4TO EXAMEN BERNOULLI
1. A través de la contracción de la tubería que se muestra en la figura fluye agua. Para la diferencia dada de 0,2 m en el nivel del manómetro, f determinar el caudal en función del diámetro de la tubería pequeña, D.
R/: 2 (𝑝1 − 𝑝2 ) 𝑝1 𝑣12 𝑝2 𝑣22 + + 𝑧1 = + + 𝑧2 𝑐𝑜𝑛 𝑧1 = 𝑧2 , 𝑦 , 𝑣1 = 0 𝑚⁄𝑠 , 𝑣2 = √2𝑔 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 𝛾
𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑝1 = 𝛾ℎ1 ,y, 𝑝2= 𝛾ℎ2 de modo que, 𝑝1 − 𝑝2 = 𝛾 × (ℎ1 − ℎ2 ) = 0.28 ,asi, 2
𝑣2 = √2𝑔
(0.28) 2 = √2𝑔(0.2) 𝛾 𝜋
𝜋
2
Q=𝐴2 𝑣2 = 4 × 𝐷 2 × 𝑉 2 = 4 × 𝐷 2 × √2 ∗ 9.81(0.2) = 𝟏. 𝟓𝟔 ∗ 𝑫𝟐
𝒎𝟑 𝒔
𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑫 ≈ 𝒎
2. A través de la contracción de la tubería que se muestra en la figura fluye agua. Para la diferencia dada de 0,2 m en el nivel del manómetro, f determinar el caudal en función del diámetro de la tubería pequeña, D.
R/: 𝑝1 𝛾
+
𝑣12 2𝑔
+
𝑝 𝑧1 = 2 𝛾
+
𝑣22 2𝑔
+ 𝑧2 𝑐𝑜𝑛 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 de esto se tiene que 𝑣2 = [
𝜋 ×𝐷1 2 4 𝜋 ×𝐷 2 2 4
] ×
0.1 2 𝐷
𝑣1 = ( )
donde , 𝑧1 = 𝑧2 , (𝑝1 −𝑝2 ) 𝛾
=
𝑣 2 2 −𝑣1 2 2𝑔
=
[((
0.1 4 ) −1)×𝑣1 2 ] 𝐷
2𝑔
, pero,
𝑝1 = 𝛾ℎ1 ,y, 𝑝2= 𝛾ℎ2 de modo que, 𝑝1 − 𝑝2 = 𝛾 × (ℎ1 − ℎ2 ) = 0.2𝛾 0.2𝛾 𝛾
Así,
=
[((
0.1 4 ) −1)×𝑣1 2 ] 𝐷
2𝑔
0.2∗2𝑔
, o, 𝑣1 = 2√ 0.1 4 (( ) −1) 𝐷
𝝅
𝟎.𝟐∗𝟐∗(𝟗.𝟖𝟏)
𝟒
𝟎.𝟏 𝟒 (( ) −𝟏) 𝑫
Q=𝑨𝟏 𝒗𝟏 = × 𝟎. 𝟏𝟐 × 𝟐√
,o,
𝟐
𝟑
𝒎 Q= 𝟐𝟎.𝟎𝟏𝟓𝟔∗𝐃 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑫 ≈ 𝒎 𝟒 𝟒 𝒔 √(𝟎.𝟏)
−𝐃
3. En la figura se muestra un sistema de tubos que lleva agua. La velocidad en el plano 1 es de 4 [m/s] y el diámetro es de 25 cm. En el plano 2 el diámetro es De 10 cm. Encuentre el caudal y la velocidad de la sección 2.
4. Se descarga metal líquido desde un recipiente cilíndrico a través de un orificio situado en el fondo. a) Cuál es la altura del estanque después de 5 minutos de vaciado? b) Cuál es la velocidad de bajada del nivel del estanque después de 10 minutos? c) Calcular el tiempo que se requiere para vaciar el recipiente
5. Hacia dentro de un estanque cilíndrico fluye agua a través de un tubo con una velocidad de 20 pies/s y sale a través de los tubos 2 y 3 con velocidades de 8 y 10 pies/s respectivamente. En la parte superior hay una válvula abierta a la atmósfera. Suponiendo que el flujo es incompresible, cuál es la velocidad promedio del flujo de aire a través orificio?
