: Dr. Dr. Oscar Adrián Morales C.
[email protected] Agosto – Noviembre 2013.
Unidad II.- Análisis dimensional y semejanza hidráulica. 1. Homogeneidad dimensional. 2. Dimensiones y unidades. 3. Teorema de Pi. 4. Análisis adimensional adimensional de ecuaciones rectoras. 5. Estudio de modelos de similitud. 6. Flujo laminar y turbulento. 7. Número de Reynolds. 8. Ecuación de Bernoulli. 9. Ecuación de la energía.
Unidad II.- Análisis dimensional y semejanza hidráulica. 1. Homogeneidad dimensional. 2. Dimensiones y unidades. 3. Teorema de Pi. 4. Análisis adimensional adimensional de ecuaciones rectoras. 5. Estudio de modelos de similitud. 6. Flujo laminar y turbulento. 7. Número de Reynolds. 8. Ecuación de Bernoulli. 9. Ecuación de la energía.
Yo soy un hombre viejo, y cuando me muera y vaya al Cielo hay dos cuestiones sobre las que espero la iluminación. Una de ellas es la electrodinámica cuántica y el otro es la turbulencia. Sobre el primero, estoy muy bastante optimista. Sir Horace Lamb 1849 - 1934
Flujo laminar y flujo turbulento. El flujo laminar se define como el flujo en el cual el fluido se mueve en capas o laminas, que se deslizan suavemente una sobre otra adyacente, únicamente con intercambio molecular de momento. Cualquier tendencia a la inestabilidad y la turbulencia son atenuadas por las fuerzas viscosas. Sin embargo el flujo turbulento es el movimiento de un fluido que se da en forma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos
Número de Reynolds. El comportamiento del fluido, particularmente con respecto a las pérdidas de energía, depende bastante si el flujo es laminar o turbulento. Por esta razón es deseable tener medios para predecir el tipo de flujo sin tener necesidad de observarlo. Por lo que se puede demostrar experimentalmente que el carácter del flujo en un conducto redondo depende de 4 variables; la densidad del fluido (ρ), la viscosidad del fluido (µ), el diámetro del conducto (D o ø) y la velocidad promedio del flujo (Uprom). Osborne Reynolds fue el primero en demostrar que un flujo laminar o turbulento puede ser predicho si se conoce la magnitud de un número adimensional, conocido ahora por su nombre, el cual se calcula como: U pr om U pr om Re
v
kg Re
U pr om
m
*m* 3
m s
kg m s
1842 - 1912
Experimento de Reynolds:
En las imágenes se presenta el experimento que realizó Osborne Reynolds en 1883 en su investigación para demostrar la estabilidad del flujo en un conducto, en a) se observa el flujo laminar, en b) flujo en transición y en c) el flujo turbulento. El aparto original presentado en la figura superior aun existe en la Universidad de Manchester
Número de Reynolds critico. Para aplicaciones practicas en flujos de conductos, si el número de Reynolds es menor a 2300, se considera flujo laminar. Si el número de Reynolds es mayor a 4000 se puede suponer que es flujo turbulento. En el intervalo de número de Reynolds comprendido entre 2300 y 4000, es imposible predecir que tipo de flujo existe, por consiguiente, este intervalo se conoce como región critica. Las aplicaciones típicas involucran flujos que se encuentran bien colocados en el intervalo de los flujo laminares o turbulentos, por lo que esta región de incertidumbre no ocasiona gran dificultad.
Ejercicio 1: Determine si el flujo es laminar o turbulento, si fluye glicerina a 25°C en un conducto cuyo diámetro interior es de 150 mm. La velocidad promedio del flujo es de 3.6m/s. Re
Re
U pr om
(1258kg / m3 )(0.15m)(3.6m / s ) 9.60 x101 Pa s kg
( m)
m
N
3 2 m s m Re N s N
m2
m2
Re 708
La tabla maneja propiedades de fluidos a 25°C.
Ejercicio 2: Determine el intervalo de velocidad promedio para el cual un flujo estaría en la región critica si aceite SAE 10 a 60°F fluye en un conducto de acero de 2” calibre 40. El aceite tiene una gravedad especifica de 0.89 Ejercicio 3: Un conducto de 4” de diámetro lleva 0.20 pies³/s de glicerina (Sg =1.26) a 100°F. ¿Es el flujo laminar o turbulento? Ejercicio 4: Aire a condiciones estándar fluye a través de una tubería de 1 pulg de diámetro y la velocidad promedio es de 1 pie/s. ¿El flujo laminar o turbulento? Ejercicio 5: Calcule el máximo flujo volumétrico de combustóleo a 45°C, en la que el flujo permanecerá como laminar en una tubería de 100 mm de diámetro. Para el combustóleo utilice sg = 0.895 y viscosidad dinámica = 4.0 x 10-² Pa-s.
