Matemática
1
Secundaria
Cuaderno de trabajo
Impreso por: Consorcio Corporación Gráfica Navarrete S.A.,
El cuaderno de trabajo Matemática 1 de secundaria ha sido elaborado según el plan de obra creado por el departamento editorial del Grupo Editorial Norma en el Perú.
Amauta Impresiones Comerciales S.A.C., Metrocolor S.A., en los talleres gráficos de METROCOLOR S.A., sito en Jr. Los Gorriones N.º 350 - Urb. La Campiña, Chorrillos, Lima.
Directora editorial: Andrea Viviana Saavedra Garzón Tasayco Sánchez Editora de área: Maudhy Johana Tasayco Editor: Ricardo Cañón Moreno Jefe de arte: Rocío Milena Marmolejo Cumbe
Tiraje: 501 732 ejemp ejemplares lares © 2015 Grupo Editorial Norma S. A. C. Av. Nicolás Ayllón 3720 Int. Z-02 Ate, Lima-Perú Teléfono: Te léfono: 710 3000 3000
El autor del cuaderno de trabajo Matemática 1 es Carlos Ruiz Huérfano Corrección de estilo: Aliza Yanes Viacava
Primera edición: enero de 2016 Primera reimpresión: agosto de 2016
Diseño gráfico: Equipo Editorial Norma Diagramación: ALN Telemark Colombia S. A. S. Diseño de cubierta: Equipo Editorial Norma Apoyo gráfico: Equipo Editorial Norma
Número de Proyecto Editorial: 31501031501250 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2016-10140 ISBN Nº 978-612-02-0397-2
Ilustraciones: ALN Telemark Colombia S. A. S., Ángela
María Ruiz Caro, Juan Pablo Suárez Cano, Mauricio Restrepo López, Fernando Contreras Contreras y Equipo Editorial Norma Archivo fotográfico: Archivo gráfico Norma y © 2015 Shutterstock
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de la Editorial.
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Querido estudiant estudiante: e: Seguramente muchas veces te has planteado las siguientes preguntas: ¿Por qué debo aprender matemática? ¿Para qué me va a servir en mi vida cotidiana? ¿Cómo me beneficiará en mi proyecto de vida? Es posible que también hayas considerado que la matemática es difícil de aprender y que la relaciones únicamente con el manejo de fórmulas y con procesos engorrosos y complejos. Sin embargo, la matemática está presente en diferentes situaciones de nuestra vida diaria, y aprenderla es importante porque nos ayuda a entender el mundo que nos rodea y a dinamizar nuestra forma de actuar al emplearla de manera adecuada y creativa en la resolución de problemas. Te presentamos este cuaderno cuaderno de trabajo, en el que encontrarás encontrarás diversas diversas actividades actividades sobre situaciones cotidianas cuyo desarrollo permitirá encontrarle sentido y significatividad a la matemática. Además, te posibilitará desenvolver de manera progresiva las capacidades de cada una de las competencias matemáticas, a través de actividades diversas en las que podrás aplicar los conocimientos matemáticos tratados en los diferentes capítulos del texto y lograr las competencias matemáticas propuestas. Con este cuaderno de trabajo estarás facultado para plantear y resolver problemas desarrollando diversos métodos y estrategias heurísticas que involucran buscar, comprender e inferir información promoviendo la exploración, la experimentación, la simulación, la explicación y los procedimientos matemáticos de manera clara y sencilla. Para que logres dichos propósitos, recibirás el apoyo constante del profesor, quien será el mediador de tus procesos promoviendo el análisis y la reflexión, partiendo de situaciones significativas retadoras y desafiantes desafiantes que te motiven a explorar diversos caminos en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados. planteados. Este cuaderno de trabajo promoverá el desarrollo de las competencias matemáticas cuando matematices, es decir, en el momento en que representes la realidad en términos matemáticos. Asimismo, te ayudará a que comuniques ideas matemáticas dándoles significatividad, a que simbolices tu realidad y la esquematices al elaborar estrategias diversas y reconocer que no hay un único sino diversos caminos en la solución de un problema. Esto te motiva a que recurras a una variedad de estrategias, que razones y argumentes cuando demuestres cuán válido es el procedimiento realizado. Aquí precisamente es que la matemática va adquiriendo un nivel de profundidad y es necesario ver qué tan válida es la estructura que se está empleando.
3
Las competencias de Matemát Matemática ica Para que los estudiantes puedan aprender a actuar de manera competente en diversos ámbitos, necesitan afrontar reiteradamente situaciones retadoras que les exijan seleccionar, movilizar y combinar estratégicamente las capacidades que consideren más necesarias para poder resolverlas. A fin de que una situación significativa sea entendida como un desafío para los estudiantes, debe guardar relación con sus intereses, con contextos personales, sociales, escolares, culturales, ambientales o propios de cada saber específico que se constituyan en retos relevantes. Puede tratarse de situaciones reales o también simuladas, pero que remitan a las actividades cotidianas de los estudiantes. Dentro de este contexto, la educación y las actividades de aprendizaje deben orientarse a que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadano ciudadanos, s, lo cual involucra el ejercicio pleno de un conjunto de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten la comprensión, construcción y aplicación de la matemática para la vida y el trabajo. En este sentido, desarrollar competencias y capacidades implica un saber actuar de las personas de manera consciente en una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, las habilidades y las destrezas. Las competencias propuestas para el área de Matemática son: Competencia
Capacidad
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
•
Matematiza situaciones
•
Comunica y representa ideas matemáticas
•
Elabora y usa estrategias
•
Razona y argumenta produciendo ideas matemáticas
En este Cuaderno de trabajo se abordan las siguientes competencias, en cada una de las unidades, con el propósito que se señala. Unidad
Competencias
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Conocer de los números decimales y de las fracciones: su representación, su relación de orden, sus operaciones y propiedades, con la finalidad de emplearlos en problemas aditivos y multiplicativos, así como en la demostración de conjeturas.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
Conocer las medidas de tendencia central: media, mediana y moda de datos agrupados y no agrupados para poderlas emplear en los distintos problemas y argumentaciones matemáticas.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Reconocer relaciones entre magnitudes en problemas de proporcionalidad. Organizar datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Determinar el patrón geométrico de una progres progresión ión que le permite identificar el término que sigue o el que falta. Asimismo, los conceptos de patrón geométrico le ayudarán a resolver problemas de la vida cotidiana en donde se repiten elementos.
1
2
Propósito del material presentado
4
3 4 5 6 7 8 9
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Determinar la regla de correspondencia de una función para poder identificar su dominio y rango, intercepto con los ejes con la finalidad de resolver problemas. Reconocer los elementos de los cuerpos geométricos que facilitará comprender el medio que los rodea. Calcular el área (lateral y total) y el volumen de los cuerpos que ayudará a la resolución de problemas. Calcular los múltiplos y divisores de un número para poder resolver diversos problemas de la vida real y justificar conjeturas. Utilizar los conceptos de m. c. m. y m .c. d. para resolver problemas cotidianos y argumentar sus respuestas. Diferenciar una igualdad de una ecuación. Hallar el valor de una incógnita en ecuaciones, utilizando las propiedades de la igualdad o por transposición, para facilitar la solución de problemas.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Conocer los números enteros: su representación, su relación de orden, sus operaciones y propiedades con la intención de emplearlos en la solución de problemas y argumentos matemáticos.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Leer mapas y gráficos a escalas para facilitar la comprensión del medio que los rodea. Asimismo, cal cular el área, perímetro y volumen de cuerpos geométricos para aplicarlos en diversos problemas de la vida real.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Diferenciar una desigualdad de una inecuación. Hallar el intervalo que puede tomar la incógnita en una inecuación, utilizando las propiedades de la desigualdad o por transposición, para facilitar la solución de problemas.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Graficar polígonos empleando regla y compás.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Reconocer cuándo una sucesión es aritmética para poder determinar su razón, el término que sigue o que falta, para tener las herramientas necesarias para resolver los problemas.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
Determinar cuál es el espacio muestral de un suceso para poder realizar problemas relacionados con el cálculo de la probabilidad de un suceso.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Calcular la potencia de un número natural o entero para poderla utilizar en distintos problemas de la vida diaria.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Conocer las transformaciones de figuras en el plano y en la cuadrícula con la intención de ayudarlos en su ubicación y en la solución de diversos problemas.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Calcular el porcentaje, descuentos y aumentos sucesivos para emplearlos en la solución de problemas de la vida real.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
Calcular el perímetro y área de polígonos regulares con la intención de utilizar estos conceptos en la resolución de problemas.
Reconocer qué tipo de variable se puede estudiar en los distintos gráficos estadísticos con la intención de elaborarlos de forma correcta. Elaborar e interpretar la información de gráficos estadísticos: de barras, circulares e histogramas para poder resolver problemas y justificar sus ideas. 5
Estructura del cuaderno de trabajo Apertura Aquí encontrarás textos, situaciones o imágenes motivadoras relacionados con las capacidades y competencias que desarrollarás a lo largo de la unidad. Aprendizajes esperados
Número y nombre de la unidad
Te brinda una una visión global de lo que lograrás al final de la unidad.
Definida a partir de situaciones significativas en diversos contextos.
En cada unidad encontrarás fichas y talleres de matemática con la siguiente estructura:
Ficha Momento inicial
Momento de desarrollo Resolvamos Te propone propone el planteamiento de estrategias orientadas a la resolución de problemas.
Iniciemos Te sugiere sugiere el comienzo de la ficha reconociendo tus saberes previos.
Taller Aquí encontrarás la información contenida en la unidad, de manera ordenada y fácil para su ubicación. Problemas de traducción compleja
Problemas de traducción simple
Presenta problemas de más de dos etapas.
Presenta problemas que necesitan solo de conceptos y operaciones básicas.
Problema tipo PISA Presenta un problema extraído de la evaluación internacional.
6
Situaciones problemáticas realistas Presenta problemas abiertos
Momento Moment o final de f ichas y talleres Reflexiona
Autoevaluación y coevaluación Presenta preguntas o actividades que favorecen la autorregulación de los procesos
Facilita la reflexión del proceso para el logro del aprendizaje esperado.
Resuelve situaciones significativas Presenta situaciones significativas para favorecer el desarrollo de las competencias y capacidades en la ficha o taller.
Metacognición Presenta actividades para la reflexión sobre el proceso de aprendizaje.
Evaluación
Evaluación Propone actividades que propician la reflexión sobre los conocimientos aprendidos a lo largo de la unidad.
Metacognición Presenta actividades para promover la reflexión sobre lo aprendido en la unidad.
Sección desglosable
Desglosables Te presenta presenta plantillas como un recurso para el desarrollo de las fichas en las unidades.
7
Tabla de contenidos Apertura
Unidad
Contenido
1
La zampoña, un instrumento musical 10-11
Unidad
2
Incas, tesoro inexplorado 46-47
Unidad
3
•
Fraccionando la música ............................................................................................. 12-15
•
Problemas con medidas relacionados con la música ............................ 16-19
•
Teoría musical y fracciones ....................................................................................... 20-23
•
Usos de fracciones y decimales en diferentes contextos ......................
•
Aproximaciones con decimales para una precisión musical ............... 28-31
•
¿Y tú qué celebras? ....................................................................................................... 32-35
•
Instrumentos nacionales ........................................................................................... 36-39
•
Problemas estadísticos en otros contextos ................................................... 40-43
•
Construyendo un proyecto ...............................................................................
48-51
•
Problemas relacionados con construcciones ........................................
52-55
Problemas de comparación de magnitudes relacionadas con construcciones ...........................................................................................................
56-59
•
Variedad de situaciones que se resuelven con regla de tres simple ..
60-63
•
Aprovechando el tiempo libre ...........................................................................
64-67
•
Muros perfectos ..........................................................................................................
68-71
•
Desafío inca ................................................................................................................
72-75
•
Descubriendo el pasado .......................................................................................
76-79
•
Diplomacia matemática ...................................................................................
84-87
•
Aplicación de la función lineal en variadas situaciones .................
88-91
•
Modelación matemática ...................................................................................
92-95
•
Aplicación de proporción en variadas situaciones ...........................
96-99
•
Riqueza espiritual ..................................................................................................
100-103
•
Soluciones geométricas ....................................................................................
104-107
Aplicación de las unidades de referencia y convenciones en variadas situaciones ......................................................................................
108-111
•
Partículas geométricas ........................................................................................
112-115
•
Organización geométrica ..................................................................................
116-119
•
El Parque de la Felicidad ........................................................................................ 124-127
•
Parque Hispanoamérica ......................................................................................... 128-131
•
•
Riquezas minerales 82-83
Unidad
4
Lima, ciudad de parques 122-123
Unidad
5
Promoviendo el turismo 158-159
v
Evaluación
•
Teoría de números en diversos contextos ....................................... ..........
La misma medida para un mismo sonido ............ 44-45
24-27
•
•
•
Construcción de estructuras ..... 80 - 81
Extracción y exportación .............120-121
¡Entretenimiento y diversión! ................. 156-157
132-135
•
Parque de la Reserva ................................................................................................ 136-139
•
Parque de la Amistad ............................................................................................... 140-143
•
El Parque de la Muralla ..........................................................................................
144-147
•
El Campo de Marte ..................................................................................................
148-151
•
Aplicación de ecuaciones en variadas situaciones ..............................
152-155
•
Diversas temperaturas en un solo país ........................................................... 160-163
•
Jugándose el destino .............................................................................................. 164-167
•
Administrando las vacaciones ........................................................................... 168-171
•
Turismo analítico ......................................................................................................
172-175
•
Diseñamos un mapa conociendo nuestro pasado .............................
176-179
•
Pachatata: destino imperdible ........................................................................... 180-183
•
Creaciones coloridas ................................................................................................ 184-187
•
Construyendo islas .................................................................................................... 188-191 8
•
•
El turismo en el Perú en grandes proporciones 192-193
Apertura
Unidad
6
El Perú y su gente 194-195
Unidad
7
Perú, jardín de las flores voladoras 234-235
Unidad
8
Microrriqueza del Perú 274-275
Unidad
9
Generaciones de once guerreros 310-311
Contenido
Evaluación
•
El tiempo de descanso .......................................................................................
196-199
•
Aplicaciones de desigualdades en variadas situaciones ...............
200-203
•
Aplicaciones de inecuaciones en variadas situaciones ..................
204-207
•
Aplicaciones de inecuaciones en variadas situaciones ................
208-211
•
Logotipos .....................................................................................................................
212-215
•
El dibujo y la elaboración de logotipos ....................................................
216-219
•
La industria textil ...................................................................................................
220-223
•
La chacana ................................................................................................................
224-227
•
Generalización matemática .............................................................................
228-231
•
Tambopata, reserva nacional ..........................................................................
236-239
•
Mariposario Pilpintuwasi ....................................................................................
240-243
•
Exportación de mariposas azules ................................................................
244-247
•
El santuario histórico de Machu Picchu ....................................................
248-251
•
La Amazonía ..............................................................................................................
252-255
•
Aplicación del espacio muestral en variadas situaciones .............
256-259
•
Iquitos, sin carreteras e inundado de mariposas ................................
260-263
•
Aplicación de la probabilidad en variadas situaciones .................
264-267
Aplicación de situaciones aleatorias de eventos compuestos en variadas situaciones ........................................................................................
268-271
•
•
Control de la población..........................................................................................
•
Control de plagas ...................................................................................................... 280-283
•
Juego de insectos ..................................................................................................... 284-287
•
Velocidad mental ...................................................................................................... 288-291
•
El escarabajo titán ...................................................................................................... 292-295
•
Riquezas ambientales ............................................................................................. 296-299
•
Mariposas geométricas .......................................................................................
300-303
•
Insectos colonizadores ..........................................................................................
304-307
•
La Copa América ....................................................................................................
312-315
Aplicación de descuentos y aumentos de porcentajes en variadas situaciones ..............................................................................................
316-319
•
Aplicación de variación porcentual en variadas situaciones ......
320-323
•
Valores agregados ................................................................................................
324-327
•
La escuela de la vida ............................................................................................
328-331
•
Apoyo comercial ....................................................................................................
332-335
•
Información precisa ..............................................................................................
336-339
•
Situaciones con gráficos estadísticos en el fútbol .............................
340-343
•
Fútbol para todos ...................................................................................................
344-347
•
Bibliografía
Sección desglosable
•
•
•
Producción de hilos e hilados de algodón en el Perú ...............................232-233
De visita a un mariposario ...............272-273
Otro tipo de exportación ........................................ 308-309
La pasión del fútbol en la escuela .........................348-349
350-351
9
276-279
•
1-16
Unidad
1
La zampoña, un instrumento musical La zampoña es uno de los instrumentos musicales característicos de la región andina. Este instrumento de viento hecho de caña de carrizo produce notas melodiosas debido a su estructura de tubos de diferentes diámetros y tamaños ubicados en dos hileras, una llamada “arka” y otra llamada “ira”; dichas hileras se atan con lindos tejidos creando una disposición armoniosa y singular. Aunque por lo general el material empleado para construir zampoñas es caña de carrizo, para experimentar en la construcción, podemos utilizar otros materiales, como un tubo PVC de 16 mm de diámetro y 3 m de largo, el cual se debe cortar en 17 tubos. La longitud de los tubos define las notas musicales de acuerdo con las siguientes dimensiones.
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
do
re
mi
fa
sol
la
si
do’
re’
mi’
33 cm
30 cm
28 cm
26 cm
23 cm
21 cm
19 cm
17 cm
15 cm
14 cm
13 cm
12 cm
11 cm
10 cm
10 cm
9 cm
9 cm
Las personas dedicadas a elaborar zampoñas deben aprovechar al máximo la materia prima. Con un metro de carrizo, ¿cómo podrían aprovechar el material para construir una zampoña? Si para los tubos más largos se invierte un 50 % del metro de carrizo y el 5 % en la decoración, ¿cuáles son las medidas para las otras cañas? Asimismo, desde el 2006, todos los 15 de junio se conmemora el Día de la Canción Andina. Las canciones andinas se caracterizan por poseer en sus letras y sonidos diversidad, riqueza y variedades musicales de nuestro país, así como por mostrar preferencias por instrumentos musicales andinos. ¿Cuáles son las preferencias, el tiempo y la participación con el uso de instrumentos y actividades festivas de características andinas en un grupo de estudiantes de tu institución educativa?
10
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones
Comunica y representa ideas matemáticas
•
Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema.
•
Representa en la recta numérica el orden de fracciones y decimales.
•
Expresa las características de las fracciones equivalentes, propias e impropias.
•
•
Elabora y usa estrategias
•
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
Matematiza situaciones
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
Comunica y representa ideas matemáticas Elabora y usa estrategias Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Usa modelos aditivos con decimales al plantear y resolver problemas aditivos de comparación e igualación.
•
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Reconoce relaciones en problemas aditivos de comparación e igualación con decimales y fracciones, y los expresa en un modelo.
•
•
•
•
•
Expresa las medidas de peso y temperatura, entre otros, con expresiones decimales haciendo uso de la estimación. Emplea estrategias heurísticas y procedimientos al operar o simplificar fracciones y decimales. Emplea procedimientos de simplificación de fracciones. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas que combinen cuatro operaciones con decimales y fracciones. Emplea procedimientos de estimación con decimales al resolver problemas. Justifica que al multiplicar el numerador y denominador de una fracción por un número siempre se obtiene una fracción equivalente. a
Justifica a través de ejemplos que a ÷ b = = b y b números naturales, con n ≠ 0).
a × 1 b
;
a b
=
n ×a n × b
(siendo a
Justifica procedimientos de aproximación en números decimales por exceso, defecto o redondeo. Comprueba si el modelo usado o desarrollado permite resolver el problema. Expresa información y el propósito de cada una de las medidas de tendencia central para datos no agrupados aportando a las expresiones de los demás. Selecciona la medida de tendencia central apropiada para representar un conjunto de datos al resolver problemas. Identifica diferencias y errores en una argumentación. Argumenta procedimientos para hallar la media, mediana y moda de datos no agrupados, la medida más representativa de un conjunto de datos y su importancia en la toma de decisiones.
11
Cantidad
Ficha
1
Fraccionando la música Para construir una zampoña pequeña se puede emplear una sola caña de carrizo de 1 m de longitud. Para ello, se realizan cortes por sus nudos, obteniendo los tamaños adecuados de cada tubo, de tal manera que se mantiene la proporción adecuada y necesaria para producir los sonidos. Cuando se efectúan estos cortes, los dos tubos más largos miden 0,25 m. De la caña restante se usa
10 100
m en decoración, el resto se corta y se defi-
nen los tubos más pequeños.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Hay alguna persona en tu familia que toque la zampoña? ¿Consideras que al ser un instrumento autóctono todos deberían saber utilizarlo? ¿Qué propondrías en tu colegio para dar a conocer la zampoña?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. a.
De un tubo de 1 m de caña de carrizo, ¿cuánto se utiliza para los tubos más largos y cuánto para la decoración de la zampoña?
b.
Si se adquieren tubos de carrizo de
25
m, ¿qué medida deben tener
100
los tubos más largos para aprovechar al máximo el material?
c.
Para los tubos que definen la nota Re se usan ¿cuántos metros se utilizan?
12
10 100
partes de la caña,
Resolvamos: Laboratorio de matemática
1. Trabajo con material manipulable a. Representa cada centímetro como 0,01 m, es decir, 10 cm equivalen a 0,1 m en la tabla 1.1. 100 cm
cm
50 cm
25 cm
20 cm
10 cm
5 cm
1 cm
0,1 m
metro
0,01 m Tabla 1.1
b. Reúnete con 4 compañeros y usen un trozo de lana de 1 m de largo por grupo. Cada uno debe seleccionar una de las siguientes partes de la lana, las cuales representan las medidas de los tubos de una zampoña. •
0,5 m de la lana.
•
0,15 m de lana.
•
0,1 m de lana.
•
0,05 m de lana.
•
0,2 m de la lana.
Con una cinta métrica deben medir la parte que seleccionaron y cortarla.
2. Incorporo lenguaje matemático a mis acciones a. Completa las siguientes expresiones. •
0,5 m equivalen a la fracción decimal ______.
•
0,1 m equivalen a la fracción decimal ______.
•
0,15 m equivalen a la fracción decimal ______.
•
0,05 m equivalen a la fracción decimal ______.
•
0,2 m equivalen a la fracción decimal ______.
b. Usa la tabla para representar las fracciones como números decimales. Fracción decimal
25
10
75
20
100
100
100
100
Expresión decimal
Tabla 1.2
c. Expresa en la recta numérica las medidas de los tubos de la zampoña; puedes utilizar cuadritos. 0m
1m
d. Completa cada afirmación de manera correcta, según la lectura de la página 10. •
La cantidad de caña utilizada en los dos tubos más largos y en la decoración de la zampoña, expresada en fracción decimal, es ______.
•
La cantidad de caña que se utiliza para los demás tubos mide ______ m.
•
Las notas Do y Re miden ______ m.
e. Responde cada pregunta representando los valores en una recta numérica. 50
•
¿Cuánto es
•
¿Cuánto es
•
¿A cuánto equivale la suma entre
•
¿Cuánto es
100 16 100
25 100
m más 0,1 m de la caña? ________________________________________________ m más 0,02 m de la caña? _______________________________________________ 10 100
m y 0,3 m de la caña?_________________________________
m más 0,25 m de la caña, expresado en fracción? ____________________________
13
3. Expreso mis ideas a.
Formen equipos de tres estudiantes y planteen... •
la estrategia para sumar un decimal con una fracción decimal. _______________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
•
los posibles inconvenientes para sumar una fracción decimal con un decimal y la estrategia para su solución. _________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
•
la estrategia que se usaría si la respuesta se expresara como fracción decimal. _________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
b.
Realicen una presentación en la cual se dé una relación entre la cuadrícula y la lana como fracciones decimales y sus expresiones decimales correspondientes. _________________________________________ ____________________________________________________________________________________
c.
Las siguientes cuadrículas representan la medida en metros de cada tubo, según la nota, en una zampoña pequeña.
Nota “Mi”del ark a
Nota “Re” del arka
Nota “Sol” del arka
Figura 1.1
Comenta con tus compañeros cuáles serían estas medidas representadas como una fracción decimal y después como un número decimal. ______________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
14
4. Formulo expresiones simbólicas Dibuja varias rectas numéricas. Luego úsalas para representar y ordenar las medidas de los tubos de la zampoña.
Finalicemos Reflexiona Autoevaluación
¿Qué dificultades se presentaron al ubicar las fracciones decimales y los números decimales en la recta numérica?
Ubico expresiones en la recta numérica y las comparo.
Resuelve situaciones significativas
2.
Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones: 2
1 1 6 10 3 1 , 1 , 2 , , , , . 5 3 2 3 3 5 2
Soluciono situaciones reales, las cuales involucran números decimales y fracciones decimales.
Escribe la fracción que está representada por cada letra en la semirrecta de la figura 1.2.
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
a
b
0
1
c 2
d 3
Coevaluación 4
Argumenté mis ideas adecuadamente frente al grupo.
Figura 1.2 3.
Se tomaron decisiones en grupo de forma asertiva.
Ubica el 0 y el 1 en las semirrectas de la figura 1.3.
a. 1
1
6
3
é r g o l o L
Represento los números decimales como fracciones decimales.
___________________________________________
1.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a o o g D f o s L l e
Metacognición
1
¿En qué situaciones cotidianas se utilizan las fracciones decimales? __________________________
5
________________________________________
b.
Figura 1.3 15
Cantidad
Ficha
2
Problemas con medidas relacionados con la música
Taller de matemática
1. Fabricando zampoñas (Problemas de traducción simple) Una empresa fabrica zampoñas usando tubos de un metro para la elaboración de cada instrumento. Andrés es el encargado de realizar las entregas y las anotaciones correspondientes del material que se usa en cada pedido; para ello, construyó una tabla en la cual registra solo la fracción de material solicitado. En la tabla 2.1 se relaciona el material requerido en un día de trabajo. Para cumplir con la entrega, Andrés se ocupa de efectuar los cortes necesarios que se solicitan y despachar exactamente el material ordenado.
Hora del pedido
10:00 a. m. 10:45 a. m. 11:20 a. m. 11:45 a. m. 12:00 m.
Cantidad solicitada 2 3 1 8 3 2 7 3 3 4
m m m m m Tabla 2.1
a. ¿En cuál de las cinco entregas necesitó más de un
tubo de caña? _______________________________________________________________________ b. ¿Cómo es posible que solo con la información de la cantidad solicitada se identifique si se va a usar más de
un tubo sin necesidad de realizar el corte? __________________________________________________ ____________________________________________________________________________ c. En la tabla 2.2, ubica en las horas pares los pedidos que indiquen el uso máximo de un tubo, y en las horas impares los pedidos que representen la utilización de más de un tubo. Supón valores. Hora del pedido
Cantidad solicitada
06:00 a. m. 07:00 a. m. 08:00 a. m. 09:00 a. m. 10:00 a. m. 11:00 a. m. Tabla 2.2
d. Recordando las expresiones numerador y denominador, genera una definición para fracción propia y otra para fracción impropia. Revisa con tu profesor el uso correcto del lenguaje en estas definiciones. •
Fracción propia: __________________________________________________________________
•
Fracción impropia: _________________________________________________________________
16
2. Empacando zampoñas (Problema de traducción compleja) Viviana está haciendo un trabajo manual que consiste en elaborar una caja sin tapa para guardar una zampoña. Para esto necesita cortar 5 trozos de madera: uno para el fondo y 4 para los lados. Dichos trozos los quiere cor2 tar de una tabla de madera que mide 50 cm de largo, 0,5 cm de grosor y tiene de ancho del largo. 5 Las medidas de los tubos de la zampoña que debe empacar se relacionan en la tabla 2.3. Fila
Nota
Medida
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
Mi Sol Si Re fa La re fa la do mi Sol si
29 cm 21,8 cm 17,5 cm 33 cm 23 cm 19,2 cm 14,7 cm 11,7 cm 9,8 cm 16,5 cm 13,3 cm 10,8 cm 9,3 cm Tabla 2.3
Viviana quiere que el interior de la caja sea
3 11
cm más largo que el largo de la zampoña, de modo que sea fácil
sacarlo. En su diseño, se trazó la siguiente vista superior de la caja.
¿Qué longitud debe tener cada uno de los pedazos de madera que debe cortar Viviana? Comprendo el problema a.
¿Cuál es la información que consideras más importante?_______________________________________
b.
