riesgo

Introducci´ on o n a la

TEORÍA DEL RIESGO Luis Rinc´ on on Departamento de Matem´ aticas aticas Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU 04510 045 10 M´ exico exi co DF

Versi´ on: on: Enero 2011

Una versi´ on actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato on electrónico onico en la direcci´ on on

http://www.matematicas.unam.mx/lars

Pr´ ologo ologo El presente texto contiene los temas del curso semestral de Teor´ Teor´ıa ıa del Rie Riesgo sgo que el autor ha impartido a estudiantes de último ultimo semestre de la carrera de actuar´ actuar´ıa en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Contiene el material básico asico para un curso introducto introductorio rio a ciertos ciertos temas temas de la teor´ teor´ıa del riesgo aplicada a seguros, seguros, e incluye incluye una colección on de ejercicios. ejercicios. La may mayor or parte del material material que se presenta presenta aqu´ aqu´ı fue compilado de las fuentes que aparecen al final del texto. Espero que este material sea de alguna ayuda para los numerosos alumnos de las distintas escuelas de actuar´ actuar´ıa y de matemáticas aticas aplicadas de pa´ pa´ıses de habla hispana, y contribuya también en a apoya apoyarr el trabajo trabajo docent docentee de sus profesore profesores. s. El texto texto fue escrito escrito en el sistema sistema LATEX, las ilustraciones fueron elaboradas usando el paquete pstricks, y las fotos fueron tomadas del archivo MacTutor (http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/) de la universidad de St. Andrews en Escocia. La última ultima versión on disponible de este texto en su formato digital puede encontrarse en la sección “libros” de la página agina web http://www.matematicas.unam.mx/lars Agradezco sinceramente los comentarios, correcciones y sugerencias que he recibido por parte de alumnos alumnos y profesores profesores para mejorar mejorar este material. material. Toda comunicaci´ comunicación on puede enviarse a la cuenta de correo que aparece abajo.

Luis Rinc´ on on Enero 2011 Ciudad Universitaria UNAM [email protected]

Contenido

1. Mo delo individual vs mo delo 1.1. Introducci Introducci´ón . . . . . . . . . 1.2. Modelo individual . . . . . 1.3. 1.3. F´ ormula de De Pril . . . . . 1.4. Modelo colectivo . . . . . . 1.5. .5. Mode odelo colectivo Poiss isson . .

colectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5 . 5 . 7 . 11 . 15 . 22

2. F´ ormula ormula de Panjer y m´ etodos etodos de aproximaci´ on 2.1. 2.1. F´ ormula de Panjer . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Aproximac Aproximaci´ i´ on normal . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Aproximac Aproximaci´ i´ on gamma trasladada . . . . . . . . . 2.4. Aproximac Aproximaci´ i´ on de Edgeworth . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

33 33 40 41 42

3. Princi Principios pios para para el c´ alculo de primas 3.1. Principios generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 54 55

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4. Reaseguro 59 4.1. Reaseguro proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2. .2. Reaseguro no propo roporc rcio ion nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5. Teor´ıa de la credibilidad 69 5.1. .1. Credibilid lidad america icana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2. Credibilidad Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3

4

Contenido

6. Procesos estoc´ asticos 6.1. Filtraciones y tiempos de paro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Martingalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 82 82 83

7. Teor´ıa de la ruina 7.1. Modelo cl´ a sico de Cramé r-Lundberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Probabilidad de ruina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 89 104

A. Ap´ endice

105

Parte 1

Modelo individual vs modelo colectivo

En este cap´ıtulo se presenta una introducción al esquema del seguro y al concepto general de riesgo. Se presenta adem´ as la perspectiva individual y la colectiva para modelar el riesgo correspondiente al conjunto de reclamaciones que afronta una compa˜ n´ıa aseguradora. Se estudian también algunas propiedades y relaciones entre estas dos perspectivas. En el resto del curso se adopta el modelo colectivo como modelo fundamental.

1.1.

Introducci´ on

El objetivo del presente texto es ofrecer una introducción a algunos modelos matem´ aticos para representar ciertos tipos de riesgos, como por ejemplo, aquellos a los que sistemáticamente tiene que hacer frente una compañ´ıa aseguradora. El término riesgo tiene muchas acepciones dependiendo del área de estudio que se trate, y en términos imprecisos puede definirse como la posibilidad de experimentar ciertos eventos de interés y las consecuencias derivadas de dichos eventos. En general, los riesgos pueden tener un sentido positivo o negativo, y por lo tanto no se trata necesariamente de evitarlos o de protegerse contra ellos. Se trata, en t´ erminos generales, de la identificación de los riesgos, de ponderarlos con sus consecuencias, de decidir la aceptaci´ on o no de los mismos, y de tomar provecho de su existencia. El quehacer cotidiano del hombre, ya sea en el ámbito personal o profesional, 5

6

ń 1.1. Introduccio

implica necesariamente y a cada momento hacer frente a ciertos riesgos, y ello puede tener consecuencias no deseadas pero también abrir oportunidades. Por ejemplo, el comprar un boleto de loter´ıa conlleva el riesgo de perder el importe pagado por el boleto, y al mismo la posibilidad de ganar una gran cantidad de dinero. Otro ejemplo en donde es evidente la evaluación (a veces inconsciente) de los riesgos es cuando uno decide viajar en avión, en este caso se considera primordial la rapidez y comodidad del viaje, y se desdeña convenientemente cualquier posibilidad de accidente. Como hemos mencionado, el término riesgo se define de manera distinta dependiendo de la disciplina de estudio. En ingenier´ıa, por ejemplo, puede definirse el riesgo como el producto de la probabilidad de que un evento (generalmente no deseable) ocurra y el daño esperado debido a la ocurrencia del evento, es decir, Riesgo=(Probabilidad de un accidente) (Da˜ nos como consecuencia del accidente). En finanzas, puede definirse el riesgo en términos de la variación o volatilidad de una inversión; en general, se considera que una inversión en la bolsa de valores (tasa de interés variable) es más riesgosa comparada con una inversión en un banco (tasa de interés fija). Finalmente, en seguros, el riesgo puede definirse como el monto de las reclamaciones totales de los asegurados, veremos a continuación con más detalle este caso pues es al que están dirigidos principalmente los modelos matemáticos que estudiaremos.

×

A grandes rasgos, la forma en la opera un seguro es la siguiente: un grupo de personas reconocen que están expuestas a sufrir algún tipo de siniestro en sus bienes o en sus personas, y que dichos siniestros pueden causarles consecuencias irreparables como la pérdida de sus vidas, o bien pérdidas económicas considerables. Al contratar un seguro (es decir, firmar una p´ oliza de seguro), cada una de estas personas paga por adelantado una cantidad de dinero (generalmente pequeña) llamada n´ıa aseguradora, quien se compromete a resarcir monetariaprima a una compa˜ mente a todas aquellas personas aseguradas que sufrieron algún siniestro durante el tiempo de vigencia del seguro y según lo pactado en la póliza del seguro. De esta manera, aunque no se conozca de manera individual exactamente a las personas que sufrirán un siniestro, el capital obtenido de manera colectiva debe ser suficiente para solventar los gastos de los siniestros que se presentan. Es claro que bajo este mecanismo las pérdidas económicas del colectivo se distribuyen en todos y cada uno de los individuos logrando as´ı garantizar la sobrevivencia financiera de cada uno de ellos, en otras palabras, mediante el contrato de un seguro se logra disminuir los da˜ nos económicos de aquellas personas que tuvieron la mala fortuna de sufrir un siniestro. Naturalmente para que tal mecanismo de asistencia colectiva

Parte 1.


7

sea factible es necesario que el número de asegurados cumpla un valor m´ınimo, y que se establezcan con precisión las caracter´ısticas de los siniestros a considerar. Es claro también que, bajo este esquema general, tanto el número de siniestros como el monto de las reclamaciones efectuadas son variables desconocidas, y que los modelos de la teor´ıa de la probabilidad podr´ıan ser de ayuda a este respecto. En efecto, en las siguientes páginas estudiaremos algunos modelos matemáticos que han ayudado a representar el aspecto azaroso de ciertas variables relevantes en los seguros.

1.2.

Modelo individual

Suponga que se tiene un portafolio de n pólizas individuales de seguros válidas por un a˜ no como se muestra en la Figura 1.1.

P´ oliza 1

P´ oliza 2

....... ....... ....... .......

....... ....... ....... .......

P´ oliza n

······

....... ....... ....... .......

Figura 1.1: Sea pj la probabilidad de que el j-ésimo asegurado no efectúe ninguna reclamación durante el tiempo de vigencia del seguro, y sea qj la probabilidad de que se observe exactamente una reclamación. Suponga que la igualdad pj + qj = 1 se cumple, ello significa que no puede haber más de una reclamación por cada asegurado. Tal situaci´ on corresponde, por ejemplo, a los seguros de vida. Defina la variable aleatoria 1 si hay reclamación en la póliza j, Dj = 0 si no hay reclamaci´ on en la póliza j.



Claramente Dj tiene distribución Bernoulli con parámetro qj . El uso de la letra D viene del término en inglés death . Observe que el n´ umero total de reclamaciones est´ a dado por la variable aleatoria N = D1 + +Dn . Ahora suponga artificialmente que cada póliza efect´ ua una reclamación, y sea la variable aleatoria C j > 0 el monto de la reclamación efectuada por la póliza j. Debido a que los siniestros pueden presentarse con caracter´ısticas distintas y ello puede derivar en distintos montos de reclamaci´ on, consideraremos de manera general a C j no como una constante sino

···

8

1.2. Modelo individual

como una variable aleatoria. La letra C proviene del término en inglés claim , que se traduce en español como reclamaci´ on . La verdadera reclamación de la póliza j est´ a dada por el producto Dj C j =



C j 0

si Dj = 1, si Dj = 0.

Observe que esta variable aleatoria puede ser mixta. De esta forma se considera como datos en este modelo la colección de vectores aleatorios (D1 , C 1 ), . . . , (Dn , C n ), que supondremos independientes. Consideraremos además que las variables Dj y C j también son independientes entre s´ı. Definici´ on. El monto de reclamaciones agregadas , o también llamado agregado de reclamaciones , en el modelo individual, es la variable aleatoria n

S =



Dj C j .

(1.1)

j=1

Esta variable es el monto que afronta una compañ´ıa aseguradora por concepto de reclamaciones durante el periodo completo del seguro. La ecuación (1.1) representa el modelo individual para una póliza de seguros de las caracter´ısticas señaladas. El modelo tiene este nombre pues supone conocer las probabilidades de reclamación y posible monto de reclamación de todos y cada uno de los asegurados de manera individual. Una posible desventaja de este modelo es que presupone que el número de asegurados en la cartera se mantiene constante durante todo el tiempo de vigencia del seguro. Desde el punto de vista matemático, y tambi´ en desde la perspectiva del negocio del seguro, nuestro objetivo es conocer las caracter´ısticas de la variable S , a quien llamaremos riesgo. Si F j (x) denota la función de distribución del producto Dj C j , entonces la función de distribución F (x) del riesgo S adquiere la siguiente expresión en términos de convoluciones: F (x) = (F 1 F n )(x). Esta expresión general y compacta es, sin embargo, un tanto dif´ıcil de calcular. Como primeros resultados generales se presentan a continuación algunas caracter´ısticas de S . Denotaremos por Gj (x) la función de distribución de C j , y como es costumbre, cuando exista, M X (t) denota la función generadora de momentos de una variable X cualquiera.

∗···∗

Parte 1.


9

Proposici´ on. Bajo la notación e hipótesis del modelo individual se tienen los siguientes resultados. 1. F j (x) = 1 + qj (Gj (x)

− 1),

2. M Dj C j (t) = 1 + qj (M C j (t)

para x

≥ 0.

− 1).

n

  

3. M S (t) =

[ 1 + qj (M Cj (t)

j=1

− 1)].

n

4. E (S ) =

qj E (C j ).

j=1

n

5. Var(S ) =

[ qj Var(C j ) + qj pj E 2 (C j ) ].

j=1

Demostraci´ on.

≥ 0, P (Dj C j ≤ x) P (Dj C j ≤ x | Dj = 0) P (Dj = 0) + P (Dj C j ≤ x | Dj = 1) P (Dj = 1) P (0 ≤ x | Dj = 0) pj + P (C j ≤ x | Dj = 1) qj

1. Para cualquier n´ umero real x F j (x) = =

= = pj + qj Gj (x) = 1 + qj (Gj (x)

− 1).

2. Tenemos que M Dj C j (t) =

E (etDj C j )

= E (etDj C j Dj = 0)P (Dj = 0) + E (etDj C j Dj = 1)P (Dj = 1) = pj + qj M C j (t) = 1 + qj (M Cj (t) 1).

|

|

−

3. Esta igualdad se sigue directamente de la anterior usando la hipótesis de independencia.

10

1.2. Modelo individual

4. Nuevamente por independencia, E (S ) =

n

n

n







E (Dj C j ) =

j=1

E (Dj )E (C j ) =

j=1

qj E (C j ).

j=1

5. Primeramente se tiene que E (Dj C j ) = qj E (C j ), y E (Dj2 C j2 ) = qj E (C j2 ). Entonces Var(Dj C j ) =

qj E (C j2 )

− qj2E 2(C j )

= qj [Var(C j ) + E 2 (C j )]

− qj2 E 2(C j )

= qj Var(C j ) + qj pj E 2 (C j ). Por lo tanto Var(S ) =

n

n





Var(Dj C j ) =

j=1

[ qj Var(C j ) + qj pj E 2 (C j ) ].

j=1

Aproximaci´ on normal. Cuando n es grande y el portafolio de asegurados es homogéneo en el sentido de que las variables Dj C j son idénticamente distribuidas, puede usarse el teorema central del l´ımite para aproximar la distribució n de S mediante la distribución normal, es decir, P (S

E (S ) x − E (S ) x − E (S ) ≤ x) = P ( S −Var(S ≤ ) ≈ Φ( ). ) Var(S ) Var(S )







Esta aproximación puede ser adecuada para ciertos riesgos pero tiene la desventaja de que asigna una probabilidad positiva al intervalo ( , 0), lo cual no es consistente con el hecho de que S 0. Sin embargo, dado que la distribución N(µ, σ 2 ) se concentra principalmente en el intervalo (µ 4σ, µ + 4σ), cuando la esperanza y la varianza de S son tales que E (S ) 4 Var(S ) 0, la probabilidad asignada a la parte negativa del eje es realmente pequeña, ello alivia un poco el hecho de que esta distribución no tenga soporte en el intervalo [0 , ). Tal vez la situación más comprometedora sea que la función de densidad normal decae muy rápidamente pues existen riesgos cuyas funciones de densidad no cumplen con tal caracter´ıstica.

≥

−∞

−  −

≥

∞

Parte 1.

1.3.

11


F´ ormula de De Pril

Presentaremos a continuación la fórmula de De Pril [5]. Este resultado fue demostrado por Nelson De Pril en 1986 y proporciona una expresión exacta, aunque recursiva, de la distribución de probabilidad de un riesgo en el modelo individual. La f´ ormula es bastante general aunque presupone que las reclamaciones toman los valores en el conjunto 1, 2, . . . . Este supuesto no es realmente una restricción fuerte pues en la práctica el pago de siniestros se realiza siempre usando alguna unidad monetaria. Para establecer la fórmula de De Pril es necesario dividir el portafolio de n asegurados de acuerdo a la tasa de mortalidad y la suma asegurada. Denotaremos por nij al n´ umero de asegurados que tienen probabilidad de reclamaci´ on qj y monto de reclamación i, en donde i toma valores en 1, 2, . . . , I , y j en 1, 2, . . . , J . De esta forma se tiene la tabla de la Figura 1.2 en donde la suma de las entradas es n, es decir,

{

{

}

{

}

I

n=

J



nij .

i=1 j=1

Probabilidades de reclamación

Monto de la reclamación

· ·· · ·· 1 · ·· 2 · ·· · · · · ·· · ·· · · · · ·· · ·· i · ·· · · · · ·· · ·· q1 n11 n21

q2 n12 n22

Figura 1.2:

qj

·· · ·· · ·· · nij ·· ·

··· ··· ··· ··· ··· ···

}

12

´ rmula de De Pril 1.3. Fo

Teorema (F´ o rmula de De Pril). Sea nij el n´ u mero de p´ olizas cuyos asegurados tienen tasa de mortalidad qj y suma asegurada i. Suponga que j = 1, 2, . . . , J , e i = 1, 2, . . . , I . Entonces las probabilidades g(r) = P (S = r), están dadas por r∧I ⌊r/i⌋

1 r

  −

g(r) =

g(r

i=1 k=1

I

g(0) =

− ik) h(i, k), para r ≥ 1

J

(1

qj )nij ,

i=1 j=1

en donde

J

−

k−1

h(i, k) = i( 1)



nij (

j=1

qj

1

− qj )

k

on generadora de probabilidad del monto reclamado Y ij Demostraci´ on. La funci´ por un asegurado con probabilidad de reclamación qj , y monto reclamado i, es E (tY ij ) = (1

− qj ) + qj ti .

Por lo tanto, usando la hipótesis de independencia, la función generadora de probabilidad de la cartera completa es ∞ S

G(t) = E (t ) =



I r

t g(r) =

r=0

J



i=1 j=1

(1

− qj + qj ti)n

Tomando logaritmo y después derivando, I

ln G(t) =

J



nij ln(1

i=1 j=1

d G′ (t) ln G(t) = = dt G(t)

I

− qj + qj ti ).

J

 i=1 j=1

nij

iqj ti−1 . 1 qj + qj ti

−

ij

.

Parte 1.

13


Por lo tanto I

′

tG (t) =

G(t)

J

  

nij

I

= G(t)

J

nij i

i=1 j=1 I

−

1

i=1 j=1

iqj ti qj + qj ti

qj ti qj ti −1 (1 + ) 1 qj 1 qj

−

−

J

qj ti = G(t) nij i 1 qj i=1 j=1

−

∞

− 

( 1)k−1 (

k=1

qj ti k−1 ) , 1 qj

−

∞

en donde hemos usado la expansión (1 x)−1 = k=0 xk , v´ alida para x < 1. Por lo tanto, para valores suficientemente pequeños de t,

−

I

′

tG (t) = G(t)

||

∞

J

  −

( 1)k−1 (

nij i

i=1 j=1

k=1

qj 1

− qj

)k tik .

Defina ahora la función J

h(i, k) = i( 1)k−1

−



nij (

j=1

qj 1

− qj

)k .

La doble suma respecto de los ´ındices j y k es absolutamente convergente en cualquiera de los dos órdenes que se efectúen estas sumas y el resultado es el mismo. Por lo tanto es válido el intercambiando en el orden de estas sumas y la expresión anterior puede escribirse como sigue I

′

tG (t) = G(t)

∞



tik h(i, k).

i=1 k=1

Substituyendo las expresiones para G′ (t) y G(t) en sus correspondientes series de potencia se obtiene ∞

 r=1

∞ r

rt g(r) =

I

∞

  r

t g(r)

r=0

tik h(i, k).

i=1 k=1

Para r 1, el coeficiente de tr en el lado izquierdo es rg(r), mientras que en el lado derecho es la suma de los términos g(r ik)h(i, k), para aquellos valores de i

≥

−

14

´ rmula de De Pril 1.3. Fo

y k tales que 1

≤ ik ≤ r. Igualando estos coeficientes se tiene que r∧I ⌊r/i⌋

rg(r) =



− ik)h(i, k),

g(r

i=1 k=1

⌊ ⌋

en donde r/i es la parte entera del cociente r/i. De esta forma se llega a la siguiente expresión, para r 1,

≥

1 g(r) = r

r∧I ⌊r/i⌋



g(r

i=1 k=1

− ik)h(i, k).

Por otro lado, como S = 0 sólo cuando ning´ un asegurado efectúa ninguna reclamaci´ on, para r = 0 se tiene que I

g(0) =

J



i=1 j=1

(1

− qj )n

ij

,

Los primeros términos de la fórmula recursiva de DePril aparecen a continuación: I

g(0) =

J



i=1 j=1

g(1) = g(2) = g(3) =

(1

− qj )n

ij

g(0) h(1, 1) 1 g(0)[h(1, 2) + h(2, 1)] + g(1)h(1, 1) 2 1 g(0)[h(1, 3) + h(3, 1)] + g(1)[h(1, 2) + h(2, 1)] + g(2)h(1, 1) 3

{ {

}

}

.. . Por ejemplo, para los datos que se muestran en la tabla de la Figura 1.3 en donde se tienen 48 pólizas de seguros con las probabilidades de reclamaci´ on y los montos de reclamaciones indicados, la correspondiente función de densidad para este riesgo es la que se muestra en la Figura 1.4. En el apéndice A se encuentra el código en R de una implementación de la fórmula de De Pril.

Parte 1.

15


Probabilidades de reclamaci´ on i\q 1 2 3 4 5

Monto de la reclamación

0,03 1 3 5 2 2

0,04 3 5 3 2 3

0,05 1 4 4 6 4

Figura 1.3: Cartera de 48 pólizas individuales. g(r)

0.1

r 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Figura 1.4:

1.4.

Modelo colectivo

Considere un conjunto de un número no determinado de contratos de seguros con vigencia en un periodo de tiempo [0, T ]. Este periodo puede corresponder a un año por ejemplo. Sea N la variable aleatoria que denota el número de reclamaciones ocurridas en este intervalo, y sean las variables positivas Y 1 , . . . , YN los montos de estas reclamaciones. Gráficamente una posible realización de tal esquema se muestra en la Figura 1.5. Consideraremos que el número de reclamaciones y los montos de éstas son variables

16

1.4. Modelo colectivo

$ Y 2 $ Y 3

$ Y 5

$ Y 1 $ Y 4 









0

T

Figura 1.5: aleatorias independientes. M´ as a´ un, supondremos que las reclamaciones mismas son independientes entre s´ı, y que comparten la misma distribución de probabilidad. Definici´ on. El monto agregado o monto acumulado de todas las reclamaciones efectuadas es la variable aleatoria S , llamada riesgo, y definida como sigue N

S =



Y j .

(1.2)

j=1

Observe que cada sumando es una variable aleatoria y que el número de sumandos es también aleatorio. La suma (1.2) se define como cero cuando N = 0. Observe adem´ as que S puede ser una variable aleatoria mixta, es decir, no ser discreta ni continua, pues cuando los montos de las reclamaciones Y son variables continuas con valores en (0, ), la variable S puede tomar el valor 0 con probabilidad P (S = 0) = P (N = 0) > 0, y puede además tomar cualquier valor en el intervalo (0, ). La ecuación (1.2) representa el modelo colectivo para un contrato de seguros, cuyas posibles realizaciones como funci´ on del tiempo tienen la forma de la gráfica de la Figura 1.6.

∞

∞

A la funci´ on de distribución de cada reclamación Y la denotaremos por la letra G. Se asume naturalmente que G(0) = 0, ello equivale a decir que la variable Y es positiva. Adicionalmente usaremos la notación µn = E (Y n ), en particular se escribe µ en lugar de µ1 = E (Y ). Nuevamente el problema central es encontrar la distribución de probabilidad de S , la cual depende de la distribució n de Y y de N . Un primer resultado general al

Parte 1.


17

S (t) 

$ Y 3  



$ Y 2  



$ Y 1 

t

 

Figura 1.6: respecto es el que aparece a continuación. Antes de enunciarlo recordemos que la 0-convoluci´ on de una función de distribuci´ on G es ∗0

G (x) =



1 si x 0, 0 si x < 0.