Ejercicio 2: Determine el intervalo de velocidad promedio para el cual un flujo estaría en la región critica si aceite SAE 10 a 60°F fluye en un conducto de acero de 2 ” calibre 40. El aceite tiene una gravedad especifica de 0.89 El fluido estaría en la región crítica si 2300 < Re < 4000, así que se despeja la velocidad de la ecuación del número de Reynolds: Re U pr om
De las tablas se conoce que:
ø = 0.17 pies µ = 2.10 x 10-³ lb-s / pies² ρ = (Sg) *(1.94 slug/pie³) = 1.73 slug/pie³
Para flujo laminar: U pr om
(2.1 x103 lb s / pie 2 )(2300) 3
(1.73 slug / pie )(0.17 pies )
U pr om 16.4 pie / s
Para flujo turbulento: U pr om
(2.1 x103 lb s / pie 2 )(4000) (1.73 slug / pie3 )(0.17 pies )
U pro m 28.2 pie / s
Ejercicio 3: Un conducto de 4” de diámetro lleva 0.20 pie/s de glicerina (Sg =1.26) a 100°F. ¿Se tiene flujo laminar o turbulento?
ø = 4 / 12 pies = 0.333 pie. µ = 7 x 10-³ lb-s / pie²
Datos:
ρ = (Sg) *(1.94 slug/pie³) = 2.44 slug/pie³
De la ecuación de continuidad: Q 0.20 pies 3 / s 0.20 2.3 pies / s U pr om 2 A (0.333 pie) / 4 0.087
El numero de Reynolds es: Re
U pr om
Re
2.3 * 2.44 * 0.333 1.84 263 3 7 x10 0.007
slug kg 514.4 3 1 3 pie m
Variación de la viscosidad con la temperatura. Análisis dimensional.
Re
U pr om
pie slug pie 3 s pie Re lb s pie 2 slug pie 2
pie 3 s lb s
slug pie s lb s
pie 2
slug pie 2 lb pie s 2
pie 2
slug slug lb s 2 slug pie
slug pie lb s 2
Ejercicio 4:
Aire a condiciones estándar fluye a través de una tubería de 1 pulg de diámetro y la velocidad promedio es de 1 pie/s. ¿El flujo laminar o turbulento?
ø = 1 / 12 pulg = 0.083 pie. µ = 1.8 x 10- N-s/m² (3.76 exp-7 lbf --s / pies²)
Datos:
u = 1 pie/s
La densidad se obtiene de la ecuación de gas ideal:
aire
P RT
2116.8
53.3
pie lb lbm
R
lb pie 2
0.077
* ( 460 54) R
lbm pie 3
El número de Reynolds se obtiene sustituyendo en la ecuación: Re
U pr om
0.077
lbm
pie
pie
s
* 0.083 pie *1 3
3.76 x10
7
lb f s pie 2
x
slug
x
lb f s 2
32.2lbm slug pie
531
Ejercicio 5: Calcule el máximo flujo volumétrico de combustóleo a 45°C, en la que el flujo permanecerá como laminar en una tubería de 100 mm de diámetro. Para el combustóleo utilice sg = 0.895 y viscosidad dinámica = 4.0 x 10-² Pa-s.
ø = 100 mm = 0.1 m.
Datos:
A = 0.00785 m² µ = 4.0 x 10-² Pa-s. sg = 0.895
La densidad se obtiene:
c
= a (sg) = 1000 * 0.895 = 895 kg / m³
Se obtiene la velocidad del número de Reynolds máximo: U pr om
Re
2300 * (4.0 x102 ) 895 * (0.1)
1.03
m s
El gasto se obtiene de la ecuación Q = U x A, sustituyendo los valores se tiene: m m3 2 Q U pr om * A 1.03 * (0.00785m ) 0.0081 s s
Radio hidráulico para secciones no circulares. Todos los ejemplos vistos hasta ahora son aplicables para flujo en conductos circulares “llenos”, es decir, la dimensión característica de la trayectoria del flujo es el diámetro interior. Sin embargo, muchos problemas prácticos en ingeniería implican el flujo en secciones transversales no circulares.
En las siguientes figuras se muestran secciones transversales típicas no circulares cerradas.
La dimensión característica de las secciones transversales no circulares se conoce como radio hidráulico (R), definido como el cociente del área neta de la sección transversal de una corriente de flujo entre el perímetro mojado (PM) de la sección, esto es: A R PM
La unidad para R en el sistema internacional es el metro, y en el sistema ingles se expresa en pies. El perímetro mojado (PM) se define como la suma de la longitud de los limites de la sección que realmente están en contacto con el fluido. La manera es que se calcula el número de Reynolds en secciones no circulares se calcula de manera similar a la usada para conductos y tubos circulares, el único cambio es la sustitución del valor del diámetro con 4R: Comprobación: A D 2 / 4 D R PM D 4
Re
u (4 R)
D 4 R Esto demuestra que 4R es equivalente a D para un conducto circular.