Completa la tabla 2.4 (para determinar la medida del ancho de la zampoña, necesitas ir a la página 10). Largo: ______________________
Medida de la zampoña Medidas de la base
Ancho: _____________________
Largo del trozo de madera Ancho del trozo de madera Tabla 2.4 17
Diseño una estrategia c.
Aplico la estrategia
Escribe los valores (largo y ancho del fondo de la caja) en el gráfico.
d.
Largo del fondo: ______________________ Largo de los extremos: _________________ Lados de la caja: ______________________
Transfiero lo aprendido e.
¿Cómo se afecta la caja si el largo de la tabla es de 30 cm y su ancho es un tercio de la medida del largo? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
3. Cortando tubos (Situaciones problemáticas realistas) 5 personas disponen de 3 tubos del mismo tamaño cada una, los cuales se deben cortar en trozos de una misma medida. Cada una de ellas tiene asignada una medida específica diferente a la de las demás. Al finalizar el día ingresan en una hoja de registro el tamaño de cada pieza y el total de tubos cortados y decorados. Esta información se presenta en la tabla 2.5. Artesano
Medida asignada (m) 1
Adrián
9
3 1
Samuel
10
4
1
Angélica
5
2
1
Rodrigo
14
6 1
Laura
Número de tubos terminados
No informó
8
Tabla 2.5
a. Como cada uno dispone de tres tubos de mismo tamaño, ¿es correcto afirmar que Adrián al cortar su ma-
terial obtiene 9 trozos cada uno de
1 3
m, es decir,
9 3
? Justifica tu respuesta. _______________________
____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
18
b. ¿Cuáles son las expresiones matemáticas que representan los trozos de las otras 4 personas?
____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ c.
Laura no alcanzó a realizar el informe, pero el material que le sobró es la misma cantidad de material que le sobró a Samuel. Con la información, ¿puede identificarse la cantidad de tubos terminados por Laura? Si es posible, ¿cuántos tubos cortó y decoró? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona 1.
2.
Autoevaluación
¿En qué situaciones has reconocido las fracciones equivalentes? ________________________________________
Identifico fracciones equivalentes.
________________________________________
Realizo operaciones que permitan identificar fracciones y decimales para resolver problemas.
¿Consideras útiles las fracciones equivalentes? ________________________________________ ________________________________________
3.
¿Cuál es la importancia de trabajar con fracciones equivalentes? Explica tu respuesta.
________________________________________
Resuelve situaciones significativas Construye una tabla de equivalencia para las fracciones que consideras son utilizadas con mayor frecuencia en situaciones cotidianas.
2.
Consulta una receta de cocina y reemplaza las fracciones que relacionan la cantidad de ingredientes por fracciones equivalentes.
3.
é r g o l o L
Soluciono situaciones reales, las cuales involucran fracciones equivalentes. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
________________________________________
1.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Coevaluación Presenté mis ideas adecuadamente frente al equipo. Se tomaron decisiones en equipo de forma asertiva.
Metacognición ¿Qué dificultades se te presentaron en el estudio de las temáticas? _____________________________
Plantea una situación problema en la que se utilicen fracciones equivalentes.
________________________________________
19
Cantidad
Ficha
3
Teoría musical y fracciones La antara es un instrumento de viento parecido a la zampoña; está constituida por siete tubos en una sola hilera, los cuales pueden variar en longitud, manteniendo una proporción de crecimiento respecto a la flauta anterior. Los cortes que deben realizarse para cada uno de los tubos generalmente se ejecutan para varias antaras al mismo tiempo, es decir, se toma una sola vara y de ella se obtienen solo los tubos correspondientes a una nota; de otra vara se producen los tubos de la siguiente nota, y así sucesivamente.
Cuenta tu experiencia •
•
•
En tu colegio ¿qué instrumentos de viento aprenden a tocar? ¿Consideras importante aprender a tocar instrumentos de viento de la región andina? ¿Cómo motivarías a tus compañeros a usar instrumentos andinos?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. a.
¿Qué son fracciones homogéneas?
b.
¿Por qué las fracciones que representan las medidas de los tubos de cada nota no son homogéneas?
c.
¿Cómo presentarías a tus compañeros fracciones homogéneas usando los tubos de las notas?
20
Resolvamos: Laboratorio de matemática
1. Tra Trabajo bajo con material manipulable manipulable a.
Dibuja en un cartón y recorta los tubos de las notas del material desglosable de la zampoña; vas a utilizarlos como moldes para construir representaciones de tubos cuyas medidas se denotan como fracciones. Usando el molde de la nota Do dibuja tres tubos en fila realizando el conteo en el numerador a medida que vas colocando cada uno.
Re
Fa
La
Do
Mi
S ol
Si
1 1 1 1 1
8
7
6
5
4
1 3
1
Figura 3.1
2
b.
Realiza el mismo procedimiento con el molde de la nota Si, colocándola tres veces en fila como se hizo con la nota Do.
2. Incor Incorporo poro lengua lenguaje je matem tico a mis acci acciones ones a.
Dibuja la unión de la nota Si y la nota Do; luego expresa la fracción que resulta de dicha unión .
b.
Compara los dos dibujos, de la unión de la nota Do y la unión de la nota Si, y escribe por qué se puede afirmar que ambas expresiones son heterogéneas. •
Representa la unión de dos tubos de la nota Mi y compárala con el tubo de la nota Fa. ¿Por qué es correcto asegurar que estas dos representaciones son homogéneas si las construcciones no son de igual medida? _________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________
21
c.
Repite el paso del literal a en el paso 1. Agrega más notas hasta que completes una unidad, es decir, 5 como se muestra la figura 3.2. 5 1
1
1
1
1
5
5
5
5
5
1 5 2 5 3 5 4 5 5 5
Figura 3.2
3 ?_______________________ 5 ____________________________________________________________________________________ ¿Por qué se considera que esta expresión fraccionaria es homogénea a
________________________________________________________ ___________________________ _________________________________________________________ ____________________________ d.
Une tubos de la nota Si para completar dos unidades y parte de una tercera; escribe la fracción correspondiente y después nombra tres fracciones homogéneas homogéneas a esta.
3. Expreso mis ideas a.
Escribe de manera individual una explicación en la cual se presenten los aspectos que deben tenerse en cuenta para determinar si dos fracciones son homogéneas. ________________________________________________________ ___________________________ _________________________________________________________ ____________________________
b.
Reúnete con dos dos compañeros de tu clase. Cada Cada uno debe realizar realizar la lectura en voz alta de lo lo escrito. Con respecto a lo que presentaron tus compañeros, ¿cuáles aspectos no tuviste en cuenta? ________________________________________________________ ___________________________ _________________________________________________________ ____________________________
c.
Escribe una explicación completa completa a partir partir de los aspectos que se identificaron identificaron en el equipo. equipo. ________________________________________________________ ___________________________ _________________________________________________________ ____________________________
d.
¿Es válido afirmar que las fracciones heterogéneas son la negación de los aspectos identificados anteriormente? ¿Por qué? ________________________________________________________ ___________________________ _________________________________________________________ ____________________________
e.
Las últimas construcciones requirieron más de una unidad para poder representar la fracción. Crea con tus compañeros un párrafo en el que expliquen por qué a estas expresiones se las llama números mixtos. Después preséntalas a la clase. ________________________________________________________ ___________________________ _________________________________________________________ ____________________________
22
.
Formu o ex expresi sio ones si sim
icas
En cada caso, representa mediante un gráfico una fracción que cumpla con las condiciones dadas: a.
Una fracción homogénea a sea mixta.
c.
Una fracción heterogénea a mixta.
3 5
que no
5 6
b. Una fracción heterogénea a sea mixta.
que sea
d. Una fracción homogénea a mixta.
1 4
2 3
que no
que sea
Finalicemos
Reflexiona 1.
Autoevaluación
¿Qué diferencia a una fracción homogénea de una fracción heterogénea? ________________________________________ ________________________________________
2.
Dado un par de fracciones cualquiera, ¿cómo identificas que son homogéneas o heterogéneas? ________________________________________
4.
é r g o l o L
Determino fracciones homogéneas y heterogéneas. Diferencio fracciones heterogéneas de fracciones homogéneas.
¿Existen fracciones equivalentes que sean a su vez fracciones homogéneas? ________________________________________
3.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Si comparas una fracción propia con una fracción impropia, ¿cuál es mayor? ________________________________________ ________________________________________
Asocio fracciones homogéneas y heterogéneas a situaciones reales. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación Trabajé de manera colaborativa en las actividades propuestas. Se realizaron aportes significativos para el desarrollo de la actividad.
________________________________________
Metacognición
Resuelve situaciones significativas 1.
Identifica situaciones situaciones cotidianas cotidianas en las las que sea útil el uso de fracciones homogéneas.
¿Al representar fracciones homogéneas y heterogéneas puedes asociarlas a situaciones reales?
2.
Establece un método para determinar qué fracción es mayor utilizando la recta numérica.
________________________________________
23
Cantidad
Ficha
Usos de fracciones y decimales en diversos contextos
4
Taller de matemática
1. A. Tiempo de reacción (Problemas de traducción simple) Si el tiempo de reacción registrado para un corredor es inferior a 0,110 segundos, entonces se considera que se ha producido una salida falsa porque el corredor tiene que haber salido antes de oír la señal. Calle Ca lle
Tiem Ti empo po de re reac acci ción ón (s (seg egun undo dos) s) Ti Tiemp empo o final final (s (seg egun undo dos) s)
1 2 3 4 5 6 7 8
0,147 0,136 0,197 0,180 0,210 0,216 0,174 0,193
10,09 9,99 9,87 No acabó la carrera 10,17 10,04 10,08 10,13 Tabla 4.1 4.1
a. Identifica a los corredores que ganaron las medallas de oro, plata y bronce en esta carrera. Completa la tabla con su número de calle, su tiempo de reacción y su tiempo final. Medalla
Calle
Tiempo de reacción (s)
Tiempo final (s)
Oro Plata Bronce Tabla 4.2 4.2
b. Hasta la fecha, nadie ha sido capaz de reaccionar al disparo de salida en menos de 0,110 segundos.
Si el tiempo de reacción registrado para un corredor es inferior a 0,110 segundos, entonces se considera que se ha producido una salida falsa porque el corredor tiene que haber salido antes de oír la señal. Si el tiempo de reacción del corredor que ha ganado la medalla de bronce hubiera sido menor, ¿podría haber ganado la medalla de plata? Justifica tu respuesta. ___________________________________ _________________________________________ Problema liberado de Evaluación PISA 2013 N 59 Este tipo de problemas te permiten determinar cuánto sabes sobre comprensión de números decimales. 24
B. Artículos de exportación El estricto orden en el pesaje de los artículos de exportación de una empresa permite determinar con exactitud la cantidad de elementos que se están enviando en un cargamento. Con esa finalidad se generan tablas en las cuales se indica el peso total de un cargamento, especificando el peso de cada artículo para después calcular el total de estos elementos. En ocasiones las empresas tienen varios puntos de elaboración de estos instrumentos; por tanto, a medida que se van recolectando los productos, cada sede debe agregar en la tabla los correspondientes cargamentos realizados. Una de esas situaciones se presenta en el cargamento de cajas que se muestra a continuación. Sede
Peso de la carga
Sede Chorrillos Sede Barranco Sede San Bartolo Sede Surquillo
51,3 kg 39,21 kg 34,5 kg 42,09 kg Tabla 4.3 4.3
En las sedes se determina que el peso de una caja es de 0,3 kg, informando de este valor a la empresa que va a recibir el pedido. a. ¿Cuánto pesa pesa el total del pedido después de pasar por las las cuatro sedes? sedes?
b. Según la indicación de peso unitario, ¿en cuáles sedes se presentan inconsistencias debido al peso que se registró? Realiza tus operaciones y justifica tu respuesta.
c. En una quinta sede en la cual se cargaron 132 cajas, ¿cuántos kilogramos de carga deben anotarse en la tabla y cuál sería el peso total?
d. Si el pedido total debe pesar 237 kg, ¿cuánto ¿cuánto cargamento cargamento debe aportar aportar la última sede?
25
2. Exportando zampoñas (Problemas de traducción compleja) Para la exportación de zampoñas una microempresa primero arma paquetes de una docena en cada una de ellas, generando por cada paquete un peso de
5 4
kg. Diez de estos paquetes se guardan en una caja sellada
pasando por los controles de garantía necesarios antes de su transporte hacia los puertos del sur. Regularmente por cada cargamento la empresa envía 50 de estas cajas a diferentes destinos en Latinoamérica, y el tipo de embalaje asegura que los instrumentos no se afectarán por los cambios climáticos de la costa pacífica. a.
¿Cuál es el peso individual de una una zampoña? Realiza Realiza tus operaciones operaciones en el espacio propuesto.
b.
¿Cuál es es el peso total del envío? Realiza Realiza tu operaciones.
c.
Debido a los los costos por el peso en el transporte transporte de la mercancía, en ocasiones ocasiones las empresas empresas deciden modificar los empaques de los envíos, disminuyendo el peso que genera el material de las cajas. En este caso, en lugar de enviar diez docenas por caja, la microempresa decide enviar 15 docenas y media en cajas más grandes. ¿Cuál es el peso de cada caja? Realiza tus operaciones.
3. Música andina (Situaciones problemáticas realistas) La música con flautas peruanas es una de las representaciones de la música andina más notables de la región. Las siringas, las antaras y las sicu son admiradas y buscadas en diferentes partes del mundo no solo por su función instrumental, sino también por su connotación folclórica, y son reconocidas como artículos decorativos y representativos. Como muestra representativa de nuestra región se envía a diferentes partes del mundo un cargamento compuesto por Si 600 siringas pesan a.
1 6
3 4
toneladas de siringas,
2 3
toneladas de antaras y
5 6
toneladas de flautas sicu.
de tonelada, 1500 antaras pesan 1 tonelada, y 2400 flautas sicu pesan
¿Cuánto pesa el envío? Realiza tu operaciones en el espacio propuesto.
26
1 4
de tonelada:
b.
¿Cuántos instrumentos se enviaron en el pedido? Realiza tus operaciones en el espacio propuesto.
c.
Si el costo por tonelada es de US$ 1050,2, ¿cuál es el costo total del envío?
Finalicemos
Reflexiona 1.
Autoevaluación
¿Qué dificultades se te presentaron al desarrollar los problemas propuestos? ________________________________________
2.
________________________________________
Resuelvo operaciones con números decimales.
¿En qué situaciones de tu vida diaria utilizas números decimales?
Resuelvo operaciones que involucran fracciones.
________________________________________
Soluciono situaciones reales, las cuales involucran operaciones entre fracciones y decimales.
________________________________________ 3.
Describe cómo imaginas que sería el mundo sin números decimales. ________________________________________ ________________________________________
Realiza una encuesta entre diez compañeros del salón de clases, pregunta por el peso en kilogramos y la estatura en metros; elabora una tabla con los datos.
2.
Organiza la información recolectada y construye un gráfico para representarla, uno para el peso y otro para la estatura. ¿Cuál es el dato que más se repite?
3.
é r g o l o L
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación Propuse estrategias para el desarrollo de las actividades propuestas.
Resuelve situaciones significativas 1.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Las decisiones tomadas en grupo fueron producto del consenso entre todos.
Metacognición ¿Importa el orden en el que las trabaje al operar dos cantidades?
Aproxima cada uno de los datos al número entero más cercano. ¿Cuál dato es el que más se repite?
________________________________________
27
Cantidad
Ficha
5
Aproximaciones con decimales para una precisión musical La elaboración de los instrumentos de viento requiere de precisión. La longitud de cada tubo, diámetro, abertura, entre otros, hace que la nota cambie de rango de amplitud; por tanto, puede que suene por debajo o encima del tono normal. Esto no es del todo malo; solo significa que cada instrumento tiene su propio sonido, dándole exclusividad. El cambio del material también produce sonidos particulares; por ejemplo, el uso de la caña caracteriza a los instrumentos peruanos por generar sonidos más cálidos y de mayor naturalidad.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Conoces los métodos de mantenimiento para los instrumentos musicales en tu colegio? ¿Qué harías para incentivar el cuidado de los instrumentos musicales?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. a.
¿Realizar aproximaciones de valores decimales implica perder la exactitud del número?
b.
¿La palabra aproximar se puede cambiar por ajustar? ¿Por qué?
c.
¿En cuáles ocasiones no es pertinente realizar una aproximación? ¿Por qué?
Módulos de biblioteca Realiza los ejercicios propuestos en las secciones 4 y 5 del libro El mentor de matemáticas, de Gisper y Navarro y afianza el trabajo con las fracciones y los números decimales.
28
Resolvamos: El juego
1. Exploro las reglas y condiciones del juego a.
Lanza dos dados varias veces y registra el número que marcan.
b.
Antes de lanzar los dos dados, pronostica qué valor dará la suma. ¿Qué número es conveniente decir? ¿Por qué?
2. Comprendo las características del juego a.
Usa el tablero llamado camino musical de la página 2 de la sección desglosable. •
El juego está diseñado para 2 o 4 jugadores.
•
Cada uno usa una ficha de diferente color.
•
Se empieza desde la casilla Do.
•
El objetivo del juego es llegar primero a la casilla Si .
•
La ficha se moverá tantas casillas como indique la suma de dos dados.
•
•
•
•
El desplazamiento tiene una regla especial: siempre a la suma de los dados se le resta 2 unidades; por ejemplo, si se obtiene un 8, el número para considerar es 6. El jugador siempre finalizará en una nota musical. No puede quedar en alguna casilla entre ellas; es decir, solo puede estar en un turno de espera en las casillas Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Si al lanzar los dados la ficha quedara en la zona roja, algún oponente deberá decir “Por defecto” y la ficha se regresará a la nota musical de donde partió; de lo contrario podrá avanzar a la siguiente nota. Si al lanzar los dados alguno quedara en la zona azul, el jugador que los lanzó deberá decir “Por exceso” y avanzará a la siguiente nota musical; lo contrario, se quedará en la nota donde partió.
3. Reconozco relaciones matem ticas en el juego a.
¿Por qué es necesario restar 2 al número que arrojan los dados?
b.
Al cambiar las notas musicales por números enteros del 1 al 7, ¿cómo quedarían enumeradas las casillas del tablero si se usarán números decimales?
29
c.
¿Cuáles son las aproximaciones por defecto y cuáles por exceso?
4. Expreso de forma esquemática Vuelve a jugar con tus compañeros y presenta en una tabla las aproximaciones que se realizaron en el juego. d.
Describe si fueron por defecto o por exceso.
e.
¿Cuál es el número de casillas de un tablero que maneja dos cifras decimales?
5. Describo usando la matemática a.
Presenta un tablero con casillas para dos decimales y determina las zonas en las cuales la aproximación a un decimal se hace por defecto. Determina también las zonas en las que la aproximación se hace por exceso.
b.
Plantea las reglas que permiten realizar una mejor aproximación si al lanzar los dados la casilla indicada es una que representa dos decimales.
c.
Si redondear es aproximar de la mejor manera, ¿cuál sería una estrategia de redondeo?
30
a.
Propón con tus compañeros de equipo tres reglas de aproximación y formalícenlas como reglas del juego.
b.
Socialicen en la clase las reglas que plantearon. Acuérdenlas, escríbanlas y jueguen respetando las normas definidas.
Finalicemos
Reflexiona 1.
Autoevaluación
¿En cuáles situaciones es conveniente realizar aproximaciones numéricas? ________________________________________ ________________________________________
2.
________________________________________ ¿La aproximación de valores permite entender me jor los resultados?
Resuelve situaciones significativas
2.
Diferencio aproximación por exceso de aproximación por defecto.
Redondeo convenientemente expresiones decimales que así lo requieran. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación
________________________________________
1.
é r g o l o L
Realizo aproximaciones por exceso y por defecto.
¿Es pertinente hacer aproximaciones con números enteros? ________________________________________
3.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Participé activamente en las decisiones que se tomaron en grupo. Se tomaron decisiones en grupo de forma asertiva.
Analiza. Paola aproximó un número a la décima más cercana y obtuvo 8,6. Luego, el mismo número inicial lo aproximó a la centésima más cercana y obtuvo 8,64. ¿Entre qué milésimas está el número?
Metacognición
Dibuja un segmento de recta numérica con extremos 3,2 y 3,3 y divídela en 10 partes iguales. Luego colorea la zona donde puede estar ubicado un número de acuerdo con la siguiente pista: el número se aproximó a la centésima más cercana y se obtuvo 3,24 como resultado.
¿Qué dificultades se presentarían si todos los números decimales se aproximaran a números enteros? ________________________________________ ________________________________________ 31
Gestión de datos
Ficha
6
¿Y tú qué celebras? Una de las festividades que reconoce el patrimonio del Perú es el Día de la Canción Criolla. En esta fecha se conmemoran las costumbres indígenas que se pronunciaron en 1944; en ese año, el presidente Manuel Prado Ugarteche estableció el 31 de octubre como el día de celebración y exaltación de las notas musicales creadas en las regiones costeras del Perú. Sin embargo, cada 31 de octubre los peruanos entramos en el dilema: “¿Celebro el Día de la Canción Criolla o Halloween, la fiesta pagana de interés mundial y origen celta?” En una encuesta para conocer la fiesta de preferencia de un grupo de personas se obtuvieron los resultados que se muestran en la tabla. ¿Qué celebras el 31 de octubre? ¿Qué celebras?
Halloween Día de la Canción Criolla Celebro las dos fiestas No celebro nada
Votos
Porcentaje
592 2670 863 590
12,6 56,6 18,3 12,5 Tabla 6.1
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué hace tu colegio para incentivar el interés por la música criolla y la música andina? ¿Qué harías para motivar a tus compañeros a escuchar música criolla y música andina?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. a.
De acuerdo con los resultados de la encuesta, ¿qué celebración tuvo mayor preferencia el 31 de octubre?
b.
¿Qué porcentaje del total representa aproximadamente los que “no celebran nada”?
32
Resolvamos: Investigación escolar 1. Planteo un problema Desde el 2006 se conmemora el Día de la Canción Andina. Todos los 15 de junio se rinde tributo a una de las riquezas culturales más genuinas del país. Este tipo de actos hace que el reconocimiento del Perú trascienda fronteras, generando mayor productividad y crecimiento económico gracias al turismo. ¿Cómo se puede conocer la preferencia, el tiempo y la participación en actividades festivas en los estudiantes de Secundaria de tu colegio? _______________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
2. Llevo a cabo un plan para solucionar el problema a.
Conforma un equipo de cinco personas.
b.
Tema de estudio: aceptación e identificación de aspectos generales de la música andina.
c.
Investigación para realizar: estrategias y campañas de motivación para continuar con la tradición de la música andina en los estudiantes de Secundaria.
d.
El instrumento que permitirá recolectar la información es el siguiente: Ficha de encuesta
Estimado estudiante, esta encuesta permitirá identificar el tiempo dedicado en conocer la música andina; por favor, responde las preguntas con franqueza completando los espacios. Nombre: ____________________________________ Edad: ___________ Grado: _______________ Mujer 1. En la escala
Varón
de uno a diez, califica tu gusto por la música andina.
2. ¿Cuántos días a la se mana escuchas música andina? 3. ¿A cuántas festividades nacionales has asistido? 4. ¿Cuántos artistas de música autóctona del país conoces?
3. Recolecto datos Antes de que procedan a recoger la información, tengan en cuenta: •
Si el grado tiene varias secciones, se aplicará la encuesta solo a una sección.
•
La selección de la sección del grado se realizará por sorteo.
•
El sorteo se realizará colocando en una caja papeles con los nombres de los grados y secciones.
•
•
Se extraerá un papel de la caja; el primero determinará el grado y la sección donde se aplicará la encuesta. Se procederá a realizar la encuesta en el grado seleccionado. 33
4. Analizo los datos
a. Cada equipo realizará el análisis de los datos del grado y sección en la que aplicó la encuesta.
Pregunta 1. En la escala de uno a diez, califica tu gusto por la música andina. Dato
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta acumulada
Frecuencia relativa acumulada (%)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Tabla 6.2
Pregunta 2. ¿Cuántos días a la semana escuchas música andina? Días
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta acumulada
Frecuencia relativa acumulada (%)
1 2 3 4 5 6 7 Total
Tabla 6.3
Pregunta 3. ¿A cuántas festividades nacionales has asistido? Cantidad
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta acumulada
Frecuencia relativa acumulada (%)
0 1 2 3 4 5 o más Total
Tabla 6.4
Pregunta 4. ¿Cuántos artistas de música autóctona del país conoces? Cantidad
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta acumulada
0 1 2 3 4 o más Total
Frecuencia relativa acumulada (%)
Tabla 6.5
b. Cada equipo organizará los datos en un gráfico de barras en Excel.
34
c.
¿La música andina tiene una buena aceptación en los estudiantes de tu colegio? ___________________
d.
¿Cuál será el número que expresa representativamente los días de la semana en que se escucha música? ____________________________________________________________________________________
e.
¿Cuál es el promedio de festividades a la que han asistido tus compañeros de colegio en una semana? ____________________________________________________________________________________
5. Planteo conclusiones a.
Nombren dos características importantes de la encuesta para determinar la media. ________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
b.
Sustenta los procesos que se deben seguir para determinar la media aritmética. ___________________ ____________________________________________________________________________________
c.
¿Qué conclusiones se pueden generar a partir de los datos analizados? ___________________________ ____________________________________________________________________________________
Finalicemos Reflexiona 1.
Autoevaluación
¿Hubiera sido preferible usar una muestra para tu estudio? ¿Por qué? Justifica tu respuesta. ________________________________________ ________________________________________
2.
Defino la media mediante procedimientos aritméticos y el uso de tablas.
Si en otra aula se reconoce que 5 estudiantes escuchaban música andina 2 días, 4 días y 7 días a la semana, ¿cómo afecta ello al estudio inicial?
Asocio resultados a características estadísticas.
________________________________________
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
________________________________________
En el estudio se empleó una tabla de frecuencias y un gráfico de barras. ¿Cuál te permite observar las características del estudio?
2.
Las ventas de vehículos en las tres primeras semanas en un concesionario son 70, 75 y 80. ¿Cuál debe ser el número de vehículos vendidos en la cuarta semana para que el promedio de venta semanal sea de 80?
Coevaluación Se trabajó en equipo en la recolección de la información.
Resuelve situaciones significativas 1.
é r g o l o L
Realizo recolección de datos que me permiten determinar la media.
________________________________________
________________________________________
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Se tomaron decisiones en grupo de forma asertiva.
Metacognición ¿Puede dar como resultado una media aritmética decimal al trabajar datos enteros? _____________
35
Gestión de datos
Ficha
7
Instrumentos nacionales La música peruana se caracteriza por las diversas tonalidades que expresan sentimientos y vivencias de cada región. Para esto se requiere de la unión de un conjunto de diversos instrumentos sobre cuyos orígenes y adaptaciones, se sabe poco. Algunos de estos son el arpa andina, el charango, el cajón peruano, la quena y la zampoña, las cuales no se dejaron de usar a pesar de la importación de otros instrumentos occidentales de viento, percusión y cuerda. Incluso se evidenció un dominio sobre los instrumentos extranjeros adaptándolos de forma acorde con las tradiciones a las que alguna vez intentaron conquistar.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Has indagado sobre el gusto por los instrumentos nacionales en tu colegio? ¿Qué propondrías para que tus compañeros conozcan más acerca de los instrumentos peruanos?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas: a.
¿A qué edad se inicia el gusto por algún ritmo musical?
b.
¿Cuáles instrumentos propios del país conoces e identificas?
c.
¿Cuál consideras que es la edad apropiada para empezar a tocar un instrumento musical?
36
Resolvamos: Investigación escolar 1. Planteo un problema En la actualidad se presenta un interés marcado en retomar los valores musicales típicos del país, por lo que las nuevas generaciones hacen novedosas propuestas musicales fusionando géneros modernos con acordes autóctonos del país, lo que permite involucrar melodías de instrumentos nacionales en las nuevas interpretaciones. a.
¿Qué instrumentos musicales son de mayor interés en la actualidad?
b.
¿Cuál es la edad promedio de los compañeros de tu aula que tocan algún instrumento musical?
c.
Pregunta a 5 compañeros sobre su preferencia de instrumentos musicales; ¿cuál es el que más se repite?
2. Llevo a cabo un plan para solucionar el problema a.
Conforma un equipo con cuatro compañeros más.
b.
Tema de estudio: edad en la que empezó un gusto por un género en particular de música y edad promedio para comenzar a tocar algún instrumento.
c.
Investigación para realizar: estrategias y campañas de motivación para continuar con la tradición de la música andina.
d.
