Matemática
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Secundaria Secundaria
Cuaderno de trabajo
El cuaderno de trabajo Matemática 2 de secundaria ha sido elaborado según el plan de obra creado por el departamento editorial del Grupo Editorial Norma en el Perú. Directora editorial: Andrea Viviana Saavedra Garzón Editora de área: Maudhy Johana Tasayco Sánchez Adaptador: Carlos Ruiz Huérfano Editor: Javier Enrique Pacheco Ávalos Jefe de arte: Oswaldo Palacios Corrección de estilo: Fabrizio Tealdo Zazzali Diseño gráfico: Equipo Editorial Norma Diagramación: María del Pilar Jaramillo Viana, Marcela
Paulina Segovia Larrea y Lucia Estrella Verónica Terneus Diseño de cubierta: Equipo Editorial Norma Apoyo gráfico: Equipo Editorial Norma Ilustraciones: Equipo Editorial Norma Archivo fotográfico: Archivo gráfico Norma y © 2015
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Impreso por: Consorcio Corporación Gráfica Navarrete S.A.,
Amauta Impresiones Comerciales S.A.C., Metrocolor S.A., en los talleres gráficos de METROCOLOR S.A., sito en Jr. Los Gorriones N.º 350 - Urb. La Campiña, Chorrillos, Lima. Primera edición, mayo de 2016 Primera reimpresión, agosto de 2016 Tiraje:: 467 940 ejempl Tiraje ejemplares ares Copyright © 2016 Grupo Editorial Norma S. A. C. Av. Nicolás Ayllón 3720 Int. Z-02 Ate, Lima-Perú Teléf T eléfono: ono: 710 710 3000 3000 Número de Proyecto Editorial: 31501031600452 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2016-10141 ISBN Nº 978-612-02-0563-1 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de la Editorial.
Querido estudiant estudiante: e: Seguramente muchas veces te has planteado las siguientes preguntas: ¿Por qué debo aprender matemática? ¿Para qué me va a servir en mi vida cotidiana? ¿Cómo me beneficiarán en mi proyecto de vida? Es posible que también hayas considerado que la matemática es difícil de aprender y que la relación es únicamente con el manejo de fórmulas y con procesos engorrosos y complejos. Sin embargo, la matemática está presente en diferentes situaciones de nuestra vida diaria, y aprenderla es importante porque nos ayuda a entender el mundo que nos rodea y a dinamizar nuestra forma de actuar al emplearlas de manera adecuada y creativa en la resolución de problemas. Te presentamos este cuaderno cuaderno de trabajo, en el que encontrarás encontrarás diversas diversas actividades actividades sobre situaciones cotidianas cuyo desarrollo permitirá encontrarle sentido y significatividad a la matemática. Además, te permitirá desenvolver de manera progresiva las capacidades de cada una de las competencias matemáticas, a través de actividades diversas en las que podrás aplicar los conocimientos matemáticos tratados en los diferentes capítulos del texto y lograr las competencias matemáticas propuestas. Con este cuaderno de trabajo estarás capacitado para plantear y resolver problemas desarrollando diversos métodos y estrategias heurísticas que involucran buscar, comprender e inferir información promoviendo la exploración, la experimentación, la simulación, la explicación y los procedimientos matemáticos de manera clara y sencilla. Para que logres dichos propósitos, recibirás el apoyo constante del profesor, quien será el mediador de tus procesos promoviendo el análisis y la reflexión, partiendo de situaciones significativas retadoras y desafiantes desafiantes que te motiven a explorar diversos caminos en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados. planteados. Este cuaderno de trabajo promoverá el desarrollo de las competencias matemáticas cuando matematices, es decir, en el momento en que representes la realidad en términos matemáticos. Asimismo, te ayudará a que comuniques ideas matemáticas dándoles significatividad, a que simbolices tu realidad y la esquematices al elaborar estrategias diversas y reconocer que no hay un único sino diversos caminos en la solución de un problema. Esto te motiva a que recurras a una variedad de estrategias, que razones y argumentes cuando demuestres cuán válido es el procedimiento realizado. Aquí precisamente es que la matemática va adquiriendo un nivel de profundidad y es necesario ver qué tan válida es la estructura que se está empleando.
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Las competencias de Matemát Matemática ica Para que los estudiantes puedan aprender a actuar de manera competente en diversos ámbitos, necesitan afrontar reiteradamente situaciones retadoras que les exijan seleccionar, movilizar y combinar estratégicamente las capacidades que consideren más necesarias para poder resolverlas. A fin de que una situación significativa sea entendida como un desafío para los estudiantes, debe guardar relación con sus intereses, con contextos personales, sociales, escolares, culturales, ambientales o propios de cada saber específico que se constituyan en retos relevantes. Puede tratarse de situaciones reales o también simuladas, pero que remitan a las actividades cotidianas de los estudiantes. Dentro de este contexto, la educación y las actividades de aprendizaje deben orientarse a que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadano ciudadanos, s, lo cual involucra el ejercicio pleno de un conjunto de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten la comprensión, la construcción y la aplicación de la matemática para la vida y el trabajo. En este sentido, desarrollar competencias y capacidades implica un saber actuar de las personas de manera consciente en una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, las habilidades y las destrezas. Las competencias propuestas para el área de Matemática son: Competencia
Capacidad
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
•
Matematiza situaciones
•
Comunica y representa ideas matemáticas
•
Elabora y usa estrategias
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
En este cuaderno de trabajo se abordan las siguientes competencias, en cada una de las unidades, con el propósito que se señala. Unidad
Competencias
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad.
Reconocer relaciones no explícitas en problemas aditivos de comparación e igualación con decimales, fracciones y porcentajes, y expresarlos en un modelo.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre.
Seleccionar la medida de tendencia central apropiada para representar un conjunto de datos al resolver problemas.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad.
Emplear estrategias heurísticas al resolver problemas con números racionales y base 10 con exponentes positivo y negativo.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.
Realizar composición de transformaciones de rotar, ampliar y reducir, en un plano cartesiano o cuadrícula al resolver problemas con recursos gráficos y otros.
1
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Propósito del material presentado
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3 4 5 6 7 8 9
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
Hallar el enésimo término de una progresión aritmética con números naturales.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.
Representar cuerpos en mapas o planos a escala, considerando información que muestra posiciones en perspectiva o que contiene la ubicación y las distancias entre objetos.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad.
Relacionar cantidades y magnitudes en situaciones, y los expresa en un modelo de aumentos y descuentos porcentuales sucesivos.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre.
Justificar los procedimientos del trabajo estadístico realizado y l a determinación de la (s) decisión(es) para datos no agrupados y agrupados.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
Emplear estrategias heurísticas al resolver problemas de inecuaciones lineales.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.
Calcular el perímetro y área de figuras poligonales regulares y compuestas, triángulos y círculos, componiendo y descomponiendo en otras figuras cuyas medidas son conocidas con recursos gráficos y otros.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
Emplear operaciones con polinomios y transformaciones de equivalencia al resolver problemas de ecuaciones l ineales.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.
Emplear características y propiedades de polígonos para construir y reconocer prismas y pirámides.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
Emplear gráficas, tablas que expresan ecuaciones lineales de una incógnita para llegar a conclusiones.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.
Hallar el área, perímetro y el volumen de prismas y pirámides empleando unidades de referencia (basadas en cubos), convencionales o descomponiendo formas geométricas cuyas medidas son conocidas, con recursos gráficos y otros.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad.
Diferenciar y usar modelos basados en la proporcionalidad directa e indirecta al plantear y resolver problemas.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre.
Reconocer que si el valor numérico de la probabilidad de un suceso se acerca a 1 es más probable que suceda y, por el contrario, si va hacia 0 es menos probable.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
Determinar el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.
Representar figuras poligonales, trazos de rectas paralelas, perpendiculares y relacionadas a la circunferencia siguiendo instrucciones y usando la regla y el compás.
Calcular la suma de n términos de una progresión aritmética.
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Estructura del cuaderno de trabajo Apertura Aquí encontrarás textos, situaciones o imágenes motivadoras relacionadas con las capacidades y competencias que desarrollarás a lo largo de la unidad. Aprendizajes esperados Te brinda una visión global de lo que lograrás al final de la unidad.
Número y nombre de la unidad Definidas a partir de situaciones significativas en diversos contextos.
En cada unidad encontrarás fichas y talleres de matemática con la siguiente estructura:
Ficha Momento inicial
Momento de desarrollo Resolvamos Te propone propone el planteamiento de estrategias orientadas a la resolución de problemas.
Iniciemos Te sugiere sugiere el comienzo de la ficha reconociendo tus saberes previos.
Taller Aquí encontrarás la información contenida en la unidad, de manera ordenada y fácil para su ubicación. Problemas de traducción simple Presenta problemas que necesitan solo de conceptos y operaciones básicas.
Problema tipo Pisa Presenta un problema extraído de la evaluación internacional.
Problemas de traducción compleja Presenta problemas de más de dos etapas.
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Situaciones problemáticas realistas Presenta problemas abiertos.
Momento final de fichas y talleres Reflexiona
Autoevaluación y coevaluación Presenta preguntas o actividades que favorecen la autorregulación de los procesos.
Facilita la reflexión del proceso para el logro del aprendizaje esperado.
Resuelve situaciones significativas
Metacognición
Presenta situaciones significativas para favorecer el desarrollo de las competencias y capacidades en la ficha o taller.
Presenta actividades para la reflexión sobre el proceso de aprendizaje.
Evaluación
Evaluación Propone actividades que propician la reflexión sobre los conocimientos aprendidos a lo largo de la unidad.
Metacognición Presenta actividades para promover la reflexión sobre lo aprendido en la unidad.
Sección desglosable
Desglosables Te presenta presenta plantillas como un recurso para el desarrollo de las fichas en las unidades.
Íconos de actividades Actividades para realizar en forma individual. Actividades para realizar en equipo.
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Tabla de contenidos Apertura
Unidad
1
Nutrición y gastronomía
Unidad
Contenido
10 – 11
2
El deporte, la salud y la matemática 46 – 47
Unidad
3
Consumo de servicios básicos 82 – 83
Unidad
4
Los números en la economía familiar 118 – 119
Unidad
5
Números, formas y nuestros recursos 154 – 155
•
Las frutas que alimentan al Perú .......................................................................... 12 – 15
•
La quinua de los Andes ............................................................................................. 16 – 19
•
Compartiendo una torta de cumpleaños ......................................... ............ 20 – 23
•
Una alimentación de calidad ................................................................................. 24 – 27
•
Recetas deliciosas .......................................................................................................... 28 – 31
•
Ingresos, compras y cambios de monedas.................................................... 32 – 35
•
Análisis de datos en la gastronomía................................................................... 36 – 39
•
Beneficios de la kiwicha ............................................................................................. 40 – 43
•
El juego del ajedrez ...................................................................................................... 48 – 51
•
Los números racionales y los deportes ............................................................ 52 – 55
•
El legado egipcio ........................................................................................................... 56 – 59
•
Juego de salud mental .............................................................................................. 60 – 63
•
Los movimientos en el nado sincronizado ................................................... 64 – 67
•
Escalando los Andes .................................................................................................... 68 – 71
•
Movimientos ..................................................................................................................... 72 – 75
•
Rotación y traslación en disciplinas deportivas .......................................... 76 – 79
•
Energía eléctrica .............................................................................................................. 84 – 87
•
Importancia del agua .................................................................................................. 88 – 91
•
Evolución de la telefonía .......................................................................................... 92 – 95
•
Centrales eólicas ............................................................................................................. 96 – 99
•
Mapas y planos a escala ........................................................................................ 100 – 103
•
Proporcionalidad en la vida diaria ................................................................. 104 – 107
•
Red vial del Perú ............................................................................................... ........108 – 111
•
El proyecto Olmos ................................................................................................... 112 – 115
•
Presupuesto familiar ................................................................................................ 120 – 123
•
Importancia del ahorro..........................................................................................124 – 127
•
Impuesto general a las ventas (IGV) ............................................................. 128 – 131
•
Ganar, administrar y ahorrar ............................................................................... 132 – 135
•
Tranquilidad financiera en el hogar............................................................... 136 – 139
•
Los fondos de jubilación ....................................................................................... 140 – 143
•
Vivienda ................................................................................................................... ........144 – 147
•
Ahorro de ingresos ..................................................................................................148 – 151
•
Plataformas petrolíferas ......................................................................................... 156 – 159
•
Perforación de pozos .............................................................................................. 160 – 163
•
Geometría al nivel del mar .................................................................................. 164 – 167
•
Triángulos y círculos a nuestro alrededor .................................................. 168 – 171
•
Perforación de un pozo ......................................................................................... 172 – 175
•
Dividiendo figuras.....................................................................................................176 – 179
•
Antenas que comunican ......................................................................................180 – 183
•
Rectas en oleoductos ............................................................................................. 184 – 187
8
Evaluación •
•
•
•
•
Programa Nacional de Alimentación Escolar .......................... 44 – 45
Deporte y salud ........................... 80 – 81
Los jardines de Yanira................. 116 – 117
Ahorro para la educación ..............152 – 153
Producción del petróleo ......... 188 – 189
Apertura
Unidad
6
Nuestra casa: la Tierra 190 – 191
Unidad
7
Riquezas del Perú 230 - 231
Unidad
8
Matemática en alimentación y turismo 270 - 271
Unidad
9
Comunicación a través del teléfono celular 310 - 311
Contenido •
Ecuaciones en el medioambiente ..................................................................192 – 195
•
El agua: fuente de vida...........................................................................................196 – 199
•
Paseo en familia..........................................................................................................200 – 203
•
Reforestando................................................................................................................ 204 – 207
•
Geometría en los volcanes .................................................................................208 – 211
•
Identificando prismas .............................................................................................212 – 215
•
Geometría en el desierto ............................................ ........................................216 – 219
•
La industria del plástico en el Perú .............................................. .................220 – 223
•
Seguridad industrial ...............................................................................................224 – 227
•
Conociendo mi país.................................................................................................232 – 235
•
Museo Tumbas Reales de Sipán....................................................................... 236 – 239
•
Pirámides de Túcume ............................................................................................. 240 – 243
•
Chavín de Huántar....................................................................................................244 – 247
•
Observando prismas y pirámides .................................................................. 248 – 251
•
Tambomachay o Baños del Inca .....................................................................252 – 255
•
El lago Titicaca ............................................................................................................. 256 – 259
•
Calculando con cubos ...........................................................................................260 – 263
•
Piquillacta: arqueología wari ..............................................................................264 – 267
•
Tuna, la reina de las frutas .................................................................................... 272 – 275
•
Platos típicos peruanos ........................................................................................276 – 279
•
Fiesta del Inti Raymi .................................................................................................280 – 283
•
El turismo y las fiestas costumbristas............................................................ 284 – 287
•
Festividades peruanas ............................................................................................ 288 – 291
•
La papa, fuente de carbohidratos ................................................................... 292 – 295
•
Festival de la Vendimia...........................................................................................296 – 299
•
Probabilidad en concursos..................................................................................300 – 303
•
Eventos y juegos tradicionales ................................ ........................................304 – 307
•
Operadores móviles................................................................................................. 312 – 315
•
Evolución tecnológica............................................................................................316 – 319
•
Teléfonos inteligentes ............................................................................................ 320 – 323
•
Cuanto más, menos... .............................................................................................324 – 327
•
Durabilidad de las baterías en los celulares..............................................328 – 331
•
Tecnología, recurso educativo .......................................................................... 332 – 335
•
Comportamiento de funciones ....................................................................... 336 – 339
•
Tecnología y geometría.........................................................................................340 – 343
•
Fondos de pantallas personalizados ............................................................. 344 – 347
Evaluación •
•
•
•
Figuras geométricas en construcciones.... 228 – 229
Recorriendo el Perú ..................... 268 – 269
Fiestas y costumbres de nuestro país .... 308 – 309
Redes sociales..... 348 – 349
Bibliografía / Sitios web
350 - 351
Sección desglosable
353 - 383
9
Unidad
1
Nutrición y gastronomía La fusión de la cocina peruana se debe al intercambio cultural a través del tiempo, en el cual destacan la inmigración española, africana, china, japonesa e italiana. Entre los alimentos más importantes que usa nuestra gastronomía están la quinua, el maíz morado, diversidad de pescados, frutas y otros alimentos; estos se deben cultivar en ciertas condiciones de acuerdo con la altura sobre el nivel del mar a la que se encuentre el terreno en que se hará el cultivo. Por ejemplo, en el gráfico se muestra el porcentaje de cultivos en la región Cajamarca, de acuerdo con la variación de la altura. La quinua es uno de los ingredientes que se usan para elaborar diversos platos; por ejemplo, postres como galletas de quinua y chocolate. El consumo de alimentos como la quinua, la kiwicha, el sacha inchi y el camu camu son valorados por los peruanos. ¿Cuál es la altura idónea para sembrar el frejol? ¿Con qué porcentaje se representa su producción a dicha altura? ¿Cómo se pueden determinar las condiciones de altitud para el cultivo de la quinua y de otros cereales? ¿Qué fracción del total de tazas empleadas en la receta de galletas corresponden a la quinua? ¿Cómo promover una alimentación saludable?, ¿cómo recoger las opiniones de las personas sobre un alimento?
arca - Al ti tud Uso de la tierra en Ca jam Cereal Maíz Tubérculos
80 70
T E NU A Y C HOCOL A G A LL E T A S D E QUI
Ingredien tes:
Fre jol Pas tos
• 1 ta za de quinua cocida • 1 ta za de copos de a vena • 1/2 ta za de ma tequilla • 1/ 4 ta za de miel • 1 hue vo • 1/2 cucharada de sal • 1/ 4 cucharadi ta de vainilla
60
s o v i t l u c e d e j a t n e c r o P
50
40 30 20 10 0
< 2 400
600 - 3 200 3 200 - 3 2 400 - 2 800 2 800
> 3 600
Al ti tud
154 10
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
•
Matematiza situaciones
•
•
Comunica y representa ideas matemáticas
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
•
•
Elabora y usa estrategias •
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
•
Matematiza situaciones
•
Comunica y representa ideas matemáticas
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
•
•
Elabora y usa estrategias •
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
11
Reconoce relaciones no explícitas en problemas aditivos de comparación e igualación con decimales, fracciones y porcentajes, y los expresa en un modelo. Usa modelos aditivos que expresan soluciones con decimales, fracciones y porcentajes al plantear y resolver problemas. Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema. Expresa que siempre es posible encontrar un número decimal o fraccionario entre otros dos. Expresa la equivalencia de números racionales (fracciones, decimales, potencia de base 10 y porcentaje) con soporte concreto, gráfico y otros. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas. Emplea procedimientos para resolver problemas relacionados con fracciones mixtas, heterogéneas y decimales. Emplea procedimientos de simplificación de fracciones al resolver problemas. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas que combinen cuatro operaciones con decimales, fracciones y porcentajes. Propone conjeturas referidas a la noción de densidad, propiedades y relaciones de orden en ℚ. Justifica cuando un número racional en su expresión fraccionaria es mayor que otro. Justifica que dos números racionales son simétricos cuando tienen el mismo valor absoluto. Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema. Expresa información y el propósito de cada una de las medidas de tendencia central, para datos no agrupados. Expresa información y el propósito del rango con la media, para datos no agrupados. Selecciona la medida de tendencia central apropiada para representar un conjunto de datos al resolver problemas. Determina el rango o recorrido de una variable y la usa como una medida de dispersión. Argumenta procedimientos para hallar la media, mediana y moda de datos agrupados; determina la medida más representativa de un conjunto de datos y su importancia en la toma de decisiones. Justifica el proceso de obtención de frecuencias de datos generados a partir de un proceso probabilístico no uniforme.
Cantidad
Ficha
1
Las frutas que alimentan al Perú En distintos establecimientos donde ofrecen jugos es común encontrar, dentro de la carta, una bebida refrescante y nutritiva llamada surtido. Para prepararla se necesita: 1 1 2 plátanos dulces en rodajas. kg de betarraga. 2 5 1 papaya madura en trozos. 5 o 6 fresas medianas. •
•
•
•
•
3 rodajas de piña en cubos.
•
Miel al gusto.
Para su elaboración debemos hacer lo siguiente: Verter los ingredientes en el vaso de la licuadora y licuarlos hasta que estén bien triturados. Probar con una cuchara si está a punto el dulce o agregarle más miel según el gusto de la persona. Se le puede agregar un par de cubos de hielo para que sea más refrescante. Lo mejor es beberlo en menos de 4 horas, pues el sabor cambiaría.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Qué ingredientes utilizas para preparar un jugo de frutas? De acuerdo con los ingredientes, ¿crees que esta bebida puede ser parte de un buen desayuno? ¿Sabes qué cantidad de fruta se necesita para preparar un jugo para dos personas?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿Qué tipos de números identificas en la lista de ingredientes?
Organiza los números que observas según el conjunto numérico al que pertenezcan.
1 1 ¿De qué modo se leen las expresiones “2 plátanos” y “ kg de betarraga”? 2 5
12
Resolvamos: Laboratorio matemático 1. Trabajo con material manipulable
José, para su desayuno, desea preparar una ensalada de frutas. El ingrediente principal de su ensalada es la manzana. Veamos qué procedimiento sigue: •
Corta la manzana por la mitad y una de las mitades la vuelve a cortar por la mitad.
•
Divide en dos una de las porciones más pequeñas.
Toma como referencia una manzana y realiza el procedimiento hecho por José. Luego, grafica lo realizado en la siguiente tabla: Primer corte
Segundo corte
Tercer corte
2. Incorporo lenguaje matemático a mis acciones •
Completa la siguiente tabla. Tamaño de porción de la manzana
Partes de la manzana (en fracciones)
En palabras
1 8
Un octavo
Grande Mediana Pequeña
•
Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.
a.
3.
1;
2 1 3 ; ; 4 4 4
b.
1 1 3 ; ; ;1 2 4 8
c.
1 1 3 ; ; 2 3 8
Expreso mis ideas •
Discute con tu compañero(a) y escribe las operaciones matemáticas que hicieron para repartir en partes iguales los dos trozos de manzana.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
¿Cómo hallarías una fracción que se encuentra entre dos fracciones?
_______________________________________________________________________________________
13
•
Encuentra una fracción que esté entre las siguientes: a.
b.
4.
1 4
1 2
1 3
1 2
c.
d.
1 4
1 3
1 2
1 5
Formulo expresiones simbólicas •
•
Representa con un gráfico las siguientes situaciones: –
Un cuarto de manzana.
–
La fracción de manzana pequeña.
–
La fracción de manzana grande.
Establece un proceso matemático para identificar quién comió mayor cantidad de manzana.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
•
Dibuja una recta numérica con la ayuda de una hoja milimetrada. Ubica las siguientes fracciones y pégalas en frente de cada fracción.
a.
1 3
b.
3 8
c.
3 4
Representa en decimal y en porcentaje las siguientes fracciones: a.
1 = 3
c.
3= 4
b.
3 = 8
d.
1 = 2
14
•
Representa en una hoja de papel milimetrado y en una sola recta numérica las fracciones del ejercicio anterior; discute con tu compañero(a) y escribe las dificultades con las cuales te encontraste para realizar la tarea.
–
Pega aquí tu recta numérica.
–
¿Qué dificultades se presentaron?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades tuviste al realizar las actividades? ________________________________________
Relaciono y comparo decimales, fracciones y porcentajes, y los expreso en un modelo.
________________________________________ •
¿Te facilitó utilizar papel milimetrado para representar las fracciones?
Represento y ubico fracciones en una recta numérica.
________________________________________
•
________________________________________
Resuelvo problemas fracciones.
¿En qué situaciones has utilizado gráficos para resolver problemas?
Siempre puedo encontrar una fracción entre otras dos.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en equipo.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
3.
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D o o g f o L l s e
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Divide una manzana en partes iguales; pide a un amigo que realice lo mismo pero con diferentes cortes; brinda una parte a tus compañeros y cómete el resto.
Metacognición
Escribe en una hoja la parte que cada uno consumió, lo que regalaste y su equivalente en porcentaje y en decimal.
•
•
Elabora una situación problema para que puedas expresar como fracción, decimal y porcentaje.
15
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Cantidad
Ficha
2
La quinua de los Andes La quinua se cultiva en los Andes peruanos, bolivianos, ecuatorianos, chilenos y colombianos desde hace unos 5000 años. Al igual que la papa, fue uno de los principales alimentos de los pueblos andinos preincaicos e incaicos. Se piensa que en el pasado también se empleó para usos cosméticos. Crece desde el nivel del mar hasta los 4000 m de altitud en los Andes, aunque comúnmente la encontramos a partir de los 2500 m. s. n. m. La planta de quinua alcanza una altura de 1 a 3 m y su raíz, debajo del nivel del suelo, puede variar desde unos cuantos centímetros hasta llegar o sobrepasar el metro de longitud.
Cuenta tu experiencia •
•
¿En qué tipos de preparación se utiliza la quinua? ¿Se podría cultivar la quinua en una altitud mayor de los 4000 m?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿Cómo escribes la altura que se encuentra sobre el nivel del mar, y la altura que se encuentra debajo del nivel del mar?
Si una planta de quinua mide 2,5 m, y su raíz, 0,5 m, ¿qué relación existe entre la altura de la planta y la profundidad que alcanza la raíz?
¿Cuánto mide en total la planta de quinua si la parte sobre el suelo 2 mide 2 m, y el largo de su raíz es de m? 3
16
Resolvamos: El juego 1.
2.
Exploro las reglas y condiciones del juego •
Recorta las 12 fichas de recortables de la página 373.
•
Explora las fichas: –
¿Qué datos identificas?
–
¿Qué juego propones?
–
¿Qué regla tendría tu juego?
Comprendo las características del juego •
Jugadores: formar equipos de 4 estudiantes.
•
Materiales para cada equipo. –
Lapiceros.
–
Cronómetro.
–
Fichas sobre los valores nutritivos y poducción de quinua.
–
Tablero de juego, en el que debe presentarse el siguiente esquema, con 10 o 12 filas.
Número racional
•
Se lee
Opuesto
Lectura del opuesto
Suma del número racional y su opuesto
Distancia del número racional al cero
Distancia del opuesto al cero
Dibujo en la recta numérica
Puntaje total
Normas del juego: –
Un jugador saca una ficha de la bolsa y la pone boca arriba.
–
Los jugadores inmediatamente tienen que completar todas las casillas, que son: número racional (el que salió en la ficha); cómo se lee; su opuesto; cómo se lee su opuesto; suma del número racional y su opuesto; distancia del número racional al cero; distancia del opuesto al cero; dibujo en la recta numérica, puntaje total.
–
El primer equipo que finalice dice "pare" y cuenta 20 segundos; pasado ese tiempo todo el salón deja de escribir.
–
Una vez terminada la ronda se revisa la puntuación: 2 puntos si es correcta, 0 si no hay respuesta y –2 puntos si es errónea.
–
Se termina la partida una vez completada la plantilla.
–
Gana la partida el equipo que ha conseguido mayor puntuación.
17
3.
Reconozco relaciones matemáticas en el juego •
Luego de realizado el juego, responde las siguientes preguntas: ¿A qué juego se parece el que acabaste de jugar?
–
________________________________________________________________________________ ¿Cuál es la diferencia entre este juego y el que tú conoces?
–
________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ¿Lograron obtener un buen puntaje? ¿Por qué?
–
________________________________________________________________________________ ¿Qué otro tema matemático puedes trabajar con esta estrategia de juego?
–
________________________________________________________________________________ 4.
Expreso de forma esquemática •
Completa la tabla y comprueba si seguiste la estrategia del juego correctamente.
Se lee
Opuesto
Lectura del opuesto
Menos un medio
1 2
Un medio
Número racional
−
1 2
5 3
Cinco tercios
2 1 3
Un entero dos tercios
–
5 3
2 3 Tres décimos
–
3 10
1 2 0
Menos un entero dos tercios
2 3
3 10 5.
–
Suma del Distancia número del número racional y racional su opuesto al cero
2 3
2
–
2 3
Puntaje total
0 1
5 3
2 1 3
3 10
Menos tres décimos
Dibujo en la recta numérica
1 2
5 3
0
0
Distancia del opuesto al cero
5 3
0
–
2 3
0
0 3 10
Describo usando la matemática •
Completa. –
El valor absoluto de un número siempre es _______________________________________________
–
El valor ________________________ de un número es igual en un número positivo y en un número negativo.
–
El valor absoluto del opuesto de un número positivo es un número ________________________ .
18
6.
Expongo lo encontrado •
Luego de haber jugado escribe la definición de: –
Valor absoluto: ____________________________________________________________________
–
Se lo simboliza: ____________________________________________________________________
–
Escribe el valor absoluto de los siguientes números racionales: 2 a. e. – 7 3 4 7 2 f. – b. 3 4 15 5 – . g c. 7 4 =
=
=
=
=
=
d.
–
5 4
h.
=
15 7
=
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades tuviste con el desarrollo de la actividad? ¿Cómo las solucionaste? Reflexiona y escribe verdadero (v) o falso (f) con respecto a las siguientes afirmaciones. •
•
•
é r g o l o L
Represento el valor absoluto de los números racionales dados.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Determino que la distancia del valor absoluto del número racional al origen es la misma.
El valor absoluto de un número racional |a/b| es a/b y, el valor absoluto de un número racional |-a/b| es a/b.
Relaciono la igualdad de la distancia del valor absoluto del número racional con la simetría.
En la recta numérica, la distancia del valor absoluto de los números racionales |a/b| y |–a/b| al origen es la misma.
Coevaluación Argumentamos ideas adecuadamente frente al equipo.
En la recta numérica, cuando la distancia al origen entre dos números racionales de igual medida pero con diferente signo es igual, ¿existe una simetría?
Se tomaron decisiones en equipo de forma asertiva.
Realiza la siguiente actividad
Metacognición
1. En una hoja de papel milimetrado grafica
una recta numérica, y con tus compañeros(as) representa el valor absoluto de siete quintos y menos siete quintos y, midiendo la longitud de las cuadrículas, comprueba la igualdad de distancias con respecto al origen del valor absoluto de los números dados.
•
•
19
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué situaciones cotidianas utilizaría el valor absoluto de un número?
Cantidad
Ficha
3
Compartiendo una torta de cumpleaños Las tortas cumpleañeras no necesariamente se cortan de manera diametral ni radial, pues existen varios métodos para maximizar la cantidad de porciones repartidas, pensando, incluso, en la presentación. Uno de ellos consiste en hacer primero un círculo central, para luego cortar las tajadas. Al partir de esta manera, se pueden encontrar muchas ventajas: • •
•
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Por qué los cortes que se realizan para una torta circular no son los mismos que se utilizan para una torta rectangular?
Salen más tajadas. Las tajadas son más estables porque no hay puntas que se rompan como sucede al cortar como cuñas. Cada persona puede indicar qué tan grueso quiere su pedazo, a diferencia de los cortes diametrales. El cumpleañero se guarda el círculo central para poder disfrutarlo al día siguiente.
Cuando realizas una repartición, ¿las partes son iguales?
Centro de la torta
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
El tipo de partición propuesto en la imagen, ¿divide al total en partes iguales?
¿A qué fracción representa cada porción de la torta?
¿Es posible determinar la fracción que corresponde al centro de la torta? Exprésalo numéricamente.
20
Resolvamos: Laboratorio matemático 1.
Trabajo con material manipulable Para su cumpleaños, María invita a cuatro amigos. Ella prepara una torta de forma rectángular. Si quiere compartir la torta con sus amigos en partes iguales, ¿de qué forma realizará los cortes? Ayuda a realizar la partición de la torta, para lo cual haz uso de una hoja milimetrada. Traza un rectángulo de 5 cm por 2 cm y divídelo en 5 partes iguales. Determina el número de milímetros cuadrados de las varias partes del rectángulo y represéntalo como fracción decimal, porcentaje y fracción. •
2.
Pega aquí tu rectángulo.
Incorporo lenguaje matemático a mis acciones •
Completa la siguiente tabla. Números de porciones
Número de cuadrados
1
20
Fracción decimal
Decimal
2
40 % 60 100
3 4
0,8
5 •
Porcentaje
100 %
Escribe en palabras la tabla de la sección anterior. Números de porciones
Número de cuadrados
Uno
Veinte milímetros cuadrados
Fracción decimal
Decimal
Cuarenta por ciento
Dos Tres
Porcentaje
Sesenta centésimos
Cuatro
Ocho décimos
Cinco
Cien por ciento
21
•
Responde: –
Escribe en palabras los porcentajes correspondientes: a. b.
3.
–
0,3 ___________________________ 3 4
___________________________
Escribe en palabras las fracciones correspondientes: a.
35 % _________________________
b.
0,2
__________________________
Expreso mis ideas •
Dialoga con tus compañeros(as) sobre las siguientes situaciones y escribe los resultados. –
La estrategia adecuada para expresar un decimal en fracción. ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________
–
La estrategia adecuada para expresar un decimal en porcentaje. ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________
–
La estrategia adecuada para expresar un porcentaje en fracción. ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________
–
La estrategia adecuada para expresar un porcentaje en decimal. ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________
–
La estrategia adecuada para expresar una fracción en decimal. ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________
–
La estrategia adecuada para expresar una fracción en porcentaje. ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________
4.
Formulo expresiones simbólicas •
Representa gráficamente cada situación. –
El 40 % de la barra.
–
El 25 % de la barra.
22
•
Dibuja un pastel y divídelo en 8 porciones iguales, luego responde.
–
¿Qué porcentaje representan 3 porciones? _______________________________________________
–
¿Cuántas porciones equivalen al 75 %? __________________________________________________
–
¿Cómo expresas en fracción 6 porciones del total? ________________________________________
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución del problema?
Expreso la equivalencia de fracciones decimales y porcentajes con gráficos y otros.
________________________________________ ________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
¿Te sirvió utilizar papel milimetrado para entender la relación entre decimal, porcentaje y fracción?
Compruebo si el método utilizado me permite resolver el problema.
________________________________________ Escribo correctamente decimales, fracciones y porcentajes.
________________________________________ •
¿En qué situaciones has utilizado gráficos para resolver problemas?
Convierto fracciones y decimales a porcentajes.
________________________________________ ________________________________________
Coevaluación
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
Realizamos el trabajo en equipo.
Calcula el área de tu dormitorio y el área que ocupa tu cama.
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Expresa como fracción, decimal y porcentaje, el área que ocupa tu cama con respecto al área de tu dormitorio.
3.
Elabora una situación problemática para que puedas expresar como fracción, decimal y porcentaje.
4.
Con la ayuda del desglosable 5 de la página 361, identifica las relaciones entre porcentajes y fracciones, jugando con el dominó.
Metacognición •
•
23
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Cantidad
Ficha
4
Una alimentación de calidad La pirámide nutricional y las dosis recomendadas por cada nutriente, nos especifica la cantidad de estos que deberíamos ingerir a diario para una sana y adecuada alimentación. Sin embargo, en la mayoría de los casos no nos guiamos por tales reglas, y terminamos por consumir alimentos poco saludables. En los gráficos se muestra la proporción que debe manejarse en una dieta diaria de calidad. Desayuno
Almuerzo
Cena Proteínas
Carbohidratos Carbohidratos
Proteínas
Proteínas
Vegetales o frutas
Vegetales o frutas
Vegetales o frutas
Carbohidratos
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Qué alimentos consumes en el desayuno? ¿Qué tipos de vegetales consumes?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
En tu dieta diaria, ¿incluyes el consumo de frutas?
•
•
¿Qué fracciones representan la cantidad de cada nutriente en el desayuno?
¿Cuál es la fracción que representa el total de carbohidratos consumidos en la cena?
¿Cuál es la fracción que representa los vegetales o frutas consumidas en el almuerzo?
24
Resolvamos: Juego 1.
Exploro las reglas y condiciones del juego •
Observa las tarjetas referidas a los alimentos y su valor nutritivo. Luego, responde las preguntas, para lo cual deberás ponerte de acuerdo con tu compañero(a).
•
•
•
–
Kcal. 63
Kcal. 156
Kcal. 398
Por c/100 g Kcal. 288
Proteínas: 16/5
Proteínas: 13
Proteínas: 14,5
Proteínas: 24
Por c/100 g
•
Por c/100 g
Kcal. 327
Por c/100 g Kcal. 19
Proteínas: 2
Proteínas: 1
Por c/100 g
•
•
•
4 5
Por c/100 g
Por c/100 g
•
•
Por c/100 g
•
Por c/100 g
Proteínas: 8,1
Proteínas: 2,2
Proteínas: 0,7
Kcal. 5
Proteínas: 0,2
Proteínas: 0,7
Proteínas: 0,3
Proteínas: 2
•
Proteínas: 19,5
5
Kcal. 41
Kcal. 10,4
Por c/100 g
Kcal. 113
1
Kcal. 123
Kcal. 45
•
Por c/100 g
Kcal. 270
Por c/100 g Kcal. 118
Por c/100 g
•
Por c/100 g
•
•
4 5
Por c/100 g Kcal. 130 Proteínas: 19,6
¿Qué características tienen las tarjetas? ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________
–
¿Qué reglas plantearías para jugar con estas tarjetas? ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________ ________________________________________________________ ___________________________ _____________________________________________________ ________________________
25
2.
Comprendo las las características del juego •
El juego con las tarjetas se realiza entre dos personas. Cada participante selecciona una tarjeta y registra los datos de esta en la siguiente tabla. Solo se elegirán cuatro tarjetas por persona:
Alimentos
Cantidad de porciones
Calorías
Proteínas
Escribe de otra forma la cantidad de proteínas
Desayuno
Total 3.
Reconozco relaciones matemáticas en el juego •
Gana el juego quien llega a completar las calorías necesarias para un niño de 12 a 14 años de edad, es decir, 2500 por día o una cantidad aproximada a esta. Sin embargo, no solo se trata de completar o aproximarse a la cantidad de calorías, sino también a la de proteínas que debe consumir un niño del rango de edad referida, la cual es de 0,8 g por cada kilogramo de peso del cuerpo.
Alimentos
Cantidad de porciones
Calorías
Proteínas
Escribe de otra forma la cantidad de proteínas
Desayuno
Almuerzo
Cena
Total 4.
Expreso de forma esquemática esquemática •
Utiliza gráficos para representar las cantidades de uno de los alimentos seleccionados en el almuerzo.
26
5.
Describo usando la matemática •
Organiza en la siguiente tabla las cantidades de las proteínas de los alimentos referidos al almuerzo: Cantidad
Fracción impropia
Fracción mixta
Fracción decimal
Almuerzo
6.
Expongo lo encontrado •
Completa las frases de acuerdo con el tipo de fracciones. –
Una fracción impropia es ____________________________________________________________
–
Una fracción decimal es ____________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste al usar el material? ________________________________________
Encuentro equivalencias de fracciones en su forma decimal y viceversa.
________________________________________ •
Realizo la clasificación de fracciones.
¿Te sirvieron los rectángulos de cartulina para entender la clasificación de fracciones?
Expreso una fracción impropia en fracción mixta y viceversa.
________________________________________
•
________________________________________
Explico qué es una fracción impropia y qué es una fracción decimal.
Con el material utilizado, ¿cuándo obtendrías fracciones decimales y por qué?
Realizo operaciones con fracciones y decimales.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en equipo.
Realiza las siguientes actividades 1.
Toma 8 alambres de 20 cm y representa varias fracciones.
2.
En tu salón de clase, pregunta los gustos musicales; por ejemplo, cumbia, huaino, rock o pop. Cuenta a tus compañeros(as) que tienen estos gustos musicales y expresa como fracción, decimal y porcentaje.
3.
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Analizamos las ideas que se generan con el material de manera crítica y constructiva.
Metacognición •
Elabora una situación problemática para que puedas expresar como fracción, decimal y porcentaje.
•
27
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en el desarrollo de las actividades? ¿En qué otras situaciones cotidianas usaría las fracciones?
é r g o l o L
Cantidad
Ficha
5
Recetas deliciosas
Taller ma temático 1.
Concurso (Problemas de traducción simple)
El concurso Dulce Perú Sur se realizó en una plaza de la ciudad surandina de Cusco, al cual asistieron varios participantes. En este concurso se impuso la categoría "Amas de casa", y la ganadora fue aquella que preparó unos deliciosos picarones. El certamen, en el que compitieron 100 participantes de varias regiones del Perú, tuvo gran acogida tanto por parte del público cusqueño como de los turistas. Si en la categoría "Amas de casa" participaron 25 personas, ¿qué fracción del concurso representaban? ¿Qué fracción de su categoría representa la persona que ganó?
2.
•
Representa gráficamente la fracción que corresponde a la categoría "Amas de casa" con respecto a todos los participantes.
•
Escribe la fracción reducida.
•
Escribe la fracción que corresponde a la ganadora con respecto a su categoría.
Pastel geométrico (Problemas de traducción compleja)
Lorena preparó un pastel cuadrangular y lo partió como se muestra en la figura. ¿Qué parte del pastel representa cada pieza formada? Si repartió a los asistentes 8/16 del pastel, ¿qué partes sobraron? Represéntalo mediante una fracción.
28
Comprendo el problema •
¿En cuántas partes se cortó el pastel?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Cuántas partes se repartieron a los asistentes?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Qué figuras conforman el pastel? Dibújalas por separado sin repetirlas.
Diseño una estrategia •
Recorta el tangram de la página 359; manipúlalo para diseñar la estrategia.
•
Emplea las fichas del tangram; responde y grafica. a.
El cuadrado rojo, ¿a qué figuras del tangram equivale?
c.
El paralelogramo, ¿a qué figuras del tangram equivale?
d.
El triángulo azul, ¿a qué figuras del tangram equivale? ¿Cuántas equivalencias encontraste?
e.
Si el pastel representado por el tangram se corta en triángulos como los del color morado o naranja, ¿a cuántos pedazos de estos equivale el pastel? Representa numéricamente tres partes.
b.
29
El triángulo verde, ¿a qué figuras del tangram equivale?
Aplico la estrategia • •
Presenta actividades de equivalencias. Tomando en cuenta la información anterior completa la siguiente tabla. Partes del tangram
Partes que representa en relación a Triángulos pequeños
Tangram
Cuadrado rojo Triángulo verde Triángulo azul
Un cuarto
Paralelogramo •
Escribe la fracción simplificada que representa los siguientes casos, en relación con el tangram: –
Dos triángulos pequeños.
–
El cuadrado y el triángulo verde juntos.
–
El paralelogramo y el cuadrado juntos.
–
Triángulos grandes, los pequeños y el mediano juntos.
Transfiero lo aprendido
3.
•
Utilizando el tangram, analiza qué partes del pastel quedaron luego de repartirlo.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Armando un gato (Situaciones problemáticas realistas) •
Forma la siguiente figura con tu tangram y escribe la fracción que corresponde a cada parte. a.
Las orejas y la cola
d.
Una oreja y la cola
b.
La cola
e.
La mitad de la cola y una oreja
c.
El cuerpo
30
•
Forma con tu tangram la siguiente figura y colorea únicamente las figuras que representen cinco octavos del total.
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué proporcionan los postres al cuerpo? ________________________________________
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Simplifico fracciones.
________________________________________ •
¿Qué te gusta más del tangram?
Empleo procedimientos para simplificar fracciones.
________________________________________ ________________________________________ •
Resuelvo problemas usando la simplificación de fracciones.
¿En qué situaciones has utilizado gráficos para resolver problemas?
Simplifico fracciones en representaciones gráficas.
________________________________________ ________________________________________
Coevaluación
Realiza las siguientes actividades 1.
Dibuja el tangram en una hoja de papel milimetrado.
2.
Calcula el área en milímetros cuadrados de cada una de las figuras del tangram.
3.
Escribe en cada una de las figuras del tangram una fracción. En el numerador escribe el área calculada, en el denominador el área total del tangram y simplifica.
4.
Realizamos el trabajo en equipo. Ayudamos a otros compañeros a resolver los problemas.
Metacognición •
Con ayuda del desglosable 4 de la página 359, calcula qué fracción representa la cabeza de toda la figura en cada caso.
•
31
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Cantidad
Ficha
6
Ingresos, compras y cambios de monedas
Taller ma temático 1. A.
El tipo de cambio (Problemas de traducción simple)
Mei-Ling, ciudadana de Singapur, hizo los preparativos para ir a Sudáfrica como estudiante de intercambio durante tres meses. Necesitó cambiar dólares de Singapur (SGD) en rands sudafricanos (ZAR). •
Pregunta 1
Mei-Ling se enteró de que el tipo de cambio entre el dólar de Singapur y el rand sudafricano era de 1 SGD = 4,2 ZAR Mei-Ling cambió 3000 dólares de Singapur en rands sudafricanos con este tipo de cambio. ¿Cuánto dinero recibió Mei-Ling en rands sudafricanos?
•
Pregunta 2
Al volver a Singapur, tres meses después, a Mei-Ling le quedaron 3900 ZAR. Los cambió en dólares de Singapur, dándose cuenta de que el tipo de cambio había variado a: 1 SGD = 4,0 ZAR ¿Cuánto dinero recibió en dólares de Singapur?
•
Pregunta 3
Al cabo de estos tres meses el tipo de cambio había variado de 4,2 a 4,0 ZAR por 1 SGD. ¿Favoreció a Mei-Ling que el tipo de cambio fuese de 4,0 ZAR en lugar de 4,2 ZAR cuando cambió los rands sudafricanos que le quedaban por dólares de Singapur? Da una explicación que justifique tu respuesta.
Liberado de http://www.mecd.gob.es/inee 32
B. Situaciones cotidianas •
Responde las situaciones planteadas: –
Tomás recibe mensualmente un salario de S/ 1459,58. Si gasta S/ 700 en alimentación y vivienda, S/ 358,50 en salud y educación, ¿cuánto le queda de su salario?
___________________________________________________________________________________ –
Martha y tres amigas comparten una pizza que está dividida en 12 pedazos. ¿Qué parte de la pizza lleva Martha a su hermano si ella y cada una de sus amigas comieron 2 pedazos?
