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L ANDEO ANTEZANA, S ANDRO
UNIVERDIDAD N ACIONAL DE HUANCAVELICA CIVIL – HUANCAVELICA HUANCAVELICA
Huancavelica –Perú ______________________ __________________________________ _______________________ ______________________ ______________________ ______________ ___
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CONTENIDO
Pág.
DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION......................... 3 Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney ......................................... 3 ........................................................................................ 3 ....................................................... 8 DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION EN PORTICOS ...... 11
Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney. ...................................... 11 Utilizando la fórmula de Maxwell para cada tramo. ................................. 11 .......................................................................................... 12 Diagrama de fuerzas cortantes. .................................................................. 15 Comprobando los Resultados con Software sap2000 ................................. 16 Diagrama de fuerza cortante ................................................................... 16 Diagrama de momento flector.................................................................. 17 .............................................................................................. 18
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DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION
Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney La ecuación siguiente es para secciones constantes ∆ ∆ = ° ∗∗ ∗ ∗ − ∗ =
∆ ∆ = ° ∗∗ ∗ ∗ − ∗ =
Las ecuaciones anteriores no permiten primeramente calcular los giros en los apoyos o en nudos de pórticos y desplazamientos de los nudos de pórticos o sistemas donde existen rotulas.
Dibujar el Diagrama de Momento Flector y Fuerza Cortante debidamente acotada para la figura mostrada si EI= cte 10 tn
10 tn 10ton-m
12 tn
10 tn
4 tn/m 2m
A
C
D
B
1.5 m
1.5 m
3m
3m
1.5 m
6m
2m
Momentos de empotramiento perfecto P W
a
b B
A
B
A LAB m
LAB
=
∗∗2 − 2
=
∗∗2 2
=
∗2 − 12
∗2 = 12
La carga en puntual volado lo convertimos en un momento externo para el apoyo A 3
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Tramo AB: ∗∗
Tramo BC:
∗∗
= − + − +
∗∗
= − +
=
= ∗∗ +
=
∗∗ = ∗∗ + +
Tramo CD:
∗ − ∗
Tramo AB:
∗ .+ ∗. = − ∗.∗+. − = −11.813 tn − m
∗.∗.+ = ∗+.∗. = 12.938 tn − m
Tramo BC:
= − ∗∗ = −4.800 [Tn − m] + Tramo CD:
= ∗∗ = 7.200 [Tn − m] +
= − ∗ = −12.00 [Tn − m]
= ∗ = 12.00 [Tn − m]
= -11.813 [Tn-m] = 12.938 [Tn-m] = -4.800 [Tn-m]
= 7.200 [Tn-m] = -12.000 [Tn-m] = 12.000 [Tn-m]
Utilizando la fórmula de o ecuación de Mohr o Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney para cada tramo. ∆ ∆ = ° ∗∗ ∗ ∗ − ∗ = =
∆ ∆ = ° ∗∗ ∗ ∗ − ∗ = =
Debido a que no existe asentamiento en los apoyos o no existe rotulas para considerar la variable Tramo AB:
TramoBC
= ° =
°
∗∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗
= −11.813 ∗ ∗ ∗ = 12.938 ∗ ∗ ∗
= ° ∗∗ ∗ ∗
=
∗∗ ∗ ∗
°
= −4.800 ∗ ∗ ∗ = 7.200 ∗ ∗ ∗
TramoCD:
= ° ∗∗ ∗ ∗
∗∗ ∗ ∗
°
= --------------------------------------------------------------------------------------------------------- = −12.000 ∗ ∗ ∗ 4
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= 12.000 ∗ ∗ ∗ Sumatoria de equilibrio estático Nudo A Nudo B Nudo C Nudo D
MAB+Mext(+10)+Mext(+volado)=0 MBA+MBC=0 MCB+MCD=0 MDC+Mext(-volado)=0