El instrumento que permitirá recolectar la información es la siguiente: Ficha de encuesta
Estimado estudiante, esta encuesta permitirá analizar la iniciación musical y la práctica de algún instrumento. Nombre: ____________________________________ Edad: ___________ Grado: _______________ Mujer
Varón
1. ¿Tocas algún instrumento?
Sí:
2. ¿A qué edad empezaste a tocar el instrumento?
No: _____ años
3. Marca un género musical que conozcas.
Cumbia
4. ¿A qué edad definiste el gusto por un género musical en particular?
Huaino
Salsa
_____ años
3. Recolecto datos a.
Antes de aplicar la encuesta tengan en cuenta: •
•
Identifiquen la población de estudio: estudiantes participantes de grupos musicales o de actividades relacionadas con la música. Abarquen la mayor cantidad de estudiantes, distribuyan el total de encuestas entre los integrantes del equipo. Realicen la encuesta de forma presencial intentando no direccionar las respuestas, es decir, aconsejar o aclarar con ejemplos cada pregunta.
37
4. Analizo los datos
Organicen los datos y completen cada una de las tablas. a. Pregunta 1. ¿Tocas algún instrumento? Frecuencia
Frecuencia
absoluta
relativa
Frecuencia absoluta acumulada
Frecuencia relativa acumulada
Frecuencia relativa acumulada (%)
Sí No Tabla 7.1 b. Pregunta 2. ¿A qué edad empezaste a tocar el instrumento? Edad
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta Frecuencia relativa acumulada acumulada
Frecuencia relativa acumulada (%)
6 o menos 7 8 9 10 11 12 o más Tabla 7.2 c.
Pregunta 3. Analicen lo que sucede con la frecuencia absoluta si una persona marca más de una opción
de respuesta. Valoración
Frecuencia absoluta
Frecuencia Frecuncia absoluta relativa acumulada
Frecuncia relativa acumulada
Frecuencia relativa acumulada (%)
Cumbia Huaino Salsa Tabla 7.3 d. Pregunta 4. ¿A qué edad definiste el gusto por un género musical en particular? Edad
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta acumulada
Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada acumulada (%)
6 o menos 7 8 9 10 11 12 o más Tabla 7.4
38
e. ¿El promedio aritmético es el valor representativo de las preferencias por un género musical? ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________ f.
¿En qué edad se distribuyen los datos en partes iguales? _______________________________________
g. ¿Cuál ha sido la población de la encuesta? __________________________________________________ h. ¿Cuál es la edad más frecuente a la que los estudiantes empiezan a tocar un instrumento musical?________ 5. Planteo conclusiones
a. Comparando los valores de la media, la mediana y la moda, ¿puede indicarse una conclusión definitiva
sobre el interés por aprender algún instrumento musical andino? ¿Por qué? ________________________ b. Para atender los interrogantes se han empleado conceptos de moda, media y mediana. Identifica en qué
situaciones se han empleado ___________________________________________________________ c. Edad representativa en que empiezan a tocar un instrumento. _________________________________
Finalicemos
Reflexiona La tabla muestra nuevos datos de la edad en la que se empezó a tocar un instrumento. Edad 6 o menos 7 8 9 10 11 12 o más
Autoevaluación
Frecuencia 3 2 2 1 7 3 2
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
é r g o l o L
Realizo recolección de datos que me permitan determinar la mediana y la moda. Calculo la media, la mediana y la moda mediante procedimientos diversos. Asocio resultados a características estadísticas. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
¿Cuál es la edad en la que empiezan a tocar un instrumento con más frecuencia?
Coevaluación
Resuelve situaciones significativas 1. Realiza una encuesta a personas ajenas a tu colegio sobre la edad en la cual la música influenció en sus vidas.
Se trabajó en equipo y se distribuyeron las actividades de manera equitativa. Trabajamos de mane ra colaborativa y desarrollamos toda la actividad.
2.
Elabora una tabla de frecuencias estadísticas y diagramas de representación.
3.
Crea un problema utilizando los pasos de la investigación escolar en la resolución del ejercicio en el cual se determine la mediana y la moda de los datos recolectados.
¿Para qué son útiles las medidas de tendencia
Presenta un análisis de los datos.
_______________________________________
4.
Metacognición
central? __________________________________
39
Gestión de datos
Ficha
Problemas estadísticos en otros
8
contextos Taller de matemática
1. Música preferida (Problemas de traducción simple) a.
¿Cuál es la tabla correspondiente al siguiente conteo sobre estilos de música preferidos? •
Romántica: I I I I I I I I I I I I I I I
•
Rock: I I I I I I I I I I I
•
Pop: I I I I I I I I I I I I I I I I I Estilo de música
Frecuencia absoluta
Estilo de música
Frecuencia absoluta
Romántica Rock Pop
15 11 17
Romántica Rock Pop
17 15 11
Tabla 8.1
Tabla 8.2
Estilo de música
Frecuencia absoluta
Estilo de música
Frecuencia absoluta
Romántica Rock Pop
11 15 17
Romántica Rock Pop
15 17 11
Tabla 8.3 b.
Tabla 8.4
Si quieres recopilar información sobre la cantidad de horas a la semana que dedicas a ver televisión, ¿cuál o cuáles serían las preguntas que plantearías? _______________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ___________________
c.
Las temperaturas máximas en Amazonas durante la primera quincena de enero fueron las siguientes: 20 °C, 21 °C, 23 °C, 24 °C, 28 °C, 31 °C, 24 °C, 20 °C, 20 °C, 28 °C, 26 °C, 27 °C, 27 °C, 26 °C, 22 °C. ¿Cuál fue la temperatura promedio en Amazonas durante este tiempo? __________________________________________ ____________________________________________________________________________________
d.
A partir de la información de la tabla 8.5, responde las siguientes preguntas: Estilo de música
Frecuencia absoluta
Romántica Rock Pop
15 17 11 Tabla 8.5
•
¿Cuántas personas participaron en la encuesta? ___________________________________________
•
¿Cuál es el estilo musical de mayor preferencia? ___________________________________________
•
¿Puede calcularse la media aritmética de los datos? Explica.
___________________________________________________________________________________ 40
e. A partir de la información de la tabla 8.6, responde las siguientes preguntas: Tipo de literatua Ciencia ficción Drama Comedia No ficción Clásica Poesía Otra
Cantidad de estudiantes 15 12 27 32 7 2 5 Tabla 8.6
•
¿Cuántas personas fueron encuestadas? _________________________________________________
•
¿Cuántas personas prefieren la literatura clásica? __________________________________________
•
¿Puede determinarse la mediana de los datos? Explica ______________________________________
2. Preferencias cinematográficas (Problemas de traducción compleja) a. ¿Cuál es el total de estudiantes encuestados en la figura 8.1?
____________________________________________________________________________________
Preferencias cinematográficas
s e t n a i d u t s e e d º . N
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Ciencia ficción
Romántica
Aventuras
Históricas
Tipo de película Figura 8.1
b. La figura 8.2 corresponde a la cantidad de cursos desaprobados de 45 estudiantes de primer año. •
Coloca el rótulo faltante en la tercera columna.
•
¿Qué cantidad de cursos desaprobados es la más frecuente? _______________________________
•
Determina la media y la mediana (si la necesitas, construye la tabla de frecuencias).
•
¿Cómo ubicas la moda en el gráfico sin guiarse por la tabla? ________________________________ ________________________________________________________________________________
41
N.º de cursos desaprobados por estudiante de 1. año s e t n a i
d u t s e e d d a d i t n a C
30 25 20 15 10 5 0
25
10
0
1
2
3
2
3
4
Cantidad de cursos Figura 8.2 c.
La madre de Juan recogió un recibo de luz con un importe que le pareció muy alto. Antes de efectuar el reclamo ante la compañía, anotó los consumos (en kWh) de los recibos de los últimos cuatro años, y obtuvo el siguiente registro: 1.er bimestre
2.º bimestre
3.er bimestre
4.º bimestre
5.º bimestre
6.º bimestre
2011
414
457
404
416
478
579
2012
425
426
476
409
387
532
2013
420
407
433
320
490
449
2014
510
387
417
434
412
373
•
•
•
Halla la media y la mediana de los datos... •
de cada año: ________________________________________________________________
•
de los cuatro años: ___________________________________________________________
Construye una tabla de frecuencias con los datos agrupados en intervalos, la media, la mediana y la moda. Compara los resultados obtenidos anteriormente. Si el recibo fue de 600 kWh en consumo, ¿se tomará en cuenta el reclamo? ¿Por qué? ________________________________________________________________________________
3. Planta embotelladora (Situaciones problemáticas realistas) a.
En una planta embotelladora de gaseosas, se midió el contenido de 40 botellas de dos litros y cuarto, y se obtuvieron los siguientes resultados (en cm3). 2250
2245
2185
2144
2150
2230
2205
2232
2225
2253
2249
2258
2240
2265
2222
2155
2125
2251
2249
2279
2195
2230
2248
2258
2295
1301
2195
2243
2259
2257
2251
2251
2249
2247
2265
2140
2257
2260
2265
2251
42
•
Construye con los datos una tabla de frecuencias.
•
Calcula el contenido promedio de las botellas de la muestra. ________________________________
•
¿Puedes calcular, a partir de la tabla realizada, cuántas botellas hay en esta muestra con más contenido que el declarado? De no ser posible, responde a partir de los datos de la muestra. __________ ________________________________________________________________________________
•
•
Construye un histograma para el contenido de las botellas. Si las botellas con menos de 2250 cm3 o más se consideran excedidas de contenido, construye una tabla de frecuencias con tres categorías: para descartar, aceptables y excedidas.
•
¿Cuál de las tres categorías es la más frecuente? __________________________________________
•
Se considera “buena“ una producción cuando son aceptables más del 90 % del total embotellado. ¿Se puede considerar “buena“ a esta producción? __________________________________________ _______________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona 1.
Autoevaluación
¿Qué dificultades se pueden presentar al calcular el rango? ________________________________________ ________________________________________
2.
________________________________________ ¿El rango puede definirse como una medida de tendencia central? Explica. _____________________
________________________________________
2.
3.
Realizo recolección de datos que me permitan determinar el rango.
Asocio resultados a características estadísticas. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación
________________________________________
1.
é r g o l o L
Determino el rango a partir de un con junto de datos.
¿El valor del rango puede ser negativo? ¿Qué interpretación puede hacerse de ese valor? ________________________________________
3.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Se trabajó de manera colaborativa y se tomaron decisiones en equipo. Se desarrolló el trabajo de manera organizada, cumpliendo con el objetivo.
Realiza una encuesta a personas ajenas a tu colegio sobre la edad en la cual la música influenció en sus vidas y establece su rango.
Metacognición
Elabora una tabla de frecuencias estadísticas y diagramas de representación.
¿Para qué sirve calcular el rango en un conjunto de datos?
Crea un problema utilizando los pasos de la investigación escolar en la resolución del ejercicio en el cual se determine el rango de los datos recolectados.
________________________________________
43
Evaluación La misma medida para un mismo sonido Para construir una zampoña un artesano trabaja con secciones de un tubo inicial de un metro de largo. A fin de diferenciar los tubos, marca cada sección con la fracción que representa del tubo original. Otro artesano marca las mismas secciones escribiendo su medida en cada una de ellas. 14 Para la nota Mi de la hilera correspondiente a la arka, el primer artesano la marca como m, mientras que el 100 segundo artesano la marca como 0,14 m. Resuelve las siguientes preguntas a partir de la información del texto anterior:
7. Para mejorar el sonido de cada una de las notas mu-
sicales se realiza un limado para reducir la longitud del tubo o se agrega pasta sintética para alargarlo:
1. ¿Cómo marca el primer artesano los tubos corres-
pondientes a las notas Si, Do y Re del arka de la zampoña si respectivamente para el segundo artesano miden 0,1 m, 0,18 m y 0,3 m? ___________
Estos son: Aproximar por exceso un tubo de 32,27 cm a un decimal.
________________________________________
Aproximar por defecto un tubo de 25,156 cm a dos decimales.
2. ¿Cuáles deben ser las marcas que hace el se-
gundo artesano a los tubos de las notas La y Sol de la ira si el primer artesano los marcó como 11 100
m y
27 100
Aproximar por redondeo un tubo de 22,557 cm a un entero.
m respectivamente? ___________
Aproximar por exceso un tubo de 17,02 cm a un decimal.
________________________________________ 3. Un tercer artesano presenta la medida de la nota Mi
¿Qué medida se obtiene en cada caso?
del arka con una fracción simplificada. ¿Cuál es la fracción? _________________________________
________________________________________ ________________________________________
4. Un cuarto artesano representa la medida de la
nota Mi como fracciones amplificadas; tres de estas fracciones son: ____________________________
________________________________________
5. El tubo de la nota fa de la hilera arka tiene como
________________________________________
1 m; la suma de la medida de siete de esos 4 tubos corresponde a un número mixto. ¿Es correcta la afirmación? _____________________________
________________________________________
________________________________________
marca
________________________________________ Realiza una representación gráfica de la situación. 6. En la decoración de 4 zampoñas distintas se usan
5 3 5 3 tubos de tamaño m, m, m y m. ¿Qué 12 8 6 4 cantidad de tubo se utilizó en la decoración? Calcula el costo de realizar el ensamble de esta deco1 ración si se paga S/. 1,25 por cada de material. 24 ________________________________________
8.
En la producción de las zampoñas, algunas veces se dañan o rechazan algunos tubos por imperfectos o errores en los cortes. A continuación se relacionan los tubos que fueron rechazados o son sobrantes de producción en una semana. 21 cm, 14 cm, 10 cm, 24 cm, 18 cm, 14 cm, 12 cm, 24 cm, 21 cm, 10 cm, 24 cm, 14 cm, 10 cm, 14 cm, 21 cm, 18 cm, 12 cm, 21 cm, 12 cm, 18 cm, 12 cm, 14 cm, 24 cm, 12 cm, 14 cm, 14 cm, 21 cm. Organiza los datos de menor a mayor. _________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
44
Completa la tabla de frecuencias relativas y absolutas con los datos presentados. Medida del tubo dañado
Frecuencia absoluta
Responde con base en la información de la tabla.
Frecuencia acumulada
a.
La mayor frecuencia acumulada corresponde a ____ y permite establecer ________________
b.
El rango es _____________________________
c.
Construye un diagrama de barras.
d.
¿Qué indica la barra más grande? ___________ _____________________________________
Producto 9.
Realiza un organizador visual indicando los temas más importantes de esta unidad, así como las operaciones y conceptos matemáticos que permitieron un mejor desarrollo de las actividades.
Autoevaluación
Indicadores
Debo esforzarme
Lo estoy logrando
Lo logré
Debo esforzarme
Lo estoy logrando
Lo logré
Reconozco relaciones en problemas aditivos de comparación e igualación con decimales y fracciones expresándolos en un modelo. Uso modelos aditivos con decimales para plantear y resolver problemas aditivos de comparación e igualación. Expreso características de las fracciones equivalentes, propias e impropias. Empleo estrategias heurísticas y procedimentales para operar o simplificar fracciones y decimales. Argumento procedimientos para hallar la media, mediana y moda de datos no agrupados, la medida más representativa de un con junto de datos y su importancia en la toma de decisiones. Relaciono el rango de un conjunto de datos como una medida de dispersión de la información analizada. Coevaluación
Indicadores Se realizaron aportes significativos para el desarrollo de las actividades propuestas. Participamos en las actividades propuestas con entusiasmo y responsabilidad.
Metacognición ¿Cómo los conceptos estudiados me permiten realizar actividades de manera rápida? _________________ _______________________________________________________________________________________
45
Unidad
2
Incas, tesoro inexplorado ¿Quién no ha pensado en la técnica que utilizaron nuestros antepasados para realizar construcciones tan maravillosas como las que encontramos aún en centros arqueológicos como lo es Machu Picchu? Los autores de estas construcciones fueron los incas, quienes crearon esas hermosas obras de arte que ensamblan a la perfección mosaicos de ladrillos simétricos conjugados en composiciones perfectas como las que aún sostienen las edificaciones de lo que en algún momento fue la capital del Imperio incaico, el Tahuantinsuyo. Asimismo, podemos reconocer a Sacsayhuaman (o Saqsaywaman) como una de las reliquias arquitectónicas que tenemos de nuestros antepasados. Sus murallas están hechas con enormes piedras, algunas de 5 m de altura y más de 350 toneladas de peso, que, a su vez se sostienen sobre piedras “base”. ¿Cómo se relacionan las “piedras base” respecto de la edificación de las murallas? Si para mover cada una de las piedras, 28 hombres se demoraban 4 días, ¿cuánto se demorarán 14 hombres? ¿Cómo el concepto de constante de proporcionalidad nos ayuda a entender esta y otras situaciones? Imaginemos que deseamos desarrollar un diseño con expresiones artísticas incas o preíncas; ¿qué debemos tomar en cuenta para que estas muestren aspectos estéticos y de armonía en su presentación? Datos tomados de http://www.unc.edu/~hdefays/courses/span330/arte/incas.html
46
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones •
Comunica y representa ideas matemáticas
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
•
Elabora y usa estrategias •
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
Matematiza situaciones •
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Comunica y representa ideas matemáticas
•
•
•
Elabora y usa estrategias
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
47
Reconoce relaciones entre magnitudes en problemas multiplicativos de proporcionalidad y lo expresa en un modelo de solución. Usa modelos referidos a la proporcionalidad directa al resolver problemas. Organiza datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad directa entre magnitudes. Emplea el factor de conversión, el método de reducción a la unidad y la regla de tres simple en problemas relacionados con proporcionalidad directa. Halla el término desconocido de una proporción apoyado en recursos gráficos y otros al resolver problemas. Plantea conjeturas respecto a la propiedad fundamental de las proporciones a partir de ej emplos. Justifica la diferencia entre el concepto de razón y proporcionalidad a partir de ejemplos. Reconoce relaciones en situaciones de regularidad, expresándolas un patrón que combina transformaciones geométricas. Plantea relaciones de posición empleando un patrón de repetición de variadas transformaciones geométricas. Describe patrones usando términos de transformaciones geométricas. Explica el desarrollo de un patrón geométrico. Reconoce expresiones gráficas y simbólicas que expresan transformaciones en patrones geométricos. Realiza transformaciones geométricas para hallar la posición y la expresión geométrica en problemas. Plantea conjeturas respecto a posiciones de un patrón geométrico. Prueba que algunos patrones geométricos se comportan como patrones cíclicos.
Cantidad
Ficha
9
Construyendo un proyecto Como proyecto en una feria de ciencias de un colegio, un grupo de estudiantes quiere exponer y nombrar las características importantes que se deben considerar para construir un muro inca. Ellos identifican la importancia de mantener para cada muro la relación directa con los materiales. Por ejemplo, las medidas de los muros están directamente relacionadas con la cantidad de piedras que posee cada uno, y se debe considerar al área de la superficie de cada muro como una relación directa a la dimensión de cada una de las piedras. Las piedras que usaban en cada base tendían a ser de forma cúbica. Eran llamadas “piedras base” y generalmente mantenían proporción en sus medidas.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Qué proyectos has realizado en tu colegio? ¿Recurres a la historia del Perú para obtener ideas en tus proyectos científicos? ¿Han retomado en tu colegio prácticas antiguas en el desarrollo de actividades científicas?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas: a.
Si en la “piedra base” se duplica la longitud de una de sus aristas, ¿se duplica también el área de una de sus caras?
b.
Si en la “piedra base” se duplica la longitud de una de sus aristas, ¿se duplica también el perímetro de una de sus caras?
c.
¿Crees tú que la medida de los muros de las paredes de una casa están relacionados directamente con la cantidad de ladrillos que posee?
48
Resolvamos: Laboratorio de matemática 1.
Trabajo con material manipulable Conforma un equipo con cuatro compañeros. De los desglosables “Muros” (páginas 9 y 10), midan con una regla y realicen los cálculos pertinentes para determinar las siguientes mediciones de los muros 1, 2 y 3. (Las medidas son en cm). Muro
Número de bloques
Altura de la cara del muro
Base del muro
Área del muro
1 2 3
Bloque de cada muro
Altura de un bloque
Base de un bloque
Área de un bloque
Del muro 1 Del muro 2 Del muro 3 •
.
Nótese que al medir los muros, alguno de los valores no son enteros. Por ejemplo: Muro 1: altura 10,5 cm Muro 2: altura 7,5 cm
Incorporo lenguaje matemático a mis acciones Dos magnitudes están directamente relacionadas si al aumentar una de ellas, la otra también aumenta, o si al disminuir la medida de una de ellas, igualmente disminuye la otra. a.
Comparen las tablas y establezcan cuatro magnitudes que esten directamente relacionadas. 1. __________________________________________________________________________________ 2. __________________________________________________________________________________ 3. __________________________________________________________________________________ 4. __________________________________________________________________________________
b.
Establezcan las siguientes relaciones: •
Entre áreas de los muros respecto del número de bloques. ( 3 posibles) ____________________
•
____________________
____________________
Entre áreas de los bloques respecto del área de cada bloque. ( 3 posibles) ____________________
____________________
____________________
•
Entre la altura de cada muro respecto de la altura del bloque correspondiente. ( 3 posibles)
•
____________________ ____________________ ____________________ Entre áreas de los bloques respecto de la medida de su base. ( 3 posibles) ____________________
____________________
49
____________________
c.
Dos razones son proporcionales si existe equivalencia entre ellas ; de lo contrario, solamente están directamente relacionadas. ¿Cuáles de las posibilidades de las razones encontradas son proporcionales entre sí?
____________________ ____________________ d.
____________________ ____________________
____________________ ____________________
En la figura 9.1 se presenta otro tipo de construcción, al que se llamará muro 4. Dibuja la altura desde la base, es decir, el segmento perpendicular de la base al punto más alto del muro.
Figura 9.1
Ubica un punto medio de esta altura llamado P y traza ayudado con una escuadra el segmento paralelo a la base del triángulo que pasa por este punto. Mide los siguientes segmentos: •
Base
• •
Segmento paralelo Altura
•
Segmento que va desde el punto P hasta el punto final de la altura.
Escribe aquí las medidas encontradas:
A partir de los cuatro valores establece si existe una relación de proporcionalidad. En la sección desglosable encontrarás el muro 4 abierto, verifica sin cerrarlo que esta relación se cumpla (si desean pueden cerrarlo para observar mejor sus características). Todos los cálculos se pueden hacer usando la calculadora. 3.
Expreso mis ideas a.
Expongan al resto de sus compañeros el muro que tiene características de proporcionalidad, justificando los valores que son necesarios. Utilicen una tabla para realizar la presentación. Tengan en cuenta:
b.
–
Justificar que las medidas estén directamente relacionadas.
– –
Identificar las razones que se establecen con las nuevas medidas. Efectuar la comparación entre razones.
–
Verificar que estén relacionadas en proporcionalidad directa.
Presenten una expresión que modele la solución de una magnitud a partir de tres valores dados. Consideren lo siguiente: –
Notación (incógnita y valores dados).
–
Método del uso.
–
Reglas de proporcionalidad.
–
Ejemplos.
50
4.
Formulo expresiones simbólicas Se desea analizar el corte transversal de un nuevo muro, de tal manera que este corte forme un trapezoide cortado por un segmento paralelo a la base, como se hizo en la figura 9.1. Representa gráficamente esta situación y establece la expresión que indique la proporción.
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
Todo cuadrado presenta una relación entre la longitud del lado, su área y su perímetro. ¿Cuáles de estas tres magnitudes son directamente proporcionales? Explica tu respuesta.
El precio total de la compra de un producto y su peso en kilogramos.
b.
La medida del largo y del ancho de un rectángulo que tiene área fija.
c.
Los metros cúbicos de agua consumidos en una vivienda y el precio del recibo del servicio de agua.
d.
e. 2.
Establezco cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales.
Determina si cada pareja de magnitudes dadas son directamente proporcionales. En caso de que no lo sean, discute con tus compañeros o compañeras por qué. a.
é r g o l o L
Diferencio cuándo dos magnitudes están directamente relacionadas y cuándo no.
Resuelve situaciones significativas 1.
e o m y d o r o t a b z s n e r e a r D o o g f o s L l e
Soluciono situaciones reales, las cuales involucran proporcionalidad directa. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación Aporté ideas al equipo para dar solución a la actividad. Las participaciones del equipo permitieron resolver la actividad propuesta.
La estatura de una persona y la sombra que proyecta.
Metacognición ¿Cuándo decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales?
La edad y la estatura de una persona.
Averigua el precio actual de un galón de gasolina corriente y establece el tipo de relación que existe entre el número de galones y el precio.
______________________________________ ______________________________________ ______________________________________
51
Cantidad
Ficha 10
Problemas relacionados con construcciones
Taller de matemática 1.
Estimando material Problemas de traducción simple) Para construir cierto muro se usan bloques, tubos, alambre y cemento, y se marca en el piso de forma lineal la zona en la que se levantará el muro. La instalación eléctrica se realiza después de construir el muro. Para construir el muro se pegó una hilera de 12 bloques y después se añadió una fila encima aumentando la cantidad de cemento necesario para pegarlos, tal como se muestra en la tabla 10.1. Cemento (libras)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Bloques (unidades)
12
24
36
48
60
72
84
96
108
Tabla 10.1
a. Si un muro consta de 276 bloques, ¿cuánto cemento se utilizó? Realiza las operaciones en el espacio propuesto.
b. Si en un muro se usaron 29 libras de cemento, ¿cuántos bloques tiene el muro?
c. Establece la expresión que determine: •
La cantidad de cemento que se usará para determinada cantidad de bloques.
•
La cantidad de bloques que se usará con determinada cantidad de cemento.
d. Explica por qué es correcto afirmar que hay proporcionalidad directa entre las magnitudes.
52
2.
Problemas de tiempo (Problemas de traducción compleja) El estuco es una combinación de yeso y agua. El tiempo que toma en secarse sobre la superficie que se aplique se estima en la tabla. Tiempo (minutos)
1
Área para estucar (m2)
4
4 8
6 20
7 28 Tabla 10.2
Se sabe que si el área para estucar es mayor, se gastará más tiempo y que por cada minuto que pase se puede colocar la misma cantidad de estuco en proporción. Se quiere estucar un muro que tiene 2 m de alto y 15 m de largo por ambos lados. ¿Cuál es el tiempo que se dispone para hacerlo?
Comprendo el problema a.
¿Para qué me sirven las medidas del muro? ¿Con qué magnitud o magnitudes se relacionan estas medidas?
Diseño una estrategia b.
¿Cómo obtengo la superficie del muro que se desea estucar? Describe que pasos te permitirán solucionar esta interrogante.
Aplico la estrategia c.
El tiempo necesario para estucar un muro que tiene 2 m de alto y 15 m de largo por ambos lados es:
Transfiero lo aprendido La viscosidad de una pintura determina el número de capas que deben aplicarse. A continuación, se presenta la cantidad de pintura que se requiere de acuerdo con el tipo de superficie que se desea pintar.
) 8 L (
Y
) 8 L (
s a r 6 u t n i p 4 e d s o r 2 t i L
Y
) 8 L (
s a r 6 u t n i p4 e d s o r 2 t i L
s a r 6 u t n i p4 e d s o r 2 t i L
X 2
4
6
8
Y
X 2
4
6
8
X 2
4
6
8
Superficie a cubrir (m2)
Superficie a cubrir (m2)
Superficie a cubrir (m2)
Superficie lisa
Superficie áspera
Superficie porosa
Figura 10.1 53
d.
Para cada una de las gráficas completa la tabla. Superficie lisa Superficie áspera Superficie porosa
Pintura (litros) Superficie (m2) Pintura (litros) Superficie (m2) Pintura (litros) Superficie (m2)
Tabla 10.3
.
e.
Se desea pintar una superficie de 3 m de alto por 8 m de largo por los dos lados; sin embargo, un lado es de textura lisa y el otro es áspero. ¿Cuántos litros de pintura se requieren para hacerlo?
f.
Para pintar un muro de 2 m de alto y 10 m de largo, por un solo lado, se cuenta con 12 litros de pintura; ¿alcanza esa cantidad?
El tipo de cambio (Situaciones problemáticas realistas) Mei-Ling, ciudadana de Singapur, estaba realizando los preparativos para ir a Sudáfrica como estudiante de intercambio durante tres meses. Necesitaba cambiar algunos dólares de Singapur (SGD) en rands sudafricanos (ZAR). Mei-Ling se enteró de que el tipo de cambio entre el dólar de Singapur y el rand sudafricano en esa época era de 1 SGD = 4,2 ZAR. a. Al realizar los cálculos referente al pago de estadía, comida , transporte, materiales y algunos gastos extra decidió cambiar mil dólares de Si ngapur en rands sudafricanos con este tipo de cambio por cada mes de intercambio. ¿Cuánto dinero recibió Mei-Ling en rands sudafricanos?