Ejemplo:
Determine el radio hidráulico de la sección que se muestra en la figura, si la dimensión interna de cada lado del cuadrado es de 250mm y el diámetro exterior del tubo es de 150mm. El área neta de flujo es la diferencia entre el área del cuadrado y el área del circulo: A S 2 d 2 / 4 (250) 2 (150) 2 / 4 44829mm2
El perímetro mojado (mostrado en rojo en la figura) es la suma de los cuatro lado del cuadrado mas la circunferencia del circulo: PM 4S d 4(250) (150) 1471mm
El radio hidráulico es: R
A PM
44829 1472
30.5mm 0.0305m
Ejercicio 1: En la siguiente imagen se presenta un intercambiador de calor liquidoaire, en el cual el aire fluye a 8 m/s, dentro de un pasaje rectangular y alrededor de un conjunto de 5 tubos colocados de manera vertical.
Cada tubo tiene un diámetro de ½” con un grueso de pared de 0.049 ”. El aire tiene una densidad de 1.15kg/m³ y una viscosidad de 1.63x10- Pa-s. Calcule el número de Reynolds para el flujo de aire. Considere la sección central del intercambiador de calor.
Solución: El área neta de flujo (mostrada en la figura en color rojo) es la diferencia entre el área del rectángulo menos el área ocupada por los tubos: A ( B * H ) (5d * H )
(0.096 * 0.05) (5 * 0.0127 * 0.05) 0.001625m2 El perímetro mojado (mostrado en línea roja en la figura) es la suma del perímetro del intercambiador mas las paredes de los tubos. Debe considerarse el espacio ocupado por los tubos en la parte superior e inferior del intercambiador (mostrados en línea negra en la figura) PM [2 B 10d ] (12 H ) [2(0.096) 10(0.0127)] 12(0.050) 0.665m
Sustituyendo los datos en la ecuación del radio hidráulico: R
A PM
0.001625 0.665
0.00244m
El número de Reynolds es: Re
u 4 R
8(4 * 0.00244)1.15 1.63 x10
5
0.08979 1.63 x10
5
5508
Los intercambiadores de calor se encuentran en muchos sistemas químicos o mecánicos. Estos sirven, como su nombre lo indica, para ganar calor o expeler calor en determinados procesos. Algunas de la aplicaciones más comunes se encuentran en calentamiento, ventilación, sistemas de acondicionamiento de espacios, radiadores en máquinas de combustión interna, calderas, condensadores, y precalentadores o enfriamiento de fluidos
Ejercicio 2:
Aire con un peso especifico de 12.5 N/m³ y una viscosidad dinámica de 2.0 x 10Pa-s, fluye a través de la parte sombreada del ducto de la figura mostrada, con una rapidez de 150 m³/h. Calcule el número de Reynolds del flujo.
Datos: øext = 0.025m. µ = 2 x 10- Pa-s.
B = 0.050m. H = 0.050m. ɣ = 12.5 N/m³.
C = 0.1m Q = 0.042m³/s.
Solución: El área neta de flujo se encuentra con área 1 + área 2. Área 1.- cuadrado imaginario de la figura menos el área ocupada por el circulo: A1 ( B * H ) ( D 2 / 4) (0.05 * 0.05) ( (0.025) 2 / 4) 0.002m 2 Área 2.- triangulo imaginario de la figura: A2 ([C B] * H ) / 2 (0.05 * 0.05) / 2) 0.00125m2
El área neta seria: Aneta A1 A2 0.002 0.00125 0.00325m2
El perímetro mojado es la suma de las paredes interiores de la geometría analizada mas el perímetro del circulo: PM [ H B T C D] 0.05 0.05 0.071 0.1 (0.025) 0.35m
El radio hidráulico es: R
La velocidad es igual a:
A PM
u
Q A
0.00325 0.35 0.042
0.00325
0.0093m
12.8
m s
La densidad se encuentra de la siguiente relación:
w
Despejando la densidad se tiene:
g
12.5 9.81
1.27
El número de Reynolds es: Re
u 4 R 12.8(4 * 0.0093)1.27 0.6047 30236 5 5 2 x10 2 x10
kg m3
mg
g
Ejercicio 3: En la siguiente figura se muestra la forma en que fluye etilenglicol (sg=1.1) a 77°F alrededor de los tubos y dentro del pasaje rectangular. Calcule la velocidad del etilenglicol en pie/s, que se requiere para que el flujo tenga un número de Reynolds de 8000.
