % debido a la energía necesaria para la rotación de las ruedas y partes rotatorias. La energía potencial de un vehículo es el producto de su peso (W) por la altura (h) a la que está ubicado y le permite alcanzar más abajo una velocidad dada al transformarla en cinética de traslación y de rotación. En unidades métricas, W.h  1 . W .v 2  10% . 2

2 g

Expresando la velocidad en km/h y la aceleración de la gravedad en m/s se tiene que h = 0,00433.v 2 v = 15,5 h ½

El valor de h es la altura que puede alcanzar una locomotora llegando con una determinada velocidad v al pie de una rampa, y es conocida como cota de velocidad. Análogamente, cuando se trata de una pendiente descendente, h representa la energía potencial que dispone la locomotora y que le permite alcanzar una velocidad v al pie de la rampa (h metros más abajo). Utilizando la cantidad de movimiento, se deduce que es posible vencer una pendiente total (itot) cuyo valor está dado por la expresión: itot

220

V  i  0,00433 .

i

2

 Vf 2 

L



Donde L es la longitud en horizontal, V i y Vf son las velocidades inicial y final en la rampa e ii es la rampa que puede vencer sola la locomotora por sus propios medios. O sea que un tren en movimiento posee una energía de reserva a la que puede acudirse para llevarlo más allá de una cumbre que sobrepase la capacidad de la locomotora. Se ve claramente que cuanto mayor es el salto de velocidad que se quiera llevar a cabo, mayor es la distancia a recorrer antes de lograrlo. En función de la pendiente y el peso del tren, se tiene la velocidad máxima alcanzable; pero la inercia del tren ayuda a alcanzar valores aún mayores. Las tablas dan los valores para condiciones estándar muy favorables, por lo que el extra que da la inercia se guarda a modo de reserva. Los ábacos vienen dados para cada tipo de locomotora. El tema de la pendiente hace que los itinerarios deban pensarse de ida y de vuelta, aunque en Uruguay, las pendientes no hacen que esto sea necesario.

XI-2.1) Distancia de aceleración: Como el trabajo de la fuerza aceleratriz (Fa) es igual a la energía, se tiene: T  Fa .L 





m. Vf

2

2

 Vi 2 

.1  10%   L 



1,1.1.000.Wton Vf L m  . 2.9,81 m s 2

2



W Vf  Vi . g 2.Fa

 Vi 2 m2 s 2  1 .

3,62

Fa

2

2

 .1,1 

V  4,33.

f

2

 Vi 2 .W Fa

Empleando la fuerza aceleratriz específica (F’a = Fa / W) en kg/ton, queda

L  4,33.

Vf

2

 Vi 2

F 'a

XI-2.2) Perfil de velocidades:

Perfil de velocidad suponiendo las curvas compensadas

Los cambios en la cota de velocidad representan las aceleraciones y deceleraciones. Si el tren acelera y se mantiene constante la rampa, adquiere nuevo potencial; si en la rampa se mantiene el acelerador sin mover, el tren pierde energía potencial y desacelera.

221



Si el acelerador se abre lo suficiente para vencer la Vi, la velocidad y la cota permanecen constantes. En el tramo AB, el tren acelera para mantener la velocidad requerida, es decir llegar al nivel h1 = 0,00413.V B2. En el tramo BC, se abre el acelerador lo suficiente para que h se mantenga constante bajando la velocidad, o sea que se venza la rampa y la resistencia del tren (h1 = h2). En el tramo CD, no se mueve el acelerador, pero al decrecer la rampa VD es mayor que VC. En el tramo DE, en la pendiente se cierra el acelerador y se aplican los frenos a fin de mantener la velocidad constante. (h3 = h 4) En el tramo EF el tren desacelera hasta detenerse en F (hF = 0). Si el tren acelera, el perfil virtual diverge pues h crece; si desacelera, el perfil virtual converge pues h decrece; y si se mantiene una velocidad constante, las dos rectas son paralelas y h es constante. Este perfil virtual es útil al proyectar un tren para poder armar el programa que debe seguir el maquinista ya que indica la máxima rampa que la locomotora puede circular sin problemas. Se pretende que las exigencias sobre la locomotora sean lo más uniformes posibles. Para ello, se utiliza el perfil virtual.