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ b. Al volver a Singapur, tres meses después, a Mei-Ling le quedaban 3900 ZAR. Los cambió en dólares de Singapur, y se dio cuenta de que el tipo de cambio había variado a
1 SGD = 4,0 ZAR ¿Cuánto dinero recibió en dólares de Singapur? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ 54
c. Al cabo de estos 3 meses el tipo de cambio había variado de 4,2 a 4,0 ZAR por 1 SGD. ¿Favoreció a Mei-Ling que el tipo de cambio fuese de 4,0 ZAR en lugar de 4,2 ZAR cuando cambió los rands sudafricanos que le quedaban por dólares de Singapur? Justifica tu respuesta.
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Problema liberado de Evaluación PISA 2012 -109. A través de la solución de este tipo de problemas podrás reconocer los aspectos de un problema que se corresponden con la relación de proporción directa entre dos magnitudes.
Finalicemos Reflexiona ¿Por qué la gráfica que relaciona dos magnitudes directamente proporcionales está representada con una línea recta desde el origen en el plano cartesiano?
Autoevaluación
Resuelve situaciones significativas
2.
Organizo datos en tablas como método de solución de una situación que requiere magnitudes directamente proporcionales.
Determina si cada pareja de magnitudes dadas son directamente proporcionales. En caso de que lo sean, discute con tus compañeros o compañeras cuál podría ser la constante de proporcionalidad.
Analizo gráficas que representan magnitudes directamente proporcionales.
b.
La cantidad de comida que se ofrece en una fiesta. El tiempo de un foco prendido y su temperatura.
c.
La ampliación de una fotocopia y la tinta que se usa.
Coevaluación
d.
La cantidad de gallinas de una finca y los huevos que colocan.
Propuse soluciones a las actividades planteadas.
a.
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación
Completa las tablas teniendo en cuenta que las dos magnitudes son directamente proporcionales. Calcula la constante de proporcionalidad y representa la información en un plano cartesiano. Altura (metros)
1
Longitud de sombra (metros)
1,5
Tiempo (minutos) Pulsaciones
1
5
2 120
Las decisiones en equipo se tomaron de manera concertada.
Metacognición
9
6
é r g o l o L
Establezco relación de proporción directa entre dos magnitudes.
___________________________________________
1.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
0,75
¿Cómo represento magnitudes directamente proporcionales en el plano cartesiano?
Tabla 10.4
______________________________________
8
______________________________________ 660
______________________________________
Tabla 10.5
55
Cantidad
Ficha 11
Problemas de comparación de magnitudes relacionadas con construcciones
Taller de matemática 1.
Problema de agua (Problemas de traducción simple) Un grupo de estudiantes quiere construir con materiales actuales una fuente inspirada en la arquitectura inca. Antes de empezar, localizan un punto en el que realizarán la construcción con la condición de disponer de una saliente de agua con bastante fuerza para que atraviese el conducto de rocas. Un ingeniero del grupo calcula que sale con una fuerza de 3 bidones por minuto y comparte con sus compañeros una tabla en la que expresa en bidones y en litros la cantidad de agua. Cantidad de agua (bidones)
0,1
0,2
0,4
0,5
1
Cantidad de agua (litros)
2
4
8
10
20
Tabla 11.1
a. ¿Es correcto afirmar que los datos de la tabla son directamente proporcionales? ¿Por qué?
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ b. Si lo son, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ c. Completa. De acuerdo con la tabla, cada bidón contiene una determinada cantidad de agua. Dicha relación se puede expresar de la siguiente manera: 1B ➝ Número de bidones de agua ➝ Cantidad de litros de agua
Este valor se conoce como factor de conversión y también se puede expresar como: Cantidad de litros de agua
➝
1B ➝ Número de bidones de agua
Este factor de conversión se utiliza como método para determinar valores en una relación de proporción directa, multiplicando la magnitud a convertir por este factor, según sea el caso. Establece las siguientes medidas usando el factor de conversión: –
24 litros de agua en bidones: _________________________
–
2 bidones en litros de agua: _________________________
–
100 litros de agua en bidones: _________________________
–
4 bidones en litros de agua: _________________________
¿Cuántos litros de agua salen por minuto del punto que se escogió para construir la fuente? ______________________________________________________________________________________
56
2.
Conversiones necesarias (Problemas de traducción compleja) Para trasladar el agua por el corredor de piedra antes de llegar a la saliente, se deben utilizar tres tubos de PVC dentro de la construcción. El arquitecto calcula que cada tubo debe medir 15 pies de largo; sin embargo, en el momento de realizar la compra de material encuentran el siguiente aviso: En el colegio los estudiantes han visto que existe una relación de pies-pulgadas, ta l que cada pie corresponde a 12 pulgadas, es decir: 1 pie es a 12 pulgadas:
1 pie 12 pulgadas o 12 pulgadas es a 1 pie: 1 pie 12 pulgadas
Venta de tubo
S /. 2 la pulgada
•
¿Cuánto se debe pagar por la compra de los tubos?
Figura 11.1
______________________________________________________________________________________ Comprendo el problema a.
Para determinar el pago total, es necesario realizar una conversión, ¿por qué?
Diseño una estrategia b.
Usando las anteriores expresiones como factor de conversión, ¿cuál es la medida en pulgadas de uno de los tubos necesarios en la instalación del sistema hidráulico de la fuente?
c.
¿Cuál es el factor de conversión que se puede obtener del aviso de la tienda?
d.
Describe el paso a paso para dar solución al problema.
57
Aplico la estrategia e. Se debe pagar por la compra de un tubo un total de:
Transfiero lo aprendido f.
3.
Para la construcción se replanteó que fueran 3 tubos de 1,27 m. Determina el costo.
Pago por superficie (Situaciones problemáticas realistas) Los miembros de la familia Tasayco quieren comprar el edificio de pisos donde viven. Aportarán el dinero entre todos de modo que cada uno pague una cantidad proporcional al tamaño de su piso. Por ejemplo, una persona que viva en un piso que ocupe la quinta parte de la superficie total, deberá pagar la quinta parte del precio del edificio. a. Para cada una de las siguientes afirmaciones, encierra en un círculo la palabra Correcto o Incorrecto, según corresponda. •
La persona que vive en el piso más grande pagará más dinero por cada metro cuadrado de su piso que la persona que vive en el piso más pequeño. Correcto / Incorrecto
•
Si se conocen las superficies de dos pisos y el precio de uno de ellos, se puede calcular el precio del otro. Correcto / Incorrecto
•
Si se conoce el precio del edificio y cuánto pagará cada propietario, se puede calcular la superficie total de todos los pisos. Correcto / Incorrecto
•
Si el precio total del edificio se redujera en un 10 %, cada uno de los propietarios pagaría un 10 % menos. Correcto / Incorrecto
b. Hay 3 pisos en el edificio. El piso 1 tiene una superficie total de 95 m2. Los pisos 2 y 3 tienen superficies de 85 m2 y 70 m2, respectivamente. El precio de venta del edificio es de 300 000 dólares. ¿Cuánto deberá pagar el propietario del piso 2? ____________________________________________________________________________________
58
Muestra tus cálculos.
Finalicemos
Para determinar la cantidad de calorías que aporta un cereal, la información requerida en muchos casos está en su envoltura. En ellas se encuentra un factor de conversión. Escribe dos ejemplos de la afirmación anterior, revisando algunos productos que consumes.
Autoevaluación
Determino el factor de conversión para relacionar dos magnitudes.
___________________________________________ ___________________________________________
Resuelve situaciones significativas
Uso el factor de conversión para solucionar situaciones dentro de un contexto que se comparan magnitudes.
Determina el factor de conversión y completa las siguientes tablas:
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación
Cantidad de concentrado semanal (kg)
15
Perros de un resguardo
5
24
6
Se trabajó en equipo de manera colaborativa.
33
Las decisiones se tomaron con base en el trabajo en equipo.
9
Tabla 11.2
Distancia recorrida
é r g o l o L
Reconozco el factor de conversión como una unidad de comparación en distintas unidades de medida.
___________________________________________
Gasolina (galones)
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a o o g D f o s L l e
4
5
Metacognición ¿Qué estrategia empleo para calcular el factor de conversión?
7
_____________________________________ 22
110
176
______________________________________ ______________________________________
Tabla 11.3 59
Cantidad
Ficha 12
Variedad de situaciones que se resuelven con regla de tres simple
Taller de matemática 1.
¿Cuántas cañas comprar? (Problemas de traducción simple) Juan está estudiando el techo de una construcción inca y observa que los materiales usados son directamente proporcionales. Empieza a construir el techo y nota que para ubicar 3 maderos horizontalmente debió usar 15 cañas verticalmente. a.
Si va a usar otros 11 maderos, ¿cuántas cañas más empleará? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
b.
Si Juan tiene 45 cañas, ¿para cuántos maderos alcanza este material? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
c.
En la distribuidora de madera le informan que 12 cañas cuestan S/. 360. ¿Cuánto debe pagar por 4 cañas? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
d.
Si Juan dispone de S/. 480 y decide usarlo todo en las cañas para reforzar lo que ya había hecho, ¿cuántas cañas puede comprar? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
2.
No más goteras (Problemas de traducción compleja) Miguel quiere inmunizar un techo de madera y cubrirlo con paja. Para esto, aplica a la madera líquido inmunizante; sin embargo, entre más líquido aplique, debe esperar más tiempo para que se seque. Asimismo, debe determinar el peso por metro cuadrado de la cantidad de paja que usará. Cada envase de inmunizante tiene 15 litros de líquido para 10 metros cuadrados, cuyo secado demora 18 horas. Además, para cubrir 6 metros cuadrados de techo requiere de 21 kg de paja, con el fin de que el grosor y la densidad minimicen el riesgo de una filtración.
60
Si Miguel ha previsto un techado con 70 kg de paja. ¿Cuántos litros de inmunizante empleará y cuál será el tiempo de secado? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
Comprendo el problema a.
¿Cuáles son las magnitudes que se reconoce en la situación? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
b.
¿Qué relación hay entre ellas? Por ejemplo, ¿qué ocurre si uso más de 15 litros de líquido inmunizante? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
Diseño una estrategia c.
Ubica los valores que se dan en las preguntas en cada una de las tablas correspondientes. Líquido inmunizante (litros)
15
Área en m 2
10
Tabla 12.1 Líquido inmunizante (litros)
15
Tiempo de secado (horas)
18
Tabla 12.2 Área por cubrir (m2)
6
Paja (kilogramos)
21
Tabla 12.3
Aplico la estrategia d.
Completa las tablas anteriores.
Transfiero lo aprendido e.
Si Miguel usa una cantidad diferente de inmunizante y se sabe que el tiempo de secado se reduce a 6 horas, ¿cuánto demoraría en secar un material al usar 5 litros de este nuevo inmunizante? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
61
3. Número de amarres (Situaciones problemáticas realistas) Cada vez que se coloca paja sobre los maderos que conforman el techado, deben realizarse amarres con mimbres para que este no se deslice. Para ello, se toman varias tiras y se cortan de acuerdo con la cantidad de maderos que se utilizan. Javier sabe que no debe sobrar tanto material en cada una de ellas, ya que requiere muchos de estos amarres, por lo que está obligado a usar justo lo necesario. Como la postura de estos amarres requiere de precisión, el tiempo necesario para cada uno es mayor que lo normal. Se determinan16 minutos para colocar 7 amarres. La relación entre la cantidad de amarres y la cantidad de maderos es: Maderos
4
Amarretes
26
a. ¿Cuántos amarres se usan en los 14 maderos que conforman el techado?
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ b. Debido a los tiempos dados, se dispone tan solo de tres horas y media para realizar el trabajo. ¿Es posible ejecutarlo?
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Explica.
.
Salsa (Situaciones problemáticas realistas) Estás preparando tu propio aliño para la ensalada. He aquí una receta para 100 mililitros (ml) de aliño. Aceite para ensalada
60 ml
Vinagre
30 ml
Salsa de soja
10 ml
62
Tabla 12.4
a.
¿Cuántos mililitros (ml) de aceite para ensalada necesitas para preparar 150 ml de este aliño?
Problema liberado de Evaluación PISA 2012-PM924Q02- 019. Este tipo de problemas te dan la posibilidad de aplicar en una situación cotidiana la regla de tres simple.
Finalicemos Reflexiona Explica en tres pasos el procedimiento para solucionar una actividad de regla de tres simple directa.
Autoevaluación
Resuelve situaciones significativas 1.
Planteo una proporción usando las razones entre magnitudes conocidas.
Si 8 calentadores generan calefacción para 12 casas, ¿cuántos se requieren si 3 de las casas ya no están en uso?
b.
c.
d. 2.
.
é r g o l o L
Identifico situaciones que requieren el uso de la regla de tres simple.
¿Cuál de los siguientes procedimientos se debe realizar para solucionar la actividad que se presenta a continuación?
a.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Soluciono mediante la propiedad fundamental de las proporciones situaciones de proporcionalidad directa. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
8×3 12 8 × 12 Calentadores = 9 8×9 Calentadores = 12 8×3 Calentadores = 9 Calentadores =
Coevaluación Realicé aportes significativos al equipo de trabajo. El equipo participó propositivamente en las actividades planteadas.
En un colegio, por cada 7 estudiantes hombres, hay 8 estudiantes mujeres. ¿Cuántos estudiantes son mu jeres, si en el colegio hay 1050 estudiantes hombres?
Metacognición Explico la diferencia en la resolución de los problemas “¿Cuántas cañas comprar?” y “No más goteras”.
Para elaborar un arreglo floral se usan tres lirios por cada docena de rosas.
______________________________________
a.
¿Cuántos lirios lleva un ramo que tiene 36 rosas?
______________________________________
b.
¿Cuántas rosas lleva un ramo que tiene 15 lirios?
______________________________________
63
Cantidad
Ficha
13
Aprovechando el tiempo libre Como trabajo de investigación, los estudiantes de un colegio deciden realizar anotaciones y seguimiento de una construcción inca. Sin embargo, se dan cuenta de que se presentan muchos momentos libres mientras esperan que estén listos los materiales o se realice una instalación que no requiera de mucho estudio. Por este motivo, deciden estudiar el concepto principal de su trabajo de investigación elaborando y jugando con 36 cartas numeradas de 2 a 9 (4 de cada número) y 20 cartas con diferentes razones. (Ver desglosable 11)
Cuenta tu experiencia •
•
¿En qué juegos de mesa se utilizan conceptos matemáticos? ¿Aprovechas tu tiempo libre en una actividad que te permita fortalecer tus habilidades físicas o mentales? ¿Cuáles?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. a. Si van a jugar varios estudiantes, ¿será equivalente el tiempo que se demore el turno de cada uno de ellos en cada ronda realizada?
b. Si al jugar 4 estudiantes se necesitan 32 cartas, ¿cuántas cartas se necesitan para que jueguen 6 estudiantes?
c. Si con 36 cartas pueden jugar 3 estudiantes, ¿cuántos estudiantes pueden jugar con 60 cartas?
64
Resolvamos: El juego Para realizar el juego, solo se necesita el uso de las cartas del desglosable “Cartas verdes y azules” y una hoja de papel. Antes de empezar el juego, se realiza una actividad que permita crear agilidad. 1.
Exploro las reglas y condiciones del juego Actividad 1:
2.
•
Reunirse en parejas o equipos máximo de 4 estudiantes y mezclar 32 de las 56 cartas verdes para después dejarlas boca abajo en el centro de la mesa.
•
Uno de los jugadores saca la carta de arriba y la deja boca arriba al lado del mazo.
•
El jugador de la derecha saca la siguiente carta del mazo y la deja boca arriba al lado de la anterior.
•
Gana las dos cartas el que diga más rápido el producto de las dos cartas.
•
Si el jugador multiplica mal, ya no puede jugar hasta que se recojan las cartas.
•
Si no se logra dar con la multiplicación las dos cartas se desechan.
•
Gana el jugador que tenga más cartas.
Comprendo las características del juego • •
• •
Reunirse en parejas o equipos máximo de 4 estudiantes y mezclar las 56 cartas verdes. Se reparten las 56 cartas en forma equitativa entre los jugadores. Si sobran se dejan por fuera del juego (se pueden ver las cartas). Se mezclan las 20 cartas azules y se dejan boca abajo en el centro de la mesa. Dibujar en una hoja la siguiente imagen, de modo que en el recuadro azul se pueda ubicar una de las cartas azules y en los recuadros negros las cartas verdes.
Figura 13.1
Primer movimiento: •
Uno de los jugadores que se escoja aleatoriamente, toma una carta del mazo y la coloca boca arriba en el centro de la hoja. En este momento se presenta desde la carta azul a los recuadros negros dos caminos representados por líneas rojas. El primer jugador que pueda bajar de su mano dos cartas verdes, de forma que al ubircarlas en las casillas negras obtenga la misma multiplicación en cada camino indicadas por las líneas rojas, gana la carta azul y devuelve las cartas verdes a su mano.
•
Si no es posible se saca una segunda carta azul y se repite el juego; la carta azul que no se usó pasa debajo del mazo de las cartas azules.
Regla 1 •
El jugador de la derecha del jugador ganador baja la siguiente carta azul, disponiendo de medio minuto para poder ubicar las dos cartas verdes. Si el jugador no puede bajar las dos cartas, debe entregar una de sus cartas verdes al jugador de la derecha.
Regla 2 •
El jugador de la derecha, ahora dispone de medio minuto para armar las multiplicaciones equivalentes para ganar la carta azul, usando las cartas verdes de su mano y la carta verde que se le entregó.
•
Si el jugador puede armar la pareja de multiplicaciones iguales, entonces gana la carta verde del jugador anterior y además la carta azul.
65
Regla 3 •
Si el jugador que recibió la carta verde no arma la pareja en el tiempo solicitado, el jugador anterior recupera su carta y el jugador del turno debe entregar una de sus cartas verdes al jugador de la derecha, repitiendo las dos anteriores reglas.
Reglas generales: •
Después del primer movimiento se juega siempre a la derecha. Toda carta azul ganada se guarda aparte del mazo verde.
•
Toda carta verde ganada hace parte del mazo del jugador.
•
• •
• •
Si se da un ciclo y no se gana la carta azul, esta se coloca debajo del mazo azul y se reanuda el juego. Puede que un jugador quede con una carta en la mano. Si este jugador no dispone de una carta que haya bajado el de su izquierda, puede decidir a quién regalar la carta y queda fuera del juego. El juego finaliza cuando se acaben las cartas azules o no se puedan bajar cartas verdes. Gana el juego quien tenga la mayor cantidad de cartas azules. Importante: Escribe las jugadas en las cuales se tuvo que bajar la carta verde en una mano.
3.
Reconozco relaciones matemáticas en el juego Juega una segunda ronda que permita llenar la siguiente tabla en la que se ganaron siete cartas azules: Carta azul
Carta verde arriba
Carta verde abajo
Multiplicación común
Tabla 13.1 •
Analizando la tabla, ¿cuál es el concepto matemático que permite ganar la carta azul? ¿Por qué? __________________________________________________________________________________________
4.
Expreso de forma esquemática Algunas de las jugadas no permitían obtener las multiplicaciones deseadas; por lo tanto, se debía entregar una carta verde, dándole la oportunidad al jugador de la derecha tener una carta de más para considerar. No obstante, supongamos que esta regla cambia; ahora la carta verde se debe obtener entre las dos cartas a usar para ganar la carta azul. Completa las tablas, en las cuales se representan tres jugadas en las que el jugador tuvo que bajar una carta verde de su mano. Carta azul
Carta verde
Numerador
Carta que se bajó
Denominador
Carta que se necesitaba Tabla 13.2
Carta azul
Carta verde
Numerador
Carta que se bajó
Denominador
Carta que se necesitaba Tabla 13.3
Carta azul
Carta verde
Numerador
Carta que se bajó
Denominador
Carta que se necesitaba Tabla 13.4 66
Describo usando la matemática a.
Presenta las multiplicaciones que se buscaban para ganar la carta azul de los tres casos. _______________________________________________________________________________________
b.
Subraya el número que se necesitaba para ganar la carta azul.
c.
Presenta la expresión que permite determinar el número que se requiere, relacionando los tres números conocidos. _______________________________________________________________________________________
6.
Expongo lo encontrado Se establece que dos razones son proporcionales si sus razones son iguales. Por tanto, debe cumplirse: c
a b
d
si y solo si: ______ ______
=
______ ______
Además, si se cumple la proporcionalidad, entonces: c
=
_____ o d
=
_____
Finalicemos Reflexiona •
¿Cuál era la finalidad del juego?
Autoevaluación
________________________________________ ________________________________________
Utilizo una estructura que me permita resolver una situación que requiera proporcionalidad.
¿En cuáles situaciones de la vida cotidiana se establecen razones? ¿Son útiles? ¿Por qué? ________________________________________
Formulo expresiones generales a partir de la proporcionalidad.
________________________________________
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
________________________________________
Resuelve situaciones significativas 1.
2.
é r g o l o L
Establezco cuándo dos razones son proporcionales.
________________________________________ •
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Coevaluación
Una tienda de ropa para niño empacó en una caja 2 pares de camisetas y 3 pares de medias para la semana de rebajas. Si la tienda vendió 270 pares de camisetas, ¿cuántos pares de medias vendió?
Los integrantes del equipo participaron activamente del juego propuesto. Se solucionaron las dudas presentadas en el equipo.
En un mapa, se denomina “escala” a la razón entre una longitud cualquiera del mapa y la longitud real del terreno. Por ejemplo, si en un mapa cada centímetro representa 100 cm del terreno, se dice que la escala es de 1:100. Teniendo en cuenta la misma escala, si la distancia real entre dos ciudades es 1 060 km, ¿cuál debe ser su separación en línea recta sobre el mapa?
Metacognición ¿Qué dificultades tuve para resolver problemas de proporcionalidad? ¿Cómo las solucioné?
______________________________________ ______________________________________
67
Cambio
Ficha
14
Muros perfectos Generalmente las construcciones incas carecían de algún grabado o diseño, los muros se armaban a partir de la colocación estratégica de piedras que eran talladas y lijadas, buscando tener un diseño homogéneo en el que la simetría era fundamental. En el momento de realizar el ensamble de las enormes piedras se cuidaba de no dejar espacios o vacíos entre ellas, lo cual es algo sorprendente. En Cusco, por ejemplo, se encuentran paredes sin ningún tipo de cemento; prácticamente son muros formados por la fuerza de la gravedad y por la forma exacta de cada piedra. Una de las formas de desplazamiento de cada roca era hacerla girar por caminos elevados, es decir, avanzaba por cada giro lo que midiera de lado la piedra.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Cuáles construcciones conoces que hayan sido realizadas mediante el ensamble preciso de piezas? ¿Has jugado jenga? ¿Encuentras parecido este juego a las construcciones mencionadas en el texto?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. a. Si la piedra tiene 4 caras rectangulares y dos cuadradas, ¿cómo sería la huella que dejaría al voltearla por cada una de sus caras?
b. Se cuenta con una piedra cúbica que, vista de forma frontal, muestra una imagen como en la figura.
Módulos de biblioteca
¿Qué movimientos deben hacerse para obtener la siguiente figura?
Trabaja el tema de simetría del libro El mentor de matemáticas, de Gisper y Navarro, y realiza los ejercicios allí propuestos. 68
Resolvamos: La cruz demostrativa
Se desea ejecutar la construcción de un muro en el cual se van ubicando piedras cuadradas. Una de sus caras está grabada con un dibujo Nasca, en el cual varían sus elementos en rotación dependiendo de la posición en el muro.
.
ompren o una situaci n e i enti ico a pregunta
Se arma una fila conformada por cuatro piedras, cada una con una imagen de un diseño característico de las líneas de Nasca, formando la siguiente representación:
Figura 14.1
Piedra 1
Piedra 2
Piedra 3
Piedra 4
¿Cuál es la posición de la imagen de la piedra número 78? Justifica la respuesta denotando la propiedad geométrica que determinó la solución.
2. Analizo la información y respon o a pregunta
Argumento
¿Se presenta alguna relación del pico del colibrí con cada una de las piedras?
¿A qué le debo dar importancia para analizar el movimiento de la figura? ¿Cuántos movimientos se presentan?
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
3. Demuestro a va i ez e mi respuesta Demuestro elaborando dibujos o diseños respecto de la figura 14.1 para comprobar si cumple o no cumple el circuito dado.
. P anteo conc usiones ¿Cómo deberá estar ubicada la imagen en la posición solicitada? _________________________ _________________________ _________________________ a.
Responde las siguientes preguntas de apoyo para la fase “Analizo la información y respondo la pregunta”. •
¿De qué forma se mueve el colibrí en comparación con la representación de la piedra anterior? ________________________________________________________________________________
•
¿Importa el sentido del movimiento del colibrí? ________________________________________________________________________________
69
•
¿La posición del rombo depende de la posición del colibrí? ________________________________________________________________________________
En otro muro se había edificado una construcción en rectángulo con varias piedras. El arquitecto, por el apuro, dejó sin colocar una de ellas. Al día siguiente se le solicitó a un encargado ubicar la última piedra, sin embargo, hay 4 piedras y todas tienen una figura similar. ¿Cuál será la piedra para colocar?
.
ompren o una situaci n e i enti ico a pregunta
Se realiza una construcción rectangular de 3 filas y 3 columnas de rocas, pero hace falta la piedra de la esquina superior derecha, como se muestra en la figura 14.2
Figura 14.2
De las siguientes opciones, ¿cuál es la piedra faltante?
Figura 14.3
. Ana izo a in ormaci n y respon o a pregunta
rgumen o Explico por qué seleccioné esa roca.
¿Se presenta alguna relación respecto de la posición de la cabeza?
_________________________
_________________________
_________________________
¿De qué forma se está moviendo la figura?
_________________________
_________________________
_________________________
¿Importa el sentido en el que se mueve la figura?
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
3. Demuestro a va i ez e mi respuesta Pruebo con cada piedra y justifico por qué cada una de ellas es o no es la piedra correcta. __________________________ __________________________ __________________________ __________________________
_________________________
70
__________________________ __________________________
. P anteo conc usiones
¿Cuál es la roca que debería ir en la última posición? _________________________ _________________________ _________________________ _________________________
Finalicemos Reflexiona ¿Qué dificultades se presentaron al resolver los problemas planteados?
Autoevaluación
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a o o g D f o L s l e
é r g o l o L
___________________________________________ Reconozco regularidades en transformaciones geométricas.
___________________________________________ ___________________________________________
Determino un patrón de repetición en secuencias geométricas.
Resuelve situaciones significativas 1.
De las siguientes transformaciones, establece las reglas combinadas que suceden en cada una.
Uso notación adecuada para describir transformaciones geométricas.
________________________________________ ________________________________________
Analizo las respuestas a las preguntas para confirmar su pertinencia.
Coevaluación La solución de las actividades propuestas se trabajó de manera colaborativa. 2.
Determina la figura que continúa en la próxima posición.
Se validaron las respuestas de las actividades en equipo.
Metacognición 3.
Determina las figuras que continúan.
¿Cómo determino el patrón geométrico en una secuencia?
______________________________________ ______________________________________
71
Cambio
Ficha
15
Desafío inca El traslado de las piedras que se usaron en la construcción de los muros del Cusco fue durante mucho tiempo un gran misterio debido a las dimensiones y el peso de cada una de estas. Se intuye que se realizaron amarres de diferentes materiales para lograr el desplazamiento de estos bloques. En Ollantaytambo, por ejemplo, se observan rampas que se emplearon para acomodarlos. Asimismo, existe la teoría del uso de troncos para arrastrar las piedras jaladas por cientos de personas. Cada piedra cúbica tenía en cada cara un tallado el cual indicaba la posición correcta para ubicarla en el muro.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Cómo transportarías algo muy pesado? ¿En el colegio te han enseñado algunas estrategias de transporte de las culturas antiguas? Si te piden idear un juego basándote en medios de transporte antiguos, ¿qué podrías presentar?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. a. ¿Cómo sería la huella si los puntos usados en una piedra coincidieran con los puntos de un dado? Te puedes ayudar mirando uno.
b. Asumiendo que para el traslado se voltean las piedras, ¿cuáles serán las marcas que dejan en su traslado?, ¿estarán todas relacionadas con los puntos del dado? Presenta un ejemplo.
