UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL INGENIERÍA CIVIL
“IMPULSO Y MOMENTO ANGULAR”
CURSO:
Dinámica
CICLO:
IV
SEMESTRE ACADÉMICO:
2017-I
DOCENTE:
Lic. Cristian M. Mendoza Flores
ALUMNOS:
Aranguri alccahua, alccahua, Amílcar Ascencios Tito, Leslie Leslie Bermúdez Tena, Jean Franco Changanaqui Portilla, Irving Ramírez Cruz, Helen Diana.
HUACHO-PERÚ 2017
DINAMICA
ING.CIVIL
DEDICATORIA
Este trabajo está dedicado en primer lugar a dios por brindarnos esta oportunidad en la vida, y en segundo lugar a nuestros padres por los sacrificios que han hecho y siguen haciendo por nosotros pero no menos importante a todos los profesores que se esmeraron en saciar nuestra sed de cultura cuando recién empezamos a dar nuestros primeros pasos en este cada vez más cambiante mundo.
1
DINAMICA
ING.CIVIL
INDICE 1.
INTRODUCCION
……………………………………………………………………...
OBJETIVOS DEL CAPITULO..……………………………………………………… 2. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO……………………………………….. 3. PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL LINEAL PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS ………………………………………………………… …………………………………………………………
4. CONSERVACION DEL MOMENTUM LINEAL PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS ………………………………………………………………………….
2
DINAMICA
ING.CIVIL
INTRODUCCION Hemos centrado nuestra atención en las ecuaciones que relacionan trabajo y energía deducidos al integrar respecto al desplazamiento del punto material la ecuación del movimiento
=
. Como consecuencia encontramos que las variaciones de
velocidad pueden expresarse directamente en función del trabajo o en función de la variación de energía total. En los dos apartados siguientes, vamos a dirigir la atención a la integración de la ecuación del movimiento respecto al tiempo y no respecto al desplazamiento y ello nos llevará a las ecuaciones del impulso y la cantidad de movimiento. Veremos que estas ecuaciones facilitan notablemente la resolución de numerosos problemas en que las fuerzas aplicadas actúan durante intervalos de tiempos cortísimos (como en los problemas de choques) o bien durante intervalos de tiempo especificados.
3
DINAMICA
ING.CIVIL
IMPULSO Y MOMENTO ANGULAR II. OBJETIVOS
Desarrollar el principio de impulso y cantidad cantidad de movimiento lineal para una partícula y aplicarlo para resolver problemas que implican fuerza, velocidad y tiempo.
Estudiar la conservación de cantidad cantidad de movimiento lineal para partículas.
Analizar la mecánica del impacto.
Presentar el concepto de impulso de movimiento angular.
Resolver problemas problemas que implican corrientes de fluidos constantes y propulsión con masa variable.
III. IMPULSO El impulso es el producto entre una fuerza una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud una magnitud vectorial. El vectorial. El módulo módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.
=.∆
(III.1)
Donde:
= impulso medido en = fuerza
()
. .
= tiempo medido en segundos
3.1. IMPULSO DESDE UNA FUERZA DIVERSA. Una fuerza que actúa por un intervalo corto no es constante. Puede ser grande al inicio y tiende a cero, como muestra la gráfica.
FIGURA 1. Impulso Desde Una Fuerza Diversa
4
DINAMICA
ING.CIVIL
En ausencia de cálculo, usamos la fuerza promedio:
= . ∆
……………………………………………………. (III.2) (III.2)
3.2. IMPULSO EN DOS DIMENSIONES: Una pelota de béisbol con una velocidad inicial de V(o) es golpeada con un bate y sale en un ángulo de V (f). El impulso horizontal y vertical es independientes.
FIGURA 2: Grafica De Impulso En Dos Dimensiones.
= +
= + = +
……………………………………..…….. (III.3) ……………………………………
……….... ………........ .... ……………………..……. ……………………..…… .……. ……. (III.4) ….…….…………………..……… …….…………………..……….. ..……... ……... (III.5) (III.5)
...
3.3.- CANTIDAD DE MOVIMIENTO La cantidad
de movimiento, momento
lineal, ímpetu es una magnitud
física fundamental de
tipo vectorial tipo vectorial que describe el movimiento el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. teoría mecánica. La cantidad de movimiento o momento lineal es una magnitud vectorial que relaciona la masa y velocidad de un cuerpo de la siguiente forma:
⃗ ⃗ = m.