≥

Proposici´ on. La función de distribución del riesgo S en el modelo colectivo es ∞

F (x) =



G∗n (x) P (N = n).

n=0

Demostraci´ on. ∞

F (x) =



P (S

n=0

≤ x | N = n) P (N = n) ∞

= P (S

≤ x | N = 0) P (N = 0) + ∞

∗0

= G (x) P (N = 0) +



n=1

∞

=



n=0

G∗n (x) P (N = n).



P (Y 1 +

n=1

G∗n (x) P (N = n)

· ·· + Y n ≤ x) P (N = n)

18


Algunas caracter´ısticas numéricas de la variable S se muestran a continuación. Proposici´ on. El riesgo S en el modelo colectivo cumple las siguientes propiedades. 1. E (S ) = E (N )E (Y ). 2. E (S 2 ) = E (N )E (Y 2 ) + E (N (N

− 1))E 2(Y ).

3. Var(S ) = Var(N )E 2 (Y ) + Var(Y )E (N ). 4. M S (t) = M N (ln(M Y (t))).

Demostraci´ on.

1. Condicionaremos sobre el valor de N , y despu´ es usaremos la hipótesis de independencia. El resultado del cálculo es el mismo cuando la variable N inicia en el valor 0 o en valor 1. ∞

E (S ) =

N

     E (

n=0 ∞

=

E (

n=0 ∞

=

Y j N = n) P (N = n)

|

j=1 n

|

Y j N = n) P (N = n)

j=1

nE (Y ) P (N = n)

n=0

= E (N ) E (Y ).

Parte 1.


2. Nuevamente condicionando sobre el valor de N , ∞ 2

E (S ) =

N

        E ((

n=0 ∞

=

E ((

Y j )2 N = n) P (N = n)

|

j=1 n

E ((

n=0 ∞

=

|

j=1 n

n=0 ∞

=

Y j )2 N = n) P (N = n)

Y j )2 ) P (N = n)

j=1

n

n

E (Y j2 ) +

[

n=0 j=1



E (Y j Y k ) ] P (N = n)

j,k=1

j =k

∞

=

∞

2

nE (Y ) P (N = n) +

n=0



(n(n

n=2

2

= E (N ) E (Y ) + E (N (N

− 1)) E 2(Y ) P (N = n)

− 1)) E 2(Y ).

3. Por las fórmulas anteriores, Var(S ) = = = =

E (S 2 ) E 2 (S ) E (N ) E (Y 2 ) + E (N (N 1)) E 2 (Y ) E 2 (N ) E 2 (Y ) E (N ) [ E (Y 2 ) E 2 (Y ) ] + [ E (N 2 ) E 2 (N ) ] E 2 (Y ) E (N ) Var(Y ) + Var (N ) E 2 (Y ).

−

−

−

− −

4. De manera análoga a los dos primeros incisos, ∞

M S (t) =

  

E (er(Y 1 +···+Y N ) N = n) P (N = n)

|

n=0 ∞

=

E (er(Y 1 +···+Y n ) ) P (N = n)

n=0 ∞

=

(M Y (t))n P (N = n)

n=0

= E ((M Y (t))N ) = E (eN ln(M Y (t)) ) = M N (ln(M Y (t))).

19

20


Consideraremos a continuación algunos casos particulares del modelo colectivo. Modelo binomial compuesto. Cuando el n´ umero de reclamaciones N tiene una distribuci´ on bin(n, p) se dice que el riesgo S tiene una distribuci´ on binomial comon de distribución puesta , y se escribe S bin comp(n,p,G), en donde G es la funci´ de cada sumando en la definición de S . Bajo esta hipótesis se tienen los siguientes resultados.

∼

Proposici´ on. Si N tiene una distribución bin(n, p), entonces a) E (S ) = npµ. b) Var(S ) = np(µ2

− pµ2).

− E (S ))3 ] = n( pµ3 − 3 p2µ2µ + 2 p3µ3). d) M S (t) = (1 − p + pM Y (t))n . c) E [(S

Estas expresiones se siguen fácilmente de las fórmulas generales demostradas antes, basta recordar que si N tiene distribución bin(n, p), entonces E (N ) = np, Var(N ) = np(1 p), y M N (t) = (1 p + pet )n . Observe que en este modelo se tiene una cota superior para el número de reclamaciones que pueden efectuarse.

−

−

Modelo binomial negativo compuesto. Cuando el n´ umero de reclamaciones N tiene una distribución binomial negativa se dice que el riesgo S tiene una distribuci´ on binomial negativa compuesta . Esto es, si N bin neg(r, p), entonces S bin neg comp(r,p,G), donde nuevamente G hace referencia a la funció n de distribuci´ on de cada sumando de S . En este caso se cumple lo siguiente.

∼

∼

Proposici´ on. Si N tiene una distribución bin neg(r, p), entonces

− 1)µ. b) Var(S ) = r(1/p − 1)(1/p)µ2 + r(1/p − 1)(µ2 − µ2 ). c) E [(S − E (S ))3 ] = r(1/p − 1)µ3 + 3r(1/p − 1)2 µ2 µ + 2r(1/p − 1)3 µ3 . a) E (S ) = r(1/p

d) M S (t) = (

1

p )r . (1 p)M Y (t)

− −

Parte 1.


21

Para encontrar estas fórmulas es suficiente recordar que si N tiene distribución bin neg(r, p), entonces E (N ) = r(1 p)/p, Var(N ) = r(1 p)/p2 , y M N (t) = [ p/(1 (1 p)et)]r . En el caso particular cuando r = 1, la distribuci´ on de N se reduce a la distribución geométrica de parámetro p, y se dice que S tiene distribuci´ on geométrica compuesta .

−

− −

−

Modelo Poisson compuesto. Cuando el número de reclamaciones N tiene una distribuci´ on Poisson se dice que el riesgo S tiene una distribución Poisson comPoisson comp(λ, G), en donde λ es el parámetro de la puesta , y se escribe S distribuci´ on Poisson y G es la función de distribución de cada sumando de S . Para este modelo se tienen los siguientes resultados.

∼

Proposici´ on. Si N tiene una distribución Poisson(λ), entonces a) E (S ) = λµ. b) E (S 2 ) = λµ2 + λ2 µ2 . c) E (S 3 ) = λµ3 + 3λ2 µ2 µ + λ3 µ3 . d) Var(S ) = λµ2 .

− E (S ))3 ] = λµ3. E [(S − E (S ))3 ] α3 = =

e) E [(S f)

[Var(S )]3/2

g) M S (t) = exp[ λ(M Y (t)

µ3 > 0. λµ32



− 1)].

Nuevamente estas expresiones son consecuencia de las fórmulas generales demostradas antes, y del hecho de que si N tiene distribución Poisson(λ), entonces E (N ) = λ, Var(N ) = λ, y M N (t) = exp(λ(et 1)). Observe que el parámetro λ y la distribuci´ on de la variable Y determinan por completo al modelo Poisson compuesto. Estudiaremos con más detalle este modelo en la seguiente sección.

−

22

1.5.

1.5. Modelo colectivo Poisson

Modelo colectivo Poisson

En esta sección retomamos el caso cuando el número de reclamaciones en el modelo colectivo sigue una distribución Poisson. Primeramente explicaremos la forma en la que se puede obtener un modelo colectivo Poisson a partir del modelo individual. Después mostraremos cómo este modelo Poisson compuesto aproxima al modelo individual. Finalmente estudiaremos algunas propiedades interesantes y útiles del modelo Poisson compuesto Modelo Poisson compuesto asociado al modelo individual. Considere el n modelo individual de riesgo S i = j=1 Dj C j , junto con la notació n e hipótesis correspondientes. El super´ındice i indica que se trata de un modelo individual. A partir de este modelo se construye a continuación un modelo colectivo con distribuci´ on Poisson compuesta. Para ello recuerde que únicamente se necesita establecer el valor del parámetro λ de la distribución Poisson y la función de distribuci´ on G(x) del monto de las reclamaciones. Sean entonces



n

λ =

  j=1 n

y

G(x) =

j=1

qj ,

(1.3)

qj Gj (x), λ

(1.4)

en donde Gj (x) es la función de distribución de la variable C j . Mediante la primera igualdad se establece que el número esperado de reclamaciones en ambos modelos sea el mismo. En la segunda ecuació n se define a la función de distribució n de una reclamación en el modelo colectivo como la suma ponderada de las funciones de distribución del monto de las reclamaciones en el modelo individual. De esta forma se construye el modelo colectivo S c = N j=1 Y j , a quien llamaremos modelo colectivo Poisson compuesto asociado al modelo individual . El super´ındice c indica que se trata de un modelo colectivo. Este modelo tiene las siguientes propiedades.



Parte 1.


23

Proposici´ on. Sea S c el modelo colectivo Poisson compuesto asociado al modelo individual S i . Entonces n c

1. E (S ) =

   

qj E (C j ).

j=1

n

c

2. Var(S ) =

qj [Var(C j ) + E 2 (C j )].

j=1

n

k

3. E (Y ) =

j=1 n

4. M Y (t) =

j=1

qj E (C jk ). λ

qj M C j (t). λ

Estas expresiones se siguen directamente de resultados previos acerca del modelo Poisson compuesto y de las igualdades (1.3) y (1.4). Por ejemplo, el k-ésimo momento de una reclamación del modelo S c es, usando integrales de Riemann-Stieltjes (véase uno de los apéndices), k

E (Y ) =

∞



n

k

y dG(y) =

0

qj λ

∞

  j=1

n k

y dGj (y) =

0

 j=1

qj E (C jk ). λ

A modo de comparaci´ on se tiene entonces que E (S i ) = E (S c ), mientras que Var(S i ) Var(S c ).

≤

El modelo Poisson compuesto asociado como l´ımite del modelo individual. Sea S i el riesgo en un modelo individual y sea S c el riesgo del modelo colectivo Poisson compuesto asociado. En esta sección se demuestra que este modelo colectivo puede ser obtenido como un proceso l´ımite en el modelo individual. Consideremos entonces el modelo individual junto con la notación e hipótesis usuales. Por resultados previos sabemos que n

M S i (t) =



j=1

[1 + qj (M Cj (t)

− 1)].

Se construye un modelo individual adicional de la siguiente forma: cada póliza j se reemplaza por k subp´ olizas idénticas en cada una de las cuales la probabilidad

24


de reclamación se define como qj /k, y la función de distribución del monto de una reclamaci´ on es la misma Gj (y). Véase la Figura 1.7. En consecuencia, el portafolio consiste ahora de kn pólizas. Subp´ oliza 1

..........

P´ oliza

....... ....... ....... ....... Subp´ oliza k

..........

Figura 1.7: Por lo tanto, si S ki denota el riesgo asociado a tal portafolio, entonces se tiene que n

M Ski (t) =



[1 +

j=1

qj (M Cj (t) k

− 1)]k .

Se hace ahora tender k a infinito y usando el resultado l´ım (1 + x/k)k = ex se k→∞

obtiene n

l´ım M Ski (t) =

k→∞



exp[ qj (M Cj (t)

j=1

= exp [

− 1) ]

n



qj M Cj (t)

j=1

= exp [ λ(M Y (t) = M S c (t).

− λ]

− 1) ]

Puesto que la convergencia de funciones generadoras de momentos es equivalente a la convergencia en distribución de las correspondientes variables aleatorias, se obtiene entonces que el modelo colectivo Poisson compuesto asociado es el l´ımite en distribuci´ on del modelo individual cuando el número de pólizas crece y las probabilidades de reclamaci´ o n se hacen cada vez más peque˜ nas. El argumento presentado en esta sección justifica el uso del modelo Poisson compuesto bajo las condiciones mencionadas. En este sentido, el siguiente argumento intuitivo también favorece al modelo Poisson compuesto como una generalización del modelo individual. Recordemos nuevamente

Parte 1.


25

que la función generadora de momentos del riesgo S i en el modelo individual es n

M S i (t) =



[1 + qj (M Cj (t)

j=1

−

− 1)].

El término qj (M Cj (t) 1) es pequeño para valores pequeños de t. Usando la fórmula ln(1 + x) = x x2 /2 + x3 /3 + , se puede escribir la aproximació n ln(1 + x) x. De modo que

−

···

≈

n

ln(M S i (t)) =

   

ln[1 + qj (M Cj (t)

j=1 n

≈

qj (M Cj (t)

j=1

n

= λ[

j=1 n

= λ[

j=1

en donde λ = q1 +

− 1)]

− 1)

qj (M C j (t) λ

− 1) ]

qj M Cj (t) λ

− 1 ],

qj M C j (t) λ

− 1 ] ).

· ·· + qn. Por lo tanto n

M S i (t)

≈ exp( λ [

 j=1

Esta es nuevamente la función generadora de momentos del riesgo con distribución Poisson compuesta en donde los montos de las reclamaciones tienen función generadora de momentos nj=1 qλj M C j (t).



Modelo Poisson compuesto con varios tipos de riesgos. Se demuestra ahora que la suma de riesgos independientes que siguen el modelo Poisson compuesto tambi´ en es Poisson compuesto. Esta es una propiedad interesante y útil.

26


Proposici´ on. Sean S 1 y S 2 dos riesgos independientes con distribución Poisson compuesta con parámetros λ1 y λ2 , y reclamaciones Y (1) y Y (2) con función de distribución G1 (x) y G2 (x) respectivamente. Entonces el riesgo S = S 1 + S 2 también sigue una distribución Poisson compuesta con parámetro λ = λ1 + λ2 , y las reclamaciones tienen función de distribución G(x) =

λ1 λ2 G1 (x) + G2 (x). λ λ

Demostraci´ on. Por independencia tenemos que

M S1 +S2 (t) = M S1 (t)M S2 (t) = exp[λ1 (M Y (1) (t) 1)] exp[λ2 (M Y (2) (t) λ1 λ2 = exp[λ( M Y (1) (t) + M Y 2 (t) 1)], λ λ

−

− 1)]

−

en donde λλ1 M Y (1) (t) + λλ2 M Y (2) (t) es la función generadora de momentos de la funci´ on de distribución G(x) = λλ1 G1 (x) + λλ2 G2 (x). El resultado anterior puede extenderse fácilmente al caso S = S 1 +

· ·· + S n.

Modelo Poisson compuesto con reclamaciones clasificadas. Sea S un riesgo con distribución Poisson compuesta de parámetro λ. Suponga que los montos de las reclamaciones pueden ser clasificadas en m categor´ıas excluyentes y exhaustivas denotadas por A1 , . . . , A m . T´ıpicamente estas categor´ıas pueden ser intervalos de valores para las reclamaciones. Sea pk = P (Y Ak ) > 0 tal que p1 + + pm = 1. Sea N k el n´ umero de reclamaciones del tipo k. Entonces N = N 1 + +N m y debido a la independencia de los montos en las reclamaciones, el vector (N 1 , , N m ) tiene una distribuci´ on condicional multinomial( p1 , . . . , pm ; n) cuando N = n, es decir, para enteros no negativos n1 , . . . , nm tales que n1 + + nm = n, se tiene que

∈

· ·· ··· ·· ·

·· ·

|

P (N 1 = n1 , . . . , Nm = nm N = n) =



n1

n

· ·· nm



pn1 1

· · · pnn

m

.

La distribución no condicional del vector (N 1 , . . . , Nm ) es el contenido del siguiente resultado.

Parte 1.


27

Proposici´ on. Las variables aleatorias N 1 , . . . , Nm son independientes y cada variable N k tiene distribución Poisson(λpk ). Demostraci´ on. Sean n1 , . . . , nm enteros no negativos cualesquiera, y sea n la suma

de todos estos números, es decir, n1 +

· ·· + nm = n. Entonces

P (N 1 = n1 , . . . , Nm = nm ) = P (N 1 = n1 , . . . , N m = nm , N = n) = P (N 1 = n1 , . . . , N m = nm N = n)P (N = n) n! λn −λ = pn1 1 pnmm e n1 ! nm ! n!

|

n

=

···



k=1

·· ·

(λpk )nk −λpk e . nk !

Se desprende de esta igualdad que la variable N k tiene distribuci´ on marginal Poisson(λpk ). De esta identidad se verifica tambi´ en la independencia. Observe que condicionadas al evento (N = n), las variables N 1 , . . . , Nm no son independientes, mientras que sin tal condición, lo son. Por otro lado, como los montos de las reclamaciones son independientes de N , el riesgo de tipo k est´ a dado por la variable N

S k =



Y j 1{Y j ∈Ak } ,

j=1

y tiene distribución Poisson compuesta con parámetro λpk . La distribución condicional del monto de las reclamaciones de este riesgo es j ≤ x, Y j ∈ Ak ) ≤ x | Y j ∈ Ak ) = P (Y P (Y . j ∈ Ak ) En particular, cuando Ak = (xk−1 , xk ] con 0 < x0 < x1 < · · · < xm , para x ∈ (xk−1 , xk ], G(x) − G(xk−1 ) Gk (x) = . G(xk ) − G(xk−1 )

Gk (x) = P (Y j

Modelo Poisson compuesto mixto. Cuando el número de reclamaciones N tiene una distribuci´ on Poisson(λ) y el parámetro λ es a su vez una variable aleatoria, se dice que el riesgo S tiene una distribución Poisson compuesta mixta . Algunas caracter´ısticas de esta distribución se muestran a continuación.

28


Proposici´ on. Si N tiene una distribución Poisson(λ) en donde λ es una variable aleatoria con función de distribución H , entonces ∞

a) P (N = n) =

 0

e−x

xn dH (x). n!

b) E (S ) = E (λ)µ. c) E (S 2 ) = E (λ)µ2 + E (λ2 )µ2 . d) E (S 3 ) = E (λ)µ3 + 3E (λ2 )µ2 µ + E (λ3 )µ3 . e) Var(S ) = Var(λ)µ2 + E (λ)µ2 .

− E (S ))3 ] = E [(λ − E (λ))3 ]µ3 + 3Var(λ)µ2µ + E (λ)µ3 . g) M S (t) = M λ (M Y (t) − 1). f) E [(S

Para obtener todas las identidades que aparecen en esta proposición es suficiente condicionar sobre el valor de λ.

Modelo individual 1. Considere el modelo individual para un portafolio de n pólizas de seguros. Bajo la notación e hipótesis usuales, demuestre que el número esperado de reclamaciones es q1 + + qn .

···

2. Para un modelo individual de riesgo, encuentre la distribuci´ on de probabilidad del n´ umero total de reclamaciones en una cartera de n asegurados cuando Dj tiene distribución Ber(q), es decir, qj = q > 0 es constante. 3. Considere el modelo individual de riesgo en donde Dj tiene distribuci´ on Ber(q), es decir, qj = q > 0 es constante. Suponga además que cada reclamaci´ on C j es constante c > 0, es decir, se trata de una misma suma asegurada para todos. Encuentre una expresión para la esperanza y la varianza de S . 4. Considere el modelo individual para un portafolio de n p´ olizas de seguros de vida. Suponga que el j-ésimo asegurado tiene una suma asegurada constante cj . Demuestre que

Parte 1.


29

n

a) E (S ) =

 

qj cj .

j=1 n

b) Var(S ) =

qj pj c2j .

j=1

5. Demuestre que si f 1 (x), . . . , fn (x) son funciones diferenciables que no se anulan, entonces n n n f j (x) d f j (x) = f j (x) . dx j=1 f (x) j=1 j=1 j ′

       

Use esta fórmula y la expresión encontrada para M S (t) en el modelo individual de riesgo para encontrar nuevamente E (S ) y Var(S ). 6. Encuentre una expresi´ on para E (S 2 ) y E (S 3 ) cuando S sigue un modelo individual de riesgo. 7. Suponga que D y C son dos variables aleatorias independientes tales que D tiene distribución Ber(q) y C se distribuye exp(λ). Calcule y grafique la funci´ on de distribución de la variable aleatoria mixta DC . 8. Para el modelo individual, suponga que Dj tiene distribución Ber(q), es decir, qj = q > 0 es constante. Encuentre la distribución del riesgo S cuando n = 3 y C j tiene la siguiente distribución de probabilidad P (C j = 1) = 0.6, P (C j = 2) = 0.3, P (C j = 3) = 0.1. 9. Considere un portafolio de 21 pólizas individuales de seguros de vida válidas por un a˜ no como se indica en la tabla que aparece abajo. Usando el modelo individual calcule E (S ) y Var(S ). Tasa de mortalidad qj 0.04 0.05 0.06

Suma asegurada $2 $3 $4 $5 1 1 2 1 0 2 3 3 1 1 2 4

10. Sean qj,0 , qj,1 y qj,2 las probabilidades de que el j-ésimo asegurado presente 0, 1 y 2 reclamaciones respectivamente durante el tiempo de vigencia del

30


seguro. Suponga que cada una de las posibles reclamaciones de la póliza j es constante zj y que qj,0 + qj,1 + qj,2 = 1. Encuentre fórmulas para E (S ) y Var(S ) en el modelo individual. 11. Una compa˜ n´ıa aseguradora tiene una cartera con pólizas de seguros de vida y diferentes sumas aseguradas como se muestra en la tabla que aparece abajo. Calcule E (S ) y Var(S ) usando el modelo individual. Suma asegurada $10,000 $20,000 $30,000

N´ u mero de p´ o lizas 50 75 100

Probabilidad de reclamaci´ on 0.0040 0.0035 0.0030

12. Considere el modelo individual de riesgo para una cartera de n = 56 asegurados divididos en cinco subgrupos de la siguiente forma: 11 asegurados con probabilidad de reclamación q = 0.01, 7 asegurados con q = 0.015, 20 asegurados con q = 0.02, 10 asegurados con q = 0.025 y 8 asegurados con q = 0.03. Todos ellos con suma asegurada $100. Calcule el valor esperado del agregado de reclamaciones del riesgo correspondiente a esta cartera de asegurados. 13. Para el modelo individual, suponga que Dj tiene distribución Ber(q), es decir, qj = q > 0 es constante, y que cada reclamación C j tiene distribuci´ on exp(λ). Encuentre la distribución de probabilidad del riesgo S .

Modelo colectivo 14. A partir de la f´ ormula encontrada para M S (t) en el modelo colectivo de riesgo, encuentre nuevamente las expresiones para E (S ), E (S 2 ) y Var(S ).



N

15. Considere el modelo colectivo de riesgo S = j=1 Y j , en donde N tiene distribuci´ on Poisson(λ) y Y sigue una distribuci´ on log normal(m, σ 2 ). Demuestre que a) E (Y ) = exp(σ2 /2 + m). b) µn = exp(nm + n2 σ2 /2). 2

c) Var(Y ) = (eσ 1)exp(σ2 + 2m). d) E (S ) = λ exp(σ 2 /2 + m). e) Var(S ) = λ exp(2σ2 + 2m).

−

Parte 1.


31

E [(S E (S ))3 ] 1 f) α3 = = exp(3σ 2 /2). 3/2 [Var(S )] λ

−

√

Modelo binomial compuesto 16. Demuestre las fórmulas para el modelo binomial compuesto de la página 20. 17. Sean S 1 y S 2 dos riesgos independientes con distribución binomial compuesta con parámetros (n1 , p) y (n2 , p) respectivamente. Suponga que los montos de las reclamaciones de cada uno de estos riesgos son Y (1) y Y (2) con idéntica distribuci´ on G(x). Demuestre que el riesgo S = S 1 + S 2 también sigue una distribuci´ on binomial compuesta con parámetros (n1 +n2 , p) y la distribución del monto de las reclamaciones para S es nuevamente G(x).

Modelo binomial negativo compuesto 18. Demuestre las fórmulas para el modelo binomial negativo compuesto de la p´ agina 20.