Unidades en sistema ingles: Densidad:
Slugs pie 3
Viscosidad:
lb s pie 2
Solución: la densidad del agua a 77°F es 1.935 slugs / pie³ por lo tanto la densidad del etilenglicol es: slugs slugs 2.134 eti sg ( agua) 1.11.935 3 3 pie pie La viscosidad del etilenglicol a 77°F en el sistema internacional es 0.0161 Pa-s, por lo tanto en el sistema ingles es: m 2 lb s 0.22lb 0.0161 Pa s 0.0161 2 s 0.00034 2 2 m ft N 10.7 pie N
Ahora se determina el área donde circula el fluido:
A ( B * H ) 7( d 2 / 4)
0.375" 2 * 2.25" 1.5" 12 0.018 pie 2 A * 7 12 4 12
El perímetro mojado es: PM 2 B 2 H 7 d 2.25" 1.5" (0.375" ) 2 7 1.31' 12 12 12
PM 2
Sustituyendo los datos en la ecuación del radio hidráulico: R
A PM
0.018 pie2 1.31 pie
0.014 pie
Despejando la velocidad de la ecuación del Reynolds: Re u
Re 4 R
8000(3.38 x104 ) 4 * 0.014 * 2.13
23 pie / s
Nota: el etilenglicol (anticongelante) es un líquido transparente, incoloro, ligeramente espeso y leve sabor dulce. Por estas características organolépticas se suele utilizar distintos colorantes para reconocerlo y así disminuir las intoxicaciones por accidente.
u4 R
Perfiles de Velocidad Una de las investigaciones más consistentes y sistemáticas de Edme Mariotte (1620-1684) fue la realizada en el campo de la mecánica de los fluidos, investigación cuyos detalles y resultados se publicaron en 1686, en el . Llegó a plantearse el problema que Castelli no había podido resolver; cómo medir velocidades en el seno de un río. "Hay que considerar – escribía- que el agua de un río no avanza con igual velocidad en su superficie y en otras partes, porque cerca del fondo se atrasa mucho al encontrarse con piedras, maleza y otras irregularidades« Estas aserciones pueden interpretarse en el sentido de que, si indicamos con flechas las velocidades correspondientes a varios puntos de una sección vertical AB de un río y trazamos por sus extremos la curva CD, que se suele llamar “perfil de velocidades”
Dicho perfil tendría el aspecto que muestra la figura I, mientras que en la sección del canal angosto, se parecería al que se ve en la figura II.
La velocidad del flujo no es constante a través de la sección recta de un conducto, si no que varía de acuerdo al punto donde se determine. Esto se debe a que la velocidad no tiene distribución uniforme a través de la sección por la influencia de la viscosidad del fluido, las rugosidades del conducto y de la misma turbulencia sobre el desplazamiento de los líquidos. Para régimen laminar a), la distribución vertical de la velocidad sigue una ley parabólica, mientras que en régimen turbulento b) lo hace de acuerdo a una ley logarítmica.
Desarrollo de perfiles de velocidad. Para un flujo laminar circulando por una tubería circular y con un perfil uniforme en la entrada, la longitud de desarrollo del flujo o también conocida como longitud de entrada (LE) está dada por: LE/D = 0.065 Re donde D = Diámetro tubería y Re = número de Reynolds Para flujo laminar la longitud de entrada para flujo laminar en tuberías puede llegar a ser: LE = 0.065 Re D = 0.06 (2300) D = 138 D. La longitud del núcleo inviscoso es aproximadamente un tercio de la longitud de entrada..
Perfil de velocidad laminar La velocidad de un fluido en contacto con un limite solido estacionario es cero, la velocidad máxima para cualquier tipo de flujo se presenta en el centro del conducto. En la figura se puede observar los perfiles clásicos de los flujos laminar y turbulento en un conducto circular. Debido a la regularidad del perfil de velocidad en un flujo laminar, se puede definir una ecuación para calcular la velocidad local en cualquier punto dentro de la trayectoria del flujo en un conducto circular. r 2 U 2u 1 r 0 r radio. r 0 radio máximo. u velocidad promedio.
Calculo de perfil de velocidad laminar. Para obtener el perfil de velocidades en un conducto circular o cuadrado se utiliza la norma AMCA 203-90 (air movement and control association).
Ejercicio: Grafique el perfil de velocidad desde la pared hasta el centro del conducto analizando la velocidad en cada 5 mm. Utilizar los datos donde se tiene flujo laminar de glicerina a 25°C en un conducto cuyo diámetro interior es de 150 mm y velocidad promedio del flujo es de 3.6m/s. r 2 U 2u 1 r 0
Conservación y transformación de la energía. La cantidad de fluido que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se conoce como “gasto o caudal” y se puede expresar mediante 3 términos: Rapidez de flujo de volumen {gasto volumétrico} (Q): es el volumen del flujo de fluido que pasa por una sección por unidad de tiempo. Rapidez de flujo de masa {gasto másico} (Q M): es la masa de fluido que fluye por una sección por unidad de tiempo.