En este caso las exigencias del tren han sido uniformadas aprovechando la cota de velocidad almacenada en el tren u adquirida en las pendientes para llevar el tren hasta la culminación de la rampa siguiente. El tiempo (t) necesario para acelerar linealmente el tren de Vi a Vf , se calcula según  Vi  .t  2 2 2 1 Vf  Vi Vf  Vi V  Vi   t  31,7. f .t  4,33.  . 2 2 V  Vi  2 3,6 F'a F'a L  4,33. f  F'a L  Vm .t 

Vf

Si no se está andando sobre una vía horizontal, el gradiente puede ayudar ó frenar al tren. La fuerza aceleratriz efectiva se ve aumentada ó disminuida, según se esté en pendiente ó en rampa, respectivamente, en un factor numéricamente igual al gradiente expresado en por mil. De este modo, el tiempo recién calculado debe corregirse como t

 31,7.

Vf  Vi F 'a  i

En rampa, se suma el gradiente y por tanto el tiempo para frenar un tren disminuye; en pendiente, se resta el gradiente y el tiempo aumenta.

222



XI-3) CÁLCULO DE LA PERFORMANCE DE UN TREN: (TPC) XI-3.1) Introducción: Partiendo de la ecuación del movimiento (Newton) se tiene: Fa

 m.a 

W .a g

 Fa kg   1,10.

1.000 .Wton .a km h s   31,1.Wton.a km h s 9,81 m s 2 .3,6

Para la determinación de un proyecto de itinerario de un tren, se subdivide el tramo a analizar en zonas donde la aceleración se mantiene constante.

1º Caso: velocidad variable (aceleración no nula): Si la velocidad varía en un tramo, la aceleración se determina según la fórmula anterior, y a partir de ella se puede calcular el tiempo y la distancia necesarios para que dicho cambio de velocidad se lleve a cabo como vkm h  ts   a km h s  a 0 sm  v m km h.ts  3,6

2º Caso: velocidad constante (aceleración nula): Si la velocidad es constante, la aceleración es nula y el recorrido (s) efectuado en esas condiciones se determina por diferencia de postes. Además el tiempo para cubrir dicho intervalo es a

 0  ts 

3,6.sm v m km h

XI-3.2) Consumo de combustible en un trayecto: También se determina en el proyecto de itinerario el consumo de combustible utilizado, ya sea en gramos ó en litros, conociendo el peso específico del combustible, el consumo específico del motor Diesel (Ci = gr/HP.h) y la potencia disponible para la tracción P d. Para determinar esa potencia Pd se consideran los siguientes casos:

1º Caso: Si hay aceleración, P d es la máxima disponible para la tracción, o sea: a

 0  Pd 

Ft .v m 272.

2º Caso: Si no hay aceleración, se tendrán dos posibilidades dependiendo si la resistencia total del tren (RT) es positiva ó negativa: a) Si RT > 0: Existe cierta resistencia al avance, y Pd viene dada por: Pd



R T .v m 272.

223



b) Si RT  0: Se circula con el acelerador cerrado y por tanto Pd equivale a la necesaria para los equipos auxiliares. Así, el consumo de combustible es el producto de esta potencia por el consumo específico y el tiempo, o sea: Consumo = P d . Ci . t

Se denomina velocidad comercial al cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo en que se recorre.

XI-4) FRENADO Y DISTANCIA DE DETENCIÓN XI-4.1) Esfuerzo de frenado: El tren puede necesitar frenar por diferentes motivos, por ejemplo, al fin del viaje ó para no superar la velocidad máxima en una pendiente. Para que haya rodadura y no deslizamiento las fuerzas tractivas deben ser menores al producto del peso por la adherencia ( ). El esfuerzo tractivo depende sólo de la locomotora. Pero no es tan importante alcanzar variaciones de velocidades altas en poco tiempo cuando se está arrancando que cuando se está frenando. Es así que se necesita que el esfuerzo de frenado sea mucho mayor, por lo que se hace intervenir al peso de todo el tren, con lo que aparece el freno continuo

La fuerza retardadora (FR) se compone de la fuerza de frenado (F b), de la resistencia del tren (Rt) y de la resistencia compensada (incorpora las curvas) del gradiente (Ri), o sea que FR = Fb + Rt  Ri

A su vez, la fuerza de trenado puede calcularse como el producto de la presión normal de frenado (Q) y el coeficiente de fricción rueda-zapata (f z), corregido por un coeficiente de eficiencia de timonería (e), es decir Fb = Q.f z.e

El coeficiente de fricción varía con la velocidad de circulación, con las condiciones de la vía y con las climáticas también; todas estas variaciones están tabuladas. El rendimiento de timonería es de un 90 a 95%.