Modelo Poisson compuesto 19. Demuestre las fórmulas para el modelo Poisson compuesto de la página 21. 20. Demuestre las fórmulas para el modelo Poisson compuesto asociado de la p´ agina 23. 21. Sean F 1 (x) y F 2 (x) dos funciones de distribución con funciones generadoras de momentos M 1 (t) y M 2 (t) respectivamente. Demuestre que para cualquier α [0, 1], la funci´ on αF 1 (x)+(1 α)F 2 (x) es una función de distribución cuya funci´ on generadora de momentos asociada es αM 1 (t) + (1 α)M 2 (t). Este resultado fue utilizado en el análisis de la suma de dos riesgos con distribución Poisson compuesta.

∈

−

−

22. Sean S 1 , . . . , Sn riesgos independientes con distribución Poisson compuesta con parámetros λ1 , . . . , λn , respectivamente. Suponga que los montos de las reclamaciones de estos riesgos son Y (1) , . . . , Y (n) , con función de distribución G1 (x), . . . , Gn (x), respectivamente. Demuestre que el riesgo S = S 1 + +

···

32


S n también sigue una distribución Poisson compuesta con parámetro λ = λ1 + + λn , y la funci´ on de distribución de las reclamaciones es G(x)= λ1 λn G (x)+ + G (x). 1 n λ λ

·· ·

···

23. Sea X 1 , X 2 , . . . una sucesión de variables aleatorias independientes cada una de ellas con distribución Ber(q), y sea X 0 = 0. Sea N otra variable aleatoria con distribución Poisson(λ) independiente de las anteriores. Demuestre que la variable X = N on Poisson(λq). Esta variable tiene i=0 X i tiene distribuci´ la siguiente interpretación: si N representa el total de siniestros ocurridos y cada siniestro es reportado con probabilidad q, entonces X representa el total de siniestros ocurridos reportados.



24. Sea Y una variable aleatoria con funci´ on de distribución F (y), y sean a < b dos n´ umeros tales que F (a) < F (b). Demuestre que la función de distribución condicional de Y dado el evento (Y (a, b]) es

∈

| ∈ (a, b]) =

F (y Y

 

0 F (y) F (b) 1

si y < a,

− F (a) − F (a)

si a

≤ y ≤ b,

si y > b.

Aplique este resultado al caso cuando Y tiene distribución exp(α). Encuentre y grafique ambas funciones de distribuci´ on: la original y la condicional.

Esperanza condicional 25. Sea (X, Y ) un vector aleatorio discreto con la función de probabilidad que aparece abajo. Encuentre la distribución de la variable aleatoria E (X Y ) y compruebe que E (E (X Y )) = E (X ) = 78/36.

|

|

f X,Y (x, y) =



(x + y)/36 0

si x, y = 1, 2, 3, en otro caso.

Parte 2

F´ ormula de Panjer y algunos m´ etodos de aproximaci´ on

En este cap´ıtulo se presenta la famosa fórmula de Panjer. Este resultado proporciona una expresión exacta, aunque recursiva, de la distribución de probabilidad de un riesgo en el modelo colectivo, y es válida cuando la distribución del n´ umero de reclamaciones y los montos cumplen ciertas condiciones. Se presentan además algunos métodos de aproximación generales para estimar la distribución de un riesgo.

2.1.

F´ ormula de Panjer

Primeramente se enuncia la condición que debe satisfacer el número de reclamaciones N para obtener la fórmula de Panjer.

33

34

´ rmula de Panjer 2.1. Fo

{

}

Proposici´ on. Sea N una variable aleatoria discreta con valores en 0, 1, . . . y sea pk = P (N = k) para k = 0, 1, . . . Sean a y b dos constante. Entonces la igualdad b pk = (a + ) pk−1 (2.1) k se cumple cuando

−

−

−

1. N es bin(n, p), con a = p/(1 p) y b = (n + 1) p/(1 p). 2. N es Poisson(λ), con a = 0 y b = λ. 3. N es bin neg(α, p), con a = 1

− p y b = (α − 1)(1 − p).

La demostración de este resultado es inmediata después de algunos cálculos aritméticos sencillos, y se dejan como ejercicio al lector. La identidad (2.1) puede usarse para generar la distribución de probabilidad de estas variables aleatorias discretas de una forma recursiva. Supondremos entonces que la distribución del número de reclamaciones N cumple con la condición (2.1) y la proposición establece que tal condici´ on es válida para las tres distribuciones señaladas. Recordando la notación e hipótesis del modelo colectivo de riesgo S = N j=1 Y j , definido en el cap´ıtulo anterior, tenemos las siguientes hipótesis y notación adicionales. Supondremos que las reclamaciones Y j son tales que P (Y j N) = 1, lo cual no es ning´ un problema pues puede considerarse que las reclamaciones se efectúan en unidades monetarias, cualesquiera que éstas sean. En los cálculos siguientes usaremos los siguientes s´ımbolos.

∈

Notaci´ on: pk = P (N = k) f r = P (Y = r) f r∗k = P (Y 1 + + Y k = r) gr = P (S = r)

k = 0, 1, . . . r = 1, 2, . . . r = 1, 2, . . . r = 0, 1, . . .

· ··

En particular, r−1

f r∗(k+1)

∗k

= (f

∗ f )r =

 i=1

f i∗k f r−i .



´ rmula de Panjer y m´ ń Parte 2. Fo etodos de aproximacio

Adem´ as g0 = P (S = 0) = P (N = 0) = p0 , y para r gr

35

≥ 1,

= P (S = r) ∞

=

 

|

P (S = r N = k)P (N = k)

k=1 ∞

=

f r∗k pk .

k=1

Proposici´ on. Bajo la notación e hipótesis anteriores, se cumplen las siguientes propiedades: k

1. E ( Y 1

|



Y j = r ) =

j=1

r−1

2.

pk f r∗k

= pk−1



(a +

i=1

r , para k k

≥ 1.

bi ∗(k−1) ) f f i , para k r r−i

≥ 2.

Demostraci´ on. Para el primer inciso, k

E ( Y 1

 |

Y j = r ) =

j=1

1 k

k

k

 |  | E ( Y i

i=1

=

1 E ( k

=

r . k

Y j = r )

j=1

k

k

Y i

i=1

j=1

Y j = r )

36


Para el segundo inciso desarrollamos el lado derecho, r−1

r



   

bi ∗(k−1) pk−1 (a + )f r−i f i r i=1

= pk−1

(a +

bi )P (Y 2 + r

(a +

bi )P (Y 1 = i, Y 2 + r

(a +

bi )P (Y 1 = i, Y j = r) r j=1

i=1 r

= pk−1

i=1 r

= pk−1

i=1

· · · + Y k = r − i)P (Y 1 = i) k

r

bi = pk−1 (a + )P (Y 1 = i r i=1 bY 1 = pk−1 E (a + r b = pk−1 (a + )f r∗k k = pk f r∗k

· ·· + Y k = r − i)

k

 |

  | k

Y j = r)f r∗k

j=1

Y j = r)f r∗k

j=1

Ahora estamos listos para enunciar y demostrar la fórmula de Harry Panjer [14], publicada en 1981. Teorema (F´ ormula de Panjer). Para el modelo colectivo de riesgo, y bajo las hip´ otesis y notación arriba enunciados, la probabilidad gr = P (S = r) está dada por r

gr

=

 i=1

g0

= p0 .

(a +

bi ) f i gr−i , r

para r

≥ 1.


Demostraci´ on. Para r

37

≥ 1, ∞

gr

=

 

P (S = r N = k)P (N = k)

|

k=1 ∞

=

pk f r∗k

k=1

= p1 f r +

∞



pk f r∗k

k=2

= (a + b) p0 f r +

∞ r−1

bi ∗(k−1) ) pk−1 f r−i f i r

    (a +

k=2 i=1 r−1

bi = (a + b) p0 f r + (a + )f i r i=1 r−1

= (a + b) p0 f r +

(a +

i=1

r

=



(a +

i=1

∞

∗(k−1)

pk−1 f r−i

k=2

bi )f i gr −i r

bi )f igr−i . r

A continuación escribimos expl´ıcitamente los primeros términos de la fórmula recursiva de Panjer: g0 g1 g2 g3

= p0 = P (N = 0) b = (a + )f 1 g0 1 b = (a + )f 1 g1 + (a + 2 b = (a + )f 1 g2 + (a + 3 .. .

2b )f 2 g0 2 2b 3b )f 2 g1 + (a + )f 3 g0 3 3

Como un ejemplo consideremos el caso cuando N sigue una distribución Poisson

38


de parámetro λ = 3,5, y el monto de las reclamaciones tiene la siguiente función de densidad r f r

1 0.1

2 0.1

3 0.2

4 0.3

5 0.3

Entonces la fórmula de Panjer produce la función de densidad para S que se muestra en la Figura 2.1. El código en R correspondiente se encuentra en el Apéndice B.

gr

0.03

r 2

4

6

8

10

12

Figura 2.1:

14

16

18

20


39

Harry Panjer

Aproximaci´ on en el caso de montos de reclamaciones continuas. Cuando los montos de las reclamaciones toman valores continuos, pueden usarse las siguientes discretizaciones de estos montos y aplicar la fórmula de Panjer. a) Se toma cualquier ρ > 0, y se definen las reclamaciones enteras

{ ∈ N : Y j ≤ nρ}, y { ∈ N : Y j ≥ nρ}, en donde ´ınf ∅ = 0. Entonces ρY j ≤ Y j ≤ ρY j . Por ejemplo, para la situación que se muestra en la Figura 2.2 se tiene que Y j = 4 y Y j = 3, y efectivamente 3ρ ≤ Y j ≤ 4ρ. Y j Y j

= ´ınf n = sup n

Y j

× 0

ρ

2ρ

3ρ

4ρ

5ρ

···

nρ

Figura 2.2: Se definen entonces los riesgos cuyas reclamaciones ahora son enteras: S = N N S ρS . Por lo tanto j=1 Y j , y S = j=1 Y j . Observe que ρS





≤ ≤ P (S ≤ x/ρ) ≤ P (S ≤ x) ≤ P (S ≤ x/ρ).

40

´ n normal 2.2. Aproximacio

b) Alternativamente, si G(x) denota la función de distribución de una reclamaci´ on Y cualquiera, entonces para r 1,

≥

f r = P (Y = r) = G(r)

− G(r − 1).

De esta forma cualquier valor continuo de Y en el intervalo (r considera como si fuera de magnitud r.

− 1, r] se

En las siguientes secciones estudiaremos algunos métodos generales para aproximar la distribuci´ on de probabilidad de un riesgo en el modelo colectivo.

2.2.

Aproximaci´ on normal

Si el n´ umero de reclamaciones N es grande, entonces el teorema central del l´ımite sugiere aproximar la distribución del riesgo S mediante la distribución normal. Es decir, para x > 0, P (S

E (S ) x − E (S ) x − E (S ) ≤ x) = P ( S −Var(S ≤ ) ≈ Φ( ). ) Var(S ) Var(S )







Substituyendo las expresiones generales para la esperanza y varianza del modelo colectivo para S se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on. (Aproximaci´ on normal). Para cualquier x > 0, P (S

≤ x) ≈ Φ(

−

x E (N )µ ). Var(N )µ2 + E (N )Var(Y )



(2.2)

Esta aproximación hace uso únicamente de la media y la varianza de del riesgo, y en general no es una buena aproximación a menos que la densidad del riesgo presente la forma de campana o bien el número de reclamaciones sea grande. Se puede particularizar esta aproximación cuando la distribución de N es conocida, por ejemplo, cuando el n´ umero de reclamaciones N sigue una distribución Poisson con parámetro λ, la aproximación (2.2) adquiere la expresión simple P (S

≤ x) ≈ Φ( x√−λµλµ ). 2


41

Otro caso particular se obtiene cuando N es bin(n, p), entonces la expresión (2.2) se reduce a la fórmula siguiente P (S

≤ x) ≈ Φ(

 − −

x npµ ). np(µ2 µ2 p)

En el caso cuando N es bin neg(r, p) se tiene que (2.2) es P (S

2.3.

≤ x) ≈ Φ(



r(1

−

x r(1 p)µ/p ). p)[µ2 /p + (1 p)µ2 /p2]

−

−

−

Aproximaci´ on gamma trasladada

Puesto que la función de densidad o de probabilidad de algunos riesgos pueden presentar un aspecto semejante a la forma de la distribución gamma, se propone substituir la distribución del riesgo S por la distribución de la variable aleatoria k + Z , en donde k es una constante y Z es una variable aleatoria con distribuci´ on gamma(γ, α). Para ello se deben escoger adecuadamente valores para los tres parámetros k, γ y α que determinan la distribución de k+Z . Supongamos conocidas o estimadas las siguientes cantidades a) E (S ) = m. b) Var(S ) = σ2 . c)

E [(S E (S ))3 ] = α3 . [Var(S )]3/2

−

La correspondiente media, varianza y coeficiente de asimetr´ıa (de Fisher) de la variable k + Z son a) E (k + Z ) = k + γ/α. b) Var(k + Z ) = γ/α 2 . c)

E [(k + Z E (k + Z ))3 ] = 2/ γ . [Var(k + Z )]3/2

−

√

42

´ n de Edgeworth 2.4. Aproximacio

La idea es hacer que las distribuciones de S y k + Z coincidan en el sentido de que las tres cantidades mencionadas sean las mismas para las dos distribuciones. Haciendo coincidir estas tres cantidades para ambas variables aleatorias se obtiene el sistema de ecuaciones k+

γ = m, α

γ = σ2 , 2 α

√2γ = α3,

cuya solución es k=m

− 2σ , α3

γ =

4 , α23

α=

2 . σα3

De esta forma se tiene la siguiente aproximación. Proposici´ on. (Aproximaci´ on gamma trasladada). El riesgo S en el modelo colectivo tiene distribución aproximada la de la variable aleatoria m en donde Z

− 2σ + Z, α3

∼ gamma( α42 , σα2 3 ). 3

2.4.

Aproximaci´ on de Edgeworth

Considere un cierto riesgo S modelado mediante una variable aleatoria con esperanza m y varianza finita σ 2 . Defina la variable Z = (S m)/σ, y suponga que la función generadora de momentos de Z existe y es M Z (r). En particular, la esperanza de Z es cero y su varianza es uno. La serie de Taylor de la función ln M Z (r) alrededor de cero es

−

ln M Z (r) = a0 + a1 r +

a2 2 a3 3 a4 4 r + r + r + 2! 3! 4!

···


43



dk dr k

en donde los coeficientes son ak = ln M Z (r) . Calculando las derivadas y r=0 evaluando en cero se encuentra que los primeros cinco coeficientes son a0 a1 a2 a3 a4

= = = = = .. .

0, E (Z ) = 0, E (Z 2 ) = 1, E (Z 3 ), E (Z 4 ) 3,

−

La aproximación de Edgeworth consiste en truncar la serie de Taylor de la función ln M Z (r) hasta alg´ un término adecuado. Por ejemplo, la aproximación hasta la cuarta potencia de r es 2

ln M Z (r)

≈ r2! + a3!3 r3 + a4!4 r4 .

Entonces M Z (r)

r2 a3 a4 + r3 + r4 ) 2! 3! 4! a3 3 a4 4 r2 /2 = e exp( r + r ). 6 24

≈

exp(

Ahora se usa la serie ex = 1 + x + x2 /2! + x3 /3! + obtiene M Z (r)

···

en el segundo factor y se

a3 3 a4 4 a23 6 r + r + r ) 6 24 72 2 2 2 2 a3 a4 a3 = er /2 + r3 er /2 + r4 er /2 + 3 r6 er /2 . 6 24 72

≈

er

2

/2

(1 +

(2.3)

El siguiente paso es invertir cada término de esta ecuación encontrando una distribuci´ on aproximada para Z . El resultado es el siguiente. Proposici´ on. Si φ(x) es la función de densidad de la distribución normal estándar, entonces para cualquier entero n 0,

≥ ∞ erx (−1)n φ(n) (x) dx = rn er /2 .



−∞

2

44


Demostraci´ on. Primeramente tenemos que para n = 0, ∞



erx φ(x) dx = er

2

/2

,

−∞

2

es decir, er /2 es la función generadora de momentos de la distribución normal est´ andar. Multiplicando por r tenemos que re

∞

r2 /2

=

   −

rerx φ(x) dx

−∞ ∞

=

(

d rx e )φ(x) dx dx

−∞ ∞

=

erx φ′ (x) dx.

−∞

2

Lo anterior demuestra que rer /2 es la transformada de Laplace de φ′ (x). En este caso usamos el término transformada de Laplace y no función generadora de momentos pues la función φ′ (x) no es una función de densidad. Procediendo de manera análoga, multiplicando sucesivamente por r, se llega a la fórmula anunciada, 2 es decir, la función rn er /2 es la transformada de Laplace de ( 1)n φ(n) (x).

−

−

−

Por lo tanto, invirtiendo término a término la igualdad (2.3), se obtiene 2

a4 (4) a ≈ φ(z) − a63 φ(3) (z) + 24 φ (z) + 3 φ(6) (z). (2.4) 72 Recordemos que hemos definido Z = (S − m)/σ. Entonces la función de densidad f Z (z)

de S = m + σZ est´ a dada por

f S (x) =

−

1 x m f Z ( ), σ σ

y por lo tanto se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on. (Aproximaci´ on de Edgeworth). La funci´ on de densidad del 2 riesgo S con media m y varianza σ es 2

f S (x)

a4 (4) x − m a x−m ≈ σ1 [ φ( x −σ m ) − a63 φ(3)( x −σ m ) + 24 φ ( ) + 3 φ(6) ( ) ]. σ 72 σ


45

Derivando directamente la función de densidad φ(x) de la distribución normal est´ andar puede demostrarse que φ(3) (x) = (3x x3 ) φ(x), φ(4) (x) = (3 6x2 + x4 ) φ(x), φ(6) (x) =

− − (−15 + 45x2 − 15x4 + x6 ) φ(x).

Estas expresiones pueden substituirse en la aproximación de Edgeworth para obtener una expresión en términos de únicamente la función φ(x). Observe que el primer sumando en la aproximación de Edgeworth corresponde a la función de densidad normal con media m y varianza σ2 . No es dif´ıcil verificar adem´ as que cuando el riesgo S sigue una distribución normal, la aproximación de Edgeworth es exacta pues produce como resultado la misma distribuci´ on con los mismos parámetros.

Francis Ysidro Edgeworth (Irlanda 1845–1926)

La aproximación de Edgeworth puede expresarse también en términos de la función de distribución de la siguiente forma. Integrando (2.4) se obtiene 2

a4 (4) a ≈ Φ(z) − a63 Φ(3)(z) + 24 Φ (z) + 3 Φ(6) (z). 72 Considerando la identidad F S (x) = F Z ((x − m)/σ), se tiene que la aproximación F Z (z)

de Edgeworth para un riesgo S en términos de la función de distribución es 2

F S (x)

a4 (4) x − m a x−m ≈ Φ( x −σ m ) − a63 Φ(3) ( x −σ m ) + 24 Φ ( ) + 3 Φ(6) ( ), σ 72 σ

46


en donde derivando directamente la función Φ(z) puede demostrarse que Φ(3) (z) = (z 2 1) φ(z), Φ(4) (z) = ( z 3 + 3z) φ(z), Φ(6) (z) = ( z 5 + 10z 3 15z) φ(z).

− −

−

−

Aproximaci´ on normal 26. Suponga que un cierto riesgo S tiene una distribución Poisson compuesta con parámetro λ = 30, en donde los montos de las reclamaciones siguen una distribuci´ on uniforme(0, 10). Use la aproximación normal para encontrar el valor de la prima p tal que

≤ 0.05. b ) P (S > p) ≤ 0.01.

a ) P (S > p)

27. Suponga que un riesgo S sigue una distribuci´ on Poisson compuesta con parámetro λ = 20, y los montos de las reclamaciones tienen distribución exp(α) con α = 10. Use la aproximación normal para estimar la probabilidad P (S > E (S )). 28. Suponga que un riesgo S sigue una distribuci´ on Poisson compuesta con parámetro λ = 20, y los montos de las reclamaciones tienen distribución Pareto(4, 3). Use la aproximación normal para comprobar que el valor de la prima p que cumple la condición P (S > p) 0,01 es p = 38,0194.

≤

Aproximaci´ on gamma trasladada 29. Durante la derivaci´ on de la aproximación gamma trasladada se usa el hecho de que la variable aleatoria k + Z , en donde Z tiene una distribución gamma(γ, α), tiene media, varianza y coeficiente de asimetr´ıa k + γ/α, γ/α 2 y 2/ γ respectivamente. Demuestre estas fórmulas.

√

30. Durante la derivaci´ on de la aproximación gamma trasladada se llega al sistema de ecuaciones k + γ/α = m, γ/α 2 = σ2 y 2/ γ = α3 , en donde k, γ y α son las incógnitas. Demuestre que la solución a este sistema es efectivamente k = m 2σ/α3 , γ = 4/α23 y α = 2/σα3 .

√

−


47

31. Encuentre una expresión para la aproximación gamma trasladada cuando el riesgo sigue una distribuci´ on a) Poisson compuesta. b) binomial compuesta. c) binomial negativa compuesta. 32. Suponga que Z tiene una distribución gamma(γ, α). Demuestre que si 2γ es un n´ umero entero natural, entonces 2αZ tiene una distribución χ2 (2γ ).

Aproximaci´ on de Edgeworth 33. Demuestre que la aproximación de Edgeworth para un riesgo con distribución normal con media m y varianza σ2 produce esta misma distribució n con los mismos parámetros. Recuerde que si Z tiene una distribuci´ on normal est´ andar, entonces los momentos impares de esta variable aleatoria se anulan, y para cualquier número natural n, E (Z 2n ) =

(2n)! . 2n n!

34. Suponga que S tiene una distribución Poisson compuesta de parámetro λ > 0, y que se desea usar la aproximación de Edgeworth para S . Demuestre que dk ak = k ln M Z (r) dr



En consecuencia P (S

≤ x) ≈

= λµk (λµ2 )−k/2 , para k r=0

≥ 2.

−3/2 √−λµλµ ) − λµ3(λµ62 ) Φ(3)( x√−λµλµ ) 2 2 −2 λµ4 (λµ2 ) x − λµ + Φ(4) ( √ )

Φ(

x

24

+

λ2 µ23 (λµ2 )−3 72

λµ2 x λµ Φ(6) ( ). λµ2

√−

35. Suponga que S tiene una distribución Poisson compuesta de parámetro λ > 0, y que se desea usar la aproximación de Edgeworth para S . Suponga adicionalmente que el monto de las reclamaciones siguen una distribución Pareto(4, 3).

48


Demuestre que µ4 = puede aplicarse.

∞, y por lo tanto la fórmula del ejercicio anterior no

Parte 3

Principios para el c´ alculo de primas

Hemos mencionado antes que una prima es un pago por adelantado que un asegurado realiza a una compañ´ıa aseguradora para obtener una cobertura parcial o completa contra un riesgo determinado en los términos y condiciones que establece la póliza del seguro. En este cap´ıtulo vamos a estudiar algunas reglas generales para calcular el valor de una prima tomando en consideración u ´ nicamente los aspectos matemáticos del riesgo, es decir, no consideraremos cuestiones administrativas o mercadol´ ogicas del negocio del seguro, las cuales en situaciones prácticas son indispensables de considerar. Denotaremos por p, o pS , la prima para cubrir un riesgo S . De esta manera, a la fórmula para calcular una prima se le puede considerar como una función numérica de la variable aleatoria S o de su distribución.

3.1.