(III.6)
TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
A partir de la definición es i nmediato que:
= ⃗ ==………………………………… ………………………………….... ....… …..….. ..….. (III.7) Representa la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula.
5
DINAMICA
ING.CIVIL
IV. PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS. Consideremos de nuevo el movimiento curvilíneo general en el espacio de un punto material de masa m, cuyo vector de posición es r con con relación a un origen fijo O. La velocidad de esa partícula es v =
̇
y es tangente a su trayectoria (que se representa en trazo discontinuo). La resultante y
∑
de todas
las fuerzas actuantes sobre m tiene la misma dirección y sentido que su aceleración. La ecuación fundamental del movimiento, para esta partícula podemos escribirla en la forma.
FIGURA 3.
∑ = ̇ = () )
O sea
∑ = ̇
……………..……… (III.8) ……………..……… (III.8)
Donde, por definición, el producto de la masa por la velocidad es la cantidad de movimiento
.
de la masa puntual o partícula. Según la ecuación
∑ = ̇ ./
=
la resultante de todas las fuerzas
que actúan sobre un punto material es igual a la variación por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento. La unidad de cantidad de movimiento será
o lo que es lo mismo
. .
.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS El principio de Impulso y cantidad de movimiento lineales se utiliza para resolver problemas que implican fuerza, tiempo y velocidad, puesto que estos términos intervienen en la formulación. Para su aplicación se sugiere el siguiente procedimiento.
Diagrama de cuerpo libre
a. Establesca el marco de referencia inercial , , y trace el diagrama de cuerpo libre de la partícula que incluya todas las fuerzas que producen impulsos en la partícula.
b. Deberá establecer la dirección y sentido de las velocidades inicial y final de la partícula.
6
DINAMICA
ING.CIVIL
c. Si un vector es desconocido, suponga que el sentido de sus componentes está en la dirección de la(s) coordenada(s) inercial(es) positiva(s).
d. Como un procedimiento alternativo, trace los diagramas de impulso y cantidad de movimiento de la partícula como se planteó en la referencia a la figura.
V. PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO. a. De acuerdo con el sistema de coordenadas establecido, aplique el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales,
– –
+ ∫ ∑ =
. Si el movimiento ocurre en el
plano , las dos ecuaciones de componentes vectoriales de en el diagrama de cuerpo libre o al utilizar los datos que aparecen en los diagramas de impulso y cantidad de movimiento. b. Tenga en cuenta que todas las fuerzas que actuan en el diagrama de cuerpo libre de la partícula crearán un impulso aun cuando algunas de estas fuerzas no trabajen. c. Las fuerzas que son funciones del tiempo se integran para obtener el impulso. Gráficamente, el impulso es igual al área bajo la curva de fuerza – tiempo. – tiempo.
Ejemplo: VI. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS. Cuando la suma de los impulsos externos que actúan en un sistema de partículas es cero se reduce a una forma simplificada a saber.
∑ () = ∑ ()
……………… (III.9) ………………….. …………………..…. ….……………… (III.9)
Esta ecuación se conoce como la conservación de la cantidad de movimiento lineal. Establece que la cantidad de movimiento lineal total de un sistema de partículas permanece constante durante el lapso de tiempo a . Si estuvimos en la ecuación (5), también podemos escribir.
() = ()
= ∑ .
…………………… (III.10) ………………………….…………………… (III.10)
La cual indica que la velocidad del centro de masa del sistema de partículas no cambia si no se aplican impulsos externos al sistema. La conservación de la cantidad de movimiento lineal se suele aplicar cuando las partículas chocan o interactúan. Para su aplicación, deberá estudiarse con cuidado e diagrama de cuerpo libre de todo el sistema de partículas para identificar las fuerzas que crean o impulsos internos o externos para determinar así en qué dirección(es) se conserva la cantidad de movimiento lineal.
7
DINAMICA
ING.CIVIL
PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS En general, el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales o el de la conservación de la cantidad de movimiento lineal se aplica a un sistema de partículas para determinar las velocidades finales de las partículas justo después del periodo de tiempo considerado. Al aplicar este principio a todo el sistema, los impulsos internos que actuán dentro del sistema, los cuales pueden ser desconocidos, se eliminan del análisis. Para su aplicación se sugiere seguir el siguiente procedimiento.