224



La presión nominal de frenado (Q) se establece comúnmente como un porcentaje (R) de la tara () del vehículo, es decir Q = R. , y no se distingue para cada zapata. Para locomotoras el porcentaje de frenado es de entre 85 y 90 %, mientras que para vagones es de 65 a 75 % y para salones de pasajeros es de 75 a 85 %. Se toma en función de la tara del vehículo y no del vehiculo cargado porque si se tomase como base el peso cargado, con el coche sin carga se tendría mucho esfuerzo de frenado y el tren deslizaría en lugar de rodar. En la locomotora prácticamente no hay diferencias, en los vagones sí, pero no tanta como en salones. Por ejemplo, para un tren formado por una locomotora de 100 ton y 90 % de coeficiente de frenado, y 20 vagones de 70 ton cada uno, que se dividen en 50 ton de tara y 20 ton de carga, con un 70 % de coeficiente de frenado, se tienen 20 vag x 20 ton x 0,70 = 280 ton debido a los vagones y 100 ton x 0,90 = 90 ton debido a la locomotora, es decir que en este caso Q = 370 ton. La tara del tren cargado es de 100 ton + 20 x 70 ton = 1.500 ton = , por lo que entonces el porcentaje R = 370 / 1.500 = 24,67 %. Si se trata de freno de aire comprimido, se incluye un coeficiente (p) que representa la relación entre la presión real del cilindro de freno, que es de 60 psi, y la presión de la línea de alimentación y del cilindro de reserva, que es de 90 a 100 psi para pasajeros y 70 psi para la carga. Este coeficiente, que se encuentra generalmente entre 0,7 y 1, representa la relación entre el tren en condiciones reales e ideales y varía con las condiciones de marcha del vehículo. Finalmente, la fuerza de frenado se calcula como Fb = p.R. .f z.e

Otra opción, usada generalmente en vagones, es estudiar cada cilindro de freno por separado con su relación de amplificación de palancas. Conocido el coeficiente de timonería (L), es decir la relación entre las fuerzas que hacen los cilindros y las que termina llegando a las ruedas, y la fuerza ejercida por los cilindros de freno (Fcil), es decir la presión en el cilindro por el área de éste, se tiene que la fuerza de frenado es calculable como Fb = Fcil.L.f z.e.

Como se dijo, la presión del aire comprimido puede alcanzar las 90 a 100 psi, por lo que la fuerza de frenado puede ser apreciable aún cuando el área del cilindro sea pequeña. Es así que los cilindros de freno de aire comprimido tienen unas 20 a 25 cm de diámetro. Por otro lado, los frenos de vacío trabajan con presiones por debajo de la atmosférica, por lo que el área del cilindro debe ser grande para poder lograr fuerzas significativas. Los cilindros de vacío tienen entre 65 y 80 cm de diámetro. Esta diferencia de tamaño permite distinguir a simple vista el sistema de freno.

XI-4.2) Distancia y tiempo de frenado: Si en la expresión obtenida para la distancia de aceleración L  4,33.Vf 2  Vi 2  Fa se sustituye la fuerza aceleratriz por la de frenado, se puede obtener una expresión para la distancia de frenado. Pero hay que considerar ahora un tiempo de retardo (t r) de frenado, que varía de 2 a 4 seg pues depende del número de vagones y durante el cual se recorre una distancia vm.tc, y un tiempo de reacción (t r) de 3 a 6 seg.