Principios generales

La prima pura de riesgo est´ a dada por p = E (S ). Aunque esta fórmula para calcular una prima podr´ıa parecer justa para el asegurado, no lo es as´ı para el asegurador, quien debe solventar los diversos gastos de administración del seguro, y quien por otro lado no tendr´ıa ningún margen de ganancia promedio por operar el negocio del seguro. Veremos a continuación la posible situación catastrófica que puede presentarse cuando se toma p = E (S ). Considere un portafolio homogéneo de n p´ olizas de seguro de un mismo riesgo y válidas por un tiempo determinado. Suponga que se cobra una misma prima p por cada póliza, y que S j representa el monto de las reclamaciones efectuadas por la póliza j, las cuales se presuponen independientes 49

50

3.1. Principios generales

y con idéntica distribución. Si u es el capital inicial de la aseguradora, entonces el capital de la misma al término de la vigencia de las pólizas es n

X n = u + np

 −

S j .

j=1

Tomando esperanza en la ecuación anterior, y suponiendo p = E (S ) se obtiene E (X n ) = u + n ( p

− E (S )) = u.

Es decir, en promedio la compañ´ıa aseguradora permanece con su capital inicial, sin embargo puede demostrarse que cuando n ,

→∞

l´ım sup X n = n→∞

− l´ınm→∞ inf X n = ∞.

Esto quiere decir que el capital X n puede oscilar y tomar valores grandes, tanto negativa como positivamente. Cuando p = E (S ) la variable X n tiene el siguiente comportamiento l´ımite:



l´ım X n =

n→∞



+

∞ −∞

si p > E (S ), si p < E (S ).

En vista de estos resultados, es natural y deseable suponer p > E (S ). Esta condici´ on se conoce con el nombre de condici´ on de ganancia neta (net profit condition), y debe prevalecer en cualquier método para calcular p. Veremos a continuación algunos métodos generales para calcular el valor de p considerando u ´ nicamente las caracter´ısticas estocásticas del riesgo a cubrir S . En general no existe un mecanismo de cálculo que sea el mejor pues existen varias condiciones que afectan la forma de calcular primas, entre ellas, las restricciones legales y financieras, las condiciones del asegurado, las condiciones de la propia aseguradora y de las otras aseguradoras como competidoras y las condiciones del mercado del seguro. Todos estos son factores que determinan, directa o indirectamente, el valor de una prima para cubrir un riesgo particular en una situación real. Principio del valor esperado. Este principio es uno de los más sencillos y establece que la prima puede calcularse de la siguiente forma p = (1 + θ)E (S ), en donde θ > 0 es una constante llamada factor de recargo (safety loading). Es decir, se trata de la reclamación promedio mas un porcentaje de ésta. Una

´ lculo de primas Parte 3. Principios para el ca

51

desventaja de esta fórmula es que asigna la misma prima a dos riesgos con distinta distribuci´ on pero con media común, y no toma en cuenta otro aspectos. Por ejemplo, si las varianzas de los riesgos fueran distintas, entonces las primas tal vez deber´ıan ser distintas. Principio de la varianza. Este principio hace uso de la esperanza y varianza del riesgo. En este caso el factor de recargo θ > 0 se aplica sobre el valor de la varianza, es decir, p = E (S ) + θ Var(S ). Principio de la desviaci´ on est´ andar. Sea nuevamente θ > 0 una constante. En este principio el factor de recargo se aplica sobre la desviación estándar del riesgo, es decir, p = E (S ) + θ Var(S ).



Principio de utilidad cero. Este principio hace uso de una funci´ on de utilidad , esto es, una función v(x) que cumple las siguientes propiedades: v(x)

a) v(0) = 0. b) v(x) es estrictamente creciente. c) v(x) es estrictamente cóncava.

x Funci´ on c´ oncava

El principio de utilidad cero establece que la prima es aquel número p que satisface la ecuación v(u) = E [v(u + p S )], (3.1)

−

en donde u es el capital inicial de la aseguradora. Es decir, la utilidad que representa para la aseguradora el capital inicial u debe ser idéntica a la utilidad esperada al cubrir el riesgo. Se puede demostrar que si existe una solución a (3.1), ésta es única y que si S no es constante, es decir P (S = E (S )) < 1, entonces p > E (S ). Por ejemplo, considere la funci´ on de utilidad u(x) = 1 e−αx, con α > 0. La prima se calcula como aquel valor de p que es solución de la ecuación

−

1

− e−αu = E [1 − e−α(u+ p−S)].

52

3.1. Principios generales

En este caso la solución se puede encontrar con facilidad, después de algunos cálculos, de la identidad anterior se obtiene la expresión p =

1 ln M S (α). α

(3.2)

Principio del valor medio. Este principio hace uso de una funci´ on de valor , esto es, una función v(x) que cumple las siguientes propiedades: v(x)

a) v(0) = 0. b) v(x) es estrictamente creciente. c) v(x) es estrictamente convexa.

x Funci´ on convexa

El principio del valor medio establece que la prima p debe calcularse a partir de la igualdad v( p) = E [v(S )]. (3.3) Usando la desigualdad de Jensen puede demostrarse que si P (S = E (S )) < 1, entonces p > E (S ). Por ejemplo, considere la función de valor v(x) = eαx 1 con α > 0. Bajo este principio, la igualdad (3.3) se escribe

−

eαp

− 1 = E (eαS − 1),

lo que lleva a la siguiente solución, que es idéntica a (3.2), p =

1 ln M S (α). α

(3.4)

Principio exponencial. Este es el principio de utilidad cero aplicado a la función de utilidad u(x) = 1 e−αx, con α > 0. Y coincide tambi´ en con el principio del αx valor medio aplicado a la función de valor v(x) = e 1, con α > 0. Hemos visto que la prima que se encuentra bajo estos principios es

−

−

p =

1 ln M S (α). α

Observe que en este caso la prima no depende del capital inicial u. Usando la desigualdad de Jensen puede demostrarse directamente que esta forma de calcular


53

primas cumple la condición de ganancia neta cuando el riesgo en cuestión no es constante. Principio del porcentaje. Sea ǫ > 0 una constante. El principio del porcentaje sugiere que la prima p debe calcularse como aparece abajo. Esta fórmula postula que la probabilidad de que una reclamación exceda el monto de la prima debe ser pequeño. A este principio también se le conoce también como principio de pérdida m´ axima.

{

p = ´ınf x > 0 : P (S > x)

≤ ǫ }.

Por ejemplo, si S sigue una distribución exponencial de parámetro λ, entonces P (S > x) = e−λx. Y por lo tanto p es aquel valor numérico tal que e−λp = ǫ, es decir, p = λ1 ln ǫ.

−

Principio de Esscher. Antes de establecer este principio es necesario primero definir la transformada de Esscher de una distribución. Sea S un riesgo con funci´ on de densidad f (x), funci´ on de distribución F (x), y para la cual existe la función generadora de momentos M S (h), para algunos valores de h > 0. La transformada ametro h de la función de densidad f (x) es de Esscher con par´ g(x) =

1 ehx f (x). M S (h)

(3.5)

Es inmediato comprobar que ésta es efectivamente una función de densidad. El principio de Esscher establece que la prima para cubrir el riesgo S es la esperanza de esta nueva función de densidad, es decir, p = =

∞ 1 x ehxf (x) dx M S (h) 0 1 E (Se hS ). M S (h)



Habiendo definido la forma de calcular primas bajo este principio, vamos a hacer ahora algunas observaciones acerca de la nueva función de densidad (3.5), la cual es la función de densidad original ponderada por la función x ehx /M S (h). Para valores de x menores a E (S ) esta ponderación es menor a uno pues

→

ehx ehE(S) < M S (h) M S (h)

≤ 1,

en donde la segunda desigualdad se obtiene de la desigualdad de Jensen. Ello tiene como consecuencia que la esperanza de (3.5) sea mayor a la esperanza de S , cumpliendose as´ı la condici´ on de ganancia neta. Observe además que la correspondiente

54

3.2. Propiedades

funci´ on de distribución de (3.5) es 1 G(x) = M S (h)

x



ehy f (y) dy.

0

A esta función tambi´ en se le llama la transformada de Esscher de la funció n de ˜ una variable aleatoria asociada a esta función de distribudistribuci´ on F (x). Sea S ci´ on. Algunos cálculos sencillos muestran que la función generadora de momentos de esta nueva variable aleatoria está dada por M S˜ (t) =

M S (t + h) . M S (h)

Principio del riesgo ajustado. Este principio, as´ı como el de Esscher, est´ a basado en una transformación de la distribución del riesgo. Para un riesgo S con función de distribución F (x) se define una nueva función de distribución de la siguiente forma G(x) = 1 (1 F (x))1/ρ ,

− −

≥

en donde ρ 1 es un parámetro conocido como el ´ındice del riesgo . La esperanza de esta nueva distribución es la prima del principio del riesgo ajustado para el riesgo S , es decir, ∞

p =

 0

∞

(1

− G(x)) dx =



(1

0

− F (x))1/ρ dx.

Cuando ρ > 1 y S no es constante se verifica la condición de ganancia neta pues ∞

p =

 0

3.2.

1/ρ

(1 − F (x))

∞

dx >

 0

(1

− F (x)) dx = E (S ).

Propiedades

En esta sección se enuncian algunas propiedades generales que son deseables que posea cualquier método para calcular primas. Simplicidad. El c´ alculo de la prima debe ser fácil de calcular, por ejemplo, los principios del valor esperado, el de la varianza y el de la desviación estándar cumplen plenamente esta primera propiedad. La simplicidad en el cálculo de la prima es deseable que se cumpla por varias razones, entre ellas está el aspecto práctico del

55


c´ alculo mismo, as´ı como el de lograr una cabal comprensión del cálculo de la prima por parte del asegurado y del resto de las personas involucradas en los procesos administrativos y legales del seguro. Cota inferior. Por lo explicado antes, la prima debe tener siempre como cota inferior estricta la prima de riesgo, es decir, p > E (S ), en otras palabras, las primas deben tener siempre un recargo positivo. Consistencia. Si un riesgo se incrementa en una constante, entonces la prima debe reflejar ese cambio incrementándose en la misma cantidad, es decir, si c > 0 es una constante, entonces p(S + c) = p(S ) + c. Los principios de varianza, de la desviaci´ on estándar, de utilidad cero, el principio exponencial y el principio del porcentaje cumplen con esta propiedad. Aditividad. La prima de un portafolio consistente en dos riesgos independientes debe ser la suma de las primas individuales, es decir, p(S 1 + S 2 ) = p(S 1 ) + p(S 2 ), cuando S 1 y S 2 son dos riesgos independientes. Es claro que cuando se cumple esta propiedad, el intentar combinar o separar los riesgos no resulta en ninguna ventaja o provecho alguno ni para el asegurado ni para el asegurador. Los principios de valor esperado, el de la varianza y el principio exponencial cumplen esta propiedad. Invarianza de escala. Si a > 0 es una constante, entonces p(aS ) = aP (S ) , es decir, si la cuantificación del riesgo S cambia de escala y se considera ahora el riesgo aS , la prima para este nuevo riesgo debe ser ap(S ), esto es, la prima original modificada con la misma escala. Cota superior. Si un riesgo está acotado superiormente, entonces la prima para cubrir este riesgo tambi´ en debe tener la misma cota superior, es decir, si S M para alguna constante M > 0, entonces p(S ) M .

≤

≤

3.3.

Ejercicios

Funciones de utilidad y el principio de utilidad cero 36. Sean a > 0 y α > 0 constantes. Demuestre que la función v(x) = a(1 e−αx) definida para x 0, es una función de utilidad y que usada bajo el principio de utilidad cero determina que la prima para cubrir un riesgo S debe ser

≥

−

56

3.3. Ejercicios

p =

1 α

ln M S (α).

Funciones de valor y el principio del valor medio 37. Suponga que un riesgo S tiene distribución exp(λ). Use el principio del valor medio para calcular la prima para cubrir este riesgo usando la funció n de valor v(x) = x2 . Principio exponencial 38. Use la desigualdad estricta de Jensen para demostrar directamente que el principio exponencial cumple la condición de ganancia neta cuando el riesgo en cuestión no es constante. Principio del porcentaje 39. Usando el principio del porcentaje con ǫ un riesgo S con distribución exp(λ).

∈ (0, 1), calcule la prima para cubrir

Transformada de Esscher 40. Calcule la transformada de Esscher de parámetro h > 0 de la distribución a ) unif(a, b). b ) Poisson(λ). c ) N(µ, σ 2 ).

41. Sea S un riesgo con función de densidad f (x). Demuestre que la doble transformada de Esscher de f (x) con parámetros h1 y h2 , respectivamente, es h(x) =

1 M S (h1 + h2 )

e(h1 +h2 )x f (x),

y que la función generadora de momentos de esta nueva densidad es M (t) =

M S (t + h1 + h2 ) . M S (h1 + h2 )


57

Principio de Esscher 42. Calcule la transformada de Esscher de parámetro h de la distribución gamma(γ, α), y encuentre la prima mediante el principio de Esscher para cubrir un riesgo con esta distribución. ¿Se verifica la condición de ganancia neta? 43. Demuestre que la transformada de Esscher de parámetro h de un riesgo S con distribución exp(λ) es nuevamente la distribución exp(λ h) para h < λ. Grafique ambas funciones de densidad para efectos de comparación. Determine la prima por el principio de Esscher para cubrir el riesgo S . ¿Se verifica la condici´ on de ganancia neta?

−

Principio del riesgo ajustado 44. Demuestre que la transformada del principio del riesgo ajustado de parámetro ρ de un riesgo S con distribución exp(λ) es nuevamente la distribución exp(λ/ρ). Determine la prima por este principio para cubrir el riesgo S , y verifique la condición de ganancia neta. 45. Demuestre que la transformada del principio del riesgo ajustado de parámetro ρ de un riesgo S con distribución Pareto(a, b) es nuevamente la distribución Pareto(a/ρ, b). Determine la prima para cubrir S usando este principio, y verifique la condición de ganancia neta. 46. Calcule la prima para cubrir un riesgo S con distribución unif(0, 1), usando el principio del riesgo ajustado con ´ındice de riesgo ρ, y verifique la condici´ on de ganancia neta.

Propiedades 47. Complete la siguiente tabla determinando si cada uno de los principios mencionados para calcular primas cumple la propiedad correspondiente. En cada caso demuestre su afirmación o proporcione un contraejemplo.

58

3.3. Ejercicios

Cota inf Valor esperado Varianza Desv est´ andar Utilidad cero Valor medio Exponencial Porcentaje Esscher Riesgo ajustado

Consistencia

Aditividad

Invarianza

Cota sup

Parte 4

Reaseguro

El reaseguro se presenta cuando una aseguradora firma un contrato para cubrir ciertos riesgos con otra compañ´ıa aseguradora llamada reaseguradora . De esta manera ambas aseguradoras adquieren la obligación de solventar las posibles reclamaciones del riesgo en cuestión. Desde el punto de vista de la aseguradora, el reaseguro le ayuda a evitar posibles fuertes montos en las reclamaciones, aunque naturalmente disminuyen sus ingreso por primas pues tiene que compartir éstas con la reaseguradora. En este cap´ıtulo se estudian algunas ideas simples y generales del reaseguro. Considere un riesgo S y denote por S A la parte del riesgo asumido por el asegurador y sea S R la parte asumida por el reasegurador. Las letras A y R indican los términos Asegurador y Reasegurador , respectivamente. Debe entonces cumplirse la igualdad S = S A + S R . El reaseguro puede tomar por lo menos dos perspectivas: actuar sobre las reclamaciones individuales o sobre el total del riesgo. Reclamaciones individuales Reaseguro Total del riesgo

Figura 4.1:

59

60

4.1. Reaseguro proporcional

En ambos esquemas de reaseguro se aplica una función continua h del intervalo [0, ) en s´ı mismo tal que h(0) = 0 y h(x) x. Las dos funciones de este tipo que consideraremos son h(x) = ax para a (0, 1), y h(x) = m´ın x, M , para alguna constante M > 0. Gráficamente estas funciones se muestran a la Figura 4.2.

∞

∈

≤

{

h(x) = ax

}

h(x) = m´ın{x, M } M

x

x M

Figura 4.2: Bajo el esquema de reaseguro, la aseguradora afronta únicamente el riesgo resultante de aplicar la función h al riesgo original o a cada una de sus reclamaciones. Cuando se utiliza la primera de las funciones h mencionadas, el reaseguro se llama proporcional , y en el segundo caso se le llama no proporcional . Estudiaremos a continuaci´ on estos dos tipos de reaseguro.

4.1.

Reaseguro proporcional



N

Suponga que una compañ´ıa aseguradora reasegura un riesgo S = j=1 Y j . En el reaseguro proporcional se usa la función h(x) = ax, para alg´ u n valor de la constante a en el intervalo (0, 1). Usando la linealidad de esta función, es claro que es equivalente aplicar la función a cada reclamación por separado o al riesgo completo. Dada una reclamación Y , la aseguradora hace frente a una proporción de ésta, aY , y la reaseguradora cubre el porcentaje restante, (1 a)Y . El riesgo total asumido por la aseguradora es aS , y la reaseguradora cubre (1 a)S pues

−

N A

S =

 j=1

−

N

a Y j = aS

y

R

S =

 j=1

(1

− a) Y j = (1 − a)S.

Las caracter´ısticas probabil´ısticas de S A (o bien de S R ) se encuentran fácilmente de las de S pues, por ejemplo, es inmediato comprobar que

61

Parte 4. Reaseguro

a) F SA (x) = F S (x/a). b) f S A (x) =

1 a f S (x/a),

cuando S es absolutamente continua.

c) M S A (r) = M S (ar). Probabilidad de insolvencia. Comprobaremos a continuación que el reaseguro proporcional es conveniente para la aseguradora en el sentido de que la probabilidad de insolvencia bajo este tipo de reaseguro es menor o igual a la probabilidad de insolvencia cuando no hay reaseguro. Suponga que una compañ´ıa aseguradora adquiere un riesgo S durante un cierto periodo y por el cual cobra una prima p. Suponga esta aseguradora tiene un capital inicial u. La probabilidad de que la compa˜ n´ıa aseguradora no pueda solventar el riesgo es P (S > p +u). Ahora suponga que la compa˜ n´ıa decide reasegurarse mediante el esquema de reaseguro proporcional. Suponga además que el asegurador obtiene una parte de la prima original p dada por ap, y el reasegurador obtiene al aceptar reasegurar este riesgo (1 a) p. La probabilidad de que la aseguradora no pueda solventar el nuevo riesgo bajo este esquema es

−

P (aS > ap + u) = P (S > p + u/a)

≤ P (S > p + u).

De esta forma hemos comprobado que la probabilidad de insolvencia bajo el esquema de reaseguro proporcional es menor o igual a la probabilidad del mismo evento cuando no hay reaseguro. La ventaja para la aseguradora al contratar el reaseguro es que la incertidumbre disminuye pero sus ganancias también disminuyen al ceder un porcentaje de sus ingresos por primas.

4.2.

Reaseguro no proporcional

En el reaseguro no proporcional se toma la función h(x) = m´ın x, M , para alguna constante M > 0 llamada nivel de retenci´ on . Distinguiremos dos casos: cuando se aplica esta función a cada reclamación y cuando se aplica sobre el total del riesgo.

{

}

Reaseguro en cada reclamaci´ on. Si se aplica la función h(x) a cada reclamación Y , entonces el asegurador cubre Y A = m´ın Y, M , y el reasegurado cubre el monto restante Y R = Y m´ın Y, M = m´ ax 0, Y M . Por lo tanto, cada una de las

−

{

}

{

{

}

− }

62

4.2. Reaseguro no proporcional

aseguradoras asume los siguientes riesgos N

S A =

 j=1

N

m´ın Y j , M

{

y

}

S R =

 j=1

m´ ax 0, Y j

{

− M }.

A este esquema de reaseguro se le conoce también con el nombre de reaseguro por exceso de p´ erdida (excess of loss). N´ umero de reclamaciones. Sea N A el n´ umero de reclamaciones que un asegurador afronta ba jo un reaseguro por exceso de pérdida ( excess of loss ) con nivel de retención M sin recurrir a la reaseguradora, es decir, N A

N =



1(Y j ≤M ) .

j=1

Por otro lado, el número de reclamaciones que el reasegurador atiende para este tipo de reaseguro es N

N R =



1(Y j >M ) .

j=1

Es claro que se cumple la identidad N = N A + N R . Observe además que, condicionado al evento (N = n), cada una de estas variables aleatorias tiene una distribuci´ on binomial en donde n es el n´ umero de ensayos y las probabilidades de éxito son complementarias. La distribución no condicional de estas variables es el contenido del siguiente resultado en donde supondremos que la distribución de N es conocida y corresponde a uno de tres casos. Proposici´ on. Sea ν = P (Y j > M ). Entonces 1. si N tiene distribución bin(n, p), entonces a ) N R

∼ bin(n,νp). b ) N A ∼ bin(n, (1 − ν ) p).

2. si N tiene distribución Poisson(λ), entonces a ) N R

∼ Poisson(νλ). b ) N A ∼ Poisson((1 − ν )λ).

3. si N tiene distribución bin neg(α, p), entonces

63

Parte 4. Reaseguro

a ) N R A

b ) N

∼ bin neg(α,p/( p + ν − νp)). ∼ bin neg(α,p/( p + (1 − ν ) − (1 − ν ) p)).

ormula general M S (t) = M N (ln(M Y (t)) cuando el Demostraci´ on. Se aplica la f´

riesgo S es la variable N R y Y es la variable aleatoria con distribución Bernoulli dada por la función indicadora 1(Y j >M ) . Primeramente M Y (t) = E (etY ) = 1 ν + νe t . Entonces M N R (t) = M N (ln(1 ν + νe t )). Para el primer inciso, cuando N tiene distribución bin(n, p) tenemos que M N (t) = (1 p + pet )n . Por lo tanto

−

−

M N R

− (t) = (1 − p + p(1 − ν + νe t ))n = (1 − νp + νpe t )n .

Es decir N R tiene distribución bin(n,νp). Análogamente puede verse que N A tiene distribuci´ on bin(n, (1 ν ) p). De la misma forma se demuestran los otros casos. Recuerde que si N tiene distribución Poisson(λ), entonces M N (t) = exp λ(et 1) , y si N es bin neg(r, p), entonces M N (t) = ( p/(1 (1 p)et ))r .

−

{

− −

− }

Reaseguro en el riesgo completo. En este caso se aplica la función h(x) = m´ın x, M sobre el totalidad del riesgo para obtener la parte del riesgo que cubre la aseguradora, y el riesgo excedente lo cubre la reaseguradora. De esta manera cada una de las aseguradoras cubren los riesgos

{

}

S A = m´ın S, M

{

y

}

S R = máx 0, S

{

− M },

en donde puede verificarse la identidad S = S A + S R . Mediante este mecanismo la aseguradora tiene la certidumbre de que cubrirá un monto máximo de M para el riesgo S . A este tipo de reaseguro se le llama reaseguro de pérdida m´ axima (stop loss). Tanto la variable S A como S R son, en general, variables aleatorias mixtas, es decir, no son discretas ni continuas. Por ejemplo, la variable S A tiene una masa de probabilidad en el punto M de valor P (S M ), es decir, P (S A = M ) = P (S M ). Puede demostrarse que su función de distribución toma la expresión

≥

F S A (x) =



≥

F S (x) si x < M, 1 si x M,

≥

la cual se muestra en la Figura 4.3 (a) en el caso cuando F S (x) es continua. Debido a su condición de variable aleatoria mixta, la función de densidad del riesgo S A no puede expresarse como una función tradicional sino que hay que usar funciones generalizadas. El n-ésimo momento de S A , sin embargo, puede expresarse de la siguiente forma suponiendo que S es absolutamente continua, A n

E [(S ) ] =

M

 0

xn f S (x) dx + M n P (S

≥ M ).