72
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto Una de las actividades realizadas anualmente en un colegio es un match, el cual involucra diversas pruebas o desafíos que requieren habilidades físicas y agilidad mental. La prueba está diseñada para que dos equipos se enfrenten en una carrera por un camino de diferentes inclinaciones, mientras trasladan sobre cilindros un bloque cúbico. Deben llegar a una construcción rectangular formada por 9 celdas, 8 de ellas ya ocupadas y una vacía, en donde se desea colocar el bloque que se transportó, como se muestra en la figura 15.1. Sin embargo, esto no puede ser al azar, ya que cada cara del bloque tiene una imagen distinta, y solo debe colocarse en la posición correcta la que cumpla con el patrón de repetición que se establece por los otros 8 bloques de las otras celdas. Figura 15.1 La construcción rectangular presenta 8 figuras con un diseño de características similares, y cada una de ellas se relaciona con la anterior por una transformación geométrica. Por lo tanto, cada equipo debe analizar cada una de las gráficas sobre los bloques que conforman el muro y determinar el patrón identificando la secuencia y estableciendo la cara del bloque que se mostrará. Cada equipo sabe que se debe ser cuidadoso en el orden y la posición de cada gráfica, pero aún más importante es determinar el patrón para justificar la inclusión del bloque sobre la estructura.
Después de realizar el recorrido con cada uno de los bloques, los equipos encuentran el muro que se muestra en la figura 15.2 y disponen de dos minutos para ubicar la piedra, la cual tiene las caras que se muestran en la figura 15.3. Deben justificar el lado que se va a mostrar cuidando la posición, para lo cual el lenguaje geométrico es fundamental, pues se necesita indicar las variaciones angulares o de simetrías, logrando identificar el patrón de las otras 8 imágenes.
Para ganar el juego se debe colocar la pieza en su posición correcta, ya que solo en ese momento se puede dar por finalizado el juego, pero para no hacerlo por ensayo-error, se solicita que se justifique la figura que se posicionará a partir de un patrón que se identifique en todo el muro desde los 8 bloques ya ubicados.
Figura 15.2
Figura 15.3 a.
Identifica la expresión simbólica de las transformaciones geométricas que debe presentar el equipo ganador del desafío.
b.
Utiliza representaciones gráficas para demostrar la conjetura alcanzada.
73
c.
2.
Si ambos equipos empatan, existe la regla de producir la gráfica que represente la posición de la transformación de la figura que se encuentre en la posición 145. Presenta la solución de esta situación.
Reconozco el principal problema y trazo un plan Reúnete con tres compañeros y realicen una lista con la información gráfica que consideren más importante para reconocer la expresión simbólica que represente las transformaciones geométricas del patrón encontrado a partir de las figuras. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ a.
Al realizar un cambio en la primera imagen de la primera fila hacia la derecha, ¿se observa alguna alteración significativa? _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
b.
Si se ejecuta un cambio en la primera figura de la segunda fila hacia la derecha, ¿se identifica algún cambio importante? _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
c.
¿Se presentan repeticiones? ¿Cuáles y en qué momento? _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
d.
Si se numera cada figura, ¿ayudará a realizar alguna conjetura? ¿Por qué? _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
3.
Experimento para resolver el problema Realiza varios dibujos de las posibles imágenes que se colocarán en la última casilla a partir de las conjeturas que se establecieron anteriormente. Aclara en cada figura la transformación efectuada y cómo estas pueden justificar tu suposición.
•
Consulta con el equipo los diagramas creados y verifica si hay coincidencias. Comparen algunas justificaciones y seleccionen las que en el grupo consideren las mejores opciones.
74
4.
5.
Propongo una expresión matemática a.
Dibuja las figuras de forma horizontal de tal manera que se represente la secuencia.
b.
Selecciona las imágenes que detallan un solo ciclo de la secuencia.
c. d.
Numéralas en orden. Realiza una lista numérica debajo de cada figura, la cual indique la repetición de la figura si la secuencia continuara hasta la posición 50.
e.
Identifica el bloque que debe ir en el espacio vacío.
f.
Determina sin realizar la numeración la figura de la posición 145.
Valido la solución del problema a.
Comparen las tablas numéricas del grupo con las de los demás grupos y establezcan si hay similitudes entre ellas.
b.
Verifiquen que la figura 145 corresponda en todos los grupos; indaguen si esto no sucedió.
c.
Justifiquen entre los grupos la selección de la figura en la posición 145.
Finalicemos Reflexiona Para determinar un patrón geométrico, ¿cuáles son las características más importantes para considerar? ¿Por qué?
Autoevaluación
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
é r g o l o L
Explico el desarrollo de un patrón en una secuencia geométrica.
___________________________________________ ___________________________________________
Presento modelos de solución en la notación de un patrón geométrico.
Resuelve situaciones significativas
Determino una transformación geométrica a partir de un patrón establecido.
Indica qué transformaciones geométricas se realizaron en las siguientes figuras.
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
a.
Coevaluación Se tuvo en cuenta la opinión de todos los integrantes del equipo. Las decisiones que se tomaron en colectivo permitieron darle solución a las situaciones planteadas. b.
Metacognición ¿Qué actividad me resultó sencilla resolver? ¿Por qué?
______________________________________ ______________________________________ ______________________________________
75
Cambio
Ficha
16
Descubriendo el pasado Cada vez que se realizaba una excavación en un yacimiento inca no solo se descubría una estructura antigua, sino que salían a la luz nuevos hallazgos acerca de los habitantes de aquel pasado misterioso y a la vez maravilloso. Toda nueva pista se encargaba de añadir conocimientos sobre las habilidades, el ingenio, la cultura y la sociedad de la época; por ejemplo, las túnicas, los tipos de vasijas, la decoración o la forma del tallado de una piedra indicaban el rango de importancia de la persona que vivía en el lugar. Por tanto, la geometría permitía establecer construcciones como se muestran en la imagen a continuación, haciendo evidente los conocimientos de movimientos isomorfos que aun hoy en día se estudian.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Podrías identificar algunas características que clasifiquen rangos militares en la actualidad? ¿En el colegio te han enseñado rangos militares de culturas antiguas? ¿Cómo fomentarías el aprendizaje de las costumbres y aspectos culturales de los incas?
Figura 16.1
Iniciemos Responde las siguientes preguntas: a. ¿Qué patrones se pueden evidenciar en la imagen de esta página?
b. ¿Cómo serían las piedras que faltan en las fisuras que se ven en la parte superior central de la misma imagen? ¿Por qué?
c. ¿Qué detalles comparten los grabados de las dos últimas filas?
76
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto La diversidad de pobladores que habitaban los terrenos antiguos del Perú hizo que todo tipo de expresiones culturales se presentaran en las decoraciones de viviendas y templos. Lo mismo sucedió con las prendas de vestir, ya que, por ejemplo, en los textiles se hacía evidente una marcada diferenciación de los rangos militares o de nobleza, por lo que usaban un tipo especial de tejido llamado tocapu. Por ello, sus túnicas tenían diseños de forma ajedrezada con varias representaciones individuales de cuadrados con patrones de figuras y líneas de diversos colores. Al verlos, inicialmente se aprecia una estructura armoniosa, creada por los patrones y simetrías que estas figuras representan. Aunque hay pocos de estos textiles, se han encontrado regularidades en comparación con otros, lo que permite establecer conjeturas sobre sus antiguos dueños, como se había dicho antes, al ser prendas exclusivas de la clase alta de la época. Estos diseños también se trasladaron a la arquitectura de algunas estructuras incas, pues en muros, escalones, murallas, columnas, entre otras superficies, se han encontrado labrados que muestran una repetición de la unión de cuadrados con dibujos inscritos. Uno de los arqueólogos encargados de presentar estos datos encontró estos grabados en un mural bajo condiciones difíciles de interpretar. Estableció que están relacionados con una túnica con tejido tocapu, Figura 16.2 así que decidió estudiar el comportamiento de cada una de las figuras en los cuadrados que conforman el textil, y con ese fin copió detenidamente cada dibujo que lo constituyen, creando la siguiente estructura:
Figura 16.3 Una de las principales ayudas que tiene el arqueólogo es la búsqueda de regularidades en el diseño para así fijar una regla que se pueda cumplir en el maltratado mural. a.
Determina varias características que permitan detallar regularidades que se presentan en el diseño.
77
2.
b.
Usando un lenguaje adecuado se pueden establecer comportamientos individuales de la pieza textil. Es importante señalar los objetos geométricos como cuadrados o círculos que están realizando la transformación.
c.
Presenta una conjetura acerca de los patrones cíclicos que se observan en la figura.
Reconozco el principal problema y trazo un plan Reúnete con tres compañeros y formulen una lista con la información gráfica que consideren importante para identificar la expresión simbólica que represente las transformaciones geométricas del patrón encontrado a partir de las figuras. a.
Es importante que identifiquen varios objetos geométricos en la estructura. Menciónalos. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
b.
Las siguientes preguntas ayudan a proponer algunas conjeturas: •
¿Cuántas figuras geométricas principales se pueden analizar en la figura? _______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
•
¿Es importante el cambio de color en la transformación en cada uno de los cuadros que conforman el textil? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
•
¿Se presentan repeticiones? ¿Cuáles y en qué momento? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
•
¿Si se numera cada figura servirá para realizar alguna conjetura? ¿Por qué? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
3.
Experimento para resolver el problema Realiza varias conjeturas sobre la transformación cuadro a cuadro del textil, teniendo en cuenta posición, color y relación con otra de las figuras involucradas en cada cuadrado. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
78
4.
Propongo una expresión matemática a.
Consulta con el grupo las conjeturas creadas y verifiquen si hay coincidencias. Pongan a prueba las afirmaciones de todos los integrantes del grupo.
b.
Decidan las conjeturas que les permitan asegurar que el textil presenta un comportamiento cíclico. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
5.
Valido la solución del problema a.
Calca solo uno de los cuadros que conforman el textil y muévelo sobre la figura de tal forma que cumpla con las conjeturas que se establecieron. Si no hay coincidencias realiza los ajustes necesarios a las condiciones que se hallaron, y comparte con el grupo las modificaciones si se llegan a presentar.
b.
Expongan organizadamente las conjeturas establecidas. Determinen si hay coincidencias.
Finalicemos Reflexiona Para determinar si un patrón geométrico presenta comportamientos cíclicos debe existir un intervalo de repetición que se obtenga de nuevo dentro de la figura. ¿Esto se evidencia en todo piso compuesto por baldosas? ¿Por qué?
Autoevaluación
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
é r g o l o L
Establezco relaciones de repetición en un patrón en una secuencia geométrica. Presento modelos de solución en la notación de un patrón cíclico geométrico. Pruebo que algunos patrones geométricos se comportan como patrones cíclicos.
Resuelve situaciones significativas
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Identifica la estructura base que se repite en los siguientes patrones cíclicos. (Puedes dibujar o trazar líneas opcionales de tal manera que encierren la sección que se repite cíclicamente).
Coevaluación Argumenté mis ideas adecuadamente frente al equipo. Se tomaron decisiones en colectivo de forma asertiva.
Metacognición ¿Cómo determino el patrón cíclico de una secuencia geométrica?
______________________________________ Figura 16.4
79
Evaluación Construcción de estructuras Uno de los proyectos comunes en los colegios es la elaboración de maquetas, las cuales permiten a los estudiantes desarrollar varias habilidades, como el uso de diversas estrategias para el diseño de piezas, modelación de cantidad de materiales, predicciones de estructuras, proporciones entre medidas y materiales, entre otras. Un grupo de estudiantes se reúne y disponen de todas las habilidades para recrear una estructura inca. Para ello, se deben basar en fotos, imágenes u otros elementos que les ayuden a representar la estructura de la manera más exacta. 1.
Antes de iniciar la estructura, los estudiantes deben presentar un trabajo introductorio en el cual se expongan medidas y comparación de escalas que se trabajarán. Por este motivo, determinan que cada dos centímetros en el plano representen 3 m de la construcción real.
b.
Completa la siguiente tabla que relaciona las escalas del plano con la construcción real:
e.
•
c.
d.
Distancia plano (cm) Distancia real (m)
•
•
2.
El trazo en el plano que representa un muro y el muro real, ¿son magnitudes directamente relacionadas? ¿Por qué? Si se traza una línea en el plano que mide 6 cm, ¿cuánto mide el muro que se representa con este trazo?
a.
2
3
4
5
3
6
9
12 15 18
Cuando se está construyendo la maqueta es necesario realizar algunos cambios de unidad de medida debido a las predicciones de uso del pegante en cada ladrillo. Los estudiantes establecen que dos ladrillos usan 4 ml de pegante, produciendo el siguiente factor de conversión : 4 ml
Presenta otra expresión que denote el mismo factor de conversión. Usando el factor de conversión completa la siguiente tabla:
La siguiente tabla presenta el pegamento que se utiliza para adherir cada miniladrillo a la maqueta: 1
¿Cuántas gotas de pegante se requieren para pegar 12 ladrillos? ¿Cuántos ladrillos se alcanzan a pegar si se calcula que en el frasco aún quedan 39 gotas?
2
Si un muro real mide 15 m, ¿cuántos centímetros debe medir el trazo en el plano?
Ladrillos Pegante (gotas)
Determina si las magnitudes son directamente proporcionales. ¿Se presenta una constante de proporcionalidad? ¿Cuál?
Ladrillos Pegante (ml)
6 3.
Representa los valores de la tabla en el plano cartesiano. Y 18
15
12
10
2,5 6
7
Cuando se inicia la construcción de la maqueta se evidencia que el tiempo de elaboración es directamente proporcional a dos magnitudes diferentes. La primera es la cantidad de ladrillos, ya que a mayor tiempo, mayor cantidad de ladrillos que se pueden colocar, y la segunda es el área de construcción, pues la región construida es mayor con el paso del tiempo. Las siguientes tablas relacionan estas dos proporciones.
9
Tiempo (min) Ladrillos
6
21 18
Tiempo (min) Área (cm2)
12 15
3
Usando una regla de tres determina la cantidad de ladrillos que se pueden ubicar en 28 min.
X 1
2
3
8
5
6
7
80
4.
•
¿Cuánto tiempo se necesita para ubicar 24 ladrillos?
•
¿Qué área se puede construir si se dispone de una hora?
•
Se debe entregar una maqueta de 55 cm 2 a las 2:30 p. m. Si la elaboración se inicia a la 1:45 p. m., ¿se alcanza a realizar la construcción?
de 4 calcomanías por 4 calcomanías, para que se forme un patrón cíclico basado en patrones geométricos. Cada una de las calcomanías tiene la siguiente figura:
El piso de la construcción realizada debe estar decorado por baldosas cuadradas coloridas bajo patrones geométricos coherentes. Con ese fin se compran dos paquetes de calcomanías, uno corresponde a una misma figura, y en el otro cada dibujo es muy parecido a los demás pero no exacto. En el piso central de la maqueta se propone • colocar las calcomanías idénticas de tal manera que se forme una construcción cuadrada
Construye la estructura y presenta el patrón que usaste.
Producto 5.
Construye un póster en el que realices transformaciones geométricas (trabaja los conceptos estudiados en la unidad).
Autoevaluación
Indicadores
Debo esforzarme
Lo estoy logrando
Lo logré
Debo esforzarme
Lo estoy logrando
Lo logré
Reconozco relaciones entre magnitudes en problemas multiplicativos de proporcionalidad y las expreso en un modelo de solución. Organizo datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad directa entre magnitudes. Empleo el factor de conversión y el método de reducción a la unidad en problemas relacionados con proporcionalidad directa. Utilizo la regla de tres simple en problemas relacionados con proporcionalidad directa. Efectúo transformaciones geométricas para hallar la posición y la expresión geométrica en problemas. Coevaluación
Indicadores El trabajo en equipo facilitó el desarrollo de las actividades. Las actividades permitieron un sano debate para que todos plantearan su punto de vista.
Metacognición ¿Qué me gustó más de la unidad? ¿Por qué? __________________________________________________________________________________
81
Unidad
3
Riquezas minerales La cordillera de los Andes otorga a los países latinoamericanos la oportunidad de generar ingresos a partir de la exploración minera. En ella se encuentra una variedad de metales especialmente para la orfebreria. El Perú se caracteriza por ubicarse entre los primeros países en la extracción de oro, plata, hierro, cobre, plomo, entre otros. La explotación y exportación de estos minerales ha generado avances en la tecnología, creando opciones de trabajo en un sector cuya producción agrícola se dificulta debido a la altitud. Para ello, se realizó una inversión cercana a los US$ 7000 millones, permitiendo ampliar los índices y opciones de exportación, principalmente hacia China, país que optó por realizar inversiones millonarias en empresas locales. Otro tipo de material que se encuentra en el Perú son los no metálicos. Estos tienen la cualidad de tener características similares a los cristales. La forma de estas piedras se ve afectada por distintas variantes durante su elaboración natural; por tal motivo, se pueden encontrar distintas estructuras. Por ejemplo, bloque cúbico, prismático de diferente base o tubular. Asimismo, resalta la gama de colores. Por tanto, se ha generado una motivación hacia el trabajo de los metales como un recurso óptimo para el futuro, incentivando al artesano a ser creativo y actualizándose bajo las pautas de la moda. Para esto, se ofrecen diversos cursos de bisutería y se da apoyo a los microempresarios emprendedores mediante guías de exportación y capacitaciones. ¿Cómo se expresa la inversión dada en “ x ” dolares sabiendo que estuvo por debajo de los 7000 millones pero encima de los 6000 millones?
82
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones •
•
Comunica y representa ideas matemáticas
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
•
•
•
Elabora y usa estrategias
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
•
Matematiza situaciones •
•
Comunica y representa ideas matemáticas
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
•
•
•
Elabora y usa estrategias •
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
83
Reconoce relaciones no explícitas en situaciones de variación al expresar modelos relacionados con proporcionalidad y funciones lineales. Asocia modelos referidos a la proporcionalidad directa y las funciones lineales con situaciones afines. Describe el comportamiento de la gráfica de función lineal, examinando su intercepto con los ejes, su pendiente, dominio y rango. Determina una función lineal a partir de la pendiente y su punto de intercepto con el eje de coordenadas. Establece conexiones entre las representaciones gráficas, tabulares y simbólicas de una función lineal. Emplea estrategias para resolver problemas de proporcionalidad, y función lineal con coeficientes enteros. Explora mediante el ensayo y error el conjunto de valores que puede tomar una función lineal al resolver un problema. Emplea métodos gráficos para resolver problemas de funciones lineales. Prueba si una función es lineal por los valores de su dominio. Justifica el dominio apropiado de una función lineal (si pertenece al campo natural, entero o racional) de acuerdo con una situación de dependencia. Identifica diferencias y errores en una argumentación. Reconoce relaciones no explícitas entre figuras, en situaciones de construcción de cuerpos y las expresa en un modelo basado en prismas regulares, irregulares y cilindros. Usa modelos referidos a cubos, prismas y cilindros al plantear y resolver problemas de proyección o construcción de cuerpos. Describe prismas regulares en función del número y forma de las caras, el número de vértices y el número de aristas. Describe el desarrollo de prismas triangulares y rectangulares, cubos y cilindros. Grafica el desarrollo de prismas, cubos y cilindros, vistas de diferentes posiciones. Emplea características, propiedades y perspectivas de cuerpos geométricos, para construir y reconocer prismas regulares, irregulares y cilindros. Halla el perímetro, área y volumen de prismas regulares e irregulares con perspectiva, usando unidades de referencia (basada en cubos) y convencionales. Propone conjeturas referidas a las propiedades de prismas regulares y el cilindro. Justifica la relación entre áreas de sus bases y superficies laterales del cubo, prisma y cilindro. Explica cómo varía las relaciones entre los elementos de prismas y cilindros, al obtener desarrollo de estos cuerpos.
Cambio
Ficha 17
Diplomacia matemática En la clase de Matemática se presenta un tema de discusión sobre las ventajas de la inversión extranjera en el país, pues de esto depende la tecnificación necesaria en la extracción de metales y minerales. Para ello, se coloca como ejemplo la cantidad de maquinaria que se daría por préstamo de China, que aporta cinco equipos de perforación por cada tonelada de extracción minera sin procesar, además de tres vehículos de tracción pesada también por tonelada, generando economía para la empresa peruana y asegurando exclusividad a la empresa china.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Realizan en tu colegio acuerdos de beneficio con otros colegios? ¿Generan discusión y mesas de trabajo en tu colegio simulando situaciones diplomáticas? ¿Cómo fomentarías la creación de mesas de debate en tu colegio?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas.
Módulos de biblioteca Realiza los ejercicios de proporcionalidad de la sección 7 del libro El mentor de matemáticas y refuerza la temática.
a.
Las magnitudes presentadas en el texto son directamente proporcionales. ¿Por qué?
b.
¿Cuál es la razón entre las toneladas de extracción y aporte de vehículos de tracción pesada?
c.
¿Cuántas toneladas se requieren para tener un préstamo de 24 equipos de perforación?
84
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto Uno de los propósitos de representar modelos diplomáticos en la clase de Matemática es dar importancia a los métodos de comunicación. Mariana debe representar al grupo inversionista chino. Sabe que debe quedar muy clara la presentación de los acuerdos de la maquinaria que se prestará a cambio de la cantidad de material minero que se va a recibir. Identifica que el número de toneladas de material debe ser una cantidad exacta, ya que es difícil determinar un préstamo de maquinaria por un peso parcial de mineral; por tanto, crea la siguiente tabla de préstamo de equipo de perforación de vehículos de tracción pesada.
Vehículos de tracción pesada
3
Mineral (toneladas)
1
12 2
3
... 5
...
Tabla 17.1
Mariana determina que los préstamos son los adecuados y que se comportan como magnitudes directamente proporcionales, ya que a mayor cantidad de mineral extraído, mayor cantidad de equipos de perforación. Además existe una relación de equivalencia, pues estos valores crecen directamente con respecto a la cantidad de mineral que se adquiere. De igual forma presenta gráficamente la conversión de los vehículos de tracción pesada. En la gráfica se evidencia una recta que parte del origen y tiene una pendiente igual a tres, estableciendo que cada tonelada ingresada a su base de datos genera un préstamo de tres de estos vehículos. Mariana expone que el comportamiento de este préstamo corresponde a una relación directa entre los dos interesados. Cada tonelada que aporte la industria peruana genera un préstamo equitativo de los vehículos chinos. En ambas situaciones, el no aportar toneladas de mineral implicaría el no préstamo de la maquinaria, lo cual no es lo deseado debido a las necesidades mutuas y del enfoque diplomático de la situación; sin embargo, Mariana decide colocar en sus tablas, gráficas y expresión algebraica está posibilidad, ya que se considera como una situación que podría suceder. a.
Establece la relación de las magnitudes involucradas en la situación a partir de las características de variación de cada una de ellas. ___________________________________________________________________________________
b.
Presenta dos expresiones algebraicas que modelen el comportamiento del préstamo de cada maquinaria. ___________________________________________________________________________________
c.
Reescribe cada expresión algebraica como una función de préstamo a partir de una cantidad desconocida de mineral que se dará a cambio. ___________________________________________________________________________________
d.
Representa las dos situaciones en un plano cartesiano dibujado en tu cuaderno o en una hoja adicional.
85
2.
Reconozco el principal problema y trazo un plan Lista 1
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Reúnete con tus compañeros e identifiquen en una segunda lista la información importante para determinar cómo están relacionadas las magnitudes expuestas en el tema. Recuerden que la relación solicitada se basa en la variación que sucede cuando una de ellas aumenta o disminuye. Lista 2
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Las siguientes preguntas permiten identificar aspectos relevantes para lo solicitado. Con tus compañeros establezcan un acuerdo para cada una de ellas. a.
¿Qué operación matemática se debe usar para representar la cantidad de máquinas que se prestarán a cambio del mineral solicitado? _______________________________________________________________________________________
b.
¿Ayuda en algo suponer que la variable “ y” representa las máquinas que se prestará, y la variable “ x”, la cantidad de toneladas dadas? ¿Por qué? _______________________________________________________________________________________
c.
La pendiente de la recta de la ecuación, ¿qué permite identificar? _______________________________________________________________________________________
d.
¿Depende el número de máquinas del mineral que se aporta? _______________________________________________________________________________________
e.
¿Cómo se representa en el plano cartesiano el no aporte de mineral a la empresa china? _______________________________________________________________________________________
3.
Experimento para resolver el problema a.
¿Cómo puede relacionarse la cantidad de máquinas prestadas a partir de la cantidad de mineral aportado? ¿Existe una proporción que se cumpla? _______________________________________________________________________________________
b.
Escribe una expresión algebraica que represente la cantidad de equipos de perforación prestada a partir de una cantidad desconocida de mineral. _______________________________________________________________________________________
c.
Escribe una expresión algebraica que represente la cantidad de vehículos de tracción pesada a prestar a partir de una cantidad desconocida de mineral. _______________________________________________________________________________________
d.
¿Cómo serán las representaciones cartesianas de ambas situaciones? Presenta un bosquejo de cada una en diferentes planos cartesianos. _______________________________________________________________________________________
86
4.
Propongo una expresion matemática Lleguen en grupo a acuerdos y planteen las siguientes conclusiones:
5.
a.
Las magnitudes involucradas son directamente _________________, ya que las razones que se presentan entre ellas son _________________.
b.
La expresión algebraica que determina la cantidad de equipos de perforación que se prestarrá a partir de una cantidad desconocida de mineral es: ______________________. Esta se puede expresar como la siguiente función lineal: ______________________.
c.
La expresión algebraica que determina la cantidad de vehículos de tracción pesada que se prestará a partir de una cantidad desconocida de mineral es: _____________________. Esta se puede expresar como la siguiente función lineal: ______________________.
Valido la solución del problema Usando las funciones establecidas y las gráficas creadas, determina analíticamente la cantidad de maquinaria que se prestará de cada tipo por 8 toneladas de mineral.
Finalicemos
Reflexiona 1.
2.
¿Por qué se puede expresar una proporcionalidad directa como una función no afín?
Autoevaluación
¿Qué característica cumple el dominio de una función no afín ligada a una proporcionalidad?
2.
Determino valores relevantes de una función lineal.
Escribe la función lineal que modela cada relación de proporcionalidad directa. a.
Cantidad de comida para perro en una veterinaria si se necesita 200 g por cada perro.
Represento en el plano cartesiano funciones lineales de comportamientos proporcionales.
b.
Cantidad de levadura que se usará si cada porción de un postre necesita 12 g.
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
c.
Tiempo requerido para escribir en un computador si se digitan 80 palabras por minuto.
Coevaluación Propuse soluciones a las actividades propuestas en equipo.
La cantidad de líquido suavizante para cada prenda en una lavandería es de 20 ml por pieza. a.
é r g o l o L
Asocio una relación proporcional a una función que la modela.
Resuelve situaciones significativas 1.
e o m y d o r o t a b z s n e r e a r D o o g f o s L l e
Se valoró cada uno de los aportes realizados por los integrantes del grupo.
Escribe una función lineal que relacione la cantidad de líquido que se usará en total por una cantidad desconocida de prendas.
Metacognición
b.
Presenta la gráfica de la función planteada en el literal anterior.
¿Doy importancia a la relación que existe entre proporcionalidad y función lineal? _______________________
c.
¿Cuánto líquido suavizante debe usarse al lavar 11 prendas?
____________________________________________ ____________________________________________
87
Cambio
Ficha 18
Aplicación de la función lineal en variadas situaciones
Taller de matemática 1.
Mucho cobre (Problemas de traducción simple) Luis es técnico en electricidad y sabe que el mejor material para usar en el cableado de los circuitos eléctricos de una casa en construcción es el cable de cobre, ya que permite un camino estable de la corriente y su durabilidad es óptima. La cantidad de material de cable para usar en el momento de realizar cada uno de los circuitos se puede expresar con una función que depende de la cantidad de puntos de salida eléctrica, como son tomas de corriente y rosetas para los focos. Juan usa 2 kg de cable por cada 3 puntos de salida. Esta variación de la cantidad de cable por cada punto de salida de co2 rriente se expresa como m = . Por tanto, 3 si no se presentan puntos de salida, entonces no se usa cable de cobre. a.
b.
c.
Representa la cantidad de cable para 0 puntos de salida eléctrica, como un par ordenado de valores.
2 Usa m = y el punto establecido para hallar la función que determina el peso de cable de cobre que se usará dada 3 la cantidad de puntos de salida eléctrica. (Nombra ƒ a la función que depende de x puntos de salida eléctrica).
