~1~
PRESENTACION DEL ESTUDIANTE
Apellidos: ………………………………………………………………….………..…. Nombre (s): ……………………………………………………………………………… Matrícula: …………………………………………………………………..…………… Profesor (a): …………………….………………………………………………………… Grupo o Sección:…………………………………………………………….. Sección:…………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………… Universidad o Instituto: …………………………………………………………………………….…. Fechas de Entrega: ……………………….… ……………………
~2~
PRESENTACION DEL ESTUDIANTE
Apellidos: ………………………………………………………………….………..…. Nombre (s): ……………………………………………………………………………… Matrícula: …………………………………………………………………..…………… Profesor (a): …………………….………………………………………………………… Grupo o Sección:…………………………………………………………….. Sección:…………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………… Universidad o Instituto: …………………………………………………………………………….…. Fechas de Entrega: ……………………….… ……………………
~2~
INDICE Página
Práctica 1.operaciones aritméticas algebraicas algebraicas y Conjunto numérico……... numérico……...… …4-13 Práctica 2. Factor ización………………………………………………………14-27 ización………………………………………………………14-27 Práctica 3. Ecuaciones Ecuaciones lineales…………………………… lineales…………………………………………………23 ……………………23-29 -29 Práctica 4. Potenciación Potenciación y Radicación……………………………………… Radicación…………………………………………30 …30-34 -34 Práctica 5. Funciones, cónicas y ecuaciones Polinómica………………………35 Polinómica………………………35 - 50
He lamentado profundamente no haber avanzado al menos lo suficiente como para comprender algo de los grandes principios fundamentales de las matemáticas, pues los hombres hombres que las dominan dominan parecen parecen poseer un un sexto sentido. sentido.
~3~
ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA
M at atemá emáti ca Bá B ási sica ca Práctica # 1: Operaciones Aritméticas Algebraicas y conjunto numérico. numérico. Nombre: ___________________________Matrícula:__________________ Profesor: _______________Sección:_______________Fecha:___________
I.
Realiza las siguientes operaciones aritméticas.
a) Enuncie la regla de las leyes de los signos para las diferentes operaciones.
b) Defina los diferentes tipos de fracciones.
c) Qué es una fórmula?
d) Qué se entiende por lenguaje algebraico?
e) En qué consisten las matemáticas binarias?
f) Defina monomio:
g) Defina polinomio y clasificación.
h) Enuncie el proceso para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones:
~4~
II. Realiza las siguientes operaciones aritméticas 1)
2)
35 2
+
28
3
7
4
1 2
70 40 2 3 35 6 3 8 9
3)
4)
36 8
5
7
5 2 30 3 7 8 8 8 8 8
5)
6) 5
7)
3 5
1 8
1
3
4
4
3
1 2
3 2
37 13 9 7
8)
3 3 2 8 9 9 9) 1 2 5 3 2 3
1 30 10) 3 3 7
~5~
11)
4(
12)
10
13)
5 6
2
1
6
4
4
1
)
3 2
3
5
8
8
8
10
12
4 4 12 )( ) 6 4 3
14)
(
15)
16)
+ 5 =
17)
18)
=
5
~6~
III. Despejar la variable destacada en las siguientes fórmulas. 1) e
vt
despejar t
d
2) v= 2 gh
3) d=
v f
vi
despejar vi
2
4) Ec=
5) d=vi
6)
despejar h
1
m v2
2
1 2
2ad
7)
T
8)
A
despejar
at 2
Despejar a
v f
2
v
F
v f
t
i
2
despejar v f
2
m 4
m
vo