64

4.2. Reasegur Reaseguro o no proporciona proporcional l

F S A (x) 1

F S R (x) 1



 



x

x

 

M (a)

( b)

Figura 4.3: Por su parte, la variable S R tiene una masa de probabilidad en el punto 0 de valor F S (M ), M ), es decir, P ( P (S R = 0) = F S (M ), M ), y su función on de distribuci´ distribución on es F S R (x) =



0 si x < 0, F S (M + x) si x 0,

≥

la cual se muestra en la Figura 4.3 (b) en el caso cuando F S (x) es continua. Nuevamente, no es posible escribir la función on de densidad de S R en términos erminos tradicionale tradic ionaless pero el n-ésimo esimo momento mo mento adquiere adq uiere la siguiente si guiente expresi´ expres ión, on, R n

∞

E [(S [(S ) ] =



xn f S (M + x) dx.

0

Es interesante notar que la variable S R puede tomar el valor 0 con probabilidad positiva positiva y que en la pr´ actica actica tal situación on no es relevante para la compañ´ n´ıa ıa reas re aseg eguuR radora quien está interesada en los valores positivos de S . No es dif´ıcil ıcil comprobar comprob ar que la función on de distribución o n de S R condicionada a tomar valores positivos es, para x > 0, F SR | S R >0 (x) = P ( P (S R

F S (M ) M ) ≤ x | S R > 0) = F S (M 1 −+ F x)S−(M ) . M )

A manera de resumen de los tipos de reaseguro mencionados se tiene el diagrama de la Figura 4.4. Seguros Seguros con deducible fijo. Algunos tipos de seguros, como el seguro contra accidentes de automóviles, oviles, contemplan el pago de una cantidad llamada deducible

65

Parte arte 4. Reasegur Reaseguro o

Proporcional Reclamaciones individuales Exceso Exces o de pérdida erdi da (excess of loss) Reaseguro Proporcional Total del riesgo Pérdi erdida da máxima axima (stop loss)

Figura 4.4: cada vez que el asegurado presenta una reclamación on ante la compañ´ıa asegur ase gurado adora. ra. En este caso particular estamos suponiendo que dicho deducible es una cantidad fija de d unidades monetarias, y que la reclamación on se modela con la variable aleatoria S . Si el monto de la reclamación es menor a d, el asegurado cubre la totalidad de la reclamación, on, es decir, no hay reclamación on para la aseguradora. En cambio, si el monto de la reclamación on excede el valor de d, entonces el asegurado paga el deducible d y la aseguradora cubre la cantidad restante, es decir, máx 0, S d . De esta forma, los riesgos para este tipo de pólizas de seguros se modelan con las herramientas que hemos mencionado para el reaseguro de p´ erdida erdida máxima con nivel de retención on d.

{

4.3. 4.3.

Ejer Ejerci cici cios os

Reaseguro proporcional 48. Para un reaseguro reaseguro proporcional proporcional demuestre demuestre que a) E (S A ) = a E (S ). ).

− }

66

4.3. Ejercicio Ejercicios s

b) Var(S ar(S A ) = a2 Var(S Var(S ). ). c)

E [(S [(S A E (S A ))3 ] E [(S [(S E (S )) ))3 ] = . [Var(S [Var(S A )]3/2 [Var(S [Var(S )] )]3/2

−

−

49. Bajo el esquema de reaseguro proporcional de un cierto riesgo S , el riesgo asumido por el asegurador es S A = aS , y la prima recibida es ap. ap. Suponga que el capital inicial de la aseguradora para afrontar dicho riesgo es u. Demuestre que la probabilidad de insolvencia P ( P (aS > ap + u) es una función on creciente de a (0, (0, 1).

∈

50. Suponga Suponga que un riesgo riesgo S se modela mediante la distribución on exp(α exp(α). Demuestre que bajo un reaseguro proporcional el riesgo asumido por la aseguradora S A = aS tiene distribución on exp(α/a exp(α/a). ). 51. Suponga que un riesgo S se modela mediante la distribución on gamma(γ, gamma(γ, α). Demuestre que bajo un reaseguro proporcional el riesgo asumido por la aseguradora S A = aS tiene distribución on gamma(γ,α/a gamma(γ,α/a). ). 52. Suponga Suponga que un un riesgo S se S se modela mediante la distribución on log normal(µ, normal(µ, σ 2 ). Demuestre que bajo un reaseguro proporcional el riesgo asumido por la aseguradora S A = aS tiene distribución on log normal(µ normal(µ + ln a, σ 2 ).

Reaseguro no proporcional 53. Considere un reaseguro r easeguro no proporcional por exceso de pérdida, erdida, y sean N A y N R el n´ umero de reclamaciones afrontadas por el segurador y por el reaseumero gurador respectivamente. a ) ¿Son N A y N R independientes? b ) ¿Son N y N A independientes?

54. Demuestre que bajo ba jo un reaseguro no prop orcional de pérdida erdida máxima axima (stop A R loss), los riesgos S y S tienen las siguientes funciones de distribución: on: F S A (x) =



F S (x) si x < M, 1 si x M.

≥

F S R (x) =



0 si x < 0, F S (M + x) si x 0.

≥

55. Suponga Suponga que un cierto riesgo S se representa mediante un modelo colectivo. Condicionando sobre los posibles valores de la variable aleatoria N , N , demuestre A R que las variables N y N correspondientes al número umero de reclamaciones en

67

Parte 4. Reaseguro

un reaseguro no proporcional por exceso de pérdida (excess of loss) tienen la misma distribución que N pero con distintos parámetros en los casos cuando N es Poisson, binomial y binomial negativa. Este m´ etodo es alternativo al presentado en el texto en donde se usó la funci´ on generadora de momentos. 56. Considere un reaseguro no proporcional de pérdida máxima (stop loss) para un riesgo S que sigue una distribución exp(α). Encuentre la función generadora de momentos de los riesgos S A y S R . 57. Suponga que un riesgo S se modela mediante la distribución exp(α). Demuestre que bajo un reaseguro no proporcional de pérdida máxima (stop loss) se tiene que a ) E (S A ) = b ) E (S R ) =

1 e−αM ). α (1 1 −αM . αe

−

58. Considere un riesgo S con distribución Poisson compuesta de parámetro λ. Suponga que cada reclamación Y tiene distribución Pareto(α, β). Se adquiere un reaseguro no proporcional por exceso de pérdida en donde la reclamación afrontada por la aseguradora es Y A = m´ın Y, M . Demuestre que

{

}

β − ( β+M )α−1 E (Y ). β )α−1 E (S ). b ) E (S A ) = E (S ) − ( β+M

a ) E (Y A ) = E (Y )

59. Suponga se tiene un riesgo de la forma S = N un el modelo colecj=1 Y j , seg´ tivo, en donde cada reclamación se modela mediante una variable aleatoria con distribución exp(α). Bajo un reaseguro no proporcional por exceso de pérdida con nivel de retención M , el monto a pagar por la aseguradora por cada reclamación es Y A = m´ın Y, M . Demuestre que



{

1 (1 α E ((Y A )2 ) = α22 Var(Y A ) = α12 A

− e−αM ). −αM − α2 e−αM − 2M . α e − 2M e−αM − α1 e−2αM . α

a) E (Y A ) = b) c)

}

2

2

≤ E (Y ). e) Var(Y A ) ≤ Var(Y ).

d) E (Y )

Usando las f´ ormulas generales encuentre ahora la esperanza y varianza de N A S = j=1 m´ın Y j , M .



{

}

68

4.3. Ejercicios

60. Suponga que el riesgo S sigue una distribución exp(α). Bajo el reaseguro de pérdida máxima (stop loss), demuestre que la distribución del riesgo S R condicionada al evento (S R > 0) es nuevamente exp(α). 61. Suponga que el riesgo S sigue una distribución Pareto(a, b). Bajo el reaseguro de pérdida máxima (stop loss), demuestre que la distribución del riesgo S R condicionada al evento (S R > 0) es Pareto(a, b + M ).

Parte 5

Teor´ıa de la credibilidad

Considere un cierto riesgo proveniente de un conjunto de asegurados vigentes por un periodo determinado, t´ıpicamente un año. Si este grupo de asegurados es homogéneo en el sentido de que todos sus miembros tienen la misma probabilidad de realizar una reclamación, entonces aplicar una misma prima a todos ellos es razonable. Sin embargo, cuando el grupo no es homogéneo o bien surge con el paso del tiempo cierta heterogeneidad entre ellos, habrá subgrupos de bajo riesgo y otros de alto riesgo. Cobrar una misma prima a todos ellos ser´ıa injusto, y no ser´ıa bueno para la aseguradora pues eventualmente los asegurados de bajo riesgo buscar´ıan un mejor trato con otras aseguradoras, y sólo se quedar´ıan en la cartera los asegurados de alto riesgo. La idea fundamental es aplicar primas menores a los asegurados de bajo riesgo y primas mayores a los de alto riesgo, con base en el historial de reclamaciones que cada uno de los asegurados o subgrupos hayan realizado durante los a˜ nos anteriores. En la teor´ıa de la credibilidad se estudian métodos para el c´ alculo de primas a través de la combinación de la experiencia individual (historial de reclamaciones) y la experiencia de grupo (comportamiento teórico).

5.1.

Credibilidad americana

Credibilidad completa. Suponga que S representa el riesgo para una aseguradora correspondiente a un asegurado o un conjunto de asegurados con ciertas caracter´ısticas particulares, y válido por un periodo fijo, por ejemplo, un año. Sean S 1 , . . . , Sm los montos de las reclamaciones anuales efectuadas por este asegurado o 69

70

5.1. Credibilidad americana

¯ = (S 1 + +S m)/m grupo de asegurados durante m periodos consecutivos, y sea S ¯a el promedio de las reclamaciones. Nos interesa estudiar el comportamiento de S lo largo del tiempo para un conjunto de asegurados en particular pues deseamos determinar si la prima que se les cobra a cada uno de ellos es la adecuada. Si las variables S 1 , . . . , Sm son independientes, idénticamente distribuidas y con esperanza ¯ converge finita, entonces la ley de los grandes números garantiza que la variable S a la constante E (S ), conforme el número de sumandos crece a infinito. Es decir, el ¯ como función de m es posiblemente oscilatorio alrededor de comportamiento de S E (S ) pero eventualmente va a estabilizarse en ese valor. La pregunta es ¿Qué tan ¯ esté razonablemente cercano a E (S )? La intención grande debe ser m para que S ¯ como elemento para calcular la prima del asegurado (o grupo de asegues usar S rados), siempre y cuando se tenga suficiente historial para dar credibilidad a tal estad´ıstica. El siguiente criterio es una posible respuesta a la pregunta planteada.

· ··

Definici´ on. Sean k (0, 1) y p credibilidad completa (k, p) si

∈ (0, 1) dos números fijos. Se dice que S ¯ tiene

¯ P ( S

(5.1)

∈

| − E (S )| ≤ kE (S ) ) ≥ p.

¯ tiene credibilidad completa si dista de E (S ), La condición anterior establece que S en menos de kE (S ) con probabilidad mayor o igual a p. Observe que la definición tiene sentido cuando E (S ) = 0. Naturalmente se toman valores de k cercanos a cero y valores de p cercanos a uno, t´ıpicamente k =0.05 y p = 0.9 . El problema es entonces encontrar el valor de número de a˜ nos de observación m que cumpla con el criterio (5.1).



Credibilidad completa bajo hip´ otesis de normalidad. Encontraremos una condici´ on sobre el número de periodos de observación m para obtener credibilidad ¯ ¯) = completa cuando S tiene una distribución aproximada normal. Observe que E (S ¯) = Var(S )/m. Tenemos entonces que la parte izquierda de (5.1) es E (S ) y Var(S

¯ P ( S

| − E (S )| ≤ kE (S ) )

¯ E (S ) S Var(S )/m k mE (S ) 2Φ( ) Var(S )

= P (

≈

 | − √ 

| ≤

kE (S ) ) Var(S )/m



− 1.

Parte 5. Teor´ ıa de la credibilidad

71

Como esta probabilidad debe ser mayor o igual a p se obtiene la desigualdad

√

k m E (S ) Φ( ) Var(S )



≥ 1 +2 p .

Sea uq el q-cuantil de la distribución normal, es decir Φ(uq ) = q. Entonces

√

k m E (S ) Var(S )



Despejando m se obtiene m

≥

≥ u(1+ p)/2.

u2(1+ p)/2 Var(S ) k2

E 2 (S )

= 1082

Var(S ) , E 2 (S )

(5.2)

en donde para la última expresión es aproximada y se han usado los valores k =0.05 y p = 0.9, y por lo tanto u(1+ p)/2 = u0.95 = 1.6449. Los términos E (S ) y Var(S ) pueden ser conocidos o estimados a través de la media y varianza muestral, respectivamente, usando la información que se tenga a disposición al momento de hacer el análisis. Substituyendo estos valores en la formula se puede conocer una ¯ tenga credibilidad aproximaci´ on del n´ umero de periodos m de historial para que S completa. Ejemplo. Suponga que un riesgo S para un grupo de asegurados tiene distriN buci´ on Poisson compuesta, es decir, S = j=1 Y j , en donde N tiene distribución Poisson(λ). Suponga adicionalmente que cada reclamación individual Y tiene distribuci´ on exp(α). De acuerdo a la notación previa, el primer y segundo momento de Y son µ1 = 1/α y µ2 = 2/α2 . Entonces E (S ) = λµ1 = λ/α, y Var(S ) = λµ2 = 2λ/α2 . Por lo tanto, tomando nuevamente k =0.05 y p =0.9, la aproximaci´ on (5.2) se reduce a λm 2164. ¯. Es decir, después de 2164 reclamaciones, se obtiene credibilidad completa para S Observe que λm representa el total de reclamaciones promedio durante m peridos. Observe además para este ejemplo particular que puede no conocerse el valor del parámetro λ, pues aunque la esperanza y varianza de S se expresan en términos de este parámetro, el criterio de credibilidad completa se expresa en términos del n´ umero de reclamaciones promedio (λm), y no del número de periodos m. 



≥

◦

¯ para E (S ) se propone la combiCredibilidad parcial. En lugar del estimador S nación lineal ¯ (1 z)E (S ), z S +

−

72

5.1. Credibilidad americana

en donde z [0, 1] es llamado factor de credibilidad . Nuevamente se pretende que tal estimador no diste demasiado de E (S ). La condición (5.1) se reduce a

∈

¯ P ( z(S

|

− E (S ))| ≤ kE (S ) ) ≥ p.

Observe que esta expresión hace referencia únicamente al primer sumando del estimador propuesto. Reescribimos la expresión anterior de la forma siguiente

| − E (S )| ≤ kz E (S ) ) ≥ p.

¯ P ( S

Esta es la misma condición para la credibilidad completa solo que en lugar del ¯ parámetro k tenemos ahora k/z, es decir, la credibilidad completa (k, p) para z S + ¯. (1 z)E (S ) es equivalente a la credibilidad completa (k/z,p) para S

−

Credibilidad parcial bajo hip´ otesis de normalidad. Nuevamente bajo la ¯ y para los valores de k y p los mencionados antehip´ otesis de normalidad para S riormente se tiene la aproximación m

≥

z 2 u2(1+ p)/2 Var(S ) k2

E 2 (S )

= (1082) z 2

Var(S ) . E 2 (S )

(5.3)

De donde se obtiene

√

√

k E (S ) m m z= = 32,89 u(1+ p)/2 Var(S )



E (S ) . Var(S )



(5.4)

Este valor de z excede el valor de uno para valores suficientemente grandes de m, por lo tanto se define el factor de credibilidad como z = m´ın

{

√

k E (S ) m , 1 . u(1+ p)/2 Var(S )



}

(5.5)

Ejemplo. Considere nuevamente un riesgo S con distribución Poisson compuesN ta, S = j=1 Y j , en donde N tiene distribución Poisson(λ), y Y tiene distribución exp(α). Para los valores de k y p mencionados, la condición de credibilidad par¯ (1 z)E (S ) se reduce a cial (5.3) para z S + 



−

λm

≥ 2164z2,

√

Considerando igualdad y despejando z se obtiene z = λm/46,52, en donde λm se substituye por el número de reclamaciones totales en que se hayan presentado

73


√

en m periodos, siempre y cuando λm 46,52. De esta manera la prima por credibilidad parcial es λm ¯ λm S + (1 ) E (S ), 46,52 46,52 ¯ en donde E (S ) = λ/α es el valor esperado teórico supuesto para el riesgo S , y S es la experiencia observada.

√

−

≤ √

◦

5.2.

Credibilidad Bayesiana

La credibilidad Bayesiana es otra forma de incorporar el historial de reclamaciones de un grupo de asegurados en el cálculo de las primas. Estimaci´ on Bayesiana. En la estad´ıstica tradicional se considera el problema de estimación de un parámetro θ de una distribución probabilidad dada f (x; θ). Para ello se considera una muestra aleatoria de esta distribución y se estudian distintos métodos para estimar θ, considerando siempre que este parámetro tiene un valor desconocido y fijo. Existe, sin embargo, un punto de vista distinto llamado estimaci´ on Bayesiana. Desde esta perspectiva se considera que θ es una variable aleatoria para la cual se asume una distribución de probabilidad h(θ) llamada a on refleja cierta información que el observador tiene sobre el priori . Esta distribuci´ parámetro θ. La distribuci´ on conjunta de una muestra aleatoria y el parámetro θ es m



|

f (x1 , . . . , x m , θ) = f (x1 , . . . , xm θ) h(θ) = La distribución marginal de la muestra es entonces

|

f (xi θ) h(θ).

i=1

m

f (x1 , . . . , xm ) =

 

|

f (xi θ) h(θ) dθ.

θ i=1

Conociendo estas funciones puede ahora calcularse la distribución condicional de θ dada la muestra como sigue g(θ x1 , . . . , xm ) =

|

=

|

f (x1 , . . . , xm θ) h(θ) f (x1 , . . . , xm ) m i=1 f (xi θ) h(θ) . m i=1 f (xi θ) h(θ) dθ θ

  

| |

74

5.2. Credibilidad Bayesiana

De esta forma la distribución h(θ) representa cierta información que el observador conoce del parámetro θ antes de tomar la muestra, y la distribución a posteriori g(θ x1 , . . . , xm ) es la distribución modificada a la luz de la muestra aleatoria. Teniendo ahora esta distribución a posteriori para θ uno puede proponer varias formas de estimar este parámetro, una de ellas es simplemente tomar la esperanza de esta distribución, es decir, un estimador Bayesiano para θ es

|

θˆ = E (θ x1 , . . . , xm ) =

|



|

θ g(θ x1 , . . . , xm ) dθ.

Ilustraremos estas ideas con un ejemplo particular y después las aplicaremos al problema de encontrar mecanismos para calcular primas tomando en cuenta el historial de reclamaciones de un riesgo. Ejemplo. Suponga que X 1 , . . . , Xm es una muestra aleatoria de la distribuci´ on Ber( p), y suponga además que el parámetro p tiene una distribución beta(a, b), con a y b conocidos. Observe que el soporte de la distribución beta es el intervalo (0, 1), de modo que en este sentido tal distribución es factible para el parámetro p. La densidad conjunta de la muestra y el parámetro es 

|

f (x1 , . . . , xm , p) =

f (x1 , . . . , xm p) h( p) 1 = pm¯x (1 p)m−m¯x pa−1 (1 p)b−1 B(a, b) 1 = pa+m¯x−1 (1 p)m−m¯x+b−1 . B(a, b)

−

−

−

Integrando respecto a p se obtiene la densidad marginal de la muestra, f (x1 , . . . , xm ) = =

1 1 pa+m¯x−1 (1 p)m−m¯x+b−1 dp B(a, b) 0 B(a + m¯ x, m m¯ x + b) . B(a, b)



−

−

Por lo tanto, la densidad a posteriori para p es

|

g( p x1 , . . . , xm ) =

1 B(a + m¯ x, m

a+m¯ x−1

− m¯x + b) p

−

(1

− p)m−m¯x+b−1.

Esta es la densidad beta(a + m¯ x, m m¯ x + b), y su esperanza puede usarse como un estimador Bayesiano para p, es decir, pˆ =

a + m¯ x . m m¯ x+b

−

75


◦

Ahora aplicaremos estas ideas al problema del cálculo de primas tomando en cuenta la experiencia de un riesgo. Suponga que las variables S 1 , . . . , Sm representan el historial de reclamaciones en m años o periodos que se han registrado de un riesgo dado. Suponga además que estas variables son independientes y todas ellas tienen una distribución com´ un dependiente de un parámetro desconocido θ, y esta distribuci´ on es tal que E (S ) = θ. Bajo el enfoque Bayesiano se considera que el parámetro θ es una variable aleatoria para la cual se asume una distribución de probabilidad a priori. La esperanza a posteriori de θ, es decir, E (θ S 1 , . . . , Sm ), representa una estimación para E (S ) = θ tomando en cuenta el historial S 1 , . . . , Sm . A esta esperanza a posteriori se le llama prima de credibilidad . En los casos que analizaremos esta prima tiene la forma de la credibilidad parcial mencionada antes. Los casos que consideraremos para la distribución de S son: la distribución Poisson con media λ, y la distribución normal con media θ.

|

Modelo Poisson-gamma. Este modelo adquiere su nombre a partir de las siguientes hip´ otesis: Se postula que cada una de las variables aleatorias independientes S 1 , . . . , Sm tiene distribución Poisson con parámetro λ, el cual se considera aleatorio con distribución a priori gamma(γ, α), con γ y α parámetros conocidos. Observe que en este modelo se considera que los montos de las reclamaciones toman valores enteros. La función de densidad a posteriori de λ es, para x > 0,

|

g(λ S 1 , . . . , Sm ) =

|

f (S 1 , . . . , Sm λ) h(λ)

∞



f (S 1 , . . . , Sm λ) h(λ) dλ

|

0

m

   

(

=

j=1 ∞ m

0

=

λSj −λ αγ γ −1 −αλ e ) λ e S j ! Γ(γ )

(

λSj −λ αγ γ −1 −αλ e ) λ e dλ S j ! Γ(γ )

j=1 ¯ −1 −(m+α)λ mS+γ

λ

∞

e

¯

λmS+γ −1 e−(m+α)λ dλ

0

=

¯

(m + α)mS+γ mS+γ ¯ −1 −(m+α)λ λ e . ¯ Γ(mS + γ )

¯ γ, m + α). Por lo tanto la prima Es decir, la densidad a posteriori es gamma(mS +

76

5.2. Credibilidad Bayesiana

por credibilidad, esperanza de esta densidad, es prima = =

E (λ S 1 , . . . , Sm ) ¯ γ mS +

|

m+α m ¯ α γ = S + m+α m+αα ¯ (1 z) γ , = z S + α

−

en donde z = m/(m + α) es llamado factor de credibilidad . Esta cantidad crece monótonamente a uno cuando m crece a infinito, dando cada vez más credibilidad ¯ y desfavoreciendo a la media teórica γ/α. Observe además a la media muestral S que cuando m crece a infinito, la media de la distribución a posteriori converge a la media muestral l´ımite dado por el historial de reclamaciones, y que la varianza ¯ γ )/(m + α)2 converge a cero, lo cual indica que la de λ dada por Var(λ) = (mS + distribuci´ on a posteriori se concentra cada vez mas alrededor de su media. Modelo normal-normal. En este modelo se postula que cada una de las reclamaciones S 1 , . . . , Sm tiene distribució n N(θ, σ 2 ), en donde el parámetro σ2 es conocido y la media θ es una variable aleatoria con distribuci´ on N(µ, η 2 ), con µ y η 2 conocidos. La primera hipótesis puede ser justificada en el caso cuando los montos anuales se componen de un gran número de reclamaciones individuales, para ello no es necesario suponer que las reclamaciones individuales tienen la misma distribuci´ on. La segunda hipótesis podr´ıa ser razonable si es que los par´ ametros µ y η 2 son tales que la probabilidad asignada a la parte negativa del eje es muy pequeña. La funci´ on de densidad a posteriori de θ es

|

g(θ S 1 , . . . , Sm ) =

f (S 1 , . . . , Sm θ) h(θ)

|

∞



f (S 1 , . . . , S m θ) h(θ) θ

|

−∞

=

√1

∞



−∞

e−

m

2 2 j=1 (Sj −θ) /2σ

2πσ 2 m 2 2 1 e− j=1 (Sj −θ) /2σ 2πσ 2

√

2 2 1 e−(θ−µ) /2η 2πη 2 . 1 −(θ −µ)2 /2η2 e dθ 2πη 2

 

77

Parte arte 5. Teor Teor´ ıa de la credibilid credibilidad ad

Nos concentramos concentramos en analizar analizar únicament unicamentee el exponente exponente y tenemos tenemos que m

 − j=1

(S j θ )2 2σ 2

−

− (θ 2−η2µ)

¯

2

mS µ −θ2( 2mσ2 + 21η2 ) + 2θ 2θ ( 2 + 2 ) 2σ 2η

=

m

 − (

j=1

S j2 ) 2σ 2

−

µ2 . 2η 2

Completando el cuadrado en θ, este exponente se puede escribir como sigue [θ

−

¯

− ( mσ2S + ηµ2 )/( σm2 + η12 )]2 2(

m 1 + 2 )−1 2 σ η

¯ mS µ + 2 )2 2 σ η + m 1 2( 2 + 2 ) σ η (

m

 − (

j=1

S j2 ) 2σ 2

2

− 2µη2 .