Presenta una lista de valores posibles que pueden ingresar a esta función y determina qué tipo de conjunto hace de dominio de la función.
d.
Define el rango de la función que modela la situación.
88
2.
Calibre
. temperatura (Problemas de traducción compleja)
vs
Y
De acuerdo con el manual de elaboración de un regulador de calor hecho en cobre, se debe tener en cuenta el calibre del cable para usar en su fabricación. El calibre de un cable es un número decimal que indica su grosor y se caracteriza porque entre menor es, el cable se va ensanchando. Por ejemplo, un cable de cobre de calibre –2 es más ancho en comparación con un cable de calibre 3. Dicha característica hace que se afecte la temperatura (ºC) del regulador.
10 9 8 7
f ( x )
6 5 4 3 2 1
En la gráfica se representa la relación entre el calibre del cable y la temperatura del regulador, donde ƒ es la función de temperatura que depende de x , siendo x el calibre del cable que se usa en la elaboración.
–2 –1 0 1 –1
X 2
3
4
5
6
Figura 18.1
Un operario debe elaborar reguladores según una solicitud en las que solo le indican el calibre que debe usar, para lo cual tiene varios cables de cobre en distintos calibres. Sabe que el uso de cada uno hará que cambie la temperatura del regulador; por tanto, debe calcular la temperatura que cada uno de estos generará. ¿Cuál es la función que le permite hallar la temperatura? Comprendo el problema a.
¿El calibre del cable de cobre hace que aumente o disminuya la temperatura del regulador? Justifica tu respuesta. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
b.
¿Que características debe tener la expresión algebraica que modele la situación? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
Diseño una estrategia c.
El operario afirma que usar cable de cobre de calibre 0 hará que la máquina no genere temperatura. ¿Para qué sirve tener esta información en la solución del problema? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
d.
Usa el concepto de pendiente de una recta para cambiar los espacios: Por cada _______ que aumenta de calibre, la temperatura aumenta en ___________________ y la ordenada del punto de intersección con el eje y es _____________________________.
Aplico la estrategia e.
La expresión algebraica que representa la función es: _____________________
89
Transfiero lo aprendido f.
Determina el dominio y rango de la función que se representa en la figura 18.1. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
g. Determina analíticamente la temperatura de un regulador que está conformado por un cable de calibre 15 y 3,2.
______________________________________________________________________________________ h. ¿Cuál es la condición necesaria del cable para generar una temperatura siempre entera? ¿Por qué?
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
Latidos del corazón (Situaciones problemáticas realistas) Por razones de salud la gente debería limitar sus esfuerzos, por ejemplo al hacer deporte, para no superar una determinada frecuencia cardiaca. Durante años la relación entre la máxima frecuencia cardiaca recomendada para una persona y su edad se describía mediante la fórmula siguiente: Máxima frecuencia cardiaca recomendada = 220 – edad Investigaciones recientes han demostrado que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es la siguiente: Máxima frecuencia cardiaca recomendada = 208 – (0,7 × edad) Un artículo de periódico afirma: “El resultado de usar la nueva fórmula en lugar de la antigua es que el máximo número recomendado de latidos cardiacos por minuto disminuye ligeramente para los jóvenes y aumenta ligeramente para los mayores”. ¿A partir de qué edad aumenta la máxima frecuencia cardiaca recomendada como resultado de introducir la nueva fórmula? Muestra tus cálculos.
4.
Transmisor de corriente El cobre se considera como un buen transmisor de corriente debido a la poca resistencia que genera, por lo cual es el segundo mejor metal con este propósito, después de la plata. Por tal motivo, se usa para todo tipo de conexión eléctrica que se permita. Uno de los rasgos característicos es lograr tomar varios alambres delgados de esta materia y trenzarlos, generando así mayor fuerza y manteniendo sus propiedades conductoras. Sin embargo, la cantidad de estos hilos hace que aumente proporcionalmente el diámetro de cada cable. La función en milímetros que modela este comportamiento es: ƒ ( x ) = 0,5 x
donde se considera a x la cantidad de alambre fino que conforme el cable. Para identificar el cable adecuado que se usará en una instalación eléctrica, puedes realizar una tabulación que te permita realizar la gráfica de la función. Usa la tabla 18.1. Alambres Diámetro
Tabla 18.1 90
Usando la tabla anterior realiza la gráfica correspondiente.
•
•
Si se necesita un cable conformado por 19 alambres, ¿cuál es el diámetro del cable que se usará? ______________________________________________________________________________________ Si se desea pasar un cable por una tubería de 11 cm de grosor, ¿cuál es máximo número de alambres que puede conformar el cable que se usará? ______________________________________________________________________________________
Finalicemos Reflexiona Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas. 1.
Autoevaluación
La gráfica de la función y = x es perpendicular a la gráfica de la función lineal y = – x.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
é r g o l o L
Establezco una función lineal a partir de la pendiente y un punto.
________________________________________ 2.
Interpreto gráficas de funciones lineales.
Los puntos (2; 5) y (–2; –5) pertenecen a la representación gráfica de una función lineal.
Relaciono gráficas de funciones lineales a tablas y expresiones algebraicas.
________________________________________
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación 1.
Halla la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 e intersecto (0) en el eje Y .
Coevaluación
2.
Grafica la función que representa la anterior expresión sin realizar tabulación.
Argumenté mis ideas adecuadamente frente al equipo.
3.
Determina el dominio y rango de la anterior función analizando la gráfica realizada.
Se tomaron decisiones en grupo de forma asertiva.
4.
Una empresa A de telefonía móvil cobra a sus afiliados una cuota de S/. 1 por cada canción descargada. La compañía B cobra una cuota mensual fija de S/. 3 por cada canción descargada. a.
b.
Metacognición ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en mi vida cotidiana? _______________________________________ ____________________________________________
Escribe una función que represente el valor por pagar en la compañía A al descargar x canciones.
____________________________________________ ____________________________________________
Escribe una función que represente el valor por pagar en la compañía B al descargar x canciones.
____________________________________________ ____________________________________________
91
Cambio
Ficha 19
Modelación matemática Como proyecto para observar el comportamiento de un almacén especializado en artículos de plata se solicita a un grupo de estudiantes simular la compra de material, su manipulación y su venta, así como revisar los costos de producción, el inventario y las ganancias que pueden lograrse bajo una buena administración del almacén. Los estudiantes disponen de representaciones gráficas, tablas, precios de compra y precios de venta. Al finalizar el análisis, deben exponer lo realizado a cada uno de sus compañeros de clase. Para empezar, uno de ellos adquiere una docena de aretes, los cuales desea vender al doble del precio de su compra, y después realizar un proceso de seguimiento matemático financiero.
Cuenta tu experiencia •
•
¿En tu colegio han simulado la creación de algún tipo de tienda? ¿Por qué una actividad de simulación de una tienda se puede utilizar en una clase de matemáticas?
Iniciemos Resuelve las siguientes situaciones. a.
Establece el precio de compra y el precio de venta de los aretes.
b.
Si se venden los aretes, ¿se puede establecer la ganancia total en nuevos soles? ¿Por qué?
c.
¿Qué sucede con las ganancias si aumenta la cantidad de aretes vendidos?
d.
Para iniciar una tienda se debe aportar una cantidad de dinero, ¿cómo se representa ese valor, como un valor positivo o negativo? ¿Por qué?
92
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto En las investigaciones previas y la preparación en la simulación de una tienda encargada de vender plata pura, determina que el precio de venta depende del peso que solicite el comprador. En esta preparación se le da al grupo S/. 96 para invertir en plata pura. Se basan en la siguiente tabla para determinar los precios de compra por gramo de plata: Peso de la plata (gramos)
1
2
3
4
Precio de compra (S/.)
24
48
72
96
Al iniciar las ventas, el estudiante encargado del inventario de la tienda presenta la gráfica 19.1, exponiendo la necesidad de una venta mínima para recuperar lo invertido. Asimismo, señala un precio sugerido de venta. •
Y 156 144
Los integrantes del grupo al analizar la gráfica identifican que a partir de la venta del tercer gramo de plata se recupera la inversión; además establecen que vendiendo todos los gramos, dispondrán de dinero para aumentar en 2 los gramos comprados para la siguiente venta.
132 120
108
a. A partir de la tabla establece si se presenta una relación proporcional
96
directa.
84
_____________________________________________________
72
b. Modela una función que exprese el costo de la plata pura.
60 48
______________________________________________________
36
c. Modela una función que exprese el dinero que se recibe por la venta
de la plata pura.
24
______________________________________________________
12 X
0
d. Establece las características del dominio y rango de ambas situaciones.
______________________________________________________ 2.
Reconozco el principal problema y trazo un plan
–1
–6
1
2
3
4
5
–18
Figura 19.1
Las siguientes indicaciones permiten seleccionar la información precisa para cumplir con lo solicitado; por tanto, es importante cada aspecto que se escriba. •
Reúnete con tres de tus compañeros y realicen una lista con la información que consideren importante para identificar la expresión algebraica que modele el dinero necesario para la compra de la plata pura a partir de su peso. Lista 1
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
Identifiquen en una segunda lista los aspectos relevantes para modelar la expresion algebraica que represente las ganancias en la venta de los aretes.
93
Lista 2
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Las siguientes preguntas permiten identificar aspectos relevantes para lo solicitado. Llega con tus compañeros a un acuerdo en cada una de ellas. a.
Para la función del costo de la plata pura: •
¿Se presenta en la tabla una constante de proporcionalidad? ________________________________________________________________________________
•
¿Cómo se representa el costo de compra de cada gramo de plata a S/. 24 el gramo? ________________________________________________________________________________
b.
Para la función del dinero recibido en la venta de la plata pura: •
¿Qué información aporta la gráfica 19.1? ________________________________________________________________________________
•
Completa la siguiente tabla, la cual representa el dinero que se aporta dependiendo de los gramos de plata vendida. 1
Peso de la plata (gramos)
2
3
4
Precio de compra (S/.) 3.
Experimento para resolver el problema a.
Para la función de las ganancias en la venta de la plata pura. Sin utilizar apoyo adicional presenta la gráfica que se ajusta al precio de compra de gramos de plata pura.
b.
Para la función del dinero que se recibe en la venta de la plata pura. Determina la función que represente el dinero que se recibe por la venta de la plata con una función que se llame g( x ), donde “g” es la función del dinero recibido que depende de “ x ” gramos vendidos de plata pura. ____________________________________________________________________________________
4.
Propongo una expresión matemática Lleguen en equipo a acuerdos y completen las siguientes afirmaciones: a.
La primera expresión indica el costo por la compra de determinada cantidad de plata. La función que representa dicha situación es: _________________________. 94
b.
La segunda expresión indica el dinero recibido por la venta de determinada cantidad de gramos de plata pura. La función que representa dicha situación es: _________________________.
c.
Las dos funciones tienen como dominio _________________________________; sin embargo, el rango de la primera función es __________________, en comparación con el rango de la segunda función.
d.
La afirmación: “Los integrantes del grupo al analizar la gráfica identifican que a partir de la venta del tercer gramo de plata se recupera la inversión; además establecen que, vendiendo todos los gramos, dispondrían de dinero para aumentar en 2 los gramos comprados para la siguiente venta ” es verdadera, ya que: ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
5.
Valido la solución del problema Compara las dos funciones halladas en los demás grupos y establece si corresponden a las situaciones planteadas.
Finalicemos
Reflexiona •
•
¿Por qué puede expresarse una situación de venta de artículos como una función lineal?
Autoevaluación
¿Cuál valor específicamente varía en la expresión algebraica de la función lineal si se cambia el precio de venta de un artículo?
Determino valores relevantes en la modelación de una función lineal.
Escribe la función lineal o que modela cada enunciado.
Represento comportamientos reales en tablas y gráficas.
a.
El valor de y es igual al triple de la incognita de x .
b.
El perímetro de un cuadrado es cuatro veces la longitud de uno de sus lados.
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación
La altura de un árbol es igual a tres centímetros por su edad en años. En una tienda deportiva cada camiseta de un equipo de fútbol tiene un costo de S/. 70. c.
2.
a.
Escribe una función lineal que relacione el costo de cada camiseta con el valor que debe pagarse por la compra de x camisetas.
b.
Representa gráficamente la función lineal hallada.
c.
Responde: ¿Cuánto debe pagarse por la compra de 25 camisetas?
é r g o l o L
Asocio a una situación problema una función que la modele.
Resuelve situaciones significativas 1.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Trabajé colaborativamente para el desarrollo de la actividad. Las decisiones se tomaron en concenso con el equipo.
Metacognición ¿Es importante establecer las condiciones algebraicas de una función en una situación real? ________________ ____________________________________________ ____________________________________________
95
Cambio
Ficha Ficha 20
Aplicación de proporción en variadas situaciones
Taller de matemática 1.
Modelando medidas (Problemas de traducción simple) Un grupo de estudiantes deciden realizar una especie de excavación en una zona que se caracteriza por tener diferentes tipos de mineral en la tierra. En ella desean encontrar greda o arcilla, la cual pueden usar en la elaboración de diferentes tipos de vasijas para su clase de arte. Juliana logra recolectar un total de 24 libras de arcilla. Ella tiene grandes habilidades artísticas y desea reproducir artículos representativos incas. En su investigación encuentra que puede crear varias vasijas del mismo tamaño o usar toda en una sola cerámica. Por este motivo, decide crear una tabla en la cual se indique la cantidad de arcilla que se usará en cada vasija y cuántas de un mismo tamaño puede obtener al repartir equitativamente el material. Se da cuenta de que para hacer una sola vasija requiere 3 libras de arcilla; para dos vasijas, 6 libras, y para tres, 9 libras, como se muestra en la siguiente tabla: Número de vasijas
1
2
3
Arcilla que se necesita (libras)
3
6
9
Tabla 20.1
¿Cómo puede calcular Juliana la cantidad de arcilla necesaria a medida que aumenta la cantidad de vasijas? ______________________________________________________________________________________ Usa la siguiente tabla para representar los demás casos: Número de vasijas
1
2
3
24 12
24
24
12
Arcilla en cada vasija (libras)
3
6
9
1
1
1
2
2
Tabla 20.2
Después de elaborar la tabla, ella decide realizar una gráfica en el plano cartesiano de la relación de estas magnitudes para así orientar mejor su trabajo. a.
¿Cómo es la gráfica en el plano cartesiano que dibuja Juliana? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
b.
¿Cómo está relacionada la cantidad de arcilla que usará en comparación con la cantidad de vasijas que se elaborarán? ¿Por qué? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 96
2.
Mejorando el tiempo (Problemas de traducción compleja) Fernanda es una profesora de arte cuya especialización está en la manufacturación de artículos incas. Este tipo de alfarería requiere de la búsqueda de greda en una tierra que predomine la roca sedimentada. Para esto, enseña a los estudiantes las características de los terrenos favorables en su búsqueda. Sabe que si envía a uno de los estudiantes, traerá en promedio 1,5 libras de arcilla. Por este motivo, solicita voluntarios para aumentar la cantidad. Al cabo de un rato se van uniendo a la búsqueda varios estudiantes, de tal forma que se puede estimar una cantidad de arcilla más favorable en sus intenciones. La gráfica 20.1 relaciona la cantidad de estudiantes con el peso de arcilla que se usará en clase:
) s a r i l ( e s a l c n e á r a s u e s e u q a l l i c r a e d o s e P
Y
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
X
Cantidad de estudiantes
Figura 20.1 •
¿Qué cantidad de estudiantes voluntarios se necesitan para obtener las 10,5 libras de greda necesaria para la clase de arte?
Comprendo el problema a.
¿Cómo están relacionadas las magnitudes que se proponen en la situación? ¿Por qué? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
b.
¿Qué tipo de proporcionalidad se presenta al interpretar la gráfica? ¿Por qué? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
c.
Analiza la situación y apóyate en la gráfica para establecer dos características que te permitan entender mejor el problema. ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
Diseño una estrategia d.
Nombra algunos puntos importantes de la gráfica.
e.
Crea una tabla que relacione las magnitudes de la gráfica.
f.
Deduce algunos valores que cumplan con la situación planteada.
97
Aplico la estrategia g. Completa:
La cantidad de estudiantes que se necesitan para obtener las 10,5 libras de arcilla necesarias para la clase de Arte es: ___________________________________________________________________________________ Transfiero lo aprendido h. Por solicitud del colegio y en vista de realizar una actividad cultural, se pide crear más vasijas para una exposición, lo cual hace que aumente la cantidad necesaria de greda. Juliana realiza un nuevo cálculo y establece que debe solicitar mayor cantidad de greda por estudiante, ya no 1,5 libras como antes había calculado, sino una libra más. ¿Cómo es la gráfica con esta nueva información? ¿Cuántos estudiantes se necesitan para encontrar la greda para 15 vasijas si para cada una hacen falta 2 libras de arcilla?
3.
Aula especial (Situaciones problemáticas realistas) Para un curso vacacional un instituto de artes habilita un aula diseñada especialmente para la enseñanza de la alfarería. En ella se pueden encontrar hornos, espátulas, mesas de diseño y, obviamente, la arcilla que utilizarán los estudiantes. Fabián es el encargado de suministrar el material necesario para que el curso no se vea afectado por la falta de algún recurso. Sin embargo, informa que la adquisición de la arcilla es limitada para este curso; por tanto, deben tener un seguimiento en el uso de este material. El seguimiento lo hará usando tablas y gráficas. Las personas encargadas de hacer la inscripción se da cuenta de que el curso solo tendrá éxito si cada participante dispone de 3 libras de arcilla para poder manufacturar los artículos necesarios para adquirir habilidad en la técnica. 2 Presenta el control de arcilla en la siguiente tabla: Cantidad de estudiantes inscritos Cantidad de arcilla en libras
•
Si disponen de 13 libras y media de arcilla, ¿máximo cuántos estudiantes se pueden inscribir en el curso?
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo es la gráfica que representa la situación planteada?
98
•
Si x es la cantidad de estudiantes que se inscribirán y y la arcilla total que se usará, ¿qué expresión permite establecer la cantidad total de arcilla ( k ) para distribuir? ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Al observar las predicciones los encargados deciden cambiar la regla de entregar 1 kg exacto a cada estudiante; ¿cómo afecta esta decisión en las predicciones? (1 libra = 0,45 kg)
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Bajo la nueva condición, si x es la cantidad de estudiantes que se inscribirán, y k la cantidad total de arcilla, ¿qué expresión permite establecer la cantidad y de arcilla que recibiría cada estudiante? ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Finalicemos Finalicemos Reflexiona Determina si la variación que hay entre cada pareja de magnitudes es directa. •
•
•
•
Autoevaluación
La velocidad y la distancia recorrida por un automóvil durante un periodo determinado de tiempo.
é r g o l o L
Analizo situaciones cuyas magnitudes son directamente proporcionales.
El salario mensual de un empleado y la cantidad de dinero que debe pagar por impuesto sobre ingresos.
Asocio características de magnitudes directamente proporcionales a situaciones reales.
El tiempo que emplea en derretirse un cubo de hielo sumergido entre agua, y la temperatura del agua.
Represento comportamientos reales en tablas y gráficas.
El número de calorías consumidas por una persona y la cantidad de ejercicio que debe realizar para quemarlas.
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación
Resuelve situaciones significativas
Argumenté mis ideas adecuadamente frente al grupo.
El tiempo t requerido para construir un muro varía directamente con respecto al número m de ladrillos que se deban colocar en él. Si colocar 50 ladrillos necesita 4 horas de trabajo... 1.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o L s l e
Se tomaron decisiones en grupo de forma asertiva.
Escribe una función de variación directa que relacione el tiempo t con la cantidad de ladrillos m.
Metacognición
2.
¿Cuál es el valor de k ?
¿Qué aprendí en el desarrollo de es ta ficha? __________
3.
Determina el tiempo empleado para colocar 225 ladrillos.
_____________________________________________
4.
_____________________________________________
Representa gráficamente la función de variación hallada. 99
Forma
Ficha 21
Riqueza espiritual Otros tipos de minerales que se encuentran en el Perú son los no metálicos. Estos tienen la cualidad de tener características similares a los cristales. Su forma y traslucidez generan una atracción mística en la posesión de este tipo de piedras. La forma de estas piedras se ve afectada por distintas variantes durante su elaboración natural. Por tal motivo, se pueden encontrar distintas estructuras; por ejemplo, bloques cúbicos, prismáticos de diferente base o tubulares. Asimismo, la gama de colores resalta y complementa la belleza de esta riqueza espiritual.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Tienes algún tipo de mineral que cumpla con lo descrito en el texto? ¿Sabes por qué las piedras minerales adquieren formas simétricas a través del tiempo? ¿Cómo usarías este tipo de mineral para dinamizar tu aprendizaje en geometría?
Iniciemos Resuelve las siguientes situaciones. a.
Describe usando lenguaje geométrico la piedra que se muestra en la imagen.
b
¿Cuál es la representación gráfica de los minerales descritos en el texto?
c.
Consulta en Internet ejemplos de construcciones que tengan forma de pirámide, prisma, cono, cilindro y esfera. ¿Qué características importantes se pueden establecer entre ellos?
100
Resolvamos: Laboratorio de matemática 1.
Trabajo con material manipulable Del desglosable “Minerales prismáticos” recorta con cuidado cada una de las figuras teniendo en cuenta los bordes o pestañas que se van a utilizar para armarlas. Toma cada uno de los materiales y determina cómo unirlos, de tal forma que se puedan obtener los siguientes sólidos:
Figura 21.1
2.
a.
Comparte con tus compañeros algunos consejos en la construcción de estos sólidos.
b.
Para cada una de las estructuras verifica las siguientes características. •
Analiza sus diferencias de acuerdo con las caras de los sólidos.
•
Observa las características en las superficies de cada cara del sólido.
•
Identifica el tipo de figuras geométricas que conforman el sólido, es decir, identifica rectángulos, círculos, triángulos, cuadrados, entre otros.
•
Con dos bolígrafos o plumones de diferente color nombra cada cara, clasificalas en regulares o irregulares.
Incorporo lenguaje matemático a mis acciones Para cada una de las construcciones completa la ficha a partir de la observación y clasificación realizada en el paso anterior. Reconoce el nombre del prisma. Piedra azul
Piedra roja
Está conformada por:
Está conformada por:
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Tiene ____ caras hexagonales y ____ rectangulares.
Tiene ____ bases circulares.
Se denomina: _____________________________
Se denomina: _____________________________
Piedra verde
Piedra morada
Está conformada por:
Está conformada por:
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Tiene ___ caras pentagonales y ____ rectangulares.
Tiene ____ caras cuadradas y ____ rectangulares.
Se denomina: _____________________________
Se denomina: _________________________ 101
Piedra amarilla
Está conformada por: ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Tiene _____ caras regulares y _______ irregulares. Se denomina: _________________________
Expreso mis ideas Cada una de las piedras representa un poliedro o un cuerpo redondo. Los poliedros están conformados por regiones poligonales, y los cuerpos redondos son estructuras que se generan al hacer girar una figura plana sobre un eje. A partir de la información anterior, clasifica cada una de las piedras en el siguiente cuadro: Clasificación Piedra
Poliedros
Cuerpo redondo
Justificación
Azul Verde Roja Morada Amarilla .
Formulo expresiones simbólicas Dibuja en cada cuadrícula la estructura plana que se necesita para crear cada una de los piedras que se describen en cada situación. Piedra 1
Piedra 2
Prisma de base pentagonal regular
Prisma de base hexagonal regular
Piedra 3
Prisma de base cuadrada
102
Finalicemos 3.
Reflexiona •
Observa los sólidos de la figura 21.2; escribe en cada caso el número del sólido o de los sólidos que cumplan la característica que se indica.
1
2
3
Realiza un análisis de cada una de las siguientes figuras e intuye el nombre adecuado.
4
Figura 21.2 a.
Tiene una cara que es un triángulo.
b.
Tiene una cara que es un círculo.
c.
Tiene seis caras.
d.
Es un cuerpo redondo.
e.
Tiene cinco caras.
f.
Tiene dos bases.
Figura 21.4
Autoevaluación
é r g o l o L
Clasifico prismas a partir de la comparación.
Resuelve situaciones significativas 1.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
En la figura 21.3 se muestra el siguiente paralelepípedo. Averigua el nombre común de la figura.
Construyo prismas a partir de los desglosables. Realizo representaciones en dos dimensiones de un prisma a partir de sus características morfológicas. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación Planteé mi punto de vista en e l desarrollo de las actividades propuestas.
Figura 21.3 2.
Determina si cada afirmación es falsa (F) o verdadera (V) y justifica tus respuestas.
El equipo de trabajo planteó ideas para el desarrollo de la actividad.
Metacognición
a.
Un cilindro es una clase de prisma.
¿Doy importancia al establecer características de un prisma? _____________________________________
b.
Las caras de un prisma son paralelas entre sí.
________________________________________
Las caras de un prisma octagonal son trapecios.
____________________________________________
c.
103
Forma
Ficha 22
Soluciones geométricas Un exportador de piedras prismáticas genera un catálogo dividido en dos partes. La primera es una descripción de cada una de las piedras. En ella se indica el número de caras, el número de bordes o aristas y la cantidad de vértices de cada una. En la segunda parte se presenta la gráfica de cada una de las piedras con su correspondiente referencia de venta. Sin embargo, en el momento de imprimir y enviar el catálogo a sus clientes, solo llega una de las dos partes. Por tanto, la información se ve limitada a la interpretación de pocos datos. Por ejemplo, uno de los compradores recibe solamente la imagen de una piedra en forma de cubo llamada “Imagen 1” y otra en forma de prisma pentagonal llamada “Imagen 2” sin ninguna otra información.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿De qué forma es tu salón de clases? ¿Cuántas esquinas tiene tu salón? En total, ¿cuántas paredes tiene tu salón? Añádele el techo y el piso; ¿cuántas caras tiene?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. a.
Analizando la imagen 1, ¿cuántas caras tiene dicha piedra?
b.
Una piedra está conformada por 7 caras, ¿cuál será esa piedra?
c.
Analizando la imagen 2, ¿cuántos vértices tiene la piedra?
104
Resolvamos: Modelo Van Hiele 1.
Respondo interrogantes Observa las siguientes figuras y contesta las preguntas relacionadas:
Figura a
Figura b
Figura c
Figura d
Figura e Figura 22.1
a. ¿Qué características tienen en común todas las figuras?
_______________________________________________________________________________________ b. ¿Qué polígonos conforman la figura a?
_______________________________________________________________________________________ c. ¿Qué polígonos conforman la figura b?
_______________________________________________________________________________________ d. ¿Qué polígonos conforman la figura c?
_______________________________________________________________________________________ e. ¿Qué polígonos conforman la figura d?
_______________________________________________________________________________________ f.
¿Qué polígonos conforman la figura e? _______________________________________________________________________________________
g. ¿Qué polígono es común en las tres primeras figuras?
_______________________________________________________________________________________ h. ¿Cuántas aristas tiene la figura a?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ i.
¿Puede establecerse una expresión para determinar el número de aristas de una de las figuras a partir de la forma de sus caras? ____________________________________________________________________________________
2.
Realizo actividades organizadas A partir de la siguiente figura 22.2 completa la tabla.
A
B
C
105
D
E
F
Figura 22.2
Figura
Polígono de la base
Número de lados del polígono de la base
A B C D E F
A partir de la figura 22.2 completa la tabla. Figura
Polígono de la base
Número de caras
Número de vértices
Número de aristas
A B C D E F a.
Analizando las dos tablas, ¿qué relación puede establecerse entre la base del prisma y el número de caras, vértices y aristas? ______________________________________________________________________________________
b.
Al conocer el número de lados de la base del prisma, ¿puede calcularse el número de aristas del prisma? Explica. ______________________________________________________________________________________
.
Explico lo realizado a.
Dado el número de aristas de un prisma, ¿cómo puede saberse el número de lados del polígono que forma su base? ______________________________________________________________________________________
b.
Si se conoce el número de caras del prisma, ¿se puede determinar el número de vértices? ¿Por qué? ______________________________________________________________________________________
c.
A un prisma cuya base es un triángulo, se lo llama prisma triangular; al de base cuadrada, prisma cuadrado, y así sucesivamente; por tanto, ¿cómo se llama un prisma cuya base tiene 7 lados? ______________________________________________________________________________________
d.
¿Cuál es la expresión algebraica que permite determinar la cantidad de aristas, caras y vértices de un prisma, al conocer el número de lados de su base? ______________________________________________________________________________________
.