___________________________________________________________________________________ –
Ricardo compra algunas verduras que se detallan en el siguiente cuadro. Llénalo y verifica si le alcanza comprar todo con S/ 20. Verdura
Unidad de medida
Precio unitario
Cantidad
Zanahoria
kg
0,80
2
Betarraga
atado
1,00
2
Rábano
atado
1,00
5
Pimiento
unidad
0,60
5
Apio
unidad
0,80
4
Espinaca
kg
2,00
2
Total
Total
_________________________________________________________________________________ •
En el siguiente gráfico se muestra a los tres principales países productores de quinua en el mundo; la producción es en toneladas. Observa y contesta. –
50000 45000 ) s a d a l e n o t ( n ó i c c u d o r P
40000
¿Cuál es el país que produce más quinua?
_______________________________
35000 30000
Bolivia
25000
Ecuador
20000
Perú
15000
–
¿Cuántas toneladas se produjeron en el 2010?
_______________________________
10000 5000
0
Año
2008
Bolivia Ecuador Perú
2009
2010
2011
2012
2008
2009
2010
2011
2012
27 169 741 29 867
34 156 800 39 397
36 106 897 41 079
38 257 816 41 182
37 500 800 44 210
–
¿Qué porcentaje de la producción del 2010 le corresponde al Perú?
_______________________________ –
¿Qué porcentaje de la producción del 2010 le corresponde a Bolivia?
_______________________________
33
•
–
¿Qué porcentaje de la producción del 2010 le corresponde a Ecuador?________________________
–
¿Cuántas toneladas produjo Bolivia en los 5 años?_________________________________________
–
¿En qué año el Perú produjo la mayor cantidad de quinua?__________________________________
Para controlar la nutrición de un equipo de estudiantes se realizaron mediciones de la talla según su edad. El siguiente cuadro muestra los resultados de las mediciones con los promedios de tallas de los estudiantes. Observa y contesta. Edad
Talla promedio en niñas
Talla promedio en niños
9 años
132,4 cm
131,7 cm
10 años
138,1 cm
136,5 cm
11 años
142,9 cm
141,5 cm
12 años
149,1 cm
146,2 cm
13 años
154,1 cm
156,1 cm
14 años
157,8 cm
160,9 cm
–
¿Cuál es la diferencia de talla entre una niña de 9 y 13 años?_________________________________
–
¿Cuál es el promedio de tallas entre los niños de 9 a 11 años? _________________________________
–
Según la tabla, ¿cuántos milímetros medirá una niña de 12 años? _______________________________
–
¿Qué diferencia de talla existe entre la medida de un niño de 14 años y una niña de 10?
_________________________________ 2.
Alimentación y venta (Problemas de traducción compleja) •
El señor López separa cierta cantidad de dinero para su alimentación durante las tres semanas que pasará fuera de su casa. La primera semana gasta los dos quintos del total, y la segunda semana gastará la mitad de lo que le sobre. Si para la tercera semana le queda S/ 60, ¿cuánto separó para las tres semanas?
34
3.
Compras en el supermercado (Situaciones problemáticas realistas) •
Fernanda realiza las siguientes compras en un supermercado para preparar una comida: zanahorias 3 kg, 1 1 3 papas 20 kg, manzana 3 kg, piña 1 kg, mandarina 3 kg y papaya 1 kg. Los precios se muestran en la 2 4 4 tabla. ¿Cuánto debe pagar Fernanda por toda la compra? Justifica tu respuesta. Alimento
Precio por kg
Zanahoria
S/ 1,78
Papa
S/ 1,90
Manzana
S/ 2,20
Piña
S/ 2,55
Mandarina
S/ 2,12
Papaya
S/ 1,43
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué sección de problemas te causó mayor dificultad?
________________________________________
Resuelvo problemas con las cuatro operaciones con decimales y fracciones.
¿Qué consideras que es necesario para resolver problemas?
Utilizo estrategias heurísticas para resolver problemas.
________________________________________
•
________________________________________
•
________________________________________
Reconozco errores en las argumentaciones.
¿Cuáles son las razones que te motivarían para realizar un emprendimiento?
Coevaluación
________________________________________
Completamos todas las tareas.
________________________________________
Atendemos a las indicaciones del profesor.
Realiza las siguientes actividades 1.
Escribe en tu cuaderno cinco alimentos que consumes con frecuencia.
2.
Elabora una tabla sobre el valor nutricional de los alimentos escogidos.
3.
Sustituye uno de los alimentos que consumes con frecuencia por otro de mayor valor nutricional.
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
Metacognición •
•
35
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
Análisis de datos en la gastronomía
7
Taller ma temático 1. A.
Porciones (Problemas de traducción simple)
En un restaurante se preparan 25 platos. La porción media de cada plato es de 455 gramos. Pregunta 1
•
Explica cómo se calcula la porción media. ___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Pregunta 2
Rodea con un círculo Verdadero o Falso según corresponda para cada una de las siguientes afirmaciones. Afirmación
Verdadero / Falso
La porción de la mayoría de los platos es de 455 gramos.
Verdadero / Falso
Si se ordenan los platos, del de menor cantidad al de mayor cantidad, entonces el plato que ocupa la posición central tiene que ser igual a 455 gramos.
Verdadero / Falso
La mitad de los platos deben tener menos de 455 gramos y la otra mitad más de 455 gramos.
Verdadero / Falso
Si la porción de uno de los platos es de 457 gramos, tiene que haber otro plato con una porción de 453 gramos.
Verdadero / Falso
Pregunta 3
•
Se encontró un error en la medida de la porción de uno de los platos: era de 465 gramos en lugar de 440 gramos. ¿Cuál es la porción media correcta de los platos preparados? a. 454 gramos
B.
b. 456 gramos
c. 458 gramos
d. 460 gramos
e. 465 gramos
Comida típica preferida Observa el gráfico de barras y responde las siguientes preguntas.
•
14 12 10 8 6 4 2
s a n s o a s r n e o s p r e e P d o . N
14 9
10
11 •
_________________________________________
2
•
Cebiche
Causa
¿Cuántas personas fueron encuestadas?
Ají de Caldo de Menestrón gallina carnero Comida típica
¿Qué plato es el que gusta más?
_________________________________________ 36
2.
Porción de papas (Problemas de traducción compleja)
En un restaurante de comida típica se revisó el peso, en kilogramos, de 50 porciones de papa durante un mes y se obtuvieron los resultados registrados de la siguiente manera: 3
3
3,3
2,5
2,6
4,5
3,5
3,5
4
4
3
3,3
3,4
3,6
3,7
3,2
3,3
3,4
3
3
3,9
3,7
3,5
3,1
3,1
3,2
4,3
4,2
4
4
2,7
2,8
2,9
3,4
3,2
3,1
2,5
3,3
3
3
3,6
3,8
3,5
3,1
3,2
4,1
4,2
3,6
3,9
3,2
•
¿Los datos registrados corresponden a la población o a una muestra?
_______________________________________________________________________________________ •
Si un kilogramo es aproximadamente igual a 2,2 libras, ¿cuántas porciones tienen más de 8 libras?
_______________________________________________________________________________________ •
Representa en un gráfico de barras la información recogida.
s e n o i c r o p e d º . N
Peso por porción •
¿Qué porcentaje de porciones tienen peso inferior a 3,2 kg?
_______________________________________________________________________________________ •
Calcula el peso promedio de las porciones.
_______________________________________________________________________________________ •
¿Cuál es la media de los datos obtenidos?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Cuál es la moda de los datos?
_______________________________________________________________________________________
37
3.
Destino gastronómico (Situaciones problemáticas realistas) •
•
En el año 2015 el Perú ganó en China el galardón al mejor destino gastronómico otorgado por la revista Top Travel , especializada en turismo. Por tal razón, se realizó una encuesta a varios turistas (varones y mujeres) durante una exposición de comidas típicas para conocer cuál de ellas es la comida favorita. Luego de realizar la encuesta se generaron los siguientes datos. Cebiche
75 varones
80 mujeres
Ají de gallina
120 varones
60 mujeres
Tallarín saltado
80 varones
120 mujeres
Causa
125 varones
140 mujeres
Arroz con pato
100 varones
100 mujeres
Con la información obtenida, completa la tabla. Varón Datos
Frecuencia absoluta (f i )
Frecuencia relativa (f r )
Mujer Frecuencia acumulada (F i )
Frecuencia absoluta (f i )
Frecuencia relativa (f r )
Frecuencia acumulada (F i )
Cebiche Ají de gallina Tallarín saltado Causa Arroz con pato
a.
De los encuestados varones y mujeres, ¿qué grupo consume mayor cantidad de cebiche?
c.
De los cinco platos típicos, ¿cuál es el predilecto de los encuestados?
_____________________________________
_____________________________________ b.
¿Cuál es la media aritmética de mujeres que consumen platos típicos?
d.
_____________________________________ •
¿Es posible calcular el rango de los datos? Explica.
_____________________________________
A continuación, se muestra el registro de la estatura de varios estudiantes:
a.
1,54
1,61
1,67
1,72
1,81
1,67
1,61
1,54
1,53
1,61
1,81
1,67
1,57
1,61
1,67
1,80
1,57
1,67
1,72
1,85
¿En qué unidad de medida está expresada la estatura de los estudiantes?
_____________________________________ b.
Representa la información en un gráfico de barras.
s e t n a i d u t s e e d º . N
Estatura
38
c.
Calcula la estatura media.
___________________________________________________________________________________
d.
Averigua la estatura media de los compañeros de tu clase.
e.
Elabora una tabla y registra la estatura de tus compañeros. Luego, determina el rango.
f.
¿Cuál es la moda de las estaturas de tus compañeros?
___________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el levantamiento de la información?
Realizo un instrumento para recoger la información del problema investigado.
________________________________________ ________________________________________ •
Construyo tablas para el manejo y tabulación de datos.
¿El uso de tablas y gráficas de barras te permite presentar de mejor forma la información? ¿Para qué?
Represento mediante gráficas de barras y circular los datos de la tabla.
________________________________________
Interpreto las gráficas y asocio con la media aritmética, mediana y moda.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
De lo aprendido, ¿qué actividades realizarías para incentivar el consumo de los platos típicos peruanos?
Coevaluación Argumentamos las ideas adecuadamente frente al equipo.
________________________________________
Se tomaron decisiones en equipo de forma asertiva.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
Realiza una encuesta en tu barrio sobre los platos típicos peruanos.
Metacognición
Elabora una tabla de datos y represéntalos en una gráfica de barras y circular.
3.
Calcula la media, moda y mediana de estos datos.
4.
Planifica actividades en tu localidad para fortalecer la identidad peruana a través de la gastronomía.
•
•
39
¿Qué aprendí en esta actividad? ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en una situación cotidiana?
é r g o l o L
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
8
Beneficios de la kiwicha El origen de la planta de kiwicha se ubica en el Perú, Ecuador, México y Guatemala, la cual se comenzó a cultivar hace 7000 años. Consumirla produce grandes beneficios para la salud. Esto se debe a su alto valor nutricional, ya que provee una cantidad superior de proteínas en comparación con la de otros cereales. Esta característica la convierte en un alimento con la capacidad de satisfacer gran parte de la ración de proteínas paras las personas y a la vez proveer el 70 % de energía de la dieta. Algunos de sus múltiples beneficios son: •
Es una fuente completa de proteína.
•
•
Está libre de gluten.
•
•
Es rica en fibra dietética.
Elemento
•
¿Conoces los beneficios de los cereales? ¿Qué cereales cultivan en tu localidad?
Es densa en minerales.
Composición química y valor nutricional (contenido en 100 gr de kiwicha cruda)
Cuenta tu experiencia •
Tiene beneficios cardiovasculares.
Unid
Valor
Calorías
cal
377
Agua
g
Proteínas Grasas
Elemento
Unid
Valor
Calcio
mg
236
12,0
Fósforo
mg
453
g
13,5
Hierro
mg
7,5
g
7,1
Retinol
mcg
-
Carbohidrat. g
64,5
Vit. B1 (Tiamina)
mcg
0,30
Fibra
g
2,5
Vit. B2 (Riboflavina)
mcg
0,01
Ceniza
g
2,4
Vit. B5 (Niacina)
mcg
0,40
Ác. Ascórbico reduc. mcg
1,3
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
¿Qué tipos de datos se presentan en la información sobre la kiwicha?
•
Formula una pregunta sobre las propiedades de la kiwicha.
•
¿Qué tipo de dato obtendrías de tu pregunta formulada?
40
Resolvamos: Investigación escolar 1.
Planteo un problema Muchas personas no aprovechamos al máximo los alimentos nutritivos y saludables que nos brinda nuestro país. Estados Unidos, por ejemplo, ya incluyó la quinua y la kiwicha como parte obligatoria para la dieta de sus astronautas. Los franceses han premiado al aceite sacha inchi como el más saludable del mundo. El camu camu es la fruta con mayor contenido de vitamina C de todo el planeta. ¿Qué crees que podemos hacer para incentivar el consumo de quinua, kiwicha, sacha inchi y camu camu en tu familia y en las familias de tus compañeros? Además reflexiona sobre la importancia de estos alimentos.
2.
Llevo a cabo un plan para solucionar el problema •
Forma un equipo de cuatro estudiantes.
•
El tema de estudio de este caso es: consumo de quinua, kiwicha, sacha inchi y camu camu.
•
El objetivo que se tiene es la difusión y socialización mediante campañas de motivación para consumir alimentos saludables.
•
Se va a implementar la siguiente ficha de encuesta: Ficha de encuesta
Instrucciones: Estimado estudiante, esta encuesta permitirá averiguar el
consumo de quinua, kiwicha,
sacha inchi y camu camu en tu familia. Edad: ____ años 1.
2.°
3.°
4.°
5.°
Mujer
Varón
¿En qué región del Perú se cultiva en mayor cantidad la kiwicha? Costa
2.
Grado: 1.°
Sierra
Selva
Selecciona cuál de los siguientes alimentos consumes más: Quinua
Kiwicha
Sacha inchi
Camu camu
Otro
3. ¿En qué presentación preferirías consumir la kiwicha?
Guiso 4.
3.
Postre
Sopa
Tortilla
¿Sabías que las flores se usan para elaborar tinta de diferentes colores?
Sí
No
Recopilo datos •
Antes de aplicar la encuesta deberás tener en cuenta que: –
•
Si tu institución educativa cuenta con varias secciones de cada grado, se aplicará la encuesta solo a una sección del grado. ¿Cuántas secciones tiene tu institución? __________________________________
Para aplicar la encuesta a una sección del grado se realizará por sorteo colocando papeles con los nombres de los grados y secciones en una caja.
41
•
Se extraerá un papel de la caja; el primer papel determinará el grado y la sección donde se aplicará la encuesta. Se procede a realizar la encuesta en el grado seleccionado.
•
Escribe el grado que seleccionaste. ________________________________________________________
4. Analizo datos •
Cada equipo realizará el análisis de los datos del grado y sección que le tocó aplicar la encuesta. En cada equipo dos estudiantes elaborarán tablas de frecuencia para la pregunta 1 y 2. Los dos estudiantes restantes elaborarán tablas de frecuencia para las preguntas 3 y 4. El coordinador del equipo unificará en una sola tabla los datos que le den sus compañeros.
•
Llena los resultados de cada pregunta. •
Pregunta 1. ¿En qué región del Perú se cultiva en mayor cantidad la kiwicha? Frecuencia absoluta (f i )
Frecuencia acumulada (F i )
Porcentajes
Costa Sierra Selva Total •
Pregunta 2. Selecciona cuál de los siguientes alimentos consumes más: Frecuencia absoluta (f i )
Frecuencia acumulada (F i )
Porcentajes
Quinua Kiwicha Sacha inchi Camu camu Otro Total •
Pregunta 3. ¿En qué presentación preferirías consumir la kiwicha? Frecuencia absoluta (f i )
Frecuencia acumulada (F i )
Porcentajes
Guiso Postre Sopa Tortilla Total •
Pregunta 4. ¿Sabías que las flores se usan para elaborar tinta de diferentes colores? Frecuencia absoluta (f i )
Frecuencia acumulada (F i )
Sí No Total •
Contesta las siguientes preguntas: –
¿Qué porcentaje de los estudiantes consume kiwicha? ________________ 42
Porcentajes
5.
–
¿Qué tipo de alimento es el más consumido? ____________________________________________
–
¿Qué porcentaje de los padres consumieron dichos productos en la misma presentación? _________ __________________________________________________
–
¿Qué porcentaje prepara la mazamorra en menos de una hora? ______________________________
Planteo conclusiones •
Dados los resultados, el equipo debe contestar las siguientes preguntas: –
¿Cómo llamarían al número de estudiantes que fueron encuestados por tu equipo y por qué?
___________________________________________________________________________________ –
¿Cómo llamarían al número de estudiantes que fueron encuestados por todos los equipos y por qué?
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución del problema? Elaboro preguntas identificando la variable que quiero investigar.
________________________________________ ________________________________________ •
Explico el proceso de cómo llenar una encuesta.
¿Te fue de gran ayuda utilizar las tablas y los gráficos estadísticos? ¿Por qué?
Elaboro tablas para realizar gráficos estadísticos.
________________________________________ ________________________________________ •
Coevaluación
¿En qué casos es pertinente calcular el rango de los datos?
Asumimos con responsabilidad el trabajo en equipo.
________________________________________
Presentamos el trabajo con tablas y gráficos para ser explicado de manera crítica y constructiva.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
De las encuestas que realizaste, separa los resultados en hombres y mujeres.
2.
¿Qué alimento prefieren los hombres?
Metacognición
________________________________________ 3.
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
•
¿Qué alimento prefieren las mujeres? ________________________________________
•
43
¿Cuáles son los conocimientos nuevos que adquirí en esta actividad? ¿Cómo aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Evaluación Programa Nacional de Alimentación Escolar “Nuestros usuarios son aproximadamente 3 100 000 niños y niñas de más de 58 000 instituciones educativas públicas a nivel nacional. Para el 2016 el programa tiene como meta atender a más de 3 800 000 niños y niñas de Inicial y Primaria de las escuelas públicas de todo el país, y de Secundaria de las comunidades nativas de los pueblos amazónicos”. (Segundo Informe Avances PNAIA 2021- Año 2013)
Resuelve las siguientes preguntas utilizando la información del texto anterior. 1.
b.
¿Cuál es el porcentaje que se tiene como meta incrementar para el 2016 en el Programa Nacional de Alimentación Escolar? ________________________________________
2.
Si de las 58 mil escuelas beneficiadas, unas 7000 corresponden a instituciones educativas del Gobierno Regional de Cajamarca, ¿cuál es la fracción atendida en esa región? ________________________________________
3.
Una de las recetas que se preparan en el programa es la siguiente:
Completa la tabla calculando la cantidad requerida de los ingredientes mostrados para el número de personas que se indica:
Ingredientes
Unidad de referencia
Caldo de verduras
Taza
Zanahoria en cubitos
Taza
Puntas de espárragos
Taza
Arvejas
Taza
a n o s r e p 1
s a n o s r e p 3
s a n o s r e p 5
s a n o s r e p 0 1
s a n o s r e p 2 1
Receta de pasta (5 porciones) •
•
•
• •
1,5 kg de pasta
•
2 cucharas de aceite de oliva 1 1 tazas de queso parmesano 6
•
4.
1 1 tazas de caldo de verduras picadas 2 2 de taza de zanahorias en cubitos 3 3 de taza de puntas de espárragos 4 5 de taza de arvejas 6
Los precios (por kilogramo) de algunos de los ingredientes son: verduras picadas S/ 9,65; zanahoria S/ 7,25; espárragos, S/ 11,85. Las arvejas cuestan 20 % más que las verduras. Unidad de referencia
Gramos
Verduras picadas
Taza
225
Zanahoria
Taza
80
Espárragos
Taza
100
Arvejas
Taza
200
¿Cuál es el costo aproximado para una preparación de 20 porciones? ________________________________________
a. Si
quieres preparar una porción para 15 personas, ¿cuál es la cantidad de cada ingrediente que requieres? Reescribe la receta. ______________________________________
En el mercado, un comerciante vende las verduras picadas a S/ 9,65 y otro comerciante a S/ 9,66. ¿Es posible encontrar entre el valor de las ofertas otro precio? Justifica tu respuesta.
______________________________________
________________________________________
______________________________________
________________________________________
5.
44
6.
Completa los datos de la tabla. Decimal
Fracción
b.
¿Cuál es la mayor frecuencia relativa? ¿A qué dato corresponde? __________________________
c.
¿Qué porcentaje de los estudiantes que pertenecen al programa, de la muestra tomada, tienen 15 años? ______________________________
Porcentaje
0,1 2/10 40 %
8.
0,6 90 % 7.
Se anotaron las edades (en años) de 50 estudiantes beneficiarios del programa de alimentación. 13; 12; 13; 14; 11; 12; 13; 14; 13; 13; 13; 15; 16; 16; 15; 13; 14 11; 12; 13; 12; 15; 11; 13; 13; 13; 12; 14; 11; 12; 12; 13; 13; 15; 15; 16; 13; 14; 14; 11; 12; 14; 13; 10; 10; 13; 10; 16; 15; 13. a.
Se sabe que del total de escuelas beneficiadas 1/145 corresponde a Tacna, mientras que el 0,52 % está en Tumbes. a.
¿En qué región hay más escuelas beneficiadas? __________________________
b.
¿Cuántas escuelas hay en cada región? _____________________________________
Producto
Elabora una tabla de frecuencias absolutas y frecuencias relativas para los datos.
9.
Elabora un organizador donde se visualice todo lo aprendido en esta unidad.
Autoevaluación Indicadores
Siempre
A veces
Pocas veces
Siempre
A veces
Pocas veces
Empleo procedimientos para resolver problemas relacionados con fracciones mixtas, heterogéneas y decimales. Empleo estrategias heurísticas para resolver problemas que combinen cuatro operaciones con decimales, fracciones y porcentajes. Encuentro un número decimal o fracción entre otros dos. Expreso la equivalencia de números racionales (fracciones, decimales, potencias de base diez y porcentajes) con soporte concreto, gráfico y otros. Justifico cuándo un número fraccionario es mayor que otro. Elaboro tablas para realizar gráficos estadísticos.
Coevaluación Indicadores
Participamos todos en las actividades de equipo. Respetamos los razonamientos diferentes a los nuestros.
Metacognición 1.
¿Qué aprendí al resolver estas actividades? __________________________________________________
2.
¿En qué situaciones de mi vida puedo aplicar lo aprendido? ____________________________________ 45
Unidad
El deporte, la salud y la matemática
2
La buena salud se relaciona con la ejercitación y la recreación. Podemos notar, por ejemplo, las ventajas de las actividades físicas para aumentar el gasto calórico, así como el beneficio de los juegos como el ajedrez, las damas, etc., que nos estimulan cognitivamente y ayudan a fortalecer la memoria y prevenir enfermedades como el alzhéimer. En algunas actividades deportivas es importante considerar los desplazamientos que se realizan. Por ejemplo, en el karate es recomendable la práctica del thenshin happo (desplazamiento de ocho direcciones), el cual se puede expresar en un esquema que señala los desplazamientos. Otro ejemplo es el ajedrez, cuya importancia radica en conocer los movimientos que ejecuta cada una de sus fichas, como el caballo, que se mueve en “L” y puede cubrir todas las casillas del tablero con sus movimientos. • Si por el primer casillero del tablero de ajedrez te dieran un grano de trigo; por el segundo, el doble del anterior; por el tercero, el doble de este último, y así sucesivamente, ¿podrías determinar cuántos granos de trigo tendrías en el casillero 64? • ¿Qué tipo de desplazamiento realiza el caballo A? ¿Qué tipo de desplazamiento ejecuta el caballo B? Observa la imagen del tablero. • ¿Qué tipo de desplazamientos observas en la imagen de nado sincronizado?
B
A
46
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones
•
•
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Comunica y representa ideas matemáticas
•
•
Elabora y usa estrategias
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
Matematiza situaciones •
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Comunica y representa ideas matemáticas
•
•
Elabora y usa estrategias
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
47
Relaciona datos en situaciones de medidas y plantea modelos referidos a potenciación de base 10 con exponente positivo y negativo. Reconoce la pertinencia de modelos referidos a la potenciación en determinados problemas. Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema. Representa un número decimal o fraccionario, en una potencia con exponente entero. Describe las operaciones de multiplicación y división con potencias de bases iguales y de exponentes iguales. Emplea estrategias heurísticas al resolver problemas con números racionales y base 10 con exponente positivo y negativo. Emplea procedimientos basados en teoría de exponentes (potencias de bases iguales y de exponentes iguales) con exponentes enteros al resolver problemas. Propone conjeturas para reconocer la teoría de exponentes con números fraccionarios. Comprueba a partir de ejemplos las operaciones con potencia de base entera, racional y exponente entero. Plantea relaciones geométricas en situaciones artísticas y las expresa en un modelo que combinan transformaciones. Reconoce la restricción de un modelo relacionado a transformaciones y lo adecúa respecto a un problema. Describe las características de la composición de transformaciones geométricas de figuras. Grafica la composición de transformaciones de rotar, ampliar y reducir en un plano cartesiano o cuadrícula. Realiza composición de transformaciones de rotar, ampliar y reducir, en un plano cartesiano o cuadrícula al resolver problemas, con recursos gráficos y otros. Plantea conjeturas respecto a las partes correspondientes de figuras congruentes y semejantes luego de una transformación. Explica las transformaciones respecto a una línea o un punto en el plano de coordenadas por medio de trazos.
Cantidad
Ficha
9
El juego del ajedrez El ajedrez es un juego considerado un deporte debido a la necesidad de sus jugadores de contar con la competencia, el razonamiento y la estrategia para ganar en el juego. Los competidores requieren de una buena preparación que les permita estar en competición en juegos de hasta seis horas, en las que la concentración y la resistencia física son importantes. En los últimos años, los científicos han realizado diferentes estudios que relacionan el desarrollo de pensamiento con el juego habitual del ajedrez, por lo que ha llegado a catalogarse como un deporte intelectual que estimula la mente.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Cuántos movimientos realiza un peón para llegar al otro extremo? ¿Puedes pasar por todas las casillas y una sola vez con el desplazamiento del caballo? Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿Cuántas casillas tiene un tablero de ajedrez?
Escribe los nombres de las fichas de un juego de ajedrez y los movimientos que pueden realizarse en el tablero con ellas.
¿Cuántos cuadrados puedes identificar en un tablero de ajedrez?
48
Resolvamos: Laboratorio matemático 1.
Trabajo con material manipulable Una historia sobre el origen del ajedrez indica que un famoso matemático de la India le presentó el juego a un rey de un lejano país de Oriente. El rey, satisfecho con el invento del matemático le concedió la oportunidad de pedir, a cambio, la recompensa que él quisiera. El matemático, ante la voluntad del rey, le pidió recibir por la primera casilla del juego, un grano de trigo; por la segunda casilla, dos granos; por la tercera, cuatro; por la cuarta, ocho; por la quinta, dieciséis; y así sucesivamente hasta llegar a la última casilla del ajedrez. –
Dibuja las dos primeras filas del tablero y escribe en cada casillero el número de granos de trigo que recibe el matemático.
–
¿Puede establecerse una operación matemática para conocer el número de granos de trigo que debe entregar el rey en cada una de las casillas del tablero de ajedrez? Explica.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
–
¿Cómo expresarías el cuatro, el ocho, el dieciséis o el resto de números como la multiplicación de números iguales?
___________________________________________________________________________________
–
¿Consideras que la petición del matemático es muy poca para pagar el desarrollo del juego del ajedrez? Explica tu respuesta.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
49
2.
3.
Incorporo lenguaje matemático a mis acciones •
¿Qué relación existe entre la cantidad de trigo de una casilla y la siguiente?
•
Escribe una multiplicación que permita establecer el número de granos de trigo que recibe el matemático por cada una de las 16 primeras casillas. Ten en cuenta que uno de los factores es el número de granos de la casilla anterior.
•
Analiza el número de granos que corresponde a cada casilla y escribe cada cantidad como una potencia de dos.
•
¿Puede la cantidad de granos de trigo de la primera casilla expresarse como una potencia de dos? Explica tu respuesta.
•
Escribe la expresión matemática que permite calcular el número de granos de trigo que corresponden a las casillas 20, 30, 40 y 50.
•
Escribe como potencia de dos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la última casilla del tablero de ajedrez. Utiliza una calculadora para determinar el número de granos de trigo.
Expreso mis ideas •
Luego de establecer la expresión matemática que permite determinar el número de granos de trigo, ¿consideras que la petición del matemático es exagerada? Explica.
___________________________________________________________________________________
•
¿Consideras que el rey puede cumplir la solicitud del matemático? Explica.
___________________________________________________________________________________
50
4.
Formulo expresiones simbólicas •
De acuerdo con el trabajo realizado, completa la tabla. Casilla
Número de granos de trigo
Base
Exponente
2
2
2
21
4
2×2
4 5
2×2×2 2 25
2 •
Establece una expresión que permita indicar el número de granos que corresponden a una casilla determinada.
___________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Cuándo una multiplicación puede reescribirse como una potenciación?
Comprendo que la potenciación es una multiplicación abreviada.
________________________________________ ________________________________________ •
Identifico a la potenciación como una expresión abreviada de una multiplicación de factores iguales.
En la potenciación, ¿la base puede ser un número decimal? ________________________________________
Realizo operaciones con factores iguales y exponentes diferentes.
________________________________________ •
En la potenciación, ¿el exponente puede ser un número decimal?
Establezco la operación con la que se halla la potencia.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Expusimos verbalmente los procesos realizados.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
3.
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Con la ayuda de tu profesor, encuentra una forma de llegar a determinar que 10 0 = 1.
Tomamos decisiones en equipo de forma asertiva.
Investiga sobre la historia del matemático que inventó el juego del ajedrez y establece el número de granos de trigo que recibió por parte del rey.
Metacognición •
Consulta otras situaciones de la vida cotidiana en las que se puede trabajar el concepto de la potenciación. Presenta tu consulta a tus compañeros.
•
51
¿En qué me aportó este conocimiento? ¿Puedo utilizar lo aprendido en situaciones prácticas de mi entorno?
é r g o l o L
Cantidad
Ficha
10
Los números racionales y los deportes
Taller matemático 1.
Figuras - Superficie de canchas (Problemas de traducción simple) Un jardinero cobra 60 dólares por darle mantenimiento a cada pie cuadrado en un campo de béisbol. El campo tiene una zona de forma cuadrada limitada por la zona de bateo y las tres bases (primera, segunda y tercera), de unos 90 pies de lado. Expresa como un producto de factores primos lo que cobraría el jardinero al darle el mantenimiento a esta zona del campo.
•
Expresa, como producto de factores primos, el área de la zona del campo.
•
Expresa, como producto de factores primos, el precio en dólares de lo que se paga al jardinero por cada pie cuadrado.
•
Expresa el producto del área por el precio por unidad.
52
2.
Entrenamiento (Problemas de traducción compleja)
Óscar propone una rutina de entrenamiento para una carreta atlética de dos formas diferentes. 1.
Entrena una hora y media diaria durante 30 días.
2.
Cinco minutos el primer día, 10 minutos el segundo día, 20 minutos el tercer día y así duplicándose el tiempo durante 9 días.
•
¿Con cuál opción logra entrenar por más tiempo?
Comprendo el problema
¿De qué se trata el problema? ___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Con qué datos útiles cuentas para poder diseñar una estrategia de resolución? ___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Diseño una estrategia
¿Qué estrategia utilizarías para conocer cuál es la opción que permite entrenar la mayor cantidad de tiempo? Trabajen en parejas. ___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Aplico la estrategia 1.a forma •
Realicen los cálculos para todos los días y completen la tabla con los datos solicitados. Día
1.º
Decimal Tiempo en horas Fracción
1,5
2.º
3.º
4.º
5.º
6.º
7.º
8.º
...
27.º 28.º 29.º 30.º Total
3_ 2
___________________________________________________________________________________
53
2.a forma •
Realicen los cálculos para todos los días y completen la tabla con los datos solicitados.
Tiempo En horas
Día
1.o
En minutos
Decimal
Fracción con exponente positivo
Fracción con exponente negativo
Producto
Expresión exponencial
0,083
1 __ 12
12–1
5×1
5 × 20
2.o 3.o 4.o 5.o 6.o 7.o 8.o 9.o Total
Transfiero lo aprendido •
¿Con cuál opción logra entrenar la mayor cantidad de tiempo durante el mes? ___________________________________________________________________________________
3.
Práctica de deportes (Situaciones problemáticas realistas) Un profesor de Educación Física pidió a la administración de un colegio las medidas de las dimensiones de los dos espacios cuadrangulares que iban a ser destinados para la práctica deportiva. Por una desconfiguración de la computadora, los resultados que le alcanzaron fueron los siguientes: •
Para practicar deportes con balón: 2,25 × 105 mm de lado. Expresen la cantidad en metros.
•
Para practicar gimnasia: 2 × 105 mm de lado. Expresen la cantidad en metros.
54
•
¿Cuántos metros mide el lado del espacio destinado para deporte con balón?
•
¿Qué fracción representa el campo destinado a gimnasia?
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución del problema?
¿Crees que fue útil el uso de tablas para organizar los cálculos?
Transformo el producto de números fraccionarios en potencias.
________________________________________ •
¿En qué situaciones de tu vida puedes aplicar este procedimiento?
Relaciono la equivalencia entre números fraccionarios y números decimales.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
Coevaluación
Expresa las siguientes cantidades como producto
de un número por una potencia de base 10: •
•
2.
é r g o l o L
Represento los números decimales en fraccionarios.
________________________________________ •
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
Elaboramos las tablas sin mayor dificultad para expresar los números fraccionarios de diferente forma.
La distancia entre el Sol y la Tierra es de 150 000 000 km. ________________________ La población mundial en 20 años alcanzará los 8 000 000 000 de personas. ________________
Metacognición
Una fábrica produce 3 toneladas de alambre al día. ¿Cuántos kilogramos de alambre fabricará en 5 días? Expresa el resultado con potencia de base 10.
•
________________________________________
•
________________________________________
55
¿Qué dificultades tuve al realizar las actividades de esta ficha? ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido a una situación de la vida cotidiana?
Cantidad
Ficha
11
El legado egipcio Según un mito egipcio, para vengar la muerte de su padre, Horus tuvo que luchar encarnizadamente con su tío Seth. Dicha narración cuenta cómo, en la batalla, Horus perdió el ojo izquierdo, que fue dañado o robado por Seth, motivo por el cual fue sustituido por el Udyat. En el antiguo Egipto, el ojo de Horus simbolizaba la salud, la espiritualidad, la totalidad, aquello que ha vuelto a su ser y se ha completado. Cada una de sus partes se representaba mediante fracciones, las cuales los egipcios simbolizaron con gráficos como los que se muestran en la imagen.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué conoces más del antiguo Egipto? ¿Qué conoces del Egipto actual?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
Pregunta a tus compañeros qué otras culturas antiguas han destacado por sus aportes a la matemática.
Los números racionales se podían también expresar, pero solamente como sumas de fracciones unitarias, es decir, sumas de los inversos de los números enteros positivos, a excepción de 2/3 y de 3/4. El jeroglífico que indicaba una fracción era una boca, y significaba la "parte", era: . ¿Qué fracción sería la equivalente a esta expresión:
•
?
Luego de observar la simbología egipcia en la imagen, ¿cómo representarías 1/11? ¿Crees que podían representar todas las fracciones usando su simbología?
56
Resolvamos: Laboratorio de Matemática El ojo de Horus es uno de los amuletos de origen egipcio más populares en la actualidad. En el antiguo Egipto, se lo dibujaba también en la “receta” que prescribía un médico, con lo que se buscaba dotar de virtudes mágicas a un simple papel (o papiro), pues en medicina simboliza la curación. Cada una de las partes del ojo de Horus representaba cantidades menores que la unidad, reducidas cada vez a la mitad.
1/8 1/2
1/4
1/64
1/16
1/32
Fuente: http://goo.gl/u5hoKX 1.
Trabajo con material manipulable •
Utiliza una hoja tamaño A4 y dóblala por la mitad seis veces seguidas. Luego, en la primera columna de una tabla como la de abajo, anota las fracciones que representa cada doblez.
•
En la columna siguiente, escribe la fracción como un producto de fracciones de igual base.
•
A continuación, utiliza la notación de exponente para indicar el número de veces que se repite la base. o
Fracción
Producto
Potencia
o
1.
1/2
1 × ½
(1/2)1
2.o
1/4
½ × ½
(1/2)2
N.
3.o 4.o 5.o 6.o 2.
Incorporo lenguaje matemático a mis acciones •
Observa los datos de la tabla y establece una relación entre los denominadores de las fracciones.
___________________________________________________________________________________
•
En cada caso escribe el producto de manera simplificada y establece situaciones que pueden ser modeladas por la expresión. 1
1
1 1 1 1 1 × = × = 2 2 2 2 2
1+1
1 = 2
2
1 1 1 × × = 2 2 2 1 1 1 1 × × × = 2 2 2 2 1 2 1 2
2
3
1 × 2 1 × 2
2
= 3
=
57
•
Realiza las siguientes operaciones con fracciones e identifica posibles expresiones que dan como resultado la unidad. 1 1–1 0 1 1 2 = = =1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3.
2
2
=
3
3
=
•
¿Qué resultado se obtiene cuando un cociente tiene la misma base y el mismo exponente?
___________________________________________________________________________________
Expreso mis ideas •
Construye una unidad, divide la unidad en dos; luego, una de las mitades, divídela en dos. Realiza el mismo proceso las veces que sea posible. Establece la relación entre cada parte y las fracciones del ojo de Horus.
•
¿Se puede continuar fraccionando las partes de un número indefinidamente?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué ocurre si en términos de cantidad, la sucesión de la partición continúa?
___________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es el resultado de (1/2) 8? ___________________________________________________________
•
¿Cómo se expresa en forma general el término enésimo de la sucesión? ___________________________
•
En el caso del ojo de Horus la suma de las partes es: __________________________________________
•
Si comparas las fracciones de cada parte del ojo de Horus, ¿a qué conclusión llegas?
___________________________________________________________________________________
58
4. Formulo expresiones simbólicas •
Trabajen en equipo. En una hoja milimetrada, representen las seis fracciones del ojo de Horus en el plano cartesiano. En el eje de las X ubiquen el número de partes, y en el eje Y , la fracción que corresponde a las partes. Y
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 –2
–1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución de esta situación?
Realizo la partición de un número dado en fracciones cuya base sea la misma.
________________________________________ ________________________________________ •
Puedo multiplicar y dividir potencias de números fraccionarios iguales y exponentes iguales.
¿En qué tema de estudio te puede aportar la teoría de exponentes? ________________________________________
Identifico expresiones que simplifican multiplicaciones de productos iguales.
________________________________________ •
¿Te aportó en este tema conocer sobre la formación del ojo de Horus?
Elaboro tablas de potencias con las operaciones de multiplicación y división.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
Investiga el uso de las fracciones por los incas y las unidades de medida en los platos que preparaban.
Metacognición
Trabaja con un tangram de siete piezas y establece la fracción de cada pieza con respecto al área total. Construye una tabla y establece una relación entre las fracciones.
•
•
59
¿Qué estrategias he utilizado para realizar las actividades de esta ficha? ¿En qué situaciones prácticas puedo aplicar lo aprendido en clase?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
12
Juego de salud mental
Taller matemático 1.
Movimiento de las fichas del ajedrez (Problemas de traducción simple) •
En un estudio realizado en Valencia sobre el ajedrez, resultó que jugarlo ayuda a mejorar la memoria y la concentración de las personas adultas y de los niños. Asimismo, colabora en la prevención de enfermedades como el alzhéimer y otras afecciones mentales. Consiste en un juego de estrategia en el que el objetivo es “derrocar” al rey del oponente, para lo cual uno debe conocer sobre el movimiento de cada una de sus piezas.
Fuente: http://goo.gl/9x1xT8 •
En el tablero mostrado se observa cómo es el ataque de la ficha que corresponde a la reina. ¿Qué tipo de transformaciones geométricas ejecuta ella para “matar” a cada una de las fichas negras?
60
2.
Un movimiento muy especial (Problemas de traducción compleja) •
Dados unos tableros de 3 × 3 y 3 × 4, como se muestran en las figuras 1 y 2, indica los recuadros en los que el caballo puede ejecutar los movimientos; determina qué tipo de transformaciones geométricas realizan sus movimientos.
Figura 1
Figura 2
Comprendo el problema •
¿Qué solicita el problema?
•
¿Cuál es el movimiento que ejecuta el caballo? Representa su desplazamiento mediante un gráfico.
•
¿Puedes indicar qué transformaciones geométricas realiza el caballo?
61
•
Realiza los gráficos de los movimientos del caballo en el tablero y describe las transformaciones geométricas.
Diseño una estrategia •
¿Qué estrategia utilizarías para encontrar los recuadros en los cuales el caballo puede realizar el movimiento?
Aplico la estrategia •
En los siguientes recuadros indica los movimientos y las transformaciones geométricas que puedes realizar considerando la posición del caballo.
Transfiero lo aprendido •
Ahora elabora todos los posibles tableros de 3 × 4 que se puedan cubrir con los movimientos del caballo sin repetir el recuadro. Determina las transformaciones geométricas que se dan.
62
3.
Estacionamiento en paralelo (Situaciones problemáticas realistas) •
Escribe las transformaciones geométricas que realiza el vehículo rojo para estacionarse en cada caso.
1
2
3
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en la solución del problema?
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Diferencio la traslación de la rotación de figuras geométricas.
________________________________________ ________________________________________
Identifico la rotación de figuras geométricas en situaciones cotidianas.
________________________________________ •
¿Qué características tienen las transformaciones geométricas que empleaste?
Identifico la traslación de figuras geométricas en situaciones cotidianas.
________________________________________
•
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Respetamos las opiniones de nuestros compañeros.
¿En qué otras situaciones de tu vida utilizas las transformaciones geométricas?
Trabajamos las actividades aportando ideas.
________________________________________ ________________________________________
Metacognición
________________________________________ •
Realiza las siguientes actividades 1.
Investiga sobre juegos de mesa y electrónicos en •
donde se emplee las trasformaciones geométricas. 2.
Representa gráficamente movimientos que se
•
pueden dar con las fichas del juego Tetris.
63
¿Qué pasos sigo para trasladar una figura geométrica? ¿Qué pasos sigo para rotar una figura geométrica? ¿Puedo utilizar lo aprendido en situaciones prácticas de mi entorno?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
13
Los movimientos en el nado sincronizado El movimiento es un cambio continuo en la localización de un cuerpo, por lo que en el deporte de nado sincronizado, la coordinación y los movimientos precisos permiten presentar majestuosas escenas donde se mezclan la danza, la gimnasia y la natación. La competencia de nado sincronizado consiste en el desarrollo de ejercicios técnicos, donde todos los participantes deben hacer la rutina obligatoria, y el ejercicio libre. La calificación de la presentación se basa en la calidad, la gracia y la delicadeza de los movimientos.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Participas en los juegos deportivos escolares? ¿En qué deporte participas?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿Qué relaciones geométricas reconoces en las figuras que forman las nadadoras?
Si solo contaras con la figura de una sola nadadora, ¿qué movimientos realizarías con esta para poder crear toda la figura en cada caso?
¿Observas un solo tipo de simetría en las figuras formadas? Describe los tipos de simetría que encuentras.
64
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes En uno de los entrenamientos, el equipo de nado sincronizado realizó la siguiente figura. Describe la figura que se genera. A B
E
C D
2.
•
Identifica el polígono que mejor describe la posición de las nadadoras.
___________________________________________________________________________________
•
¿Consideras que el polígono que se forma al unir por segmentos los extremos de los pies de las nadadoras es un polígono regular? Explica tu respuesta.
___________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es el ángulo que giraría la nadadora A para estar en la posición de la nadadora B?
___________________________________________________________________________________
Realizo actividades organizadas •
El entrenador representó en la pizarra la ubicación de cada una de las deportistas. Cada punto representa a una de las nadadoras.
Vector
Describe lo que sucede en el movimiento que se plantea. ___________________________________________ ___________________________________________ Entrenador
•
El entrenador prepara una nueva sesión de movimientos. Analiza la propuesta del entrenador; describe el movimiento y su sentido.
Primera posición
___________________________________________ ___________________________________________
65
Segunda posición
3.
Explico lo realizado El entrenador del equipo de nado trabaja en las nuevas coreografías que presentará en las próximas competiciones, por lo que se ayuda de un plano cartesiano para analizar los movimientos que deben trabajar las nadadoras. •
•
Cuatro de las nadadoras deben formar un rombo. 1.
El lado de la figura a formar debe medir dos unidades.
2.
Luego de generar el rombo, deben trasladarse 5 unidades a la derecha.
3.
Establece la nueva ubicación de las nadadoras.
Cinco nadadoras generan un pentágono no regular. 1.
Representa la posición de las nadadoras.
2.
Considera como eje de rotación la intersección de los ejes coordenados. Se propone hacer un movimiento de rotación 90° en sentido negativo.
3.
4.
4.
Representa la nueva ubicación de las nadadoras.
Propongo un diseño creativo •
Plantea una coreografía para las nadadoras donde la figura que generen se amplíe o se reduzca. Dibuja los dos momentos y describe los movimientos.
66
5.
Organizo mis ideas •
En parejas, completen el cuadro con las características de las transformaciones. Transformación geométrica
Característica
Dibujo
Traslación
Rotación
Vector
La figura gira alrededor de un punto de acuerdo al valor del ángulo de giro. La figura no cambia.
Ampliación o reducción
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿En qué movimientos se mantiene las características de una figura?
Diferencio las transformaciones geométricas.
________________________________________ ________________________________________ •
Puedo definir con mis propias palabras las transformaciones geométricas.
¿Cómo determinas si el ángulo de rotación es positivo o negativo?
Identifico las transformaciones geométricas en situaciones cotidianas.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s e z e a r r D f o o g o L l s e
Desarrollamos las actividades de manera colaborativa.
¿El punto de rotación puede ubicarse dentro de la figura a la que se va a aplicar el movimiento?
Tomamos decisiones con base en el consenso y el sano debate.
________________________________________ ________________________________________
Metacognición
Realiza las siguientes actividades 1.
Investiga si todos los planetas del sistema solar tienen movimientos de rotación o traslación.