De la sumatoria de equilibrio estático tenemos la siguiente expr esión en sistema de ecuaciones. 0.6667 * θA +
0.333333 *θB +
0.0000 *θC + 0.0000 * θD =
-13.18750 0.0000 * θD = -8.13750 0.3333 * θD = 4.80000 0.6667 * θD = -4.00000
0.3333 * θA +
1.466667 *θB +
0.4000 *θC +
0.0000 * θA +
0.400000 *θB +
1.4667 *θC +
0.0000 * θA +
0.000000 *θB +
0.3333 *θC +
Forma matricial para el sistema de ecuaciones 0.666667 0.333333 0.000000 0.000000 θA = -13.18750 0.333333 1.466667 0.400000 0.000000 θB = -8.13750 0.000000 0.400000 1.466667 0.333333 θC = 4.80000 0.000000 0.000000 0.333333 0.666667 θD = -4.00000 Utilizando la siguiente expresión determinamos los giros en cada nudo
= − ∗ θA θB θC θD
= = = =
1.7124183 -0.4248366 0.1307190 -0.0653595
-0.4248366 0.8496732 -0.2614379 0.1307190
0.1307190 -0.0653595 -13.18750 -0.2614379 0.1307190 -8.13750 0.8496732 -0.4248366 4.80000 -4.00000 -0.4248366 1.7124183
Giros finales θA = θB = θC= θD =
-18.2365196 -3.08946078 6.181372549 -9.09068627
Calculando los momentos finales en cada extremo del elemento = -11.813 + = 12.938 + = -4.800 + = 7.200 + = -12.000 + = 12.000 +
0.667 * θA + 0.333 * θA + 0.000 * θA + 0.000 * θA + 0.000 * θA + 0.000 * θA +
0.333 *θB + 0.667 *θB + 0.800 *θB + 0.400 *θB + 0.000 *θB + 0.000 *θB +
0.000 *θC + 0.000 *θC + 0.400 *θC + 0.800 *θC + 0.667 *θC + 0.333 *θC +
0.000 * θD 0.000 * θD 0.000 * θD 0.000 * θD 0.333 * θD 0.667 * θD
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Reemplazando los giros en la ecuación precedente -11.813 + 12.938 + -4.800 + 7.200 + -12.000 + 12.000 +
= = = = = =
0.667 * -18.237 + 0.333 * -18.237 + 0.000 * -18.237 + 0.000 * -18.237 + 0.000 * -18.237 + 0.000 * -18.237 +
0.333 *-3.089 + 0.667 *-3.089 + 0.800 *-3.089 + 0.400 *-3.089 + 0.000 *-3.089 + 0.000 *-3.089 +
0.000 *6.181 + 0.000 *6.181 + 0.400 *6.181 + 0.800 *6.181 + 0.667 *6.181 + 0.333 *6.181 +
0.000 * -9.091 0.000 * -9.091 0.000 * -9.091 0.000 * -9.091 0.333 * -9.091 0.667 * -9.091
Momentos finales = -25.000 [Tn-m] = 10.909 [Tn-m] [Tn-m] = -10.909 [Tn-m] = 4.799 = -4.799 [Tn-m] = 8.000 [Tn-m]
Con los momentos finales podemos calcular los esfuerzos en cada extremo de cada elemento. EL TIPO DE CARGAS P
W
a
Mij
j
i
Mji
Mij
j
i
Mji
Lij
Lij
Carga Puntual
Carga Distribuida Qij
b
Qji
Qij
Qji
Cortante debido a las cargas =
= =
∗
; = −
∗
= − ∗ ;
= ∗
− ∗ ( ) … … … … … … … … − − ∗ ( ) … … … … … … … …
Reemplazando en las dos ecuaciones. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10∗4.5 12∗1.5 1 = − ∗ = − ∗ −25.000 4.799 6 6 6 10∗1.5 12∗4.5 1 = − − ∗ = − − − ∗ −25.000 4.799 6 6 6 10∗2 1 = − ∗ = − ∗ −4.799 10.909 5 5 10∗2 1 = − − ∗ = − − ∗ −4.799 10.909 5 5 4∗6 1 = − ∗ = − ∗ −10.909 8.000 2 6
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4∗6 1 ∗ = − − ∗ −10.909 8.000 2 6 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- = − −
Cortantes finales = 13.867 [Tn] = -8.133 [Tn] = 2.778 [Tn]
= -7.222 [Tn] = 12.485 [Tn] = -11.515 [Tn]
Diagrama de los momentos flectores y fuerzas cortantes de la viga. Diagrama de Fuerzas Cortantes 13.867tn
12.485tn
13.867tn 2.778tn
2.778tn
3.867 ton
A
D
C
B
8.133tn 10.00tn
8.000tn
8.133tn
10.00tn
7.222tn
7.222tn
-11.515tn
Diagrama de momentos flectores -25.000
-10.909
-15.00 -4.799
-8.000
-4.799
-4.200 A
+7.401
D
C
B
+3.535
+8.575
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DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION EN PORTICOS Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney. La ecuación siguiente es para secciones constantes ∆ ∆ = ° ∗∗ ∗ ∗ − ∗ =
∆ ∆ = ° ∗∗ ∗ ∗ − ∗ =
P
W
ij
j
i
Mji
Lij
Utilizando la fórmula de Maxwell para cada tramo.