Este exponente aparece tanto en el numerador como en el denominador, y como los ultimos u ´ ltimos dos sumandos no dependen de θ éstos estos desaparecen desapar ecen completamente completa mente al al hacer el cociente. cociente. Lo que resulta resulta es nuev nuevamente amente la distribuci´ distribución on normal

g (θ S 1 , . . . , S m )=

|

[θ

1



m 1 2π( 2 + 2 )−1 σ η

exp

{−

¯

− ( mσ2S + ηµ2 )/( σm2 + η12 )]2 m 1 2( 2 + 2 )−1 σ η

}.

La media de esta distribución on es entonces la prima por credibilidad, es decir,

|

prim rima = E (θ S 1 , . . . , Sm ) ¯ mS µ m 1 = ( 2 + 2 )/( 2 + 2 ) σ η σ η mη 2 σ2 ¯+ = S + S µ mη 2 + σ2 mη2 + σ2 ¯ + (1 z ) µ, = z S + S

−

en donde z = mη 2 /(mη2 + σ2 ) es el factor de credibilidad, el cual tiene nuevamente nuevamente comportamiento monótono otono creciente a uno conforme m crece a infinito. Observe adem´ as as que Var(θ Var(θ) = ( σm2 + η12 )−1 y que esta cantidad converge a cero cuando el tama˜ no no de muestra m crece a infinito, indicando nuevamente que la distribución on a posteriori se concentra cada vez mas alrededor de su media.

78

5.3. 5.3.



Credibilidad completa 62. Sean S 1 , . . . , Sm los resultados de m lanzamientos sucesivos de una moneda honesta con valores 0 y 1, dependiendo si se obtiene una cara de la moneda u otra. Usando la aproximaci´ aproximaci´ on normal encuentre el valor de m para obtener on ¯ = (S la credibilidad completa (k, ( k, p) para S ( S 1 + + S m )/m. /m. Suponga k = 0.1 y p = 0.9.

···

63. Encuentre el valor de m para obtener la credibilidad completa (k, ( k, p) para ¯ S = (S 1 + + S m )/m de un riesgo S con distribución on N(5, N(5, 2). Suponga k = 0.15 y p = 0.9.

···

Credibilidad parcial 64. Use la aproximación on normal para encontrar la prima por credibilidad parcial, a partir de una muestra S 1 , . . . , Sm , de un riesgo S con distribución on Pareto(4, Pareto(4 , 3). Suponga k = 0.1 y p = 0.9. 65. Use la aproximaci´ aproximaci´ on on normal para encontrar encontrar la prima por credibilidad credibilidad parcial con k = 0.1 y p = 0.9 considerando el historial de reclamaciones S 1 , . . . , Sm N de un riesgo de la forma S = j =1 Y j , en donde a) N se distribuye bin(n, bin(n, p) con n = 100 y p = 1/2, y Y j se distribuye exp(α exp(α) con α = 1/10. b) N se distribuye bin neg(α, neg( α, p) con α = 10 y p = 1/3, y Y j se distribuye exp(α exp(α) con α = 1/ 1 /10.



Estimaci´ on on Bayesiana 66. Suponga que el número umero de reclamaciones X de un cierto riesgo sigue una distribuci´ on on Poisson de parámetro ametro λ. Se considera que el parámetro ametro λ es desconocido conocido y se le modela como una variable variable aleatoria aleatoria con distribuci´ distribuci´ on on exp(µ exp(µ). Demuestre que la distribución on a posteriori o no condicional de X es la si-

Parte arte 5. Teor Teor´ ıa de la credibilid credibilidad ad

79

guiente distribución on geo g eom´ métric etr ica. a. P ( P (X = x) = µ

x+1

  1 1+µ

.

67. Suponga Suponga que que N tiene una distribución on Poisson(λ Poisson(λ), y que condicionada al valor de N la variable X tiene distribución on bin(N, bin(N, p). Demuestre que la distribución on no condicional condicional de X es Poisson(λp Poisson(λp). ).

80

5.3. Ejercicios

Parte 6

Procesos estoc´ asticos

En este cap´ıtulo se presenta una introducción breve al tema de los procesos estocásticos. Se explican algunos conceptos y propiedades generales, y se dan algunos ejemplos de procesos estoc´ asticos particulares. Este material será usado en la última parte del curso, y supondremos como elemento base un espacio de probabilidad (Ω, F , P ).

{

astico es una colecci´ Definici´ on. Un proceso estoc´ on de variables aleatorias X t : t T , parametrizada por un conjunto T , llamado espacio parametral.

∈ }

El conjunto T usualmente se interpreta como un conjunto de tiempos. Se dice que el proceso es a tiempo discreto en caso de que el conjunto de parámetros sea un conjunto discreto, por ejemplo T = 0, 1, 2, . . . . En este caso el proceso consiste de una sucesión infinita de variables aleatorias. Se dice en cambio que el proceso es a tiempo continuo cuando el conjunto de parámetros consiste de un subintervalo de R, por ejemplo, T = [0, ). En general consideraremos procesos estocásticos con este espacio parametral. Un proceso estocástico es entonces una funció n de R, tal que para cada t dos variables X : T Ω T , la función ω X t (ω) es una variable aleatoria, mientras que para cada ω en Ω, la función t X t (ω) es una trayectoria del proceso. Con este modelo se pretende representar la evolución aleatoria de un sistema a lo largo del tiempo.

{

}

∞

× →

∈

81

 → →

82

6.1. Filtraciones y tiempos de paro

6.1.

Filtraciones y tiempos de paro

Una familia de σ-álgebras (F t )t≥0 es una filtraci´ s t, se cumple on si para 0 F s F t F . Al espacio (Ω, F , P, (F t )t≥0 ) se le llama espacio de probabilidad on (F t )t≥0 si para cada filtrado. Se dice que un proceso es adaptado a una filtraci´ t 0, X t es F t -medible. Todo proceso estocástico X t determina una filtraci´ on s t . Claramente todo proceso es adaptado natural dada por F t = σ X s : 0 a su filtración natural. En este caso a la σ-´ algebra F t se le interpreta como la “historia” del proceso al tiempo t, pues en ella se encuentran todos los posibles eventos o sucesos que el proceso haya tenido hasta ese momento. Un tiempo de on τ : Ω [0, ] tal que (τ t) F t para cada t 0. Esto es, paro es una funci´ un tiempo de paro es una variable aleatoria no negativa, con posible valor infinito, tal que puede determinarse la ocurrencia o no ocurrencia del evento ( τ t) sólo con la informaci´ on o historia del proceso hasta el tiempo t. Por ejemplo, y sin entrar en mayores detalles técnicos, el tiempo aleatorio que transcurre hasta la ocurrencia de un cierto evento es un tiempo de paro, este tiempo aleatorio puede ser, por ejemplo, el tiempo que transcurre hasta la llegada de la n-ésima reclamación a una compa˜ n´ıa aseguradora.

⊆

≤ ≤

⊆

≥

{

≤ ≤ }

→ ∞

6.2.

{ }

≤ ∈

≥ ≤

Proceso de Poisson

En esta sección recordaremos la definición y algunos aspectos elementales de uno de los procesos estocásticos de mayor importancia: el proceso de Poisson. Definici´ on. Un proceso estocástico de tiempo continuo N t : t 0 , y con espacio de estados el conjunto discreto 0, 1, . . . , es un proceso de Poisson de parámetro o intensidad λ > 0 si cumple las siguientes propiedades:

{

}

{

≥ }

a) N 0 = 0. b) Tiene incrementos independientes. c) N t+s

− N s tiene distribución Poisson(λt), para cualesquiera s ≥ 0, t > 0.

El proceso de Poisson se utiliza para modelar situaciones de conteo de ocurrencias de un evento particular en un intervalo de tiempo dado. Por ejemplo, N t puede

´sticos Parte 6. Procesos estoca

83

representar el número de llamadas telefónicas recibidas en un conmutador, o el n´ umero de accidentes ocurridos en un cierto lugar, o el número de clientes que buscan un servicio durante el intervalo de tiempo [0, t], etc. En particular E (N t ) = λt, y Var(N t ) = λt. En nuestro caso, usaremos este proceso para modelar el número de reclamaciones que llegan a una compañ´ıa aseguradora hasta el tiempo t. Una posible trayectoria de un proceso de Poisson se muestra en Figura 6.1. N t (ω)

3



2

 



1





 

t

 

Figura 6.1: Uno de los objetos de estudio acerca de este proceso es la variable T k definida como el tiempo que transcurre entre el evento k 1 y el evento k, llamado también tiempo de interarribo . Puede demostrarse que los tiempos T 1 , T 2 , . . . son variables aleatorias independientes, y cada una de ellas tiene distribución exp(λ). Rec´ıprocamente, a partir de esta colección de v.a.i.i.d. puede construirse el proceso de conteo Poisson N t : t 0 .

−

{

6.3.

≥ }

Martingalas

Las martingalas son un tipo de proceso estocástico que aparece con frecuencia tanto en la teor´ıa general de procesos como en las aplicaciones. Existe una extensa teor´ıa matemática desarrollada de estos procesos.

84

6.3. Martingalas

{ ≤ ≤

≥ }

Definici´ on. Un proceso M t : t 0 que es adaptado e integrable es una martingala si para 0 s t se cumple E (M t

| F s ) = M s

c.s.

(6.1)

Las martingalas son procesos que estan relacionados con los juegos justos. Por ejemplo, si M t representa la fortuna de un jugador al tiempo t, y quien supondremos apuesta de manera continua, entonces la igualdad anterior se interpreta del siguiente modo: en promedio la fortuna del jugador al tiempo t dada toda la historia del juego hasta el tiempo s anterior a t es la fortuna del jugador al tiempo s, es decir, el juego es justo pues el jugador en promedio no pierde ni gana. Cuando en lugar de (6.1) se cumple E (M t F s ) M s se dice que el proceso es una supermartingala , se trata entonces de un juego desfavorable al jugador pues en promedio su fortuna disminuye. En caso de la desigualdad contraria el proceso es una submartingala , juego favorable al jugador. Cuando se toma esperanza en la ecuaci´ on (6.1) se obtiene E (M t ) = E (M s ). Esto quiere decir que todas las variables aleatorias que conforman una martingala tienen la misma esperanza. En particular, si la variable inicial M 0 es cero o su esperanza es cero, entonces E (M t ) = 0 para cualquier t 0. Algunos ejemplos sencillos de martingalas aparecen en la secci´ on de ejercicios. Finalmente enunciaremos un resultado de la teor´ıa general de martingalas que será usado en la última parte del curso. Recuerde la notación x y = m´ın x, y .

|

≤

≥

∧

{ }

Proposici´ on. (Teorema de paro de martingalas). Sea M t : t 0 una martingala y sea τ un tiempo de paro. Entonces M t∧τ : t 0 es también una martingala, es decir, para cualesquiera 0 s t,

{

{ ≤ ≤

E (M t∧τ

| F s ) = M s∧τ

≥ }

≥ }

c.s.

En el siguiente cap´ıtulo usaremos la teor´ıa de martingalas para estimar la probabilidad de ruina en el modelo clásico de Cramér-Lundberg.

´sticos Parte 6. Procesos estoca

85

Proceso de Poisson 68. Suponga que las llegadas de reclamaciones a una compañ´ıa aseguradora siguen un proceso de Poisson de intensidad λ = 5, en donde la unidad de tiempo es un d´ıa, es decir, en promedio llegan 5 reclamaciones por d´ıa. Calcule la probabilidad de que a) no se reciba ninguna reclamación en un d´ıa cualquiera. b) se reciban más de 10 reclamaciones en un d´ıa cualquiera. c) se reciba una sola reclamación en los siguientes tres dias. 69. Los clientes ingresan a un establecimiento de acuerdo a un proceso de Poisson a razón de 10 clientes por hora en promedio. Calcule la probabilidad de que a) en una hora cualquiera no llegue ningún cliente. b) no llegue ningún cliente en una jornada de 12 horas. c) se presente exactamente un cliente en todas y cada una de las 12 horas en las que está abierto el establecimiento en un d´ıa. 70. (Superposici´ on) Demuestre que la suma de dos procesos de Poisson independientes es nuevamente un proceso de Poisson con parámetro la suma de los parámetros. Nota: La operación suma debe entenderse en el sentido de superponer los dos procesos puntuales.

{ }

71. (Thinning) Sea N t un proceso de Poisson de parámetro λ > 0. Considere una sucesión de variables aleatorias Y 1 , Y 2 , . . . independientes, con distribuci´ on com´ un Ber( p), e independientes del proceso de Poisson. Defina el proceso X t : t 0 como aparece abajo, definiendo además a X t como cero cuando N t es cero.

{

≥ }

N t

X t =



Y k ,

k=1

{ }

a) Demuestre que X t es un proceso de Poisson de parámetro λp. b) Demuestre que los procesos X t y N t X t son independientes.

{ } { − }

72. Suponga que los accidentes automovil´ısticos en una cierta ciudad ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson con un promedio de cinco accidentes por semana. Suponga además que la probabilidad de que en cada accidente haya personas lastimadas que requieran atención médica es 0.2. Calcule la probabilidad de que a) en un d´ıa no se presente ningún accidente.

86

6.3. Martingalas

b) en una semana no se presente ningún accidente. c) en un mes no se presente ningún accidente con personas lastimadas.

{ }

73. Sea N t un proceso de Poisson con parámetro λ, y sea a > 0 una constante. Demuestre que N at es un proceso de Poisson con parámetro λa.

{ }

74. Considere dos procesos de Poisson independientes de parámetros λ1 y λ2 . Sea X el n´ umero de eventos que ocurren en el primer proceso entre dos eventos sucesivos del segundo proceso. Demuestre que X tiene la siguiente distribuci´ on geométrica. λ2 P (X = n) = λ1 + λ2



λ1 λ1 + λ2

n



.

Martingalas

{ }

75. Sea N t un proceso de Poisson de parámetro o intensidad λ, junto con su filtración natural. Demuestre que el proceso centrado N t λt es una martingala.

{ − }

{ }

76. Demuestre que el proceso M t es una submartingala si y sólo si una supermartingala.

{−M t} es

77. Demuestre que un proceso es una martingala si y sólo si es al mismo tiempo una submartingala y una supermartingala.

Parte 7

Teor´ıa de la ruina

Este cap´ıtulo contiene una intro ducción breve al modelo cl´ asico de Cramér-Lundberg, y a algunos aspectos elementales sobre la probabilidad de ruina en tal modelo.

7.1.

Modelo cl´ asico de Cram´ er-Lundberg

El modelo de Cramér-Lundberg tiene sus or´ıgenes en la tesis doctoral de Filip Lundberg defendida en el año de 1903. En este trabajo Lundberg analiza el reaseguro de riesgos colectivos y presenta el proceso de Poisson compuesto. Lundberg utiliz´ o términos un tanto distintos a los actuales pues en aquellos años a´ u n no se hab´ıa formalizado la teor´ıa de los procesos estocásticos como la entendemos hoy en d´ıa. En 1930 Harald Cramér retoma las ideas originales de Lundberg, y las pone en el contexto de los procesos estocásticos, en ese entonces de reciente creación. El modelo ha sido estudiado en extenso, y varias formas de generalizarlo se han propuesto y analizado.

87

88

´ sico de Cram´ 7.1. Modelo cla er-Lundberg

Ernest Filip Oskar Lundberg (Suecia 1876–1965)

Carl Harald Cramér (Suecia 1893–1985)

El modelo clásico que estudiaremos en este cap´ıtulo es el proceso estocástico a tiempo continuo C t : t 0 dado por

{

≥ }

N t

 −

C t = u + c t

(7.1)

Y j ,

j=1

en donde u es el capital inicial de la compañ´ıa aseguradora, ct es la entrada por primas hasta el tiempo t con c una constante positiva, Y j es el monto de la jésima reclamació n, y N t es un proceso de Poisson de parámetro λ. La variable C t representa el balance más sencillo de ingresos menos egresos de una compañ´ıa aseguradora. Al proceso C t se le llama proceso de riesgo (risk process), o proceso de super´ avit (surplus process), y tiene trayectorias como se muestra en la Figura 7.1.

C t (ω)  

E (C t )

 

 



 

 

u











t

Figura 7.1:

89

Parte 7. Teor´ ıa de la ruina

Estas trayectorias comienzan siempre en u, que es el capital inicial. Los intervalos en donde ellas son continuas y crecientes corresponden a periodos en donde no hay reclamaciones. El crecimiento es de la forma ct. Las discontinuidades son siempre saltos hacia abajo, y aparecen en el momento en que se efectúa una reclamación, la cual se supone que se paga de manera inmediata. El tamaño de un salto es el tama˜ no de la reclamación dada por la variable Y . Nuevamente supondremos que los montos Y 1 , Y 2 , . . . son variables aleatorias independientes, no negativas, e idénticamente distribuidas, con función generadora de momentos M Y (r). Los momentos son µn = E (Y n ), y en particular µ denota el primer momento µ1 . No es dif´ıcil comprobar que E (C t ) = u + (c λµ)t, y que Var(C t ) = λµ2 t. La trayectoria promedio de C t es la linea recta que inicia en u > 0 y tiene pendiente c λµ, la cual es positiva por la condici´ on o hipótesis de ganancia neta. La variable aleatoria C t se puede interpretar como el capital de la compañ´ıa aseguradora al tiempo t y por razones naturales y legales es importante que C t permanezca por arriba de cierto nivel m´ınimo. Supongamos que tal nivel m´ınimo es a, con 0 < a < u. Ajustando el capital inicial u, esto es, suponiendo un nuevo capital inicial de magnitud u a, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que este nivel m´ınimo es cero, y as´ı lo supondremos en nuestro análisis. De esta forma cuando C t < 0 se dice que hay ruina . La ruina casi nunca sucede en la práctica, es solamente un término técnico que produce alguna toma de decisión. Por ejemplo, si el capital de una compañ´ıa aseguradora asignado a una cartera decrece en forma significativa, automáticamente la aseguradora puede tomar ciertas medidas para subsanar esta situación y no se trata de un evento insalvable. Por otro lado es natural suponer que la compañ´ıa aseguradora posea varios portafolios de modo que ruina en uno de ellos no significa necesariamente bancarrota que el t´ ermino ruina podr´ıa sugerir.

−

−

−

7.2.

Probabilidad de ruina

Nos interesa calcular o estimar la probabilidad de una eventual ruina en el modelo de Cramér-Lundberg. Para ello definiremos el tiempo de ruina dado por

{

}

τ = ´ınf t > 0 : C t < 0 ,

∅ ∞

(7.2)

en donde se define ´ınf = . La probabilidad de ruina en el intervalo [0, t] o también llamada probabilidad de ruina con horizonte finito es ψ(u, t) = P (τ

≤ t | C 0 = u).

90

7.2. Probabilidad de ruina

Mientras que la probabilidad de ruina con horizonte infinito , o simplemente probabilidad de ruina , es ψ(u) = l´ım ψ(u, t) = P (τ < ).

∞

t→∞

Es intuitivamente claro que ψ(u, t) ψ(u), y que ψ(u, t1 ) ψ(u, t2 ), cuando t1 t2 . Presentaremos a continuación tres resultados generales sobre la probabilidad de ruina. A diferencia del primer cap´ıtulo, y para hacer la notación más apegada a la literatura existente en el tema, en esta parte final del texto denotaremos por F (x) a la funci´ on de distribución de una reclamación Y cualquiera.

≤

≤

≤

Proposici´ on. Sea Q(u) = 1

− ψ(u). Entonces u λ 1. Q′ (u) = [ Q(u) − Q(u − y) dF (y) ]. c

 0

2. ψ(0) =

λµ . c

λ 3. ψ(u) = [ c

∞



u

(1

u

− F (y)) dy +



ψ(u

0

− y)(1 − F (y)) dy ].

alisis del primer paso condicionando sobre el momento Demostraci´ on. Usaremos an´ y monto de la primera reclamación.

∞)” | C 0 = u) P ( “No ruina en [0, ∞)” | T 1 = t, Y 1 = y)dF (y)dF T (t)

Q(u) = P ( “No ruina en [0, ∞

=

∞

        0

0

∞

=

u+ct

P ( “No ruina en [0,

0

0

∞

=

1

P ( “No ruina en (t,

0

∞

0

∞)” | T 1 = t, Y 1 = y)dF (y)dF T (t)

u+ct

λe−λt

0

=

1

∞)” | T 1 = t, Y 1 = y)dF (y)dt

u+ct

λe−λt

Q(u + ct

0

− y)dF (y)dt.

Sea s(t) = u + ct. Entonces 1 Q(u) = c

∞

 u

−λ(s−u)/c

λe

s

 0

Q(s

− y)dF (y)ds.

91


Derivando esta expresión se encuentra el resultado del primer inciso. Integrando esta ecuación diferencial entre 0 y u se obtiene Q(u)

− Q(0)

= = = = = = =

λ [ c λ [ c

u

      

λ [ c λ [ c λ c λ c λ c

0

u

Q(x)dx

0

u

Q(x)dx

0

0 u

0

Q(x)(1

− y) dF (y) dx]

Q(x

− y) dxdF (y)]

u

u−y

Q(x) dxdF (y)]

0

u−x

u

Q(x)dx

Q(x

y

0

u

0

0

u

Q(x)dx

0

0

u

0

u

x

  −   −   −   −

Q(x) dF (y) dx]

0

− F (u − x)) dx

u

Q(u

− x)(1 − F (x)) dx

(7.3)

∞

Q(u

0

− x)(1 − F (x)) 1[0,u](x) dx.

