2. 1 - DEFORMACIÓN LINEAL Y ANGULAR EN VIGAS
Cuando se realiza el diseño de una viga, es importante determinar la defor deformac mació ión n que que ésta ésta pued puede e tene tenerr al apli aplicar carle le carg cargas as dado dado que que se gene genera rarr var varios ios probl roble emas mas si se tie tiene una una gran ran defor eforma maci ción ón.. La deformación que se puede tener en una viga se puede dividir en: Deformación angular, la cual se conoce como la pendiente de la v iga.
Método de deformaciones angulares: Méto Método do util utiliz izad ado o para para la reso resolu luci ción ón de str struc uctu tura ras s !ipe !ipere rest" st"ti tica cas s continuas # aporticadas, considerado como incógnitas b"sicas los giros # desplazamientos en los nudos. ste método es enmarca dentro de los métodos cl"sicos de solución de una estructura $iperest"tica plana, en la cual la principal deformación de la estructura es por fle%ión. &e requiere que los elementos que forman la estructura sean: '(ectos ')nercia constante entre tramos 'Deformaciones pequeñas *giros # desplazamientos+ 'Módulo de elasticidad constante entre tramos
Metodologa: l método de deformaciones angulares se basa en e%presar los momentos de e%tremo de los miembros de estructuras $iperest"ticas en función de los giros # defle%iones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que, si bien los nudos pueden girar o reflectarse, los "ngulos entre los elementos que convergen al nudo se mantienen constantes. &e enfatiza que este método sólo considera el efecto de la fle%ión sobre los elementos # omite el efecto del corte # a%ial. Las etapas del método son las siguientes: -.' )dentificar los grados de libertad de la estructura que se definen como los giros o desplazamientos a nivel de nudos que puedan producirse. .' /na vez definidos los grados de libertad, que ser"n las variables incógnitas del problema, se plantean los momentos de e%tremo para cada elemento de la estructura, usando la siguiente fórmula general:
Deformación lineal, la cual es perpendicular el e0e longitudinal de la viga # se conoce como la flec$a de la misma C"lculo de vigas en relación a su rigidez 1lgunas ocasiones el diseño de una viga depende m"s de su rigidez que de su resistencia, por tal motivo se debe $acer que, aparte de no sobrepasar los esfuerzos m"%imos establecidos, la flec$a de la viga no debe sobrepasar cierto valor pues de lo contrario se tendra problemas, esto es mu# importante en maquinaria de precisión como en tornos, cepillo # en un "mbito m"s completo, en células de manufactura. /na viga de $ierro es menos rgida que una viga de acero del mismo tamaño. 2odo cambia al entrar en el mundo del an"lisis no lineal, porque el an"lisis no lineal requiere que los calculistas abandonen la idea de rigidez constante. n su lugar, la rigidez cambia durante el proceso de deformación # la matriz de rigidez 345 debe actualizarse #a que progresa a través de un proceso de solución interactiva. stas interacciones aumentan la cantidad de tiempo que se tarda en obtener resultados precisos. &i el cambio de rigidez es suficientemente pequeño, es lógico asumir que ni las propiedades de la forma ni las del material cambiar"n durante el proceso de deformación. sta suposición es el principio fundamental del an"lisis lineal. sto significa que a través de todo el proceso de deformación, el modelo analizado mantuvo la rigidez que posea en la forma no deformada antes de la aplicación de la carga. independientemente de cu"nto se deforme el modelo, si la carga se aplica en un paso o gradualmente, # sin importar lo altas que sean las tensiones que se desarrollan en respuesta a la carga, el modelo mantiene la rigidez inicial.
/na viga con un soporte simple es menos rgida # se curvar" m"s que la misma viga con soportes integrados.
l an"lisis no lineal es necesario cuando la rigidez de la pieza cambia ba0o sus condiciones de funcionamiento. si los cambios en la rigidez provienen 6nicamente de los cambios de forma, el comportamiento no lineal se define como no linealidad geométrica. stos cambios de rigidez provocados por la forma pueden suceder cuando una pieza tiene grandes deformaciones que son visibles a simple vista. /na regla de aceptación general sugiere la realización de un an"lisis de geometra no lineal si las deformaciones son superiores a -78 de la cota m"s grande de la pieza. otro factor importante que se debe tener en cuenta es que en el caso de grandes deformaciones, la dirección de carga puede cambiar a medida que se deforma el modelo.
/na carga de seguimiento *o no conservadora+ cambia de dirección durante el proceso de deformación # se mantiene en un plano normal a la viga deformada. /na carga de no seguimiento, o conservadora, mantiene la dirección original.