°
DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION EN PORTICOS Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney. La ecuación siguiente es para secciones constantes ∆ ∆ = ° ∗∗ ∗ ∗ − ∗ =
∆ ∆ = ° ∗∗ ∗ ∗ − ∗ =
P
W
ij
i
j
Mji
Lij
Utilizando la fórmula de Maxwell para cada tramo.
= ° ∗ ∗ − = ° ∗ ∗ − = ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ Las ecuaciones anteriores no permiten primeramente calcular los giros en los apoyos o en nudos de pórticos y desplazamientos de los nudos de pórticos o sistemas donde existen rotulas.
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TRABAJO DOMICILIARIO UNH- 2016 -II
Para el pórtico mostrado dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores las secciones y propiedades físicas se dan en la figura. 0.80 tn/m
A
5m
4m 30*40 cm
B
6m 30*40 cm
C
30*40 cm
D
f'c=210 Kg/cm2 30*50 cm
6m
E
VIGA COLUMNAS
LONG.
0.30 0.30
L AB 4m 15
0.40 0.50 MIN=
0.001600 I 0.003125 I 0.002 I
LBC 5m 12
LCD 6m 10
1.00 I 1.95 I
LCE 6m 10
MCM=60
INERCIAS
I AB 1.000 I
IBC 1.000 I
ICD 1.000 I
ICE 1.953 I
RIG. REL.
15.000 I
12.000 I
10.000 I
19.531 I
= = W
B
A LAB m
∗2 = − 12
∗2 = 12
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Momentos d empotramiento perfecto, utilizando la figura anterior para carga distribuida uniforme.
° = ° = ° = ° =
-1.06667 [Tn-m] ° = -2.4 [Tn-m] ° 1.066667 [Tn-m] = 2.4 [Tn-m] ° -1.66667 [Tn-m] = 0 [Tn-m] ° 1.666667 [Tn-m] = 0 [Tn-m] Utilizando la ecuación de Maxwell, para cada elemento vertical y horizontal.
= ° ∗ ∗ ; = = ° ∗ ∗ ; = En este caso no existe desplazamiento horizontal y vertical de los elementos, por lo tanto solo se usara la ecuación anterior. = = = = = = = =
-1.06667+
30.000 * θA +
15.00 * θB+
0.00 * θC+
0.00 * θD+
0.00 * θE
1.066667+
15.000 * θA+
30.00 * θB+
0.00 * θC+
0.00 * θD+
0.00 * θE
-1.66667+
0.000 * θA+
24.00 * θB+
12.00 * θC+
0.00 * θD+
0.00 * θE
1.666667+
0.000 * θA+
12.00 * θB+
24.00 * θC+
0.00 * θD+
0.00 * θE
-2.40000+
0.000 * θA+
0.00 * θB+
20.00 * θC+
10.0 * θD+
0.00 * θE
2.40000+
0.000 * θA+
0.00 * θB+
10.00 * θC+
20.00 * θD+
0.00 * θE
0.00000+
0.000 * θA+
0.00 * θB+
39.06 * θC+
0.00 * θD+
0.00 * θE
0.00000+
0.000 * θA+
0.00 * θB+
19.53 * θC
0.00 * θD+
0.00 * θE
Equilibrio estático. 30.000 * θA + 15.00 * θB+ 15.000 * θA + 54.00 * θB+ 0.000 * θA + 12.00 * θB+ 0.000 * θA + 0.00 * θB +
1.06667 0.60000 0.73333 -2.40000 Llevamos a un modo de sistemas ecuaciones para la sencilla solución. 30.0000 15.0000 0.0000 0.0000 θA θB θC θD
0.00 * θC+ 0.00 * θD= 12.00 * θC+ 0.00 * θD= 83.06 * θC+ 10.00 * θD = 10.00 * θC+ 20.00 * θD =
15.0000 0.0000 0.0000 θA 54.0000 12.0000 0.0000 θB = 12.0000 83.0625 10.0000 θC 0.0000 10.0000 20.0000 θD Utilizando la ecuación = − ∗
0.03893177 -0.0111969 = 0.00172122 -0.0008606
-0.011197 0.0223937 -0.003442 0.0017212
0.00172122 -0.00344243 0.01333943 -0.00666971
1.06667 0.60000 0.73333 -2.40000
-0.0008606 0.00172122 -0.0066697 0.05333486
1.06667 0.60000 0.73333 -2.40000