Diagrama de cuerpo libre
a. Establesca el marco de referencia inercial , , y trace el diagrama de cuerpo libre de la partícula para identificar las fuerzas internas y externas.
b. La conservación de la cantidad de movimiento lineal se aplica al sistema en una dirección donde no hay fuerzas externas o donde las fuerzas pueden ser consideradas no im pulsoras. c. Establezca la dirección y sentido de las velocidades inicial y final de las partículas. Si se desconoce el sentido, suponga que es a lo largo de un eje de coordenadas inercial positivo. d. Como un procedimiento alternativo, trace los diagramas de cuerpo de impulso y cantidad de movimiento de cada una de las partículas.
Ecuaciones de cantidad de movimiento
a.
Aplique el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales, o el de la conservación de la cantidad de movimiento lineal en las direcciones apropiadas.
b.
Si es necesario determinar el impulso interno que actúa en sólo una partícula de un sistema, entonces debe aislarse la partícula (diagrama de
∫
cuerpo libre) y debe aplicarse a esta partícula el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales.
c.
∆
Después de que se calcula el impulso y siempre que se conozca el tiem po durante el cual actúa el impulso, entonces la fuerza impulsora promedio se determina por
/ ∆ ∫ /
=
CHOQUES
8
DINAMICA
ING.CIVIL
Se debe tener muy en cuenta que tanto la cantidad de movimiento como la energía cinética deben conservarse en los choques. Aunque esta afirmación es aproximadamente cierta para cuerpos duros, es falsa para cuerpos suaves o que puedan rebotar más lentamente cuando chocan. Si la energía cinética permanece constante después del choque, se dice que este ha sido perfectamente elástico (caso ideal).
= íí á á
K(sist.) K(sist.) 12 [(( ((1).(1)) + m(2).(2)] = 12 [(1). (1)" + m(2) m(2).. (2)¨] =
NOTA:
Coef. De Restitución:
“e”
Para este caso elástico
Si los cuerpos que chocan entre sí, permanecen juntos después de la colisión, se dice que esta fue perfectamente inelástica. La mayor parte de choques varían entre estos dos extremos.
9
DINAMICA
ING.CIVIL
K= Energía Mecánica
K(sist.) K(sist.) ˃
e=
()¨ −( −()¨ ()−()
; en este caso:
OBS:
e˂1
0≤e≤1
%Q =
) − (.) ) ((.(. )
.100%
%Q = Es el porcentaje de calor que se pierde según el Tipo de choque
10
DINAMICA
ING.CIVIL
IV. MOMENTO ANGULAR El momento angular o momento cinético es una magnitud física de las tres mecánicas (mecánica clásica, cuántica clásica, cuántica y relativista). relativista). En el Sistema el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s. Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv.
8.1. FORMULACION ESCALAR Si una partícula se mueve a lo largo de una curva situada en el plano
– –
, de la figura, la cantidad
de movimiento angular en cualquier instante se determ ina con respecto al punto z) por medio de una formulación escalar.
(en realidad al eje
La magnitud de Ho es:
FIGURA. Grafica De Formulación Escalar
() =()()
…………………………………………….. ………………………………………… ….. (IV.1)
Aquí, d es el br azo de momento o distancia perpendicular de O a la línea de acción de mv . Unidades para (Ho) z son kg.m 2/s o slug.pie2/s. La dirección de
se define por medio de la regla de la mano
derecha. Como se muestra, la curva de los dedos de la mano derecha indica el sentido de rotación de
mv con con respecto a O, de modo que en este caso el pulgar (o
a lo largo del eje z.
