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DISEÑO DE VIGA A FLEXIÓN FLEXIÓN 1. Vigas Las vigas al formar parte de sistemas estructurales como son los pórticos, los puentes y otros, se encuentran sometidas a cargas externas que producen en ellas solicitaciones de flexión, cortante y en algunos casos torsión. Se analizan en este trabajo los esfuerzos y deformaciones que se producen sobre una viga cuando esta se encuentra en flexión. fl exión.
2. Esfuerzos y deformaciones por flexión Los momentos flectores son causados por la aplicación de cargas normales al eje longitudinal del elemento haciendo que el miembro se flexione. Dependiendo del plano sobre el que actúen las fuerzas, de su inclinación con respecto al eje longitudinal y de su ubicación con respecto al centro de cortante de la sección transversal del elemento, se puede producir sobre esta flexión simple, flexión pura, flexión biaxial o flexión asimétrica. Imagen 1 Deformación de la viga en flexión pura
3. Criterio básico de diseño por flexión. El diseño por flexión debe cumplir la condición la cual establece que la resistencia a flexión de una sección de concreto reforzado debe tener una magnitud que exceda o cuando menos sea igual a la del momento último producido por las cargas, es decir:
a) Determinación de la resistencia a la flexión M R.
PUENTES
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Puede demostrarse que el momento resistente depende solamente de las propiedades geométricas de la sección (As, b y d) y de las propiedades mecánicas de los materiales empleados (f’c y fy), es decir:
MR = f (As, b, d, f’c, fy) Recordemos que se define como resistencia a la flexión al máximo momento flexionante que es capaz de soportar una sección de concreto reforzado. Para la determinación de la resistencia de una sección de concreto reforzado, es necesario establecer un mecanismo teórico basado en hipótesis simplificadoras que describa aproximadamente el fenómeno real. En la Imagen 2 se establecen las características geométricas de la sección y propiedades mecánicas de los materiales que intervienen en la magnitud de la resistencia. Imagen 2 Propiedades de la Sección que intervienen en la Resistencia
En la imagen 2 se puede apreciar que la obtención del momento resistente de la sección implica tomar la intensidad del par de fuerzas internas que equilibran el sistema; para ello, es necesario establecer la posición del centroide del diagrama de esfuerzos de compresión y además su volumen. El proceso mencionado puede resultar demasiado complicado, pues además implica disponer de la curva esfuerzo-deformación unitaria del concreto utilizado. Para simplificar el problema se propusieron diversas formas del diagrama de esfuerzos de compresión de modo que se facilitara tanto la ubicación del centroide como la cuantificación del volumen.
PUENTES
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Imagen 3 Diagrama de esfuerzos en una sección cuando esta alcanza su resistencia
La simplificación que tuvo éxito se debe a Whitney, el cual propuso la sustitución del diagrama original por uno de forma rectangular. Las dimensiones relativas de éste diagrama fueron establecidas a partir de pruebas de laboratorio en las cuales se obtuvieron tales dimensiones en base a la igualación del momento experimental con el momento producto de la hipótesis simplificadora. En la imagen 4, puede observarse la configuración de los diagramas de esfuerzos hipotéticos (según Whitney) en concreto y acero cuando la sección alcanza su resistencia. Se puede apreciar que el establecimiento del centroide y el volumen del diagrama de compresión son simples, facilitando así la cuantificación del momento resistente de la sección. Imagen 3 Diagramas Hipotéticos De Esfuerzos
b) Límites en el área de acero. Las Normas Técnicas Complementarias establecen que la sección debe alcanzar su resistencia en forma dúctil, es decir, con grandes deflexiones que permitan al usuario detectar la inminencia de la falla. Para ello, se obliga al diseñador a limitar el área de acero tanto inferior como superiormente:
Dónde:
√
PUENTES
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La expresión (3) es aplicable a vigas que no deben resistir fuerzas sísmicas. En caso contrario, el coeficiente mostrado equivale a 0.75. Para vigas que cumplen las ecuaciones 2 y 3 se pueden aplicar las siguientes expresiones para la obtención del momento resistente.
