apuntes sobre matematica basica para estudiantes de ingenieria
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Descripción: matematica
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86) Hallar los valores de p y q tales que el plano: (2p +3q+1) x + (p-q+1) y + (p+q-2) z = 2p -1 sea paralelo al eje Z y contenga a la recta L: {P = (0; 1; 1)+t (1; 1; 1)} Solución El punto (0; 1; 1) satisface satisface la ecuación ecuación de plano por pertenecer pertenecer a la recta que pertenece pertenece también al plano plano Un vector normal al plano es n= (2p+3q+1) i + (p-q+1) j + (p+q-2) k y un vector paralelo al eje Z es K Entonces para que el plano sea paralelo al eje Z el producto escalar del vector normal al plano y el vector paralelo al eje Z debe ser 0 →
n.k =o
→
p+q-2=0 → p+q=2…………. (1)
Ahora si sumamos el vector (0; 1; 1) y el vector directriz (1; 1; 1) obtendremos obtendremos un punto que también satisfacer la ecuación del plano que es el plano (1; 2; 2) (2p+3q+1) + (p-q+1)2 + (p+q-2)2 =2p-1 → 4p +3q =0…………….. (2) Resolviendo (1) y (2) Obtenemos p = 0.4 y q = 1.6
Z
L n Y
X
87) ¿Cual es el área del cuadrilátero comprendido entre las rectas L1={(2;2;1) + s(1;2;-1)} , L 2={(4;4;2) + t(2;4;-2)} y los planos XY y XZ? Solución Primero calculemos las intersecciones de las rectas con los planos XY y XZ Según la Formula
Siendo Q0 un punto de paso de la recta y
P0 un punto de paso del plano y n el vector normal al plano Intersección de L1 con el plano XZ P=
= (1; 0; 2)
Intersección de L1 con el plano XY Q=
= (3; 4; 0)
Intersección de L2 con el plano XZ H=
= (2; 0; 4)
Intersección de L2 con el plano XY I=
= (6; 8; 0)
Al unir los puntos P, Q, H e I obtenemos un trapecio isósceles pues la distancia de P a H es igual a la de Q e I Las bases son los segmentos PQ y HI cuyas longitudes son Para hallar la altura del trapecio solo será la distancia de Q a la recta L 2 =
→ el área será
Z H
P
Y Q
L1
X I
L2
88) Una fuente de luz se encuentra por encima del plano XY. Un rayo incide sobre la superficie de un espejo situado en el plano determinado por las rectas L1= {(4;5;0)+s(1;2;-1)} y L 2={(2;
;0) +t(1;
;0)} . Si el rayo
incidente sigue la dirección (-1; 1;-4) y cae sobre la intersección de L1 y L2. ¿Cuál es la ecuación del rayo reflejado? Solución Sea P0 la intersección de las rectas L 1 y L2 entonces para encontrar ese punto solo bastara con igualar las 2 ecuaciones de las rectas (4; 5; 0) +s(3;4;0) = (2;
; 0) +t(1;
;0)
Igualando miembro a miembro tenemos que el punto de intersección de las 2 rectas es el punto (1; 1; 0) y un vector en la dirección de el rayo reflejado simplemente será el vector pero con la componente Z invertida ósea (-1; 1; 4) Por lo tanto la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado es L3 = {(1; 1; 0) + t (-1; 1; 4)}
(-1; 1; 4) (-1; 1;-4)
P= (1; 1; 0)
89) Dos rectas L 1 y L2 son paralelas a un plano P y están en lados opuestos respecto al plano .Hallar el plano P , si se sabe que d(L 2,P)=d(L 1,P)=3 ; L1={(3;4;4) + s(-2;0;1)} y L 2={(1;-24;-3) + t(1;-2;1)} Solución Como el plano es paralelo a las rectas L 1 y L2 entonces su vectores directrices de las rectas pertenecerán al plano pues son simplemente paralelas , para calcular la ecuación del plano solo bastara con encontrar un punto de paso del plano como vemos el plano justo pasa por el punto medio de la menor distancia entre las dos rectas L2
Punto medio de la menor distancia entre las dos rectas
3
3
Plano “P”
L1 Y como vemos cualquier punto medio de los segmentos que una a cualquiera de los puntos de L 1 y L2 siempre estará en el plano P Entonces para un caso particular el punto medio del segmento que une a los puntos de paso de las rectas L 1 y L2 estará en el plano Q = (2;-10; 0.5) pertenece al plano → P = {(2;-10; 0.5)+ h (-2; 0; 1) + k (1;-2; 1)}
90) Dado el plano P1: x-y+2z = 2 que representa a un espejo, al cual incide un rayo luminoso que sigue la trayectoria de la recta L 1= {(0; 0; 0) + t (1; 1; 1)}. Hallar el punto de intersección de la recta L 2, que contiene al rayo reflejado, con el plano P 2: 2x+y+z = 16 Solución Primero calculemos un vector normal al plano P1 el cual es n= (1;-1;2) y un punto que pertenezca al plano P1 el cual es(0;0;1) Ahora mediante la formula calculemos el único punto Q de intersección entre la recta L 1 y el plano P1 Q=
= (1; 1; 1)
Luego calculemos el vector directriz del rayo reflejado el cual simplemente será el vector (1; 1; 1) pero con -1 el cual es (1; 1;-1) La ecuación de la recta L 2= {(1; 1; 1)+s (1; 1;-1)} Ya tenemos la ecuación de la recta L2 ahora solo falta encontrar el punto de intersección, para ellos hallemos un vector normal al plano P 2 y un punto que pertenezca al plano P2 Vector normal al plano P 2 es m= (2; 1; 1) y un punto del plano es (4; 4; 4)
