FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO. ASIGNATURA: MECANICA DE FLUIDOS TEMA:
DINAMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS
DOCENTE: LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFO INTEGRANTES: Castillo Capuñay Jonathan. Correa Santamaría Josué. Guillén Flores Isis. Legoas Capuñay Víctor. Perez Morales Cintia. Villacrez Altamirano Sandra. Villalobos Pasapera Magaly.
FLUIDOS PERFECTOS
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CONTENIDO
INTRODUCCION ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................ ............................................. ............................ ..... 3 Dinámica de los Fluidos Perfectos ............................................ ................................................................... ............................................. .......................................... ....................4 .................................................................. ............................................ ............................................ ............................................. ............................ ..... 8 Ecuación de Bernoulli ............................................ ................................................................. ............................................ ............................................. ....................................... ................ 9 Movimiento Irrotacional: ........................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ........................................ ..................11 Movimiento Rotacional: .......................................... .......................................12 Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional o Irrotacional, ....................................... ................................................... ...... 13 Significado de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli .............................................
PROBLEMAS .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................ ............................................. ..................................... ..............20 20
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FLUIDOS PERFECTOS
INTRODUCCION
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La expresión “cantidad de movimiento” suena extraña porque hasta el mismo movimiento no existe hasta tanto no se vea el objeto moverse de un lugar a otro o rotar sobre un eje. Generalmente se asocia movimiento con velocidad.
Otro parámetro asociado a la cantidad de movimiento es la
masa. Esto significa que a mayor masa
mayor cantidad de movimiento. De igual forma si se aumenta la velocidad también aumenta la cantidad de movimiento.
Los conocimientos adquiridos hasta el momento quedan muy limitados, debido a la manera compleja que aparecen las fuerzas por lo cual se hace necesario estudiar nuevas magnitudes y principios físicos como son la cantidad de movimiento, el impulso, etc. Que veremos a continuación.
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DINÁMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS Estudiaremos el elemento diferencial ortoédrico, situado en el interior de la masa de un fluido en movimiento, sometido a las presiones que sobre sus caras ejerce el resto del fluido y a la acción de fuerzas exteriores o de masa.
⃗ ̂ ̂ Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:
p p dx x ;
p
p dy y ;
p
p dz z
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Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.
⃗
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= Resultante de la Fuerzas externas unitaria o Fuerza total externa por unidad de masa (concentrada en
el centro de gravedad de la masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico de volumen d dxdydz );
Donde
,
y
⃗ ̂ ̂ son las componentes de la fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa.
Siendo “m” la masa de una partícula en movimiento y A su aceleración interna y R la fuerza que actúa, se puede escribir:
mA
R
mA x i mA y j
mA z k R x i R y j R zk
Con relación a cada uno de los ejes se presentan las siguientes ecuaciones generales, cuando existen movimientos relativos: mAx = Rx …. (1) mAy = Ry….. (2) mAz = Rz ….. (3) Desarrollo de (1):
p pdydz ( p dx)dydz a x m mA x x
Pero: m = masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico = d UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN
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m d ……. (4) pdydz pdydz
6
p dxdydz a x dxdydz dxdydzAx 0 x
p dxdydz a x .dxdydz .dxdydzAx 0 x p (a x A x ).............(I ) x Análogamente, desarrollando (2) y (3), resulta:
p (a y A y )......... ....( II ) y p (a z A z ).............(III ) z Sumando miembro a miembro (I), (II), y (III), vectorialmente:
p p p i j k (a x A x )i (a y A y ) j (a z A z )k x y z p (a A).......( IV ) ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
La expresión (IV), constituye la Ecuación Fundamental Vectorial de la Dinámica del Fluido Perfecto. Donde: p=
presión media que actúa sobre las caras del volumen diferencial ortoédrico más próximo al origen de coordenadas.
=
densidad del fluido
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⃗
=
Fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa; que depende del volumen considerado, como por ejemplo el peso. Es una aceleración, pero externa.