2.
Consulta qué son los teselados y construye uno a partir de traslaciones y rotaciones.
•
•
67
¿En qué situaciones cotidianas se utilizan los movimientos en el plano? ¿Me resultó sencillo resolver las distintas actividades de la ficha?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
14
Escalando los Andes El montañismo es una disciplina que consiste en realizar ascensos y descensos en las montañas. No es un simple deporte, pues deriva de una antigua actividad exploratoria del ser humano, que es otra forma de turismo de aventura. Cuando esta práctica se realiza en la cordillera de los Andes, el término dado a esta disciplina es andinismo. El Perú es un escenario privilegiado para llevarla a cabo, pues cuenta con cientos de opciones a través de todo el país, en las cuales el ascenso se acompaña con impresionantes paisajes, así como de la historia de cada lugar. Por ejemplo, la forma piramidal casi perfecta del Alpamayo (5947 m. s. n. m. – cordillera Blanca) le valió ser calificada como la montaña más bella del mundo en 1966. Nevado Vilcabamba Vilcanota Ampay Pico más alto Huascarán Yerupajá Chachani Ampay Salkantay Ausangate 6768 m 6634 m 6075 m 5235 m 6271 m 6384 m Altitud Apurímac Áncash Arequipa Apurímac Cusco Departamento Áncash y Cusco Cordillera
Cuenta tu experiencia •
•
•
Blanca
Huayhuash Volcánica
¿Cuál ha sido el lugar con mayor altitud que has podido visitar en el Perú? Según la región en la que vives, ¿qué cordillera está más cercana? En tu entorno, ¿puedes acceder con facilidad a paquetes turísticos que promuevan la práctica del andinismo?
Iniciemos Realiza la siguiente actividad. •
Elabora un gráfico de cuadrículas relacionando el pico más alto del Perú con su altitud.
68
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes Un grupo de escaladores plantearon una expedición para llegar a la cumbre del Huascarán. Observa el gráfico e identifica las coordenadas donde estarán ubicados los campamentos de dicha expedición. Metros 6000
4000
2000
0 •
1
2
3
4
5
6
7
Días
¿Cuántos días duró la expedición?
____________________________________________________________________________________ •
Determina la altura aproximada en la que se ubicó cada uno de los campamentos durante la expedición.
•
¿En qué número de día llegaron a la cumbre?
____________________________________________________________________________________ •
El punto de partida, ¿a qué altura se encuentra?
_______________________________________________________________________________________ 2.
Realizo actividades organizadas En el día dos, debido a cambios climáticos, la expedición debe mover la posición de su campamento manteniendo la altura en la que se encuentran. Observa la reubicación del campamento de acuerdo con la cumbre del nevado. •
•
¿Qué tipo de transformación fue aplicada para trasladar el campamento?
¿Cuáles son las características de la transformación geométrica?
69
2.º campamento
1.er campamento
Cumbre
3.
Explico lo realizado La expedición, al llegar al campamento del día cuatro, trasladó su campamento a una nueva posición. •
¿Qué transformaciones identificas en el movimiento del campamento?
Día tres Día 4 en la
__________________________________________ __________________________________________
tarde
Día 4 en la mañana Cumbre
__________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ •
Describe la transformación de la ubicación del campamento desde el día tres hasta el día cuatro en la tarde.
__________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________
4.
Orientación libre •
Realiza la representación del campamento en el plano cartesiano. Ubica la cumbre en el punto (0; 0) y realiza una reflexión con respecto a cada uno de los ejes.
•
Establece las coordenadas de los vértices del campamento en cada una de sus ubicaciones.
Trabajen en pareja y realicen la siguiente actividad: •
Diseñen la ubicación de un campamento para cada uno de los días que dura la expedición.
•
Establezcan las transformaciones realizadas hasta llegar al último día de viaje. Y
0 0
X
70
5.
Organizo mis ideas •
Establece algunas transformaciones y entrégalas a un compañero para que las aplique a una figura cualquiera sobre el plano. Y
0 0
X
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Cuál es la utilidad de las transformaciones geométricas? Reconozco las transformaciones geométricas aplicadas a una figura.
________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ •
Describo los movimientos involucrados en una transformación geométrica.
¿El sistema de direcciones de la ciudad puede compararse con un plano cartesiano? ________________________________________
Utilizo instrumentos que permiten hacer transformaciones geométricas.
________________________________________ ________________________________________
Coevaluación El trabajo en equipo permitió establecer soluciones a las situaciones planteadas.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
3.
e o m y d o o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
Consulta sobre el juego de batalla naval y plantea un juego similar utilizando como mapa un plano cartesiano. Juega con tu familia y explícales el uso de las coordenadas en la actividad.
El trabajo realizado se retroalimentó en grupo.
Consulta sobre el sistema de posicionamiento global y establece algunas relaciones con el plano cartesiano.
Metacognición
Investiga sobre las homotecias y relaciona el concepto con las transformaciones trabajadas en la ficha.
•
71
¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en una situación real?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Movimientos
Ficha 15 Taller matemático 1.
Congruencia y semejanza (Problemas de traducción simple) Luis tiene que presentar una exposición sobre figuras congruentes y semejantes. ¿Qué características tienen las figuras de cada cartel? Observa el par de figuras de cada cartel; analízalas e indica si son congruentes o semejantes. Explica tu respuesta.
•
D D'
D A
y x
A
A'
C C'
C B
B'
B
A C'
A' C B' B •
En la siguiente tabla indica las características de la congruencia y semejanza de figuras geométricas. Propiedad
Lados
Ángulos
Congruencia Semejanza
72
2.
Movimiento de figuras (Problemas de traducción compleja) Una maestra solicita a sus estudiantes que realicen diferentes movimientos a ciertas figuras geométricas. Para ello, tiene que realizar paso a paso la traslación de un triángulo, la rotación de 45º de un pentágono y el aumento de un triángulo. ¿Cuáles son los pasos a seguir? ¿Qué características tienen dichas figuras? Comprendo el problema •
¿Qué movimientos tienen que realizar a cada figura?
_______________________________________________________________________________________ Diseño la estrategia •
¿Qué pasos tienes que realizar?
_______________________________________________________________________________________ Aplico la estrategia •
Dibuja en el plano cartesiano un triángulo de vértices ABC ; realiza la traslación de la figura y luego mide sus lados y ángulos. Y
7 6
•
Utiliza la regla y mide las longitudes de los segmentos de cada triángulo: AB ; AC ; BC ; A'B' ; A'C' ; B'C' . Comprueba si las longitudes de los lados correspondientes son iguales.
•
Toma el transportador y mide ahora los ángulos internos del triángulo y compáralo con su correspondiente.
5 4 3 2 1 0 –3 –2 –1 0 1 –1
•
X
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
A , B , C ; A', B ', C '.
¿Cómo son las medidas de los lados y los ángulos correspondientes?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Y •
•
Dibuja un pentágono de vértices ABCDE ; realiza una rotación de 45º en sentido horario, y obtén un pentágono de vértices A’B’C’D’E’ .
7 6 5
Una vez realizada la transformación lineal de la rotación, toma la regla y el transportador para medir las longitudes y los ángulos correspondientes de las dos figuras pentagonales.
4 3 2 1 0 –3 –2 –1
•
–1
X
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Con esta transformación lineal, ¿se mantendrán las características originales del pentágono ABCDE?
_______________________________________________________________________________________
73
Dibuja un triángulo; luego realiza un aumento en la relación 1:2.
•
Y
8 7 6 5 4 3 2 1 0 –10 –9 –8 –7
–6 –5 –4
–3 –2 –1 0 1 –1
X
2
3
4
5
6
•
Mide las longitudes de los lados correspondientes de los triángulos pondientes.
•
¿Qué sucede con las longitudes y sus ángulos?
7
ABC
8
9 10 11
y A’B’C ’ y sus ángulos corres-
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Transfiero lo aprendido
Cuando dos figuras geométricas cumplen con lo descrito anteriormente, que los lados correspondientes tienen la misma longitud, y que los ángulos correspondientes también tienen la misma medida, decimos que las dos figuras son congruentes. Y si los lados de una figura son proporcionales o los lados de otra figura y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida, entonces las figuras son semejantes. Por lo tanto, el triángulo ABC es congruente con el triángulo A’B’C ’. El pentágono ABCDE es congruente con el pentágono A’B’C ’D’E ’, y el triángulo ABC es semejante con el triángulo A’B’C’. •
Formen equipos de trabajo y realicen el análisis de las figuras anteriores y resuman las características de la congruencia y semejanza en la siguiente tabla:
Transformación lineal
Longitud de los segmentos correspondientes
Medidas obtenidas
Traslación
Rotación
Disminución o aumento
74
Medida de los ángulos correspondientes
3.
Identificando movimientos (Situaciones problemáticas realistas) •
Observa las figuras; describe qué movimiento se realizó y señala líneas de referencia. A P'
B O B' P A'
_______________________________________________________________________________________
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en la identificación de traslación y rotación?
Comprendo que las transformaciones geométricas generan congruencia o semejanza de figuras geométricas.
________________________________________ ________________________________________ •
Puedo definir la congruencia de figuras geométricas.
¿Crees que las transformaciones lineales te pueden ayudar a realizar el plano de tu casa?
Interpreto claramente la semejanza de figuras geométricas.
________________________________________ ________________________________________ •
Diferencio entre congruencia y semejanza de figuras geométricas.
¿En qué situaciones cotidianas puedes hacer uso de las transformaciones lineales?
Coevaluación
________________________________________
Expusimos con claridad las características de la congruencia y semejanza de figuras.
________________________________________
Manejamos fácilmente los procesos de construcción del conocimiento en esta ficha.
Realiza las siguientes actividades 1.
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Explica a través de ejemplos gráficos en qué transformación lineal se evidencia la congruencia de figuras y en cuál se evidencia la semejanza de figuras.
Metacognición
2.
Dibuja en tu cuaderno una pareja de figuras congruentes.
•
3.
Dibuja en tu cuaderno un par de figuras semejantes.
•
75
¿Qué pasos sigo para determinar si una figura es congruente con otra? ¿Relaciono lo aprendido en situaciones prácticas de mi entorno?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
16
Rotación y traslación en disciplinas deportivas Las barras asimétricas, también denominadas paralelas asimétricas, son uno de los cuatro aparatos que componen las competiciones de gimnasia artística. Consisten en dos barras paralelas horizontales, de 2,4 m de largo y 4 cm de diámetro, colocadas a distinta altura (2,5 m y 1,7 m). La distancia entre las barras varía entre 1,3 m y 1,8 m. La rutina de los ejercicios de este aparato debe fluir de un movimiento a otro sin pausas, balanceos de sobra o apoyos de más. Cada ejercicio debe incluir dos vueltas. Los gimnastas suelen subir a las barras utilizando un trampolín.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué tipos de ejercicios físicos realizas? ¿Practicas algún tipo de rutina física similar a esta disciplina?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
¿Qué tipos de transformaciones realiza la gimnasta que se observa en la imagen?
Al pasar de la barra pequeña a la barra grande, ¿qué tipo de transformación realiza la gimnasta?
76
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes Estela entrena en la Federación Peruana de Gimnasia tres veces por semana. Dentro de las prácticas realiza, junto con sus compañeras, ejercicios de calentamiento sobre colchonetas llamadas "volteretas". ¿Qué transformaciones podrían describir dichos movimientos? _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
2.
Realizo actividades organizadas •
Cuando las 3 estudiantes de gimnasia rítmica entrenan su coreografía en el gimnasio de su colegio lo hacen en un espacio reducido. Ellas son conscientes de que para la competencia semestral de su localidad el escenario será 3 veces más amplio que el que usan regularmente. Ellas representan sus ubicaciones en el gimnasio donde practican con tres puntos: A (2; –2), B (3; 0) y C (–1; 0). Grafica el ∆ ABC en el plano cartesiano.
•
Mide las longitudes de sus lados AB, BC y AC .
_______________________________________________________________________________________ 5
4
3
2
1
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
–1
–2
•
Para representar su ubicación en el escenario de la competencia, ellas mantienen fija una ubicación ( A) y triplican las distancias a las otras dos. Dibuja en el diagrama anterior dicha formación. Denota cada punto con A' , B' y C' .
•
Mide ahora las longitudes de los lados A'B' , B'C' y A'C' .
_______________________________________________________________________________________ 3.
Explico lo realizado •
_______________________________________________________________________________________ •
¿Cómo varían las longitudes de los segmentos del ∆ ABC y de ∆ A'B'C' ?
¿Cómo varían las longitudes de los segmentos del ∆ A'B'C' y de ∆ ABC ?
_______________________________________________________________________________________
77
•
¿Qué tipo de triángulo es ∆ ABC ? ¿Qué tipo de triángulo es ∆ A'B'C' ? ¿Por qué ocurre eso?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________ •
Puedes indicar la medida de los ángulos internos del triángulo ∆ ABC ; mide también los ángulos internos del triángulo ∆ A’B’C ’. ¿Han variado sus valores?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4.
Propongo un diseño creativo •
Formen equipos de trabajo y empleen el programa GeoGebra para verificar lo realizado.
•
En el primer cuadrante del plano cartesiano, construye un cuadrado de vértices ABCD, de lado 2 u, y a este hazlo rotar al segundo cuadrante en sentido antihorario con un ángulo de 45º respecto al punto (–3; –2).
Y
7 6 5 4 3 2 1 0 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
X
–2
•
¿Han variado las dimensiones originales del cuadrado ABCD?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________ •
Mide las distancias de los vértices de la figura ABCD al eje Y . Luego, mide las distancias de las longitudes de los vértices de la figura A’B’C ’D’ al eje Y . ¿Puedes decir que los segmentos correspondientes tienen las mismas medidas?
___________________________________________________________________ ____________________
_______________________________________________________________________________________ 78
5.
Organizo mis ideas •
Completa el organizador gráfico con definiciones de cada movimiento. Traslación.
s e n o i c a m r s o a c f s i r n t é a r t m s o a e l e g d s o z a r T
Rotación.
Simetría.
Aumento o disminución de tamaño.
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades tuviste en representar la rotación?
________________________________________
Uso el programa GeoGebra para representar transformaciones geométricas.
¿En qué momento de tu vida puedes utilizar uno de los movimientos estudiados?
Interpreto los trazos de cada una de las transformaciones geométricas.
________________________________________ ________________________________________ •
é r g o l o L
Dibujo los trazos de las transformaciones geométricas.
________________________________________
•
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Diferencio las transformaciones geométricas de acuerdo con sus trazos o 'rastros'.
¿Crees que existe otra herramienta como GeoGebra que te facilite hacer los trazos de forma exacta?
Coevaluación
________________________________________
Expusimos con claridad las formas de trazos de las transformaciones geométricas.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades
Manejamos fácilmente los procesos de construcción del conocimiento en esta unidad.
1. Traslada un
pentágono ABCDE del segundo cuadrante al primer cuadrante y señala el recorrido de sus vértices con rectas discontinuas o punteadas. ¿Puedes decir que la longitud de los segmentos que unen los vértices correspondientes de las dos figuras es la misma? Además, ¿con qué valor de otro segmento puedes comparar?
Metacognición • •
79
¿Qué pasos he seguido para rotar una figura? ¿Relaciono lo aprendido en situaciones prácticas de mi entorno?
Evaluación Deporte y salud ¿Sabías que una persona que pesa más, necesita mayor energía para mover el cuerpo frente a alguien que es más delgado? En la tabla, puedes encontrar el gasto calórico para los pesos más habituales. 5 km
10 km
15 km
20 km
Maratón
65 kg
337 cal
673 cal
1010 cal
1347 cal
2841 cal
70 kg
363 cal
725 cal
1088 cal
1450 cal
3060 cal
75 kg
388,5 cal
777 cal
1165,5 cal
1554 cal
3278,5 cal
80 kg
414 cal
829 cal
1243 cal
1658 cal
3497 cal
85 kg
440 cal
881 cal
1321 cal
1761 cal
3716 cal
Observa la siguiente información y responde.
MARATÓN 40 km
Perfil del atleta Altura máxima 542 m
CHASKY 32,9 km
Salida
36,5 km 23,7 km
6,1 km
Meta
Cerrillo
Tambomayo
13 km
18,7 km
La Quinua
Oxamarca
29 km
Lucmapampa
Quisquimayoc Salvia
Granja Cerrillo Porcón
1.
Juan es un corredor cuyo peso es 75 kg, aproximadamente. ¿Cuántas calorías habrá gastado en dicha competencia al trasladarse de Tambomayo a Lucmapampa? Expresa en calorías y kilocalorías (considera kilocalorías = 10 3 cal).
2.
Otro corredor ha considerado prepararse y correr tres veces a la semana un tramo de 15 km, para lo cual estima gastar 1000 calorías. Si empieza su entrenamiento en el mes de enero y el evento es en la última semana de junio, ¿cuánto habrá sido su gasto calórico en ese tiempo?
3.
Completa la siguiente tabla con las operaciones indicadas: Número
Producto
Potencia
100
10 × 10
102
Raíz
102 = 10
1000 3 3 2 = 2
8 128
4 × 4 × 4 × 4
80
4.
Observa los pasos de karate y expresa en una cuadrícula cada desplazamiento.
Pasos de karate Tsugi-Ashi
Ayumi-Ashi
Okuri-Ashi
1
1 2 2
2
2
2 3
3
3 1
1
1
Producto
5.
Realiza un cartel sobre la importancia de hacer deporte y las ventajas que tiene para nuestra salud.
Autoevaluación Indicadores
Siempre
A veces
Pocas veces
Siempre
A veces
Pocas veces
Relaciono las operaciones de la potenciación y la radicación como opuestas. Escribo un número en base 10. Entiendo y aplico las reglas de la potenciación y radicación. Identifico una transformación geométrica. Represento una transformación geométrica en el plano cartesiano.
Coevaluación Indicadores
Realizamos operaciones aplicando las propiedades de la potenciación y radicación. Exponemos con claridad las formas de trazos de las transformaciones geométricas. Manejamos fácilmente los procesos de construcción del conocimiento en esta unidad.
Metacognición 1.
¿Qué ficha de esta unidad identifico como la más sencilla? ¿Por qué?____________________________
2.
¿Relaciono lo aprendido en situaciones prácticas de mi entorno? ________________________________ 81
Unidad
Consumo de servicios básicos
3
El Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) dio a conocer que, en el primer trimestre del 2014, se incrementó el acceso a servicios básicos en los hogares del área rural. Según el informe técnico “Condiciones de Vida en el Perú”, el mayor incremento se reportó en el acceso al servicio de agua. EMPRESA DE AGUA DEL SUR
Para Consultas Sumnistro N.º
Calle Yanahuara 323 OFICINA COMERCIAL YANAHUARA
31074784
Información general:
Información de pago
Titular de la conexión: Dirección del sumnistro: Distrito: YANAHUARA Tipo de facturación: Frecuencia de facturación: LECTURA Mensual Tarifa: Categoría: DOMÉSTICO RESIDENCIAL Unidad de Uso: Tipo de descarga: 1
Fecha de emisión: 16/07/2016 Ref. de cobro: 5382900432
Información complementaria
Estructura Tarifaria (05/07/2016) Tarifa Rango Agua DOMÉSTICO 0 a 10 1,011 10 a 25 1,197 25 a 50 2,648 50 a más 4,490 Horario de abastecimiento Código : VIN008 Frecuencia : DIARIO De : 04:00 hrs. Hasta : 21:00 hrs. Diámetro Conex: 15 mm
Alcant. 0,451 0,524 1,157 1,962
Periodo 06/2016 - 07/2016 N.º de recibo: 0847892003-272
Fecha de vencimiento: 22/08/2016 Detalle de facturación
Concepto: Importe: Volumen de Agua Potable 9,28 Servicio de Alcantarillado 4,06 Cargo Fijo 4,89 I.G.V. 31,82 x 18 % 5,73 Mora 0,03 Consumo del mes 23,99 Conex. dom. Cuota 58/120 7,72 Intereses 5,87
Importe total a pagar
S/ *******37,58
Evolución de su consumo de agua
m3 35 30 25 15 10 5 0
Si se lee un recibo del agua, ¿de cuánto fue el consumo en el mes que señala?, ¿qué tipo de gráfico se reconoce en el recibo?, ¿cómo se pueden inferir los posibles valores de consumo entre setiembre del 2015 a abril del 2016?, ¿en qué te basarías para plantear tales valores? Si proyectáramos que el incremento de consumo seguirá hasta diciembre del 2016, ¿de cuánto sería este valor?, ¿cómo se comportó el consumo de otros servicios en tu familia el año anterior? La instalación de algunos servicios básicos como electricidad, agua, telefonía fija, requiere el uso de planos a escala que permiten economizar los recursos de instalación y reconocer los procesos que se van a realizar en un escenario real. ¿Cuántos metros de cable se necesitan para una instalación como la que se muestra en el gráfico?, ¿qué se debe tener en cuenta para saber tal cantidad?
My Jn Ju Ag St Oc Nv Dc En Fb Mz Ab My
82
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones •
•
Comunica y representa ideas matemáticas •
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
•
•
Elabora y usa estrategias
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
•
Identifica relaciones no explícitas entre términos y valores proposicionales, y expresa la regla de formación de una progresión aritmética. Usa la regla de formación de una progresión aritmética al plantear y resolver problemas. Describe el desarrollo de una progresión aritmética empleando el término n-ésimo, índice del término, razón o regla de formación. Emplea tablas y diagramas para reconocer relaciones entre términos y valores proposicionales. Halla el n-ésimo término de una progresión aritmética con números naturales. Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros al resolver problema de progresión aritmética. Calcula la suma de n términos de una progresión aritmética. Plantea conjeturas respecto a la obtención de la s uma de términos de una progresión aritmética. Justifica el vínculo entre una sucesión y una progresión aritmética. Prueba la progresión aritmética a partir de su regla de formación (expresado de manera verbal o simbólica). Expresa diseños de planos y mapas a escala con regiones y formas.
Matematiza situaciones •
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Comunica y representa ideas matemáticas
•
Elabora y usa estrategias
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
83
Diferencia y usa planos o mapas a escala al plantear o resolver un problema. Representa cuerpos en mapas o planos a escala, considerando la información que muestra posiciones en perspectiva o que contiene la ubicación y distancias entre objetos. Usa estrategias y procedimientos relacionados a la proporcionalidad entre las medidas de lados de figuras semejantes al resolver problemas con mapas o planos a escala, con recursos gráficos y otros. Justifica la localización de cuerpos a partir de sus coordenadas (con signo positivo y negativo) y ángulos conocidos. Justifica condiciones de proporcionalidad en el perímetro, área y volumen entre el objeto real y el de escala, en mapas y planos.
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
17
Energía eléctrica En nuestro país, actualmente se está trabajando en la concientización del ahorro de energía y en cómo ser eficientes energéticamente; esto significa consumir menos energía para obtener un mismo servicio. Es importante plantear un plan de ahorro energético e implementarlo a nivel industrial, pero sobre todo a nivel doméstico. Es también importante conocer las cifras que nos han ido acompañando como usuarios. En la tabla se muestra la producción de energía eléctrica, en gigavatios-hora, a nivel nacional en el quinquenio (2011-2015). Año
2011
2012
2013
2014
2015
Producción Nacional (GWh)
3205
3369
3541
3721
3911
Un crecimiento del consumo eléctrico, como se viene dando, implica que en menos de 9 años ese consumo se duplicará, lo cual exige la construcción de grandes y numerosas instalaciones eléctricas.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Sabes cuántos voltios son necesarios para que funcione un electrodoméstico? ¿De qué depende el pago por servicio eléctrico? ¿Los electrodomésticos consumen la misma cantidad de energía? Explica.
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
Determina la diferencia en la producción de los años 2011 y 2012; 2012 y 2013; 2013 y 2014; 2014 y 2015.
¿Cuál es la tendencia del consumo eléctrico para el 2020?
¿Se puede estimar cuál sería la producción nacional para el año 2016 con los datos presentados?
84
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo al contexto Con el fin de dar un buen uso de la energía, el administrador de un conjunto residencial ha organizado un concurso para reducir el consumo de energía eléctrica; por lo cual premiará a los 5 primeros lugares. Para ello, ha asignado S/ 3000 para los premios, de los cuales S/ 1000 son para el primer lugar, el resto será para los 4 lugares restantes, con la condición de que siempre haya una misma diferencia entre dos lugares consecutivos. ¿Cómo logró repartir los premios? ¿Cuánto recibió cada ganador?
2.
Reconozco el principal problema y trazo un plan •
3.
Reúnete con tres compañeros; discutan las posibles ideas para resolver el problema y regístrenlas.
Experimento para resolver el problema •
¿Cómo representarías a cada participante?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué tipo de progresión representan los cinco términos?
___________________________________________________________________________________
•
¿Cuántos términos tiene la progresión?
___________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es el valor del primer término de la progresión? _________________________________________
•
¿Cuál es el valor del primer premio? _______________________________________________________
•
Supón que la diferencia entre el primer lugar y el segundo lugar es de 500; ¿cuánto recibiría el segundo lugar? ______________________________________________________________________________
•
¿Cuántos términos tendría la progresión si existieran 6 lugares restantes? __________________________
•
¿Cuánto deben sumar los cinco premios? ___________________________________________________
•
Escribe una situación en la que realices una progresión aritmética.
•
¿Es correcto suponer que la diferencia entre el primer lugar y el segundo sea 500? Explica.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 85
4.
Propongo una expresión matemática •
Representa el primer término de una progresión aritmética. ____________________________________
•
Representa el segundo término de una progresión aritmética en función del primero. ________________
•
Representa el tercer término de una progresión aritmética en función del primero. __________________
•
Representa el segundo premio del concurso en función del primero. _____________________________
•
Representa el tercer premio del concurso en función del primero. _______________________________
•
Completa la siguiente tabla. Primer lugar = a1
Segundo lugar = a2
1000
Tercer lugar = a3
Cuarto lugar = a4
1000 + 2 d
•
Suma los cinco términos obtenidos en el paso anterior; iguala a 3000.
•
Reduce términos semejantes.
•
De la expresión anterior, despeja d.
•
Simplifica la expresión que representa d.
86
Quinto lugar = a5
5.
Valido la solución del problema •
Reúnete con compañeros de otros equipos y discutan cómo se puede llegar a saber cuánto le corresponde a cada ganador. Escribe el valor que recibirá cada ganador y compara con tus compañeros. Primer lugar = a1
Segundo lugar = a2
Tercer lugar = a3
Cuarto lugar = a4
Quinto lugar = a5
•
Encuentra el 5.o término de una progresión cuyo primer término es 3 y su diferencia 2.
___________________________________________________________________________________
•
Encuentra el 8.o término de una progresión cuyo primer término es 5 y su diferencia 3.
___________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultad tuviste para encontrar los términos de una sucesión?
________________________________________ ¿De qué tipos pueden ser las progresiones aritméticas?
Expreso el término n-ésimo (an) de una progresión aritmética en función del primer término y de su razón.
________________________________________ ¿Es posible resolver el problema si se cambia el valor que recibe el primer lugar?
Coevaluación
________________________________________
Logramos comunicarnos entre equipos de trabajo.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
3.
o d n a r g o l
Uso la regla de formación de una progresión aritmética para plantear y resolver problemas.
________________________________________
•
y o t s e o L
Expreso la regla de formación de una progresión aritmética.
________________________________________
•
e m o r b a e z r D f o s e
Participamos todos para resolver el problema.
Organiza con tus compañeros de tu clase un simulacro de reducción de consumo eléctrico de tu barrio. Designa una cantidad de dinero para repartir como premios a 5 personas.
Metacognición
Presenta tu plan para repartir el dinero recaudado entre los 5 primeros lugares de tal forma que la diferencia entre dos ganadores consecutivos siempre sea la misma.
•
•
¿Cuáles son las condiciones que se deben conocer para encontrar los términos de una progresión? 87
¿Qué pasos seguí para determinar el término n-ésimo en una sucesión? ¿En qué otros casos aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
18
Importancia del agua
Taller ma temático 1.
Plan de riego (Problemas de traducción simple) Para elaborar un plan de riego, Carlos ha observado el comportamiento de una tubería; para eso necesita calcular la suma de las gotas de los 10 primeros momentos. Si observó que inicialmente cayeron 20 gotas y la diferencia entre cada momento es de –2. •
¿Qué necesita calcular Carlos?
•
¿Qué conocimientos debe tener?
•
¿Qué datos conoce?
•
¿Qué expresión utiliza para resolver la situación problemática?
•
Responde la interrogante.
88
2.
Uso del agua (Problemas de traducción compleja) Con el fin de optimizar el uso del agua en regiones áridas, se desarrolló la técnica de irrigación por goteo o gota a gota. Andrés es un científico especializado en esta técnica. En uno de sus experimentos más recientes, organizó la irrigación de un cultivo de la siguiente manera: el primer día una gota de agua, el segundo día tres gotas, el tercer día cinco gotas y así sucesivamente, cada día dos gotas más que el día anterior. Explica cómo se puede saber cuántas gotas se han gastado hasta el día 7. Comprendo el problema •
Escribe el problema de otra forma para que puedas resolverlo.
•
¿Cuántas gotas le corresponden al día 3? ___________________________________________________
•
¿Cuántas gotas se han gastado hasta el día 3? _______________________________________________
Diseño la estrategia •
Elabora una tabla para conocer el número de gotas al 7.º día. Número de días
Número de gotas
Total gotas
1
1
1
2
3
4
3
•
Si el científico ha registrado las gotas gastadas de la siguiente manera:
¿cómo sería el registro hasta el quinto día?
N.º de gotas 1
3
5
Día 1 Día 2 Día 3
89
Aplico la estrategia •
Representa el primer término de una progresión aritmética _________________________________
•
Representa el número de gotas gastadas en el día 7 en función de las gotas gastadas en el primer día. ________________________________________________________________________________
•
Representa la suma de gotas para cualquier número de días. ________________________________________________________________________________
Transfiero lo aprendido
Escribe el número de gotas que corresponde a cada día y compara con tus compañeros los resultados obtenidos. Primer día = a1
Segundo día = a2
Tercer día = a3
Cuarto día = a4
Quinto día = a5
12
22 = 1 + 3
32 = 1 + 3 + 5
42 = 1 + 3 + 5 + 7
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
Total de gotas gastadas
3.
•
Observa la tabla anterior y escribe cuántas gotas se han gastado hasta el día 7. __________________
•
Observa la tabla anterior y escribe cuántas gotas se han gastado hasta el día n. __________________
Ahorro de agua (Situaciones problemáticas realistas)
Con motivo de cuidar el medioambiente, Luis quiere ahorrar el agua con la que lava los autos. Él utiliza 2000 litros de agua en una semana. Si se propone ahorrar la mitad de lo que ahorró la semana anterior, ¿cuántos litros habrá ahorrado en 10 semanas? •
¿Cuáles son los datos del problema?
•
¿Qué fórmula utilizas para la solución?
90
•
Resuelve el problema.
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué parte de la resolución del problema te pareció más difícil?
________________________________________ ¿Qué te parece la forma de registrar las gotas consumidas por el científico?
Planteo formas para obtener la suma de los términos de una progresión aritmética.
¿Por qué es necesario encontrar modelos matemáticos? ________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Logramos comunicarnos entre equipos de trabajo.
Realiza las siguientes actividades Pinta con un solo color un rectángulo de dos
Todos participamos para resolver el problema.
cuadrados de base por un cuadrado de alto. 2.
é r g o l o L
Calculo la suma de los términos de una progresión.
________________________________________
1.
o d n a r g o l
Expreso cualquier término en función del primero.
________________________________________
•
y o t s e o L
Hallo cualquier término de una progresión aritmética.
________________________________________
•
e m o r b a e z r D f o s e
Toma otro color y pinta 4 rectángulos de manera
Metacognición
que el rectángulo anterior se complete a un rectángulo de tres cuadrados de base por dos de alto; por ejemplo:
•
•
91
¿Qué estrategia utilicé para el desarrollo de las actividades? ¿En qué otros casos de mi vida diaria aplicaría estos nuevos conocimientos?
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
19
Evolución de la telefonía Uno de los mejores inventos del ser humano es, sin duda, el teléfono. La creación de este aparato ha mejorado las condiciones de vida de quienes lo usamos; ha permitido salvar vidas y nos ha mantenido comunicados con nuestros seres queridos y compañeros de estudio y trabajo. A lo largo del tiempo la telefonía ha ido evolucionando desde el discado automático y los teléfonos inalámbricos, hasta los celulares y, actualmente, los smartphones. Estos últimos, a su vez, se han convertido en un beneficio incomparable por la gran variedad de aplicaciones que nos pueden ofrecer, impensables pocos años atrás. Algunos modelos de celulares a lo largo del tiempo Modelo
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué empresas de telefonía conoces? ¿Qué planes o servicios ofrecen estas empresas en tu localidad?
Motorola Simon Dynatac Personal 8000X Communicator
Motorola Startac
Kyocera QCP6035
Samsung Galaxy S6
Año de lanzamiento
1982
1993
1996
2000
2015
Masa (g)
780
500
94
208
138
Precio (dólares)
3995
900
1000
500
699
En la actualidad, encontramos en el mercado equipos y planes telefónicos que facilitan la comunicación de toda la población.
Iniciemos Responde la pregunta. •
En la tabla, ¿observas alguna relación entre la masa y el precio de cada celular? Fundamenta tu respuesta.
92
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto Carlos, que es un adolescente aficionado a la tecnología y la matemática, deposita en el banco S/ 300, el cual le paga mensualmente el 2 % de lo depositado siempre y cuando no retire el capital durante un año. Por otro lado, planifica hacer sus consumos de teléfono del siguiente modo: los dos primeros meses únicamente consumirá S/1 por mes, y a partir del tercer mes consumirá lo que sumen los dos meses anteriores. Carlos se da cuenta de que tanto el monto ahorrado en el banco como el consumo forman sucesiones, pero una de ellas es una progresión aritmética. ¿Cómo puedes explicar el descubrimiento de Carlos? ¿Le alcanzará para pagar lo que consuma durante un año con lo que tenga en el banco?
2.
Reconozco el principal problema y trazo un plan •
3.
Reúnete con dos compañeros; discutan las posibles ideas para resolver el problema y regístrenlas.
Experimento para resolver el problema •
Llena la siguiente tabla. Mes del año
Consumo de teléfono
Dinero en el banco
1
1
300
2
1
3 4 5 6
8
7 8 9 10 11 12
93
330
•
¿Cuál es la diferencia de consumo telefónico entre el mes 6 y 7? ________________________________
•
¿Cuál es la diferencia de consumo telefónico entre el mes 10 y 11? ______________________________
•
¿Cuál es la diferencia de la cantidad de dinero que se encuentra en el banco entre el mes 6 y 7? _______
•
¿Cuál es la diferencia de la cantidad de dinero que se encuentra en el banco entre el mes 10 y 11? ______
•
¿Cuánto suma el consumo del primer mes y el mes décimo segundo? ____________________________
•
¿Cuánto suma el consumo del segundo mes y el mes décimo primero? ____________________________
•
¿Cuánto suma la cantidad de dinero que hay en el banco en el primer mes y el mes décimo segundo? ______________________
•
¿Cuánto suma la cantidad de dinero que hay en el banco en el segundo mes y el mes décimo primero? ______________________
4.
Propongo una expresión matemática Discute y compara con tus compañeros de equipo el método de cómo llegaron a determinar cuál sucesión es una progresión aritmética. Escribe tus ideas a continuación. _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
5.
Valido la solución del problema Reúnete con compañeros de otros equipos y discutan cómo se puede llegar a determinar si una sucesión es una progresión aritmética o no. Una vez que hayan compartido sus conocimientos, pueden contestar individualmente las siguientes preguntas y discutir sus resultados. •
¿La sucesión de números que Carlos verá cada mes en su cuenta de ahorros es una progresión aritmética o no?
___________________________________________________________________________________
•
¿El incremento en los montos en la cuenta de Carlos es constante? ______________________________
•
¿Los incrementos mensuales en el consumo de teléfono de Carlos son constantes? _________________
•
¿Cuánto ha consumido Carlos en el mes 12? ________________________________________________
•
¿Cuánto ha consumido Carlos en los 12 meses? _____________________________________________
•
¿Cuánto se incrementa cada mes en la cuenta de Carlos? ______________________________________
•
¿Cuánto registraría en el mes 12 en la cuenta de Carlos? _______________________________________
•
¿Cuánto debería recibir Carlos después de los 12 meses? ______________________________________
•
¿Es suficiente lo que tiene Carlos en el banco en el mes 12 para pagar lo que ha consumido en los 12 meses? ___________________________________________________________________________________
•
Escribe tres progresiones aritméticas crecientes. ______________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Escribe tres progresiones aritméticas decrecientes. ____________________________________________
___________________________________________________________________________________ 94
•
Escribe tres sucesiones que no sean progresiones aritméticas. __________________________________________________________________________________
•
Escribe la palabra creciente o decreciente, según lo que corresponda a cada progresión aritmética. –5; –7; –9; –11 ________________________________ –5; –4; –3; –2 _________________________________ 95; 90; 85; 80 _________________________________ 1; 2; 3; 4; 5; 6 _________________________________
•
Escribe: progresión aritmética o sucesión, según lo que corresponda a cada caso. –1; –1; –2; –3; –5 ______________________________ 1; 2; 4; 8; 16 __________________________________ 1; 2; 3; 4; 5 ___________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué diferencias y semejanzas existe entre una sucesión y una progresión aritmética? ________________________________________
o d n a r g o l
Expreso la ley de formación de una progresión aritmética de manera verbal.
¿Qué parte de la resolución del problema te pareció más difícil?
Escribo la ley de formación de una progresión aritmética.
________________________________________ ________________________________________ •
y o t s e o L
Diferencio claramente entre una sucesión y una progresión aritmética.
________________________________________
•
e m o r b a e z r D f o s e
Justifico cuándo una sucesión es una progresión aritmética.
¿Por qué crees que se las llama progresiones aritméticas?
Coevaluación
________________________________________
Nos comunicamos entre equipos de trabajo.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1. Toma una hoja de papel, dóblala por la mitad y registra cuántos rectángulos se forman.
Participamos todos para resolver el problema.
2. Una vez doblada la hoja por la mitad, vuelve a doblarla por la mitad y registra los rectángulos que se forman. Repite este proceso las veces que puedas. No llegarás a las 7 veces, ¡compruébalo!
Metacognición •
3. Escribe la sucesión de rectángulos que se forman al doblar una hoja en forma consecutiva por la mitad y verifica si es progresión aritmética o no.
•
95
¿Para qué me pueden servir las progresiones aritméticas en mi vida? ¿Cómo relaciono este nuevo conocimiento con lo que ya conozco?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha 20
Centrales eólicas En setiembre del 2014, tras veintidós meses de construcción, se inauguraron las centrales eólicas de Cupisnique y Talara, consideradas las más grandes del Perú. Las dos centrales poseen una capacidad instalada igual a los 114 MW. Además, cada una de las centrales se beneficia de un acuerdo de compra de energía por 20 años y forma parte del programa Recursos Energéticos Renovables (RER) del Perú. Con esta inauguración, nuestro país da un gran paso a la integración de la energía eólica en la red eléctrica nacional. Fuente: El Comercio, setiembre, 2014
300
Incremento del tamaño
Campo de fútbol
de la turbina 260
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Conoces los usos que se pueden dar a la energía que produce el viento? ¿Sabes lo que son los molinos de viento?
) 220 m ( e180 j e l e d140 a r u t 100 l A 60
¿Cuáles han sido los usos de los molinos de viento?
125m 5,000kW
Boeing 747 Diámetro de rotor (m) Clasificación (kW)
150m 10,000kW
250m 20,000kW Futuro de las turbinas de viento
100m 3,000kW
80m 70m 1,800kW 1,500kW
50m 750kW 30m 17m 300kW 75kW
20 0 9 9 1 0 8 9 1
5 9 9 1 0 9 9 1
0 0 0 2 5 9 9 1
5 0 0 2 0 0 0 2
0 1 0 2 5 0 0 2
0 1 0 2
0 1 0 2
Futuro
Futuro
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
¿Qué beneficios tiene la creación de centrales de energía eólica?
•
Al girar el rotor, ¿qué figura plana describe?
96
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes •
Un arquitecto trabaja el plano de un proyecto de construcción de una central eólica. Él determina dos terrenos proporcionales para la ubicación de una fuente primaria (terreno 1) y otra de apoyo (terreno 2). Utliza una regla para medir las longitudes de cada terreno.
Terreno 1
•
Terreno 2
Establece el porcentaje del área del terreno 1 con respecto al área del terreno 2. __________________________________________________________________________________
•
Identifica el porcentaje de reducción del terreno 2 en comparación con el terreno 1. __________________________________________________________________________________
2.
Realizo actividades organizadas
Sigue estas indicaciones y contesta cuando se solicita hacerlo. •
Reproduce las dos figuras en tu cuaderno y establece las dimensiones junto a la unidad de medida de cada una de ellas. __________________________________________________________________________________
•
Calcula la diferencia entre las dimensiones respectivas. __________________________________________________________________________________
•
Calcula el porcentaje de aumento o disminución entre las dimensiones comparadas. __________________________________________________________________________________
•
¿Cuántas veces aumentaron o disminuyeron las dimensiones? __________________________________________________________________________________
•
Calcula el área de cada una de las figuras y escribe su resultado. __________________________________________________________________________________
•
Calcula la diferencia entre las áreas. __________________________________________________________________________________
•
Calcula el porcentaje de aumento o disminución entre las áreas comparadas. __________________________________________________________________________________
•
¿Cuántas veces aumentó o disminuyó un área con respecto a la otra? __________________________________________________________________________________
•
Al duplicar las dimensiones de uno de los terrenos, ¿cuánto se incrementa el área? __________________________________________________________________________________ 97
•
Si incrementas el 100 % a cada una de las dimensiones, ¿en qué porcentaje se incrementa el área? __________________________________________________________________________________
•
Si triplicas las dimensiones de cada terreno, ¿cuántas veces se incrementa el área? __________________________________________________________________________________
•
Si incrementas al 200 % a cada una de las dimensiones, ¿qué porcentaje se incrementa el área? __________________________________________________________________________________
•
Si reduces a la mitad cada una de las dimensiones, ¿a qué parte del original se reduce el área resultante? __________________________________________________________________________________
•
Si reduces el 50 % cada una de las dimensiones, ¿a qué porcentaje del original se reduce el área resultante? __________________________________________________________________________________
3.
Explico lo realizado Elige un expositor y discute con tus compañeros; redacta lo que tu equipo va a exponer sobre cómo se consiguió contestar cada una de las siguientes preguntas. •
¿Qué porcentaje han aumentado o disminuido las dimensiones de los terrenos al compararlas la una con la otra? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
•
¿Qué porcentaje ha aumentado o disminuido las áreas de los terrenos al compararlas la una con la otra? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
•
¿Qué relación existe entre el aumento o disminución de las dimensiones de los terrenos con el aumento o disminución de sus áreas respectivas? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
4.
Propongo un diseño creativo •
Las turbinas eólicas que se ubican en cada uno de los terrenos son como se observa en la figura.
•
Realiza la representación de la turbina con sus dimensiones si esta se reduce un 80 %.
1,8 m
5,5 m
98
5.
Organizo mis ideas Reúnete con compañeros de otros equipos y elaboren un cartel para el aula en el que se expongan en un cuadro de doble entrada ampliaciones y reducciones. Completa el siguiente cuadro para que puedas guiarte. Aumento de las dimensiones
Porcentaje del área inicial
Disminución de las dimensiones
10 %
10 %
50 %
50 %
100 %
A la mitad
1 000 %
A la tercera parte
Porcentaje del área inicial
Al doble Al triple
Finalicemos
Reflexiona •
•
Autoevaluación
¿Qué dificultades tuviste al momento de resolver la ampliación o reducción? ________________________________________
Amplío y reduzco figuras geométricas.
________________________________________
Utilizo la ampliación o reducción para resolver problemas.
¿Es más fácil ampliar o reducir? ________________________________________
o d n a r g o l
é r g o l o L
Establezco semejanzas entre la figura original y la figura transformada.
Al ampliar o reducir una figura, ¿se mantienen sus propiedades?
Coevaluación
________________________________________
Nos comunicamos entre equipos de trabajo.
________________________________________
Participamos todos para elaborar el cartel.
Realiza las siguientes actividades 1.
y o t s e o L
Establezco relación entre superficies.
________________________________________ •
e m o r b a e z r D f o s e
Consulta el proceso para hacer dibujos empleando una cuadrícula. Escoge un dibujo y realiza la ampliación y reducción de la figura mediante dicho proceso.
Metacognición
2. Averigua sobre el pantógrafo y su uso en la ampliación o reducción de dibujos.
•
3. Investiga sobre el compás de reducción y su uso para el desarrollo de figuras. Establece si las figuras construidas con este instrumento son semejantes.
•
99
¿Qué pasos seguiría para graficar la ampliación o reducción de una figura? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
Forma, movimiento y localización
Ficha 21
Mapas y planos a escala
Taller ma temático 1. A. Superficie
de un continente (Problema de traducción simple)
A continuación, se presenta un mapa de la Antártida. •
Estima el área de la Antártida utilizando la escala que acompaña al mapa. Muestra cómo has hecho los cálculos y explica cómo has realizado tu estimación. Puedes dibujar sobre el mapa si te es útil para hacer tu estimado.
100
B.
Identificando mapas y planos Xavier visitó una exposición de arquitectura donde se exhiben algunos mapas y planos; entre ellos pudo observar los siguientes:
TUMBES
LORETO
PIURA AMAZONAS LA MBAYEQUE CAJAMA RCA SAN MARTÍN LA LIBERTAD ÁNCASHHUÁNUCO
UCAYA LI
PASCO LIM A
JUNÍN
MADRE DE DIOS
C ALLAO
HUANCAVELICA CUSCO APURÍM AC ICA AYACUCHO
AREQUIP A
PUNO Lago Titicaca
Escala 1:140
MOQUEGUA TACNA 1: 200 000
0
•
100 000
200 000
300 000
400 000
500 000
¿Cuáles son las escalas que observó Xavier en el mapa y en el plano de la casa? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
•
¿Qué escalas son las más utilizadas para elaborar mapas? _____________________________________
•
Si tomamos la escala 1:100 000, ¿qué representa el número 1 y qué representa el 100 000? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
•
¿Qué escalas son las más utilizadas para elaborar planos? _____________________________________
•
Si tomamos la escala 1:100, ¿qué representa el número 1 y qué representa el 100? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
•
Escribe la relación que existe entre el mapa mostrado y la realidad. __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
•
Escribe la relación que existe entre el plano mostrado y la realidad. __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 101
2.