Rapidez de flujo de peso {gasto de fuerza} (QW): es el peso de fluido que fluye por una sección por unidad de tiempo. El mas importante y utilizado en la industria es gasto volumétrico y se calcula mediante la siguiente ecuación: Q = A*U = m2 * m/s = m3/s.
Donde: A es el área de la sección. U es la velocidad promedio del flujo.
NOTA: La rapidez representa el módulo de la velocidad .
El gasto másico esta relacionado con el gasto volumétrico mediante la ecuación : Q M Q AU
Símbolo Definición S. I.
kg m3
*m *
A*U
m3/s
pie3/s
QM
ρ*A*U
kg/s
Slug/s
*A*U
N/s
lb/s
ɣ
m s
kg s
Sistema Ingles
Q QW
2
Debido a que los metros cúbicos por segundo son cantidades muy grandes con frecuencia se utilizan otras unidades como los litros por minuto (l/min) o galones por minuto (gal/min), cuyas conversiones son:
1.0 l/min = 16.67 x 10-6 m3/s. 1.0 gal/min = 6.309 x 10-5 m3/s.
Ejercicios gasto: Convertir un gasto de 30 gal/min a pie 3/s. pies 3 1.0 3 gal pies 2 s 6.68 x10 Q 30 gal min s 449 min
Convertir un gasto de 600 l/min a m 3/s. m3 1.0 3 l m s 0.010 Q 600 l min s 60000 min
Convertir un gasto de 30 gal/min a l /min. l 3.875 gal min 113.6 l Q 30 gal min min 1.0 min
Ecuación de continuidad. El método para calcular la velocidad de flujo de un fluido en un sistema de conductos cerrado depende del principio de continuidad. Un fluido fluye de la sección 1 a la sección 2 con una rapidez constante, es decir, la cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo es constante; por lo que se dice que tenemos un flujo constante o permanente. Por otro lado si no se agrega, retira o almacena fluido entre las secciones 1 y 2, entonces la masa de fluido que pasa por la sección 2 en un tiempo dado debe ser la misma que la que fluye por la sección 1, en el mismo tiempo.
Esto se puede expresar en términos del gasto másico como: QM1 = QM2 ρ1 A1U1 = ρ2 A2U2
Ecuación de continuidad.
Si el fluido que se encuentra en el conducto de la figura es un liquido para el cual la densidad en el punto 1 es la misma que la del punto 2; entonces se puede considerar como liquido incompresible , esto se puede expresar como: A1U 1 A2U 2
Esta es la ecuación de continuidad para flujo estable, esto es: que la rapidez de flujo de un volumen es la misma en cualquier sección.
Ejercicio continuidad 1: En el conducto que se muestra el diámetro interior en las secciones 1 y 2 es de 50 y 100 mm, respectivamente. Si esta fluyendo agua a 70°C con una velocidad promedio de 8 m/s en la sección 1 calcular: a) la velocidad promedio en la sección 2. b) la rapidez de flujo de volumen. c) la rapidez de flujo de peso. d) la rapidez de flujo de masa.
Solución La ecuación de continuidad para flujo incompresible se utiliza para hallar la A velocidad en el punto 2. A1U 1 A2U 2 Despejando la velocidad 2: U 2 U 1 1 A2
A1 1963mm ; A2 7854mm 2
2
a) Entonces la velocidad 2 es:
m 1963mm2 m 2 U 2 8 x s 7854mm2 s
b) Gasto volumétrico: 2 3 1 . 0 m m * (8m / s) 0.0157 Q A1u1 1963mm2 * 3 2 s 10 mm
c) Rapidez de flujo en peso: QW Q 9.59
kN m3
* 0.0157
m3 s
0.151
kN s
d) Gasto másico: Q M Q 978
kg m3
* 0.0157
m3 s
15.36
kg s
Ejercicio continuidad 2: Un intercambiador de calor de casco y tubo está constituido por dos ductos de acero, como se muestra en la figura, cada ducto tiene un grueso de pared de 0.049pulg. Calcule la relación (el cociente) entre el gasto volumétrico en el casco y el gasto volumétrico en el tubo, si se supone que la velocidad promedio del flujo deberá ser igual en cada uno .