Propongo un diseño creativo En el texto inicial de la ficha se presenta una situación para solucionar, ya que haber perdido una de las partes del catálogo implica desconocer la forma de las piedras; sin embargo, en la primera parte del catálogo, se indican valores importantes de cada piedra (base, aristas y vértices). Grafícalas bajo las siguientes condiciones: •
Una piedra de 16 vértices.
•
Una piedra de 18 aristas.
Realiza la actividad en tu cuaderno. 106
Una piedra con 8 caras.
5.
Organizo mis ideas Completa las siguientes afirmaciones. a.
Para determinar el número de caras, aristas y vértices de un prisma es necesario: ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
b.
La cantidad mínima de caras de un prisma regular es cinco, ya que: ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
c.
El número de aristas y de vértices son múltiplos de ____________________________________correspondiente al número de ____________________________________.
Finalicemos
Reflexiona •
Entre un prisma pentagonal y una pirámide pentagonal, ¿cuál sólido tiene más aristas? ________________________________________
•
Entre un prisma octogonal y una pirámide decagonal, ¿cuál sólido tiene más vértices? ________________________________________
•
Entre un prisma cuadrangular y un prisma pentagonal, ¿cuál sólido tiene más caras? ________________________________________
•
Autoevaluación
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o L s l e
Identifico características de los prismas regulares. Determino magnitudes propias de los prismas regulares a partir de una información en particular. Describo prismas regulares a partir de valores de aristas, caras o vertices. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
¿Una esfera tiene base? ________________________________________ ________________________________________
1.
Escribe el nombre del poliedro que tiene 21 aristas y 9 caras en total, de las cuales 7 son paralelogramos congruentes.
2.
Ana no asistió a la clase de Matemática en la que estudiaron los conceptos de poliedro, en especial los prismas regulares. Para nivelarse, llamó a su amigo René, quien le explicó la clase. ¿Cómo describirías telefónicamente la clase a otra persona?
Coevaluación Argumenté mis ideas adecuadamente frente al equipo. Trabajamos en equipo para el desarrollo de las actividades propuestas.
Metacognición ¿Establezco relaciones entre los elementos del prisma? ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________
107
é r g o l o L
Forma
Ficha 23
Aplicación de las unidades de referencia y convenciones en variadas situaciones
Taller de matemática 1.
Diseño (Problemas de traducción simple) Pablo realiza un curso de orfebrería con la intención de aprender a manipular el metal y crear estructuras artísticas. Su deseo es generar su propia línea artística a partir del ensamble de poliedros y cilindros. Se da cuenta de que le es más económico crear primero el exterior de su figura y después llenarla de otro mineral rocoso. Esto hace que maneje dos tipos de medidas para una de sus primeras piezas, la cual consiste en el ensamble de un prisma cuya base es un pentágono regular, apoyada sobre un disco cilíndrico un poco más ancho en comparación con el pentágono de la base del prisma, como se muestra en la figura 23.1
Figura 23.1
La primera medida que debe considerar es el material externo de la figura, en la cual solo usa láminas de cobre en centímetros cuadrados. La segunda medida es el relleno conformado por mineral rocoso en centímetros cúbicos. •
Si la apotema del pentágono de la base del prisma es de 6,9 cm, la medida de un lado del pentágono es 10 cm y su altura es 21 cm. ¿Cuántos centímetros cuadrados se van a usar de una lámina de cobre en la elaboración del prisma? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
•
Si el radio del círculo que hace de base del cilindro mide el doble de la apotema del pentágono de la base del prisma y la altura del cilindro es la mitad de la altura del prisma, ¿cuántos centímetros cuadrados se van a usar de una lámina de cobre en la elaboración del cilindro? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
•
¿Cuántos centímetros cúbicos de mineral rocoso debe utilizar Pablo para rellenar la estructura metálica? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ 108
2.
La práctica hace al maestro (Problemas de traducción compleja) Una de las actividades iniciales en un curso de orfebrería es la elaboración de estructuras metálicas básicas que permitan a los estudiantes generar habilidades en la manipulación de las herramientas para el doblaje y ensamble. Para ello, se le entrega a Pablo una lámina metálica ya cortada de un prisma para doblar, soldar y cubrir.
Figura 23.2
Al inicio de la actividad se evaluará cómo maneja la dobladora, de modo que cada pliegue sea lo más preciso posible, ya que de esto depende el cierre hermético de la figura. •
Realiza la gráfica que represente la figura ya cerrada del prisma que se obtiene al plegar la lámina que se le entrega a Pablo.
•
El triángulo base del prisma es un triángulo equilátero; por tanto, todos sus lados miden lo mismo. Si el prisma cerrado tiene un volumen de 720 centímetros cúbicos, el largo del prisma mide 15 centímetros y la altura del triángulo de la base mide 8 centímetros, ¿cuánto mide el lado del triángulo que hace de base del prisma?
Comprendo el problema a.
¿Qué aprendizajes se deben tener para contestar lo solicitado en esta ficha? ______________________________________________________________________________________
Diseño una estrategia b.
Realiza una lista de los elementos geométricos necesarios para solucionar el problema.
c.
Plantea una ecuación que permita dar solución al problema.
d.
Identifica valores solicitados y valores dados.
Aplico la estrategia e.
Realiza procedimientos matemáticos que te permitan identificar el valor que dé solución al problema.
f.
Completa: •
La medida del lado del triángulo que hace de base del prisma es______________ 109
Transfiero lo aprendido •
3.
Pablo debe forrar la estructura usando papel plástico. Si él dispone de 640 centímetros cuadrados de este material, ¿será suficiente para cubrir el prisma? ¿Cuánto material le sobra o le hace falta?
Granjas (Situaciones problemáticas realistas) Aquí ves una fotografía de una casa de campo con el tejado en forma de pirámide.
Abajo se muestra un modelo matemático del tejado de la casa con las medidas correspondientes. T
12m G
H
E F
D
C N
M
K
A
12m
L
12m
B
Figura 23.3
La planta del ático, ABCD en el modelo, es un cuadrado. Las vigas que sostienen el tejado son las aristas de un bloque (prisma cuadrangular) EFGHKLMN . E es el punto medio de AT ; F es el punto medio de BT ; G es el punto medio de CT; y H es el punto medio de DT . Todas las aristas de la pirámide miden 12 m de longitud. 110
a.
Calcula el área del suelo del ático ABCD. El área de la planta del ático ABCD es igual a________________m2.
b.
Calcula la longitud de EF . La longitud de EF es igual a________________m.
Problema liberado de Evaluación PISA 2012 109.
A través de la solución de este tipo de problemas, podrás reconocer los aspectos de un problema que se corresponden con la relación de proporción directa entre dos magnitudes.
Finalicemos
Reflexiona Responde las siguientes preguntas: •
Autoevaluación
Se pueden construir dos cilindros diferentes con dos hojas de papel iguales, como los de la figura 23.4; uno más corto y otro más angosto. ¿Cuál de los dos tiene mayor volumen?
Figura 23.4
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Resuelvo situaciones que involucran medidas de sólidos. Determino relaciones de medidas de bases de prismas y cilindros con su volumen y superficie. Relaciono unidades de medidas adecuadas al volumen y superficie de un sólido.
•
Si se toman dos hojas de papel iguales a las usadas en el ejercicio anterior, se pueden construir con ellas dos prismas como los de la figura 23.5. ¿Cuál de los dos sólidos tiene mayor volumen? Justifica tu respuesta.
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación
Coevaluación Argumento mis ideas adecuadamente frente al equipo.
Figura 23.5
Resuelve situaciones significativas Considera un recipiente cilíndrico de 3 dm de radio y 8 dm de altura.
Se tomaron decisiones en grupo de forma asertiva.
Metacognición ¿Doy importancia al volumen, área y perímetro de un sólido, en especial de los prismas regulares y cilindros?
1.
Calcula el volumen del recipiente.
2.
Si la altura del recipiente aumenta en 2 dm, ¿cuánto aumenta su volumen?
____________________________________________
Si la altura disminuye en 2 dm y su radio aumenta en 2 dm, ¿se mantiene el volumen?
____________________________________________
3.
111
____________________________________________
é r g o l o L
Forma
Ficha 24
Partículas geométricas La estructura química de los minerales se caracteriza por cumplir en su mínima representación una formación geométrica tridimensional, es decir, hay figuras poliédricas como prismas de caras irregulares y regulares en cada una de las piedras cristalinas y minerales. La calcita, piedra compuesta por carbonato de cal blando de colorido variado, presenta en su microestructura partículas específicamente ordenadas, que generan inicialmente un prisma irregular de forma romboide. El crecimiento exponencial de estas formaciones hace que se presente el característico diseño de estas piedras, como se muestra en la siguiente imagen.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Habías considerado alguna vez que las partículas de un mineral estuvieran organizadas de forma geométrica? ¿Conoces otros pequeños ambientes en los que se presentan formaciones geométricas?
Iniciemos Resuelve las siguientes situaciones.
Módulos de biblioteca
a.
¿Qué característica específica clasifica a los rombos?
b.
Analizando la imagen e investigando las características de un romboide, presenta una definición a tus compañeros.
c.
Dibuja la formación de partículas de la calcita.
Realiza los ejercicios propuestos en la sección 26 del libro El mentor de matemáticas, para afianzar algunos temas trabajados en la unidad relacionados con los sólidos. 112
Resolvamos: La Uve de Gowin 1. Actividad 1
En un laboratorio universitario se analiza la estructura de la Cianita (Al 2SiO5). Para esto, los estudiantes realizan un limado de este mineral y después observan con un microscopio electrónico la formación básica de la Cianita; luego proyectan su sombra en una pared blanca. Los practicantes saben que la ubicación de las partículas del mineral corresponde a un prisma donde las caras de las bases son rombos. a.
Realiza el registro en la Uve de Gowin.
b.
¿Cuáles son las posibles representaciones que observan los estudiantes al proyectar la sombra del prisma en la pared blanca?
c.
¿Qué posibles conclusiones presentaron los estudiantes al realizar la actividad del laboratorio?
Uve de Gowin Conceptualizo mis ideas
Planteo interrogantes
(Marco teorico, principios leyes y conceptos)
(Preguntas centrales a la situación)
Utilizo métodos
(Afirmaciones de valor y registro de hecho)
Tema de investigación o de estudio d. e.
Usa el desglosable de cianita, cálcalo en una cartulina y ármalo de manera tal que pueda manipularse. Con tres compañeros realiza seis diagramas de las posibles vistas del prisma desde diferentes ángulos. Trabajen en una hoja aparte.
113
2. Actividad 2
En una clase de Física el profesor realiza una actividad con el objetivo de generar una discusión sobre la interpretación que se puede dar de una información gráfica. El docente aprovecha la cualidad de traslucidez de los minerales, ya que al ser iluminados, estos generan una sombra interna del mineral. El profesor genera tres registros fotográficos del mismo mineral pero en distintas posiciones, es decir, obtiene tres sombras distintas al cambiar el ángulo de vista del mineral. Las tres fotografías se presentan al grupo de estudiantes, una por una, preguntando en cada caso a qué tipo de poliedro le corresponde la sombra. Al finalizar se plantea una conclusión sobre la i mportancia de analizar las condiciones de interpretación gráfica de una proyección de un sólido dependiendo del ángulo de observación. Las fotografías presentadas a los estudiantes de los registros realizados por este tipo de escáner, son las siguientes. a.
¿A qué poliedro corresponden las sombras presentadas por el profesor de Física? •
Desarrolla la Uve de Gowin y resuelve la situación.
Figura 24.1 . Actividad 3
Utiliza la Uve de Gowin y resuelve la siguiente situación. •
Representar un prisma cuya base corresponde a un triángulo rectángulo y su altura es igual a la medida de la hipotenusa del triángulo base.
Conceptualizo mis ideas
Planteo interrogantes
Tema de investigación o de estudio
114
Utilizo métodos
Compara con tus compañeros las gráficas realizadas y presenta una conclusión sobre las diferencias que se encontraron a pesar de que se trata del mismo sólido.
____________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona ¿Por qué la proyección de un prisma depende del ángulo de visión? ___________________________________________
Autoevaluación
___________________________________________
Uso modelos de diferentes tipos de prismas.
Resuelve situaciones significativas
Dibujo proyecciones de prismas considerando el ángulo de observación.
Grafica tres proyecciones que difieran considerablemente una de la otra de los siguientes primas:
Interpreto gráficamente posiciones y proyecciones de diversos prismas.
1.
Un prisma cuadrangular.
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación Trabajé en equipo para el desarrollo de las actividades propuestas.
2.
Se realizaron aportes significativos en el desarrollo de la actividad.
Un prisma triangular.
Metacognición •
¿Doy importancia a las interpretaciones de prismas a partir del análisis de su proyección?
____________________________________________ ____________________________________________
115
é r g o l o L
Forma
Ficha 25
Organización geométrica El embalaje de piedras minerales de formaciones especiales requiere de algunas especificaciones básicas para evitar daños considerables de estos elementos. Una empresa es contactada por un exportador peruano para crear cajas especiales cuya forma sean las más adecuadas para asegurar las piedras y evitar que no se muevan y además tengan un estilo característico que identifique al material que se transportan. Se desea hacer una recreación de estas cajas en clase de geometria. Inicialmente se busca crear 3 cajas que guarden: Un vela cilíndrica.
•
Un cubo Rubik.
•
Un modelo del edificio del Centro Cívico de Lima.
•
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Has elaborado algún tipo de caja? ¿Te gusta el origami? ¿Cómo fomentarías en tu colegio la actividad de plegar papel para elaborar figuras?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas: a.
¿Qué forma debe tener un papel para forrar la vela?
b.
¿Qué forma debe tener la base de la caja que guarda el cubo Rubik?
c.
¿Cuántas caras debe tener la caja que guarde el modelo del edificio del Centro Cívico de Lima?
116
Resolvamos: La Uve de Gowin 1. Actividad 1
Una de las cajas que se desea crear tiene base circular; para esto, se necesita regla y compás. Las especificaciones de la caja que se va a construir son las siguientes: •
Su altura debe medir 8 cm.
•
No debe tener tapa.
•
Su volumen está dado por la expresión 200π cm2.
Realiza el registro en la Uve de Gowin, teniendo en cuenta las siguientes preguntas y recomendaciones: •
Usa las medidas exactas en la creación del diagrama de la lámina que se usará.
•
No reemplaces el valor de π por su representación decimal aproximado.
a.
¿Cuál debe ser el radio de la caja que se va a crear? ____________________________________________________________________________________
b.
¿Cuáles son los pasos para crear la caja solicitada? ___________________________________________________________________________________
c.
¿Cuál es la representación gráfica de la lámina que se usa en la formación de la caja? Realiza el esquema haciendo uso de la regla y del compás para la base circular.
Conceptualizo mis ideas
Planteo interrogantes
Tema de investigación o de estudio
117
Utilizo métodos
2. Actividad 2
El berilio puede llegar a ser tóxico. Por tanto, se requiere de una caja formada por una sola lámina, en la cual el número de bordes para unir sea el menor posible. Por ser quebradizo, el berilio requiere que la caja en la cual se transporte tenga la forma exacta de la piedra. Se deben construir dos cajas con estas condiciones para dos de estas piedras con diferentes características. La primera piedra corresponde a un prisma regular, cuya base es un hexágono de lado 6 cm y apotema de 5 cm. La altura de la piedra es de 8 cm. La segunda piedra ha sido pulida, generando así un prisma regular de base pentagonal, donde todas sus aristas miden 7 cm. Realiza la Uve de Gowin para responder la siguiente pregunta: •
¿Cuáles son las representaciones gráficas de las láminas ya cortadas que se usarán en el transporte de ambas piedras de berilio?
Conceptualizo mis ideas
Planteo interrogantes
Utilizo métodos
Tema de investigación o de estudio 3. Actividad 3 •
Grafica el diagrama de un prisma octagonal donde la altura del prisma es el doble de un lado de la base. Utiliza la Uve de Gowin para resolver la situación.
118
•
Compara con tus compañeros las gráficas realizadas y presenta una conclusión sobre las diferencias que se encontraron a pesar de que se trata del mismo diagrama del sólido. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
¿Hay necesidad de realizar la representación del prisma abierto para saber cuántas caras tiene? ¿Por qué? ________________________________________ ________________________________________
•
Conocer la forma de la base del prisma determina el número de rectángulos que se usarán en su diagrama abierto. ¿Por qué? ________________________________________ ________________________________________
•
•
¿En qué se diferencian los diagramas de un prisma cuadrado de un cilindro de la misma altura y el mismo ancho?
Autoevaluación
e o m y d o r o t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
Describo el desarrollo de varios tipos de prismas y cilindros. Uso características de prismas y cilindros para construirlos. Deduzco características que permitan representar prismas y cilindros en otros contextos. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
Coevaluación
________________________________________
Argumenté mis ideas adecuadamente frente al equipo.
Describe el desarrollo de los prismas triangulares, pentagonales y de los cilindros.
Se tomaron decisiones en grupo de forma asertiva.
________________________________________
Metacognición
Resuelve situaciones significativas 1.
2.
Presenta tres formas diferentes de representar un cubo desde su diagrama abierto. 3
El volumen de un cubo mide 64 cm . ¿Cuántos cm mide el diagrama plano para armarlo?
2
119
¿Planteo conjeturas sobre las propiedades de los prismas y los cilindros? ____________________________________________ ____________________________________________
é r g o l o L
Evaluación Extracción y exportación Sigue el proceso de exportación de mineral desde su inicio en las canteras hasta su embalaje para envío al cliente. El proceso comienza con la extracción de mineral. Por tal motivo, se requiere de una cantidad determinada de explosivos para mover las rocas necesarias que permitan iniciar la selección del mineral que se desea.
1.
Material para desplazar (toneladas)
5
Dinamita usada (kg)
2
Con base en la tabla y considerando que representan magnitudes proporcionales, presenta la función que modela la cantidad de material que se puede mover a partir de una cantidad cualquiera de dinamita.
Y
________________________________________
s e l o s s o v e u N
________________________________________ 2.
Se dispone de 3, 7 y 10 kilogramos de dinamita para tres canteras distintas de material minero. Calcula el terreno que se puede desplazar con esta dinamita para cada una usando la fórmula presentada en el numeral anterior. Escribe los cálculos.
15 12 9 6 3 0
________________________________________ ________________________________________
5.
Determina la constante de proporcionalidad e identifica los soles que se pagarán por transportar 10 kilogramos de mineral. Presenta procesos.
6.
Los costos de envió a otro país de un mineral se da por el volumen que este ocupa; por tanto, se deben realizar varias mediciones que identifiquen a la pieza. Algunas piezas para medir son:
Justifica la expresión algebraica de la función que modela la situación.
•
________________________________________
•
________________________________________ 4.
X
________________________________________
f( x ) = 3 x 3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Peso en kilogramos
Manipulación del mineral
Para realizar el pulido y la formación y exponer mejor la piedra que se exportará, se usa un químico líquido que se encuentra inicialmente a 0 °C pero reacciona aumentado 3 °C por cada kilogramo de mineral que se sumerge. La función que modela esta situación es:
45 42 39 36 33 30 27 24 21 18
Determina el dominio y rango de la función justificando cada uno de ellos.
a.
____________________________________ b.
120
Determina el volumen de cada pieza; presenta el procedimiento para determinarlo. _____________________________________
________________________________________ Los costos de transporte de los minerales a la empresa encargada de medir y exportar cada mineral depende del material para enviar, debido al consumo del combustible, del personal y del tiempo en este envío. Esta situación se presenta en la siguiente gráfica:
Una piedra de forma cilíndrica de 5 cm de radio y 8 cm de altura.
_____________________________________
________________________________________
Transporte
Un prisma regular de base pentagonal, de 6 cm de altura, 6 cm de lado de la base, y 4 cm de apotema.
Determina el perímetro de cada pieza; escribe el procedimiento que seguiste para calcularlos. _____________________________________ _____________________________________
7.
Para enviar las piedras se utilizan cajas de la misma forma de la piedra. Una de las piedras que más se exporta se muestra en la siguiente gráfica.
Representa el diagrama de la caja que encierra el mineral que se exportará.
Producto 8.
Realiza una presentación indicando los temas más importantes de esta unidad, así como las operaciones y conceptos matemáticos que permitieron un mejor desarrollo de las actividades.
Autoevaluación
Indicadores
Debo esforzarme
Lo estoy logrando
Lo logré
Debo esforzarme
Lo estoy logrando
Lo logré
Asocio modelos referidos a la proporcionalidad directa y las funciones lineales. Describo el comportamiento de la gráfica de función lineal, examinando su intercepto con los ejes, su pendiente, dominio y rango. Empleo estrategias para resolver problemas de proporcionalidad, y función lineal con coeficientes enteros. Reconozco relaciones no explícitas entre figuras, en situaciones de construcción de cuerpos, y las expreso en un modelo basado en prismas regulares, irregulares y cilindros. Grafico el desarrollo de prismas, cubos y cilindros, vistas desde diferentes posiciones. Coevaluación
Indicadores Trabajé en equipo al desarrollar las actividades de la unidad. Las decisiones que se tomaron en el equipo fueron concertadas.
Metacognición ¿En qué profesiones es importante el es tudio de la geometría? _____________________________________________ _______________________________________________________________________________________________
121
Unidad
4
Lima, ciudad de parques Además de ser la ciudad más importante del Perú, Lima cuenta con el prestigio de ser una ciudad turística en la que destacan sus parques como gran atractivo para los visitantes locales y extranjeros. Algunos de ellos son el Parque de la Exposición, considerado el gran parque de Lima y construido como parte de la remodelación de la ciudad que se produjo con la exposición universal de 1872; y el Parque Kennedy o Parque Central de Miraflores, que es un parque cultural, ecológico y turístico. También destaca el Parque de la Reserva o Circuito Mágico del Agua, que alberga 13 fuentes interactivas que proyectan agua a diferentes alturas, y constituye una de las atracciones más visitadas de la ciudad. Asimismo, el Parque de la Amistad, con múltiples atracciones para toda la familia, entre ellas un paseo en tren a vapor y en su laguna artificial. Finalmente, el Parque de la Felicidad, en donde se encuentra la planta biofísica de tratamiento de agua del distrito de San Borja y sirve como escenario para miles de fotografías de los transeúntes. De los datos presentados en la lectura, incluida la fecha, ¿cuáles son números compuestos y cuáles números primos? ¿Por qué? ¿Cuáles son las características respecto al riego e hidratación de los parques? Asimismo, es de reconocer que en el contexto de los parques, se reconoce aspectos relacionados con costos de entretenimiento, artesanías y gastronomía. ¿Cómo son este tipo de relaciones entre costo e inversión en estas actividades?
122
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones •
•
Comunica y representa ideas matemáticas
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
•
•
Elabora y usa estrategias
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
•
Matematiza situaciones •
•
Comunica y representa ideas matemáticas
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
•
•
Elabora y usa estrategias •
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
123
Reconoce datos y relaciones no explícitas, y los expresa en un modelo relacionado a múltiplos y divisores. Emplea el modelo de solución más pertinente al resolver problemas relacionados a múltiplos y divisores. Expresa el significado de múltiplo, divisor, números primos, compuestos y divisibles. Utiliza la criba de Eratóstenes para expresar los números primos y compuestos inferiores a un número natural cualquiera. Emplea el m. c. d y el m. c. m para resolver problemas de traducción simple y compleja con fracciones. Realiza procedimientos de descomposición polinómica con múltiplos de números naturales al resolver problemas. Propone conjeturas respecto a los números divisibles por 2, 3, 5, 7, 9, 11. Justifica cuando un número es divisible por otro a partir de criterios de divisibilidad. Identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros. Codifica condiciones de igualdad considerando expresiones algebraicas al expresar modelos relacionados a ecuaciones lineales con una incógnita. Usa modelos referidos a ecuaciones lineales al plantear o resolver problemas. Expresa condiciones de equilibrio y desequilibrio a partir de interpretar datos y gráficas de situaciones que implican ecuaciones de primer grado. Establece conexiones entre las representaciones gráficas, tablas y símbolos a la solución única de una ecuación lineal dada. Realiza transformaciones de equivalencias para obtener la solución de ecuaciones lineales. Emplea recursos gráficos para resolver problemas de ecuaciones lineales. Justifica cuando una ecuación es posible e imposible a partir del conjunto solución. Justifica cuando dos ecuaciones son “equivalentes” considerando el conjunto solución. Plantea conjeturas a partir de casos referidas a los criterios de equivalencia.
Cantidad
Ficha 26
El Parque de la Felicidad En el distrito de San Borja se encuentra uno de los parques más emblemáticos de la capital del Perú. El Parque de la Felicidad ofrece un espacio de tranquilidad y armonía a aquellas personas que disfrutan de una caminata o del ejercicio físico, actividades que realizan sin imaginar que se encuentran sobre una planta biofísica de tratamiento de agua. Esta planta se encarga de procesar las aguas servidas mediante un procedimiento de filtración que permite su uso en riegos e hidratación de plantíos en ese distrito. Por ejemplo, en una de estas zonas se dispone de tres tanques o filtros de distinta capacidad, de modo que cada uno filtra un número primo de litros de agua. En otra zona se procesan 468 litros de agua por hora en 36 tanques.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Conoces métodos de procesamiento de agua? ¿Crees que es importante tener una planta de tratamiento de agua en tu colegio? ¿Por qué? ¿Cómo fomentarías en tu curso la importancia del reúso del agua?
Iniciemos Resuelve las siguientes situaciones.
a.
Si 36 tanques procesan 468 litros en una hora, ¿cuántos litros procesará un tanque?
b.
De los 468 litros de agua que han sido filtrados, ¿cómo podrías expresar los repartos, dadas las condiciones de la situación mostrada?
c.
Supongamos que tenemos tres tanques de filtro que procesan un total de 259 litros. ¿Cuál sería el volumen que habría recibido cada tanque?
124
Resolvamos: Laboratorio de matemática 1.
Trabajo con material manipulable Se requiere determinar cantidades en litros completos de agua que se tratan en los diferentes filtros de la planta ubicada en el parque. Utiliza las fichas llamadas filtros de agua de la página 5 de la sección desglosable, cópialas en cartón y recorta las 10 fichas de números del material. Estas fichas representan filtros diferentes, elabora la cantidad de cada ficha según la tabla 26.1: Ficha
Cantidad
1
20
2 3 4 5 6 7
10 10 10 10 10 10 Tabla 26.1
Cada número de la ficha indica la cantidad de agua que almacena ese filtro. La ficha 7, por ejemplo, representa al filtro que almacena 7 litros de agua. Cada ficha solo puede encajar con una de ellas mismas, y la cantidad de agua solamente se puede enunciar en valores de un solo filtro. Por ejemplo, 4 litros de agua en tratamiento están en 4 filtros de 1 litro, 2 filtros de 2 litros de agua o 1 filtro de 4 litros, así: 1
1
2
2
1
1
4
Figura 26.1
Ensambla la cantidad indicada o necesaria de filtros de acuerdo con lo solicitado. Situación 1. Representar el tratamiento de 9 litros de agua. •
¿Qué filtros usaste? ____________________________________________________________________
Situación 2. Representar el tratamiento de 6 litros •
¿Cuántas fichas usaste en cada representación y de qué ti po? ___________________________________
Situación 3. Representar el tratamiento de 7 litros •
de agua.
de agua.
¿Qué tipo de fichas usaste? ______________________________________________________________
Situación 4. Procesar 56 litros de agua usando solo filtros de 7 litros. •
¿Cuántas fichas son necesarias? ___________________________________________________________
Situación 5. Se requiere procesar 27
litros de agua.
•
¿Se puede construir el tratamiento usando un número exacto de filtros de 5 litros? ¿Por qué? ___________
•
¿Se puede representar la misma situación con otro tipo de filtro? ________________________________
125
•
¿Qué se puede concluir? ________________________________________________________________
•
¿Es necesario realizar todas las construcciones para determinar cómo son todas las situaciones? ____________________________________________________________________________________
2.
Incorporo el lenguaje matemático a mis acciones Analiza el ejemplo, sigue el procedimiento para las situaciones 2 y 3. Situación 1. Se desea analizar cómo procesar 8 litros de agua. Paso 1. Realiza las construcciones usando los filtros: 1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
4
1
4
1
8
Figura 26.2
Paso 2: Completa las tablas. Situación 1
Cantidad de Litros de agua en Descomposición filtros cada filtro en factores
Característica matemática
Caso 1
8
1
8×1
8 es múltiplo de 8 y 1
Caso 2
4
2
4×2
8 es múltiplo de 4 y 2
Caso 3
2
4
2×4
8 es múltiplo de 2 y 4
Caso 4
1
8
1×8
8 es múltiplo de 1 y 8 Tabla 26.2
Situación 2. Procesar 9 litros de agua. Situación 1
Cantidad de Litros de agua en Descomposición filtros cada filtro en factores
Característica matemática
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Tabla 26.3
Situación 3. Procesar 12 litros de agua. Situación 1
Cantidad de Litros de agua en Descomposición en filtros cada filtro factores
Característica matemática
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Tabla 26.4 3.