Analizando mapas y planos (Problemas de traducción compleja) Xavier analiza el tamaño a escala del mapa y del plano y quiere compararlos con la realidad para conocer las superficies correspondientes. •
¿Cuál es la relación que existe entre cualquier mapa y la realidad?
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es la relación que existe entre cualquier plano y la realidad?
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
En fórmula, ¿cómo expresarías la escala? __________________________________________________
•
Si decimos que “Cada centímetro es cinco kilómetros”, en escala es: ____________________________
•
En parejas, completen la tabla, analicen y calculen la medida real en kilómetros. Escala
Medida en dibujo
Medida real
Medida real en metros
Medida real en kilómetros
1:250 000
1 cm
250 000 cm
2500 m
2,5 km
1:1 000 000 1:100 1:150 3.
Diseñando un plano (Situaciones problemáticas realistas)
Xavier desea aplicar los conocimientos adquiridos en su visita a la exposición de arquitectura y elabora un plano de su dormitorio. Si la escala que va a utilizar es de 1:100 y su dormitorio es como la figura que se muestra, ¿qué medidas tiene la figura? Ayúdalo a resolver la inquietud.
Habitación 1 17,93 m2
4,10
9 6 , 2
6 3 , 4
5 7 , 4
0,98 3,07 0,93
102
7 5 , 1
•
Diseña el plano del dormitorio de Xavier con la escala correspondiente.
Finalicemos
Reflexiona •
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de obtener medidas reales cuando se trabaja con escalas?
Autoevaluación
e m o r b a e z r D f o s e
y o t s e o L
o d n a r g o l
Identifico elementos de la escala.
________________________________________ Describo una escala.
________________________________________ •
¿Te sirvió utilizar la tabla para reconocer los elementos de una escala y su conversión?
Trazo planos empleando escalas.
Coevaluación
________________________________________ ________________________________________ •
Realizamos el trabajo en equipo.
¿En qué situaciones has utilizado escalas para resolver problemas?
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1. Elabora un plano de tu
colegio utilizando la escala
1:100.
Metacognición
2. Mide sobre el plano los segmentos AB, BC y AC.
Calcula las distancias reales entre esos tres pueblos.
•
A •
C
Escala 1 : 400 000
B
103
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en estas actividades? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
Proporcionalidad en la vida diaria
22
Taller ma temático 1. A. Compra
de un departamento (Problemas de traducción simple)
Este es el plano del departamento que los padres de Jorge quieren comprar a una agencia inmobiliaria. ¿Cuál es el área del departamento? 7,5 cm Escala: 1: 100
m c 1 1 m c 8 , 5
10 cm Para calcular la superficie (área) total del departamento (incluidas la terraza y las paredes) puedes medir el tamaño de cada habitación. Calcula la superficie de cada una y suma todas las superficies. •
¿Cuál es el área real del dormitorio?
__________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es el área real del baño?
__________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es el área real del salón?
__________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es el área real de la cocina?
__________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es el área real de la terraza?
__________________________________________________________________________________
Otro método
No obstante, existe un método más eficaz para calcular la superficie total en el que solo tienes que medir 4 longitudes. Señala en el plano anterior las cuatro longitudes necesarias para calcular la superficie total del departamento.
Liberado de http://www.mecd.gob.es/inee 104
B.
Dibujando barcos La maestra de matemática solicita a sus estudiantes hacer el gráfico de un barco; al revisar los trabajos observó que cada estudiante utilizó escalas diferentes, y analizó dos de ellos. •
Observa la figura que comparó.
•
Para obtener el dibujo grande, ¿qué escala se utilizó en relación con el dibujo pequeño?
•
¿Qué representa la escala 1:2?
•
Si se utiliza la escala 1:10, ¿qué representa?
•
Escribe como razón la escala que se generó entre los dibujos.
•
Escribe la semejanza entre los dibujos.
•
¿Para qué sirve una proporción?
105
2.
Comparando terrenos (Problemas de traducción compleja) Camila y Gustavo comparan sus terrenos, que se muestran como figuras semejantes. El terreno de Camila mide 8 m × 20 m, y el lado menor del terreno de Gustavo mide 6 m. Observa los terrenos y calcula:
8m
6m
Terreno de Camila
Terreno de Gustavo
20 m
3.
x
•
La razón de semejanza para pasar del primero al segundo.
•
El lado mayor del terreno de Gustavo.
•
Las áreas de ambos rectángulos.
•
¿Crees que los criterios de semejanza ayudan a comprender la realidad de forma acertada?
__________________________________________________________________________________
Confeccionando tapetes (Situaciones problemáticas realistas) Susy confecciona dos tapetes para unas mesas centrales y necesita conocer si los tapetes confeccionados son semejantes, para lo cual mide sus lados y sus ángulos. Si los tapetes tienen las medidas que se muestran a continuación, verifica si son semejantes o no. C
8 dm
A
24º 5 dm
’
B B
125º
’
A
10 dm 106
5 dm
’
C
•
Calcula ángulos y lados.
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de obtener razones y proporciones?
________________________________________ ¿En qué situaciones empleas la semejanza?
Identifico mediante cálculos figuras semejantes.
________________________________________
Aplico criterios de semejanza para solucionar triángulos.
¿Has utilizado semejanzas para resolver problemas? ________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en equipo.
Realiza las siguientes actividades 1.
o d n a r g o l
Amplío o reduzco polígonos a partir de una muestra dada.
________________________________________
•
y o t s e o L
Diferencio una razón de una proporción.
________________________________________
•
e m o r b a e z r D f o s e
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Se tiene una avioneta hecha a escala 1:50 con las siguientes medidas: largo 32 cm, ancho 24 cm y alto 8 cm. Calcula las dimensiones reales del aparato.
Metacognición
2. Elabora una nueva situación para
que puedas aplicar semejanza de figuras y calcula distancias o áreas.
•
3. Selecciona una fotografía de tu familia en la que
•
estén de pie. Sabiendo la estatura de tu papá, calcula las demás estaturas.
107
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿Tuve alguna dificultad para entender los ejemplos o términos usados?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
23
Red vial del Perú La red vial del país cuenta con más de 78 000 km de carreteras, las cuales se organizan en tres grupos: longitudinales, de penetración y de enlace. El Perú cuenta con varios tipos de carreteras. Existen rutas internacionales, como la Panamericana; rutas nacionales, como la Carretera Central; rutas departamentales y rutas rurales. Cada una de las vías reciben mantenimiento, construcción o mejoramiento por parte del Estado o de cualquier empresa que las reciba en concesión. Por su composición y el tipo de vehículos que las transitan, las vías peruanas se pueden clasificar en autopistas, asfaltadas o caminos afirmados.
Cuenta tu experiencia •
•
¿En tu localidad hay un sistema de red vial? ¿La señalización que encuentras en tu localidad permitiría encontrar fácilmente tu vivienda en caso de guiar a alguien que no la conoce?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
Cuando nos expresamos al guiar un camino o indicar un lugar, en ocasiones, denominamos a dos calles como paralelas. ¿Dos avenidas denominadas paralelas, serán representadas en un mapa como segmentos paralelos?
Elabora un croquis donde indiques dos maneras de llegar a la tienda, a la librería o a otro centro cercano respecto de tu colegio.
108
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes Cuando te trasladas de un lugar a otro, realizas un trayecto. Considerando tu casa como punto de referencia, dibuja un croquis del trayecto que recorres hasta una vía principal de tu ciudad.
•
¿Cuál es tu punto de partida? ___________________________________________________________
•
¿Qué puntos consideraste como referencias para trazar el recorrido? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es tu punto de llegada? __________________________________________________________
•
¿Cómo representas la longitud real del trayecto en tu croquis? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
2.
Realizo actividades organizadas Supongamos que tu casa está ubicada en la ciudad de Tumbes, en las calles Benavides y San Román. El centro de recaudación se encuentra en la esquina de la Plaza de Armas de Tumbes, en las calles Francisco Bolognesi y Miguel Grau, como lo indica el siguiente croquis o mapa. i s M i Catedral de Tumbes e g u n g e l G r l o o a u B r a v i l o Plaza de B Armas de n o Tumbes m i S
B e n a v i d e s
R í o T u m b e s
s e d n A s o L
P i u r a
r a c s a u H
o c i s c n a F r
M i g u e l r G a r a c u
s a u H
s a n i p i l i F
a s i n i p l i F
r a c s a u H n a m o R n a S
7 D e E n e r o z e v l á G é s o J
Fuente: https://www.google.com.pe/maps/@-3.5717983,-80.4583988,17.5z
109
j o u r a A s r e d n A
A l f o n s o U g a r t e
R o s a l e s
e n t e P u
z ñ e b a I o i s c n c a F r
n a e J
3.
4.
•
Ahora traslada el recorrido de mapa o croquis a un sistema de ejes coordenados.
•
Ubica tu punto de partida en el origen de coordenadas (0; 0) y el punto final del recorrido (lugar de recaudación).
•
Un centímetro de cuadrícula representa aproximadamente una cuadra o 100 m.
Explico lo realizado •
Identifica las transformaciones utilizadas para describir la ruta que te lleva del punto inicial al centro de recaudación.
___________________________________________________________________________________
•
Con tus compañeros de equipo, comenten las diferencias entre un croquis y un plano de coordenadas.
___________________________________________________________________________________
•
Puedes llegar al centro de recaudación, siguiendo otra ruta. Representa la nueva trayectoria y sus coordenadas en el plano.
Propongo un diseño creativo •
¿Existe una trayectoria más corta para llegar al centro de recaudación? Si es así, grafica en el plano.
•
Si tu trayectoria forma un ángulo de inclinación, ¿cuánto mide dicho ángulo?
____________________________________ ____________________________________
Resumiendo, se puede llevar un gráfico de un croquis al plano cartesiano para conocer sus coordenadas de ubicación, así como las distancias de la trayectoria seguida y el ángulo de inclinación.
110
5.
Organizo mis ideas •
De acuerdo con el trabajo realizado, completa el esquema. Localización de objetos
Transformaciones geométricas
Ángulos de inclinación
Trayectoria
Coordenadas en el plano
Finalicemos
Reflexiona •
•
•
Dadas las coordenadas de un objeto, ¿podemos conocer su ubicación con respecto a un punto que nos sirve como referencia? ________________________________________
Autoevaluación
y o t s e o L
o d n a r g o l
é r g o l o L
Utilizo los instrumentos pertinentes para realizar un croquis o mapa. Represento una situación real en el plano cartesiano.
Mediante las transformaciones geométricas, ¿podemos representar cuerpos en el plano cartesiano? ________________________________________
Relaciono distancias reales en la cuadrícula del plano cartesiano. Diferencio un ángulo positivo de un ángulo negativo.
¿Se puede representar las dimensiones reales de cualquier objeto en el plano cartesiano? ________________________________________
Coevaluación Utilizamos coordenadas para representar la localización de objetos.
Realiza las siguientes actividades 1.
e m o r b a e z r D f o s e
Ingresa a Google maps, identifica la distancia de
Apoyamos a otros compañeros en el desarrollo de la actividad.
Lima a Cusco. a. Representa la trayectoria del viaje en
automóvil desde la ciudad de Lima a la ciudad del Cusco. Utiliza trayectorias perpendiculares.
Metacognición
b. Representa la trayectoria del viaje en avión
desde Lima a Cusco.
•
2. Busca en un mapa del Perú dos ciudades, identifica las vías que las comunican y consulta por las rutas que viajan de una ciudad a otra. Construye una tabla y establece el trayecto más corto.
•
111
¿En qué otras situaciones Google maps es útil? ¿En qué otras situaciones de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?
Forma, movimiento y localización
Ficha
24
El proyecto Olmos El megaproyecto Olmos, ubicado en Lambayeque, permitirá el fortalecimiento de la agroindustria del país, pues el objetivo de la construcción es convertir en tierra fértil 38 000 hectáreas de arena. El desarrollo de esta infraestructura ha beneficiado a los habitantes de la zona, pues ha generado más de 40 000 puestos de trabajo y propiciará que los agricultores de Valle Viejo y la comunidad campesina de Santo Domingo de Olmos trabajen la tierra. Además, la construcción de la presa del Limón permitirá la generación de energía eléctrica y beneficiará a los habitantes de Chiclayo y otras localidades. Producción agrícola Conducto Norte Conducto Central Conducto Sur
Objeto de la IP
Cuenta tu experiencia •
•
¿En tu región hay canales de irrigación? Indica cuál es su utilidad. ¿Sabes cómo tu región es abastecida de energía?
Conducto Norte Conducto Central
Olmos Tierras a incorporar
Producción de energía
Trasvase de agua
Central Hidroeléctrica N.º 1 Salto bruto 404 m Central Hidroeléctrica N.º 2 Salto bruto 472 m Conmutador 1104 m. s. n. m. Túnel D-1 L: 3,71 km o s m O l o í R
Río Huancabamba 1160 m. s. n. m.
a s L a j a Q d
228 m. s. n. m.
Proyecto integral Olmos
Conducto Sur
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
¿Qué formas geométricas identificas en la imagen?
¿Este tipo de proyectos solo beneficia a la región donde se ubica? ¿Por qué?
•
¿Te ha beneficiado en alguna forma el proyecto Olmos?
•
¿Te has beneficiado en algún proyecto en tu localidad?
112
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes Observa el mapa del proyecto de irrigación Olmos y la ubicación del túnel trasandino. •
El trayecto del túnel trasandino es de 20 km. Si el mapa está construido a una escala de 1:200 000, ¿cuánto mide el trazo en el plano?
Proyecto de irrigación PUERTO DE PAITA
___________________________________
C O R
SECHURA
___________________________________
___________________________________
•
En la región Lambayeque el trayecto de la carretera Panamericana Norte mide 187,20 km. En el mapa, ¿cuánto mide la carretera?
___________________________________
___________________________________
D C IL A L PIURA R R E R E A T E D R E A L I I O R S S A A N N D O E R S T TIERRAS A E
R ÍO H U A N C A B A M B A
PIURA
C A R R E T E R A
SUBASTAR
OLMOS
CAMINO DE P A N ACCESO O C A M É E R A N I C A N O A P A N O C Í R T F I E
Irrigación Olmos
C O
TÚNEL TRASANDINO
MOTUPE ILLIMO
LAMBAYEQUE
LAMBAYEQUE
CHICLAYO
La represa del Limón, desarrollo del proyecto Olmos, tendrá las siguientes dimensiones: 43 m de alto, 32 m de ancho y 3,2 km de largo. Construye una representación a escala de la represa.
2.
Realizo actividades organizadas •
Si la capacidad de almacenamiento de la represa es de 44 000 000 m 3, calcula la capacidad de la representación construida.
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué sucede con la capacidad de la represa cuando la altura se reduce a la mitad? Explica.
•
Calcula el volumen de la represa si se duplican todas sus dimensiones.
•
Calcula el volumen de la represa si solo dos de sus dimensiones se duplican.
113
•
3.
Establece una relación entre el volumen inicial y el volumen final, luego de reducir a la mitad sus dimensiones.
Explico lo realizado Trabaja con la representación que realizaste o la maqueta de la represa. Calcula el perímetro del modelo y con base en él determina el perímetro del embalse en su tamaño real. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Determina el perímetro del embalse si sus dimensiones se reducen a la mitad. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ¿Cuál es la relación entre los perímetros inicial y final? _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
4.
Propongo un diseño creativo •
Determina las dimensiones de un nuevo embalse y, trabajando una homotecia, establece las dimensiones de un embalse auxiliar.
•
Calcula el perímetro de los esquemas propuestos y determina el volumen de cada uno de ellos.
114
5.
Organizo mis ideas •
Completa la tabla con las medidas de cada una de las representaciones. Esquema
Largo
Alto
Ancho
Perímetro
Volumen
Razón de proporcionalidad
Embalse principal
Embalse auxiliar
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Se pueden establecer relaciones de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de dos figuras semejantes?
________________________________________
¿Crees que lo estudiado te permite cimentar tu aprendizaje para alcanzar un nuevo conocimiento?
Coevaluación El trabajo en equipo permitió establecer soluciones a las situaciones planteadas.
________________________________________ ________________________________________
El trabajo realizado se retroalimentó en equipo.
Realiza las siguientes actividades Consulta el trazado de la obra del proyecto de Olmos y construye un mapa a escala sobre él.
2.
Realiza la construcción de un mapa a escala de tu barrio. Identifica en él algunas instituciones.
3.
é r g o l o L
Relaciono las unidades de acuerdo con las dimensiones de la figura o del cuerpo geométrico.
________________________________________
1.
o d n a r g o l
Uso las escalas para representar situaciones reales en el plano de coordenadas.
Dada una figura y la razón de proporcionalidad, ¿pueden hallarse las medidas de los lados de otra figura semejante? ________________________________________
•
y o t s e o L
Entiendo que la relación entre dos figuras semejantes difieren en la razón o proporción de la medida de sus lados.
________________________________________
•
e m o r b a e z r D f o s e
Metacognición •
Utiliza la aplicación Google maps y recorre una ciudad de tu interés; realiza un listado de los sitios turísticos que presenta la ciudad.
•
115
¿Qué dificultades se me presentaron en el estudio del tema? ¿Relaciono lo aprendido en situaciones prácticas de mi entorno?
Evaluación Los jardines de Yanira Yanira es una amante de los diseños, por lo que en su casa siembra flores formando diseños muy curiosos. Para muestra de esto, a continuación se presentan cuatro distintas plantaciones de flores, en las cuales cada color es un tipo distinto de flor.
Resuelve las siguientes tareas utilizando la información previa. 1.
Representa cada diseño con una clase más de planta.
3.
Triángulo _____________________________
Cuadrado _____________________________
Pentágono ____________________________
Hexágono_____________________________
4.
7.
8.
Representa con una secuencia de números según el número de plantas de cada tipo en cada uno de los diseños.
¿Cuántas plantas habría en cada uno de los diseños si se sabe que Yanira tiene 10 distintas clases de plantas en cada diseño?
Triángulo _____________________________
Cuadrado _____________________________
Pentágono ____________________________
Hexágono_____________________________
5. 2.
Escribe el número de plantas que tendría el sexto tipo de plantas, en cada caso.
De las sucesiones formadas en los diseños de Yanira, ¿qué diseños forman una progresión aritmética? _________________________________________
_________________________________________
Explica cómo determinar la diferencia en las progresiones aritméticas de la actividad.
_________________________________________
_________________________________________
6.
Usando la escala 1:2, dibuja nuevas gráficas.
Se tiene un módulo de vivienda hecha a escala 1:50 con las siguientes medidas: largo 42 cm, ancho 20 cm y alto 10 cm. Calcula las dimensiones reales del aparato. ___________________________________________ 116
9. En sus tardes de descanso, Juan
Este artefacto consume en una
... lo mismo que estos focos de 60 watts en igual tiempo encendidos simultáneamente
tiene previsto ver sus progra- hora mas favoritos en un intervalo de Televisor dos horas semanales. a. ¿Cuántos watts consumirá
en la primera y en la cuarta semana? ____________________ b. Determina una expresión
general para calcular el número de watts consumidos hasta la semana n. ____________________
=2
Refrigeradora
=6
Lavadora
=8
Refrigeradora con congeladora
=8
Aire acondicionado (3000 frigorías)
= 15
Horno de microondas
= 15
Estufa
= 16
Plancha
= 16
c. Describe cómo obtener una expresión que generalice el número de watts de acuerdo con el número de meses. ___________________________________________________________________________________ Producto
10. Elabora un plan de ahorro de energía y agua potable.
Autoevaluación Indicadores
Siempre
A veces
Pocas veces
Siempre
A veces
Pocas veces
Reconozco la diferencia entre una progresión aritmética y una sucesión. Doy soluciones a problemas usando las progresiones aritméticas. Hallo el enésimo término de una progresión aritmética con números naturales. Encuentro el término general de una progresión aritmética. Calculo la suma de los términos de una progresión aritmética. Realizo representaciones gráficas a distintas escalas. Utilizo las escalas para resolver problemas.
Coevaluación Indicadores
Participamos todos en las actividades de equipo. Respetamos los razonamientos diferentes de los nuestros.
Metacognición 1. ¿Qué aprendí al resolver estas actividades? __________________________________________________ 2. ¿En qué situaciones de mi vida puedo aplicar lo aprendido? ____________________________________ 3. ¿En todos los diseños está la matemática? __________________________________________________
117
Unidad
4
Los números en la economía familiar
La economía familiar (también llamada doméstica) es considerada una técnica de administración de la casa que contempla un conjunto de medidas cuyos objetivos son, entre otros, cuidar de las personas que conforman el núcleo familiar, mantener la pertenencia de los bienes patrimoniales y realizar una correcta distribución de los ingresos familiares. Las familias que elaboran un presupuesto tienen en cuenta aspectos como gastos necesarios (servicios de agua, luz, movilidad, etc.), ahorros para gastos irregulares, gastos de entretenimiento (paseos, viajes, etc.), ahorro y otros. Según la tabla, ¿qué aspecto (expresado en porcentaje) es el más común? ¿Cuál es el aspecto que no consideran todas las familias? Si la familia Gonzales cuenta con unos ingresos de S/ 1500 y destina 50 % para gastos necesarios, ¿cuánto destina para ahorro de gastos irregulares? ¿Qué debes tener en cuenta para elaborar un presupuesto familiar? Mariella afirma que las variaciones en los gastos y el ahorro se deben a que los ingresos no son iguales en todas las familias. ¿Qué opinas respecto a esta afirmación? ¿Cómo es el ahorro en las familias de tu aula? Gonzales
Narro
Neciosup
Quispe
Rojas
Gastos necesarios
50 %
50 %
60 %
60 %
50 %
Ahorros para gastos irregulares
0%
0%
10 %
0%
0%
Gastos de entretenimiento
30 %
25 %
10 %
20 %
20 %
Ahorros
20 %
20 %
20 %
20 %
20 %
Otros
0%
5%
0%
0%
10 %
¿Cuán to ahorrar? ¿Cuán to puedo gas tar? Ro jas
20 %
20 %
50 %
Quispe
60 %
20 %
Neciosup
60 %
10 % 10 %
Narro
50 %
Gonzales
50 %
25 % 30 %
10 % 20 % 20 %
20 %
5%
20 %
70 % 80 % 90 % 100 % % 40 % 50 % 60 % 0 % 10 % 20 % 30
118 118
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Relaciona cantidades y magnitudes en situaciones, y los expresa en un modelo de aumentos y descuentos porcentuales sucesivos.
Matematiza situaciones •
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Comunica y representa ideas matemáticas •
•
Elabora y usa estrategias •
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
Matematiza situaciones •
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
Comunica y representa ideas matemáticas
•
•
•
Elabora y usa estrategias •
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
119
Reconoce la restricción de un modelo de aumentos y descuentos porcentuales sucesivos de acuerdo a condiciones. Elabora un organizador de información relacionado a la clasificación de las fracciones y decimales, s us operaciones, porcentaje y variaciones porcentuales. Representa aumentos o descuentos porcentuales sucesivos empleando diagramas, gráficos, entre otros. Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para resolver problemas relacionados con el aumento o descuento porcentual sucesivos. Halla el valor de aumentos o descuentos porcentuales sucesivos al resolver problemas. Justifica los procedimientos empleados para obtener un aumento o descuento porcentual sucesivo. Explica el significado del IGV y de cómo se calcula. Organiza datos en variables cualitativas (ordinal y nominal) y cuantitativas provenientes de variadas fuentes de información y los expresa en un modelo basado en gráficos estadísticos. Selecciona el modelo gráfico estadístico al plantear y resolver situaciones que expresan características o cualidades de una población. Sugiere preguntas para el cuestionario de una encuesta presentada acorde al propósito planteado. Expresa información presentada en tablas y gráficos estadísticos para datos no agrupados y agrupados. Usa cuadros, tablas y gráficos estadísticos para mostrar datos no agrupados y datos agrupados, y sus relaciones. Recopila datos cuantitativos discretos y continuos o cualitativos ordinales y nominales provenientes de su comunidad usando una encuesta de preguntas cerradas. Organizan datos en histogramas y polígonos de frecuencias al resolver problemas. Justifica los procedimientos del trabajo es tadístico realizado y la determinación de la(s) decisión(es) para datos no agrupados y agrupados.
Cantidad
Ficha 25
Presupuesto familiar La primera herramienta sencilla y eficaz con la que cuenta la economía del hogar, es el presupuesto familiar, es decir, calcular en forma anticipada los ingresos y gastos que una familia puede tener. Tener un presupuesto trae beneficios como saber en qué se gasta el dinero, y así priorizar, reducir o eliminar los gastos, llevar un seguimiento de todo lo que se gasta, y evitar el derroche de dinero. Es necesario tener un pequeño fondo de emergencia para gastos y situaciones inesperadas (una enfermedad, un gasto repentino o perder el empleo).
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué gastos crees que son obligatorios en tu hogar? ¿Has tenido una experiencia de gastos en tu vida personal? ¿De qué manera?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
Clasifica los siguientes gastos en la tabla: comidas fuera de casa, electricidad, gas, alquiler de la vivienda, transporte, préstamos, agua potable, vestimenta. Obligatorios, que no se pueden dejar de pagar
•
Necesarios, que se pueden reducir, pero no eliminar
Ocasionales, que se pueden eliminar
¿Qué harías para reducir un gasto obligatorio como el de energía eléctrica?
120
Resolvamos: Laboratorio matemático Dentro de los ingresos de una familia peruana se han registrado dos sueldos, cada uno de S/ 937,50. Para el próximo mes, uno de esos sueldos será incrementado en el 10 %, y en el siguiente mes el nuevo sueldo experimentará un aumento del 20 %. Registra en la siguiente tabla los ingresos que se escribirán en el presupuesto familiar en los tres meses. Meses
Primero
Segundo
Tercero
Ingresos (S/) 1.
2.
Trabajo con material manipulable •
Corta un pedazo de cartulina de forma rectangular de 20 cm de base y 10 cm de altura. El pedazo cortado representará el sueldo de S/ 937,50.
•
Expresa en forma fraccionaria irreducible el 10 %.
•
Divide el rectángulo tantas veces como indica el denominador de la fracción irreducible.
•
Escribe sobre cada rectángulo resultante el valor que representa cada uno de ellos con respecto al sueldo de S/ 937,50.
•
Recorta de otro pedazo de cartulina, un rectángulo del tamaño de los obtenidos anteriormente; también escribe en él, el valor que representaron los otros con respecto al sueldo.
•
Añade este nuevo rectángulo al grande para obtener la nueva unidad que representa el nuevo sueldo.
•
Selecciona la operación más adecuada para obtener el valor del nuevo sueldo.
•
Recorta un rectángulo de base igual a la nueva unidad constituida.
•
Obtén la fracción que representa el 20 %; simplifícala.
•
Divide el rectángulo tantas veces como indica el denominador.
•
Escribe sobre cada rectángulo formado su equivalencia con respecto al nuevo ingreso.
•
Recorta un rectángulo de medidas iguales a los obtenidos anteriormente y escribe también en él la respectiva equivalencia.
•
Calcula el valor total de esta nueva unidad.
Incorporo lenguaje matemático a mis acciones •
¿Cómo puede ser representado el cien por ciento de una cantidad? ____________________________________________________________________________________
•
¿El 10 % con qué fracción irreducible queda representado? ____________________________________________________________________________________
•
¿Qué cantidad del sueldo representa a la fracción obtenida? ____________________________________________________________________________________
•
¿Qué representa el nuevo rectángulo que obtienes al ubicar el pequeño rectángulo junto al rectángulo inicial? ____________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es el valor del nuevo sueldo? ____________________________________________________________________________________
121
•
¿Qué fracción irreducible representa el 20 %? ____________________________________________________________________________________
•
¿Qué cantidad del nuevo sueldo representa la fracción obtenida? ____________________________________________________________________________________
•
¿Qué representa el rectángulo que obtienes al unir este nuevo pequeño rectángulo con el que representaba el nuevo sueldo? ____________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es el valor del sueldo para el tercer mes? ____________________________________________________________________________________
3.
Expreso mis ideas • •
Únete a un compañero y explícale todo lo que hiciste. Completen cada tabla con los números decimales equivalentes a las dos fracciones utilizadas y el porcentaje que representan. N.º decimal
•
Porcentaje
N.º decimal
Porcentaje
Relacionen el número decimal con el valor porcentual y emitan una conclusión.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
Sumen la unidad a la parte decimal y el 100 % a la parte porcentual y llenen las tablas. N.º decimal más la unidad
•
Porcentaje más 100 %
N.º decimal más la unidad
Porcentaje más 100 %
Desarrollen los siguientes productos; luego emitan una conclusión. –
1,1 × 937,50 = ___________________________________________
–
1,2 × 1 031,25 = __________________________________________
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
Calculen el producto indicado; luego concluyan. –
1,1 × 1,2 × 937,5 = _________________________________________
_______________________________________________________________________________________ •
Redacten una regla general para calcular aumentos porcentuales sucesivos.
_______________________________________________________________________________________ •
Indiquen qué harían si hubiera descuentos.
_______________________________________________________________________________________ •
Den respuesta al problema propuesto. 122
4.
Formulo expresiones simbólicas •
Completa la tabla de acuerdo con las condiciones. Condición
Expresión matemática
Resultado
Aumento sucesivo del 20 % y 30 % de 300. Descuento sucesivo del 5 % y 10 % de 150. Aumento del 45 % al que le sigue un descuento del 10 % de 600. Descuento del 15 % al que les sigue un aumento del 8 % y otro aumento del 10 % de 1000. •
¿De cuántas formas se puede representar un porcentaje?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Cuándo se produce un aumento o un descuento sucesivo?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
¿Qué dificultades tuviste para resolver el problema?
Autoevaluación
________________________________________
¿Fue de utilidad conocer de porcentajes para resolver la situación?
¿En qué otras situaciones utilizarías esta estrategia?
Reconozco la restricción de un modelo de aumentos y descuentos porcentuales sucesivos de acuerdo con condiciones.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________ ________________________________________ •
é r g o l o L
Relaciono cantidades y magnitudes en situaciones, y las expreso en un modelo de aumentos y descuentos porcentuales sucesivos.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s e z e a r r D o o g f o L l s e
________________________________________
Ponemos atención a las exposiciones de nuestros(as) compañeros(as).
Realiza la siguiente actividad Manuel tiene un rubro de gasto necesario de S/ 200, y quiere disminuirlo el primer mes en un 8 %, y el siguiente mes en un 5 %. ¿Qué valor tendrá este gasto el tercer mes?
Realizamos con agrado las correcciones recomendadas.
Metacognición ¿En qué situaciones de la vida me ayuda elaborar un presupuesto?
123
Cantidad
Ficha
26
Importancia del ahorro
Taller matemático 1. A. Reproductores
de MP3 (Problemas de traducción simple)
REPRODUCTORES DE MP3 ---> Music City : especialistas en MP3 <--Reproductor de MP3
Auriculares
Altavoces
155 zeds
86 zeds
79 zeds
Pregunta 1
Olivia sumó los precios del reproductor de MP3, los auriculares y los altavoces en su calculadora. El resultado que obtuvo fue 248 zeds. El resultado de Olivia es incorrecto. Cometió uno de los siguientes errores: A. Sumó uno de los precios dos veces. B. Olvidó incluir uno de los tres precios. C. Dejó sin introducir la última cifra de uno de los precios. D. Restó uno de los precios en lugar de sumarlo.
¿Qué error cometió? Pregunta 2
Music City está de rebajas. Si compras dos o más artículos en las rebajas, Music City hace un descuento del 20 % sobre el precio de venta normal de estos artículos.
Julio tiene 200 zeds para gastar. ¿Qué puede permitirse comprar en las rebajas? •
Rodea con un círculo «Sí» o «No» según corresponda a cada una de las siguientes opciones. Artículos
¿Julio puede comprar los artículos con 200 zeds?
El reproductor de MP3 y los auriculares.
Sí / No
El reproductor de MP3 y los altavoces.
Sí / No
Los 3 artículos: el reproductor de MP3, los auriculares y los altavoces.
Sí / No
Pregunta 3
El precio de venta normal de los artículos del MP3 incluye un beneficio del 37,5 %. El precio sin este beneficio se denomina precio de venta al por mayor. El beneficio se calcula como un porcentaje del precio de venta al por mayor. ¿Indican las siguientes fórmulas una relación correcta entre el precio de venta al por mayor m, y el precio de venta normal v ? •
Rodea con un círculo «Sí» o «No» según corresponda a cada una de las siguientes fórmulas. Fórmulas
¿Es correcta la fórmula?
v = m + 375,0
Sí / No
m = v − 375,0 v
Sí / No
v = 375,1 m
Sí / No
m = 625,0 v
Sí / No
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee 124
B. Ahorro de una familia
En el gráfico se muestra la forma en que una familia ha ahorrado durante cuatro meses. •
¿Cuánto han ahorrado hasta el momento?
•
¿Podrías asegurar que lo hizo siguiendo un aumento sucesivo del 10 %?
•
Verifica y contesta.
•
399,3 soles
300 soles
330 soles 363 soles
–
¿Cuánto ha ahorrado la familia en el mes de enero?
–
¿Cuánto ha ahorrado la familia en el mes de febrero?
–
¿Cuánto ha ahorrado la familia en el mes de marzo?
–
¿Cuánto ha ahorrado la familia en el mes de abril?
–
Durante los cuatro meses, ¿cuánto ha ahorrado la familia?
–
¿Cuáles serían los números decimales que representarían a los aumentos porcentuales? ______________
–
¿Cuál sería la expresión matemática que te permitiría calcular el aumento sucesivo por cada mes? Escríbela en la tabla y obtén el resultado. ________________________________________________
Completa la redacción de tus respuestas. Mes
Expresión
Valor calculado
Febrero Marzo Abril –
Durante los cuatro meses _______________ ha ahorrado _______________ .
–
El aumento en los ahorros sí corresponde a un ___________________________.
125
2.
Ahorro para educación (Problemas de traducción compleja) •
Elisa ha egresado de la universidad y ha empezado a trabajar con un sueldo de S/ 1600. Se ha propuesto ahorrar durante un año para hacer una maestría fuera del país. Para ello, elabora un plan de ahorro que empieza en el mes de enero con un valor que corresponde al 12,5 % de su salario, para ir luego aumentando el 8 % de su sueldo cada mes hasta terminar el año. ¿Cuánto ahorra cada mes? ¿Cuánto ahorra durante el periodo que se propuso? Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre Total ahorrado
•
3.
Los progenitores de una familia se han propuesto comenzar un ahorro para la educación superior de sus hijos. Empiezan el ahorro con S/ 160, y durante dos meses más realizan un aumento sucesivo de 2%. Luego de ello, frente a una calamidad, se ven obligados a llevar a cabo el ahorro con un descuento sucesivo del 5 % hasta terminar el primer semestre del año. ¿Cuánto ahorraron al final del semestre?
Ahorro para construcción (Situaciones problemáticas realistas) •
La familia Flores adquirió un terreno de forma rectangular. En primera instancia asignaron ciertas medidas para la base y la altura, pero luego se vieron en la necesidad de disminuir la medida de la base en un 10 %, en tanto que la medida de la altura la aumentaron en un 12 %. Determina el porcentaje en que varía el área de construcción. Dibuja en la cuadrícula el rectángulo que representa la superficie de construcción inicial y, luego, el que representa la superficie con las variaciones.
126
•
–
Escribe la fórmula para calcular el área de un rectángulo. __________________________________
–
Escribe el número decimal que representa la reducción de la base. ___________________________
–
Escribe el número decimal que representa el aumento de la al tura. ____________________________
–
Calcula el área en términos de la disminución y aumento. __________________________________
–
Multiplica el valor del área por 100 para obtener la variación en términos del porcentaje. ___________
Si el valor calculado sobrepasa el 100 %, significa que la variación fue en aumento del área; si, por el contrario, es menor, la variación fue en disminución. –
Únete a un compañero para comparar tus respuestas y contestar a la interrogante del problema.
__________________________________________________________________________________ –
Ahora calculen la variación del área de construcción si la base experimenta un aumento de 10 % y la altura una disminución del 12 %.
__________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
¿Qué dificultades tuviste para resolver el problema?
Autoevaluación
________________________________________ ¿Utilizaste la potenciación para expresar situaciones de descuentos sucesivos? ________________________________________
Hallo el valor de aumentos o descuentos porcentuales sucesivos al resolver problemas.
¿En qué otras situaciones utilizas la variación porcentual?
Justifico los procedimientos empleados para obtener un aumento o descuento porcentual sucesivo.
________________________________________ ________________________________________
Coevaluación
Realiza la siguiente actividad 1.
o L
Empleo estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para resolver problemas relacionados con el aumento o descuento porcentual sucesivos.
________________________________________
•
é r g o l
Represento aumentos o descuentos porcentuales sucesivos empleando diagramas, gráficos, entre otros.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D o o g f o L l s e
Respetamos el punto de vista de nuestros compañeros.
Pedro ha invertido en un negocio una cierta cantidad de dinero, pero ha tenido pérdidas por no hacerlo de manera planificada. Si la inversión ha sido de S/ 280 y ha perdido consecutivamente el 25 %, 10 % y 50 % respectivamente, ¿cuánto dinero le queda?
Prestamos atención a las explicaciones de nuestros compañeros.
Metacognición •
•
127
¿Qué estrategia empleo para calcular descuentos o aumentos sucesivos? ¿En qué aporta en mi vida cotidiana tener conocimientos acerca del ahorro?
Cantidad
Ficha
27
Impuesto general a las ventas (IGV) No todos los peruanos tienen un empleo remunerado. Muchos de ellos se dedican a la actividad comercial; de ahí que es importante que conozcan sobre sus obligaciones tributarias. El IGV grava una serie de operaciones como: • Venta en el país de bienes muebles. • Prestación o utilización de servicios en el país. • Contratos de construcción. • Primera venta de bienes inmuebles ubicados en el país. • Importación de bienes. El IGV está compuesto por una tasa de impuesto general al consumo del 16 %, y la del impuesto de promoción municipal equivalente al 2 %.
Cuenta tu experiencia •
•
Cuando compras leche o carne, ¿pagas IGV? Cuando compras ropa o zapatos, ¿pagas IGV?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿Cuál es la tasa del IGV en nuestro país?
¿Las personas dedicadas a la importación y exportación de productos pagan IGV?
Si por un producto se pagó S/ 9,00 en IGV, ¿cuál fue su valor de venta?
128
Resolvamos: El juego 1.
Exploro las reglas y condiciones del juego Reúnete con un compañero del salón de clase y elaboren cada uno un dado de cartón con el molde desglosable 7 de la página 365. Uno escogerá 6 productos de los aquí mencionados y el resto será para el otro participante. Los productos escogidos los escribirán en las caras del dado.
Auto nuevo
Libro
Vivienda
S/ 48 750
S/ 32,50
S/ 160 000
Pantalón jean
Vestido de fiesta
Metro cuadrado de terreno
S/ 150
S/ 299
Espectáculo cultural público S/ 20
Televisor LED S/ 1700
S/ 4882
Kilogramo de ajo
Transporte público
S/ 4,68
S/ 1,20
Jornada diaria de un operario en la construcción
Refrigeradora S/ 1500
S/ 60
•
Comenta con tu compañero(a) sobre el tipo de juego que quisieran desarrollar.
•
Inventen algunas reglas del juego y escriban en el espacio.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 2.
Comprendo las características del juego •
Presten atención a las reglas que a continuación se indican: a.
Cada integrante del equipo debe lanzar los dados tres veces. Para la asignación del turno lanzarán primero uno de los dados y empezará el juego quien obtenga un producto de mayor costo.
b.
Si en un lanzamiento obtuvieran por lo menos un producto que no grava IGV, repetirán el lanzamiento.
c.
Los nombres de los dos productos que no gravan IGV no se anotarán en la tabla, sino los obtenidos en un lanzamiento posterior.
d.
Iniciado el juego, cada integrante anotará en la siguiente tabla el nombre, el costo de los productos que obtuvo al lanzar el par de dados y su respectivo IGV.
e.
Realicen algunos lanzamientos de prueba y llenen la tabla. Revisen si lo hicieron bien.
129
Producto
3.
Costo
IGV
Reconozco relaciones matemáticas en el juego •
Contesten las siguientes preguntas: a.
De los productos que se encuentran en las caras de los dados, ¿cuáles gravan IGV? Y ¿cuáles no?
Gravan IGV
No gravan IGV
b.
¿Qué deben hacer si en un lanzamiento obtienen dos productos que gravan IGV?
___________________________________________________________________________________ c.
¿Qué deben hacer si en un lanzamiento obtienen, por lo menos, un producto que no grava IGV?
___________________________________________________________________________________ 4.
Expreso de forma esquemática •
Luego del juego, registren los productos o servicios en la siguiente tabla.
•
Propongan una expresión matemática que les permita determinar el IGV en los productos o servicios gravados. Producto
5.
Costo
Grava IGV
No grava IGV
IGV
Describo usando la matemática •
Calcula el IGV de cada uno de los productos que enumeraste; luego regístralos en la tabla.
•
Suma todos los valores de IGV calculados.
130
•
Obtén la suma de los costos de los productos que gravan IGV. ___________________________________________________________________________________
6.
•
Calcula el IGV de la suma de los costos de los productos que gravan IGV.
•
Compara los resultados obtenidos en 2 y 4, y junto con tu compañero elaboren una conclusión.
•
Proclamen ganador a aquel estudiante que obtuvo el mayor valor en la declaración del IGV.
Expongo lo encontrado •
Realicen las siguientes variaciones al juego e inicien un nuevo juego. –
Cuando salgan dos productos que no gravan IGV, regístrenlos en la tabla trabajada anteriormente.
–
Cuando salgan dos productos que gravan IGV, repitan el turno hasta que no se dé esta posibilidad.
–
Declaren ganador a quien obtenga el mayor valor a declarar por concepto de IGV.
Finalicemos Reflexiona •
2.
¿Qué dificultades tuviste para realizar el juego?
Si una empresa que comercializa ropa, vende en un mes S/ 30 172, ¿qué valor debe declarar por concepto de IGV en la SUNAT?
________________________________________ ________________________________________ •
Autoevaluación
¿Fue de utilidad conocer sobre el IGV para la aplicación de la estrategia?
o L
Identifico a qué tipos de productos se aplica el IGV.
________________________________________ ¿Crees que es importante pagar impuestos? ¿Por qué?
Coevaluación
________________________________________
Mantenemos orden y respeto durante el juego.
________________________________________
Brindamos y recibimos ayuda mutua.
Realiza la siguiente actividad 1.
é r g o l
Explico el significado del IGV y cómo se calcula.
________________________________________
•
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D o o g f o L l s e
Participamos activa y críticamente para estructurar conclusiones.
De un valor de venta de S/ 5676, ¿qué valor correspondería a la tasa de impuesto general al consumo, cuál al impuesto de promoción municipal y cuál al IGV?
Metacognición •
•
131
¿Aprendí algo importante en la solución de la estrategia? ¿En qué momento de la vida cotidiana me sirve el conocimiento sobre el IGV?
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
28
Ganar, administrar y ahorrar La mejor fórmula para aprender a gastar con responsabilidad es establecer un presupuesto semanal. En un cuaderno se apuntan los ingresos y los egresos. En él se deben anotar todos los gastos que se tienen: comidas, transporte, celular… y también los ingresos con los que se cuenta, como las propinas. Es prudente separar una cantidad de dinero para ciertos gastos extras: arreglar la bicicleta, comprar un regalo o una salida con los amigos.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Ahorras dinero? ¿Qué gastos tienes durante la semana que pueden ser cubiertos? ¿De qué manera organizarías tus ingresos y egresos?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
Construye una tabla en la que coloques los ingresos y egresos que tengas durante la semana.
Calcula tus egresos promedio por día.
132
Resolvamos: Investigación escolar 1.
Planteo un problema Los estudiantes de segundo año de Secundaria están interesados en conocer si los estudiantes de la institución cuentan con una educación financiera proporcionada por los padres y en determinar si, como consecuencia de esa educación, sus compañeros tienen la costumbre de ahorrar. ¿Cuál es la mejor manera de satisfacer este interés?
2.
Llevo a cabo un plan para solucionar el problema •
Formen equipos de trabajo de cuatro integrantes para seleccionar el tema de investigación que abarque las inquietudes de los estudiantes mencionados en el problema.
_______________________________________________________________________________________ •
Definan dos preguntas que involucren dos variables cualitativas, una de tipo ordinal y otra de tipo nominal.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
Justifiquen la creación de estas dos preguntas a partir de las definiciones de variables cualitativas ordinal y nominal.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
Elaboren una encuesta que contenga las tres preguntas dadas en la siguiente ficha y anexen las dos preguntas creadas anteriormente.
Ficha de encuesta Instrucciones: Apreciado(a) compañero(a), la siguiente encuesta nos ayudará a determinar si los estudiantes de la institución cuentan con una educación financiera. La veracidad con que respondas garantizará el éxito de nuestra investigación.
Edad: ____ años
Grado: 1.°
2.°
1. ¿Tus padres o las personas con quienes vives te
han inculcado hábitos financieros? Sí
5.°
Mujer
Varón
3. Tus ahorros los tienes en:
No
Una entidad bancaria
Encargados a mis padres o tutores 4.
No
________________________________ ________________________________
Si contestaste “Sí” a la pregunta anterior, contesta la siguiente pregunta.
•
4.°
Una alcancía
2. ¿Ahorras tu dinero?
Sí
3.°
5.
________________________________ ________________________________
Impriman tantas encuestas como elementos tiene la muestra seleccionada.
133
3.
Recopilo datos •
Organicen equipos de acuerdo con el número de grados y secciones que tiene la institución educativa.
