Condiciones de Frontera

CONDICIONES DE FRONTERA: Debido a que muchos problemas y fenómenos pueden ser representados mediante ecuaciones diferenciales, muy frecuentemente se conoce informa ción adicional de ese fenómeno o de esa ecuación, lo que es equivalente a saber el valor de las variables o de las derivadas bajo condiciones específicas. Esas condiciones especiales, que permiten ajustar los problemas a condiciones específicas, se conocen indistintamente como “Condiciones de Frontera ”, “Condiciones de Borde ” o “Condiciones Iniciales”.

Ejemplo 1: En la siguiente ecuación diferencial se conoce que la variable “tiene un valor de “y”1” cuando la variable independiente “t” vale “0”.

La condición de borde se puede representar:

O alternativamente:

Ejemplo 2: En la siguiente ecuación diferencial se conoce que la primera derivada de “y” tiene un valor de “0” cuando la variable independiente vale “π” .

La condición de borde se puede representar:

O alternativamente:

http://ebookbrowse.com/ecuaciones-diferenciales05-pdf-d41986982 http://publiespe.espe.edu.ec/librosvirtuales/ecuaciones-diferenciales/ecuacionesdiferenciales/ecuaciones-diferenciales05.pdf

MODELAMIENTO NUMÉRICO Y GRÁFICO: La interpretación de los fenómenos que son descritos mediante ecuaciones diferenciales se ve fortalecida cuando se pueden crear tablas y generar gráficos apropiados que representen a dichos fenómenos. Los mecanismos que permiten transformar la ecuación diferencial, con sus condiciones de borde, en valores específicos constituyen el modelamiento numérico del problema. En el modelamiento numérico es vital la definición de todos los parámetros de la ecuación diferencial o la conversión de dichos parámetros en elementos de prueba sistemáticos para la ecuación diferencial. El “Método de las Diferencias Finitas” constituye una de las herramientas más versátiles e

intuitivas que facilitan el modelamiento de diferentes tipos de funciones y ecuaciones. Para el efecto se definen pequeños intervalos de variación para la variable independiente, y se predice el comportamiento de la variable dependiente a partir de las ecuaciones diferenciales y condiciones de borde correspondientes. Las hipótesis utilizadas para la predicción matemática pueden variar en su complejidad, lo que puede significar la determinación secuencial de los valores de las variables o la definición de sistemas de ecuaciones algébricas que, al ser analizados, conducen a la determinación de tales valores. PROBLEMAS RESUELTOS MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS DE PRIMER ORDEN: Problema Resuelto 1: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

Si:

Solución: Separando las Variables:


Integrando:

Ejecutando las Integrales:

Multiplicando por “2” y reagrupando:

Reemplazando el valor “2C” por la constante “k”:

Solución General Donde: K: Constante arbitraria de integración NOTA: Para valores positivos de “k”, la solución corresponde a una familia de elipses con centro en el origen y eje princ ipal sobre el eje de las “ Los valores negativos de “ nox”.k”

proporcionan solución dentro del campo de los números reales. La condición de borde del problema es:

Que es equivalente a:


Reemplazando la condición de borde en la solución general (t=2; x=4):

Reemplazando el valor de “k” en la solución general se tiene:

Solución específica

NOTA: Es importante observar que una vez fijadas las condiciones de borde suficientes para el problema, se tiene una solución específica en lugar de una familia de soluciones. Verificación: La primera etapa de la verificación corresponde a la solución general. La solución general es:


Derivando respecto a “t”:

Simplificando:

Verificada la solución general La segunda etapa de la verificación corresponde a la solución específica. La solución específica es:

La condición de borde (condición de frontera o condición inicial) es:

Reemplazando los valores de “t” y “x” en la solución específica se tiene:

Verificada la solución específica 24=24

Problema 2: Resolver la siguiente ecuación diferencial:


Si:   

Solución: Separando las variables:

Integrando:

Ejecutando las integrales:

Por facilidad de simplificación se puede reemplazar la constante “C” por el logaritmo natural de la constante “k”:

El logaritmo de un producto es la suma de logaritmos.

La expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica previa es:

Despejando “y”:


Solución general:

Donde: K: constante arbitraria de integración: La condición de borde del problema es:

Que es equivalente a:

Reemplazando la condición de borde en la solución general (x=0; y=3):

Cualquier número elevado a la potencia “0” es la unidad.

Despejando “K”:


Reemplazando el valor de “k” en la solución general se tiene:

Solución específica


Verificación: La solución General es:

Derivando respecto a “x”:

Simplificando:


Pero despejando de la solución general la función exponencial dividida para “k” se tiene:

Reemplazando en la expresión diferencial anterior se tiene:

Verificada la solución general

La solución específica es:

La condición de borde es:

Reemplazando los valores de “x” y “y” en la solución específica se tiene:

Simplificando:


Verificada la solución específica: 3=3


Condiciones de Frontera

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