despeje f
despeje Vo
~7~
IV. Realiza las siguientes operaciones algebraicas. 1)
2)
2
2
8m
3
2
9m
4
n m
2
4
2
7m
2
2
n m
6
4
3n m
3
2
3
4
2
2
3)
50w
4)
13a b
5)
(10a2b2 )(5a 2b 2 )(13a 2b 2 )
6)
(
10w x
2
3
2 10
2
2
a b
3
)(
8
2
5
7a
5
wb
25w
2
2
b
)
6
25 a e
2
5z
4
7
3
x
4
64 x y z
4
8 xy z
12
8)
w b
10
7)
4
2
5z
100 a
e
4
10
50 a
5a
4
e
3
8
12
e
~8~
6
9)
10)
36m
n
2
2
48m
5
n
4
42m
5
6m
3
4ab 3b
2
3
5ab 3b
12)
2 xy( x2 3xy 4 y 2 )
13)
3
x
(8 x 2 4 x 2)
3
x
2
2x 2
( x 1)
15)
x
3
x
2
2 x2 x 2 ( x 2)
16)
2
6 x(3x y )
14)
n
n
11)
8
21m
7x 5
( x 3)
~9~
V. Reduce los signos de agrupación. 1) 8- 4 1 2 33 5 1 4 24
2) 23 2 25 46 234 250 23 100 12 23 2 890
3)
x -4x y 2
3
24 x 3 y 2 2 x 2 y 3 9x 3 y 2 3x 2 y 3 12x 4 y 2
4)
4(6 x 8 y 4 z) (10 x 2 y 8 z) 2 (3 x 4 m 2 n)
5)
5m 6 4(2m2 11n 2 p) (6m 2m2 3)
6)
2 ( 81n2 ( 9 3) 5n =
~ 10 ~
4
8)
9)
5 x 6 x
7)
2
3 x =
2(3 x 4) 5
1 2
4 3(8 2 ) x
10)
3a b 2 (a b) (b 1) 3 =
11)
2 x y (1 x ) 1 ( y 3x
12)
13)
3 x2
4
(
x x
3)
[4x + 6 – 7x (10 + x – 3) + 3x + 5]=
~ 11 ~
14)
{3x – 20 + 8y [15 + 7y (-3 + y) + 3y] -10y – 3}=
15)
{4m – 3 + 6m+[-7m (4 – m) + 2m] – 1}
16)
{3m + 4 (7 – m) + 3m}
17)
10n – 6 (10 + n) – 3
18)
15z + 4 (-2 + z) – 2z=
~ 12 ~
VI. Define correctamente: a)
Número complejo:
b)
Número entero:
c)
Número natural:
d)
Número Irracional:
VII. Mencione dos conjuntos números que pertenezcan a los reales y ponga ejemplos.
VIII. Escriba o v o f según sea verdadero o falso. Justifique su respuesta
________________
a)
-
b)
Z
c)
o N_________________
d)
Q
e)
3.5
f)
3/5 Z
N________________
=R______________ _______________
La voluntad necesita ser más fuerte que la habilidad. --Muhammad Alí
~ 13 ~
ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA
M atemática Básica Práctica # 2: Factorización. Nombre: ___________________________Matrícula:_____________________ Profesor: _______________Sección: _______________Fecha:_____________
I.Defina las siguientes expresiones: a) Factorización
b) Diferencia de cuadrados
c) Suma de cubos
d) Factor común
e) Trinomio cuadrado perfecto
II.
Factoriza (Factor Común) :
1) am - bm + 4m = 2) 4 x12 y 3 8 x 8 y 5 z 4 12 x 4 y 5 3)32a 3b 2c-1616a 5b 2c 4
4)14 x 7 y 9 z 6 21x 5 y 5 z 4 28 x 3 y 6z 9
5) ax 2 5bx 3 6
~ 14 ~
III. 1) x 2
Factoriza (Diferencia de cuadrados)
36
2)4 x 2 1
3)25
4)
x
1
5
2
a b
100
2
5) 81a 2b 4 c16
IV. a) x
2
c
2
2
z
Descomponer las siguientes expresiones en dos factores. 6x
8
2
b) x – 16x
63
c) x 2 10x – 56
d) x 2 –13x – 48
e) y 2 – 7y – 30
f ) x 2 – 14x
g) x 2 – 5x – 84
h) x 2 27x
i) x 2 7x – 120
j) x 2 – 30x
k ) -n-1+m(1+n)=
l) 5-y+2k(5-y)=
m) 4a (b-4)-3c(b-4)=
n) a 2 3 n k 3( n k )
o) mx 2 5m 3x 2 15
~ 15 ~
48
180
2 16
V.
Verifique cual de las siguientes expresiones son trinomio cuadrado perfecto y Justifique su respuesta.
a)
m 2 8m 16
b)
m 2 12m 36
c) x
2
13x 81 2
d )
1 2
e)
mn n
2
VI.
Factoriza los siguientes polinomios en dos factores:
m
2
a ) x 2 7 x 10 b) x 2 8 9 x c)
17 y y 2 60
d ) k 2 30 k e)
2
VII.