225



De este modo, la distancia de detención queda expresada de la siguiente manera:  vi2  L  .t r  3,6 1.000.p.R.ton.e.f z  R t  R.i vm



4,333.W. v f

2

A este valor se lo incrementa por un coeficiente de seguridad de 30 % a fin de tener en cuenta la variación del coeficiente de adherencia, el ritmo de propagación del frenado, la dificultad de no accionar todos los cilindros de la misma forma y el hecho de que no todos los maquinistas proceden de la misma manera. Además debe considerarse el tiempo (treac) que tarda en reaccionar el maquinista, que se estima entre los 0,2 a 3 seg. Así, finalmente, el espacio que recorre el tren antes de frenar totalmente desde una velocidad v dada hasta la detención total (con velocidad nula) se calcula por la formula siguiente: vm  vm 4,33.W.v 2 L  1,30. .t r  .t reac  1.000.p.R.ton.e.f z  R t  R.i  3,6  3,6

Del mismo modo, partiendo de la expresión del tiempo correspondiente a la distancia necesaria para acelerar un tren, se tiene que el tiempo que tarda un tren en detenerse desde una velocidad v es: t

  31,7.W.v  1,30.t r    t reac 1.000.p.R..e.f z  R t  R.i  

El sistema de freno puede ser eléctrico ó mecánico. El sistema eléctrico de frenado dinámico es equivalente a frenar engranado en un coche, mientras que el electromagnético emplea electroimanes que al energizarse se convierten en un polo norte que es atraído por la vía que actúa como polo sur y es muy común en ferrobuses. El freno neumático puede ser de vacío ó de aire comprimido. El de vacío se hace por diferencia con la presión atmosférica, es decir que la presión máxima que se puede lograr es de 1 kg/cm 2; en el otro caso, un compresor genera la presión en el aire que llena una cañería que alimenta un cilindro de freno, por lo que se alcanzan presiones del orden de los 7 kg/cm 2. El poder trabajar con presiones mucho mayores, ha dejado el freno de vacío de lado, aunque la principal desventaja de este sistema es que el vacío tarda mucho tiempo en recorrer todo el tren. Cuando se acciona el freno, el aire comprimido debe viajar desde la locomotora que es donde se produce hasta el último de los vagones, pero su velocidad de transmisión del orden de 0,1 seg/vagón, mientras que el vacío puede tardar hasta un minuto ó más en recorrer el tren, por lo que cuando la locomotora frena los vagones siguen y se le vienen encima provocando un descarrilamiento. El aire pasa de un vagón a otro a través de mangas. Si algún par de vagones se separa demasiado, se rompe la manga y entra aire aplicándose el freno. En salones de pasajeros se tiene un freno de emergencia que hace lo mismo que romper una manga. Originalmente las zapatas eran de fundición de hierro. Hoy son de una composición de materiales plásticos fabricados por 4 ó 5 empresas especializadas. Las de fundición de hierro son más baratas, en una relación 1 a 3, pero duran 5 veces más, por lo que las de composición tienen cierta ventaja en este sentido. Por otro lado, las zapatas de fundición provocan chispas, lo que significa un peligro. Las zapatas se dividen en dos grandes grupos: de alta y de bajo coeficiente de fricción. 226



En cálculos prácticos, según la fábrica de frenos Westinhouse, se tiene que el coeficiente de rozamiento rueda-zapata puede calcularse en función de la velocidad media como: f z

 0,27.

v m  100 5.v m  100

Según el criterio europeo, el coeficiente de rozamiento tiene en cuenta el estado del riel, (según esté seco o húmedo), de acuerdo a las expresiones siguientes: f z

 0, 45.

f z

 0, 25.

1  0, 0112.vm 1  0, 06.vm 1  0, 0112.vm 1  0, 06.vm

para rieles secos para rieles húmedos

XI-4.3)Performance del tren (proyecto de itinerario):

Curvas de tiempos en función de distancias para varios casos medidos para el caso de 4 locomotoras diesel eléctricas de 2.000 HP tirando de vagones de 50 a 70 ton

227



Curvas de velocidades en función de distancias para varios casos medidos para el caso de 4 locomotoras diesel eléctricas de 2.000 HP tirando de vagones de 50 a 70 ton

Curvas de velocidades y tiempos en función de la distancia, mostrando la performance de 4 locomotoras diesel eléctricas de 2.000 HP tirando de vagones de 50 a 70 ton

228

Dinamica de Los Trenes

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