A =
Aceleración (interna) de la partícula fluida.
Si A = 0, entonces:
⃗ Que es la Ecuación Vectorial General de la Hidrostática o Ecuación de Euler (no hay desplazamiento relativo).
⃗ ⃗ De la expresión (IV), despejando, A resulta:
Se conoce que:
A
v 1 2 (v ) ( v) v........(6) t 2
(6) en (5) Ecuación vectorial de la Dinámica del fluido perfecto o Ecuación de Euler:
( ) ⃗ UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN
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ECUACIÓN DE BERNOULLI
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Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente al campo gravitacional. Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la Ecuación de Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados), en movimiento permanente. En estas condiciones, de la Ecuación ( M ), o Ecuación de Euler: V 0 - t ; (Movimiento permanente; las características hidráulicas en un punto se
mantienen
constantes). - Como está sometido sólo a la acción del campo gravitacional, en estas condiciones:
Donde :
⃗ ̂ ̂ = 0
= 0
=-g
Luego:
⃗ Y que reemplazándolo en la ecuación anterior resulta: 1
1
(v 2 ) ( v) v p gk 2
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Proyectamos la expresión vectorial en la dirección dr (vector direccional de la partícula): dr
dx i dy j dz k
1
1
(v 2 ) dr ( v) v dr p dr gk dr ........( ) 2
Casos: MOVIMIENTO IRROTACIONAL: v 0 ( v) v dr 0 Luego: 1
1
(v 2 ) dr p dr gk dr ........( ) 2 1
Cálculo de: 2
(v 2 ) dr
1 (v 2 ) dr 2
1
v2 v 2 1 v 2 dx dy dz ..........(A) y z 2 x
p dr
1 p p p p dr dx dy dz ..........(B) x y z 1
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gk dr
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gk dr
gdz..........(C)
Reemplazando (A), (B) y (C) en ( ) 1 V 2
p p V2 V 2 1 p dx dy dz dx dy dz gdz y z x y z 2 x 1 2
1 2
d(v 2 )
d(v 2 )
1
1
d(p) gdz
d(p) gdz 0
Dividiendo entre “g”:
dz
1
d(p)
1 d(v2 ) 2
g
0
Ecuación diferencial de Bernoulli, se utiliza tanto para líquidos y gases.
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MOVIMIENTO ROTACIONAL:
v y dr
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son vectores paralelos (tienden a ser colineales). Es decir que dr se considera tangente a la
línea de corriente y por lo tanto paralelo o colineal con v . De la ecuación de Euler ( ): 1
1
(v 2 ) dr ( v) v dr p dr gk dr ........( ) 2
( v) v dr Desarrollo del término : ( v) v dr De la figura se observa que los vectores y ; son ortogonales, por lo tanto por definición de
( v) v dr producto escalar: =0 Por lo tanto la ecuación de Euler( ) se reduce a la expresión( ): 1
1
(v 2 ) dr p dr gk dr ........( ) 2 Cuyo desarrollo es el mismo para el caso del Movimiento Irrotacional; es decir, la Ecuación Diferencial de Bernoulli:
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dz
1
d(p)
1 d(v2 ) 2
g
0
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FLUIDOS LÍQUIDOS (INCOMPRESIBLES), EN MOVIMIENTO ROTACIONAL O IRROTACIONAL, Enmovimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo gravitacional. = Cte. (si no habría que expresarlo en función de “ ”)
z
p
v2 2g
Cte.
Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli, o Ecuación de la Energía para un fluido incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una corriente líquida será:
z1
p1
2
v 1 2g
z2
p2
2
v 2 2g
Cte.
“A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas cinéticas (V2/2g), piezométricas (p/ ) y potencial (z) es constante” El Teorema de Bernoulli no es otra cosa que el principio de Conservación de la Energía. Cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de Energía o la capacidad de producir trabajo: z = Energía de posición o potencial o carga de posición p
= Energía de presión o piezométrica o carga de presión. UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN
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v2
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2g = Energía cinética o carga de velocidad.