Solución: Se pide la relación de los gastos por lo que la respuestas será: Qcasco Qducto
AcascoU casco AductoU ducto
Como se especifica que la velocidad en el casco debe ser igual a la velocidad en el ducto, para este ejercicio Ucasco = Uducto: Qcasco
Qducto
Acasco * uducto Aducto * uducto
Por lo tanto se debe conocer el área del casco y el ducto para resolver el problema, calculando primero para el ducto se tiene: Dint (ducto) = Dext – 2esp = 1/2” – 2(0.049”) = 0.402”
Aint ducto
D 2 4
(0.402in) 2 4
0.126in 2
Para calcular el área efectiva del casco por donde circula el flujo se debe considerar la sección interior del casco y a ésta, restarle el área exterior del ducto. El área interior del casco se calcula con: Dint (casco) = Dext – 2esp = 7/8” – 2(0.049”) = 0.777” D 2 (0.777in) 2 Aint Casco 0.474in 2 4 4
El área exterior del ducto es: Aext Ducto
D 2 4
(0.5in) 2 4
0.196in 2
El área efectiva del casco es: Aefec casco AintCasco Aext Ducto 0.474in 2 0.196in 2 0.278in2
La relación de gastos es:
Qcasco Qducto
0.278in 2 2.2 2 0.196in
Ejercicio continuidad 3:
En la siguiente figura se muestra un intercambiador que se utiliza para transferir calor desde el fluido que circula dentro del tubo interior hacia el liquido que fluye en el espacio comprendido entre la parte exterior del tubo y la parte interior del conducto cuadrado que rodea el tubo. Este dispositivo se conoce como intercambiador de calor de casco y tubo. Calcule a) el gasto dentro del tubo y b) en el conducto cuadrado (casco), indique el resultado en gal/min (considere que la velocidad en ambos conductos es 8 pies/s).
NOTA: 1pie³/s = 449galones /min.
a)De la tabla se conoce que en un tubo de cobre tipo K de ½” se tiene: Øint = 0.527pulg = 0.0439pie y Øext = 0.625pulg = 0.0520pie Por lo tanto el área es:
At = ((0.0439pie)² * π)/4 = 0.00151 pie²
El gasto dentro del tubo es: Qt = A1 U = (0.00151 pies²) * (8 pies/s) = 0.0121pie³/s Si se conoce que 1pie³/s = 449galones /min, se tiene: Qt = 5.42gal/min. b)El área de flujo neta para el conducto cuadrado es la diferencia entre el área dentro del casco cuadrado y la parte externa del tubo, por lo tanto: As = S² - (πØext²/4) = (0.8pulg)² - π(0.625pulg)²/4 = 0.333pulg² Convirtiendo a pies se tiene: As = 0.333pulg² * (1pie²/144pulg²) = 0.00231pie² El gasto en esta sección es entonces: Qs = A2 U = (0.00231 pies²) * (8 pies/s) = 0.0185pie³/s Si se conoce que 1pie³/s = 449galones /min, se tiene: Q = 8.31gal/min.
Ejercicio continuidad 4: En la figura se muestra un conducto de 150mm que lleva 0.072m³/s de agua, si el conducto se ramifica en dos, y la velocidad en el conducto de 50mm es de 12m/s, ¿Cuál es la velocidad en el conducto de 100mm?
Datos del problema: D1 =0.150m
Q1
= 0.072m³/s
D2 = 0.050m V2 = 12m/s D3 = 0.100m V3 = ? Utilizando la ecuación de Continuidad se tiene: Q1 Q2 Q3
Primero se encuentra el gasto 2: A2
D 2 4
(0.050m) 2 4
0.00196m
2
Q2 V 2 A2 12
m s
* 0.00196m 0.0235 2
m3 s
Ahora se puede conocer el gasto en 3, despejando de la ecuación de arriba: Q3 Q1 Q2
Q3 0.072
m3 s
0.0235
m3 s
0.0485
m3 s
Por lo tanto la velocidad en 3 se puede conocer de la ecuación de gasto volumétrico tal como se indica: A3
D 4
2
(0.1m) 4
2
0.00785m 2
V 3
Q3 A3
0.0485m3 / s 0.00785m
2
6.18m / s
Ejercicio continuidad 5: Considere un flujo estacionario de agua a través del dispositivo que se muestra en el diagrama. Las áreas son A1=0.2pie², A2=0.5pie² y A3=A4 = 0.4pie². La relación de flujo másico que sale de la sección 3) es de 3.88slug/s. El flujo volumétrico que entra en la sección 4) es de 1pie³/s y en la sección 1 la velocidad es: V1=10 pies/s. Si las propiedades se suponen uniformes a través de todas las secciones de flujo de entrada y salida, determine la velocidad en la sección 2).
Además calcule los valores de las componentes de velocidad para los ejes “x” y ”y” en las secciones 3 y 4
[Forma integral de ecuación de continuidad]
Datos:
A1 = 0.2pie². A2 = 0.5pie². A3 = A4 = 0.4pie². ρ = 1.94 slug/pie³. Qm3 = 3.88 slug/s (saliendo). Q4 = 1 pie³/s (entrando). U1 = 10 pies/s. U2 = ¿?
Consideraciones: 1) Flujo incompresible (Se analizan gastos másicos).
2) Flujo estacionario (No hay variación de las propiedades en el tiempo). 3) Propiedades uniformes en todo el VC (No existe TFC o reacción química).