10 21
Factoriza los siguientes polinomios y los que sean tcp expréselo como el cuadrado de dos cantidades.
a) n 2 132 n b) y 2 14 y 49 c) y 2 8 y 1008 d ) k 2 10k 25 e) k 2 20k 100
~ 16 ~
VIII. Descomponer las siguientes expresiones en dos factores a) 2x 2 3x -2 8 b) 4x 2 +x-33 c) 12u 2 -19u+ 5
e) 4n 2 – 6n +1 f ) 3x 2 – 2x - 7 g) 5x 2 +13x – 6
IX.
Completar el desarrollo con el término que falta.
a) x2 + 10x +__________
b) y 2 –18y +_________
c) m2 – _______+ 36n 2
d) p2 +_________ + 64p 2
e)_____+ 42x + 49
f) ________ – 390y + 225
g) 289z2 + 340 z +______
h) 64x2 – 80xy +_______
X.
Factoriza las siguientes diferencias de cubos
a ) x3 64 b) y 3 1 c ) 512+27a 3 d )8m3 n3
e)
1 1000
x3 y3 8
~ 17 ~
Realiza la siguiente complexión de cuadrados.
XI. 1)
5 x
2)
w
3)
k
2
2
2
60 x
30
9
5) 6x2 +5x-6 =
6) n 2 4 10n
XII.
Expresar como un cuadrado de binomio:
2
2
b) 225 – 30b + b =
2
2
2
d) p – 2pq + q =
a) g + 2gh + h =
2
c) x + 2xy + y =
2
2
e) a – 2a + 1 =
2
f) m – 6m + 9=
~ 18 ~
Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de
XIII.
factorización que corresponda:
a)
b)
48a 72ab
f)
25a 2 b 75ab 2
24 x 18 y 44 x 33 y
=
x
g) x
c)
96m3 n 2 32m 4 n3
3(a b) 5(a b)
16
8 x 16
=
h)
d)
2
2
9 x 2
30 x 25
6 x 10
x
i) x
e) 9x2 –12xy + 4y2 =
2
2
25
x 20
j) 36n2 + 84pn + 49p2 =
~ 19 ~
4 y 2 4 y 1
k)
6 x 3
x 2 6 x 8
l)
x 2 7 x 12
s)
x 2 4 x 12
3(a 3)
m
64 u 2 u 2 13u 40
2
2
y
2
x x
o)
p)
c
1 64c 6 1 4c 2
2 y 15
2
5x 6
2
b
1+
x) 1
q)
x 2 7 x 10 x 2
25
8 x 15
x
2
x2
3x 2
a b 1
a
1 a -1 1
a 1
x + y x - y x + y x
r)
y)
x 2
w) a 1
2
a 2 (b c ) 2
2
y 12
b
n
v)
( a b)
2n 2m
y
2
9
x 2 8 x 12
u)
n)
2
= t)
m)
a
~ 20 ~
x y x y x 2y x y
XIV.
Expresa como un producto de tantos factores como sea posible:
a) 3b – 6x =
b) 5x – 5 =
2
c) 20u – 55u =
d) 16x – 12 =
e) 6x – 12y + 18=
f) 15x + 20y – 30=
g) 14c – 21d – 30=
h) 152x yz – 114xyz =
2 2
2
2
3
2
3
2
2
3
i) 30m n + 75mn – 105mn =
j) 28pq x + 20p qx – 44p qx + 4pqx=
k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq =
l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =
~ 21 ~
2
m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by=
2
2 2
2
2 2
2
ñ) 10abx + 4ab x – 40aby – 16ab y =
o) 4g + 2gh =
2
2
p) 25a – 30ab + 15ab =
q) m – 64 =
2
2
r) 144y – 256 =
6
4
2
n) 20abc – 30abd – 60b c + 90b d =
s) 144 – 9x =
v) 25x – 4y =
w) ap + aq + bm + bn=
x) xy – x + 3z – 6 =
y) x + xy + xz + yz=
2
z) 15 + 5x + 3b + xb =
~ 22 ~
ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA
M atemática Básica Práctica # 3: Ecuaciones Lineales Nombre: ___________________________Matrícula:_____________________ Profesor: _______________Sección: _______________Fecha:_____________
1. Define las siguientes expresiones: a) Ecuación:
b) Hable sobre los diferentes tipos de ecuaciones
c) Hable sobre la importancia de las ecuaciones lineales.