) está dirigido perpendicular al plano
11
DINAMICA
ING.CIVIL
8.2. FORMULACION VECTORIAL. Si la partícula se mueve a lo largo de una curva especial, el pr oducto vectorial (o producto cruz) puede utilizarse para determinar la cantidad de movimiento angular con con respecto a . En este caso
FIGURA. Grafica De Formulación Escalar
=∗
………………..…………………..…………… ………………..……………… …..…………… (IV.2)
Aquí, r denota denota un vector de posición trazado del punto O a la partícula. Como se muestra en la f igura (), Ho es perpendicular al plano sombreado que contiene r y y mv . Para evaluar el producto vectorial, r y mv deberán expresarse en función de sus componentes cartesianas, de modo que la cantidad de movimiento angular se determina al evaluar determinante:
= | |
………. ……….……………………………… (IV.2)
7. RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO DE UNA FUERZA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Los momentos con respecto al punto de todas las fuerzas que actúan en la partícula de la figura () pueden relacionarse con su cantidad de movimiento angular al aplicar la ecuación de movimiento. Si la masa de la partícula es constante, podemos escribir
12
DINAMICA
ING.CIVIL
∑ = ̇
……….….. ……….…..……………….…………………… ……………….…………………… (IV.3) (IV.3)
Los momentos de las fuerzas con respecto al punto O se obtienen mediante una multiplicación de producto vectorial en ambos lados de esta ecuación por el vector de posición r , el cual se mide con respecto al marco de referencia inercial x, y, z. Tenemos
∑ = ∑ = ̇
………. ……….……………………………… (IV.4) (IV.4)
Según el apéndice B, la derivada de r x x mv se se escribe como
̇ = d ( ∗ mvmv) = ̇ ∗ mv + ∗ ∗ mv
….………………...……… ……… (IV.2) ̇ ….………………...
El primer término del lado derecho, r x mv = m (r x r ) = 0, puesto que el producto vectorial de un vector por sí mismo es cero. Por consiguiente, la ecuación anterior se escribe
∑ = ∑ ̇
……..….……………………………… ……..….……………………… ……… (IV.2)
La cual establece que el momento resultante con respecto al punto de todas las fuerzas que actúan en la partícula es igual al cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento angular con respecto al punto . Este resultado es semejante a la ecuación es semejante a la ecuación (), es decir:
=
∑ = ̇
…….……..………..………………………… (IV.2) …….……..………..…………………………
Aquí , de modo que la fuerza resultante que actúa en la partícula es igual al cambio con respecto de su cantidad de movimiento lineal. Por las derivaciones, se ve que las ecuaciones ( ) y () en realidad son otra forma de formular la segunda ley del movimiento de Newton. En otras secciones de este libro se demostrara que estas ecuaciones tienen muchas aplicaciones prácticas cuando se ampliara y aplican a problemas que incluyen un sistema de partículas o un cuerpo rígido.
Figura.
13
DINAMICA
ING.CIVIL
14
DINAMICA
ING.CIVIL
8. APLICACIONES PRÁCTICAS EN LA INGENIERIA Ejem 1: El codo de una tubería enterrada de 5 pulgadas de diámetro está sometido a una presión
estática de 10 lb/ . La rapidez del agua que pasa por el codo es v = 8pies/s. Suponiendo que las conexiones de los tubos en los puntos A y B no ofrecen ninguna resistencia de fuerza vertical sobre el codo, determine la fuerza vertical resultante F que el suelo debe ejercer entonces sobre el codo para mantenerlo en equilibrio. Desprecie el peso del codo y del agua dentro de él. = 662.4lb/ .
ESCANEO (pag 384 SOLUCIONARIO)
Solución ESCANEO (pag 384 - SOLUCIONARIO) Calculo de la fuerza vertical resultante F:
Q = v .A. A = 8 [ ]= 1.09083 /s = _ = . (1.091) 1391 / / . 91) = 2.11391
El caudal volumétrico que circula es:
.
El caudal másico que circula es:
.
La fuerza normal debido a la presión estática en la entrada y salida es:
F = p . A = [ (5)] = 62.5 lb
.
Por principio de impulso y momentum en y:
Con datos:
∑ = ( )
;
+ 2 (62. (62.5 (45°)) (45°)) = 2.114 ( 8 (45°) (45°) – 8 (45° (45°)))) ; = 302 .
15
DINAMICA
ING.CIVIL
Conclusión
16
DINAMICA
ING.CIVIL
BIBLIOGRAFIA
1.
Hibbeler, R.C. Mecánica vectorial para ingenieros: “Dinámica”. Décima edición México; Editorial. Prentice Hall. Pearson Educación, S. A. de C. V. 2004.
2.
Merian, J. L, Kraige. Mecánica para Ingenieros: “Dinámica”. Tercera Edición. Madrid: Reverte 2004.
3.
PUCP: “Dinámica”. Unidad 4: Cinética de un sistema de partículas. partículas. PAGINA
4.
WEB: WEB: http://es.scribd.com/doc/86385689/Cinetica-de-Sistemas-de-Particulas.
17