0 d U d A t vc sc
0 U d A sc
Solución: Para cualquier volumen de control que se escoja para resolver el problema, se observa que existen 4 secciones (superficies de control) donde la masa fluye, por lo tanto se puede escribir:
U d A U d A U d A U d A U d A 0
1
sc
A1
2
A2
3
A3
4
A4
Se pueden analizar analizar las integrales integrales una por una admitiendo que las propiedades propiedades son uniformes sobre cada área y recordando que la densidad es constante, por lo tanto para la superficie 1:
U d A U A
A1
El símbolo de valor absoluto indica que se han tomado en cuenta las direcciones de los vectores en el producto punto. NOTA: El vector área es un vector de producto escalar que contiene tanto a la entidad geométrica como al vector normal, que tiene la propiedad de ser ortogonal a todos los vectores tangentes a la entidad geométrica.
Para la superficie 3 se tiene:
U d A U A Q
m
A3
Para la superficie 4 el análisis es:
U d A U A Q
A4
Despejando la integral para el punto dos de la ecuación inicial planteada:
U d A U d A U d A U d A
1
A2
A1
3
4
A3
A4
Sustituyendo valores se encuentra:
U d A U A Q
1
1
m3
Q4
A2
slug pie pie slug slug pie pie 3 slug slug 2 1.94 * 0.2 pie 1.94 *1 1.94 3 *10 pie 3.88 3 3 pie pie s pie pie pie pie s s
Puesto que el valor de la integral es positivo, el producto punto de U y A es positivo también, lo que implica que el flujo es hacia afuera como se indica en el dibujo:
Finalmente de la ecuación de continuidad se despeja la velocidad 2 para obtener su valor: slug U d A U 2 A2 1.94 s A
2
U 2
1.94
slug s
A2
1.94
slug s
*
pie pie 3
*
1
1.94 slug 0.5 pie pie
2
2
pie pie s
Como U2 está en la dirección negativa entonces se debe escribir como: pie pie U 2 2 j s
Conservación de la energía. En el análisis de problemas en líneas de conductos, debe tomarse en cuenta toda la energía del sistema. De física se conoce que la energía no puede ser creada ni destruida, sino que puede ser transformada de un tipo a otro, este es el enunciado de la ley de conservación de la energía. Cuando se analizan problemas de flujo en conductos, existen tres formas de energía que siempre se deben tomar en consideración.
Conservación de la energía (Ecuación de Bernoulli) Considere el elemento de fluido que se muestra en la figura, y que se encuentra en el interior del conducto de un sistema de flujo. Este elemento esta localizado a una cierta elevación ( z ), tiene una velocidad (v) y una presión ( p) . El elemento de fluido tendrá las siguientes formas de energía: *Energía potencial: debido a su elevación o altura, la energía potencial del elemento con respecto de algún nivel de referencia es: PE = w * z
(w = peso del elemento).
*Energía cinética: debido a su velocidad, la energía cinética del elemento es: KE = w * u² / 2 g
(g = gravedad).
*Energía de flujo: en ocasiones conocida como energía de presión o trabajo de flujo, ésta representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de una cierta sección. La energía de flujo se abrevia FE (flow energy) y se calcula a partir de la ecuación: FE = w * p / ɣ (p = presión en el elemento). La cantidad de energía total que posee el elemento de fluido será la suma de estas tres formas de la misma, y se representa por E: E = FE + KE + PE E = (w * p / ɣ) + (w * u² / 2g) + (w * z) Así las unidades que se utilizan en esta ecuación son: * wp N * Pa N * Pa * m3
N
N
Pa * m3
m3
* wu 2
N
m2
2 Nm 2 s 2 s N m 2 m g ms s 2
N m2
m3 N m
Considere ahora el elemento de fluido de la figura inferior, que se mueve de la sección 1 a la sección 2, los valores de p, z y v son diferentes en las dos secciones. En la sección 1, la energía total es: E 1
wp1
wz 1
wu12 2 g
En la sección 2, la energía total es: E 2
wp2
wz 2
wu22 2 g
Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre la secciones 1 y 2, entonces el principio de conservación de la energía se expresa: E 1 E 2 wp1
wz 1
wu12 2 g
wp2
wz 2
wu22 2 g
El peso del elemento w, es común en todos los términos y se le puede cancelar, por lo que la ecuación queda entonces: p1
z 1
u12 2 g
p2
z 2
u22 2 g
Esta ecuación se fue deducida por Daniel Bernoulli, por eso lleva su nombre. Cada uno de los términos de la ecuación tiene unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabeza, esta última frase se deriva directamente de la traducción del inglés hydraulic head. Unidades para cada elemento: N
*
Pa m 2 N m3 m 2 N N N m m3 m3
p
m2
*
u2
2 m 2 s 2 s m 2 m g ms 2 s
* z m
Restricciones a la ecuación de Bernoulli. Aunque ésta ecuación es aplicable a una gran cantidad de problemas prácticos, existen algunas limitaciones que deben tomarse en cuenta con el fin de aplicar la ecuación de manera correcta: *es válida solamente para fluidos incompresibles (d ρ / dt = 0), puesto que el peso especifico del fluido se considera igual en las dos secciones. *no puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la energía total del fluido es constante. *no puede haber transferencia de calor hacia adentro o fuera del sistema. *no puede haber pérdidas de energía debido a la fricción. “En realidad ningún sistema real satisface estas restricciones”, sin embargo,
existen muchos sistemas para los cuales solamente se tendrá un error despreciable cuando se aplica la ecuación de Bernoulli. p1
z 1
u12 2 g
p2
z 2
u22 2 g
Ejercicio ecuación de Bernoulli 1: En la figura que se muestra fluye agua a 15°C de la sección 1 a la sección 2, en la sección 1 se tiene un ducto con 25mm de diámetro, la presión manométrica es de 345kP y la velocidad de flujo es de 3 m/s.