•
Apliquen la encuesta al año que les corresponde.
•
Realicen el conteo y organicen la información en tablas como se muestra para el prototipo de encuesta presentada. Anexar las dos tablas correspondientes a las preguntas creadas.
Tienes hábitos financieros
Sí
No
Ahorras tu dinero
Sí
No
Dónde depositas los ahorros
Alcancía Encargados a mis padres o tutores Entidad bancaria
4.
Analizo los datos •
Utilicen la aplicación de Word insertar para construir gráficos circulares para cada una de las variables consideradas en cada caso. Busquen la opción que les permita obtener los valores en forma porcentual.
•
Peguen los gráficos en los espacios en blanco y completen la redacción de acuerdo con lo que obtuvieron. Presenten el análisis porcentual de las dos preguntas creadas.
El ________ % de los encuestados consideran que sí poseen hábitos financieros, mientras que el ______ % considera que no poseen.
El ________ % de los encuestados ahorran su dinero, en tanto que el ________ % no ahorra su dinero.
El ________ % de los encuestados obtiene dinero para sus ahorros de regalos, el ________ % de su propina semanal, y el ________ % de su trabajo en el hogar. 134
El _____ % de los encuestados guarda sus ahorros en una alcancía, mientras que el _____ % los encarga a sus padres o tutores y el _____ % lo tiene en una entidad bancaria.
El ________ % de los encuestados ahorran diariamente, el ______ % semanalmente, y el ________ % mensualmente.
5.
Planteo conclusiones •
Escriban conclusiones relacionadas con el análisis de los datos obtenidos con respecto a: a.
Los estudiantes de la institución educativa tienen hábitos financieros en un...
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ b.
La cultura de ahorro que tienen los estudiantes del plantel.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades tuviste para aplicar la encuesta? ________________________________________
¿Qué conocimiento fue el más útil para el desarrollo de la estrategia?
Identifico variables cualitativas y las organizo.
________________________________________ ________________________________________ •
Identifico variables cuantitativas y las organizo.
¿Crees que la cultura del ahorro es importante? ¿Por qué?
Expreso gráficos estadísticos.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Demostramos compromiso en la elaboración del cartel y de la encuesta.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
3.
é r g o l o L
Organizo datos en variables cualitativas (ordinal y nominal) y cuantitativas provenientes de variadas fuentes de información y los expreso en un modelo basado en gráficos estadísticos.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D o o g f o L l s e
Fuimos asertivos en la recopilación y conteo de datos.
Elabora una encuesta con las acciones que los padres deben realizar para crear una cultura financiera en sus hijos; aplícala a diez padres dentro de tu círculo familiar o en tu localidad.
Fuimos críticos y participativos en el análisis de datos y la formulación de las conclusiones.
Realiza todos los pasos que seguiste en esta investigación.
Metacognición
Registra las tablas, gráficos y conclusiones en papelógrafos para que los expongas en clase.
•
135
¿En qué situaciones de la vida tengo que calcular porcentajes de ahorro?
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
29
Tranquilidad financiera en el hogar A medida que pasa el tiempo se adquiere más responsabilidades para las cuales es necesario anticipar y planificar, con el fin de enfrentar aquellos sucesos de la vida que pasarán en algún momento, tales como el alquiler o compra de una vivienda, la compra de un auto… También es importante estar preparado para lo que el futuro pueda traer y para esos grandes acontecimientos del año que ya se sabe que ocurrirán, así como para aquello que inesperadamente pueda suceder; por ejemplo, arreglar el auto que nadie esperó ver averiado. Todo esto requiere de un respaldo económico disponible que solo se logra con disciplina financiera.
Cuenta tu experiencia •
•
¿En tu casa cuentan con algún seguro preventivo? ¿En qué proporción se reparten los gastos y pagos de cuentas los distintos miembros de tu familia?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿Sabes si los fenómenos naturales, como El Niño, afectan económicamente en tu región?
¿Por qué crees que es importante tener un fondo de emergencia en tu familia?
Elabora una lista de las situaciones en las cuales consideras se debería contar con un fondo de emergencia.
136
Resolvamos: Investigación escolar 1.
Planteo un problema Los estudiantes del segundo año de Secundaria están interesados en conocer la tendencia que tendría el ahorro mensual destinado al fondo de emergencia de sus familias, expresado en porcentajes con respecto a los ingresos y su monto expresado en función de los gastos.
2.
Llevo a cabo un plan para solucionar el problema •
Comenten a sus padres sobre el fondo de emergencia: lo importante que es contar con él, el rango del monto recomendable al que debería llegar y anticiparles que se les aplicará una encuesta con fines didácticos.
•
Elaboren una encuesta en donde consten como variables:
•
–
El ingreso familiar.
–
El porcentaje de los ingresos de la familia que destinarían para implementar el fondo de emergencia. En la encuesta se les dará a elegir entre el 5 %, 8 %, 10 %, 12 %, 15 % y 20 % de los ingresos.
–
El total de los gastos.
Consideren la relación entre los gastos y el monto del fondo de emergencia, a la que estarían dispuestos a llegar con su ahorro. En la encuesta se considerará el doble, triple, cuatro veces mayor, cinco veces mayor y seis veces mayor. La ficha de la encuesta podría quedar así:
Ficha de encuesta Instrucciones: Este instrumento de carácter didáctico tiene como objetivo recabar información para
determinar la tendencia del ahorro mensual destinado al fondo de emergencia de las familias de los estudiantes de segundo año de Secundaria y el monto al que aspirarían llegar; por tal razón, le solicitamos veracidad al momento de contestar. Edad: ____ años
Año: 1.°
2.°
3.°
4.°
5.°
Mujer
Varón
1. Total ingresos familiares
Porcentaje que estarían dispuestos a ahorrar para implementar el fondo de emergencia. 5%
8%
10 %
12 %
15 %
20 %
2. Total gastos
Ahorraríamos hasta que el monto del fondo de emergencia llegue a ser con respecto a los gastos el: Doble
3.
Triple
Cuatro veces
Cinco veces
Recopilo datos •
Apliquen la encuesta a sus padres.
•
Realicen el conteo y registren sus resultados sobre un papelógrafo.
•
Llenen las siguientes tablas con la información registrada.
137
Seis veces
Porcentaje del ingreso destinado al fondo de emergencia x i
f i
hi
F i
H i
%
5% 8% 10 % 12 % 15 % 20 % Total Monto al que debe llegar el fondo de emergencia con relación a los gastos x
i
f
i
h
F
i
i
H
i
%
Doble Triple Cuatro veces Cinco veces Seis veces Total •
Formen equipos de trabajo para elaborar manualmente con los datos de la frecuencia absoluta de cada tabla, gráficos de barras que serán expuestos en la cartelera del salón de clase.
•
Realicen gráficos circulares con los datos de la frecuencia absoluta de cada tabla haciendo uso de las aplicaciones de Word.
4. Analizo los datos •
Pega los gráficos circulares en los espacios en blanco; luego realiza y escribe el respectivo análisis.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
138
5.
Planteo conclusiones •
Forma otro equipo con tus compañeros para estructurar conclusiones con respecto a las dos variables analizadas. Conclusión 1 Conclusión 2
•
En esta investigación, ¿la muestra es la misma población? Explica.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
¿Cuál es el valor que se obtiene al sumar todas las frecuencias absolutas acumuladas? _________________
•
¿Cuál es el valor que toma la frecuencia relativa acumulada en el último dato? ______________________
•
¿A qué clase de variable corresponde cada variable de la investigación? ___________________________
Finalicemos Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades tuviste para resolver esta situación? ________________________________________
¿Este tema te ayudó en la importancia de ahorrar? ________________________________________
Expreso información presentada en tablas y gráficos estadísticos para datos no agrupados y agrupados.
________________________________________ •
¿Es importante hacer uso de herramientas informáticas para graficar porcentajes? ________________________________________
Uso cuadros, tablas y gráficos estadísticos para mostrar datos no agrupados y datos agrupados, y sus relaciones.
________________________________________
Coevaluación Realizamos el conteo de datos enmarcados en el orden y el respeto.
Realiza las siguientes actividades 1. Utiliza los datos de la encuesta para informar a
Mostramos iniciativa al momento de estructurar conclusiones.
tus padres el número de meses que deben ahorrar para alcanzar el monto del fondo de emergencia que seleccionaron. 2.
é r g o l o L
Selecciono el modelo gráfico estadístico al plantear y resolver situaciones que expresan características o cualidades de una población.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n a b z s a e r e r D o o g f o L l s e
Respetamos la diferencia de opiniones.
Si planificas ahorrar, ¿cuál sería tu estrategia y objetivo de ahorro?
Metacognición •
•
139
¿Cómo motivaría a mi familia a tener un fondo de emergencia? ¿El tema aprendido me ayuda para aplicarlo en mi diario vivir?
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
30
Los fondos de jubilación Los sistemas de pensiones utilizados en el Perú son las AFP (Administradoras de Fondos de Pensiones) y la ONP (Oficina de Normalización Previsional). Las AFP son instituciones financieras privadas que tienen como fin la administración de los Fondos de Pensiones bajo la modalidad de cuentas personales. Otorgan pensiones de jubilación, invalidez, sobrevivencia y proporcionan gastos de sepelio. En la ONP, que es un organismo público técnico y especializado del sector de Economía y Finanzas, el dinero que aportas mes a mes ingresa a un fondo común que se usa para pagar las pensiones de los jubilados de hoy; mientras que en las AFP, el dinero aportado ingresa a una cuenta individual, el cual se invierte para que siga creciendo.
Cuenta tu experiencia •
•
En tu familia, ¿conviven personas jubiladas? ¿Tus padres aportan en algún sistema de pensiones?
¿Sabías que...? De acuerdo con nuestra legislación las personas pueden jubilarse a partir de los 65 años.
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
¿Cómo se administran los aportes de la jubilación en la AFP y en la ONP?
•
¿Por qué es importante contar con un fondo de jubilación?
•
¿Cuál es el monto máximo que puedes retirar con la ley 30425?
140
Resolvamos: Investigación escolar 1.
Planteo un problema Los estudiantes de segundo año de Secundaria están interesados en tomar una muestra considerable de personas que se encuentran en la etapa de senectud para determinar en qué edad se encuentran la mayoría de ciudadanos que gozan de su fondo de jubilación. ¿Cómo pueden obtener esa información?
2.
Llevo a cabo un plan para solucionar el problema •
Formen equipos de trabajo de cuatro integrantes.
•
Seleccionen y escriban el tema de investigación que abarque las inquietudes de los estudiantes mencionadas en el problema.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
Determinen la población y la muestra para la investigación. Escriban lo que determinaron.
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
Escriban cuándo se debe trabajar con datos agrupados.
_______________________________________________________________________________________ •
Elaboren una encuesta; utilicen la siguiente como modelo. Ficha de encuesta Instrucciones: Apreciado padre o madre, la siguiente encuesta nos
ayudará a determinar el porcentaje de personas mayores de 65 años que cuentan con un fondo de jubilación. La veracidad con que responda garantizará el éxito de nuestra investigación, por lo cual le agradecemos anticipadamente. Padre
1.
¿Tienes padre?
Sí
Madre
No
2.
¿Tienes madre?
Sí
No
Si contestaste “Sí”, responde:
Si contestaste “Sí”, responde:
¿Cuál es la edad de tu padre? _______________
¿Cuál es la edad de tu madre? _______________
Si es mayor de 65 años, contesta:
Si es mayor de 65 años, contesta:
¿Tiene fondo de jubilación? Sí
No
¿Tiene fondo de jubilación? Sí
•
Impriman tantas encuestas como elementos tiene la muestra seleccionada.
•
Entreguen a cada estudiante dos encuestas, una para el padre y otra para la madre.
No
Recuerda •
Cuando trabajamos con datos agrupados, el último intervalo es cerrado; todos los demás son cerrados al inicio y abiertos al final: [65; 68[ [68; 71[, etc.
141
3.
Recopilo datos •
Apliquen la encuesta a los integrantes de la muestra seleccionada.
•
Seleccionen solo las encuestas de las personas cuyos padres sean mayores de 65 años y que cuenten con un fondo de jubilación para el conteo.
•
Determinen la edad máxima y la mínima de las personas seleccionadas.
•
Calculen el rango de los datos, restando el valor mínimo del máximo.
•
Obtengan el número de clase extrayendo la raíz cuadrada del número de datos.
•
Determinen la longitud o amplitud de los intervalos dividiendo el rango y el número de clase.
•
Calculen los intervalos: el primero tomando la edad mínima y sumando la longitud del intervalo antes obtenido, el segundo tomando el valor antes obtenido y sumando el intervalo, y así sucesivamente.
•
Organicen los intervalos en una tabla de frecuencia semejante a la que se muestra a continuación.
•
Inicien el conteo y completen la tabla.
Intervalos edad
f i
F i
hi
H i
Total 4.
Analizo los datos •
Utilicen la aplicación de Word “Insertar” para construir gráficos de barras.
•
Peguen el gráfico obtenido en el espacio en blanco.
142
Frecuencia %
Frecuencia % acumulada
5.
Planteo conclusiones • Analicen la tabla de frecuencias y el gráfico de barras; luego completen las siguientes conclusiones que corresponden al propósito de la investigación. 1.
La mayor cantidad de personas que gozan de su fondo de jubilación tienen una edad comprendida entre ______________ y ______________ años.
2.
La menor cantidad de personas que gozan de su fondo de jubilación tienen una edad comprendida entre ______________ y ______________ años.
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades tuviste para analizar los resultados de la encuesta?
________________________________________
Uso cuadros, tablas y gráficos estadísticos para mostrar datos agrupados.
¿Crees que es necesario organizar los datos en intervalos?
Coevaluación
________________________________________ •
Demostramos compromiso en la elaboración de la encuesta.
¿En qué situación utilizas datos representados en intervalos?
Fuimos asertivos en la recopilación y selección de los datos.
________________________________________
Estructuramos adecuadamente la tabla de frecuencias.
Realiza las siguientes actividades 1. Realicen lo siguiente: a.
Formen grupos de trabajo.
b.
Soliciten a un docente de cualquier curso que les proporcione las notas de un parcial de 30 estudiantes.
c.
d.
é r g o l o L
Expreso información presentada en tablas y gráficos estadísticos para datos agrupados.
________________________________________
•
e o m y d o o r t n b a s a e z e r r D o o g f o L l s e
Fuimos críticos y participativos en el análisis de datos y la formulación de conclusiones.
Metacognición
Realicen todos los pasos que siguieron en esta investigación.
•
Registren la tabla, gráfico y conclusiones en papelógrafos para que expongan en clase.
•
143
¿En qué situación cotidiana utilizo los datos agrupados? ¿Utilizo una tabla de frecuencias para organizar datos?
Ficha
31
Investigación escolar 1. 1.
Ahorro para vivienda Una de las máximas aspiraciones de las familias es la adquisición de una vivienda. Para obtenerla, deben iniciar un plan de ahorro, bien sea para pagar por ella completamente o cancelar un abono. Existen algunos planes de vivienda en donde se entrega una cuota inicial y por el saldo restante se hipoteca la casa. •
Realiza en tu aula de clase una encuesta. Ficha de encuesta 1.
¿En qué vivienda vives?
Propia 2.
¿Cuántos dormitorios tiene tu casa?
1 •
•
Alquilada
2
3
4
Más de 4
Con los datos obtenidos realiza el siguiente análisis. –
¿A cuántos compañeros realizaste la encuesta? ___________________________________________
–
¿Cuántos compañeros tienen casa propia? ______________________________________________
–
¿Cuántos compañeros tienen casa alquilada? ____________________________________________
–
¿Cuántos compañeros tienen en casa 1; 2 y 3 dormitorios? _________________________________
–
¿Cuántos compañeros tienen en casa 4 o más dormitorios? _________________________________
Realiza un diagrama de barras para representar el resultado de las dos preguntas. Vivienda propia o alquilada
Número de dormitorios
144
2. Realizando una encuesta (Problema)
Un grupo de estudiantes están interesados en conocer la forma en la que sus padres adquirieron la vivienda donde habitan. Además, quieren conocer el área de construcción de dicha vivienda. Y de quienes posean vivienda propia, desean saber cuántas tienen. ¿Cómo pueden obtener esa i nformación? •
¿Qué quieren conocer los estudiantes? ____________________________________________________________________________________
Desarrollo un plan •
¿Qué estrategia podrías utilizar? _________________________________________________________
•
Comenta a tus padres sobre el proyecto de investigación que deseas llevar a cabo de manera que puedan darte información veraz. Elabora una ficha de encuesta que contenga las siguientes variables:
•
–
Tenencia de la vivienda.
–
El número de viviendas propias que poseen.
–
El área de construcción de la vivienda donde habitan.
Observa un ejemplo de encuesta; puedes diseñar la tuya. Ficha de encuesta Instrucciones: Este instrumento de carácter didáctico tiene como objetivo recabar información referente a la vivienda de las familias de los estudiantes de segundo año de Secundaria; por tal razón, le solicitamos veracidad al momento de contestar. 1. Marque con una x de acuerdo con la tenencia de la vivienda de su familia.
Propia pagada completamente
Alquilada
Propia pagada a plazos
Otra modalidad
2. Si posee vivienda propia, indique cuántas tiene
____________________________ .
3. El área de construcción de la vivienda que habita es
____________________________ .
Recojo y manejo datos •
Aplica la encuesta a tus padres.
•
En conjunto con todos tus compañeros de clase, realicen el conteo y registren sus resultados sobre un papelógrafo.
•
Llena la siguiente tabla con la información registrada. Tenencia de la vivienda de las familias de los estudiantes de segundo año de Secundaria Tenencia ( x i )
f i
F i
Propia pagada completamente Propia pagada a plazos Alquilada Otra modalidad Total de datos
145
hi
H i
%
Número de viviendas propias que poseen algunas familias X
f
i
F
i
h
i
H
i
i
%
Una Dos Tres Cuatro Cinco Más de cinco Total de datos •
Formen equipos de trabajo para elaborar la tabla de frecuencia con datos agrupados para la variable “áreas de las viviendas”.
Intervalos edad
f i
F i
hi
H i
Frecuencia %
Frecuencia % acumulada
Analizo y planteo conclusiones •
Realiza gráficos circulares con los datos de la frecuencia absoluta de cada tabla, haciendo uso de las aplicaciones de Word o Excel. Pega los gráficos en el espacio en blanco. Interpreta en los gráficos los datos obtenidos.
146
3.
Construcción de un conjunto habitacional
Un grupo de ingenieros desean construir un conjunto habitacional, para lo cual necesitan conocer qué necesidades tienen las personas que desean adquirir una vivienda. Con este fin, deciden realizar una encuesta de preguntas cerradas para tomar una decisión. ¿Qué preguntas debería tener esta encuesta? a.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________ b.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________ c.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________ d.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades tuviste para analizar la encuesta? ________________________________________
¿Te fue de gran ayuda conocer sobre datos discretos y agrupados?
________________________________________
Coevaluación
¿En qué otras situaciones realizarías una encuesta con datos agrupados?
Realizamos el conteo de datos enmarcados en el orden y el respeto.
________________________________________
Mostramos iniciativa al momento de estructurar conclusiones.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
Registra en un listado de estudiantes su estatura y el número de hijos que conforman su familia.
2.
Utiliza los datos obtenidos para elaborar las respectivas tablas de frecuencia, análisis de datos y emisión de conclusiones.
3.
o L
Recopilo datos cuantitativos discretos y cualitativos nominales provenientes de una encuesta.
________________________________________
•
é r g o l
Según el propósito planteado, propongo preguntas para el cuestionario.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r o D o g f o L l s e
Respetamos la diferencia de opiniones.
Metacognición •
Propón preguntas que se puedan responder con la información obtenida.
•
147
¿Aprendí a diferenciar una variable discreta de una continua? ¿En qué aplico esto en la vida diaria?
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
32
Ahorro de ingresos
Taller matemático 1. A. Puntuaciones
en un examen (Problemas de traducción simple)
El diagrama siguiente muestra los resultados en un examen de Ciencias para dos grupos denominados Grupo A y Grupo B. s e t n a i d u t s e e d o r e m ú N
60 50 40 30 20 10 0 9 0
9 1 -
9 2 -
9 3 -
9 4 -
9 5 -
9 6 -
9 7 -
9 8 -
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 0 1 0 9
Puntuación
Grupo A
Grupo B
La puntuación media del Grupo A es 62,0, y la media del Grupo B es 64,5. Los estudiantes aprueban este examen cuando su puntuación es 50 o más. Al observar el diagrama, el profesor afirma que en este examen el Grupo B fue mejor que el Grupo A. Pregunta 1
Los estudiantes del Grupo A no están de acuerdo con su profesor. Intentan convencerlo de que el Grupo B no tiene por qué haber sido necesariamente el mejor en este examen. Presenta un argumento matemático, utilizando la información del diagrama, que puedan emplear los estudiantes del Grupo A.
Liberado de http://www.mecd.gob.es/inee 148
B.
Ahorro de ingresos
Se realizó una encuesta a varias familias sobre la cantidad de dinero que destinan de sus ingresos para el ahorro. En la siguiente tabla se puede evidenciar el resultado de la encuesta.
•
Número de familias
[149 ; 156[
7
[156 ; 163[
10
[163 ; 170[
8
[170 ; 173[
5
Realiza un histograma y un polígono de frecuencias con los datos recogidos en la tabla. –
2.
Cantidad ahorro (S/)
¿Cuántas familias fueron encuestadas? ________________________________________________
Ahorro de jubilados (Problemas de traducción compleja)
La tabla adjunta muestra las edades de las personas que ahorran fondos de su jubilación. Edad
x
f
[56; 62[
59
9
[62; 68[
65
7
[68; 74[
71
3
[74; 80[
77
6
[80; 86[
83
5
i
Total
•
i
30
Describan cómo se construye un histograma y cómo un polígono de frecuencias. Histograma
En el eje de las abscisas se construye unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo y por altura la frecuencia absoluta de cada intervalo.
Polígono de frecuencias
Primero se marca el punto medio de cada base superior de los rectángulos; luego se unen esos puntos medios.
149
•
Elaboren un histograma y su polígono de frecuencias. Luego, a partir del gráfico, determinen si las afirmaciones son verdaderas: a. Las edades de 7 personas fluctúan entre 62 y 68 años. b. Las personas que tienen menos de 80 años son 25. c. Las personas que tienen entre 62 y 80 años son 16.
•
Seleccionen una escala adecuada para proceder con la elaboración de un histograma y un polígono de frecuencias y constrúyanlos en el espacio en blanco.
•
Escribe si las afirmaciones son verdaderas o falsas. ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
3.
Pago de ingresos (Situaciones problemáticas realistas) El jefe de una empresa requiere conocer los días asistidos por sus trabajadores para cancelar el sueldo correspondiente. Su asistente le entrega el siguiente gráfico; ¿cuánto cobra cada empleado? Responde. •
¿Cuántos trabajadores faltaron 5 días?
•
¿Cuántos trabajadores faltaron 3 y 4 veces?
•
¿Es cierto que 4 trabajadores faltaron 2 veces?
16 s 14 e r o 12 d a 10 j a b a r 8 t e d 6 o r 4 e m ú 2 N
0 2
3
4
5
6
Ausencia (días)
150
Si por cada día de ausencia el jefe les descuenta el 2 % de su sueldo, el cual es de S/ 3600: •
¿Cuánto le descuenta al empleado que faltó 2 días y cuánto recibe este?
•
¿Cuánto le descuenta al empleado que faltó 3 días y cuánto recibe este?
•
¿Cuánto le descuenta al empleado que faltó 4 días y cuánto recibe este?
•
¿Cuánto le descuenta al empleado que faltó 5 días y cuánto recibe este?
Finalicemos Reflexiona •
¿Qué dificultades tuviste para elaborar histogramas?
Autoevaluación
________________________________________
•
¿Por qué crees que los datos se organizaron en intervalos? ________________________________________
Explico los procedimientos para determinar conclusiones para datos agrupados.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el conteo de datos enmarcados en el orden y el respeto.
¿En qué otra encuesta utilizarías datos agrupados?
Estructuramos tablas de frecuencia con asertividad.
________________________________________ ________________________________________
Fuimos ordenados y precisos al elaborar histogramas y polígonos de frecuencia.
Realiza las siguientes actividades 1.
Registra en un listado de estudiantes de tu nivel el peso de cada uno de ellos.
2.
Obtén el respectivo histograma y polígono de frecuencias.
3.
4.
é r g o l o L
Organizo datos en histogramas y polígonos de frecuencias al resolver problemas.
________________________________________ •
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D o o g f o L l s e
Mostramos iniciativa al momento de estructurar conclusiones.
Metacognición
Propón preguntas que no se puedan responder con la información de los gráficos elaborados.
•
•
Emite conclusiones.
151
¿Qué aprendí al resolver estas actividades? ¿De qué manera puedo utilizar datos agrupados en mi vida cotidiana?
Evaluación Ahorro para la educación La familia hoy en día tiene una gran preocupación, que es la de costear una mejor educación para sus hijos. Para llegar a un objetivo es importante realizar un plan de ahorro. Una vez que hayan decidido que la prioridad financiera para su familia es ahorrar para la educación universitaria de sus hijos, el siguiente paso es hacerlo. Para eso, se debe tomar la decisión lo más pronto posible, calcular el monto que se quiere ahorrar sin salirse del presupuesto, crearse una meta de ahorro y reducir gastos innecesarios.
Resuelve
las siguientes situaciones del matrimonio Sánchez-Huamán, que cuenta con dos hijos que van a la misma institución educativa. 1.
4.
El costo de los uniformes que necesitan es S/ 420 por cada uno. Si el almacén donde van a comprar, por ser hermanos, les hace un descuento del 5 % y les recarga el IGV, ¿con cuánto dinero debe ir el matrimonio a realizar la compra?
________________________________________ Frente al compromiso mostrado por los padres es satisfactorio observar reportes de notas que muestran el buen desempeño de los hijos. 5.
2.
Hace 6 años este matrimonio inició su ahorro para la educación superior de sus hijos. Empezaron el ahorro con 20 soles mensuales y decidieron cada año incrementarlo en un 20 %. Completa la tabla del ahorro por año y con el total de los 6 años. Año
Ahorro mensual
Cuando sus hijos eran pequeños los Sánchez-Huamán visitaban al pediatra para realizar los controles recomendados. En cada control se registraban el peso, la talla, el perímetro encefálico, la temperatura y la edad. ¿A qué tipo de variable corresponde cada una de estas variables?
La libreta de notas del hijo menor trae en su gran mayoría la calificación de “Muy satisfactorio”, seguidos de “Satisfactorio”. Contesta: ¿A qué tipo de variable corresponde la nota del hijo menor? ________________________________________
6.
Ahorro anual
Primero Segundo Tercero
El hijo mayor presenta a sus padres la carpeta donde archiva las actividades extracurriculares de Matemática. Las notas obtenidas son: 19,6
18,7
20
17,6
19,2
20
19
18,5
15
13,5
16
18,5
20
20
19
18,8
19,2
13,5
19,5
18,8
15
20
20
19
18,5
19,2
16
20
19,2
17
Cuarto Quinto Sexto Total
3.
Si el ahorro para la educación lo proyectaron para 12 años, ¿cuál es la cuota mensual del último año?
Organiza los datos en una tabla de frecuencia. Realiza el respectivo histograma y polígono de frecuencia; luego redacta una conclusión. 152
Intervalos notas
f
i
fr
%
[13,5; 14,8[ [14,8; 16,1[ [16,1; 17,4[ [17,4; 18,7[ [18,7; 20] n
Producto 7.
Elabora en una cartulina un plan de ahorro familiar para educación, con recomendaciones para una buena práctica de ahorro.
Autoevaluación Indicadores
Siempre
A veces
Pocas veces
Siempre
A veces
Pocas veces
Relaciono cantidades y magnitudes en situaciones, y los expreso en un modelo de aumentos y descuentos porcentuales sucesivos. Empleo estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para resolver problemas relacionados con el aumento o descuento porcentual sucesivos. Hallo el valor de aumentos o descuentos porcentuales sucesivos al resolver problemas. Justifico los procedimientos empleados para obtener un aumento o descuento porcentual sucesivo. Explico el significado del IGV y cómo se calcula. Uso cuadros, tablas y gráficos estadísticos para mostrar datos no agrupados y datos agrupados, y sus relaciones. Organizo datos en histogramas y polígonos de frecuencias al resolver problemas. Justifico los procedimientos del trabajo estadístico realizado y la determinación de la(s) decisión(es) para datos no agrupados y agrupados.
Coevaluación Indicadores
Tomamos una actitud crítica y reflexiva frente a situaciones problemáticas reales. Respetamos las opiniones vertidas en torno a una situación problemática planteada que requiere de la emisión de conclusiones. Valoramos la importancia de aprender Matemática porque nos ayuda a resolver situaciones reales.
Metacognición 1.
¿Es importante en mi vida cotidiana organizar información en tablas de frecuencias y en gráficos estadísticos? 153
Unidad
5
Números, formas y nuestros recursos Nuestro país basa su economía en la explotación, el procesamiento y la exportación de recursos naturales, principalmente mineros, agrícolas y pesqueros. Uno de estos recursos naturales de tipo no renovable es el petróleo. Para la explotación del petróleo se usa maquinaria especializada que funciona tanto en áreas terrestres como marítimas. Parte de esta maquinaria son las cañerías, que son empleadas en ciertas etapas de la explotación del petróleo. Las medidas de la longitud de la cañería y su diámetro se expresan como se muestra en la gráfica. ¿Cómo puedes expresar dichas medidas de forma simplificada? ¿Se puede usar para la cañería de producción un conducto con un diámetro de 4 1/8’’? El proceso de perforación involucra establecer ciertas condiciones para la Conductor Profundidad: 10 a 100 m / Diámetro: 16” a 36” dirección de los tubos de perforación, así como diseñar torres que hagan sostenible Cañería guía Profundidad: 100 a 500 m / Diámetro: 9 5/8” a 20” el proceso de explotación del petróleo. ¿En qué se diferencian las torres de Cañería intermedia ” ” Profundidad: 400 a 5000 m / Diámetro: 5 a 13 3/8 exploración del petróleo? ¿Qué características tienen las bases de las Cañería de producción torres? En la estructura de estas torres, Profundidad: 1000 a 7500 m / Diámetro: 4 1/2” a 9 5/8” los diseños basados en conceptos relacionados con triángulos son importantes; ¿por qué ocurre esto?
60 º
B 45 º
A
E
D
154 154
C
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Codifica condiciones de desigualdad considerando expresiones algebraicas al expresar modelos relacionados a inecuaciones lineales con una incógnita.
Matematiza situaciones •
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
•
Comunica y representa ideas matemáticas •
Elabora y usa estrategias Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
•
Matematiza situaciones •
•
Comunica y representa ideas matemáticas
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
•
•
Elabora y usa estrategias
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
155
Asocia modelos referidos a inecuaciones lineales con situaciones afines. Representa las soluciones de inecuaciones lineales de la forma: x > a o x < a; ax > b o ax < b. Emplea la representación gráfica de una inecuación lineal para obtener su conjunto solución. Emplea estrategias heurísticas al resolver problemas de inecuaciones lineales. Justifica la obtención del conjunto solución de una inecuación lineal. Organiza características y propiedades geométricas en figuras y superficies, y las expresa en un modelo referido a figuras poligonales regulares y compuestas, triángulos y el círculo. Usa modelos, relacionados con figuras poligonales regulares y compuestas, triángulos y círculos para plantear y resolver problemas. Describe las relaciones de paralelismo y perpendicularidad en polígonos regulares y compuestos, y sus propiedades usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas. Emplea procedimientos con dos rectas paralelas y secantes para reconocer características de ángulos en ellas. Calcula el perímetro y área de figuras poligonales regulares y compuestas, triángulos, círculos, componiendo y descomponiendo en otras figuras cuyas medidas son conocidas, con recursos gráficos y otros. Emplea propiedades de los ángulos y líneas notables de un triángulo al resolver un problema. Plantea conjeturas para reconocer las líneas notables, propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo. Justifica enunciados relacionados a ángulos formados por líneas perpendiculares y oblicuas a rectas paralelas.
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
33
Plataformas petrolíferas Una plataforma petrolera es una estructura de grandes dimensiones que sirve para extraer petróleo y gas natural del mar. Las primeras plataformas en las profundidades se asentaban sobre pilotes de madera, pero los moluscos los debilitaban y, debido a los altos costos para tratarlas, se comenzaron a construir sobre pilotes de concreto, posteriormente se las construyeron móviles. La plataforma petrolífera más grande del mundo se construyó en el mar de Ojotsk (Rusia). Bautizada como Berkut , pesa 200 000 toneladas y su construcción ha costado 12 000 millones de dólares.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Cuál es la utilidad más cercana a tu realidad que conoces sobre el petróleo? ¿Conoces algún derivado del petróleo?
¿Sabías que...?
Iniciemos
La mayor cantidad de plataformas petroleras se encuentran en el sector Z-2B frente a las costas de Piura, en tanto que frente a las costas de Tumbes en el sector Z -1 está la menor cantidad, pero estas plataformas son las más modernas.
Responde las siguientes preguntas. •
•
¿Por qué construyeron plataformas móviles?
La temperatura en el mar de Ojotsk varía entre los –28,6 °C y los 15 °C, en promedio, durante el año. Representa qué temperaturas soporta la estructura durante el año.
TIC En la página de URL https:// goo.gl/urFXvs encontrarás un video sobre la instalación de una plataforma petrolera. 156
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto
Después del periodo de exploración una empresa petrolera ha determinado en un sector del mar la existencia de tres pozos petroleros contiguos que serán cubiertos por una plataforma petrolera móvil. La profundidad a la que se encuentra el primero es 110 m; la del segundo es 80 m, y la del tercero es mayor que la del segundo pero menor que la del primero. •
¿Con qué expresión se puede representar a la profundidad desconocida? ___________________________________________________________________________________
•
¿Qué símbolos representan la comparación de la profundidad desconocida y las conocidas? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
•
¿Qué expresión unifica las expresiones de comparación planteadas? ___________________________________________________________________________________
•
2.
De acuerdo con la expresión unificada, ¿cuáles son los valores dentro de los enteros que podría tomar la profundidad desconocida?
Reconozco el principal problema y trazo un plan •
Únete a un compañero y propongan un esquema que represente la situación. Analicen la información e intercambien ideas.
•
Decidan la expresión que representará a la profundidad desconocida.
•
Realicen cada uno el esquema en el espacio disponible.
•
Compara tu esquema con el de tu compañero.
157
3.
Experimento para resolver el problema Escriban los símbolos matemáticos que se usan cuando se hacen comparaciones, con su respectiva lectura.
•
Símbolo matemático
4.
Lectura
Propongo una expresión matemática Escriban las expresiones de comparación de la profundidad desconocida respecto a cada una de las conocidas.
•
Respecto a la primera Respecto a la segunda •
Escriban la expresión de comparación unificada.
•
Deduzcan y escriban por lo menos cinco valores que podría tener la profundidad desconocida.
•
Escriban dos valores que no podrían corresponder a la profundidad desconocida.
158
5.
Valido la solución del problema •
Reemplacen aleatoriamente en la expresión unificada dos valores que podría tener la profundidad desconocida y dos valores que no podrían corresponderle. Expresión unificada con el valor reemplazado
Correcta
Incorrecta
•
Intercambien sus fichas de trabajo con otros compañeros para que determinen las expresiones que son correctas y las incorrectas.
•
Evalúen entre las dos parejas los posibles valores que puede tomar la profundidad desconocida.
Finalicemos Reflexiona •
2.
¿Te ayudó a comprender mejor el problema la elaboración del gráfico esquemático de la situación? ________________________________________
a.
¿Qué otras letras del alfabeto podrías utilizar para representar algo desconocido?
12 > x > 28
¿Para qué utilizas los símbolos > y < ? ________________________________________
Asocio modelos a unas inecuaciones lineales con situaciones afines.
________________________________________
Coevaluación
Lee cada uno de los enunciados; luego exprésalos en términos de una desigualdad.
La profundidad de los pozos petroleros no sobrepasa los 120 m.
b.
En el 2014, la producción diaria de petróleo en el Perú fue treinta veces menor que la producción diaria de 300 000 de barriles de petróleo de Venezuela.
c.
En el año 2014, la producción de petróleo en el Perú varió entre 62 000 y 70 000 barriles.
d.
El peso de un litro de petróleo varía entre 950 g y 750 g.
5 x < 48
e o m y d o o r t n b a s e z e a r r D o o g f o L l s e
é r g o l o L
Aportamos con ideas para encontrar soluciones.
Realiza la siguiente actividad
a.
c.
Expreso desigualdades mediante una inecuación con una incógnita.
________________________________________
1.
b.
Reconozco y expreso desigualdades usando una expresión algebraica.
________________________________________
•
> 50
x
Autoevaluación
________________________________________ •
Formula una situación que represente a cada desigualdad.
Trabajamos en forma autónoma e independiente.
Metacognición •
•
159
¿Me fue difícil codificar condiciones de desigualdad? ¿Soy capaz de explicar a un compañero cómo resolví la situación planteada?
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
34
Perforación de pozos
Taller ma temático 1.
Precio máximo (Problemas de traducción simple) Carlos necesita comprar una escalera para armar la base de una plataforma. Si tres veces el valor de una escalera disminuida en S/ 150 no puede ser más de S/ 1500, ¿cuál es el precio máximo que puede tener la escalera? •
¿Con qué letra representamos el valor de la escalera? ______________________________________________________________
•
¿Qué inecuación modela la situación?
•
Resuelve la inecuación.
•
¿Cuál es el conjunto solución? ¿Por qué? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
•
Representa gráficamente el conjunto solución.
160
2.
Perforación de un pozo (Problemas de traducción compleja)
Durante la perforación de un pozo petrolero, el trépano sufrió una avería porque se chocó con una roca bastante dura. Hasta ese momento se habían usado 2 cilindros metálicos de distinta longitud, uno dentro de otro. La diferencia de altura entre los tubos fue de 2 m. La longitud del último tubo utilizado es de 10 m. ¿Cuál es el valor máximo de distancia medida desde la parte final del último que debió recorrer el trépano para no sufrir la avería? La profundidad de perforación registrada al momento de la avería fue de 20 m. Comprendo el problema •
Únete a un compañero para analizar la información del enunciado del problema e intercambien ideas sobre el esquema que representaría a la situación. Respondan las interrogantes: ¿De qué trata el problema? ¿Qué datos les brinda? ¿Qué les pide el problema? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
Diseño una estrategia •
Realicen el esquema en el espacio disponible; no olviden colocar los datos y la incógnita.
Aplico la estrategia •
La expresión que representa a la profundidad total que debería recorrer el trépano para no averiarse.
•
La expresión algebraica que se debe plantear para cumplir con la condición de distancia máxima.
161
•
Júntense en parejas, socialicen la situación problema e identifiquen la expresión para la solución.
•
Escriban la expresión acordada.
•
Resuelvan en equipo la expresión algebraica planteada; escriban paso a paso el proceso.
•
Representen gráficamente la solución que obtuvieron.
Transfiero lo aprendido •
Reemplacen en la expresión algebraica el o los valores numéricos de la solución; verifiquen que la expresión algebraica sea verdadera.
•
Reemplacen en la expresión algebraica con un valor que no sea solución y verifiquen la falsedad de la expresión algebraica.
162
3.
Importación de piezas (Situaciones problemáticas realistas) Una plataforma petrolera importa algunas cajas para utilizar en su trabajo, y cuando las traen, el volumen de estas no puede superar los 1250 cm3. Si las medidas del alto y ancho de una caja son 15 cm y 25 cm respectivamente, ¿cuál es el valor máximo permitido de su profundidad?
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades se presentaron durante la elaboración del esquema de la situación?
Empleo la representación gráfica de una inecuación lineal para obtener su conjunto solución.
________________________________________ ________________________________________ •
¿Contribuyó la elaboración del esquema a dar solución al problema?
Empleo estrategias heurísticas al resolver problemas de inecuaciones lineales.
________________________________________
Justifico la obtención del conjunto solución de una inecuación lineal.
________________________________________ •
¿Las palabras “máxima” y “distancia” te orientaron a plantear una ecuación o una inecuación?
Coevaluación
________________________________________
Intercambiamos ideas para elaborar un esquema.
________________________________________
Respetamos las ideas de nuestros compañeros.
Realiza la siguiente actividad Belén requiere una repisa. La tabla muestra la cantidad de libros y su peso. Si la repisa que compra soporta un peso de 8 kg, ¿cuál debería ser el peso máximo del adorno que desea colocar? Si el adorno pesa 1 kg, ¿hay peligro de que la repisa se desprenda de la pared? ¿Y si el peso es de 2,2 kg? N.� libros
Peso por libro
5
1/2 kg
2
1 kg
4
3/5 kg
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Metacognición •
•
•
163
¿Qué estrategia me permitió resolver el problema? ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí? ¿Logré socializar mis aprendizajes con mis compañeros?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
35
Geometría al nivel del mar Las plataformas petrolíferas también sirven como vivienda de los trabajadores que operan en ella y como torre de telecomunicaciones; por eso, muchas requieren de un helipuerto. Dependiendo de las circunstancias, la plataforma puede estar fija en el fondo del océano, flotar o ser una isla artificial. Este tipo de plataformas puede moverse de un lugar a otro y subir o bajar de nivel; en estos casos se altera el contenido de los tanques de flotación. Por esta razón, se las llama plataformas semisumergibles y se las usa para profundidades comprendidas entre 60 m y 3000 m.
Cuenta tu experiencia •
¿Qué clase de combustible es el más utilizado en tu hogar?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
Representa los límites de profundidad en los que se puede i nstalar una plataforma petrolífera semisumergible.
¿Sabías que...? El petróleo líquido puede presentarse asociado a capas de gas natural en yacimientos que han estado enterrados durante millones de años, cubiertos por los estratos superiores de la corteza terrestre.
•
•
Si se tiene indicios de que existen pozos petroleros a 3800 m de profundidad, ¿es recomendable usar una plataforma semisumergible? Explica.
¿Qué polígono es el que se reconoce en la plataforma para aterrizaje de helicópteros?
164
Resolvamos: Modelo de Van Hiele En el diseño de una plataforma petrolera intervienen los arquitectos navales, quienes proyectan la forma y el diseño que ha de tener una plataforma petrolera de acuerdo con las necesidades expuestas por los ingenieros. La fotografía muestra una plataforma terminada sobre la base del trabajo de arquitectos navales e ingenieros. 1.
Respondo interrogantes •
2.
Observa detenidamente la estructura de la plataforma en la fotografía; luego forma con tus compañeros(as) equipos de trabajo y contesten las siguientes preguntas. –
¿Encuentran objetos que representan figuras poligonales en el esquema y la fotografía de la plataforma?
–
Si encontraron figuras poligonales, ¿cómo las clasificarían?
–
¿Qué tomaron en cuenta para realizar esa clasificación?
–
¿Qué otra figura geométrica se puede apreciar en el gráfico?
Realizo actividades organizadas •
Escribe tres objetos que representen las figuras poligonales propuestas. Figura geométrica
Objeto
Figuras poligonales regulares
Figuras poligonales compuestas
165
3.
Explico lo realizado Selecciona un objeto escogido por cada figura solicitada y explica frente a tus compañeros el porqué de tu elección. •
4.
Contesta las siguientes interrogantes: –
¿Por qué los tubos anchos no representan una forma poligonal regular?
–
¿Las poleas que se encuentran en el extremo de la grúa mecánica representan una figura poligonal? Explica.
Propongo un diseño creativo •
Organicen parejas de trabajo.
•
Dibujen el contorno de la figura poligonal que representa la superficie ocupada por la vista de la plataforma de aterrizaje.
•
Descompongan en otras formas poligonales la figura poligonal obtenida.
166
5.
Organizo mis ideas •
Completa la siguiente información. Son aquellas que
Por ejemplo:
Figuras poligonales regulares
Son aquellas que
Por ejemplo:
pueden ser descompuestas en otras figuras poligonales
Finalicemos Reflexiona •
¿Qué dificultad encontraste al dibujar el contorno de las dependencias de la plataforma?
Autoevaluación
________________________________________
Diferencio características y propiedades de figuras poligonales regulares y compuestas.
¿Qué tipo de figuras poligonales encuentras en tu comunidad?
Identifico figuras poligonales regulares y compuestas al resolver problemas.
________________________________________
•
________________________________________
Uso modelos relacionados con figuras poligonales regulares y compuestas para plantear o resolver problemas.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
¿De qué manera están relacionadas las figuras poligonales compuestas con las figuras poligonales regulares?
Coevaluación Usamos el lenguaje apropiado para explicar criterios de clasificación.
________________________________________ ________________________________________
Compartimos ideas para reproducir esquemas.
Realiza la siguiente actividad Imagina que eres un arquitecto de interiores y debes diseñar una mesa de estudio para 6 estudiantes. Dibuja dos propuestas para este sitio de estudio, incluye las sillas representadas como cuadrados. En la cubierta de la mesa dibuja un papel tapiz donde se miren seis triángulos pintados de distinto color.
Metacognición •
•
167
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
36
Triángulos y círculos a nuestro alrededor
Taller ma temático 1. A. La
noria (Problemas de traducción simple)
A la orilla de un río se encuentra una noria gigante. Fíjate en el dibujo y en el diagrama que se muestran a continuación. R
S
Q
M
150 m
P Plataforma de acceso Cauce del río •
10 m
La noria tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más alto se encuentra a 150 metros sobre el cauce del río. Da vueltas en el sentido indicado por las flechas.
Pregunta 1 •
La letra M del gráfico señala el centro de la noria. ¿A cuántos metros (m) sobre el cauce del río se encuentra el punto M?
Pregunta 2 •
La noria da vueltas a una velocidad constante. Tarda exactamente 40 minutos en dar una vuelta completa. Juan inicia su viaje en la noria en el punto de acceso P. ¿Dónde estará Juan después de media hora? A.
En R
B.
Entre R y S
C.
En S
D.
Entre S y P
Liberado de http://www.mecd.gob.es/inee 168
B.