~ 23 ~
II.
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales
1) x 4 28
2) y 65 31
3) 8z 40 3z
4) 10x 5x 60
5) 3 x 5 3 2 x
5) 15y 3 36 18y
7) 2x 4 3x 4 3x 12
8) 3 x 2( x 1) 2(3x 1) 4
9) 4 3x 2 8 5 2x 3 5
10) 15x 40 5x 20 0
~ 24 ~
11) 16 2x 4 5x 3x 2 4x 8x 2
12) 8 5 x 8 2 x
13)
14)
15)
16)
2 x 5 5
2( x 2) 3
5 x 2 2
2 x 3
3x 2
x
3m 11 2
3(1 x) 2
4x 3 4
x
8 x
2
17) 2(2 x)
18)
4
x
3
2
5x
1
8
2(1 2 x) x
2
5m 1 5
1
1
x
x
3( x 2) 2
m
10
7
5m 6 5
~ 25 ~
19)
5 2
x
20) 12
2 5
21)13 m
22)
1 5
x
3w 4
4
5x
8 x 78
8
12 m
9
23)3(8 y
24)
9
8
2)
13
3(4
2 y)
7
25) 2 w 4( w 2)
26) 5( w 4)
3w
~ 26 ~
3
815 6 x (3x 2) (55x 4) 29
28)
29)
30 x ( x 6) ( 5 x 4)
x
30) ax
b
2
31)
2x
32)
2x
33)
2 2x
34)
35) 2
3
10
x 1
6) ( 8 3x )
bx
6
36) x – 15
37)
2
(5x
5
3 6 x
4x
a
8x
6 x
62 x
– 3 x
15
2
6x
x
6
27
111
~ 27 ~
38) 8x – 5
39) 2x
40)
41)
42)
III.
3 5
109
6
12
13x 6
34 5
3 2 z 1
2 y 3
97
0
1 5
0
Resolver los siguientes problemas con ecuaciones lineales.
1) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
~ 28 ~
2) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
3) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
4) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños h ay si la reunión la componen 96 personas?
No podemos tener un mejor mañana si seguimos pensando acerca del ayer todo el tiempo. -Charles F. Kettering
~ 29 ~
ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA
M atemática Básica Práctica # 4: Potenciación y Radicación. Nombre: ___________________________Matrícula:_____________________ Profesor: _______________Sección: _______________Fecha:_____________ I.
Ponga el nombre de cada una de las partes de la potenciación:
a
II.
n
p
En cada enuncie el procedimiento:
a) Multiplicación de potencias de iguales bases.
b)
División de potencias de iguales bases
c)
Racionalización:
d)
Binomio de newton
e)
Triangulo de Tartaglia
~ 30 ~
III.
Resuelve las siguientes operaciones:
1)5 2
2)7 0
3
3 3) 4
2 4) 5
5
5)2 4
6)7 1
7) 4
-5
4
8) (3/2)
-4
9) (1/2)
~ 31 ~
IV.
Desarrolla:
1)6 7 4 28 7
2) 3 54 2 3 16 3 3 8
3) 2 2 2 8
4) 3 27 3 81 3 3
81 x 4 y
5)
V. 1)
2)
3)
4)
5)
100 x 4 y
Racionaliza el denominador de las siguientes expresiones: y
x
7 3 5
1 7
1
2
2
3 3
x
x
5
y 5
~ 32 ~
VI.
Racionaliza el numerador de las siguientes expresiones:
1)
=
2)
=
3)
=
4)
=
5)
=
~ 33 ~
VII.
Desarrolla las siguientes potencias.
1) x
3
y
4
2) 2 x 3
7
3) y 3 4
2
7 4) 9 m 4 3
5) 2 m
y
10
6) x 1
“ La
2
5
Matemática entra por los dedos : esta se aprende por el arte
de practicar los ejercicios de nuevos conocimientos adquiridos”. Aristóteles
~ 34 ~
ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA
M atemática Básica Práctica # 5: Funciones y Geometría Analítica Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________
I.
Defina correctamente :
a) Relación:
b) Función:
c) Cuál es la diferencia entre conjunto de partida y dominio?
d) Establezca la diferencia entre conjunto de llegada y rango?
e) Defina y ponga ejemplos de función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
~ 35 ~
f) Qué es una cónica?
g) Qué es una circunferencia?
h) Qué es una parábola?