La sección 2, tiene 50mm de diámetro y está 2 metros sobre la sección 1, suponiendo que no hay perdidas de energía calcule la presión 2.
Datos del problema: D1 = 25mm
P1 = 345kP
u1
D2 = 50mm Z2 – Z1 = 2.0m
g = 9.806m/s²
= 3m/s P2 = ?
= 9.81kN/m³
ɣh2o
Utilizando la ecuación de Bernoulli se tiene: p1 p2
z 1
p1
u12 2 g
z 1
p2 u12 2 g
z 2 z 2
u22 2 g u22 2 g
p1 u12 u22 z 2 p2 z 1 2 g 2 g
Agrupando los elementos de la energía potencial y cinética (cabeza de elevación y de velocidad) se tiene: u12 u22 p2 p1 z 1 z 2 2 g
Para poder resolver la ecuación de Bernoulli se debe conocer la velocidad en el punto 2, puesto que los demás datos ya se proporcionaron.
Utilizando la ecuación de continuidad: A1u1 A2u2 Se puede conocer la velocidad en el punto 2: u2
A1u1 A2
Se deben calcular las áreas en las secciones del conducto: A1
D 2 4
(25mm) 2 4
491mm
2
A2
D 2 4
(50mm) 2 4
1963mm2
Sustituyendo estos valores en la ecuación de continuidad se encuentra la velocidad 2: u2
(3.0m / s) * (491mm2 ) 1963mm
2
0.75m / s
De las condiciones iníciales se conoce que: Z2 – Z1 = 2.0m Despejando Z2 queda: Z2 = 2.0m + Z1
Sustituyendo ahora en la ecuación de Bernoulli todos los datos conocidos: u12 u22 p2 p1 z 1 z 2 2 g (3m / s ) 2 (0.75m / s) 2 p2 345kPa 9.81kN z 1 (2.0m z 1 ) 2(9.806m / s 2 ) p2 345kPa 9.81
p2 345kPa 9.81
p2 345kPa 9.81
p2 345kPa 9.81
kN
2.0m m 3
kN
2.0m
m3 kN
(9.0 0.563)m 2 / s 2 2(9.806)m / s 2 8.437m 2 / s 2
2.0m m 19.612m / s 2
kN m3
2(9.806m / s 2 )
3
2.0m 0.43m
p2 345kPa 15.39kN / m2 p 329 61kPa
(3.0m / s ) 2 (0.75m / s ) 2
Procedimiento para la aplicación de la ecuación de Bernoulli: *Determinar que elementos son conocidos y que se va a encontrar. *Decidir cuales dos secciones del sistema utilizará cuando escriba la ecuación de Bernoulli, generalmente se escoge una sección de la cual se conocen muchos datos.
*Escribir la ecuación en la dirección del flujo, es decir, el flujo debe ir de la sección de la parte izquierda de la ecuación a la parte derecha. *Simplifique la ecuación, si es posible, mediante la cancelación de los términos cuyo valor es cero o de aquellos que son los mismos en ambos lados de la ecuación. *Sustituya las cantidades conocidas y calcule el resultado, tome la precaución de asegurar el uso de unidades consistentes a lo largo del cálculo. p1
Energía de flujo Cabeza de presión
z 1
u12 2 g
p2
z 2
Energía potencial Cabeza de elevación
u22 2 g
Energía cinética Cabeza de velocidad
Ejercicio ecuación de Bernoulli 2: Gasolina (sg = 0.67) está fluyendo a 0.11m³/s en el conducto que se presenta en la figura, si la presión antes de la reducción es de 415kPa, calcule la presión en el conducto de 75 mm de diámetro.
Ejercicio ecuación de Bernoulli 3: Agua a 10°C está fluyendo del punto A al punto B por el conducto que se muestra en la figura a una rapidez de flujo volumétrico de 0.37m³/s. Si la presión en A es de 66.2kPa, calcule la presión en B.