Ángulo de inclinación En el momento de presentar los planos para la creación de nuevas torres de perforación se tiene en cuenta el ángulo de inclinación de esta, como se muestra en la siguiente figura:
A
En un instante dado se quiere determinar la medida de los ángulos internos del triángulo ( ABC ); sin embargo, solo se sabe que el ángulo de inclinación de la torre mide 120°, y que entre el tubo de extracción y uno de los lados de la torre, hay un ángulo de 20°. ¿Cuánto miden los ángulos internos del triángulo si AD es bisectriz del ángulo CAB?
120º
C
B D Tubo de extracción
Comprendo el problema •
¿Cómo está relacionada la medida del ángulo interno adyacente al ángulo de inclinación de la torre? ___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo está relacionada la medida del ángulo de inclinación con los otros dos ángulos internos del triángulo? ___________________________________________________________________________________
•
¿Se puede determinar la medida del ángulo superior de la torre? ¿Cómo? ___________________________________________________________________________________
Diseño una estrategia
En el siguiente dibujo nombra los tres ángulos internos del triángulo que representa la torre de extracción de petróleo. Presenta una expresión matemática que permita relacionar la medida del ángulo de inclinación de la torre con la medida del ángulo adyacente a él.
A
________________________________
120º
C
Presenta una expresión matemática que relacione la suma de las medidas de los ángulos.
B D
________________________________
Tubo de extracción
169
Diseño una estrategia
Determina los valores de cada una de las medidas de los ángulos internos usando las expresiones algebraicas.
Transfiero lo aprendido A
¿Cuál es la medida del ángulo x ?
120º x
C
B D
Tubo de extracción
3.
Triángulos en ventana (Situaciones problemáticas realistas) La torre de extracción tendrá forma piramidal de base triangular. Esta se va armando por pisos y cada corte transversal es un triángulo equilátero, variando de tamaño, como se muestra en la siguiente figura:
B C
A
Carlos dice que los triángulos ordenados de menor a mayor perímetro son C, B y A. Agustina dice que los triángulos ordenados de menor a mayor área son C, B y A. Sofía dice que los triángulos ordenados de menor a mayor de acuerdo con la suma de los ángulos interiores son C, B y A. •
¿Cómo varían los ángulos a medida que estos cambian de piso? Justifica. ___________________________________________________________________________________
•
¿Cuánto miden los ángulos externos de estos triángulos? ¿Por qué?
170
•
Grafica un triángulo. Señala sus elementos y líneas notables escribiendo sus nombres resp ectivos. Escribe las fórmulas para determinar su área. Trabaja con un(a) compañero(a). Líneas características
Ángulos
Área
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Encontraste dificultades para determinar medidas internas de un triángulo? Explica.
Organizo características y propiedades geométricas en figuras y superficies.
________________________________________
Identifico y resuelvo problemas de triángulos.
________________________________________ •
•
¿Podemos generalizar que todo triángulo isósceles tiene dos ángulos externos congruentes? ¿Por qué? ________________________________________
Uso modelos relacionados con triángulos al plantear o resolver problemas.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Respetamos las opiniones y decisiones de los demás.
Menciona otras propiedades de los ángulos de un triángulo.
Participamos de manera asertiva en las decisiones que se toman en el equipo de trabajo.
________________________________________ ________________________________________
Mostramos oportunamente nuestros hallazgos y dudas en el equipo de trabajo.
Realiza la siguiente actividad 1.
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
Trabajamos con mayor agilidad cuando resolvemos problemas.
Imagina que en el proceso de clasificación de triángulos encuentras que un ángulo externo que analizas es agudo. ¿Tienes que analizar la amplitud de otro ángulo o ya puedes decidir qué clase de triángulo es? Explica tu respuesta.
Metacognición
________________________________________ ________________________________________
171
•
¿Que aprendí en esta unidad?
•
¿Por qué es importante lo que aprendí?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha 37
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué otras estructuras conoces que deben ser instaladas formando ángulos distintos de 90° con la superficie?
Perforación de un pozo En el proceso de perforación de un pozo se corre el riesgo de encontrar algún estrato que no puede ser atravesado por el trépano. En esas circunstancias se planifica una perforación direccionada, para lo cual los ingenieros constructores han diseñado sistemas apropiados que permiten direccionar la sarta. La imagen muestra dos formas diferentes de direccionar la sarta, una manteniendo la torre de perforación en posición vertical y la otra inclinando a la torre. Según estas direcciones al perforar, se pueden clasificar distintos tipos de pozos: pozo vertical, donde la desviación es menor de 2°; pozo desviado, en el cual la desviación varía de 1° a 5° por cada 30 metros, y el pozo horizontal, que cuenta con más de 80° de desviación.
¿Qué estrategias o instrumentos crees que utilizan los especialistas en perforación para calcular los ángulos en estos casos?
45º
Impedimento natural A (estrato)
60º B
C
Recuerda Rectas perpendiculares
Iniciemos
Rectas paralelas Rectas secantes oblicuas
Responde las siguientes preguntas. •
Si consideramos que el límite superior del estrato es paralelo a la superficie, ¿cómo son los ángulos que forman estos con el tubo de perforación?
¿Sabías que...? •
Los ingenieros y arquitectos navales constructores no solo se preocupan de diseñar sistemas para superar los inconvenientes al momento de extraer el petróleo; también es parte de su trabajo velar por la seguridad de quienes trabajan en las plataformas.
•
¿Cuál es la medida del mayor ángulo formado por las direcciones del tubo de perforación en el segundo caso?
172
Resolvamos: Modelo de Van Hiele Los ingenieros constructores de plataformas petroleras han visto la necesidad de construir un muro protector para ser colocado en la pared que divide a la zona donde se manipula el petróleo y la dependencia donde habitan las personas que operan en las plataformas, pues en el área de trabajo se pueden producir explosiones. Con la presencia de este muro que estará cubierto de un material no inflamable se reduciría el número de víctimas humanas en caso de un accidente de ese tipo. Diseña una propuesta de muro; para ello, considera que será de forma rectangular y que necesitará una estructura metálica de gran estabilidad.
1.
Respondo interrogantes •
¿Con qué figura poligonal se representará al muro? ___________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es la figura poligonal que da mayor estabilidad a las estructuras? ___________________________________________________________________________________
173
2.
Realizo actividades organizadas •
Dibuja en el espacio en blanco un rectángulo (en representación del muro protector de una plataforma) donde la longitud de la base, medida en cm, sea el doble de la longitud de la altura.
•
Traza líneas paralelas a la base; considera una distancia de 1 cm.
•
Traza líneas paralelas a la altura; también a una distancia de 1 cm.
•
•
Dentro de cada una de las figuras poligonales que obtuviste, traza una de sus diagonales; sigue la misma dirección para todas las diagonales.
Contesta: –
¿Qué figura poligonal obtuviste después de trazar las rectas paralelas solicitadas? ________________________________________________________________________________
–
¿Qué sucedió con las diagonales? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
–
¿Qué figuras poligonales obtuviste una vez trazadas las diagonales? ________________________________________________________________________________
3.
Explico lo realizado •
Únete a un compañero, muéstrale tu diseño y explícale cómo fuiste cumpliendo paso a paso lo solicitado. Describe cada una de las figuras poligonales y la relación de paralelismo y perpendicularidad. ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
4.
Propongo un diseño creativo •
•
•
•
En el diseño de uno de los integrantes de la pareja identifiquen un par de rectas paralelas y un par de rectas perpendiculares; utilicen la simbología adecuada. En el diseño del otro integrante, seleccionen una recta secante a las bases del rectángulo. Identifiquen usando la simbología adecuada un par de ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes. Realiza en tu diseño los trazos necesarios para que el muro tenga aún más estabilidad. Socialicen sus diseños. Si no coinciden sus soluciones, seleccionen la que consideren que proporciona mayor estabilidad.
174
5.
Organizo mis ideas •
Realiza en las siguientes figuras poligonales lo propuesto: –
Traza una recta paralela a uno de sus lados.
–
Traza una recta secante oblicua a las dos paralelas obtenidas.
–
Identifica con la simbología adecuada los ángulos formados en el arreglo paralelas-secante de la segunda figura poligonal.
–
Escribe los pares de ángulos alternos internos, alternos externos, correspondientes, conjugados, opuestos por el vértice y suplementarios que se forman en el arreglo.
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultad encontraste al seguir las instrucciones para conseguir el diseño del muro protector?
Describo las relaciones de paralelismo y perpendicularidad en polígonos regulares y compuestos.
________________________________________ •
¿Cuántas diagonales fue posible trazar en un cuadrado?
Expreso propiedades de polígonos regulares y compuestos en relación al paralelismo y perpendicularidad.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D o o g f o L l s e
¿Cuál es la medida de los ángulos alternos internos en el diseño del muro de la plataforma?
Reconozco características de los ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante.
________________________________________
Coevaluación Realiza la siguiente actividad 1.
Tuvimos igual participación en la elaboración del arreglo paralelassecante.
El gráfico muestra la disposición de dos pinturas en una pared al frente de la cual se encuentra un arreglo de dos lámparas empotrado al mismo nivel en otra pared. La luz de las lámparas puede ser direccionada en forma independiente. Las líneas oblicuas indican la dirección de los haces que alumbrarían a las pinturas. ¿Cuáles son los valores de los ángulos θ y α que se forman al inclinarse las lámparas para conseguir dicho efecto? 145º
Respetamos el punto de vista de los integrantes del equipo.
Metacognición •
•
50º •
θ
α
175
¿Qué aprendí en esta actividad? ¿En qué situaciones de mi vida puedo aplicar el tema aprendido? ¿Qué pasos sigo al trazar la diagonal de un polígono?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
38
Dividiendo figuras
Taller ma temático 1. A. Garaje (Problemas de traducción simple)
La gama básica de un fabricante de garajes incluye modelos de una sola ventana y una sola puerta. Jorge elige el siguiente modelo de la gama básica. A continuación se muestra la posición de la ventana y de la puerta. Pregunta 1
Las siguientes ilustraciones muestran distintos modelos básicos vistos desde la parte posterior. Solo una de las ilustraciones se corresponde con el modelo anterior elegido por Jorge. •
¿Qué modelo eligió Jorge? Rodea con un círculo la respuesta correcta. A.
C.
B.
D.
Pregunta 2
Los dos planos siguientes muestran las dimensiones, en metros, del garaje elegido por Jorge. El tejado está formado por dos secciones rectangulares idénticas. •
Calcula el área total del tejado. Escribe tus cálculos. 2,50 1,00
1,00
2,40
2,40
0,50 1,00
2,00
6,00
1,00 0,50
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee 176
B.
O
Compra de terreno Andrés compró un terreno y necesita conocer su área. ¿Cómo la calcula?
3m
N 4,23 m
3m
P
M
2,82 m 3m
Q 1,41 m •
Divide el terreno en figuras más simples.
7m
K O
3m
L N 4,23 m
3m
P
M
2,82 m 3m
Q 1,41 m 7m
K •
2.
L
Calcula el área de cada figura y luego súmalas para obtener el área total.
Área figura 1
Área figura 2
Área figura 3
Área figura 4
Área figura 5
Área total
Derramamiento de petróleo (Problemas de traducción compleja) Desde el helicóptero de una compañía petrolera se observa la forma que ha tomado el petróleo que fue derramado en forma accidental en una zona del mar. ¿Cuál es el área aproximada del derrame? 1,2 km 0,25 km 0,3 km
0,8 km 0,2 km 0,6 km
177
•
Responde.
– – – – –
¿La forma que ha tomado el petróleo en la superficie del mar es poligonal? _____________________ ¿Es posible aproximar la forma del derrame a una sola figura poligonal regular? __________________ ¿Es posible aproximar la forma del derrame a una figura poligonal compuesta? __________________ ¿Cuántos lados puede tener la figura poligonal formada? ___________________________________ ¿Qué nombre tendría el polígono formado? _____________________________________________
•
Realiza un bosquejo de forma poligonal del derrame del petróleo y divide en figuras más simples.
•
Calcula el área de cada figura.
Área figura 1
Área figura 2
Área figura 3
•
Calcula el área total. Expresa la respuesta usando el símbolo de aproximación; recuerda que no es el valor exacto.
178
3.
Derrame terrestre (Situaciones problemáticas realistas) •
En un sector terrestre se ha producido un derrame como muestra la figura. Calcula el área afectada.
Sector terrestre 1,8 km 1 km Zona del derrame
1,5 km
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultad encontraste para aproximar la forma irregular a una forma poligonal compuesta?
Calculo el perímetro de figuras poligonales regulares y compuestas.
________________________________________ ________________________________________ •
Hallo el área de figuras compuestas mediante descomposición en otras figuras.
¿Por qué es conveniente descomponer una figura poligonal en otras conocidas? ________________________________________
•
________________________________________
Determino el área de triángulos y círculos al resolver problemas.
¿En qué casos sumas áreas? ¿Y en qué casos las restas?
Coevaluación
________________________________________
Reflexionamos y discutimos posibles soluciones.
________________________________________
Realiza la siguiente actividad 1.
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Compartimos recursos en el desarrollo de la actividad.
Eloísa construye un árbol de Navidad con cilindros de cartón cuyo radio es de 5 cm y los ubica como muestra la figura. Si quiere colocar un pedazo de cartón en la parte de atrás para sostener los cilindros. ¿Qué área debe tener el cartón y cuánto medirá su perímetro?
Metacognición •
•
________________________________________ 179
¿Qué pasos sigo para dividir figuras compuestas en triángulos y rectángulos? ¿En qué momento de mi vida puedo utilizar esta estrategia?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha 39
Antenas que comunican La comunicación entre plataformas e instalaciones en tierra es vital para la seguridad y la información. Para los ingenieros en telecomunicaciones, realizar una instalación de esta naturaleza en una plataforma es un verdadero desafío. Generalmente se utilizan dos tipos de antenas. Las que se encuentran en la instalación en tierra suelen ser parabólicas, en tanto que las que se ubican en las plataformas son omnidireccionales, y cada una de ellas maneja un tipo de cobertura. 10 dBi dBi
trasero
1 Lóbulo principal
Lóbulo del lado
Cuenta tu experiencia •
Comenta con tus compañeros sobre los lugares donde has visto este tipo de antenas.
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
Establece diferencias entre la estructura de una antena parabólica y una omnidireccional.
Establece diferencias entre los espacios cubiertos por las antenas parabólicas y por las omnidireccionales.
¿Qué antena crees que utilizan las operadoras de telefonía móvil?
180
Resolvamos: Modelo de Van Hiele
Una empresa petrolera ha descubierto algunos pozos en una zona como muestra la figura. La empresa va a instalar una plataforma fija con una antena que le permita estar comunicada con el buque petrolero que se moviliza a los pozos más alejados. ¿Qué ubicación deben aconsejar los ingenieros tanto para realizar la explotación como para mantener una buena comunicación? Pozo
1.
Respondo interrogantes •
¿Cuántos pozos petroleros están alejados? __________________________________________________
•
¿Qué figura geométrica se obtiene al unir los puntos que representan a los pozos más alejados?
•
•
2.
¿Qué figura geométrica representa el área de cobertura de una antena omnidireccional? ___________________________________________________________________________________ ¿Qué punto notable inscribe a un triángulo? ________________________________________________
Realizo actividades organizadas • •
•
3.
___________________________________________________________________________________
Une los puntos que representan a los pozos periféricos y traza las mediatrices del triángulo que se forma. Traza el círculo que es posible construir con base en el punto notable obtenido.
Responde: ¿Quedan los tres pozos petroleros dentro del área de cobertura de la antena omnidireccional? ___________________________________________________________________________________
Explico lo realizado •
Únete con un compañero para contestar las interrogantes.
•
Realicen el gráfico de las actividades anteriores. Expliquen las características de los puntos y las líneas.
•
Comparen sus gráficos y las respuestas con otra pareja. Escriban sus conclusiones.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 181
4.
Propongo un diseño creativo En las instalaciones de explotación y producción del petróleo, también es necesario instalar un sistema de comunicación. Las antenas son colocadas en torres de alturas considerables. La imagen muestra la distribución de algunos pozos petroleros. Ayuda a los ingenieros en telecomunicaciones a ubicar dónde se debe instalar la torre que contendrá a la antena omnidireccional.
•
5.
Compara los trazos que realizaste con los de otro compañero.
Organizo mis ideas •
Traza en cada espacio el triángulo indicado con las líneas notables señaladas. En cada uno identifica el respectivo punto notable.
•
Traza los círculos inscrito y circunscrito en donde sea posible.
•
Completa el siguiente cuadro.
Escaleno
Isósceles
Equilátero
Obtusángulo
Medianas
Alturas
Bisectrices
Mediatrices
182
Punto notable
Característica
Equidista de los tres vértices de un triángulo.
Baricentro Ortocentro en un triángulo obtusángulo
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
Si la empresa petrolera que explota en el mar encuentra dos pozos petroleros debajo del pozo petrolero superior alejado, ¿los ingenieros tendrían que reubicar a la plataforma? ¿Por qué?
e o m y d o o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
é r g o l o L
Empleo propiedades de los ángulos y líneas notables de un triángulo al resolver un problema.
________________________________________ Realizo supuestos para reconocer las líneas notables, propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo.
________________________________________ •
¿Dónde debería estar un pozo petrolero en las instalaciones de tierra para que no goce de la cobertura de la antena?
Coevaluación
________________________________________
•
________________________________________
Aportamos con ideas para estructurar una respuesta.
¿Qué pasaría si en las instalaciones de tierra los ingenieros decidieran reemplazar a la antena omnidireccional por una parabólica?
Consensuamos respuestas con la respectiva justificación.
________________________________________
Respetamos el razonamiento de cada integrante.
________________________________________
Desistimos cortésmente de nuestras ideas apegadas a razonamientos lógicos.
Realiza la siguiente actividad 1.
Adriana va a construir una artesanía colgante sobre la base de triángulos que serán ubicados como muestra la figura. ¿Cuál es el punto notable que Adriana debe ubicar para colocar el cordón y mantener el equilibrio? Realiza el trazo que Adriana debe ejecutar.
Metacognición •
•
183
¿Para qué situación cotidiana me sirve conocer las líneas notables del triángulo? ¿En qué otro conocimiento me aporta este tema?
Forma, movimiento y localización
Ficha
40
Rectas en oleoductos El transporte del petróleo se hace a través de oleoductos, formados por tuberías de dimensiones considerables, que atraviesan grandes extensiones de territorio. El oleoducto Norperuano se extiende desde Bayóvar hasta San José de Saramuro, y el oleoducto Ramal Norte va desde la estación Andoas hasta la estación 5. COLOMBIA ECUADOR
ECUADOR
ANDOAS
Ramal Norte 252 Km
TUMBES
LORETO
ESTACIÓN 5 San José de Saramuro
PIURA
AMAZONAS
BAYOYAR
LAMBAYEQUE
ANDOAS
Ramal Norte 252 Km
TUMBES
Tramo II 548 Km.
PIURA
AMAZONAS Tramo II 548 Km.
BAYOYAR
Tramo I 305 Km.
SAN MARTÍN CAJAMARCA LA LIBERTAD
LORETO
ESTACIÓN 5 San José de Saramuro
LAMBAYEQUE
Tramo I 305 Km.
SAN MARTÍN CAJAMARCA
BRASIL
LA LIBERTAD ÁNCASH
HUÁNUCO
UCAYALI
PASCO LIMA
Cuenta tu experiencia •
JUNÍN
MADRE DE DIOS
CALLAO HUANCAVELICA
CUSCO APURÍMAC ICA AYACUCHO
OCÉANO PACÍFICO
¿Qué conoces sobre los oleoductos?
A I V I L O Lago B
PUNO AREQUIPA
Titicaca
MOQUEGUA 0
100
300 Km.
TACNA CHILE
.
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
•
Escribe el valor estimado del ángulo comprendido entre el oleoducto Norperuano y el Ramal Norte.
En la disposición de los tubos transportadores del crudo, mostrados en la imagen, ¿puedes identificar al menos dos pares de líneas paralelas? _______________________________________________________ _______________________________________________________
•
Si el oleoducto Ramal Norte entró en operaciones en el año 1978, ¿cuántos años han pasado hasta el momento?
184
Resolvamos: Modelo de Van Hiele Guiados por el sentimiento de hermandad entre los pueblos latinoamericanos y velando por los intereses nacionales, las autoridades peruanas alquilarán a los ecuatorianos el oleoducto Norperuano para que ellos transporten su petróleo desde el sur de su Amazonía. Para ello, construirán un ducto. Los ingenieros encargados de la obra han visto en un tramo la necesidad de colocar codos como muestra la figura. Ayuda a los ingenieros a determinar el valor del ángulo que tendrá el segundo de los codos. Fuente: infraestructuraperuana.blogspot.com.co/2009/06/oleoducto-nor-peruano.html
Zona de explotación ecuatoriana Ducto
120º α
Oleoducto Norperuano
110º
1.
Respondo interrogantes •
¿Qué tipos de líneas observas en el gráfico de la zona de explotación ecuatoriana y el oleoducto San José de Saramuro?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Puedes obtener arreglos de líneas paralelas cortadas por una transversal?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué tipo de ángulos observas en la figura? ___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué representa α?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Cuántas paralelas a la recta representada por el oleoducto Norperuano puedes hacer?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 185
2.
Realizo actividades organizadas •
En el espacio en blanco ejecuta las siguientes actividades: – –
3.
Prolonga la recta que representa el tramo inicial del ducto.
–
Traza las dos rectas oblicuas.
–
Transcribe los valores de ángulos indicados.
–
Traza una línea paralela al tramo inicial del ducto que pase por el vértice del ángulo desconocido.
–
Designa con θ y β a los dos ángulos que se formaron al trazar una paralela a las dos anteriores.
–
Comprueba con el transportador la medida del ángulo β y súmalo con 110º. Escribe la suma. Comprueba con el ángulo θ y 120º.
–
Propón una ecuación para determinar θ y β.
Explico lo realizado • •
4.
Traza las rectas que representan el tramo inicial del ducto y el oleoducto Norperuano.
Únete con dos compañeros y comparen los arreglos que obtuvieron. Elaboren en una hoja aparte los arreglos obtenidos después de realizar correcciones y consensuar. Expongan en clase.
Propongo un diseño creativo •
Júntate con un compañero.
•
Encuentren el valor de los ángulos desconocidos.
3 x 56º
5 x
186
5.
Organizo mis ideas •
Realiza las siguientes actividades sobre la base de las rectas graficadas.
•
Agrega la construcción necesaria para obtener un arreglo de rectas paralelas cortadas por una secante.
•
Identifica con θ a uno de los ángulos agudos y con ω a uno de los ángulos obtusos.
•
Determina los valores correspondientes a los otros ángulos de acuerdo con el tipo de ángulo que es cada uno con respecto a θ y ω.
•
Forma un equipo de 3 integrantes.
•
Explica a tus compañeros por qué determinaste estos valores a cada ángulo.
Finalicemos Finalicemos Reflexiona •
¿En qué otras situaciones de la vida aplicamos arreglos de rectas paralelas?
150º
________________________________________ ________________________________________ •
β
¿Por qué a pesar de que los ángulos conjugados suman 180°, no se les identifica como suplementarios?
Autoevaluación
________________________________________ ________________________________________ •
Justifico enunciados relacionados con ángulos formados por líneas perpendiculares y oblicuas a rectas paralelas.
¿En qué figuras poligonales puedes obtener arreglos de rectas paralelas cortadas por una secante sin necesidad de trazar rectas paralelas a uno de los lados, solo trazando la recta transversal?
Coevaluación
________________________________________
Argumentamos oportunamente y adecuadamente las justificaciones solicitadas.
________________________________________
Realiza la siguiente actividad 1.
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D o o g f o L l s e
Respetamos los puntos de vista.
Un estudiante está elaborando una maqueta de su institución, y junto a la cancha de básquet debe representar una zona cubierta de césped; para ello, necesita recortar un pedazo de papel con cierta inclinación. Ayuda a este estudiante a determinar el valor del ángulo de inclinación sin usar el transportador.
Metacognición •
•
187
¿Qué aprendizaje fue más significativo en esta ficha? ¿En qué situación cotidiana puedo aplicar lo aprendido?
é r g o l o L
Evaluación Producción del petróleo
Inyección de gas Pozos de inyección de gas
Después de que un pozo ha sido perforado, se procede a su producción. Si la presión es suficiente, el pozo producirá petróleo sin necesidad de ayuda; pero, si no, se emplearán métodos artificiales de bombeo. La producción de petróleo a través de la energía varía entre el 15 y el 35 % de la producción total del pozo. En el siguiente gráfico se muestra un sistema de recuperación secundaria constituido por pozos de inyección de gas. Gas
Petróleo
Agua
Resuelve.
1. Expresa como una desigualdad el porcentaje de
a. ¿Cuál es el valor del ángulo de inclinación de la
producción obtenido a través de la producción primaria.
sarta? Justifica tu respuesta. ________________________________________
________________________________________
________________________________________
2. Después de los estudios realizados, los ingenieros diseñadores del sistema han llegado a obtener la expresión 33 cm ≤ 3/5 x ≤ 42 cm para calcular el valor del diámetro de la tubería del pozo de inyección. Si se dispone de dos tipos de tubería, una de 24 pulgadas y otra de 36 pulgadas, y cada pulgada equivale a 2,54 cm, ¿cuál es la tubería que deben seleccionar?
b. ¿Cuál es el valor del área vertical de la zona de
difícil perforación? ________________________________________ ________________________________________ 5. Dibuja un triángulo escaleno y grafica en él las
________________________________________ 3. Reconoce y señala en la imagen dos pares de líneas
paralelas y dos pares de líneas perpendiculares. Contesta.
4. Uno de los pozos de inyección no puede ser cons-
truido en forma vertical por la naturaleza del terreno, por lo que los constructores deben colocar la sarta con un ángulo de inclinación. La información con la que cuentan es la mostrada en el gráfico. 120 m
superficie
20 m
pozos de inyección 62º Petróleo
109,4 m 188
alturas, medianas, mediatrices y bisectrices con diferentes colores. Identifica los puntos notables.
6. El petróleo que ha sido extraído se almacena en grandes tanques cilíndricos; las dimensiones de estos tanques
suelen ser de 12 metros de diámetro y 10 metros de altura. Contesta. a. ¿Cuál es el área ocupada por cien tanques de almacenamiento uno al lado del otro? _________________ b. ¿Qué cantidad de material se usó para la construcción de los cien tanques de almacenamiento? ______________________________________________________________________________________ Producto
7. Realiza una presentación en PowerPoint sobre las líneas y puntos notables del triángulo.
Autoevaluación Indicadores
Siempre
A veces
Pocas veces
Siempre
A veces
Pocas veces
Codifico condiciones de desigualdad considerando expresiones algebraicas relacionadas con inecuaciones lineales con una incógnita y justifico el conjunto solución. Empleo estrategias heurísticas al resolver problemas. Describo las relaciones de paralelismo y perpendicularidad en polígonos regulares. Uso modelos relacionados con figuras poligonales regulares y compuestas para plantear o resolver problemas. Planteo conjeturas para reconocer las líneas notables, propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo. Justifico enunciados relacionados con ángulos formados por líneas perpendiculares y oblicuas a rectas paralelas. Calculo el perímetro y área de figuras poligonales regulares y compuestas.
Coevaluación Indicadores
Tomamos decisiones cuando trabajamos en equipo y asumimos una postura crítica. Escuchamos con atención los procesos seguidos para realizar las debidas correcciones a nuestros compañeros.
Metacognición 1. ¿Cuál de las fichas de esta unidad me puede servir como estrategia para situaciones cotidianas?
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 189
Unidad
6
Nuestra casa: la Tierra
Vivimos en un mundo maravilloso donde tenemos todo para una vida plena: los bosques nos proporcionan aire limpio y puro para respirar; de los ríos obtenemos el agua indispensable para todo ser viviente; también nos beneficiamos del sol, la lluvia y el viento. Sin embargo, el incremento del dióxido de carbono (CO2) provocado por las grandes industrias hace que la capa de ozono se esté deteriorando vertiginosamente y se produzca el deshielo en los polos. Lo que no está muy difundido es que este CO2 es también producto de la actividad volcánica en la Tierra. Observando la gráfica podemos responder las preguntas. ) v 400 m p p ( o n o 380 b r a c e d o 360 d i x ó i d e d n 340 ó i c a r t n e c 320 n o C
¿Es posible deducir el valor de la concentración de dióxido de carbono en 1975, 1995 y 2015? ¿Es posible, a partir de la gráfica, deducir de cuánto será la concentración de CO2 en el 2020 y 2040? ¿Qué expresión general permitirá saber la concentración de CO2 para cualquier año desde 1965 al 2015?
Incremento de CO2 desde el 1965 hasta el 2015 Dióxido de carbono atmosférico medido en Mauna Loa, Hawaii
Parte de la naturaleza que integra el paisaje de nuestro país son los volcanes, los cuales se asocian a sólidos geométricos por su forma. Algunos de estos volcanes están activos, como el Ubinas, el Tutupaca, el Misti, el Huaynaputina, el Yucamane, el Ticsani y el Sabancaya, entre otros.
Ciclo anual
Ene Abr Jul Oct Ene 1960 1965
1970 1975
1980 1985
1990 1995
2000 2005
2010
Dichos volcanes activos pertenecen a la Zona Volcánica Central (ZVC) de los Andes y expresan ciertas características geométricas que son importantes para conocer los lugares que podrían verse afectados por una eventual activación. ¿Qué características geométricas tienen los volcanes?
Norte Norte
154 190
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones •
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Comunica y representa ideas matemáticas •
•
Elabora y usa estrategias
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
Matematiza situaciones
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Comunica y representa ideas matemáticas
•
•
Elabora y usa estrategias
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
191
Identifica relaciones no explícitas en condiciones de igualdad al expresar modelos relacionados a ecuaciones lineales con una incógnita. Selecciona y usa modelos referidos a ecuaciones lineales al plantear y resolver problemas. Describe una ecuación lineal reconociendo y relacionando los miembros, términos, incógnitas y su solución. Representa operaciones de polinomios de primer grado con material concreto. Emplea operaciones con polinomios y transformaciones de equivalencia al resolver problemas de ecuaciones lineales. Prueba las propiedades aditivas y multiplicativas subyacentes en las transformaciones de equivalencia. Plantea conjeturas a partir del reconocimiento de pares ordenados que sean solución de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema. Describe el desarrollo de conos considerando sus elementos. Describe el desarrollo de prismas, considerando sus elementos. Describe el desarrollo de pirámides considerando sus elementos. Emplea características y propiedades de polígonos para construir y reconocer prismas y pirámides. Justifica la pertenencia o no de un cuerpo geométrico dado a una clase determinada de prisma según sus características de forma (regulares, irregulares, rectos, etc.).
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
41
Ecuaciones en el medioambiente Nadie puede negar lo beneficioso que puede ser un árbol para las personas. Transforma el CO2 (dióxido de carbono) en oxígeno y regula la temperatura de su entorno. Es realmente el pulmón de la Tierra. “Un equipo de investigadores del Servicio Forestal de EE. UU. y del Instituto Davey ha desarrollado una investigación que determina el nivel de fallecimientos que son evitados por los árboles. Solo en EE. UU. se ha calculado que todos los beneficios que brinda esta planta han salvado a 850 personas al año de morir. Además, han prevenido más de 670 000 casos de problemas respiratorios agudos”. Fuente: diario El Comercio, 10 de agosto del 2014, Lima, Perú.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Conoces sobre la importancia de proteger los árboles?
Nuestro país cuenta con grandes extensiones naturales llenas de árboles y plantas. Por ejemplo, el Parque Nacional del Manu es un espaci o natural ubicado en las regiones de Madre de Dios y Cusco, con un territorio de 1 532 806 ha.
¿Se realizan campañas de reciclaje y de disminución del uso de papel en tu comunidad? ¿Qué harías para promover el cuidado de los bosques?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
¿Conoces el papel de los árboles dentro del ecosistema?
•
¿Por qué muchos peruanos aún no reciclamos?
•
¿Cómo podríamos hacer para incentivar el cuidado de los bosques y reflexionar sobre el impacto ambiental?
192
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto •
Arequipa es una de las ocho ciudades que conforman la región de Arequipa. Según los datos oficiales, la superficie de la ciudad se extiende en 9682,02 km 2 y su población aproximada llega a 936 461 habitantes. El último informe de la Superintendencia Nacional de los Registros Públicos indica que en Arequipa existen 240 000 vehículos. –
¿Cuántas personas aproximadamente habitan en un kilómetro cuadrado en la ciudad de Arequipa?
___ ___________________________________________________________________________________ –
¿Con qué expresión se puede representar el dato desconocido?
___ ___________________________________________________________________________________ 2.
Reconozco el principal problema y trazo un plan •
Considerando los datos anteriores: Formen equipos de cuatro a cinco estudiantes. – Definan los pasos necesarios para contestar las siguientes preguntas: Si se quiere conocer cuántas personas aproximadamente habitan en un metro cuadrado en la ciudad de Arequipa, ¿cuál es el proceso a seguir? –
•
•
Plantea una ecuación para resolver la situación.
•
Únete con dos compañeros(as) y, siguiendo los pasos anteriores, resuelvan las situaciones. –
¿Cuántos vehículos, en promedio, posee cada habitante? (densidad vehicular por habitante).
–
¿Cuántos vehículos, en promedio, tiene cada metro cuadrado del territorio? (densidad vehicular por metro cuadrado).
193
3.
Experimento para resolver el problema •
¿Será necesario dividir el número de kilómetros cuadrados y el número de habitantes para determinar el número de habitantes en un metro cuadrado?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Será necesario dividir el número de vehículos entre el número de habitantes para determinar la densidad vehicular por habitante?
_______________________________________________________________________________________ 4.
Propongo una expresión matemática •
5.
Representa en términos matemáticos los pasos definidos en el punto 2, considerando lo planteado en cada literal y resuelve las ecuaciones reemplazando los datos que conoces. •
H: número de habitantes; S: superficie de la ciudad (expresada en metros cuadrados); DP: la densidad poblacional.
•
V: número vehículos; H: número de habitantes; DVH: densidad vehicular por habitante.
•
V: número vehículos; H: número de habitantes; DVS: densidad vehicular por metro cuadrado.
Valido la solución del problema •
Por equipos argumenten sobre el proceso del trabajo realizado. Respondan: –
¿Qué operación realizarías para verificar si la densidad vehicular por metro cuadrado es correcta?
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
194
–
¿Qué operación realizarías para verificar si la densidad vehicular por habitante es correcta?
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
–
Discutan entre los compañeros de tu equipo sobre las respuestas obtenidas y corrijan sus errores. Estructuren un plan de mejora.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
–
Compartan su plan con los compañeros de otros equipos.
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución de problemas?
Manejo adecuadamente el lenguaje matemático.
________________________________________ ________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D o o g f o L l s e
¿Te fue de gran utilidad el uso de las ecuaciones? ¿Por qué?
Expreso la información presentada en términos matemáticos.
________________________________________ Soluciono situaciones reales a partir de las ecuaciones.
________________________________________ •
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías las ecuaciones?
Coevaluación
________________________________________
Tomamos decisiones de manera autónoma.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades
Trabajamos en equipo aportando ideas.
1. Realiza una consulta sobre la
tala de bosques en el Perú, considerando la cantidad de superficie cubierta por bosques en el año 1970 (por ejemplo) y en el año 2000. También consulta la cantidad de empresas procesadoras de madera y la cantidad de habitantes del país en los años 1990 y 2010.
Metacognición •
2. Elabora un problema utilizando los datos
•
estadísticos y siguiendo los pasos de la investigación. 195
¿Qué aprendí en esta actividad? ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido a una situación de la vida cotidiana?
é r g o l o L
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
42
El agua: fuente de vida
Taller ma temático 1.
Diseño de maqueta (Problemas de traducción simple) Un arquitecto ha diseñado la maqueta de un reservorio de agua, como muestra la figura, y ha dejado abiertas las medidas para que se construya con base en el espacio disponible. Si se desea calcular el perímetro de la maqueta, ¿qué expresión algebraica podría expresarlo? 2 x
2
x x x
y
•
¿Cuál es la expresión algebraica que describe el perímetro de la maqueta?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
¿Cuál es el perímetro de la maqueta? ______________________________________________________
•
Separando cada una de las zonas, ¿cual sería la suma total de las áreas de cada zona?
•
Como cada zona está separada por muros, es decir, en la maqueta hay segmentos compartidos, representa los monomios que quedaron de la expresión anterior.
•
El polinomio que representa solo el área de los muros requeridos en la construcción de la maqueta es: ______________________________________________________________ 196
2.
Agua dulce (Problemas de traducción compleja) Una de las fuentes más importantes de agua dulce son los lagos alimentados por los ríos subterráneos. En muchas ocasiones es necesario saber la cantidad de agua reservada con el fin de potabilizarla para el uso humano. a
b
c
d
d
El lago de la fotografía tiene aproximadamente la siguiente forma (vista desde el vuelo del pájaro): una profundidad uniforme de e metros y un ancho uniforme. ¿Es posible obtener el área del lago? ¿Cómo lo harías? ¿Es posible calcular la cantidad del agua reservada en el lago? ¿Qué magnitudes matemáticas estaríamos calculando? (suponemos que la profundidad es constante). Comprendo el problema •
¿Qué se quiere conocer? ________________________________________________________________
Diseño una estrategia •
¿Qué estrategia utilizas para calcular el área? a
b
c
d
d
Aplico la estrategia •
Utiliza la estrategia de dividir la figura de otra forma. ¿Cómo se puede calcular la cantidad de agua reservada? ¿Cuál es el área? ( b = 500 m, c = 800 m, e = 200 m, d = 1/2 b) a
b
c
d
d
_______________________________________________________________________________________
197
Transfiero lo aprendido
3.
•
Suponiendo que a las orillas del lago viven aproximadamente 500 000 habitantes y su consumo diario es de 200 litros, ¿para cuánto tiempo les alcanza el agua del lago? (se comprende que no existen afluentes externos).
•
Comparen las respuestas.
•
Discutan entre los compañeros de tu equipo sobre las respuestas. Estructuren un plan de mejora y corrijan los errores. Escriban las equivocaciones en común.
•
Compartan su plan con los compañeros de otros equipos.
Armando maquetas (Situaciones problemáticas realistas) •
Si tienes las siguientes piezas, ¿cómo armarías la maqueta de un pequeño departamento y cuál sería la expresión algebraica de su perímetro?
sala
x
3
+ 1
x
2 x
2 baño – 1
x
2 – x 2
comedor
dormitorio
x
cocina x
2 x – 2
198
•
Inventen un problema a partir de la siguiente figura. x z
y z y
z x •
Por equipo, argumenten sobre el proceso del trabajo realizado.
–
¿Qué dificultades tuvieron al realizar el trabajo propuesto? __________________________________
–
¿Es importante trabajar en equipo? _____________________________________________________
–
¿Cuál es la conclusión más importante a la que llegaron? ____________________________________
Finalicemos Reflexiona •
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución de problemas?
Autoevaluación
________________________________________
Manejo adecuadamente el lenguaje matemático.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
¿Consideras de gran utilidad el uso de los polinomios? ¿Por qué?
Expreso la información presentada en términos matemáticos.
________________________________________ ________________________________________ •
Soluciono situaciones reales a partir de los polinomios.
¿Qué es un polinomio? Propón dos ejemplos. ________________________________________
Represento operaciones con polinomios de primer grado con material concreto.
________________________________________
Realiza la siguiente actividad
Coevaluación
1. Crea un problema similar a los resueltos para
proponer en la clase, utilizando la figura planteada y la misma estrategia; busca un tema de interés de tus compañeros.
Respetamos las apreciaciones de cada participante. Trabajamos en equipo aportando ideas.
a a
b
b
a
c
c a
2.
b
a
b
a
Metacognición •
Con ayuda del desglosable 8 de la página 367 calcula el perímetro de cada figura y encuentra su respectiva ficha.
•
199
¿Por qué es importante lo que aprendí? ¿Qué recursos utilicé para solucionar el problema?
é r g o l o L
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
43
Paseo en familia María y Juan viven en un pequeño condominio en el centro de la ciudad. A ellos les gustaría que sus hijos contaran con áreas verdes como las tuvieron de niños en su natal Tarma. Hacen lo posible por llevarlos a los parques más cercanos en sus días libres. Ello es una buena opción para tener momentos familiares en medio de la naturaleza, hacer picnic con amigos, realizar juegos entre familias o simplemente para respirar aire puro. Piensan adquirir más adelante un terreno rural en la periferia para que sus hijos tengan más espacio. Esto no significará un sacrificio para Juan, pues la vida en medio de la naturaleza es importante para su familia y trabaja mucho para lograr su proyecto.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué parques visitas con tu familia? ¿Qué sueles hacer en un parque?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿Qué actividades relacionadas con la matemática puedes hacer en un parque?
¿Por qué crees que se debe cuidar el parque de tu localidad?
Muchos distritos tienen en sus parques zonas destinadas a juegos. ¿Qué características observas en estos juegos?
200
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto
Deseosos de disfrutar de la naturaleza y compartir un tiempo de calidad con otras familias, María, Juan y sus hijos fueron a u n parque. En ese lugar encontraron a un personaje muy particular, “un mago matemático”, que asombraba a su público con trucos numéricos. Él daba a los espectadores unas instrucciones precisas para realizar sus trucos, y todos quedaban maravillados. •
Sigue las instrucciones del mago matemático y, para más seguridad, apunta los resultados intermedios en una hoja.
a) Piensa un número cualquiera. b) Súmale 3. c) Multiplica el resultado por 2. d) Réstale 8. e) Divide por 2. f)
Escribe lo que te sale y te diré, rápidamente, el número que pensaste inicialmente.
•
Escribe el resultado del número que pensaste.
a) ¿Crees que este tipo de problemas convierten a la matemática en un curso agradable?
_______________________________________________________________________________________ b) Realiza el truco de magia a un compañero de tu aula. 2.
Reconozco el principal problema y trazo un plan
Considerando los datos anteriores: •
Formen equipos de cuatro a cinco estudiantes.
•
Definan los pasos necesarios para contestar las siguientes preguntas:
–
¿Lograste adivinar el número de tu compañero? ¿Cómo lo hiciste? ¿Qué dificultades tuviste?
–
¿Es necesario que la persona que interactúa con el mago sepa matemática?
___________________________________________________________________________________ –
¿Se debe saber resolver ecuaciones para llegar a una respuesta correcta?
___________________________________________________________________________________ –
Si cambiamos una o varias operaciones, ¿se podrá llegar a algún resultado?
___________________________________________________________________________________ 201
3.
4.
Experimento para resolver el problema •
Escribe el proceso y la obtención del resultado si tu compañero pensó el número 5.
•
¿Qué proceso mental debes realizar para tener la respuesta correcta?
•
¿Es suficiente la información proporcionada por el problema para que sepas el número en el que pensó?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué datos debemos considerar para contestar las preguntas planteadas?
___________________________________________________________________________________
•
¿Se debe hacer algunos cálculos adicionales para llegar a la respuesta?
___________________________________________________________________________________
Propongo una expresión matemática Completa los pasos: •
Si tu compañero pensó en el número 8: a.
Súmale 3. ____
c.
Réstale 8. ____
b.
Multiplicalo por 2. ____
d.
Divídelo por 2. ____
Responde: •
¿Qué relación encuentras entre el resultado y el número original?
Escribe en lenguaje matemático, tomando en cuenta la siguiente incógnita: 1.
Número del resultado.
2.
Número que pensaste.
a.
La expresión para sacar el resultado final.
b.
Ecuación para obtener el número pensado.
___________________________________________________________________________________ 202
5.
Valido la solución del problema •
Formen equipos de trabajo.
•
Con base en la ecuación propuesta, reemplaza los datos de la incógnita y comprueba que esta ecuación es útil con todos los números. Por ejemplo, con el número pensado 15.
•
Reemplaza en la expresión para obtener el resultado inicial:
•
Reemplaza en la expresión para obtener el número pensado:
•
Comparen sus ecuaciones con otro equipo.
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución de problemas?
Empleo operaciones con polinomios de manera adecuada.
________________________________________ ________________________________________ •
Expreso la información presentada en términos matemáticos.
¿Consideras de gran utilidad el uso de las ecuaciones? ¿Por qué?
Empleo transformaciones de equivalencias para resolver ecuaciones lineales.
________________________________________ ________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D o o g f o L l s e
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías las ecuaciones?
Coevaluación
________________________________________
Tomamos acuerdos para resolver los ejercicios.
________________________________________ Compartimos ideas importantes.
Realiza las siguientes actividades 1.
Crea un problema similar al propuesto por el mago matemático.
2.
Comprueba todos los pasos realizados.
•
3.
Escribe si es posible utilizar las ecuaciones para hacer más sencilla la solución.
•
Metacognición
203
¿Qué aprendí en esta actividad? ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido a una situación de la vida cotidiana?
é r g o l o L
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha 44
Reforestando
Taller ma temático 1. A. Vender
periódicos (Problemas de traducción simple)
En Zedland dos periódicos quieren contratar vendedores. Los siguientes anuncios muestran cómo les pagan a sus vendedores.
LA ESTRELLA DE ZEDLAND
EL DIARIO
¿NECESITAS DINERO EXTRA?
DE ZEDLAND
VENDE NUESTRO PERIÓDICO
¡TRABAJO BIEN PAGADO QUE TOMA POCO TIEMPO!
Pagamos:
0,20 zeds por periódico para los primeros 240 ejemplares que vendas en una semana, más 0,40 zeds por cada periódico adicional vendido.
Vende El Diario de Zedland y gana 60 zeds a la semana más 0,05 zeds adicionales por periódico adicional vendido.
Pregunta 1
Federico vende 350 ejemplares de semana en promedio?
La Estrella de Zedland cada
semana en promedio. ¿Cuánto gana cada
Pregunta 2
Cristina vende El Diario de Zedland . En una semana ganó 74 zeds. ¿Cuántos periódicos vendió esa semana?