2.2 OBTENCION DE LAS DEFORMACIONES Y DE LA ELASTICA POR DOBLE INTEGRACION ELEMENTAL 9recuentemente el diseño de una viga queda determinado m"s por su rigidez que por su resistencia. or e0emplo, al diseñar elementos de m"quinas para traba0os de precisión, tales como tornos, prensas, limaduras, etc. Las deformaciones deben permanecer por deba0o de las tolerancias admisibles del traba0o que se va a realizar. 1simismo, en las vigas de pisos que tengan por deba0o cielo raso de #eso o escalona, se suele limitar la defle%ión m"%ima a -7;<8 de claro, para que no aparezcan grietas en el #eso. /na de las m"s importantes aplicaciones del estudio de la deformación de las vigas es, por otra parte la obtención de ecuaciones de deformación que, 0unto con las condiciones de equilibrio est"tico, permitan resolver las vigas est"ticamente indeterminadas. &e utilizan varios métodos para determinar la deformación de las vigas. 1unque basados en los mismos principios, difieren en su técnica # en sus ob0etivos inmediatos. n primer lugar se estudia un procedimiento modernizado del método de la doble integración, que simplifica muc$o su aplicación. =tro método, el del "rea de momentos, se considera el m"s directo de todos en especial si se desea conocer la deformación en un punto determinado, # es no solamente sencillo sino e%tremadamente r"pido. =tra variante de este método es que es mu# cómodo de aplicar. =tros métodos son el de la viga con0ugada # el de superposición. l método de la viga con0ugada es realmente una variante del método del "rea de momentos, pero difiere en su aplicación pr"ctica. l método de superposición no es un método distinto, utiliza las fórmulas obtenidas para las deformaciones, en ciertos tipos fundamentales de cargas, para obtener las soluciones correspondientes a cargas que sean combinaciones de estos tipos fundamentales.
La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva el"stica, o simplemente, el"stica de la viga. s la curva que forma el e0e longitudinal, inicialmente neutro. n esta sección se deduce la ecuación de dic$a curva, # como calcular el desplazamiento vertical o defle%ión # de cualquier punto en función de su abscisa %. &e toma el e%tremo izquierdo como origen del e0e >, dirigido seg6n la dirección inicial de la viga sin deformar, # el e0e ? positivo $acia arriba. &e supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no $a# diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga # la pro#ección de su longitud deformada. n consecuencia la curva el"stica es mu# llana # su pendiente en cualquier punto también es mu# pequeña. l valor de esta pendiente, tan @ A d#7d%, puede $acerse sin error apreciable, igual a @. l producto ) que se llama rigidez a la fle%ión, es normalmente constante a lo largo de la viga. Las apro%imaciones $ec$as, el "ngulo por la tangente # d% por ds no tienen influencia apreciable en la e%actitud de la e%presión de la ecuación de la el"stica de una viga # en efecto sustitu#endo -7 B por su valor e%acto. &i las condiciones de carga varan a lo largo de la viga, la ecuación de momentos también tendr" la variación correspondiente. sto requerira una ecuación de momentos entre cada dos puntos sucesivos de discontinuidad de cargas *cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma en las cargas repartidas+, lo que dara lugar a dos integraciones para cada tramo #, por consiguiente dos constantes para cada tramo también. La determinación de estas constantes se $ace laboriosa # se est" e%puesto a errores. 1fortunadamente, estas complicaciones pueden evitarse escribiendo una 6nica ecuación de momentos v"lida para toda la viga, pese a las discontinuidades de carga. l método de la doble integración para el c"lculo de las deformaciones consiste en la aplicación de la ecuación diferencial de la el"stica desarrollada por el )ngeniero Civil 1lem"n =tto Mo$r, el cual e%presa que la da derivada de la el"stica es igual a la curvatura del momento afectada por su modulo de fle%ión, siendo entonces la -era integral de la curvatura del momento igual al "ngulo de rotación de la el"stica # la da integral de la curvatura del momento de la ecuación de la el"stica.
s importante destacar que al aplicar la ecuación diferencial de la el"stica aparecer"n las que son las constantes de integración, la cual encontraremos sus valores, al aplicar lo que se conoce como condiciones de bordes o fronteras del elemento. 0emplo:
Determine
la
flec$a
por
doble
integración.
2.3 OBTENCIÓN DE LAS DEFORMACIONES Y DE LA ELÁSTICA POR SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS Cuando una viga es sometida a varias cargas distribuidas o concentradas, es muc$as veces conveniente computar separadamente las pendientes # defle%iones causadas por cada una de las cargas en cuestión. La pendiente # la defle%ión debido a cargas combinadas se obtienen aplicando el principio de superposición # sumando los valores de las pendientes o defle%iones correspondientes a las cargas mencionadas. 0emplos: -. . Caso $iperest"tico La superposición resuelve el efecto de cargas combinadas sobre una estructura mediante la determinación de los efectos que cada carga por separado # sumando algebraicamente los resultados. La superposición puede aplicarse a condición de qué: -. Cada efecto esté relacionado linealmente con la carga que lo produce . /na carga no genere una condición que afecte el resultado de otra carga ;. Las deformaciones resultantes de alguna carga especfica no sean lo suficientemente grandes como para alterar las relaciones geométricas de las partes
l principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matem"tico que permite descomponer un problema lineal en dos o m"s subproblemas m"s sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como superposición o suma de estos subproblemas m"s sencillos. 2écnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema fsico son li neales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema pr"ctico relacionado con una magnitud e%tensiva asociada al fenómeno, cuando est"n presentes los
con0untos de factores causantes 1 # , puede obtenerse como la suma de los efectos de 1 m"s los efectos de .
E Figa con0ugada: s una viga ficticia cu#a longitud es la misma que el de la viga propuesta o viga real # cu#a carga es el diagrama de momentos reducido aplicados de la viga real.
