EJEMPLO: A partir de los siguientes datos de levantamiento topográfico, determine: a) coordenadas de cada uno de los vértices de la poligonal b) superficie total del poligono de base
ángulos int Azimut EST. P.V. DISTANCIA Vert (m) 27,60 169°10'40'' 97°47'20'' 1 2 1 74,93 100°07'20'' Estos valores 2 3 2 corresponden al 45,81 87°02'00'' 3 4 3 promedio de las lecturas 17,27 235°03'00'' 4 5 4 de ida y regreso. 40,26 128°14'00'' 5 6 5 61,50 98°31'20'' 6 7 6 39,70 129°28'40'' 7 8 7 52,88 132°20'20'' 8 1 8 359,95 1079°57'20'' S angInts Perímetro, P = Solución: 8 Número de vértices, n = 𝑜 Suma teórica de ángulos internos = = 1080°00'00'' 180 𝑛 − 2 Error angular, Ea = 1080°00'00''
-
aproximación del Tránsito, a = Tolerancia angular =
𝑇𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑛
=
1079°57'20''
=
0°02'40''
0°01'00'' (para el equipo que usamos, a = 0°00'05'') 0°02'50''
como Ea
𝐸𝑎 = 𝑛
0°00'20''
ángulos int
Estos valores corresponden al promedio de las lecturas de ida y regreso, sin
Vert 1 2 3 4 5 6 7 8
169°10'40'' 100°07'20'' 87°02'00'' 235°03'00'' 128°14'00'' 98°31'20'' 129°28'40'' 132°20'20''
C
Ang.Int.correg.
+ 0°00'20'' 169°11'00'' = + 0°00'20'' 100°07'40'' = + 0°00'20'' 87°02'20'' = + 0°00'20'' 235°03'20'' = + 0°00'20'' 128°14'20'' = + 0°00'20'' 98°31'40'' = + 0°00'20'' 129°29'00'' = + 0°00'20'' 132°20'40'' = Suma de ángulos internos correg. = 1080°00'00''
Cálculo de los Azimuts, de cada vértice. (estos cálculos se realizan con los ángulos ya corregidos) 97°47'20'' + 180°00'00'' = 277°47'20'' Az inv 1-2 = este azimut sólo se Az 2-3 = Az inv 1-2 + AngInt 2 - 360° = 17°55'00'' calcula por No hay una sola manera, ni fórmula Az 3-4 = 180° + Az 2-3 + AngInt 3 = 284°57'20'' comprobación, pues es para calcular los azimuts de una Az 4-5 = (Az 3-4 - 180°) + AngInt 4 = 340°00'40'' un dato que se tiene poligonal, dependerá de la Az 5-6 = (Az 4-5 - 180°) + AngInt 5 = 288°15'00'' desde el principio, del configuración, orientación y ángulos Az 6-7 = (Az 5-6 - 180°) + AngInt 6 = 206°46'40'' internos. Se requiere de visión Az 7-8 = (Az 6-7 - 180°) + AngInt 7 = 156°15'40'' Az 8-1 = (Az 7-8 + 180°) + AngInt 8 - 360° = 108°36'20'' Az 1-2 = (Az 8-1 + 180°) + AngInt 1 - 360° = 97°47'20''
Una vez calculados los azimuts, se obtienen los rumbos de cada lado de la poligonal. EST P.V RUMBO 1 S 82°12'40'' E 82,21 2 2 N 17°55'00'' E 17,92 3 3 N 75°02'40'' W 75,04 4 4 N 19°59'20'' W 19,99 5 5 N 71°45'00'' W 71,75 6 6 S 26°46'40'' W 26,78 7 7 S 23°44'20'' E 23,74 8 8 S 71°23'40'' E 71,39 1 Cálculo de proyecciones: EST P.V. 1 2 2
3
Se obtuvieron de aplicar las fórmulas indicadas y se ordenaron según la orientación norte, sur, este y oeste, según se indica en los rumbos. El signo (+) ó (-), es según la orientación del plano cartesiano
Proy en "x" = (Dist 1-2)*sin(Rbo 1-2) Proy en "y" = (Dist 1-2)*cos(Rbo 1-2) Proy en "x" = (Dist 2-3)*sin(Rbo 2-3) Proy en "y" = (Dist 2-3)*cos(Rbo 2-3)
EST 1 2 3 4 5 6 7 8
Observe que las sumas de las proyecciones no son iguales, lo que significa que la poligonal no cerrará linealmente.
P.V 2 3 4 5 6 7 8 1
Error de las proyecciones en "x", Ex = Suma XE - Suma XW =
PROYECC. EN "Y" N S (+) (-) 0 3,74 71,30 0 11,82 0 16,23 0 12,61 0 0 54,90 0 36,34 0 16,87 111,96 111,86 0,390
PROYECC. EN "X" E W (+) (-) 27,35 0 23,05 0 0 44,26 0 5,90 0 38,23 0 27,71 15,98 0 50,12 0 116,49 116,10
El denominador puede ser 10 000 para un levantamiento preciso, 5000 para uno de primer orden, 3000 para uno de segundo orden, 1000 para uno de tercer orden y 500 para un terreno muy accidentado.