204
Pregunta 3
Juan decide solicitar un puesto de vendedor de periódicos. Tiene que elegir entre La Estrella de Zedland y El Diario de Zedland . •
¿Cuál de los siguientes gráficos es la representación correcta de cómo pagan a sus vendedores los dos periódicos? Rodea con un círculo la respuesta correcta. A.
s d e z s e l a n a m e s s o s e r g n I
B.
El Diario de Zedland
La Estrella de Zedland
s d e z s e l a n a m e s s o s e r g n I
N.o de periódicos vendidos
C.
s d e z s e l a n a m e s s o s e r g n I
El Diario de Zedland
La Estrella de Zedland N.o de periódicos vendidos
El Diario de Zedland
D.
La Estrella de Zedland
s d e z s e l a n a m e s s o s e r g n I
N.o de periódicos vendidos
El Diario de Zedland
La Estrella de Zedland N.o de periódicos vendidos
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee B. Sembrando árboles
Mateo desea plantar árboles en un terreno rectangular; ¿cuál es el área del terreno si se conoce que su perímet ro mide 160 m y que el largo mide el triple de su ancho? •
Expresa una representación gráfica del terreno y escribe los datos.
•
Determina el perímetro.
•
Pasa a calcular el área.
205
2.
Reforestación (Problemas de traducción compleja)
Lucía llevó a sus estudiantes a una actividad de reforestación. Para este propósito, se invirtieron S/ 120 en 33 árboles, de los cuales algunos costaron 5 soles y otros 2 soles cada uno. Lucía desea intercalar los árboles; para eso necesita saber cuántos árboles de 5 soles y cuántos de 2 soles se han comprado.
3.
•
¿Cuántas incógnitas hay en el problema? __________________________________________________
•
¿Es suficiente la información proporcionada por el problema? ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué datos debemos considerar para contestar las preguntas planteadas?
___________________________________________________________________________________
•
¿Se deben hacer algunos cálculos adicionales para llegar a la respuesta? __________________________
•
Representa en lenguaje matemático las incógnitas: utiliza A para señalar los árboles de 5 soles, y B para los árboles de 2 soles. Escribe el enunciado completo relacionando los datos con las incógnitas.
•
Resuelve las ecuaciones formadas.
•
Contesta la pregunta formulada en el problema.
___________________________________________________________________________________
Representación gráfica (Situaciones problemáticas realistas) •
Formen equipos de cuatro estudiantes.
•
Considera esta nueva ecuación: 2 x + y = 3. Completa la tabla con los valores correspondientes y representa los pares ordenados formados en el plano cartesiano.
206
x
0
1
2
–3 0
y
2
–3
–5
Y
12 10 8 6 4 2 0 –8 –6 –4 –2
–2
0 2
4
6
8 10 12
X
–4
Finalicemos Reflexiona •
¿Será posible expresar una ecuación con tres incógnitas? Justifica tu respuesta.
Autoevaluación
e o m y d o o r t n b a s e z e a r r D f o o g o L l s e
Manejo adecuadamente el lenguaje matemático.
________________________________________ ________________________________________ •
Expreso en términos matemáticos la información presentada.
¿Podemos resolver el problema sin plantear ecuaciones? Justifica tu respuesta.
Expreso afirmaciones sobre la solución de ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir del conocimiento de sus pares ordenados.
________________________________________ ________________________________________ •
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías los sistemas de ecuaciones?
Coevaluación
________________________________________
Respetamos las decisiones de cada participante.
________________________________________
Realiza la siguiente actividad 1.
Trabajamos en equipo aportando ideas.
Crea un problema relacionado con el
medioambiente, que pueda ser traducido en lenguaje matemático, y sigue los pasos sugeridos. Si es necesario, representa los datos en un plano cartesiano.
Metacognición •
•
207
¿Qué aprendí en esta actividad? ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido a una situación de la vida cotidiana?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
45
Geometría en los volcanes Soberbio, lleno de altivez, ufano Al ocultarse el Sol en el poniente, de su bella apostura y gallardía, parece un inca de nevada frente cuando amanece, el Misti con humano coronado de innúmeras centellas. sentimiento bendice el nuevo día. Y resurge del fondo de la noche, Los gallos le saludan desde el llano cuando comienza el sideral derroche, con una orquestación de algarabía, como una copa derramando estrellas. que él contesta, arrogante, con un vano El Misti . Alberto Hidalgo gesto de nieve de su testa fría.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Conoces el Misti u otro volcán del Perú?
Será su simetría o el ángulo que dibuja la cima con su silueta, la que inspira a representar de distintas formas la belleza del Misti. De todos los tipos de elevaciones que existen, son los volcanes los que mantienen mayores similitudes unos de otros.
¿Qué características geométricas presentan los cerros más cercanos al lugar en que vives? ¿Son simétricos o muy irregulares?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas.
TIC
•
¿Qué sólido geométrico es el que se asemeja más a un volcán?
Si quieres conocer algo más sobre los volcanes de nuestro país, ingresa a http://goo.gl/FCVUcn
•
Representa gráficamente la vista lateral y superior, aproximada, del volcán. ¿Qué figuras geométricas reconoces?
208
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes •
¿Qué forma tienen los volcanes? ___________________________________________________________________________________
•
¿Existe algún otro objeto en la naturaleza que tenga la misma forma de un volcán?
___________________________________________________________________________________
•
¿Existe algún otro elemento que hayas visto que tenga la misma forma de un volcán? ___________________________________________________________________________________
2.
•
Si comparamos dos volcanes que tienen la misma área en la base pero diferente altura, ¿crees que debemos considerar las mismas magnitudes para comparar la fuerza destructiva de dos volcanes?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Realizo actividades organizadas •
Contesta: a. ¿Qué forma geométrica tiene la base del cono? ___________________________________________ b. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área del círculo? ________________________________________ c. Recorta un triángulo rectángulo, gira uno de los catetos y hazlo coincidir con el otro cateto. Dibuja lo que se obtuvo.
d. ¿Qué cuerpo geométrico representa? __________________________________________________ e. Si aumentamos la medida de ese cateto, ¿qué magnitud del cuerpo de revolución cambia? _________ f.
Nombra los elementos del cono y señálalos en el siguiente gráfico: 1
=g
2
=h
3
= r
g. Describe cada elemento.
209
h. Con el triángulo rectángulo que recortaste al inicio, arma un cono y realiza un corte de los que muestra la figura. Circunferencia
Elipse
Hipérbola
Parábola
¿Sabías que al cortar un cono se pueden obtener algunas figuras planas llamadas cónicas? i. 3.
¿Qué corte escogiste y qué cónica obtuviste? _____________________________________________
Explico lo realizado •
Formen equipos de tres o cuatro estudiantes para realizar lo siguiente: (Considera π = 3,14) –
Expresa e intercambia tus visiones sobre las actividades resueltas.
–
Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Principalmente de qué depende el área de la base de un cono? _____________________________ b) Si aumentamos el radio de la base del cono en un 25 %, ¿cómo aumenta el área de la base? ¿Cómo aumenta el volumen del cono? ________________________________________________________ – •
4.
Construye cada cono y calcula su volumen.
Elijan a un integrante del equipo para que explique al resto de compañeros las respuestas generadas.
Propongo un diseño creativo •
Milbor quiere hacer más grande el contenedor de granos de maíz de su granja, la cual tiene forma de un cono con radio de 20 metros y una profundidad de 2 metros. Quiere aumentar el radio a 22 metros y la profundidad a 2,5 metros. ¿Cuánto más es la capacidad del contenedor de granos? (Considera π = 3,14)
•
Para una fiesta, Laura, profesora de matemática, ha hecho 10 gorros de forma cónica. ¿Cuánto de material habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? (Considera π = 3,14)
210
•
5.
Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de su base es de 3 cm. (Redondea la respuesta, considerando que π = 3,14).
Organizo mis ideas •
Elabora un mapa conceptual donde se mencione la definición del cuerpo geométrico; sus principales elementos; el desarrollo del cono; las fórmulas para calcular el área de la base, el área lateral, el área total y el volumen; y las aplicaciones del cono.
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué fase del modelo de Van Hiele te ayudó a resolver tus problemas?
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
Manejo adecuadamente el lenguaje matemático.
________________________________________ ________________________________________ •
Compruebo si el desarrollo me permitió resolver el problema.
¿Te fue de gran utilidad el uso de los conos? ¿Por qué? ________________________________________
•
________________________________________
Describo el desarrollo del cono considerando sus elementos.
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías las propiedades matemáticas del cuerpo geométrico estudiado?
Hallé el área y el volumen de un cono empleando unidades de medida convencionales.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Tomamos decisiones de manera autónoma.
Realiza las siguientes actividades
Trabajamos en equipo aportando ideas.
1. Elabora gorros de cumpleaños con una
medida definida y comparte con tus compañeros.
2. Calcula el volumen de un gorro de cumpleaños.
Metacognición
3. Crea un problema relacionado con el cuerpo
geométrico estudiado y reta a tus compañeros a resolverlo.
211
•
¿Qué sabía sobre el tema?
•
¿Qué nuevos conocimientos tengo ahora?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
Identificando prismas
46
Taller ma temático 1. A.
Dados (Problemas de traducción simple)
Los dados son cubos con un sistema especial de numeración en los que se aplica la siguiente regla: El número total de puntos en dos caras opuestas es siempre siete. Pregunta 1
A la derecha se pueden ver tres dados colocados uno encima del otro. El dado 1 tiene cuatro puntos en la cara de arriba.
Dado 1
¿Cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de abajo de los dados 2 y 3)?
Dado 2
•
Dado 3
______________________________________________________ Pregunta 2
Puedes construir un dado sencillo cortando, doblando y pegando cartón. Estos dados se pueden hacer de muchas maneras. En el dibujo siguiente puedes ver cuatro recortes que se pueden utilizar para elaborar cubos, con puntos en las caras. •
¿Cuál de las siguientes figuras se puede doblar para formar un cubo que cumpla la regla de que la suma de caras opuestas es 7? Para cada figura, rodea con un círculo.
I
II
III
IV
Forma
¿Cumple la regla de que la suma de los puntos de las caras opuestas es 7?
I
Sí / No
II
Sí / No
III
Sí / No
IV
Sí / No
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee
212
B.
Identificando prismas El maestro Oliver presenta en la mesa de trabajo cajas de medicina, de zapatos, de leche y otras más. ¿Qué tipo de cuerpos geométricos son las cajas?
2.
•
Si quisiéramos comparar dos prismas, ¿qué propiedades matemáticas deberíamos considerar?
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo clasificamos los prismas?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Si queremos saber la cantidad de material que necesitamos para la construcción de un prisma de base cuadrada, ¿qué variable se debe considerar?
___________________________________________________________________________________
•
Si comparamos dos prismas que tienen la misma área en las bases pero diferente altura, ¿crees que debemos considerar las mismas magnitudes para compararlas? ______________________________________
•
Si comparamos dos prismas que tienen la misma área en la base y la misma altura pero la una es recta y la otra es oblicua, ¿crees que debemos considerar las mismas magnitudes para compararlas?
___________________________________________________________________________________
Elementos de un prisma (Problemas de traducción compleja) La maestra solicita a sus estudiantes preparar una exposición de prismas geométricos, para lo cual los estudiantes deben responder las siguientes preguntas: •
¿Qué forma geométrica puede tener la base de un prisma cualquiera?
___________________________________________________________________________________
•
Si el prisma tiene base cuadrangular, ¿cómo expresarías su área? ________________________________
•
Si incrementamos la diagonal del cuadrado de la base, ¿qué magnitud del prisma cambia?
___________________________________________________________________________________
•
Si la base del prisma es un triángulo o un pentágono, ¿qué fórmula utilizas para calcular el área de la base?
•
Nombra los elementos del prisma y señálalos en el siguiente gráfico: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 213
Camila elabora contenedores para guardar árboles para la reforestación. Si el diseño del contenedor es como el que se muestra, ¿cómo se llama el sólido que forma la caja armada? _______________________________________________________________________________________
Durante la clase de geometría la maestra saca acertijos de una caja, para que los estudiantes ganen puntos por su participación. Los acertijos se encuentran en forma de adivinanzas; ¿a qué sólido corresponde la adivinanza que está a continuación? Soy un sólido geométrico con 2 bases formadas por pentágonos; tengo 15 aristas, 10 vértices y 5 caras laterales.
___________________________________________________
¿Quién soy? •
Dibuja el prisma de acuerdo con dos características:
–
Bases triangulares.
–
9 aristas.
214
3.
Constuyendo prismas (Situaciones problemáticas realistas) •
Observa el gráfico; traza en una cartulina el desarrollo del prisma con las mismas medidas y luego ármalo. m c 5
8 cm
5 cm
m c 5 1
•
¿Cuál debe ser el área de la cartulina para hacer el prisma del modelo? ____________________________
•
¿Qué elemento no puedes dejar de trazar para poder unir sus aristas y lograr la construcción del prisma?
___________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución de problemas?
Autoevaluación Identifico el desarrollo de los diferentes prismas.
________________________________________ ________________________________________ •
¿Te fue de gran utilidad el uso de los prismas? ¿Por qué?
Describo el desarrollo de un prisma, considerando sus elementos.
________________________________________
Trazo correctamente el desarrollo de un prisma.
________________________________________ •
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
Coevaluación
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías las propiedades matemáticas del cuerpo geométrico estudiado?
Compartimos respuestas y experiencias.
________________________________________
Trabajamos en equipo aportando ideas.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1. Elabora una caja en forma de un prisma. 2. Intercambia la
Metacognición
caja con un compañero y calcula
el volumen.
•
3. Crea un problema relacionado con el cuerpo
geométrico estudiado y reta a tus compañeros a resolverlo.
•
215
¿Qué estrategias empleo para representar en el plano un prisma? ¿En qué situaciones de la vida puedo emplear las propiedades de un prisma?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
47
Geometría en el desierto Las pirámides de Giza son la única maravilla del mundo antiguo en pie en la actualidad. Estas construcciones han ostentado durante mayor tiempo el título de construcción artificial más alta del mundo. Desde que fueron construidas hace unos 4000 años, nunca fueron superadas en altura por otro edificio hasta el siglo XIV. La gran pirámide de Giza medía originariamente 147 metros de altura. Las dimensiones y localización de las pirámides tienen un gran número de curiosidades. Por ejemplo, la masa y el área de la superficie de la Tierra son 5,97 · 1024 kg y 5,1 · 10 8 km2, respectivamente, mientras que la masa y el área de la gran pirámide de Giza son 5,9 · 10 9 kg y 5,1 · 103 m2, de manera respectiva. Del mismo modo, llama la atención la perfecta alineación de las tres pirámides con la constelación de Orión.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Existe una estructura de enormes dimensiones en tu región? Dentro de las actividades del colegio, ¿has armado sólidos geométricos en papel o cartulina?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
¿Qué figura geométrica describe cada una de las caras de las pirámides mayores? ¿Qué figuras geométricas reconoces en las caras de las pirámides escalonadas?
Explica la estrategia que utilizarías para calcular el área total de la pi rámide. ¿Qué datos necesitarías?
216
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
2.
Respondo interrogantes •
Consideremos dos pirámides de Egipto; ¿qué magnitud matemática está implícita para compararlas?
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo clasificamos las pirámides?
___________________________________________________________________________________
•
Si queremos saber cuánto de material necesitamos para la construcción de una pirámide de base cuadrada, ¿qué variables debemos considerar?
___________________________________________________________________________________
•
Si comparamos dos pirámides que tienen la misma área en la base pero diferente altura, ¿crees que debemos considerar las mismas magnitudes para compararlas?
___________________________________________________________________________________
•
Si comparamos dos pirámides que tienen la misma área en la base y la misma altura pero la una es recta y la otra es oblicua, ¿crees que debemos considerar las mismas magnitudes para compararlas?
___________________________________________________________________________________
Realizo actividades organizadas •
Contesta: a.
¿Qué forma geométrica tienen las bases de las pirámides?
b.
¿Qué forma geométrica tienen las caras de las pirámides?
c.
Escribe en el siguiente gráfico los elementos de la pirámide. O
1.
3.
2. B
C
4. 6.
5.
K
N 7.
A
D
217
d.
Observa el gráfico; traza en una cartulina el desarrollo de la pirámide con las mismas medidas y luego ármala.
1 8 c m
m c 0 3
m c 8 1
m c 8 1 m 8 c 1
m c 8 1
18 cm e.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ f.
3.
¿Cuál debe ser el valor del área de la cartulina para lograr hacer la pirámide del modelo?
¿Qué conocimientos debes tener para trazar el desarrollo de la pirámide?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Explico lo realizado •
Formen equipos de tres o cuatro estudiantes. –
Describan el proceso que utilizaron para trazar el desarrollo de la pirámide, las dificultades que tuvieron y las soluciones que dieron a estas. Dificultades
•
Soluciones
Respondan las siguientes preguntas: a.
¿Qué relación existe entre el número de lados de la base de una pirámide y el número de caras?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ b.
¿Existirán otros desarrollos para el prisma de la interrogante 2d?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Elijan a un integrante del equipo para que explique al resto de sus compañeros las respuestas generadas.
218
4.
Propongo un diseño creativo •
5.
Propón dos desarrollos para un prisma de base pentagonal.
Organizo mis ideas •
Enumera las características principales de las pirámides. ___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Elabora en tu cuaderno un mapa conceptual de la pirámide; menciona la definición del cuerpo geométrico y sus principales elementos, así como las fórmulas para calcular el área de la base, el área lateral y el volumen, y las aplicaciones de la pirámide.
Finalicemos Reflexiona •
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución del problema?
Autoevaluación
________________________________________
Identifico diversos desarrollos en pirámides.
________________________________________ •
¿Te fue de gran utilidad el uso de las pirámides? ¿Por qué?
Describo el desarrollo de pirámides considerando sus elementos.
________________________________________
Trazo correctamente el desarrollo de una pirámide.
________________________________________ •
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías las propiedades matemáticas del cuerpo geométrico estudiado?
Coevaluación Tomamos decisiones de manera autónoma.
________________________________________
Trabajamos en equipo aportando ideas.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
Consigue una caja en forma de pirámide; de lo
Metacognición
contrario, constrúyela, desármala y encuentra el valor de su área total. 2.
•
Crea un problema relacionado con el cuerpo geométrico estudiado y reta a tus compañeros a
resolverlo.
•
219
¿Qué pasos sigo para dibujar en el plano el desarrollo de una pirámide? ¿En qué situaciones de la vida cotidiana empleo las propiedades de las pirámides?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
48
La industria del plástico en el Perú Nuestro país, en los últimos años, ha tenido un crecimiento importante en la industria de producción de plásticos, por lo cual actualmente ocupa un lugar importante a nivel de América Latina. Alrededor de los años 70, el PVC era el plástico de mayor uso, debido a su versatilidad de procesamiento y mayor rendimiento. Luego se pudo evidenciar el desarrollo de la industria de telas plásticas, juguetes, maquinaria, tecnología, de tal manera que su uso ha ido creciendo paulatinamente hasta posicionarse en el nivel en el que ahora se encuentra.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Qué usos, distintos de su utilidad original, se pueden dar a estos objetos en casa? ¿Algunos de estos recipientes pueden ayudar a medir magnitudes? ¿Cuáles? ¿Qué sólidos geométricos reconoces en estos objetos?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
•
Si se tiene una lámina rectangular de plástico, ¿qué tipo de recipiente podrías hacer? Realiza la gráfica del molde que crearías.
Y si la lámina fuese circular, ¿cómo diseñarías un recipiente? Diseña también la gráfica del molde.
220
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes Una fábrica que elabora envases plásticos realizó un bosquejo de los posibles diseños, pues tienen un pedido y deben fabricar cajas individuales. •
Observa la imagen y responde. a.
_______________________________________________ b.
2.
¿Qué botella plástica lleva más líquido? ¿Una en forma de cono o una en forma de prisma? (Considera que el área de la base y la altura es la misma). ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________ c.
Si se realizan los envases para cada objeto, ¿qué forma pueden tener las diferentes cajas?
Para las mismas botellas, ¿cuál tiene mayor superficie lateral? ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________
Realizo actividades organizadas
Proyecto sólidos •
Lleva un objeto cualquiera para trabajar en clase.
•
Mide el objeto y aproxima su volumen.
•
Con la guía de tu maestro, construye una caja para guardar el objeto; diséñala y decórala usando tu creatividad. Para la decoración, observa algunos diseños de cajas.
•
¿Qué sólido geométrico utilizaste para guardar el objeto? ______________________________________
•
¿Qué experiencia tuviste al decorar tu caja? _________________________________________________
Capacidad de los sólidos •
En una cartulina, traza el desarrollo de un prisma de base cuadrada (lado del cuadrado = 10 cm, arista = 15 cm).
•
En otra cartulina, traza el desarrollo de una pirámide de base triangular equilátero (lado del triángulo = 10 cm, altura = 15 cm).
•
Construye la pirámide y el prisma trazados (deja un pequeño orificio para completar el siguiente punto).
•
Llena cada una de las figuras elaboradas con granos de arroz seco.
•
Pide una balanza. Pesa cada uno de los sólidos llenos y escribe sus medidas. Prisma cuadrangular _________________________________________________________________ Prisma triangular ____________________________________________________________________
3.
Explico lo realizado •
Formen equipos de tres o cuatro estudiantes e intercambien sus experiencias sobre el proyecto realizado.
221
•
Responde a las preguntas: a.
___________________________________________________________________________________ b.
¿De qué depende principalmente el volumen?
___________________________________________________________________________________ e.
4.
Si las bases de las figuras fueran las mismas, ¿la cantidad de arroz sería la misma?
___________________________________________________________________________________ d.
¿Cuál de los sólidos contiene la mayor cantidad de arroz?
___________________________________________________________________________________ c.
¿Existe diferencia entre los pesos obtenidos? ¿A qué se debe?
¿Cuál es la unidad más apropiada para expresar el volumen calculado de sólidos construidos?
___________________________________________________________________________________
•
Elijan a un integrante del grupo para que explique al resto de compañeros las respuestas generadas.
Propongo un diseño creativo •
Calcula la longitud de la diagonal del siguiente prisma recto de base rectangular: 3 cm
3 cm 5 cm •
Halla la longitud de la arista de un prisma recto de base cuadrada (10 cm de lado), sabiendo que la diagonal mide 18 cm.
•
Tenemos una pirámide de base cuadrada (7 cm de lado). Sabiendo que la arista lateral mide 10 cm, halla la longitud de la diagonal y de la altura.
•
Juan desea elaborar una carpa de base cuadrada para acampar en el parque Huáscar, pero no sabe cuánta tela debe comprar. La tela para la carpa mide de ancho, 1,9 m, y se vende por metros lineales. ¿Puedes ayudarlo? (el lado de la base mide 3 m, y la altura, 130 cm).
222
•
5.
En el mes de junio por el Día del Padre, los directivos de un supermercado piensan comprar algunos televisores. Para apilar las cajas disponen de un área de 150 m 2. Cada caja tiene una forma de prisma rectangular de las siguientes medidas: la base es de 20 cm × 120 cm, y la altura es de 80 cm. El fabricante recomienda no apilar más de tres cajas verticalmente. ¿Cuántos televisores, como máximo, se podrán adquirir?
Organizo mis ideas •
En el diagrama de Venn escribe características de semejanza y diferencia entre un prisma y una pirámide.
Finalicemos Reflexiona •
¿Qué relación hay entre el volumen de un prisma y el de una pirámide?
Autoevaluación
________________________________________
Empleo características de polígonos para construir y reconocer prismas y pirámides.
________________________________________ •
¿Es de gran utilidad el uso de los sólidos? ¿Por qué? ________________________________________
Soluciono situaciones reales a partir del cálculo de volúmenes de sólidos.
________________________________________ •
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías las propiedades matemáticas del cuerpo geométrico estudiado?
Identifico semejanzas y diferencias entre prismas y pirámides.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Tomamos decisiones de manera autónoma.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Los juguetes para niños (hechos de un plástico biodegradable) en forma de prisma y pirámide tienen estas dimensiones: base = 10 cm × 10 cm, y altura = 15 cm. Si consideramos que por cada cm2 se emplean 2 gramos de plástico, ¿cuánto material se necesitó para elaborarlos?
Trabajamos en equipo aportando ideas.
Metacognición •
Si se sabe que cada kilogramo de este material tiene un tiempo de descomposición de 50 años, ¿cuánto tiempo tardarán en desaparecer los juguetes?
•
223
¿Fue importante el estudio de este tema? ¿Fue ventajoso trabajar con material concreto para las construcciones?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
49
Seguridad industrial Las tuercas son las piezas que facilitan el ensamblaje y la fabricación de objetos y maquinarias que se emplean en distintos ámbitos. En el campo de la ingeniería y la industria, existen tuercas de diferentes tipos y tamaños. Las más comunes son las de forma hexagonal, como las que se muestran en la imagen. Son, principalmente, elementos que permiten unir un conjunto de piezas organizadas para un fin. En una industria, siempre será necesario tener las herramientas adecuadas para poder manipular las partes o elementos que se ensamblan. Para esta labor, al igual que en otros rubros, deben seguirse normas estandarizadas de fabricación. La mayoría de trabajadores deberían estar familiarizados con esas normas al momento del ensamblaje de objetos, estructuras y máquinas.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Existe en tu comunidad alguna empresa industrial? ¿Has utilizado tuercas para armar algún objeto?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
¿Qué figuras geométricas observas en una tuerca?
•
Las tuercas mostradas, ¿a qué cuerpo geométrico se parece?
224
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
2.
Respondo interrogantes •
Si aumentamos la cantidad de aristas en un prisma hasta 100, ¿a qué cuerpo se parecerá?
___________________________________________________________________________________
•
Si quisiéramos comparar dos prismas, ¿qué magnitudes matemáticas deberíamos considerar?
___________________________________________________________________________________
•
Si queremos saber cuánto de material necesitamos para la construcción de un prisma de base cuadrada, ¿qué medidas debemos considerar?
___________________________________________________________________________________
•
Si comparamos dos tuercas que tienen la misma área en la base pero diferente altura, ¿crees que debemos considerar las mismas magnitudes para compararlas?
___________________________________________________________________________________
•
Entre las siguientes imágenes, ¿cuál se asemeja más a la forma de la tuerca? Enciérrala. A.
D.
G.
B.
E.
H.
C.
F.
I.
Realizo actividades organizadas •
Realiza el desarrollo de un prisma de base hexagonal regular de lado 2 cm y de altura 4 cm.
225
•
Observa los desarrollos y responde.
1.
2.
5.
3.
3.
4.
6.
7.
8.
•
¿Con qué desarrollos no se pueden armar sólidos? ____________________________________________
•
¿Cuáles son los errores?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Identifica los desarrollos que están correctos y escribe el nombre del sólido geométrico que se formará al armarlo.
Explico lo realizado
Formen equipos de tres o cuatro estudiantes para que: •
Expresen e intercambien sus visiones sobre las actividades resueltas.
•
Respondan las siguientes preguntas:
•
–
Si arman el prisma de la actividad 2, ¿cuál será el valor de su área total y su volumen?
–
¿Se puede predecir, en forma aproximada, el área lateral, el área total y el volumen de un prisma de base octogonal?
Elijan a un integrante del equipo para que explique al resto de compañeros las respuestas generadas. 226
4.
Propongo un diseño creativo •
5.
Un edificio en el Centro de Lima tiene las siguientes dimensiones: la base es un cuadrado de lado de 40 m, y la altura es de 40 pisos de 2,5 m de alto cada uno. Su fachada fue cubierta completamente de baldosas de 60 cm × 60 cm. ¿Cuántas cajas de baldosas se usó para esto? Considera que cada caja contiene 8 baldosas y que no existe desperdicio.
Organizo mis ideas •
Elabora en un papelote un mapa conceptual sobre la clasificación de los prismas y las pirámides. Toma en cuenta la forma de la base.
•
Expón tu mapa conceptual en la clase.
Finalicemos Reflexiona •
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución del problema?
Autoevaluación
________________________________________
é r g o l o L
Identifico clases de prismas según sus formas.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a e z e r r D o o g f o L l s e
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías los cuerpos geométricos estudiados?
Justifico la pertenencia de un cuerpo geométrico a una clase determinada.
________________________________________ ________________________________________
Identifico prismas según características de forma.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
Coevaluación
El señor Castañeda compró una casa campestre en la afueras de Lima. La casa tiene una piscina, pero por falta de mantenimiento el recubrimiento está deteriorado. Para renovarlo, se han destinado S/ 350 000. La piscina tiene la forma de prisma rectangular de estas dimensiones: base = 50 m × 30 m, y profundidad = 5 m. Si el metro cuadrado del recubrimiento cuesta S/ 200 (incluida la mano de obra), ¿es suficiente el presupuesto? En caso afirmativo, indica cuántos metros más se podrían cubrir. En caso negativo, señala cuántos metros faltan para cubrir.
Trabajamos todos participando de forma equitativa. Trabajamos las actividades aportando ideas.
Metacognición •
Para la actividad anterior, si se deseara cubrir con el mismo material una franja de 1 metro alrededor de la piscina, ¿cuánto de dinero faltaría?
•
227
¿Qué recurso o estrategia me ayudó a resolver el problema? ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?
Evaluación Figuras geométricas en construcciones Las figuras geométricas han sido usadas ampliamente para varias construcciones a lo largo de la historia de la humanidad. Su simetría y exactitud provocan mucha admiración. En el Perú, tenemos las pirámides de Machu Picchu. En Egipto las famosas “pirámides de Giza o Gizeh son la única de las Siete Maravillas del Mundo Antiguo que han sobrevivido. Como sabemos son tres las pirámides que conforman este complejo: Keops, Kefrén y Micerino. Sus nombres se corresponden con las del faraón sepultado en cada una de ellas, ya que fueron construidas con el único fin de servir como tumba y templo funerario de los faraones”. Fuente: http://sobrehistoria.com/las-piramides-de-egipto/ Resuelve las
siguientes preguntas utilizando la información del texto anterior. 1.
¿Cuál es la forma geométrica de las tumbas de los faraones? ________________________________
2.
¿Qué figura representa un prisma? A.
4.
Si miramos una pirámide desde arriba, ¿qué figura podemos observar? A.
B.
C.
D.
B.
5. C.
D.
Si los egipcios quisieran ubicar las pirámides en un gran plano cartesiano, sabiendo que A = Keops (1; 2), B = Kefrén (–2; 3), C = Micerino (4,5; –3), D = Otra (–4; –3 1/3), ¿puedes ayudarlos? Y 4 3
3.
6.
Escoge la respuesta correcta. El siguiente cuerpo tiene: A.
Dos caras basales y dos laterales
B.
Una cara basal y tres laterales
C.
Cuatro caras basales y una lateral
D.
Una cara basal y cuatro laterales
2 1
X
0 -4 -3 -2 -1-1
1
2 3
4
-2 -3 -4
Si suponemos que las bases de las pirámides de Egipto son rectangulares y construidas de las siguientes formas, determina el área de las figuras sombreadas y coloca una X donde corresponda.
a c b
2ab – (a – d )(b – c ) d
(a – d )(b – c ) 2ab – 2(a – d )(b – c ) (a + d )(b + c ) 228
7.
Si la base de las tumbas de los faraones fuera un cono, los egipcios deberían considerar que un cono tiene: A. C.
8.
Vértice, altura, generatriz y una cara basal.
B.
Generatriz, base, eje y vértice.
Altura, base, eje y una cara lateral.
D.
Vértice, base, eje y apotema.
Inventa un problema cuya expresión matemática es la siguiente y resuélvelo: 5 x + 4( x + 20) = 620.
Producto
9.
Elabora el desarrollo de una pirámide pentagonal y ármalo.
Autoevaluación Indicadores
Siempre
A veces
Pocas veces
Siempre
A veces
Pocas veces
Identifico las figuras geométricas. Traduzco los enunciados al lenguaje algebraico. Ubico correctamente los puntos en el plano cartesiano. Empleo estrategias apropiadas para resolver problemas. Creo problemas basados en la realidad.
Coevaluación Indicadores
Trabajamos en equipo respetando las opiniones individuales. Asumimos una postura crítica en la discusión del problema. Formulamos la pregunta antes de exponerla.
Metacognición 1.
¿Es importante conocer las propiedades geométricas para el desarrollo del pensamiento abstracto? ___________________________________________________________________________________
2.
Los conocimientos adquiridos, ¿son de utilidad en mi vida cotidiana? ___________________________________________________________________________________ 229
Unidad
7 Riquezas del Perú El Perú se caracteriza por ubicarse entre los primeros países en la extracción de oro, plata, hierro, cobre y plomo, entre otros metales. Para la explotación y exportación de estos minerales se realizó una inversión cercana a los US$ 7000 millones, permitiendo ampliar los índices y opciones de exportación, principalmente hacia China. Otro tipo de recursos que se encuentran en el Perú son los no metálicos. Estos tienen la cualidad de tener características similares a los cristales. La forma de estas piedras se ve afectada por distintas variantes durante su elaboración natural; por tal motivo, se pueden encontrar distintas estructuras. Por ejemplo, bloque cúbico, prismático de diferente base o tubular. Asimismo, resalta la gama de colores. Otra de las riquezas de nuestro país, luego de la pesca y la minería, es el turismo. Entre los sitios de interés se pueden nombrar al turismo colonial, gastronómico, de aventura y playa. Camino al sur, en el kilómetro 421,3 de la Panamericana Sur, se encuentra la Casa Museo de la doctora María Reiche. Allí vivió esta notable matemática alemana que realizó estudios sobre las líneas y figuras de Nasca. En ese lugar encontramos materiales elaborados por ella, así como mapas, planos, fotos, piezas arqueológicas y una maqueta didáctica de sus diseños. El ingreso a ese museo tiene un costo de 5 soles. ¿Cómo se expresa la inversión dada en x dólares sabiendo que estuvo por debajo de los 7000 millones, pero encima de los 6000 millones? ¿Con qué frecuencia se realizan actividades de turismo en tu región? ¿Cuántos visitantes extranjeros ha recibido el Perú en los dos últimos años? ¿Cómo representas con una ecuación el pago que realiza un grupo de 6 turistas para ingresar al museo María Reiche?
230
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Comunica y representa ideas matemáticas
•
Elabora y usa estrategias Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
•
Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema. Emplea gráficas, tablas que expresan ecuaciones lineales de una incógnita para llegar a conclusiones. Emplea estrategias heurísticas al resolver problemas de ecuaciones lineales expresadas con decimales o enteros. Identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros. Reconoce relaciones no explícitas entre figuras y las expresa en un modelo basado en prismas o pirámides.
Matematiza situaciones •
•
Selecciona un modelo relacionado a prismas o pirámides al plantear y resolver problemas. Describe prismas y pirámides en relación al número de sus lados, caras, aristas y vértices.
Comunica y representa ideas matemáticas
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
•
•
Elabora y usa estrategias
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas •
231
Describe prismas y pirámides indicando la posición desde la cual se ha efectuado la observación.
Halla el volumen de prismas y pirámides empleando unidades de referencia (basadas en cubos), convencionales o descomponiendo formas geométricas cuyas medidas son conocidas, con recursos gráficos y otros.
Propone conjeturas respecto a las relaciones de volumen entre un prisma y la pirámide.
Justifica las propiedades de prismas y pirámides.
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
50
Conociendo mi país
Taller ma temático 1.
Visitando la feria (Problema de traducción simple) Susana visita una feria de artesanías. Compra un cuadro de exhibición y lo manda a enmarcar. Si sabe que el largo del cuadro rectangular es el triple que el ancho, ¿cuáles son sus dimensiones si el maestro utilizó 400 cm de marco? •
•
2.
Expresa en lenguaje algebraico. Ancho _____________
Largo _____________
Realiza cálculos.
Visitando un museo (Problema de traducción compleja) Leonor y Eduardo visitan un museo de la ciudad. Juntos tienen 75 soles para sus gastos. Si Eduardo posee el doble de dinero que Leonor, ¿cuánto tiene cada uno para sus gastos? Comprendo el problema •
Escribe el problema de una manera más comprensible para ti.
•
¿Qué dato es el más importante?
232
•
¿Con qué letra representas la incógnita?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué deseas calcular?
___________________________________________________________________________________
Diseño una estrategia
Completa la siguiente tabla proponiendo una expresión algebraica. Frecuencia absoluta(f)
Número de soles que tiene Leonor. Número de soles que tiene Eduardo. Número de soles que tienen juntos. Como x + 2 x y 75 soles es lo mismo, la ecuación será: •
¿Crees que está bien planteada la expresión algebraica?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Aplico la estrategia •
Con la expresión algebraica planteada formalmente x + 2 x = 75, continuamos con su resolución. Reduciendo términos semejantes, quedará: Si multiplicamos por 1/3 a cada miembro, obtendremos:
•
Para finalizar ejecutamos la verificación reemplazando el valor calculado en la ecuación x + 2 x = 75; así: Comprobamos reemplazando el valor de 25 en la ecuación. Queda de es te modo: Como puedes observar, es una identidad:
Transfiero lo aprendido •
¿Cuánto dinero tiene cada uno?
233
•
3.
En pareja escriban una situación similar a la anterior y en la que deban plantear una ecuación y resolver utilizando la misma estrategia.
Viaje familiar (Situaciones problemáticas realistas) Cristina viaja con su familia para conocer una ciudad del Perú. Ellos se encuentran en una ciudad A y quieren viajar a una ciudad B, la cual está a 300 km de distancia. A las 9 de la mañana parten en auto desde la ciudad A hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y desde la ciudad B parte otra familia hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. •
Realiza un gráfico que te ayude a comprender el problema.
•
¿Qué tiempo tardarán en encontrarse?
•
¿Cuál es la hora de encuentro?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué distancia ha recorrido cada familia? La distancia recorrida por cada uno. Familia 1 ____________________________________________________________________________ Familia 2 ____________________________________________________________________________
234
•
Luego del encuentro, ¿cuántos kilómetros y cuánto tiempo le falta a cada familia para llegar a su destino? Familia 1 __________________________ _______________________________________________________ __________________________________________________ _____________________
___________________________________________________________________________________ Familia 2 __________________________ _______________________________________________________ __________________________________________________ _____________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Compara las respuestas y verifica la solución con otra estrategia?
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución del problema?
Expreso mediante una letra la incógnita que deseo calcular.
________________________________________ ________________________________________ •
Comprendo el texto planteado mediante una incógnita.
¿Te sirvió utilizar la tabla para completar el modelamiento matemático?
Escribo formalmente la ecuación del texto planteado.
________________________________________ ________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Compruebo que la solución satisface la ecuación escrita.
¿En qué situaciones has utilizado ecuaciones de una incógnita para resolver problemas?
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en pares.
________________________________________
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Realiza las siguientes actividades 1. Calcula el
perímetro de tu dormitorio y luego compara la relación que existe entre la medida del largo y del ancho. Redacta un texto que involucre el largo, el ancho y el perímetro. Formaliza una ecuación.
2.
Metacognición •
Antonio tenía cierta cantidad de dinero dinero y su abuela le da el doble de lo que poseía. Si se gasta 5 soles, le quedan 4. ¿Cuánto dinero tenía Antonio?
•
235
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
51
Museo Tumbas Reales de Sipán El hallazgo de las tumbas del Señor de Sipán (1987) marcó un importante hito en la arqueología del continente, porque por primera vez se reveló la majestuosidad del único gobernante del antiguo Perú encontrado hasta esa fecha. Por ello, en 2002 se construyó el Museo Tumbas Reales de Sipán en la región Lambayeque. Su diseño arquitectónico recuerda las antiguas pirámides truncas de la cultura mochica (siglo I al VII d. C.). La estructura, en un área techada de 3156,45 m ², tiene tres pisos. El acceso es a través de una rampa de 74,21 metros de largo, tal y como se accedía a los antiguos templos moches. La visita se realiza de arriba hacia abajo reviviendo la experiencia del descubridor del Señor de Sipán.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿En tu localidad hay restos o vestigios arqueológicos? ¿Has visitado museos o sitios arqueológicos? ¿Qué características has encontrado en cada uno de ellos? Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
•
¿Hace cuántos años se realizó el hallazgo de las tumbas del Señor de Sipán?
¿Cuántos metros le falta a la rampa para ser el equivalente a 100 metros?
236
Resolvamos: Cruz demostrativa 1.
Comprendo una situación e identifico la pregunta Marcelo y Carlos están dando mantenimiento a una sala del museo Tumbas Reales de Sipán. Marcelo puede pintar la sala en 6 horas y Carlos lo puede hacer en 8. ¿Cuánto tiempo demorarán en pintar la sala si trabajan juntos? •
¿Qué deseas calcular?
___________________________________________________________________________________
•
¿Con qué incógnita identificas lo perdido?
___________________________________________________________________________________
•
¿La expresión algebraica 6 x + + 8 x = = 14 corresponde al texto planteado?
•
Para responder la pregunta, completa la siguiente tabla: Número de horas que se demorarán en pintar juntos. Para el análisis tomemos el tiempo que demora Marcelo en una hora. Para el análisis tomemos el tiempo que demora Carlos en una hora. Ya que no sabemos el tiempo que se demorarán en pintar juntos la habitación, realizando el mismo análisis, obtenemos: 1 1 1 Como + y es el mismo tiempo que se demorarán trabajando 6 8 x juntos, la ecuación será: Podemos multiplicar por 24 x , que es el m. c. m., a toda la ecuación, y queda:
Podemos comparar la expresión algebraica planteada 6 x + + 8 x = = 14 con la expresión algebraica deducida formalmente 4 x + + 3 x = = 24, y determinamos que la correcta es 4 x + + 3 x = = 24, por lo que continuamos con su resolución. Reducimos términos semejantes. Queda: Si multiplicamos por
1 cada miembro, obtenemos: 7
Aproximamos a los centésimos y nos queda:
Para finalizar, ejecutamos la verificación reemplazando el valor calculado en la ecuación 4 x + + 3 x = = 24; así: Comprobamos reemplazando el valor de 3,43 en la ecuación. Queda: Como puedes observar, es una identidad: 2.
Comprendo una situación e identifico la pregunta •
¿Por qué creo que la ecuación planteada es la correcta?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 237
3.
•
¿Por qué creo que la ecuación planteada no es la correcta?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Demuestro la validez de mi re respuesta spuesta 24 ¿Es correcto anotar las expresiones x como solución de la ecuación? ¿Por qué? • 7 ___________________________________________________________________________________ =
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo podemos saber que no existe otra solución?
•
Expresa gráficamente y con fracciones equivalentes.
•
–
¿Qué tiempo dedica Marcelo a pintar la habitación?
–
¿Qué tiempo dedica Carlos a pintar la habitación?
–
¿Qué tiempo dedican los dos juntos a pintar la habitación?
Para fortalecer tu conocimiento, expresa en lenguaje matemático. –
La décima parte de la diferencia de cuadrados es:
238
4.
Planteo conclusiones •
¿Cuál es mi conclusión?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Escribe una transformación del problema planteado inicialmente, para escribirlo en el espacio que sobra.
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de identificación, planteo, formalización y resolución del problema?
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Expreso mediante una letra la incógnita que deseo calcular.
________________________________________ Comprendo el texto planteado mediante una incógnita.
________________________________________ •
¿Te sirvió utilizar la tabla para completar el modelamiento matemático?
Escribo formalmente la ecuación del texto planteado.
________________________________________
•
________________________________________
Compruebo que la solución satisface la ecuación escrita.
¿En qué situaciones has utilizado ecuaciones de una incógnita para resolver problemas?
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en pares.
________________________________________
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
Un estudiante debe leer una novela novela en una semana. Entre lunes y martes lee ¼ del libro, y el miércoles lee 1/5 del resto. Si para los restantes días de la semana todavía le quedan 30 páginas por leer, ¿cuál es el número total de páginas del libro?
Metacognición •
•
Una solución solución de sal se hizo al 8 % y otra otra al 20 %. %. ¿Cuántos litros de cada una se deben mezclar para obtener 10 litros de solución al 12 % de sal? 239
¿Qué pasos sigo para resolver una ecuación? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
52
Pirámides de Túcume Túcume Túcume es un Túcume un sitio arqu arqueoló eológico gico muy notab notable le por por su extrao extraordin rdinario ario tama tamaño ño y porque se formó de restos de pirámides o huacas de adobe. La pirámide de mayor tamaño se construyó con más de 130 millones de ladrillos, pues tuvo una altura de 30 m, un ancho de 270 m y una longitud de 700 m. A diferencia de las pirámides de Egipto, las de Túcume forman grandes plataformas superpuestas y no acaban en punta sino que se asemejan a una pirámide truncada. Actualmente se las puede ver como grandes promontorios o cerros naturales, pero originalmente tenían formas geométricas, lo cual ha ocurrido por el efecto de los fenómenos naturales, como las lluvias torrenciales que periódicamente azotan a la región. ¿Qué características y qué elementos geométricos tienen las pirámides de Túcume?
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué vestigios históricos hay en tu localidad? ¿Qué harías para promocionarlos?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
Esboza el desarrollo del poliedro que representa la pirámide de Túcume.
¿Qué polígonos pueden representar las caras laterales y las bases de este poliedro?
240
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
2.
Respondo interrogantes •
Observa los cuerpos geométricos.
•
¿Cuál de los cuerpos representa a las plataformas de Túcume?
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo clasificarías los objetos?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué característica consideraste para esa clasificación?
___________________________________________________________________________________
Realizo actividades organizadas •
¿Cuántos sólidos son prismas? ____________________
•
¿Cuántos sólidos son pirámides? ____________________
•
¿Qué características comunes tienen todos los prismas y pirámides?
___________________________________________________________________________________
•
Agrupen los objetos considerando ciertas características: –
3.
Por sus caras laterales, rectangulares y triangulares.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Explico lo realizado •
¿Crees que lo propuesto anteriormente es una característica geométrica?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 241
•
¿Cómo llamarías a los cuerpos geométricos que tienen caras laterales? ________________________________________________________ ___________________________ ________________________________________________________ ___________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo llamarías a los cuerpos geométricos que terminan en punta?
___________________________________________________________________________________
•
Escribe el nombre de cada sólido. Sólidos con caras rectangulares
4.
Sólidos con caras triangulares
•
Escribe las semejanzas que encontraste en los prismas.