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Los giros en cada nudo de la estructuras aporticada. θA = θB = θC = θD = θE =
0.03814 -0.00516 0.02556 -0.13278 0.00000 Reemplazando los giros en la ecuaciones anteriormente. = = = = = = = =
-1.066667 1.066667 -1.666667 1.666667 -2.4 2.4 0.00 0.00
+1.1441035 +0.5720517 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 0.00 0.00
[rad] [rad] [rad] [rad] [rad] de Maxwell determinados
-0.0774368 -0.1548736 -0.12390 -0.0619495 0.00 +0.00 0.00 0.00
+0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.306721 +0.00 +0.00 +0.613442 +0.00 +0.00 +0.511201 -1.32780 +0.00 +0.255601 -2.65560 +0.00 0.998440 0.0000000 0.00 0.499220 0.0000000 0.00
Los momentos finales en cada extremo de los elementos
= 0.00000 = 1.48384 = -1.48384 = 2.21816
[Tn-m] [Tn-m] [Tn-m] [Tn-m]
= = = =
-3.21660 0.00000 0.99844 0.49922
[Tn-m] [Tn-m] [Tn-m] [Tn-m]
Para determinar las cortantes finales en cada extremo del elemento bastara utilizar solo las ecuaciones de la estática. Los cortantes finales en cada extremo de los elementos. El procedimiento del cálculo de las cortantes se pr ocede al igual que en la viga del problema anterior.
= = = =
1.229039 -1.97096 1.853137 -2.14686
[Ton] = 2.9361 [Ton] = -1.8639 [Ton] = -0.24961 [Ton] = -0.24961
[Ton] [Ton] [Ton] [Ton]
Los diagramas de fuerzas cortantes se grafican a continuación, con los valores calculados de momentos y cortantes finales.
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Diagrama de fuerzas cortantes. 2.936 ton 1.229 ton
1.853 ton
x=2.316 m x=1.536 m
A
x=3.670 m
C
B
2.147 ton
D
1.864 ton
1.971 ton
E
0.250 ton
Diagrama de Momentos Flectores. -3.217 t-m
-1.484 t-m
-2.218 t-m
0.00 t-m
0.00 t-m
A
B 0.944 t-m
m-
C t
0.662 t-m
8 9 9.
2.171 t-m
0
D
mt 9 9
E
4. 0-
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Comprobando los Resultados con Software sap2000
Diagrama de fuerza cortante
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Diagrama de momento flector Cxzcx
A|RW34578 ¿ ’
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Resistencia de materiales I y II. (A. Arteaga. N, P. Iberico C, Gonzales, A. Mego C.)
Análisis estructural (Teoria y Problemas Resueltos, Ing. Biaggio Arbulú G.-UNI)
Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen II, Ing. Biaggio Arbulú G.-UNI)
Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen III, Ing. Biaggio Arbulú G.-UNI)
Apuntes de Clases de Resistencia de Materiales I y II – “Universidad Nacional de Huancavelica” (2014 -I,
2014-II) ING.
CABALLERO SANCHEZ, Omar.
Apuntes de clases de Análisis Estructural I - II –“Universidad Nacional
de
Huancavelica
“2015 -I,
ING. CABALLERO
SANCHEZ, Omar.
Apuntes de Clases de Resistencia de Materiales I y II – “Universidad Nacional de Huancavelica”
ING. BENDEZU BOZA,
Reyder E.
Apuntes de clases de Análisis Estructural I – II –“Universidad Nacional de Huancavelica “2015 -I,
ING. BENDEZU BOZA,
Reyder E.
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