Dónde:
MR= Momento resistente de una sección
FR= Factor de resistencia para flexión= 0.9
F’c= Esfuerzo uniforme en la hipótesis de Whitney (kg/cm )
b,d = Base y peralte efectivo de la sección (cm)
2
y la cuantía de acero
Donde
También en este caso es claramente que la cuantía mínima de acero es calculada mediante la siguiente fórmula:
√
4. Tipos de problemas del diseño a flexión. En la práctica, existen tres tipos de problema:
Problemas de revisión. En estos problemas se verifica que el momento resistente MR de la sección es mayor o cuando menos igual al momento último MU
Problemas de dimensionamiento. En estos problemas solamente se conoce el momento último que se desea resistir y las propiedades mecánicas de los materiales (f’c y fy). Las
incógnitas son las propiedades geométricas b, d y As.
PUENTES
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Problemas de armado. En este tipo de problemas se conoce el momento último MR, las propiedades mecánicas de los materiales (f’c y fy) y las dimensiones b y d. Solamente se tiene como incógnita el área de acero As.
5. Procedimiento de cálculo de vigas a flexión utilizando la formula general METODO DE LA FORMULA GENERAL
Calculo del momento último actuante
Kn w*f w*f’c ’c
Norma E-060 10 junio del 2006 Norma E-060
julio del 2007
Norma ACI
Calculo del momento resistente nominal
Mn = Kn*b* (1-0.59w) Ku = -0.59w)
Para el diseño de una sección el momento resistente nominal debe satisfacer la siguiente relación
Mu
Mn
La cantidad de acero requerida por la sección puede ser determinada usando las siguientes formulas
Cálculo del índice de refuerzo w
w f c Cálculo de la cuantía
Cuantía máxima
PUENTES
w ffc ……………………. Zonas de baja sismicidad
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……………………. Zonas de alta sismicidad
Cuantía mínima
√
Se toma la mayor
Cálculo del área de acero As =
PUENTES
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DISEÑO DE UNA SECCION POR CORTE 1. COMPORTAMIENTO Los elementos estructurales de hormigón armado sometidos a fuerzas cortantes, tienen un comportamiento más complejo que su comportamiento bajo solicitaciones flexionantes. La resistencia a la compresión y a la tracción del hormigón simple, la orientación del refuerzo de acero con relación a las fisuras de corte, y la proximidad de cargas concentradas, el nivel dentro de la viga en el que actúan las cargas, son algunos de los factores que definen los mecanismos que se desarrollan dentro de los elementos estructurales para resistir las fuerzas cortantes. La presencia simultánea de todos estos factores determina que las fallas por cortante sean frágiles, lo que es una característica indeseable que debe ser controlada durante el proceso de diseño.
2. ESFUERZOS CORTANTES
Dónde: v= esfuerzo cortante referencial promedio V: Fuerza cortante bw: Ancho del alma resistente al cortante d: Distancia desde el centroide del acero de refuerzo hasta la fibra extrema en compresión Imagen 4 sección de la viga rectangular
PUENTES
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3. RESISTENCIA A CORTANTE EN VIGAS DE HORMIGÓN SIN REFUERZO EN EL ALMA:
La combinación de la flexión y el cortante sobre los elementos estructurales planos genera un estado biaxial de esfuerzos. Imagen 5 combinación de cargas
En la estructura analizada, la fisuración de tracción por flexión domina en la zona central, mientras que la fisuración de tracción por cortante domina la zona cercana a los apoyos.
Imagen 6 fisuración debido a esfuerzos cortantes
PUENTES
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4. PASOS DE PARA EL DISEÑO POR CORTE A. CORTE RESISTENTE DEL CONCRETO:
Si Dónde:
√ ……………
Necesita estribos
= Cortante ultimo de diseño
B. CORTE RESISTENTE DEL ACERO:
C. VERIFICACION DE LA SECCION:
√ nc cnc PUENTES
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D. VERIFICACION DEL ESPACIAMIENTO MAXIMO:
√
Si cumple, tenemos que:
Si no cumple, tenemos que:
E.
CALCULO DEL ESPACIAMIENTO “S”:
PUENTES
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F. CALCULO DE S max POR ACERO MINIMO:
√
PUENTES
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