El siguiente paso es hacer u tender a infinito. En tal caso, Q(u) tiende a uno. Adem´ as el integrando que aparece en el lado derecho es una función monótona creciente en u, y cuyo l´ımite es la función integrable (1 F (x)). Entonces por el teorema de convergencia monótona se obtiene

−

1

−

λ Q(0) = c

∞

 0

Por lo tanto ψ(0) = 1

(1

− F (x)) dx = λµc .

− Q(0) = λµc .

(7.4)

De esta forma se obtiene el segundo resultado. Finalmente de (7.3) y (7.4) se sigue que ψ(u) = =

u λ [µ (1 ψ(u x))(1 F (x)) dx ] c 0 ∞ u λ [ (1 F (x))dx + ψ(u x)(1 F (x)) dx ]. c u 0

 − −  −

−

−



−

−

92


Observe que la u ´ ltima expresión corresponde a una ecuación recursiva para encontrar la probabilidad de ruina. En general no es fácil resolver este tipo de ecuaciones, de modo que nos limitaremos sólo a encontrar algunas estimaciones de estas probabilidades. Sin embargo, cuando las reclamaciones tienen distribución exponencial el sistema es soluble como se muestra a continuación. La condici´ o n de ganancia neta. Sean T 0 , T 1 , T 2 , . . . los tiempos aleatorios (tiempos de paro) en donde la aseguradora recibe las reclamaciones. Supondremos T 0 = 0. Para cada entero k 1 defina la variable aleatoria X k = c (T k T k−1 ) Y k , que pueden ser interpretadas como el balance de la compañ´ıa aseguradora entre dos siniestros sucesivos. La esperanza de esta variable es

≥

−

E (X k ) = c E (T k

−

− T k−1) − E (Y k ) = c (1/λ) − µ. ≤

Se puede demostrar que la ruina ocurre casi seguramente si, y sólo si, E (X k ) 0. Como deseamos que esta situación no ocurra supondremos que E (X k ) > 0, es decir, tenemos la hip´ otesis: Condici´ on de ganancia neta:

c > λµ.

Esta condición ya la hab´ıamos mencionado antes, y ahora la interpretamos de la siguiente forma: en promedio, la entrada por primas por unidad de tiempo, c, es mayor que el total de reclamaciones por unidad de tiempo, λµ. Ejemplo. Encontraremos la probabilidad de ruina cuando las reclamaciones son exponenciales. Este es uno de los pocos modelos para los cuales tal probabilidad puede encontrarse de manera expl´ıcita. Considere entonces el modelo de CramérLundberg en donde las reclamaciones tienen distribución exp(α). La esperanza es µ = 1/α. Por lo anteriormente encontrado, la probabilidad de no ruina Q(y) = 1 ψ(y) cumple la ecuación 

−

λ Q (u) = [ Q(u) c ′

−αu

−e

u



Q(y) αeαy dy ].

0

Derivando esta expresión se obtiene Q′′ (u) = (

λ c

− α) Q′ (u),

cuya solución es Q(u) = a + be−(α−λ/c)u , en donde a y b son constantes. Usando las condiciones ψ(0) = λ/(αc) y ψ( ) = 0 se encuentra que a = 1 y b = λ/(αc).

∞

−

93


Por lo tanto

λ −(α−λ/c)u e . αc cuya gráfica se encuentra en la Figura 7.2. Observe que debido a la condición de ganancia neta, el exponente (α λ/c) es negativo, y por lo tanto la probabilidad de ruina decae a cero exponencialmente cuando el capital inicial u crece a infinito. ψ(u) =

− − ψ(u)

λ αc

u Figura 7.2:

◦ El coeficiente de ajuste. Este es un n´ umero que aparece en el problema de calcular o estimar probabilidades de ruina. Hay varias maneras de definirlo, una de ellas, un tanto artificial p ero que después justificaremos, es la siguiente. Se define primero la funci´ on θ(r) = λ(M Y (r) 1) cr,

− −

en donde M Y (r) es la función generadora de Y . Naturalmente esta función esta bien definida para valores de r en donde M Y (r) existe. Entonces, suponiendo dife′ ′′ renciabilidad, se tiene que θ ′ (r)= λM Y (r) c, y θ′′ (r)= λM Y (r)= λE (Y 2 erY ) > 0. Por lo tanto, θ(r) es una función estrictamente convexa tal que θ(0) = 0, y por la condici´ on de ganancia neta, θ ′ (0) = λµ c < 0. Entonces es posible que exista un valor R > 0 tal que θ(R) = 0. Una gráfica de la función θ(r), presentando esta situaci´ on, se muestra en la Figura 7.3.

− −

94


θ(r)



r



R

Figura 7.3:

Definici´ on. A la posible solución R > 0 de la siguiente ecuació n se le llama coeficiente de ajuste , o exponente de Lundberg . θ(R) = λ(M Y (R)

− 1) − cR = 0.

Observe que la existencia del coeficiente de ajuste depende enteramente de la distribuci´ on de las reclamaciones. Aquellas distribuciones para las cuales el coeficiente de ajuste existe se les llama distribuciones con colas ligeras, y la razó n de ello es que la función de densidad decae a cero exponencialmente rápido, asignando probabilidades peque˜ nas a reclamaciones grandes. Por ejemplo, demostraremos a continuaci´ on que en el caso de reclamaciones exponenciales, el coeficiente de ajuste existe y es fácil calcularlo. Ejemplo: Reclamaciones con distribución exponencial. Suponga que las reclamaciones siguen una distribución exp(α), es decir, la función generadora de momentos es M Y (r) = α/(α r), para r < α. Entonces 

−

θ(r)

− − − − − − − − −

= λ (M Y (r) 1) cr α = λ( 1) cr α r r = λ( ) cr α r λ = ( c) r. α r

De modo que θ(r) es cero cuando r = 0, o bien cuando λ/(α r) c = 0. Despejando r de la segunda condición y escribiendo ahora R como la variable se obtiene R =

− −

95


α λ/c. Más a´ un, por lo encontrado antes en el caso de reclamaciones exponenciales, la probabilidad de ruina puede ahora escribirse de la forma siguiente

−

ψ(u) =

λ −(α−λ/c)u λ −Ru e = e < e −Ru , αc αc

en donde la desigualdad es consecuencia de la condición de ganancia neta. Este tipo de cota superior para la probabilidad de ruina (llamada desigualdad de Lundberg) será demostrada más adelante para cualquier distribución de las reclamaciones para la cual el coeficiente de ajuste exista.

◦

Ejemplo: Reclamaciones con distribución gamma(γ, α) con γ = 2. Suponga que las reclamaciones siguen una distribuci´ on gamma(γ, α) con γ = 2. La funci´ on γ generadora de momentos es M Y (r) = (α/(α r)) , para r < α. Por lo tanto la funci´ on θ(r) correspondiente es 

−

θ(r) = λ

γ

  −  − α

α

−r

1

cr.

La condición θ(r) = 0 produce la ecuación cuadrática cr2 + r(λ cuyas ra´ıces son r=

− 2αc) + (cα2 − 2αλ) = 0, √ 2αc − λ ± λ2 + 4αcλ

. 2c El caso con ra´ız cuadrada positiva es inválido pues resulta r > α, en efecto, usando la condici´ on de ganancia neta, c > λ(2/α), se obtiene (2αc

−λ+



λ2 + 4αcλ)/2c

≥

−

(2αc λ + = α + λ/c > α.



λ2 + 8λ2 )/2c

Por lo tanto la ra´ız con el signo negativo es el coeficiente de ajuste.

◦

Ejemplo: Método de Newton-Raphson. Recordaremos a continuaci´ on el método de Newton-Raphson y lo aplicaremos al problema de encontrar de manera aproximada el coeficiente de ajuste en un caso particular. Sea g(x) una función diferenciable que tiene una ra´ız cerca de x = x0 . Véase la Figura 7.4. 

96


g(x) 





x1 x0

x

Figura 7.4: La f´ ormula punto-pendiente de la recta tangente que pasa por ( x0 , g(x0 )) es y

− g(x0) = g′(x0)(x − x0 ).

Esta l´ınea recta cruza el eje horizontal cuando el valor de x es igual a x1 = x0

− g(x0)/g(x1 ).

Repitiendo este análisis se encuentra una sucesión de puntos x0 , x1 , x2 , . . ., que bajo ciertas condiciones converge a la ra´ız de la función g(x). Aplicaremos este procedimiento al problema de encontrar el coeficiente de ajuste cuando las reclamaciones siguen una distribución gamma(γ, α) con γ = 3. La condición θ(r) = 0 produce la siguiente ecuación que puede reducirse a una ecuación c´ ubica en r, g(r) = λ(α3

− (α − r)3 ) − cr(α − r)3 = 0.

La ra´ız buscada r es tal que por restricciones de la función generadora de momentos debe satisfacer 0 < r < α. Tomaremos α = 3, λ = 1, y c = 2. Se han escogido estos valores de los parámetros por simplicidad pero al mismo tiempo cuidando que se verifique la condición de ganancia neta: c > λ(3/α). El esquema general de Newton-Raphson es entonces rn+1 = rn

− g(rn )/g′(rn).

M´ as adelante demostraremos que si el coeficiente de ajuste existe, entonces éste se encuentra siempre dentro del intervalo (0, 2(c λµ)/(λµ2 )). Usando este resultado tomaremos como condición inicial r0 = 2(c λµ)/(λµ2 ) = 3/2. Usando estos datos,

−

−


97

la iteración de Newton-Raphson arroja los siguientes valores: r0 r1 r2 r3 r4

= = = = =

1.5 0.8¯3 0.8405056 0.8404738 0.8404738

El coeficiente de ajuste es entonces R = 0.8404738 .

◦

El siguiente resultado proporciona una forma equivalente de definir el coeficiente de ajuste, permite además comprobar su existencia a trav´ es de la determinación de la finitud de una integral, y posibilita dar una interpretación de aquellas distribuciones de probabilidad para las cuales el coeficiente de ajuste existe. Proposici´ on. La ecuación θ(r) = λ(M Y (r) 1) solución r > 0 si, y sólo si, se cumple la identidad

− − cr = 0 tiene una posible

∞



¯ erx F (x) dx =

0

¯ en donde F (x) = 1 reclamaciones.

c , λ

− F (x), siendo F (x) la función de distribució n de las

Demostraci´ on. Usando integraci´ on por partes se tiene que ∞



e

rx

∞

 − 

¯ ¯ dF (x) = erx F (x)

0

∞ 0

¯ rerx F (x) dx.

0

Por la hipótesis de existencia de la función generadora de momentos de la distribuci´ on F (x), la evaluación del primer término del lado derecho en el valor infinito se anula, y la evaluación en cero es uno. Por lo tanto, usando el hecho de que ¯ dF (x) = dF (x), se obtiene la expresión

−

∞

 0

e

rx

∞

dF (x) = 1 + r

 0

¯ erx F (x) dx.

98


Tenemos entonces que 0 = θ(r) = λ(M Y (r) ∞

 

= λ(

0

= λr

− 1) − cr erx dF (x) − 1) − cr

∞

¯ erx F (x) dx

0

− cr.

Despejando la integral se obtiene el resultado enunciado. Definici´ on. A una distribución de probabilidad para la cual existe el coeficiente de ajuste se les llama “distribución con cola ligera”. Cuando no existe tal coeficiente la distribución adquiere el nombre de “distribución con cola pesada”.

Ejemplo. Usaremos el criterio de la proposici´ on anterior para demostrar que para la distribución Burr no existe el coeficiente de ajuste. En este caso tenemos que ¯ F (x) = (1 + xc )−k . 

Entonces para cualquier valor de r > 0, ∞

 0

¯ e F (x) dx = rx

∞



rx

c −k

e (1 + x )

0

∞

dx

 ≈

erx x−ck dx =

0

Por lo tanto la distribución Burr es una distribución con cola pesada.

∞. ◦

Seg´ un el criterio recién demostrado, para que exista el coeficiente de a juste, la cola ¯ de la distribución, F (x), debe decaer a cero lo suficientemente rápido para anular el comportamiento creciente del término erx dentro de la integral. En el ejemplo anterior, la cola de distribución Burr decae a cero en la forma x−ck que es insuficiente para hacer que la integral sea finita. Una distribución con cola ligera asigna probabilidades muy peque˜ nas a los valores grandes de la variable aleatoria. Esto puede no ser muy conveniente para modelar algunos riesgos pues de esa manera se est´ a subestimando la posibilidad de registrar grandes montos en las reclamaciones. 

Ejemplo. Distribuciones con cola ligera:


99

¯ 1. exp(α), F (x) = e−αx. 2. gamma(γ, α). r ¯ 3. Weibull(r, α), F (x) = e−(αx) , para r

4. Normal truncada, f (x) =



2/π e−x



2

≥ 1.

/2

.

◦

Ejemplo. Distribuciones con cola pesada: 1. lognormal(µ, σ 2 ). 2. Pareto(a, b). ¯ 3. Burr, F (x) = (k/(k + xr ))α . r ¯ 4. Weibull(r, α), F (x) = e−(αx) , para 0 < r < 1.

5. loggamma(γ, α).

◦ Desigualdad de Lundberg. Vamos a demostrar ahora que para aquellas distribuiones para las cuales el coeficiente de ajuste R existe se cumple la desigualdad Ψ(u) < e−Ru . Para demostrar este resultado haremos uso de la teor´ıa de martingalas.

{ } {

Proposici´ on. Sea C t el proceso de riesgo, y sea θ(r) = λ(M Y (r) Entonces el proceso e−rC t−θ(r)t : t 0 es una martingala.

≥ }

− 1) − cr.

Demostraci´ on. La adaptabilidad del proceso es evidente pues impl´ıcitamente esta-

mos usando la filtración natural. Acerca de la integrabilidad tenemos los siguientes

100


c´ alculos E (e−rC t −θ(r)t ) =

Nt

e−θ(r)tE (e−r(u+ct−

j=1

Y j )

Nt

)

= e−θ(r)t−r(u+ct)E (er j=1 Y j ) = e−θ(r)t−r(u+ct)M St (r) = e−θ(r)t−r(u+ct)eλt(M Y (r)−1) <

∞.

Finalmente tenemos la propiedad de martingala. Para 0 E (e−rC t−θ(r)t

| F s)

≤ s < t,

e−θ(r)tE (e−rC t F s ) = e−θ(r)tE (e−r(C t −C s )−rC s F s ) = e−θ(r)t−rC s E (e−r(C t−C s ) )

=

|

|

Nt

= e−θ(r)t−rC s E (e−r(c(t−s)−

j=Ns +1

Y j )

)

Nt−s

= e−θ(r)t−rC s−rc(t−s) E (er j=1 Y j ) = e−θ(r)t−rC s−rc(t−s) eλ(t−s)(M Y (r)−1) = e−rC s−θ(r)s .

En particular, si el coeficiente de ajuste existe, es decir, si θ(R) = 0, entonces el proceso e−RC t es una martingala. Este es el resultado clave para demostrar la siguiente cota superior para la probabilidad de ruina.

{

}

Teorema. (Desigualdad de Lundberg). Suponga que el coeficiente de ajuste R existe. Entonces ψ(u) < e −Ru.

Demostraci´ on. Sea τ el tiempo de paro correspondiente al primer tiempo de ruina.

Como el proceso e−RC t

{

} es una martingala, se tiene que el proceso {e−RC } t∧τ

101


también es una martingala que inicia en e−Ru. Por lo tanto e−Ru

= e−RC 0 = E (e−RC t τ ) = E (e−RC t τ τ t) P (τ t) +E (e−RC t τ τ > t) P (τ > t) E (e−RC t τ τ t) P (τ t) = E (e−RC τ τ t) P (τ t) ∧

| ≤ | | ≤ | ≤

≤

∧

∧

≥

= Haciendo t evento (τ <

∧



−RC τ

e

≤ ≤



1(τ ≤t) dP P (τ

≤ t).

→ ∞ monótonamente, el evento (τ ≤ t) converge crecientemente al ∞). Por el teorema de convergencia monótona se obtiene entonces que e−Ru ≥ E (e−RC | τ < ∞) P (τ < ∞) > E ( 1 | τ < ∞) P (τ < ∞) = P (τ < ∞) τ

= ψ(u).

Ejercicio. Demuestre que efectivamente el evento (τ t) converge monótonamente al evento (τ < ) cuando t tiende a infinito monótonamente. 

≤



∞

e−Ru 1

u Figura 7.5: Cota superior para la probabilidad de ruina.

102

7.2. Probabil Probabilidad idad de ruina ruina

Como hemos visto, el coeficiente de ajuste no siempre existe, y aún cuando conozcamos su existencia no siempre es fácil acil calcularlo. El siguiente resultado proporciona algunas cotas para el valor de este coeficiente, suponiendo su existencia. Proposici´ on. on. Si el coeficiente de ajuste R existe, entonces

−

1 c 2(c 2(c λµ) λµ) ln( ) < R < , M λµ λµ2 en donde la primera desigualdad es válida alida bajo la hipótesis otesis adicional de que Y M c.s., para alguna constante constante M > 0.

≤

Demostraci´ on. Demostraremos primero la cota superior. Considere nuevamente la

− −

funci´ on on θ(r) = λ(M Y 1) cr, cr, para r Y (r) esta función on dos veces se obtiene

≥ 0. Sabemos que θ(0) = 0. Derivando

′ θ′ (r) = λM Y (r) c, ′′ θ (r) = λE (Y 2 erY ) > λE ( λE (Y 2 ) = λµ2 .

−

En donde θ ′ (0) = λµ

− c. Por el teorema fundamental del cálculo, alculo,

′

r

′

θ (r) = θ (0) +



θ ′′ (s)ds > (λµ

0

− c) + λµ2r.

Por lo tanto, t

θ(r) = θ(0) +

 0

θ′ (s)ds > (λµ

− c)r + λµ2 12 r2 .

Evaluando la ultima u ´ ltima desigualdad en R se obtiene obtiene 0 > (λµ

− c)R + λµ2 12 R2 = [ (λµ − c) + λµ2 12 R ] R.

Como R > 0, se tiene que (λµ ( λµ superior anunciada.

− c) + λµ2 12 R < 0. Despejando Despejando R se obtiene la cota

≤ M c.s. y defina la función on x RM (e − 1) − (eRx − 1). 1). h(x) = M

Demostraremos ahora la cota inferior. Suponga que Y

103

Parte arte 7. Teor Teor´ ıa de la ruina

Entonces h′′ (x) = R2 eRx < 0. Por lo tanto h es cóncava oncava con h(0) = h(M ) = 0. Esto quiere decir que h(x) > 0 para 0 < x < M , M , es decir,

−

x RM (e M o bien

(eRx

− 1) − (eRx − 1) > 0,

x RM − 1) ≤ M − 1). (e 1).

(7.5)

Sea g (x) = xex ex + 1. Entonces g ′ (x) = xex > 0. Por lo tanto g (x) es creciente para x > 0, es decir, g (x) > g (0) = 0, para x > 0. Es decir, xex ex + 1 > 0, para x > 0. En particular, evaluando en x = RM se obtiene RM eRM eRM + 1 > 0. Por lo tanto eRM 1 < e RM . (7.6) RM Por otro lado, usando (7.5),

−

−

−

−

M

M Y Y (R)

−1

=

 

(eRx

0

M

≤ = =

0

− 1) dF ( dF (x)

x RM (e M

1 RM (e M µ RM (e M

− 1) dF ( dF (x) M



− 1) 0 − 1). 1).

x dF ( dF (x) (7.7)

Por lo tanto, usando (7.7) y luego (7.6), 0 = λ(M Y 1) cR Y (R) λµ RM (e 1) cR M < λµReRM cR = (λµeRM c)R.

− − − − − −

≤

Por lo tanto λµeRM

− c > 0. Despejando R se obtiene la cota inferior buscada. buscada.

Es interesante notar que la cota superior encontrada no involucra hipótesis adicionales, de modo que cuando el coeficiente de ajuste R existe, éste este se encuentra siempre dentro del intervalo (0, (0 , 2(c 2(c λµ) λµ)/λµ2 ). Observe además as que cuando las reclamaciones están an acotadas superiormente por una constante positiva M , M , puede

−

104


encontrarse una cota superior para la probabilidad de ruina sin conocer necesariamente el coeficiente de ajuste pues u

ψ (u) < e −Ru < e − M

7.3. 7.3.

ln(c/λµ ln(c/λµ))

u/M

ln(λµ/c)) = eln(λµ/c

= (λµ/c) λµ/c)u/M .


Modelo Mod elo de Cram´ er-Lundberg er-Lund berg

{ }

78. Considere el proceso de Cramér-Lundberg er-Lundberg C t con la notación on e hipótesis otesis usuales. Demuestre que a) E (C t ) = u + (c (c

− λµ) λµ)t.

b) Var(C Var(C t ) = λµ2 t.

c) M C ct) C t (r) = exp[ r(u + ct)

− λt( λt(M Y Y (r ) − 1)].

Probabilidades de ruina 79. Suponga que las l as reclamaciones en el modelo de Cramér-Lundberg er-Lundberg siguen una distribuci´ on on exponencial de parámetro ametro α = 1. Suponga además as que λ = 1/2 y c = 2. Observe que se cumple la condición on de ganancia neta c > λµ. λµ. ¿Cuál al debe ser el capital inicial u para que la probabilidad de ruina sea menor o igual a 0.01? Coeficiente de ajuste 80. Demuestr Demuestree que si las reclamacione reclamacioness son variables variables aleatorias aleatorias acotadas, acotadas, entonces entonces el coeficiente de ajuste existe. 81. Se ha demostrado que cuando las reclamaciones reclamaciones tienen distribución on exp(α exp(α) el coeficiente de ajuste es R = α λ/c. λ/c. Usando la condición on de ganancia neta compruebe que este valor de R efectivamente cumple la desigualdad

−

0
−

2(c 2(c λµ) λµ) . λµ2

Ap´ endice A

F´ ormula de De Pril en R #################################### # F\’ormula de De Pril en R v1.1 # #################################### I <- 5 # Montos de reclamaciones J <- 3 # \’Indice m\’aximo para tasas de muerte R <- 20 # Valor m\’aximo para r en g(r) # n <- array(1:15, dim=c(5,3)) n[1,1]<-1 n[2,1]<-3 n[3,1]<-5 n[4,1]<-2 n[5,1]<-2 n[1,2]<-3 n[2,2]<-5 n[3,2]<-3 n[4,2]<-2 n[5,2]<-3 n[1,3]<-1 n[2,3]<-4 n[3,3]<-4 n[4,3]<-6 n[5,3]<-4

105

106 # q <- array(1:3, dim=c(3)) q[1]<-0.03 q[2]<-0.04 q[3]<-0.05 #............................... # Funci\’on h(i,k) #............................... h <- function(i,k) { aux <- 0 for (j in 1:J) { aux <- aux+n[i,j]*(q[j]/(1-q[j]))^k } aux <- i*((-1)^(k-1))*aux return(aux) } #............................... # C\’alculo de la densidad de S #............................... gc <- array(1:R, dim=c(R)) gc0 <- g(0) # g <- function(r) { if (r==0) { aux <- 1 for (i in 1:I) { for (j in 1:J) { aux <- aux*((1-q[j])^n[i,j]) } } return(aux) } else { aux <- 0 for (i in 1:min(r,I)) { for (k in 1:floor(r/i)) { if (r-i*k==0) { aux <- aux + gc0*h(i,k) } else {aux <- aux + gc[r-i*k]*h(i,k)} } } aux <- aux/r gc[r] <- aux

Ap´ e ndice A. Ap´ endice

return(aux) } } #............................... # Asignaci\’on en el arreglo "gc" y graficaci\’on. #............................... for (i in 1:R) { gc[i] <- g(i) } # Nota: Se omite en la gr\’afica el valor de la densidad en cero "gc0". barplot(gc,main="Funci?n de densidad de S",xlab="r", ylab="g(r)") ################################################################# # Fin de c\’odigo #################################################################

107

108

F´ ormula de Panjer en R (Caso Poisson) #################################### # F\’ormula de Panjer en R v1.0 # # [Caso Poisson] # #################################### # R <- 20 # Valor m\’aximo para r en g(r) # #............................... # c\’alculo de p_k=P(N=k) (Caso Poisson) #............................... a <- 0 b <- 3.5 #lambda p0 <- 2.7172^{-b} p <- array(1:R, dim=c(R)) p[1] <- (a+b)*p0 for (k in 2:R) { p[k] <- (a+b/k)*p[k-1] } #............................... # c\’alculo de f_r=P(Y=r), r>=1 #............................... # f <- array(1:R, dim=c(R)) f[1] <- 0.1 f[2] <- 0.1 f[3] <- 0.2 f[4] <- 0.3 f[5] <- 0.3 for (i in 5:R) { f[i] <- 0 } #................................ # C\’alculo de la densidad de S #................................ g0 <- p0 g <- array(1:R, dim=c(R)) g[1] <- (a+b)*f[1]*g0 for (r in 2: R) { aux <- 0 for (i in 1:{r-1}) {


aux <- aux + (a+b*i/r)*f[i]*g[r-i] } aux <- aux + (a+b)*f[r]*g0 g[r] <- aux } #............................... # Graficaci\’on #............................... # Nota: Se omite en la gr\’afica el valor de la densidad en cero "g0". barplot(g,main="Funcin de densidad de S",xlab="r", ylab="g(r)") # ################################################################# # Fin de c\’odigo #################################################################

109

110

Conceptos y resultados varios Alfabeto griego. Aα Bβ Γ γ ∆δ E ǫ, ε Z ζ H η Θ θ, ϑ

alpha beta gamma delta epsilon zeta eta theta

Iι Kκ Λλ M µ N ν Ξξ Oo Ππ

iota kappa lambda mu nu xi omikron pi

P ρ, ̺ Σ σ, ς T τ Υυ Φ φ, ϕ X χ Ψψ Ωω

rho sigma tau upsilon phi chi psi omega

Funci´ on indicadora. La funci´ on indicadora de un conjunto A 1A : Ω 0, 1 dada por

→{ }

1A (ω) =



⊆ Ω es la función

1 si ω A, 0 si ω / A.