6. De un depósito fluye aire en forma estable a través de una manguera de diámetro D=0,03 m y sale a la atmósfera por un boquilla de diámetro d=0,01 m. La presión en el depósito permanece constante en 3 kPa manométrica. Las condiciones atmosféricas del aire son 15ºC y 1 atmósfera (101 kN/m2) de presión. Determine el caudal y la presión en la manguera. R = 286 ’ = 286 9 N•m/(kg ,9 N•m/(kg K) ºK)
7. Del grifo que está en el primer piso del edificio fluye agua con una velocidad máxima de 20 pies/s. Para flujo estable no viscoso, determine la velocidad máxima del agua desde el grifo del sótano y desde el grifo en el segundo piso (suponer que cada piso mide 12 pies de alto)
SOLUCIÓN
a) Hallando la velocidad máxima del grifo del sótano 𝑃𝐴 𝑉𝐴2 𝑃𝐵 𝑉𝐵2 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝑐𝑢. 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 ∶ + + ℎ𝐴 = + + ℎ𝐵 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 ∶ 𝑉𝐴 = ?; ℎ𝐴 = 0 𝑝𝑖𝑒𝑠; 𝑉𝐵 = 20 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔; ℎ𝐵 = 12𝑝𝑖𝑒𝑠
Como la presión manométrica de 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 0 ; entonces: 𝑉𝐴2 𝑉𝐵2 ↪0+ + ℎ𝐴 = 0 + + ℎ𝐵 2𝑔 2𝑔 𝑉𝐵2 𝑉𝐴 = √( + ℎ𝐵 − ℎ𝐴 ) × 2𝑔 2𝑔 𝑉𝐴 (20 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔)2 = √( + 12 𝑝𝑖𝑒𝑠 − 0 𝑝𝑖𝑒𝑠) × 2 × 32.2 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔2 2 2 × 32.2 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔 ∴ 𝑉𝐴 = 34.246 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔
b) Hallando la velocidad máxima del grifo del 2do piso: 𝑃𝐵 𝑉𝐵2 𝑃𝐶 𝑉𝐶2 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝑐𝑢. 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 ∶ + + ℎ𝐵 = + + ℎ𝐶 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 ∶ 𝑉𝐶 =?; ℎ𝐶 = 12 𝑝𝑖𝑒𝑠; 𝑉𝐵 = 20 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔; ℎ𝐵 = 0 𝑝𝑖𝑒𝑠
Como la presión manométrica de 𝑃𝐶 = 𝑃𝐵 = 0 ; entonces: 𝑉𝐶2 𝑉𝐵2 ↪0+ + ℎ𝐶 = 0 + +0 2𝑔 2𝑔 𝑉𝐵2 𝑉𝐶 = √( − ℎ𝐶 ) × 2𝑔 2𝑔
(20 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔)2 𝑉𝐶 = √( − 12 𝑝𝑖𝑒𝑠) × 2 × 32.2 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔2 2 × 32.2 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔2 𝑉𝐶 = √−372.8 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔 ∴ 𝑉𝐶 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎𝑙 2𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑠𝑜
8. Para el estanque que se muestra en la figura, calcule el tiempo requerido para vaciarlo desde un nivel de 3,0 m hasta 0,5 m. El tanque tiene un diámetro de 1,5 m y la boquilla un diámetro de 50 mm.
Aplicando Bernoulli:
1 1 𝑃1 + 𝜌𝑣12 + 𝜌𝑔y1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣22 + 𝜌𝑔y2 2 2
De los parámetros en (1):
𝑃1 = 0 , y1 = ℎ1 = 3𝑚 De los parámetros (2):
𝑃2 = 𝑃0 , ℎ2 = 0 De la relación de continuidad:
𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2
1 𝐴2 𝑣2 2 1 𝜌( ) + 𝜌𝑔y1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣22 2 𝐴1 2 1 2 𝐴2 2 𝜌𝑔y1 − 𝑃2 = 𝜌𝑣2 (1 − ( ) ) 2 𝐴1
𝑦2
∫ 𝑦1
𝑡
𝑑𝑦 √𝜌𝑔y1 − 𝑃2
𝑑𝑡
=∫ 0
𝑉=
1 𝐴2 2 √ 𝜌 (1 − ( ) ) 2 𝐴1
Para: 𝑦2 = 3𝑚 𝑦1 = 0.5𝑚
t = 517seg
𝑑𝑦 𝑑𝑡
9. Para cortar varios materiales se pueden usar chorros líquidos de diámetro pequeño y alta presión. Si se ignoran los efectos viscosos, la presión para producir un chorro de agua de 0,1 mm de diámetrocon una velocidad de 700 m/s. Determinar el caudal.
/: 𝒑𝟏 𝜸
Así
𝒗𝟐
+ 𝟐𝒈𝟏 + 𝒛𝟏 = 𝒑𝟏 =
𝟏𝜸 × 𝟐𝒈
𝒑𝟐 𝜸
𝒗𝟐
+ 𝟐𝒈𝟐 + 𝒛𝟐 𝒄𝒐𝒏 𝒛𝟏 = 𝒛𝟐 , 𝒚 , 𝒗𝟏 = 𝟎 𝒎⁄𝒔 , 𝒚 , 𝒑𝟐= 𝟎 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝒗𝟐𝟐 = 𝝆 × 𝒗𝟐𝟐 = (𝟗𝟗𝟗 𝝅
𝒌𝒈 )× 𝒎𝟑
(𝟕𝟎𝟎 𝒎⁄𝒔) 𝟐 = 𝟐. 𝟒𝟓 × 𝟏𝟎𝟓
Q=𝑨𝟐 𝒗𝟐 = 𝟕𝟎𝟎 𝒎⁄𝒔 × 𝟒 × [𝟏𝟎−𝟒 𝐦]𝟐 = 𝟓. 𝟓𝟎 × 𝟏𝟎−𝟔
𝒎𝟑 𝒔
𝒌𝑵 𝒎𝟐
.