Expreso mis ideas a. De la situación 1 se puede decir que los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8. ¿Qué puede concluirse de las otras dos situaciones? _________________________________________________________________________
126
Formulo expresiones simbólicas a.
b.
Usando las formas de los filtros realiza las representaciones gráficas de: •
Gráfica 1. Procesamiento de 2, 4, 6, 8 y10 litros de agua empleando el filtro dos.
•
Gráfica 2. Procesamiento de 5, 10, 15, 20 y 25 litros de agua usando solo el filtro cinco.
•
Gráfica 3. Procesamiento de 7, 14, 21, 28 y 35 litros de agua utilizando solo el filtro siete.
Identifica la relación entre el tipo de filtro y los litros procesados. ¿Qué puedes concluir? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
c.
Para procesar una cantidad de agua específica se pueden utilizar cinco tipos de filtros diferentes. ¿Qué cantidad de agua cumple con la condición? ¿Cuántos divisores tiene esa cantidad de agua? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
Finalicemos Reflexiona 1. ¿Se puede asegurar que 0 es múltiplo de cualquier
Autoevaluación
número? ¿Por qué? ________________________________________ ________________________________________ 2. Describe un método para obtener los múltiplos de
un número. ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________
Utilizo estrategias para determinar múltiplos de números naturales. Soluciono situaciones reales, las cuales involucran múltiplos y divisores de números naturales.
Resuelve situaciones significativas 1. Un juego de mesa requiere armar arreglos rectan-
Coevaluación
gulares con 84 fichas. ¿Cuántos arreglos es posible hacer con todas las fichas? ¿Cuáles son las dimensiones de los arreglos?
Se trabajó en equipo y se solucionaron los ejercicios de manera correcta.
2. Un grupo de 24 estudiantes se debe organizar en el
Las decisiones se tomaron en consenso.
3. Se requiere empacar 100 manzanas en cajas. La
capacidad de cada caja no puede ser inferior a 14 manzanas. Todas deben tener la misma cantidad de manzanas. ¿Cuántas manzanas debe tener cada caja para obtener el mayor número de cajas?
127
é r g o l o L
Encuentro los múltiplos de un número natural.
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
patio formando filas con igual número de estudiantes. ¿De cuántas maneras se pueden organizar?
e o m y d o o r t b a s n e z r r e a o o g D f o s L l e
Metacognición ¿Qué estrategias he aprendido para determinar múltiplos en números naturales? ______________ ________________________________________
Cantidad
Ficha 27
Parque Hispanoamérica En abril se celebra el Día Internacional de los Juegos de Mesa, fiesta que se realiza desde 2012 con el fin de conocer tipos de juego de mesa y a la vez generar espacios de integración entre amigos y familiares. En el Parque Hispanoamérica se habilitan zonas para ofrecer al público la oportunidad de interactuar con diferentes juegos. Usando mesas de juego con el material suficiente para cada actividad, en una mesa se presentan hasta 78 fichas para los jugadores. En uno de los juegos se considera tener grupos iguales, sin exceder 16 personas por grupo, teniendo en cuenta que participan 248 personas.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Cuáles son los juegos de mesa que más te gustan? ¿En tu colegio realizan algún campeonato de juegos de mesa? ¿Cómo incentivarías al colegio para realizar una jornada de juegos de mesa?
Iniciemos Resuelve las siguientes situaciones.
a.
En la mesa de las 78 fichas, ¿cuántos jugadores podrían jugar sin que sobren fichas al repartirlas?
b.
Al finalizar un juego, uno de los jugadores obtiene 26 puntos, pues en cada ronda tuvo siempre el mismo puntaje. ¿Es posible saber el número de rondas?
c.
¿Es posible establecer los grupos que plantea la lectura? ¿Por qué?
128
Resolvamos: El juego Para el siguiente juego se requiere copiar y colocar sobre una superficie dura las fichas del juego “Dominó divisor” de la página 8 de la sección desglosable. 1.
Exploro las reglas y condiciones del juego Actividad 1. Repartan las 32
fichas entre 4 estudiantes y escojan dos jugadores al azar, jugador 1 y jugador 2. Para empezar, el jugador 1 coloca una de sus fichas boca arriba en el centro de la mesa. El jugador 2 deberá decir en voz alta uno de los divisores de cada número de la ficha (entre 2, 3, 4, 5, 7, 9 u 11). Si acierta, el jugador 2 pierde dos fichas, una va fuera de la mesa y la otra sobre la ficha que se colocó al inicio (esta ficha la decide el jugador 2). Si el jugador 2 no reconoce uno de los divisores de cada número, coloca solo una de sus fichas sobre la ficha que está en el centro. Gana el jugador que al finalizar quede sin fichas. Actividad 2. Coloquen las 32 fichas boca abajo sobre
la mesa entre 4 jugadores. Uno de los jugadores voltea una de las fichas, (cada una de las fichas se asocia a algún divisor, solo uno por número). El jugador que primero indique la suma de estos dos números se queda con la ficha (se debe justificar); si se equivoca, la ficha sale del juego y no puede participar en la siguiente ronda. Gana quien recolecte más fichas. Actividad 3. •
• •
El juego se realiza entre 4 jugadores, se mezclan las 32 fichas boca abajo y los jugadores seleccionan al azar 8 fichas cada uno. El jugador puede observar sus 8 fichas. Cada ficha tiene dos números; cada uno tiene mínimo dos criterios de divisibilidad (2, 3, 4, 5, 7 u 11). El primero que determine si en sus fichas hay un número múltiplo de 11, puede bajar la ficha y colocarla boca arriba sobre la mesa. Al bajar la ficha el jugador debe mencionar qué criterios usa (uno por cada número). El jugador puede usar el criterio del 11 o puede cambiarlo. El jugador de la derecha puede bajar la ficha solo si algún número entre sus fichas coincide con alguno de los criterios de divisibilidad al que se asoció la ficha sobre la mesa. Esta se coloca en fila de tal manera que coincida con el criterio. 6312
9495
7245
4704
Divisibles por 5 Figura 27.1 • •
•
•
Al bajar la ficha se debe decir con qué criterio de divisibilidad quedará el otro número que no se asoció. Cada vez que se juega sobre la mesa solo podrá haber a lo mucho dos criterios, uno por cada número que hace de extremo de la fila. A cada turno se le debe dar un tiempo prudente que se decidirá en el grupo. Si el jugador excede este tiempo, pierde el turno. Si el jugador no tiene entre sus números el criterio de divisibilidad o no lo identifica, pierde su turno. La disposición de las fichas sobre la mesa puede formar esquinas si el espacio de la mesa lo requiere. múltiplos de 3
9495
4 0 7 4
Figura 27.2 • •
Se termina el juego cuando algún jugador se quede sin fichas o se cierre el juego. Al finalizar, cada ficha en la mano del jugador tiene un puntaje, el cual se obtiene de sumar los dos criterios de divisibilidad más altos de cada número. Gana el que tenga menor puntaje. 129
•
2.
Realizar dos veces el juego, de tal forma que se tenga una estrategia para mejorar el desempeño en la otra partida.
Comprendo las características del juego a. ¿Cuántas fichas le corresponderá a cada jugador para la actividad 3?
____________________________________________________________________________________ b. ¿Qué características tienen los números mostrados de las fichas de dominó?
____________________________________________________________________________________ c.
De las tres actividades, ¿cuáles consideras que es más fácil de proceder?
____________________________________________________________________________________ d. De las tres actividades, ¿cuál consideras que es más completa?
____________________________________________________________________________________ e.
Para ganar la actividad 3, ¿qué condiciones te asegura que ganes?
____________________________________________________________________________________ 3.
Reconozco relaciones matemáticas en el juego Al finalizar, en relación con la actividad 3 y observando las fichas sobre la mesa, cada jugador deberá completar la siguiente tabla 27.1: JUGADA
Criterio que se usó
Justificación
Jugada 1 Jugada 2 Jugada 3 Jugada 4 Jugada 5 Jugada 6 Tabla 27.1
a. ¿Cuáles son los criterios más fáciles de identificar? ____________________________________________ b. ¿Se pudo emplear otro criterio de divisibilidad que permitiera mejorar el desempeño en el juego? Explica tu respuesta. _________________________________________________________________________ c. Vuelve a realizar el juego, pero esta vez sin usar los criterios de divisibilidad por 2 y por 5. Construye una tabla como la que se completó anteriormente y relaciona allí el criterio de cada jugada. d. Escribe 2 conclusiones que permitan mejorar el tiempo requerido para determinar el criterio de divisibilidad de un número. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 4.
Expreso de forma esquemática Toma las 8 fichas y completa el diagrama de la figura 27.3: Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Divisible por
Figura 27.3 130
5.
Describo usando la matemática Los números estudiados en particular cumplen con varios criterios. ¿Qué puedes concluir? ___________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________
6.
Expongo lo encontrado Al combinar criterios de divisibilidad se pueden crear nuevas normas; por ejemplo, el criterio de divisibilidad por 6 es posible al usar el criterio de divisibilidad por 2 y por 3. Recordando esto, establece para cada caso una regla que determine si el número cumple con el criterio de divisibilidad solicitado: Un número es divisible por 22 si _____________________________________________________________ Un número es divisible por 14 si _____________________________________________________________ Un número es divisible por 15 si _____________________________________________________________ •
Presenta al grupo tus conclusiones.
Finalicemos Reflexiona •
Explica por qué cuando se dice que para un número natural el conjunto de sus múltiplos es infinito y el conjunto de sus divisores es finito, es necesario aclarar que el número natural debe ser mayor que 0. ________________________________________
Autoevaluación
e o m y d o o r t b a s n e z r r e a D o o g f o s L l e
é r g o l o L
Identifico números que son múltiplos de otros. Aplico criterios de divisibilidad.
________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________
Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación.
________________________________________
Coevaluación
Resuelve situaciones significativas 1.
2.
Uso los criterios de divisibilidad para simplificar procedimientos.
En una fábrica se producen arbolitos para maquetas, los cuales se empacan solamente en bolsas con capacidad para 6, 7, 8 u 11 unidades. Si hay 2156 arbolitos, ¿en qué bolsas se pueden empacar sin que sobren? ¿Cuántas bolsas se utilizan para empacarlos? El médico le recomendó a Carmen trotar 156 km al mes. Escribe 5 posibles formas de diseñar la rutina de trote para Carmen y escoge la más adecuada.
131
Se plantearon conclusiones de manera colaborativa. Se identificaron errores y se plantearon soluciones para aclarar el tema.
Metacognición ¿Para qué me sirven los criterios de divisibilidad que he aprendido? ____________________________ ________________________________________
Cantidad
Ficha 28
Teoría de números en diversos contextos
Taller de matemática 1.
A. Juego de cartas (Problemas de traducción simple) Un mazo de cartas de póker está compuesto por 52 cartas divididas en 4 diferentes figuras o palos, dos de color negro: las picas y los tréboles, y dos de color rojo: los diamantes y los corazones. En cada palo se tienen cartas numeradas del 2 al 10 y un as, una J, una Q y una K, con lo cual se completan 13 cartas por cada color. Una forma de jugar es combinar tres cartas con números compuestos sin importar el palo hasta completar un número primo.
a.
¿Qué cartas deben ser extraídas del mazo para poder realizar el juego? Explica tu respuesta. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
b.
¿Cuáles son las cartas que pueden entrar en el juego? Justifica tu respuesta en razón de múltiplos, divisores, números primos y compuestos. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
c.
¿Cuáles son las posibles sumas con 3 números compuestos para obtener un número primo? Explica tu respuesta. ______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
B. Parque de la Exposición Uno de los parques más visitados de Lima es el Parque de la Exposición. Una de las actividades que se pueden llevar a cabo allí es pasear en uno de los 36 botes a pedal dispuestos para hacer un recorrido en el lago del parque. Estos botes son revisados con frecuencia y guardados al finalizar el día bajo la condición de que solo pueden quedar ordenados en formaciones rectangulares.
132
a.
Se desea acomodar los 36 botes en forma rectangular en fila y columnas; ¿de cuántas maneras sería posible? Exprésalas. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
b.
¿Cambia tu respuesta si se considera que un rectángulo de x cantidad de botes de largo y , y cantidad de botes de ancho es la misma formación de y botes de largo y x botes de ancho? ¿Por qué? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
c.
Al hacer una revisión se encuentra que uno de los botes debe llevarse a mantenimiento. ¿Cuáles son ahora las posibles formaciones rectangulares que se pueden hacer con los botes? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
2. Bandadas aritméticas (Problemas de traducción compleja) Julián es un investigador que se encarga de supervisar y observar el comportamiento de los patos que habitan en el parque. Para realizar su trabajo elabora un mapa de puntos por cada bandada de patos que habitan en un lugar de la laguna, encontrando la formación que se muestra en la figura 28.1.
Figura 28.1
Para representar la cantidad de patos de esta bandada, Julián encierra los patos en diferentes grupos, de tal forma que existan igual cantidad de patos en cada grupo y cada grupo tenga el mayor número de patos posible. Después repite el procedimiento las veces que se pueda en cada subgrupo. Si contamos con 12 patos, ¿cuál será la descomposición factorial del número 12? En un estudio de 3 bandadas de patos, se los presentó de la siguiente forma: Bandada 1: 15 patos Bandada 2: 36 patos Bandada 3: 23 patos Comprendo el problema
¿Cómo se relaciona la estructura de encerrar patos en grupos y subgrupos con la descomposición en factores de un número compuesto? _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
133
Diseño una estrategia
En la figura 28.1 realiza los procedimientos de encerrar grupos de patos una vez y completa los espacios. •
Se tienen____ grupos cada uno con ____ patos.
Al repetir la instrucción de encerrar igual cantidad de patos en cada subgrupo, completa el siguiente párrafo: •
Se tienen____ grupos, cada uno con ____ subgrupos y cada subgrupo tiene ____ patos.
Repite el proceso las veces que sea necesario con las bandadas 1, 2 y 3 y realiza los dibujos de cada bandada.
Aplico la estrategia
Responde las dos preguntas usando los valores encontrados en la estrategia anterior: a. La representación factorial de los 12 patos es _________, ya que ________________________________ __________________________________ b. El estudio de las 3 bandadas de patos representadas en su forma factorial es:
Bandada 1: 15 patos ___________________________________________________________________ Bandada 2: 36 patos ___________________________________________________________________ Bandada 3: 23 patos ___________________________________________________________________ Transfiero lo aprendido
A lo largo de un día, Julián calcula que van y vienen entre 2 y 50 patos. Si en cada caso Julián realiza el análisis de grupos, ¿cuántos grupos no puede subdividir en igual cantidad de patos? Describe el método que empleaste haciendo uso de múltiplos, divisores, números primos y compuestos. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 3.
Organizando obras de arte (Situaciones problemáticas realistas) El MALI (Museo de Arte de Lima) tiene 9 salas de exposición permanentes y 5 más dispuestas para exposiciones temporales. Si llegan 18 cuadros de arte contemporáneo que deben ser distribuidos en igual cantidad en las salas (se pueden usar tanto las permanentes como las temporales)... a. ¿cuántas secciones son utilizadas en la presentación de estos cuadros? ¿Es posible una sola distribución?
____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
134
b.
Uno de los encargados de la logística del museo propone usar la división como método para determinar el conjunto de las opciones para ubicar los cuadros. ¿Cómo puedes justificar que esta propuesta es correcta? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
d.
Un trabajador del museo se percató de que llegaron cuadros de la siguiente manera: el primer día llegó 1 cuadro; el segundo día, 2 cuadros; el tercer día 3 cuadros, y asi sucesivamente, hasta que el último día llegaron 100 cuadros. ¿Cómo podrías hallar los números primos de la cantidad de cuadros que llegaron?¿Cuáles son ? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
c.
Una semana después llegan al museo otros 42 cuadros más, por lo que deben acomodarse para que cada sala quede con la misma cantidad de obras. Utiliza el método planteado y presenta posibles opciones y las restricciones de estos resultados. ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
Finalicemos Reflexiona •
Selecciona un número entre 10 y el 20, y luego halla sus 8 primeros múltiplos. Procede a realizar la descomposición polinómica de cada uno; ¿qué regularidad encuentras entre ellos? ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________
•
¿Todo número par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos? Explica tu respuesta. ________________________________________ ________________________________________
Resuelve situaciones significativas 1.
2.
Se denominan números primos gemelos a los pares de números primos que son impares consecutivos: 3 y 5, 11 y 13 son primos gemelos. Escribe todos los primos gemelos que hay entre 20 y 100. Dana tiene una cinta de la bandera del Perú de 800 cm y quiere hacer lazos de igual longitud para el izamiento de bandera del colegio. Si el largo de cinta para el lazo debe tener mínimo 15 cm, ¿cuántos lazos de 15 cm y cuántos de 20 cm puede hacer? Si obtiene 50 lazos, ¿cuántos centímetros mide cada trozo de cinta? 135
Autoevaluación
e o m y d o o r t b a s n e z r r e a D o o g f o L s l e
é r g o l o L
Expreso el significado de los múltiplos y divisores Utilizo estrategias distintas para identificar números primos y compuestos. Determino distintas parejas de factores que representan un número compuesto a partir de la descomposición factorial. Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación
Coevaluación Realicé aportes significativos en las actividades propuestas para el grupo. Mis compañeros retroalimentaron los aportes que realicé en las actividades.
Metacognición ¿Cómo he aprendido a identificar los números primos? ___________________________________ ________________________________________
Cantidad
Ficha 29
Parque de la Reserva
Taller de matemática 1. Fuentes cíclicas (Problemas de traducción simple) Al costado del Estadio Nacional de Lima se encuentra uno de los parques de mayor atractivo turístico de la capital: el Parque de la Reserva, que posee uno de los complejos de fuentes de agua mejor elaborados del país y el salto de agua más alto del mundo. Un aspecto interesante es que cada hora y media se realiza un show de luces en el centro del parque, en el cual se combinan luces, agua y color, regalándole a todo visitante un momento de fantasía. Por ejemplo, la fuente del fondo de la imagen sube 7 metros de agua por cada 5 segundos, mientras que la pequeña sube 14 m por cada 10 segundos. Cada una de las fuentes tiene su propio ciclo; sin embargo, 3 de ellas coinciden en un tiempo determinado al inicio de su ciclo. El ciclo de la Fuente Mágica dura 8 minutos, la Fuente Arcoíris tiene una duración de 6 minutos entre ciclo y ciclo, y la Fuente de la Vida demora en cada ciclo 9 minutos.
a.
Si las tres fuentes empiezan su ciclo al mismo ti empo, ¿cuántos minutos pasan hasta que coincida el inicio de los ciclos de las tres fuentes? Explica tu respuesta. ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
b.
Si la Fuente Mágica y la Fuente Arcoíris comienzan su ciclo a las 7:25 p.m., ¿a qué hora las dos fuentes coinciden en su inicio? Explica tu respuesta. ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
136
c.
Si la Fuente Arcoíris y la Fuente de la Vida empiezan al mismo tiempo, ¿cuántos ciclos realiza cada fuente antes de coincidir en su inicio? Explica tu respuesta. ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
e.
Si se reduce a la mitad el tiempo del show de una de las fuentes del Parque de la Reserva, las 3 coinciden a la mitad del tiempo. ¿Cuál es esa fuente? Explica tu respuesta. ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 2.
Fuentes coloridas (Problemas de traducción compleja) Debido al sistema eléctrico requerido para la presentación en las fuentes, se realizan cambios de luces en igual intervalos de tiempo. El color de las luces usadas se ve en el orden que se muestra en la tabla 29.1. 1
Azul
2
Verde
3
Amarillo
4
Violeta
5
Rojo
6
Naranja
7
Blanco Tabla 29.1
a.
El show dela Fuente Tangüis tiene una duración de 18 minutos; por tanto, puede tener cambios de luz cada 1, 2, 3, 6 y 18 minutos, ya que estos intervalos permiten un número entero de veces por cada luz. La Fuente de la ilusión tiene una duración de 30 minutos y la fuente de los niños dura 36 minutos. Si las 3 fuentes empiezan a funcionar a las 3:00 p. m., ¿a qué hora coinciden las 3 fuentes su inicio?
b.
Si se desea tener el mayor tiempo posible una misma luz, ¿cuánto debe durar cada cambio de luz en las 3 fuentes?
c.
¿En qué color se reinicia cada fuente con este tiempo?
Comprendo el problema a.
¿Cuál es el procedimiento matemático que permite dar solución a cada pregunta?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
137
b. ¿Por qué es importante saber la duración del intervalo de luz para determinar el color en el que cada fuente se reinicia?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Diseño una estrategia
Utiliza procedimientos vistos en clase para determinar los valores que den solución a cada situación. ¿Cuáles son los posibles intervalos de tiempo de las otras dos fuentes?
Aplico la estrategia
c. Las tres fuentes coinciden a las: __________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
d. La duración de cada intervalo debe ser: ____________________________________________________ e. Las tres fuentes cambian y se reinician en los siguientes colores: _________________________________
___________________________________________________________________________________
Transfiero lo aprendido
f. ¿Cuál de las tres fuentes se debería apagar para que el tiempo entre cambio de luces sea mayor? ¿Cuánto aumentaría? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
g. ¿Cuáles son los colores que se alcanzan a proyectar? __________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 3.
Estanterías (Situaciones problemáticas realistas) Para construir una estantería, un carpintero necesita lo siguiente: •
4 tablas largas de madera
•
12 ganchos pequeños
•
6 tablas cortas de madera
•
2 ganchos grandes
138
14 tornillos
El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos. ¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero? __________________________________ _______________________________________________________________________________________ Este tipo de problemas permite desarollar procedimientos multiplicativos en un contexto laboral.
Problema liberado de Evaluación PISA 2012 109.
Finalicemos Reflexiona •
Laura afirma que es más práctico el método de descomposición en factores primos que el método de conjuntos para hallar el m. c. m. ¿Estás de acuerdo con esa afirmación? Justifica tu respuesta. ________________________________________ ________________________________________
•
Explica qué entiendes por máximo común divisor de dos o más números. ________________________________________
Autoevaluación
e o m y d o o r t a b z s n e r e a r D o o g f o L s l e
é r g o l o L
Determino el mínimo común múltiplo de un conjunto de números naturales. Determino el máximo común divisor de un conjunto de números naturales. Soluciono situaciones asociadas al m. c. m. y m. c. d.
________________________________________ Obtengo resultados de forma animada y enfrento situaciones con motivación
Resuelve situaciones significativas 1.
2.
3.
Se tienen 64 bultos de maíz, 56 bultos de trigo y 36 de frejol para repartir entre varios hogares. Se forman grupos con el mismo número de bultos, sin mezclarlos y sin que sobre ninguno. ¿Cuántos hogares recibirán los bultos? ¿Cuántos bultos de cada tipo le corresponden a cada hogar? En una frutería hay 45 peras, 60 manzanas y 30 naranjas. Se quiere formar grupos con el mismo número de frutas, pero sin mezclarlas y sin que sobre alguna. ¿Cuál es el mayor número posible de frutas que puede tener cada grupo? Tres ingenieros se hospedan siempre en el mismo hotel cuando llegan a Cusco, y en esta ocasión se encontraron el día 2 de julio. Si Carlos llega cada 12 días al hotel, Juan cada 15 días y Andrés cada 10 días, ¿cuándo se volverán a encontrar en el hotel?
139
Coevaluación Trabajamos de manera colaborativa en la solución de los ejercicios propuestos. Todos los integrantes del grupo aportaron en el desarrollo de las actividades.
Metacognición ¿Cuál de los métodos para determine al m. c. m y el m. c. d. se me facilita más para usar? _______________________ ____________________________________________ ____________________________________________
Cambio
Ficha 30
Parque de la Amistad Para pasar un día entretenido en un ambiente lleno de posibilidades se recomienda el Parque de la Amistad. En él se encuentra el Arco Morisco, una estructura de 29 metros de alto desde cuyas torres se puede dar un vistazo al distrito de Surco. Existe también la opción de realizar un paseo por el tren a vapor, impulsado por una locomotora de casi una década de antigüedad, o navegar por la laguna artificial en uno de los botes a pedal para poder apreciar la fauna y flora del lugar. No es difícil lograr disfrutar de sus variadas atracciones, considerando que cada entrada cuesta S/. 5 y el uso de cada atracción tiene un costo de S/. 3.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Qué recorridos turísticos conoces cerca de donde vives? ¿Han realizado en tu colegio salidas a sitios que tengan alguna relevancia histórica? ¿Cómo fomentarías en tu salón la importancia de visitar lugares históricos?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas:
Módulos de biblioteca Realiza los ejercicios propuestos en el libro El mentor de matemáticas en el capítulo 11. Con ellos, afianzarás los conceptos que se utilizan al plantear ecuaciones.
a.
¿Cuánto se debe pagar en total por ingresar al parque y subir a tres atracciones?
b.
¿Con S/. 26 un visitante alcanza a subir a siete atracciones?
c.
Según la situación, expresa el costo total de los asistentes al parque para: N.° de asistentes Expresión
140
2
3
4
5
...
x
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto El recorrido del tren permite observar las instalaciones del parque por más de medio kilómetro. Para realizar el trayecto dispone de vagones impulsados por una locomotora a vapor real que funciona desde 1926. Durante la semana se hacen 3 recorridos: de media hora cada uno, pero los sábados el tren sale 7 veces y los domingos 10 veces. También se pueden realizar paseos en botes con capacidad hasta para 4 pasajeros. Estos recorridos permiten la inter acción con la fauna del lugar conformada por gansos, patos y una gran variedad de peces. Miguel y sus 6 amigos deciden realizar un paseo en los botes mientras llega la hora de abordar el tren. Miguel se hace cargo de los S/. 112 que reunieron, dinero dispuesto para las 2 atracciones del parque. Al llegar a la taquilla se enteran de que los pagos por más de seis personas tienen un descuento de S/. 1 por integrante. Miguel sabe que aun pagando las entradas les quedan S/. 84 para el tren y quizá para algo de comer. Al abordar el tren, paga los boletos de cada miembro del grupo y calcula que el dinero sobrante le permitirá a cada uno disponer exactamente de S/. 8 para la comida. a.
Si cada gasto se puede representar con una ecuación lineal de una incógnita, ¿cómo identificas la expresión lineal que modele el pago de los boletos de los botes y la ecuación que representa el pago de los boletos para el tren?
b.
Si en el grupo de amigos algunos pierden el interés por abordar el tren, ¿cómo plantearías una gráfica que permita identificar cómo afecta esta decisión al dinero dispuesto para comer?
2. Reconozco el principal problema y trazo un plan Las siguientes indicaciones permiten seleccionar la información precisa para cumplir con lo solicitado; por tanto, es importante cada aspecto que se escriba. Reúnete con 3 compañeros y realicen una lista con la información que consideren más relevante para identificar la expresión que modele el pago de los boletos. Lista 1
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Identifiquen en una segunda lista los aspectos más significativos para modelar la ecuación que represente el pago de los boletos del tren. Lista 2
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
141
a. ¿Cómo se expresaría el costo de un boleto para el bote si se hizo un descuento de S/.1?_______________
_________________________________________________________________________________________
b. ¿Cómo afectan los pagos en relación con el dinero reunido?
____________________________________________________________________________________ c. ¿Cómo expresas el pago total de boletos sin conocer el costo individual de cada uno, pero sabiendo cuántos se pagaron?
____________________________________________________________________________________ 3.
Experimento para resolver el problema Supón 3 precios diferentes del boleto del tren, de tal manera que se ajuste a la situación. Recuerde que el dinero restante permitirá pagar la comida de los 7 integrantes del grupo. Completa las siguientes tablas: Precio 1. ___________________ Amigos que no quieren abordar
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Dinero que queda para comer
Precio 2. ___________________ Amigos que no quieren abordar Dinero que queda para comer
Precio 3. ___________________ Amigos que no quieren abordar Dinero que queda para comer
Representa los datos en el plano cartesiano, donde el eje X corresponde al número de amigos que no suben al tren, y el eje Y el dinero que se dispone para la comida. y
a d i m o c a l a r a p o r e n i D
0
1 2 3 4 5 6 7 8 x Amigos que no van a abordar
Figura 30.1
142