∈ ∈

De este modo la función 1A toma el valor uno dentro del conjunto A y cero fuera de él, y cumple las siguientes propiedades. a) 1A∪B = máx 1A , 1B = 1 A + 1B

{ } − 1 A 1B . b) 1A∩B = m´ın{1A , 1B } = 1A 1B . c) 1A = 1 − 1A . d) 1A−B = 1A − 1A 1B . e) 1A△B = |1A − 1B | = 1 A + 1B − 2 1A 1B = (1A − 1B )2 . f) A ⊆ B ⇒ 1A ≤ 1B . c

Coeficiente de asimetr´ıa de Fisher. Para una variable aleatoria X con tercer momento finito se define el coeficiente de asimetr´ıa de Fisher α3 como el número α3 =

E [(X E (X ))3 ] . [Var(X )]3/2

−

111


Esta cantidad es una medida de la asimetr´ıa de la distribuci´ on alrededor de su media. Cuando α3 = 0 la distribución es completamente simétrica alrededor de su media, como es el caso, por ejemplo, de la distribución normal. Cuando α3 > 0 se dice que la distribución es asimétrica positiva o que tiene mayor sesgo hacia la derecha (es decir, la cola a la derecha de la media es más larga que la de la izquierda, o bien que hay valores más separados de la media a la derecha). Cuando α3 < 0, se dice que la distribución es asimétrica negativa o que tiene mayor sesgo a la izquierda (es decir, la cola a la izquierda de la media es más larga que la de la derecha, o bien que hay valores más separados de la media a la izquierda). α3 > 0

α3 = 0

µ

α3 < 0

µ

µ

Desigualdad de Jensen. Sea u una función convexa y sea X una variable aleatoria tal que tanto X como u(X ) tienen esperanza finita. Entonces u(E (X ))

≤ E (u(X )).

Esperanza condicional. Sean (Ω, F , P ) un espacio de probabilidad, X una variable aleatoria con esperanza finita y G una sub-σ-álgebra de F . La esperanza condicional de X dado G es una variable aleatoria denotada por E (X G ) que cumple las siguientes tres propiedades:

|

1. Es

G -medible.

2. Tiene esperanza finita. 3. Para cualquier evento G en

G ,

E [ E ( X

| G ) 1G ] = E [ X 1G ].

Puede demostrarse que esta variable aleatoria existe y es única casi seguramente, esto significa que si existe otra variable aleatoria con las tres propiedades anteriores, entonces con probabilidad uno coincide con E (X G ). Cuando G = σ(Y ) para alguna variable aleatoria Y , se escribe E (X Y ) en lugar de E (X σ(Y )). En particular, el término P (A Y ) significa E (1A Y ). Se enuncian a continuación algunas propiedades de esta esperanza.

|

|

|

|

|

112 a) E (X

| {∅, Ω} ) = E (X ). b) E (1A |{∅, Ω} ) = P (A). c) E (1A |{∅, B , B c , Ω} ) = P (A|B)1B + P (A|B c )1B . d) E (E (X | G )) = E (X ). En particular, E (P (A | Y )) = E (1A ) = P (A). e) Si X es G -medible, entonces E (X | G ) = X . En particular, si c es una constante, entonces E (c | G ) = c. f) E (aX + Y | G ) = aE (X | G ) + E (Y | G ). g) Si X ≥ 0, entonces E (X | G ) ≥ 0. c

h) Teorema de convergencia mon´ otona . Si 0 X n X , entonces E (X n G )

≤

ր

| ր E (X | G ) c.s.

i) Teorema de convergencia dominada . Si X n Y , E Y < y X n X c.s., entonces E (X n

| |≤

| | ∞

→

| G ) → E (X | G ) c.s.

j) Desigualdad de Jensen . Si ϕ es convexa, entonces ϕ(E (X

| G )) ≤ E (ϕ(X ) | G ). k) Si H es una sub σ-álgebra de G , entonces E (E (X | G ) | H ) = E (X | H ). l) Si Z es G -medible y acotada, entonces E (Z X | G ) = Z E (X | G ). m) Si X es independiente de G , entonces E (X | G ) = E (X ). Un estudio más detallado de la esperanza condicional puede ser encontrado en libros dedicados a probabilidad como [10] o [18]. Integral de Riemann-Stieltjes. Esta es una integral que generaliza la integral usual de Riemann y se trata de la integral de una función h(x) respecto de otra funci´ on F (x). Su definición es análoga al caso de la integral de Riemann: si a = x0 < x1 < < xn = b es una partición del intervalo [a, b], entonces definimos de manera informal

·· ·

n

b

 a

h(x) dF (x) := l´ım

∆x→0



h(xi )(F (xi )

i=1

− F (xi−1 )),

en donde ∆x es el máximo de las distancias xi xi−1 , y las funciones h(x) y F (x) deben cumplir ciertas condiciones para que la integral tenga sentido y est´ e bien

−

113


definida. En particular, a la función integradora F (x) se le pide que sea continua por la derecha, monótona no decreciente y tal que F ( ) F ( ) < M , para alg´ un n´ umero M > 0. Observe que F (x) debe cumplir propiedades semejantes a las de una función de distribución, justamente usaremos a las funciones de distribución como funciones integradoras. En particular, cuando F (x) = x sobre el intervalo [a, b] se tiene que

∞ − −∞

b



b

h(x) dF (x) =

a



h(x) dx,

a

suponiendo la existencia de tal integral. Igualmente, bajo la hipótesis de existencia de todas las integrales que aparecen a continuación, la integral de Riemann-Stieltjes cumple las siguientes propiedades: a) Es lineal en el integrando, es decir, b



b

(αh1 (x) + h2 (x)) dF (x) = α

a



b

h1 (x) dF (x) +

a



h2 (x) dF (x).

a

b) Es también lineal en el integrador, es decir, b



b

h(x) d(αF 1 (x) + F 2 (x)) = α

a



b

h(x) dF 1 (x) +

a



h(x) dF 2 (x).

a

c) Cuando h(x) tiene primera derivada continua se cumple la siguiente fórmula de integración por partes: b



b

h(x) dF (x) = h(b)F (b)

a

− h(a)F (a)

 −

F (x)h′ (x) dx.

a

d) De especial inter´ es en la teor´ıa de la probabilidad es el caso cuando F (x) es diferenciable. Bajo tal hipótesis se tiene la igualdad b



b

h(x) dF (x) =

a



h(x)F ′ (x) dx.

a

En particular, tomando h(x) = x y si X es una v.a. absolutamente continua con esperanza finita, con función de distribuci´ on F (x) y función de densidad f (x), entonces ∞

E (X ) =



−∞

∞

x dF (x) =



−∞

xf (x) dx.

114 e) Otro caso interesante para la teor´ıa de la probabilidad ocurre cuando h(x) es continua y F (x) es constante excepto en los puntos x0 , x1 , . . ., en donde la funci´ on tiene saltos positivos de tama˜ no p(x0 ), p(x1 ), . . . respectivamente. En este caso y suponiendo convergencia, ∞

b





h(x) dF (x) =

a

h(xi ) p(xi ).

i=0

Esto significa que integrar respecto de la función de distribución de una variable aleatoria discreta se reduce a efectuar una suma. Nuevamente tomando h(x) = x y si X es una v.a. discreta con esperanza finita y con función de distribuci´ on como se mencionó antes, entonces ∞

∞

E (X ) =



x dF (x) =

−∞



xi p(xi ).

i=0

En el caso cuando X es una v.a. mixta con esperanza finita, en el cálculo de la esperanza se separa la parte continua de la parte discreta de la siguiente forma ∞ ∞

E (X ) =



∞



x dF (x) =

−∞

xf (x) dx +

−∞



xi p(xi ).

i=0

Un tratamiento más riguroso y completo de la integral de Riemann-Stieltjes puede encontrarse en el texto de probabilidad de Harris [9], o en tratados de análisis matemático como el de Apostol [1]. Variables aleatorias mixtas. Una variable aleatoria mixta X es aquella que no es ni continua ni es discreta. Su función de distribución puede escribirse de la siguiente forma x

F (x) =



f (u) du +

−∞



p(xi ),

xi ≤x

en donde f (u) es una función no negativa y p(xi ) = P (X = xi ) > 0 para ciertos valores x0 , x1 , . . . Si g es una función tal que g(X ) es una variable aleatoria integrable, entonces su esperanza se calcula de la siguiente forma ∞

E (g(X )) =



−∞

∞

∞

g(x) dF (x) =



−∞

g(x)f (x) dx +

 i=0

g(xi ) p(xi ).

115


Varianza condicional. Sea X una variable aleatoria con segundo momento finito, y sea G una sub-σ-álgebra de F . La varianza condicional de X dado G se define como la variable aleatoria dada por Var(X G ) = E [ (X

|

− E (X |G ))2 | G ].

Nuevamente, cuando la sub-σ-´ algebra G es σ(Y ) para alguna variable aleatoria Y , entonces Var(X G ) se escribe Var(X Y ), y puede tomarse como definició n la igualdad Var(X Y ) = E [ (X E (X Y ))2 Y ].

|

|

|

−

|

|

Se enuncian a continuación algunas propiedades de esta variable aleatoria. a) Var(X

|{∅, Ω}) = Var(X ). b) Var(1A | {∅, Ω}) = P (A)(1 − P (A)). c) Var(X | G ) = E (X 2 | G ) − E 2 (X | G ). d) Var(X ) = E [Var(X | G )] + Var[E (X | G )]. Ley de los grandes n´ umeros. Sea X 1 , X 2 , . . . una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media µ. Entonces 1 n

n

 i=1

X i

→ µ.

Cuando la convergencia es en probabilidad este resultado se conoce como la ley débil . Y cuando la convergencia es casi segura se llama ley fuerte. Teorema central del l´ımite. Sea X 1 , X 2 , . . . una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media µ y varianza σ2 . Entonces 1 n



n i=1

X i − µ d √ → N(0, 1). σ/ n

Teorema de convergencia dominada. Sea X 1 X 2 una sucesió n de variables aleatorias para la cual existe otra variable aleatoria Y con esperanza finita y tal que X n Y , para n 1. Si X n converge casi seguramente a una variable X , entonces tanto X como X n tienen esperanza finita y E (X n ) E (X ).

≤

| |≤

≥

≤ ·· ·

→

116 Teorema de convergencia mon´ otona. Sea 0 X 1 X 2 una sucesión monótona de variables aleatorias convergente casi seguramente a una variable X . Entonces E (X n ) E (X ).

≤

→

≤

≤ ·· ·

117


Distribuciones de probabilidad En esta sección se presentan en orden alfabético algunas distribuciones de probabilidad utilizadas en el texto. La funci´ on generadora de probabilidad se denota por G(t), y la funci´ on generadora de la momentos por M (t).

Distribuci´ on Bernoulli

∼

f (x)

∈

X Ber( p) con p (0, 1). f (x) = px (1 p)1−x para x = 0, 1. E (X ) = p. Var(X ) = p(1 p). G(t) = 1 p + pt. M (t) = (1 p) + pet .

−

− −

( p = 0,7)

−

x 0

1

Distribuci´ on beta

∼

X beta(a, b) con a > 0, b > 0. f (x) = xa−1 (1 x)b−1 /B(a, b) para x (0, 1). en donde B(a, b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b), ∞ con Γ(a) = 0 ta−1 e−t dt. E (X ) = a/(a + b). Var(X ) = ab/[(a + b + 1)(a + b)2 ]. Cuando a = b = 1 se obtiene la dist. unif(0, 1).

−

f (x)

∈



x

Distribuci´ on binomial X

∼ bin(n, p)



con n

∈ {1, 2, . . .} y p ∈ (0, 1).

n x p (1 p)n−x para x = 0, 1, . . . , n. k E (X ) = np. Var(X ) = np(1 p). G(t) = (1 p + pt)n . f (x) =

−

f (x)

(n = 8, p = 0,3)

−

−

x

118 M (t) = [(1

− p) + pet]n.

Distribuci´ on binomial negativa f (x)

∼ bin neg(r, p) con p ∈ (0, 1) y r ∈ {1, 2, . . .}. r+x−1 r f (x) = p (1 − p)x para x = 0, 1, . . . x E (X ) = r(1 − p)/p. Var(X ) = r(1 − p)/p2. G(t) = [ p/(1 − t(1 − p))]r . M (t) = [ p/(1 − qe t )]r . X



(r = 3, p = 1/2)



x

Cuando r = 1 se obtiene la distribución geométrica de parámetro p.

Distribuci´ on Cauchy

∼ Cauchy(a, b)

f (x)

∈ R y b > 0. 1 f (x) = , para x ∈ R. bπ[1 + ((x − a)/b)2] F (x) = 1/2 + (1/π) arctan((x − a)/b). X

con a

La esperanza y varianza no existen. La funci´ on generadora de momentos no existe. Cuando a = 0 y b = 1 se obtiene la distribución Cauchy estándar, Cauchy(0, 1).

x a

Distribuci´ on exponencial f (x)

∼

X exp(α) con α > 0. f (x) = αe−αx para x > 0. F (x) = 1 e−αx para x > 0. E (X ) = 1/α. Var(X ) = 1/α2 . M (t) = α/(α t) para t < α.

−

−

α

x

119


Distribuci´ on gamma X

∼ gamma(γ, α) γ −1

f (x)

con γ > 0 y α > 0.

(αx) αe−αx para x > 0. Γ(γ ) −1 F (x) = 1 e−αx γj=0 (αx)j /j! para x > 0 y γ entero. E (X ) = γ/α. Var(X ) = γ/α 2 . M (t) = [α/(α t)]γ para t < α. f (x) =



−

x

−

Distribuci´ on ji-cuadrada X

f (x)

∼ χ2(n)

con n > 0. (1/2)n/2 n/2−1 −x/2 f (x) = x e para x > 0. Γ(n/2) E (X ) = n. Var(X ) = 2n. M (t) = (1 2t)−n/2 para t < 1/2.

−

x

Distribuci´ on log normal

∼ lognormal(µ, σ2 ) con µ ∈ R y σ2 > 0. 1 f (x) = √ exp[−(ln x − µ)2 /2σ 2], x 2

f (x)

X

x 2πσ

0. E (X ) = exp(µ + σ2 /2). E (X n ) = exp(nµ + n2 σ2 /2). Var(X ) = exp(2µ + 2σ2 ) exp(2µ + σ2 ).

−

>

x

120 Distribuci´ on normal f (x)

∼ N(µ, σ2 ) con µ ∈ R y σ2 > 0. 1 f (x) = √ e−(x−µ) /2σ . 2 X

2

2

2πσ E (X ) = µ. Var(X ) = σ2 . M (t) = exp(µt + σ2 t2 /2). φ(t) = exp(iµt σ2 t2 /2). Cuando µ = 0 y σ2 = 1 se obtiene la distribuci´ on normal estándar, N(0, 1).

µ

−

x

Distribuci´ on Pareto X

∼ Pareto(a,a b)

f (x)

con a, b > 0.

ab para x > 0. (b + x)a+1 F (x) = 1 [b/(b + x)]a para x > 0. E (X ) = b/(a 1) para a > 1. Var(X ) = ab2 /[(a 1)2 (a 2)] para a > 2. f (x) =

−

−

−

a/b

−

x

Distribuci´ on Poisson X

∼ Poisson(λ) x

f (x) = e−λ

con λ > 0.

f (x)

(λ = 4)

λ para x = 0, 1, . . . x!

E (X ) = λ. Var(X ) = λ. G(t) = e−λ(1−t) . M (t) = exp[λ(et

− 1)].

x

121


Distribuci´ on t f (x)

∼ t(n) con n > 0. Γ(n + 1/2) x2 f (x) = √ (1 + )−n−1/2 . n nπ Γ(n/2) X

E (X ) = 0. Var(X ) = n/(n 2) para n > 2. M (t) no existe para t = 0. φ(t) = exp( t ).

−

||



x

Distribuci´ on Weibull

∼

X Weibull(r, α) con r,α > 0. −(αx)r f (x) = e rαr xr−1 para x > 0. −(αx)r F (x) = 1 e para x > 0. E (X ) = Γ(1 + 1/r)/α. Var(X ) = [Γ(1 + 2/r) Γ2 (1 + 1/r)]/α2 .

f (x)

−

−

x

Bibliograf´ıa

[1] Apostol T. M. (1974) Mathematical analysis. Addison–Wesley. [2] Beard R. E., Pentik¨ ainen T., Pesonen E. (1984) Risk theory. Tercera edición. Chapman and Hall. London. [3] B¨ uhlmann H. (1970) Mathematical methods in risk theory. Springer–Verlag. New York. [4] Daykin C. D., Pentik¨ ainen T., Pesonen M. (1994) Practical risk theory for actuaries. Chapman and Hall. London. [5] De Pril N. (1986) On the exact computation of the aggregate claims distribution in the individual life model. ASTIN Bulletin 16(2) 109–112. [6] Dickson D. C. M. (2005) Insurance risk and ruin. Cambridge University Press. [7] Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosch T. (1999) Modelling extremal events for insurance and finance. Springer. [8] Gerber H. U. (1979) An introduction to mathematical risk theory. Monograph No. 8. S. S. Huebner Foundation for Insurance Education. Wharton School. University of Pennsylvania. [9] Harris B. (1966) Theory of probability. Addison–Wesley. [10] Karr A. F. (1993) Probability. Springer–Verlag. [11] Kass R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M. (2001) Modern actuarial risk theory. Kluwer Academic Publishers.

123

124

Bibliograf´ ıa

[12] Klugman S. A., Panjer H. H., Willmot G. E. (2008) Loss models: from data to decisions. Third edition. Wiley. [13] Melnikov A. (2003) Risk analysis in finance and insurance. Chapman & Hall/CRC. [14] Panjer H. H. (1981) Recursive evaluation of a family of compound distributions. ASTIN Bulletin 12(1) 22–26. [15] Panjer H. H. (Editor) (1986) Actuarial mathematics. Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, Vol. 35, AMS. [16] Rolski T., Schmidli H., Teugels J. (1999) Stochastic processes for insurance and finance. John Wiley & Sons. [17] Schmidli H. Lecture notes on risk theory. [18] Williams D. (1991) Probability with martingales. Cambridge University Press.

Índice

Agregado de reclamaciones en el modelo colectivo, 16 en el modelo individual, 8 Aproximaci´ on de Edgeworth, 42 gamma trasladada, 41 normal, 10, 40 Asimetr´ıa coeficiente de Fisher, 110 Coeficiente de ajuste, 94, 97 de ajuste (cotas), 102 de asimetr´ıa de Fisher, 110 Condici´ on de ganancia neta, 50, 92 Cramér-Lundberg, 87 Credibilidad Bayesiana, 73 completa, 69, 70 factor de, 72, 76, 77 parcial, 71 Credibilidad Bayesiana modelo normal-normal, 76 modelo Poisson-gamma, 75

de Lundberg, 95, 99, 100 Distribuci´ on geométrica compuesta, 21 Bernoulli, 117 beta, 117 binomial, 117 binomial compuesta, 20 binomial negativa, 118 binomial negativa compuesta, 20 Cauchy, 118 con cola ligera, 94, 98 con cola pesada, 98 exponencial, 118 gamma, 119 geométrica, 118 ji-cuadrada, 119 log normal, 119 normal, 120 Pareto, 120 Poisson, 120 Poisson compuesta, 21 Poisson compuesta mixta, 27 t de Student, 121 Weibull, 121

De Pril fórmula de, 11 Desigualdad de Jensen, 111 de Jensen condicional, 112

Espacio de prob. filtrado, 82 Esperanza condicional, 111 Esscher principio de, 53 125

126 transformada de, 53 Excess of loss, 62 Exponente de Lundberg, 94, 97 F´ ormula de De Pril, 11 de Panjer, 33 Factor de credibilidad, 72, 76, 77 de recargo, 50 Filtraci´ on, 82 natural, 82 Funci´ on de utilidad, 51 de valor, 52 indicadora, 110 Integral de Riemann-Stieltjes, 112 Jensen desigualdad de, 111 desigualdad de (condicional), 112 Ley de los grandes números, 115 Lundberg desigualdad de, 95, 99, 100 exponente de, 94, 97 Método de Newton-Raphson, 95 Modelo binomial compuesto, 20 binomial negativo compuesto, 20 colectivo, 15 colectivo Poisson, 22 de Cramér-Lundberg, 87 individual, 7 normal-normal, 76 Poisson compuesto, 21

´ Indice

asociado, 22 como l´ımite, 23 como suma, 25 con reclamaciones clasificadas, 26 mixto, 27 Poisson-gamma, 75 Net profit condition, 50, 92 Newton-Raphson, 95 Nivel de retención, 61 Panjer fórmula de, 33 Prima, 49 de credibilidad, 75 pura de riesgo, 49 Principio de Esscher, 53 de la desviación estándar, 51 de la varianza, 51 de utilidad cero, 51 del porcentaje, 53 del riesgo ajustado, 54 del valor esperado, 50 del valor medio, 52 exponencial, 52 Prob. de ruina, 89, 90 horizonte finito, 89 horizonte infinito, 90 Proceso a tiempo continuo, 81 a tiempo discreto, 81 adaptado, 82 de Poisson, 82 de Poisson (superposición), 85 de Poisson (thinning), 85 de riesgo, 88 de superávit, 88 estocástico, 81 submartingala, 84

riesgo

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