II) Dados los conjuntos A = {a,b,c,d}
y B = {1,2,3,4}, indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones de A en B. a) R 1: { (a,3), (b,2), (a,4), (c,3), (d,1) } b) R 2: { (a,4), (b,3), (c,2) } c) R 3 :{(a,3), (b,3), (c,3), (d,3) } d) R 4 : { (a,2), (b,4), (b,3), (d,1) } e) R 5 :{ (a,1), (b,2), (c,3),(b,4) }
III) Sea f : A
B / y = x+2 con A = {-3,-1,0,1,2} y
B = {-1, 1,2,3,4,5,7,8}. Hacer el diagrama de f en un sistema cartesiano.
~ 36 ~
IV) Se considera la función g: N Q / g(x) = afirmaciones. Justifique su respuesta:
. Indicar V o F en las siguientes
a) g es inyectiva. __________________________________________________ b) Existe un elemento del dominio cuya imagen es -4?____________________ c) Hay elementos del rango que no tienen dominio? _____________________ d) f es sobreyectiva?. ______________________________________________ e) f es biyectiva?. _________________________________________________ f) Existe un elemento del dominio cuya imagen es 3/5?.___________________
V) Indicar cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones de R en R, y cuáles no. Justificar las respuestas.
a
b
c
d
7 3
~ 37 ~
e
f
VI)
Contesta correctamente:
1. Qué es una ecuación?.
2. Qué es una igualdad?.
3. Qué es una ecuación polinómica?.
4. Cómo obtener la solución por el método gráfico de una ecuación cuadrática?.
5. Cuál es la forma estándar de una ecuación cuadrática?
6. Explique en qué consiste el método de Ruffini para ecuaciones polinómicas?.
VII.
Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
1.
2.
~ 38 ~
3.
4.
2
5. x -5x-36= 0
2
6. 2x + x – 3
2
7. 12x – 23x +5=0
~ 39 ~
VIII. Suministradas las siguientes ecuaciones buscar: a) Abertura
c) Raíces
e) Vértice
b) Factores
d) Forma estándar
f) Gráfic
2
1) x – 3x – 4 =0
2
2) 3x – 5x – 2 = 0
~ 40 ~
2
3) -x - x + 2 = 0
2
4) x – 4x + 3 = 0
~ 41 ~
IX.
En las siguientes ecuaciones busque la naturaleza y raíces por fórmula general. 2
1) x - 10 x + 24 = 0
2
2) x - 6x + 9 = 0
2
3) x +x-30 = 0
2
4) x -2x-35 = 0
X.
Resuelva las siguientes ecuaciones por la forma estándar y además buscar Factores y vértice.
1.
2.
3.
4.
~ 43 ~
XI.
Encontrar las raíces posibles de las siguientes ecuaciones por el método de Ruffini.
1.
2.
3.
~ 44 ~
XII. Dados los siguientes conjuntos establezca el conjunto producto, luego realice la relación y grafíquela a través del diagrama de Euler ven y coordenadas cartesianos, indique dominio y rango. a) Dado A =
1, 2,3, 7 ; B 2,5,8 f
: 2x 1 y
b) Sean los conjuntos A 2, 3, 5 ; B 1, 4, 5, 6 , Sea R : 3x
9
XIII. Obtén la ecuación de la circunferencia de centro y radio dados. 1) C(-3,5); r = 6
2) C(-4,-1), r = 2
3)
()
~ 45 ~
XIV. Escribe la ecuación general de una circunferencia dado su centro y su radio. 1) C(2,4); r =
2) C(-4,7), r = 1
XV. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias. 1 x 1
2
2 x 8
2
y 7
y 5
2
3)
x 6
2
4)
x 2
2
5)
x 9
25
81
2
y 4
y 1
y
2
2
1
2
2
9
4
16
~ 46 ~
XVI. Representa gráficamente las circunferencias a)
= 36
b)
( ) ( )
c)
( ) ( )
~ 47 ~
XVII. Dada las siguientes parábolas con vértice en el origen V ( 0, 0 ) , hallar las coordenadas del foco, directriz y haga la gráfica. 1.
Directriz y = - 4
2. pasa por el punto P ( 5, - 4)
3.
Foco en ( 8, 0 )
4. Foco en ( 0, 3 )
5. Directriz x = 10
~ 48 ~