SIGNIFICADO DE CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Primer Término: (z)
Es una cota, o sea la distancia de un plano “P” a un cuerpo “M”. Imaginemos que el cuerpo tiene una masa “M” y un peso “W”. Por su posición respecto a “P” este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a “P”. Siendo la energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de una posición en su plano a otro plano, tenemos: Ep = W z Cuando W = 1, ya sea un kilogramo o una libra; la energía de posición del cuerpo es “z”. UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN
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“z” representa entonces la energía de posición de un kilogramo o una libra de agua. Ep = z = Energía potencial o de posición por unidad de peso.
Segundo Término: (V2/2g)
Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una velocidad “V”, que desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia sabemos que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su movimiento; entonces la energía cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo, estará medida por la relación:
m
Ec
V2 2
Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:
Ec
W V2 g 2
Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es: UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN
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Ec
V2
15
2g
Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la energía cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama carga de velocidad.
Tercer Término: (p/ )
Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y conteniendo una cierta cantidad de agua. La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos “p” y que es igual a: p = F/S. Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la presión “p”, si abrim os la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que significa que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le da el trabajo producido por “F”. Llamando “L” a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la energía que pueda poseer el líquido por la acción de “F” vale: Ep = F L
;
pero F = p S UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN
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Ep = p S L
;
pero S L =
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Ep = p Pero también:
p
Ep =
W
,
luego:
W
W
;
cuando W = 1 (kg o lb)
Ep
p
Esta última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior pero es cómodo considerarla como poseída por aquel.
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PROBLEMAS
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EJERCICIO 01: En la figura, el fluido es agua y se descarga libremente a la atmósfera. El gasto es de 15 kg/s, determine la presión en el manómetro, P2 =
.
Q= V.A
Por Bernoulli:
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Nos piden Prion manométrica: Si sabemos que: Pman = Pabs – Pamb Pman= 242464.6Pa – 100000Pa
Pman= 142464.6Pa = 142.46 Kpa
EJERCICIO 02: De un depósito sale una tubería de 10" de diámetro, la que por medio de una reducción pasa a 5" descargando luego libremente en la atmosfera. El gasto a la salida es de 105 lts/seg. Se pide calcula PB = 0r: a) La carga de presión en la sección inicial de la tubería. b) Altura del agua en el depósito, medida sobre el eje de la tubería. Z
0 10"
h A
5"
B
a) La presión en la sección inicial de la tubería: Tenemos que: Q= 105 Lts/seg 3
Transformando a m /seg: 3
Q= 0.105 m /seg. Por continuidad sabemos:
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Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B:
Dónde:
;
Remplazando (1) y (2) en (3)…………………… tenemos:
b) Altura del depósito:
Tomando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 y B, que como están sometidos a la presión atmosférica, obtenemos:
√
O sea que la altura del depósito es la carga de velocidad
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EJERCICIO 03: Una tubería horizontal de 20 mm de diámetro conduce agua con una velocidad de 1 m/s. LA presión en la entrada es de 10000 Pa. En la salida hay un estrechamiento de 10 mm de diámetro. Si se desprecia el rozamiento, calcule la presión de salida. Densidad del agua 1000kg/m3.
Por continuidad: Q1=Q2 V1.A1=Q2
Sabemos que: Q2 = V2.A2
V2= Q2/A2
Por Bernoulli: UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN
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Z1 = Z2 =0
Despejamos P2
P2 = 2500 Pa
Ejercicio 04: Una vena líquida es descargada verticalmente hacia abajo por un tubo de 2cm. De diámetro. A 0.25m por debajo de la boca de descarga el diámetro de la vena se ha reducido a 1cm. Calcular el caudal descargado por el tubo
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Aplicando Bernoulli entre los puntos A y B, teniendo presente que como e stán sometidos a la presión atmosférica, sus presiones son 0.
Por continuidad:
Reemplazando (2) en (1) y como:
Se mantiene:
Entonces:
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