10. Para el sistema mostrado en la figura, calcule la presión de aire requerida por encima del agua para hacer que el chorro suba 40 pies desde la boquilla. La profundidad h es de 6,0 pies.
11. Un envase de plástico de una bebida gaseosa contiene agua, que fluye a través de tres orificios, tal como se muestra en la figura. El diámetro de cada orificio es de 0,15 pulgadas y la distancia entre ellos es de 2 pulgadas. Si se desprecia los efectos viscosos y se considera una condición cuasi-estacionaria, determine el tiempo que el orificio superior deja de drenar. Asuma que la superficie del agua se encuentra a 2 pulgadas sobre el orificio superior cuando t = 0.
12. Un estanque grande contiene una capa de aceite que flota sobre agua. Si el flujo es estacionario y no viscoso, calcule: (a) la altura h que alcanzará el chorro de agua (b) la velocidad del agua en la tubería (c) la presión en la tubería horizontal
13. En un túnel de viento se usa aire para probar automóviles. (a) Determine la lectura h del manómetro cuando en la zona de prueba la velocidad es de 60 millas/hora. Note que en el manómetro existe una columna de 1 pulg de aceite sobre el agua. (b) Determine la diferencia entre la presión de estancamiento frente al vehículo y la presión en la zona donde se realiza la prueba. ρaire = 0,00238 slug/pie3 γagua = 62,4 lb/pie3
14. ¿Qué presión p1 se requiere para obtener un gasto de 0,09 pies3/s del depósito que se muestra en la figura? γ gasolina = 42,5 lb/pie3
15. Para vaciar una piscina de poca profundidad se usa una manguera que mide 10 m de largo y 15 mm de diámetro interior. Si se ignoran los efectos viscosos, ¿cuál es el caudal que sale de la piscina?
16. Aceite de gravedad específica 0,83 fluye a través de una tubería. Si se desprecian los efectos viscosos, determine el caudal.
SOLUCIÓN
a) Analizando el manómetro : 𝑃𝐴 = 𝑃𝐷 + 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 × (𝑥 )…(1) 1
𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 + 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 × (𝑥 + )…(2) 1
3
𝑃𝐷 − 𝑃𝐶 = × 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 …(*) 3
De (1) – (2): 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = (𝑃𝐷 − 𝑃𝐶 ) + 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 ×
1
(− ) 3
De (*):
1
1
3
3
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = × 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 − ×
𝛾𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑃𝐴 −𝑃𝐵 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒
1
𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎
3
𝛾𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒
= ×(
− 1)… (I)
b) De la Ecu. de Bernoulli : 𝑃𝐴 𝛾
+
𝑉𝐴2 2𝑔
+ ℎ𝐴 =
𝑃𝐵 𝛾
+
𝑉𝐵2 2𝑔
+ ℎ𝐵
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 𝑉𝐵2 − 𝑉𝐴2 + ℎ𝐴 = + ℎ𝐵 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 2𝑔 𝑆𝑒𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 ∶ 𝑉𝐴 = 0 (𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜); ℎ𝐴 = ℎ𝐵 ; 1
2
𝑆𝐵 = 𝜋 × ( 𝑝𝑖𝑒𝑠) = 0.0873 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 6
𝑉𝐵2
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 ) × 2𝑔 … (∗∗) =( 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒
Reemplazando (I) en (**): 𝑉𝐵 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 1 = √( × ( − 1)) × 2𝑔 3 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒
1 1 √ 𝑉𝐵 = ( × ( − 1)) × 2 × 32.2 3 0.83 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑉𝐵 = 2.096 𝑠𝑒𝑔 c) Hallando el caudal: 𝑄 = 𝑉𝐵 × 𝑆𝐵
𝑝𝑖𝑒𝑠 ) = (2.096 𝑠𝑒𝑔 × (0.0873 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 ) 𝑝𝑖𝑒𝑠 3 ∴ 𝑄 = 0.183 𝑠𝑒𝑔
17.
A través de los grandes depósito
que se muestran en la figura fluye agua de manera estable. Determinar la profundidad del agua, hA.
18. De un gran depósito fluye agua a través de un gran tubo que se divide en dos tubos más pequeños, tal como se muestra en la figura. Si ignoran los efectos viscosos, determinar el caudal que sale del depósito y la presión en el punto (1).
19. La densidad relativa del fluido en el manómetro que se muestra en la figura es 1,07. Determine el caudal, Q, si el fluido es no incompresible y el fluido que circula es: (a) Agua, γ = 9,80 kN/m3 (b) Gasolina, γ = 6,67 kN/m3 (c) Aire en condiciones normales, γ = 12 10-3 kN/m3.