Error de las proyecciones en "y", Ey = Suma YN - Suma YS = 0,098 Error de cierre lineal, 0,403 𝐸𝐿 = 𝐸𝑥 2 + 𝐸𝑦 2 = Tolerancia lineal, TL = P/ 500 = 0,720 Como EL
𝐾𝑥 =
𝐸𝑥 Σ𝑋𝐸 + Σ𝑋𝑊
=
0,00168
𝐸𝑦 Σ𝑌𝑁 + Σ𝑌𝑆
=
0,00044
𝐾𝑦 =
Cálculo de las correcciones, en "x": EST P.V PROY EN "x" 1 2 27,35 2 3 23,05 3 4 44,26 4 5 5,90 5 6 38,23 Observe que la sumas de las correcciones deberá ser 6 7 27,71 igual al error lineal en esa 7 8 15,98 dirección (es una 8 1 50,12 comprobación)
x x x x x x x x
Kx 0,00168 0,00168 0,00168 0,00168 0,00168 0,00168 0,00168 0,00168
= = = = = = = = Ex =
0,046 0,039 0,074 0,010 0,064 0,046 0,027 0,084 0,390
Cálculo de las correcciones, en "y": EST P.V 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1
3,74 71,30 11,82 16,23 12,61 54,90 36,34 16,87
x x x x x x x x
0,00044 0,00044 0,00044 0,00044 0,00044 0,00044 0,00044 0,00044
= = = = = = = = Ey =
0,002 0,031 0,005 0,007 0,006 0,024 0,016 0,007 0,098
Cálculo de proyecciones corregidas, en "x" EST P.V Proy s/correg 1 2 27,35 2 3 23,05 3 4 44,26 4 5 5,90 5 6 38,23 6 7 27,71 7 8 15,98 8 1 50,12
+ + + + -
corrección 0,046 0,039 0,074 0,010 0,064 0,046 0,027 0,084
= = = = = = = =
Proy corregid 27,30 23,01 44,33 5,91 38,30 27,75 15,96 50,03
Cálculo de proyecciones corregidas, en "y" EST P.V Proy s/correg 1 2 3,74 2 3 71,30 3 4 11,82 4 5 16,23 5 6 12,61 6 7 54,90 7 8 36,34 8 1 16,87
+ + + +
corrección 0,002 0,031 0,005 0,007 0,006 0,024 0,016 0,007
= = = = = = = =
Proy corregid 3,74 71,26 11,82 16,22 12,60 54,93 36,36 16,88
S (-)
E (+)
Así se tienen las proyecciones corregidas:
Observe que las sumas de las proyecciones SÍ son iguales, lo que significa que la poligonal ya cierra linealmente.
EST P.V 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1
N (+) 0 71,26 11,82 16,22 12,60 0 0 0 111,91
3,74 0 0 0 0 54,93 36,36 16,88 111,91
Apartir de estas proyecciones, se obtienen coordenadas rectangulares de la poligonal.
Vert 1 2 Se asigna arbitrariamente como (0,0) a las coordenadas del primer vértice y en seguida se van sumando o restando (según su signo) las proyecciones de los siguientes lados, así se obtienen las coordenadas de cada uno de los vértices. El último cálculo (Vért. 1) se realiza sólo
3 4 5 6 7 8 1
COORDENADAS X Y 0,00 0,00 27,30 -3,74 23,01 71,26 50,31 67,52 -44,33 11,82 5,98 79,34 -5,91 16,22 0,07 95,56 -38,30 12,60 -38,23 108,16 -27,75 -54,93 -65,99 53,24 15,96 -36,36 -50,03 16,88 50,03 -16,88 0,00 0,00
W (-) 27,30 23,01 0 0 0
15,96 50,03 116,30
0 44,33 5,91 38,30 27,75 0 0 116,30
A partir de las coordenadas anteriores de cada vértice se obtienen coordenadas para el dibujo de la poligonal en el plano.
Vert 1 2 3 4 5 6 7 8 1
Se suma convenientemente una cantidad a cada una de las componentes de la coordenada del vértice 1 (en este caso 100 a cada una, aunque puede ser otra cantidad; p/e: (100, 50)), para que así se pueda trazar la poligonal en el plano y no resulten coordenadas ni superficies
COORDENADAS X Y 100,00 50,00 127,30 46,26 150,31 117,52 105,98 129,34 100,07 145,56 61,77 158,16 34,01 103,24 49,97 66,88 100,00 50,00
180,00 160,00 140,00 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00 0,00
20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 140,00 160,00 180,00
Cálculo de la superficie de la poligonal (por productos cruzados): Aquí se multiplica cada una de las componentes en "x" (Xi) por cada una de las componentes en y (Yi+1); así, por ejemplo, la componente en "x" del vértice 1 por la componente en "y" del vértice 2 (producto cruzado) ; así sucesivamente hasta que última componente en "x" se multiplica por la
Aquí se multiplica cada una de las componentes en "y" (Yi) por cada una de las componentes en "x" (Xi+1); así, por ejemplo, la componente en "y" del vértice 1 por la componente en "x" del vértice 2 (producto cruzado); así sucesivamente hasta que última componente en "y" se multiplica por la primera componente en "x".
Finalmente, se restan las sumas de cada uno de los productos cruzados y se divide entre 2, el resultado es la superficie de la poligonal.
100,00 127,30 150,31 105,98 100,07 61,77 34,01 49,97
x x x x x x x x
46,26 117,52 129,34 145,56 158,16 103,24 66,88 50,00
= = = = = = = =
4625,79 14960,59 19441,29 15426,58 15826,88 6376,54 2274,72 2498,39 81430,78
50,00 46,26 117,52 129,34 145,56 158,16 103,24 66,88
x x x x x x x x
127,30 150,31 105,98 100,07 61,77 34,01 49,97 100,00
= = = = = = = =
6364,97 6953,11 12454,98 12942,49 8990,91 5379,59 5158,46 6687,88 64932,39
81430,78
-
64932,39
=
2 8249,20 m