___________________________________________________________________________________
•
Escribe la diferencia entre una pirámide y un prisma.
___________________________________________________________________________________
•
Reflexiona acerca del significado de truncado en la pirámide y escríbelo con tus palabras.
___________________________________________________________________________________
•
Describe los elementos y las características de la pirámide de Túcume.
___________________________________________________________________________________
Propongo un diseño diseño creativo creativo •
Observa los dos cuerpos geométricos y analiza.
•
Escribe las características comunes que encuentres.
___________________________________________________________________________________
•
¿Crees que tendrán el mismo volumen? ___________________________________________________
•
¿Qué diferencias encuentras en los sólidos? ________________________________________________ 242
5.
Organizo mis ideas •
Formen equipos de trabajo y realicen un organizador gráfico, con ayuda del desglosable 9 de la página 369, sobre lo que aprendieron en esta ficha. Encuentren semejanzas, diferencias y errores entre los distintos organizadoress y expongan en clase. organizadore
Finalicemos
Reflexiona •
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de la clasificación de prismas y pirámides?
Autoevaluación
e o m y o d o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Identifico las caras laterales y las puntas de cuerpos geométricos.
________________________________________ ________________________________________
Clasifico prismas y pirámides.
________________________________________ •
Escribo diferencias y semejanzas de prismas y pirámides.
¿Te sirvió identificar sólidos para clasificar prismas y pirámides? ________________________________________
Identifico prismas y pirámides.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en equipo. Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Realiza las siguientes actividades 1. Calcula el
área de cada una de las paredes de tu dormitorio incluyendo el piso y el techo, luego súmalas. Con estos datos acabas de encontrar el área total de un prisma. Indica qué tipo de prisma.
Metacognición •
2. Elabora una
nueva situación problemática para que puedas identificar un prisma o una pirámide.
•
243
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
53
Chavín de Huántar Cuando hablamos de Chavín de Huántar o Templo Chavín decimos que es un sitio arqueológico de un valor histórico y cultural insuperable, ya que fue el principal centro de culto y urbano de la cultura chavín, construido entre los años 850 y 300 a. C., con una técnica de arquitectura en piedra tallada que ninguna otra cultura ha podido superar. Este espectacular espe ctacular monumento se encuentra aproximadamente a 250 km al norte de Lima. Está construido en tres plataformas con columnas cilíndricas talladas y labradas, y pozos de ventilación horizontales y verticales. En su interior existen muchos pasadizos laberínticos, galerías y nichos en algunas paredes. Su construcción tiene distintos niveles, comunicados por escaleras talladas en granito. ¿Qué relación existe entre el número de lados, caras, aristas y vértices de los nichos y pasadizos?
Cuenta tu experiencia •
•
¿Has visitado el templo Chavín de Huántar? ¿Qué sitio del Perú se parece a este templo?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
¿Cuántos años aproximadamente duró la construcción del templo?
•
¿Cómo está construido el templo chavín?
•
¿Qué diferencias existen entre la arquitectura pasada y la arquitectura actual?
244
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes •
La imagen muestra la estructura del templo Chavín de Huántar. Ala
Atrio Ala
Brazo izquierdo
Escalera
Pozo circular Vestíbulo
Plaza
Brazo derecho •
2.
3.
Responde. –
¿Qué sólido geométrico representa el brazo derecho del templo? ___________________________
–
¿Cuántas caras tiene dicho brazo? ___________________________________
–
¿Cuántas aristas tiene un brazo del templo? ___________________________________
–
¿Cuántos vértices tiene el brazo izquierdo? ___________________________________
–
¿Cuántas caras tiene el ala derecha del templo? _____________________________________
–
¿Cuántas aristas tiene el ala izquierda del templo? ___________________________________
–
¿Cuántos vértices tiene el ala derecha? ___________________________________
Realizo actividades organizadas •
Describe los aspectos generales de la cerca del vestíbulo.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Explico lo realizado •
¿Crees que lo propuesto describe geométricamente al prisma?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo llamarías a los cuerpos geométricos que tienen caras laterales perpendiculares a las bases? ___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo llamarías a los cuerpos geométricos que no tienen caras laterales perpendiculares a las bases?
___________________________________________________________________________________
245
•
Completa la siguiente tabla de cuerpos geométricos:
Cuerpo geométrico
N.° de caras
N.° de aristas
N.° de vértices
N.° de caras laterales
N.° de bases
Nombre
Prisma de base triangular
5
10
12
3
4.
•
A partir de la síntesis mostrada en la tabla, explica en forma discursiva y con tus propias palabras el nuevo conocimiento adquirido.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Propongo un diseño creativo •
Escribe las semejanzas que encontraste en los prismas con respecto a las aristas y vértices.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Escribe las semejanzas que encontraste en las pirámides con respecto a las aristas y vértices.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Escribe las diferencias entre un prisma y una pirámide regular.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 246
5.
Organizo mis ideas •
Formen parejas de trabajo, escojan un sólido geométrico, dibújenlo y realicen una descripción de sus elementos y características.
•
Comparen los cuerpos geométricos escogidos y escriban sus semejanzas y diferencias.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de descripción de prisma y pirámide?
Identifico las caras laterales bases, aristas y vértices de cuerpos geométricos.
________________________________________ ________________________________________ •
Describo prismas y pirámides.
¿Te sirvió utilizar la tabla para reconocer y describir prismas y pirámides?
Escribo diferencias y semejanzas de prismas y pirámides.
________________________________________ ________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D o o g f o L l s e
Dibujo prismas rectos y pirámides regulares.
¿En qué situaciones has utilizado caras laterales, bases, aristas o vértices para resolver problemas?
Coevaluación
________________________________________ Realizamos el trabajo en equipo.
________________________________________
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Realiza la siguiente actividad 1. Cuenta y mide cada
una de las aristas del dormitorio de tus padres. También calcula el área de cada una de sus paredes, incluyendo el piso y el techo. Asimismo, cuenta su número de vértices. Con estos datos que acabas de encontrar elabora una tabla similar a la que llenaste anteriormente y aumenta una columna para el área total de un prisma.
Metacognición •
•
247
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
Observando prismas y pirámides
54
Taller ma temático 1. A. Mirando
la torre (Problemas de traducción simple)
En las figuras 1 y 2 de abajo se ven dos dibujos de la misma torre. En la figura 1 se observan tres caras del tejado de la torre. En la figura 2 se notan cuatro caras. Figura 1
Figura 2
•
En el siguiente dibujo se muestra la vista del tejado de la torre desde arriba. Se han señalado cinco posiciones en el dibujo. Cada una de ellas está marcada con una cruz (×) y se han denominado de P1 a P5.
•
Desde cada una de estas posiciones, una persona que mirase la torre sería capaz de ver un número determinado de las caras del tejado de la torre. P2 P1 P3
P5 P4 •
En la tabla siguiente, rodea con un círculo el número de caras que se verían desde cada una de estas posiciones. Posición
Número de caras que se verían desde esa posición
P1
1
2
3
4
más de 4
P2
1
2
3
4
más de 4
P3
1
2
3
4
más de 4
P4
1
2
3
4
más de 4
P5
1
2
3
4
más de 4
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee
248
B.
Formando sólidos Camila fue de visita al centro arqueológico de Chan Chan y en sus paredes encontró las siguientes figuras geométricas. Si utiliza cinta adhesiva para formar sólidos geométricos, ¿qué sólidos podría formar con estas figuras? Dibújalos y describe cómo los formaste.
2.
Identificando sólidos (Problemas de traducción compleja) En un paseo por los museos de La Libertad, Marco y Rocío encuentran dos plantillas y deciden armar dos sólidos geométricos. ¿Qué características encuentran en cada uno? ¿Cómo son sus vistas desde arriba y de frente?
•
¿Qué sólidos se formaron?
___________________________________________________________________________________
•
¿Cuántas aristas, caras y vértices tiene cada sólido?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
249
•
Trabajen en parejas para observar las vistas de los sólidos.
•
Coloquen el prisma y la pirámide en el suelo; miren desde arriba y dibujen lo que observan.
•
Coloquen los sólidos en una mesa y mírenlos de frente; dibujen lo observado.
•
¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar de frente en el prisma? ___________________________
•
¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar desde arriba en el prisma?__________________________
•
¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar de frente en la pirámide?__________________________
•
¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar desde arriba en el prisma?__________________________
•
Al terminar, compara los dibujos e identifica el lugar desde donde se realizó la observación.
–
¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar de frente en el prisma?
___________________________________________________________________________________
–
¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar desde arriba en el prisma?
___________________________________________________________________________________
–
¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar de frente en la pirámide?
___________________________________________________________________________________
–
¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar desde arriba en la pirámide?
___________________________________________________________________________________
•
¿Crees que es acertada la descripción geométrica propuesta desde la posición frontal al prisma?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Crees que es acertada la descripción geométrica propuesta desde la posición superior a la pirámide?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Para qué crees que es necesario observar un cuerpo geométrico desde distintas posiciones?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 250
3.
Observando sólidos (Situaciones problemáticas realistas) •
Juan tiene el siguiente sólido geométrico formado por cubos pequeños. ¿Qué figura observas si lo miras desde arriba y desde cualquiera de los frentes? Arriba
Frente
Finalicemos
Reflexiona •
•
Autoevaluación
¿Te sirvieron las plantillas de los prismas y las pirámides para reconocer sus propiedades? ________________________________________
Identifico los elementos de los prismas.
________________________________________
Identifico los elementos de las pirámides.
¿Te sirvió utilizar los objetos que construiste al iniciar la ficha?
Escribo diferencias y semejanzas de prismas y pirámides según su posición.
________________________________________ ________________________________________ •
Dibujo prismas rectos y pirámides regulares según su descripción.
¿En qué situaciones de la vida has utilizado la posición de observación para resolver problemas?
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en equipo.
________________________________________
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
3.
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
Lee la descripción y dibuja el cuerpo al que se refiere: “Es un cuerpo geométrico con 4 caras rectangulares, 2 caras cuadradas, 8 vértices y 12 aristas”.
Metacognición
Describe la pirámide de las Tumbas Reales del Señor de Sipán y establece diferencias y semejanzas con los sólidos geométricos que conoces.
•
•
Elabora una nueva situación problemática para que puedas describir un prisma o una pirámide. 251
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
55
Tambomachay o Baños del Inca Tambomachay se encuentra a 8 km al noreste del Cusco, ubicado en las faldas de un cerro, sobre el río Tambomachay; ocupa un área de 437 metros cuadrados, ubicados sobre los 3 700 metros de altitud. Su nombre proviene del quechua tampu (alojamiento colectivo) y machay (lugar de descanso). Los acueductos artísticamente tallados que se pueden observar conservan y derraman agua limpia durante todo el año en forma permanente y controlada. En este monumento se observan cuatro muros o terrazas escalonadas adosadas al cerro, construidos sobre la base de poliedros irregulares de piedra labrada, magistralmente ensambladas. ¿Cuál será el área de la piedra labrada si tiene la forma de un prisma cuadrangular?
Cuenta tu experiencia •
•
¿En tu localidad existen canales de irrigación? ¿Qué formas geométricas tienen?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
¿Qué área ocupa Tambomachay?
•
¿Qué formas tienen las piedras labradas de Tambomachay?
•
¿Cómo podrías hacer para calcular el volumen de una de las piedras?
252
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes •
Las figuras 1 y 2 son artesanías de resina transparente que contienen en su interior una piedrita tallada. Figura 1
Figura 2
base
vértice
cara lateral
arista lateral
arista lateral
a r u t l a
vértice arista básica •
cara lateral apotema
base
Responde. –
¿Cómo se calcula el perímetro de la base del prisma y de la pirámide?
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ –
¿Cómo se calcula el área de la base del prisma y de la pirámide?
___________________________________________________________________________________ –
¿Cómo se calcula el área total del prisma y de la pirámide?
___________________________________________________________________________________ –
¿Qué es la apotema de un polígono?
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 2.
Realizo actividades organizadas •
Escribe las ecuaciones para calcular lo solicitado en cada sólido.
Perímetro
Área lateral
Perímetro
Área lateral
Área de la base
Área total
Área de la base
Área total
Para el prisma: •
Para la pirámide:
Describan en parejas los elementos que componen la fórmula del área de la base y del área lateral del prisma. ___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 253
3.
4.
5.
Explico lo realizado •
¿Por qué son diferentes las fórmulas del área lateral?
___________________________________________________________________________________
•
Relaciona en la siguiente tabla la definición con su correspondiente fórmula: Orden
Definición
Orden
Fórmula
1
Teorema de Pitágoras
A
P = n � a
2
Perímetro
B
3
Área total del prisma
C
AL =
4
Área lateral de la pirámide
D
AT = 2 AB + AL
5
Área de la base del prisma
E
c 2 = a2 + b2
AB =
Relación
P � a p
2
n(a � h p)
2
Propongo un diseño creativo •
Escribe las semejanzas que encontraste en las fórmulas entre el prisma y la pirámide.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Escribe las diferencias que encontraste en las fórmulas entre el prisma y la pirámide regular.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Organizo mis ideas •
Calcula el área total del prisma. •
Utiliza las fórmulas definidas: P =
10,2 cm AB = AL =
16 cm
AT =
11,76 cm
254
•
Calcula el área total de la pirámide hexagonal.
•
Utiliza las fórmulas definidas.
P =
L = 9,1
AB =
h=d AL =
a = 4,33
AT =
r=5 x=5
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué estrategia fue útil para resolver el problema? ________________________________________
Identifico fórmulas de área según las figuras geométricas conocidas.
________________________________________ •
Relaciono las fórmulas de áreas según los cuerpos geométricos estudiados.
¿Fue útil identificar primero las fórmulas de cada área para encontrar el área total?
Escribo diferencias y semejanzas de las fórmulas de prismas y pirámides.
________________________________________ ________________________________________ •
¿En qué otras situaciones utilizarías las propiedades de las pirámides?
Calculo perímetros y áreas de prismas y pirámides regulares según un texto planteado.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en equipo. Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Lee la descripción y dibuja el cuerpo al que se refiere: “Es un cuerpo geométrico con 5 caras rectangulares, 2 caras pentagonales, 10 vértices y 15 aristas, con un radio de 2,5 cm, una arista básica de 3 cm y una altura de 6 cm”. Calcula el área total.
Metacognición •
Describe una pirámide irregular; establece diferencias y semejanzas comparando con una pirámide regular.
•
255
¿Qué habilidades nuevas adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
56
El lago Titicaca Es uno de los lugares más hermosos y misteriosos de América. Sus aguas bañan y conservan a una población que en su mayoría es de indígenas, quienes aún guardan las tradiciones del Imperio inca. Ubicado en una zona compartida por el Perú y Bolivia, este lago navegable se distingue por las grandes dimensiones que posee: una superficie aproximada de 8 490 km2 y una profundidad de 280 metros. De acuerdo con la antigua leyenda inca, desde las profundidades del lago Titicaca emergieron Manco Cápac y Mama Ocllo, fundadores del imperio incaico. a n a l l e r O a l l e i n a D ©
Cuenta tu experiencia •
•
¿Existen lagunas en tu región? Indica cuáles. ¿Existen viviendas cerca de las lagunas?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
¿Cuál es el área y la profundidad del lago Titicaca?
•
¿Quiénes fueron Manco Cápac y Mama Ocllo?
•
De acuerdo con la imagen, ¿qué forma tienen sus casas?
256
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes •
Observa los sólidos geométricos que se asemejan, en escala, a la base y el techo de una vivienda de los uros. Altura = 8 cm
Altura = 8 cm
Arista básica = 4 cm
Arista básica = 4 cm
2.
•
¿Cómo se llaman los sólidos presentados? ___________________________________________________
•
¿Tiene apotema un cuadrado? ___________________________________________________________
•
¿Cómo se calcula el volumen del prisma? ___________________________________________________
•
¿Cómo se calcula el volumen de la pirámide regular? _____________________________________________
Realizo actividades organizadas •
Observa la figura y responde la pregunta planteada.
8 cm
B = 18 cm2
8 cm
+
B = 18 cm 2
+
8 cm
=
B = 18 cm 2
8 cm
B = 18 cm2
•
¿Por qué el volumen de una pirámide regular es la tercera parte del prisma de la misma base y altura?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Escribe las fórmulas para calcular el perímetro, el área de la base y el volumen de un prisma y de una pirámide con la misma base y altura. Para el prisma:
•
Para la pirámide:
Formen parejas y describan los elementos que componen la fórmula del volumen de la pirámide. ___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿En qué varía la fórmula del volumen de la pirámide y la del volumen del prisma?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 257
3.
4.
Explico lo realizado •
Si para que el volumen de un prisma se llene con agua se necesitan tres veces el volumen de una pirámide de la misma base y la misma altura, ¿crees que de la misma manera se cumple con el área lateral?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Propongo un diseño creativo •
Completa la tabla y analiza cómo varía el volumen en relación con la altura, si el área de la base es constante, y para ello calcula el volumen del prisma y el de la pirámide.
Figura
Área de la base
Altura
Volumen del prisma
Volumen de la pirámide
16 cm2
1 cm
16 cm3
5,33 cm3
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
258
5.
Organizo mis ideas Calcula el volumen del prisma y el de la pirámide.
•
10,2 cm
AB = ____________________
AB = ____________________
h = ____________________
h = ____________________
16 cm
11,76 cm
L = 9,1
V = ____________________
h=d
Por deducción el volumen de la pirámide es: V =
____________________
Por deducción el volumen del prisma es:
a = 4,33 r=5
____________________
V =
x=5
V =
____________________
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste al calcular el volumen de la pirámide y cuál es el razonamiento para deducir el volumen del prisma que tiene la misma base?
Identifico fórmulas de área de la base según las fórmulas de figuras geométricas conocidas.
_______________________________________
Relaciono las fórmulas de volumen según los cuerpos geométricos estudiados.
_______________________________________ _______________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D o o g f o L l s e
Escribo diferencias y semejanzas de las fórmulas de volumen de prismas y pirámides.
¿Te sirvió utilizar la tabla para reconocer las fórmulas de volumen de prismas y pirámides? _______________________________________
Dibujo prismas rectos y pirámides regulares según un texto planteado.
_______________________________________
Coevaluación
_______________________________________
Realizamos el trabajo en equipo.
Realiza la siguiente actividad
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
1. Lee la descripción y dibuja el cuerpo al que se
refiere: “Es un cuerpo geométrico con 5 caras rectangulares, 2 caras pentagonales, 10 vértices y 15 aristas, con un radio de 5 cm, una arista básica de 6 cm y una altura de 9 cm”. Calcula su volumen y deduce el volumen de la pirámide que tiene la misma base.
Metacognición •
•
259
¿Qué aprendí en esta actividad? ¿Cómo puedo aplicar estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
57
Calculando con cubos
Taller ma temático 1. A. Construyendo
bloques (Problemas de traducción simple)
A Susana le gusta construir bloques con cubos pequeños como el que se muestra en la siguiente figura:
Cubo pequeño
Susana tiene muchos cubos pequeños como este. Utiliza pegamento para unir los cubos y construir otros bloques. Primero, Susana pega ocho cubos para hacer el bloque que se muestra en la figura A:
Figura A
Luego, Susana hace los bloques macizos que se muestran en las figuras B y C:
Figura B
Figura C
Pregunta 1 •
¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque que se muestra en la figura B?
Pregunta 2 •
¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para construir el bloque macizo que se muestra en la figura C?
260
Pregunta 3
Susana se da cuenta de que ha utilizado más cubos pequeños de los que realmente necesitaba para hacer un bloque como el que se muestra en la figura C. Advierte que pudo haber construido un bloque pegando los cubos pequeños pero dejando un vacío en el centro. •
¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesita para hacer un bloque como el que se muestra en la figura C pero vacío?
Pregunta 4
Ahora Susana quiere construir un bloque que parezca un bloque macizo y tenga 6 cubos pequeños de largo, 5 de ancho y 4 de alto. Quiere usar el menor número posible de cubos dejando el mayor hueco posible en el interior. •
¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesitará Susana para hacer este bloque?
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee B.
Completando sólidos Nancy quiere formar un paralelepípedo y conocer su volumen, para lo cual debe completar lo que ya adelantó su amiga Martha. •
Observa la figura. •
¿Cuántos cubos de 1 cm3 faltan para cubrir todo el espacio? ___________________________________________________
3 cm
•
¿Cuál es el volumen de la figura incompleta? ___________________________________________________
4 cm 5 cm
•
•
¿Cuál es el volumen de la figura completa? ___________________________________________________
Por deducción ¿cuál sería el volumen de una pirámide si la base y la altura tuvieran las mismas medidas?
261
2.
Comparando prismas y pirámides (Problemas de traducción compleja) Juan quiere conocer la cantidad de cubos de 1 cm 3 que pueden contener diferentes cajas en forma de prismas y pirámides. Para esto, compara dos sólidos con bases y alturas iguales. •
Observa los cuerpos geométricos. Altura = 4 cm
Altura = 4 cm
Arista básica = 4 cm Arista básica = 4 cm
•
¿Cómo se llama la primera figura? ________________________________________________________
•
¿Cómo se calcula el volumen del cubo? ___________________________________________________
•
¿Cuántos cubitos de 1 cm3 son necesarios para completar el cubo? ______________________________
•
¿Cuántos cubitos de 1 cm3 son necesarios para completar la pirámide? ___________________________
•
Luego quiere saber cómo varía el volumen en relación con la arista básica del cubo; para ello, calcula el volumen del prisma y el de la pirámide en cubitos de 1 cm3. Completa la tabla. Cubo
Arista básica
Volumen del prisma en cubitos
Volumen de la pirámide en cubitos
2
8 cubitos
2 2 cubitos más __ de cubo 3
4
216 cubitos
2 170 cubitos más __ de cubo 3
262
3.
Calculando volumen (Situaciones problemáticas realistas) Carlos quiere completar un paralelepípedo con cubos de madera. Si su hermano ya inició el trabajo, ¿cuántos cubos faltan para completarlo?
•
Si cada cubo mide de arista 2 cm, ¿cuál es el volumen del paralelepípedo completo?
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de calcular el volumen del cubo con cubos más pequeños, y así deducir el volumen de su correspondiente pirámide?
Identifico fórmulas de volumen del cubo. Relaciono las fórmulas de volumen según los cuerpos geométricos estudiados.
________________________________________ ________________________________________ •
Escribo diferencias y semejanzas de las fórmulas de volumen del cubo, ortoedro y pirámides.
¿Te ayudó a reforzar las fórmulas para calcular áreas y volúmenes a través del organizador gráfico? ________________________________________
Dibujo figuras en tres dimensiones con cubitos que representen prismas rectos y pirámides regulares.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
¿En qué situaciones cotidianas has utilizado el cálculo de volúmenes?
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en equipo.
________________________________________ Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Realiza la siguiente actividad 1. Mide el
tamaño de un bloque y luego las paredes de tu dormitorio. Ahora calcula el número de bloques que existen en tu dormitorio, descontando los que no están en la/s ventana/s.
2.
Metacognición •
Si el volumen de cada cubito que compone el cubo de rubik es 1,125 cm3, ¿cuál es el volumen del cubo de rubik?
•
263
¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
58
Piquillacta: arqueología wari Piquillacta es un complejo arqueológico wari, considerado actualmente como una de las ciudades preíncas más conservadas del Perú; está ubicado a 30 km del Cusco a una altura de 3350 m. s. n. m. La ciudadela presenta una planificación urbana notable, con un plan geométrico casi perfecto, cuyos edificios, canchas y plazas son de forma rectangular y cuadrada. Las construcciones, de piedra sin tallar y adobe con argamasa, están ordenadas en conjuntos separados por calles rectas y circundadas por muros de hasta 12 m de alto, que la asemejan a una fortaleza.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Cómo son las construcciones de tu localidad? ¿Qué forma tienen las edificaciones de tu localidad? Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
¿De qué material fue construido Piquillacta?
•
¿Hasta cuántos metros llegan a medir sus muros?
•
Si tuvieras que preparar un volante para promocionar a Piquillacta, ¿qué características nombrarías?
264
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes •
Observa los sólidos e identifica cuáles de ellos podrían haber sido empleados en las construcciones de Piquillacta.
Prisma triangular
2.
Prisma cuadrangular
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Pirámide triangular
Pirámide cuadrangular
Pirámide pentagonal
Pirámide hexagonal
•
¿Por qué se llaman prismas regulares?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo reconoces a un prisma?
___________________________________________________________________________________
•
¿Por qué se llaman pirámides regulares?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo reconoces a una pirámide?
___________________________________________________________________________________
Realizo actividades organizadas •
Completa la tabla con las fórmulas de prismas y pirámides regulares.
Forma de la base
Área de la base
Forma de la cara del prisma
Área de las caras laterales del prisma
Triangular
Cuadrangular
Pentagonal
Hexagonal
265
Forma de la cara de la pirámide
Área de las caras laterales de la pirámide
Explico lo realizado
3.
•
Completa la tabla y analiza las formas de las caras laterales, las aristas laterales y el número de vértices. Analiza el número de los lados, las caras, los vértices y las aristas para concluir si es un prisma o una pirámide. lados n + 2 caras 2n vértices 3n aristas n
Cuerpo geométrico
•
N.º de Forma de bases caras laterales
Aristas laterales
N.º de vértices
n lados + 1 caras n + 1 vértices 2n aristas
n
A partir de la síntesis mostrada en la tabla, los estudiantes explican en forma discursiva y con sus propias palabras el nuevo conocimiento adquirido.
Propongo un diseño creativo
4.
•
a.
Aplicando propiedades de prismas identifica y describe cuál de las siguientes figuras planas no forma un prisma recto. _________________________________________
b.
_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ c.
_________________________________________
d.
_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ •
Escribe las propiedades que tiene el prisma.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 266
5.
Organizo mis ideas. •
Completa el organizador nombrando las principales propiedades de un prisma y de una pirámide.
•
Recorta el material de las páginas 375, 377, 379, 381 y 383 y arma los poliedros para tu explicación. Propiedades
Pirámide
Prisma
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de justificar propiedades de prismas y pirámides?
________________________________________
Relaciono propiedades de prismas y pirámides con propiedades de sólidos y poliedros.
¿Qué característica crees que es la más importante al momento de encontrar el volumen de un prisma o una pirámide?
Escribo diferencias y semejanzas de las propiedades de prismas y pirámides.
________________________________________
Trazo y obtengo figuras en tres dimensiones aplicando propiedades de prismas y pirámides.
________________________________________ •
¿En qué situaciones has utilizado propiedades de prismas y pirámides para resolver problemas?
Coevaluación
________________________________________
Realizamos el trabajo en equipo.
________________________________________
Analizamos las ideas de manera crítica y constructiva.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
Determina si tu colegio o escuela tiene propiedades de prismas y pirámides; explica cuáles son.
En la siguiente figura explica las propiedades de prismas y pirámides. Calcula el área total y el volumen.
é r g o l o L
Justifico propiedades de prismas y pirámides.
________________________________________
•
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Metacognición
2m
•
3m
5m 5m
267
•
¿Qué aprendí en esta actividad? ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
Evaluación Recorriendo el Perú El informe de la Organización Mundial del Turismo (OMT) detalla que el Perú recibió en el 2013 a cerca de 3,2 millones de turistas internacionales, ubicándose en el tercer lugar del ranking (sin contar a Brasil) después de Argentina y Chile, que recibieron 5,5 y 3,5 millones de visitantes extranjeros, respectivamente. El tour más promocionado en el Perú es de 5 días, en el que se visitan Lima, Cusco, Machu Picchu y el Valle Sagrado.
Resuelve:
1.
La distancia desde Lima a la puerta de Machu Picchu es de aproximadamente 1800 km, mientras que la distancia desde Lima al Cusco es de aproximadamente 1093 km. ¿Cuál es la distancia aproximada que existe entre el Cusco y Machu Picchu? Además expresa dicha distancia en decámetros, metros y centímetros.
2.
En una caminata por las ruinas de Machu Picchu, Antonio lleva sobre sus hombros a Lucía, su hija, quien pesa la mitad de él; Lucía, al mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad de ella, y el perrito lleva un collar que pesa la mitad de él. Si Antonio con su carga pesa 120 kilogramos, ¿cuánto pesa Antonio sin carga alguna?
3.
268
La base de una pirámide rectangular tiene un perímetro de 86 cm. Si el largo mide 13 cm más que su ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la base de la pirámide y cuál es su área?
4.
Luis diseña una pirámide regular de cartulina para presentar una exposición de su trabajo sobre los sitios turísticos de nuestro país. ¿Cuáles son el área y el volumen de dicha pirámide? A Altura de una de las caras laterales: 30 cm
B
m c 8 1
18 cm
C
Producto
5.
Elabora un prisma cuadrangular y coloca en él propaganda para promocionar nuestra diversidad cultural de los monumentos estudiados en esta unidad.
Autoevaluación Indicadores
Siempre
A veces
Pocas veces
Siempre
A veces
Pocas veces
Identifico la incógnita para formalizar una ecuación lineal de una incógnita y resolverla. Elaboro modelos matemáticos basados en perímetros para calcular áreas. Calculo áreas y volumen de prismas rectos. Calculo áreas y volumen de pirámides regulares. Realizo conversiones de unidades de longitud, área y volumen.
Coevaluación Indicadores
Participamos activamente en actividades planificadas para reforzar el aprendizaje. Trabajamos en equipo respetando las opiniones y delegamos a un representante de manera consensuada.
Metacognición 1.
¿Qué aprendí al resolver estas actividades? __________________________________________________
2.
¿En qué situaciones de mi vida puedo aplicar lo aprendido? _____________________________________ 269
Unidad
8
Matemática en alimentación y turismo Los productos peruanos son reconocidos a nivel nacional e internacional gracias a sus sabores —en lo cual uno de nuestros platos bandera es el cebiche— y a productos vegetales con valores nutricionales como la maca, la tuna, la quinua y otros. Por otro lado, las diversas festividades y expresiones culturales, como el Inti Raymi, se han convertido en un recurso turístico importante y se celebran a lo largo de todo el año. Un grupo de jóvenes participan en la festividad del Inti Raymi por quinto año consecutivo. Ellos apuestan por la gastronomía, para lo cual preparan tamales cusqueños. La receta para su preparación es una fórmula secreta que ha pasado de generación en generación. Las cantidades y porciones de los ingredientes que aparecen en ella, rinden para cuatro tamales. Los organizadores han dado la información del número de asistentes a la festividad:
Festividad 2009
Festividad 2011
Festividad 2013
Festividad 2015
400
800
1200
1600
¿Cómo se puede determinar la cantidad de asistentes, aproximadamente, a la festividad del 2016 si se mantiene el patrón de crecimiento? Un estudio realizado muestra que hay una tendencia en la que 20 de cada 100 asistentes tienen preferencias por los tamales; ¿cómo puede ayudar este dato a decidir cuántos tamales elaborar? ¿Qué plato típico es representativo en tu región? ¿Qué fiestas celebran en tu región? ¿De qué manera consideras que las festividades aportan en la economía del país?
I n gredie ntes:
o 1 k g c hoc lo desgra nad 150 g ce bo l la 40 g c u la ntro 100 g de ma n í 2 a j íes verdes o l ido 1 c uc harad ita de a jo m 150 g de ma nteca Sa l, p i m ie nta
154 270
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones •
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
•
Comunica y representa ideas matemáticas
•
•
Elabora y usa estrategias
•
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
Matematiza situaciones •
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
Comunica y representa ideas matemáticas •
•
•
Elabora y usa estrategias •
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
271
Reconoce relaciones no explícitas en problemas multiplicativos de proporcionalidad y lo expresa en un modelo basado en proporcionalidad directa e inversa. Diferencia y usa modelos basados en la proporcionalidad directa e inversa al plantear y resolver problemas. Describe que una cantidad es directamente proporcional a la otra. Organiza datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre magnitudes. Expresa la duración de eventos, medidas de longitud, peso y temperatura considerando múltiplos y submúltiplos, °C, °F, K. Emplea convenientemente el método de reducción a la unidad en problemas de proporcionalidad. Emplea convenientemente la regla de tres simple, en problemas de proporcionalidad. Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. Justifica cuándo una relación es directa o inversamente proporcional. Diferencia la proporcionalidad directa de la inversa. Ordena datos al reconocer eventos independientes provenientes de variadas fuentes de información, de característica aleatoria al expresar un modelo referido a probabilidad de sucesos equiprobables. Plantea y resuelve problemas sobre la probabilidad de un evento en una situación aleatoria a partir de un modelo referido a la probabilidad. Representa con diagramas de árbol, por extensión o por comprensión, sucesos simples o compuestos relacionados a una situación aleatoria propuesta. Expresa el concepto de la probabilidad de eventos equiprobables usando terminologías y fórmulas. Reconoce sucesos equiprobables en experimentos aleatorios. Usa las propiedades de la probabilidad en el modelo de Laplace al resolver problemas. Reconoce que si el valor numérico de la probabilidad de un suceso se acerca a 1 es más probable que suceda y, por el contrario, si va hacia 0 es menos probable. Propone conjeturas sobre la probabilidad a partir de la frecuencia de un suceso en una situación aleatoria.
Cantidad
Ficha
59
Tuna, la reina de las frutas Producida en la región andina, la tuna es una fruta nativa del Perú; el cactus, que es la planta donde crece, está constituido por un 90 % de agua y crece en zonas áridas y desérticas. Por cada 100 g de tuna, aproximadamente, encontramos 20 mg de vitamina C, 16 mg de calcio, 26 mg de fósforo y 30 mg de potasio. Se recomienda incluir una porción de tuna en la dieta de personas con problemas gástricos y con enfermedades coronarias, ya que tiene propiedades antisépticas y astringentes. Es una de las riquezas de nuestro país y es fuente de sustento para muchas familias.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué frutas hay en tu región? ¿Qué valores nutritivos tienen las frutas producidas en tu región?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
¿Qué porcentaje aproximado de cada sustancia encontramos en la tuna?
•
¿En qué zonas de nuestro país encuentras la tuna?
•
Una mandarina de 100 g tiene 26,7 mg de vitamina C, aproximadamente. ¿Cuántas tunas proporcionan, en vitamina C, lo equivalente a una mandarina?
272
Resolvamos: Laboratorio matemático 1.
Trabajo con material manipulable Para una fiesta de cumpleaños se servirá jugo de tuna, por lo que se ha comprado 400 tunas; además, se han adquirido vasos de 100, 200, 400 y 800 ml. Se han necesitado 2 tunas para llenar un vaso de 100 ml. Para conocer la cantidad de jugo que se va a obtener de 2 tunas realiza lo siguiente: •
Llena de agua un vaso (el contenido aproximado del vaso es de 250 ml) .
100 ml •
Marca el vaso dividiéndolo en 5 partes iguales, como se muestra en la figura.
•
La figura muestra que los 100 ml corresponden a las _____ partes del vaso.
•
En las siguientes tablas se mostrarán cuántas tunas se necesitaron para llenar diferentes tipos de vasos, y cuántos vasos se necesitarán para emplear las 400 tunas en los diferentes envases.
•
Completa las tablas y los espacios en blanco. Cantidad de tunas
Medida de vasos (ml)
Medida de vasos (ml)
Cantidad de vasos necesarios para las 400 tunas
2
100
100
200
4
100
8
50 800
800 Tabla 1
•
•
Tabla 2
Observa que, mientras más es la capacidad del vaso a llenar, más tunas se necesitan. –
2 tunas llenan un vaso de 100 ml.
–
4 tunas llenan un vaso de ________________________________________.
–
8 tunas llenan un vaso de ________________________________________.
–
________________________llenan un vaso de 800 ml.
De igual manera, observa que, mientras menos es la capacidad de los vasos, mayor es la cantidad de vasos necesarios para emplear las 400 tunas. –
Se necesitan 200 vasos de 100 ml.
–
Se necesitan 100 vasos de ________________________________________.
–
Se necesitan 50 vasos de _________________________________________.
–
Se necesitan _________ vasos de 800 ml.
273
2.
Incorporo lenguaje matemático a mis acciones •
¿Qué entiendes al decir que la cantidad de tunas es directamente proporcional a la medida de los vasos que se llenarán?
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
•
¿Qué entiendes al decir que la cantidad de vasos es inversamente proporcional a la medida de los vasos que se usarán?
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ •
Entonces, cuando una magnitud aumenta y la otra también, se dice que es:
______________________________________________________________________________________
•
Entonces, cuando una magnitud aumenta y la otra disminuye, se dice que es:
______________________________________________________________________________________ 3.
Expreso mis ideas •
•
Trabaja con un compañero y encuentren la solución para calcular cuántos vasos de 50 ml se llenan con el jugo de 400 tunas. Y si tengo un recipiente de 2000 ml, ¿cuántas tunas se necesitan para llenarlo? Ayúdate con la tabla 1. Escribe los pasos que siguieron para encontrar la respuesta y qué estrategias utilizaron para resolverlo.
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ •
Expongan en el aula cómo encontraron la solución a este problema.
•
Planteen y resuelvan un problema en el que se pueda presentar magnitudes inversamente proporcionales y realicen tablas para su solución.
274
4.
Formulo expresiones simbólicas •
Completa las tablas, analiza e identifica en cuál se presenta una proporcionalidad directa y en cuál una proporcionalidad inversa. Cantidad de tunas
4 16
Medida de vasos (ml)
Medida de vasos (ml)
100
25
200
50
400
100
Cantidad de vasos necesarios para usar las 400 tunas
200 100
800
20
400
40
800
50
80
Tabla 2 Tabla 1
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución del problema?
________________________________________
Reconozco cuándo una proporcionalidad es directa o inversa.
¿Te fue de gran ayuda utilizar las tablas? ¿Por qué?
Planteo y resuelvo correctamente problemas de proporcionalidad.
________________________________________ ________________________________________ •
Comprendo la diferencia entre una proporcionalidad directa e inversa.
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías las tablas para resolver un problema?
Coevaluación
________________________________________
Intercambiamos los problemas creados para comparar procesos en el planteo y resolución de problemas.
________________________________________ ________________________________________
Expusimos nuestras ideas de manera clara, usando el lenguaje matemático apropiado.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
Haz jugo de lima y llena un vaso; ten en cuenta cuántas limas utilizaste para llenarlo.
2.
Elabora una tabla de datos con posibles cantidades de vasos que puedes utilizar con un número determinado de limas y analiza los resultados.
3.
Crea un problema y resuélvelo usando el proceso del laboratorio matemático.
é r g o l o L
Identifico operaciones que se realizan en una proporción.
________________________________________
•
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Metacognición •
•
275
¿Qué estrategias sigo para resolver un problema de proporcionalidad? ¿Puedo aplicar los conocimientos adquiridos en situaciones de mi vida diaria? ¿Como cuáles?
Cantidad
Platos típicos peruanos
60
Ficha
Taller matemático 1.
Cebiche (Problemas de traducción simple) Es un plato muy típico de nuestro país, reconocido y consumido en todo el mundo, y es, sino la principal, una de las delicias más solicitadas y vendidas a turistas nacionales y extranjeros. Sus orígenes se remontan al antiguo Perú, donde se usaban ingredientes básicos y propios de la zona, como limón, culantro y varias plantas vasculares que servían como aderezo para la carne de mariscos. Si sabemos que un plato de cebiche cuesta S/ 22, dos platos valen S/ 44, diez platos cuestan S/ 220, ¿es posible afirmar que el costo es directamente proporcional en relación con la cantidad de los platos? •
Completa la tabla y encuentra la constante de proporcionalidad.
Cebiches
1
2
Precio (S/)
22
44
•
3
4
5
6
7
8
9
10
220
Busca la constante de proporcionalidad.
En una feria de platos típicos contrataron 2 meseros para servir a los asistentes y terminaron de repartirlos en 3 horas. Si se contrata 2; 3; 5 y 8 meseros más, ¿en qué tiempo se terminarán de repartir los platos? Completa la tabla y encuentra la constante de proporcionalidad. Meseros
2
Tiempo
3
•
4
5
Busca la constante de proporcionalidad.
276
7
10
La costa de nuestro país es la región en donde se pueden conseguir los mejores ingredientes para la preparación del cebiche, ya que por la frescura de los mariscos este plato es más deseado aquí que en otras zonas del país. Sin embargo, en regiones lejanas a la costa también se consume esta delicia, por lo que es necesario que el transporte de los ingredientes a otras ciudades sea lo más pronto posible. Analiza qué factores influyen en un viaje que realiza una compañía gastronómica para transportar un pedido de cebiches de manera óptima, y pueda cumplir con el contrato establecido a tiempo.
•
Se deben enviar en un tiempo determinado los ingredientes para preparar cebiche desde una ciudad A hasta una ciudad B, cuya distancia entre ellas es de 100 km.
–
¿Cuál es la relación que existe entre la distancia que debe recorrer el transporte y el tiempo que se demora en hacer la entrega?
–
¿A qué velocidad debe ir el transporte para llegar en 2 horas?
–
Si el auto que traslada los ingredientes debe tener cuidado porque lleva envases delicados y viaja a 25 km/h, ¿en qué tiempo llegará a su destino?
–
¿A qué conclusión llegaste al resolver el problema?
277
2.
Transportando cebiches (Problemas de traducción compleja) Se quiere calcular la velocidad promedio de viaje que realiza una compañía que reparte cebiches del local de expendio al restaurante La sazón peruana, para lo cual se tomaron mediciones cada 10 segundos de la distancia recorrida. Distancias recorridas
200 m •
400 m
600 m
800 m
1000 m
1 200 m
Determina la constante de proporcionalidad.
Comprendo el problema •
¿Cada cuántos segundos se tomaron las mediciones? _________________________________________
•
¿Qué se debe determinar? _______________________________________________________________
Diseño una estrategia •
Aplico la estrategia
Observa el gráfico y completa la tabla.
•
Calcula la razón de cada medición para determinar la velocidad a la que se traslada el camión.
Velocidad Tiempo (seg)
Distancia (m)
10
200
20 600 40 1 000 60
Transfiero lo aprendido •
3.
¿Cuál es la velocidad a la que va el camión? _________________________________________________
Feria de comida típica (SItuaciones problemáticas realistas) La familia Chávez quiere realizar una feria de comida típica y para eso necesitan trasladar los ingredientes desde una ciudad a otra. Al salir de una ciudad los alimentos están a 3 ºC, y por cada 10 kilómetros recorridos la temperatura sube un grado. •
¿Con qué temperatura llegarán los alimentos si el recorrido del camión es de 60 km?
•
Grafica una tabla como la del ejercicio anterior y calcula la temperatura a la que llegarán los ingredientes.
278
•
Únete con un compañero y planteen un problema de su vida cotidiana en donde tengan que aplicar la misma estrategia de solución utilizando medidas de peso.
Finalicemos
Reflexiona •
¿Tuviste alguna complicación en encontrar los datos y en la resolución del problema?
Autoevaluación Reconozco propiedades de la multiplicación y las relaciono con la proporcionalidad inversa o directa.
________________________________________ ________________________________________ •
Medita si fue de ayuda haber usado como elemento principal del problema una magnitud física muy conocida como es la velocidad.
Organizo datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre magnitudes.
________________________________________
Empleo estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados con la proporcionalidad.
________________________________________ •
¿Comprendes qué es una constante de proporcionalidad?
Coevaluación
________________________________________
Comparamos los procesos y el orden a seguir en la resolución de problemas.
________________________________________
Propusimos ideas propias en el planteo de posibles formas de encontrar la respuesta.
Realiza las siguientes actividades 1.
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Recopila datos del tiempo que se demora en
imprimir una copiadora 10 veces un documento, considerando que se deben obtener 100 copias.
Metacognición
2.
Elabora una tabla de datos y analiza los resultados.
•
3.
Crea un problema y resuélvelo usando el proceso
•
del Taller de matemática.
279
¿Qué aprendí al resolver estas actividades? ¿En qué situaciones puedo utilizar el método de reducción a la unidad para resolver problemas en la vida diaria?
é r g o l o L
Cantidad
Ficha
61
Fiesta del Inti Raymi
Taller matemático 1.
Asistentes a la fiesta (Problemas de traducción simple) El Inti Raymi o Fiesta del Sol es una ceremonia incaica y religiosa que hoy es considerada una fiesta andina recordatoria. El 24 de junio de cada año la ciudad del Cusco se ve envuelta del misterio que encerraban las ancestrales culturas y del hermoso paraje que representan la unión de la naturaleza con la complejidad arquitectónica del lugar. Durante la fiesta se venden comidas típicas. Si dos platos de chiri uchu se venden en S/ 24, ¿cuánto se pagará por la compra de ese plato para una familia de 6 miembros? •
Si la familia tiene S/ 80, ¿les alcanza el dinero?
•
¿Las dos magnitudes son directamente proporcionales? Justifica.
•
Localiza los datos en la tabla. Cantidad de platos
Cantidad de dinero (S/)
•
¿Cómo se obtiene el valor a cancelar por los 6 platos?
•
¿Cuánto se pagará por los 6 platos? ¿Les alcanzó el dinero?
_____________________________________________________________________________________
280
La fiesta del Inti Raymi es muy concurrida tanto por turistas extranjeros como locales, debido a su riqueza cultural y todo lo que ella representa. Los visitantes suelen observar las maravillas arqueológicas y culturales del Cusco. La relación que tiene la concurrencia de turistas a la fiesta del Inti Raymi y la publicidad que se realiza sobre ella están íntimamente ligadas y se representaría como una proporción.
2.
•
Si el año anterior se entregaron 500 volantes en una ciudad y asistieron 1000 turistas, ¿cuántos turistas asistieron por volante entregado?
•
¿Qué otras relaciones similares puedes evidenciar en las fiestas?
Publicidad de fiestas (Problemas de traducción compleja) Para la publicidad del evento también se usaron afiches que se colocaron en lugares estratégicos de las ciudades, y se vio que de los 360 afiches colocados hubo una asistencia de un total de 2520 turistas. ¿Cuántos turistas se espera que lleguen si se colocaron 450 afiches? •
¿Cuántos afiches se deberían colocar si se espera la asistencia de 5600 turistas, aproximadamente?
Comprendo el problema •
¿Qué solicita el problema?
______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Diseño una estrategia •
¿Qué estrategia utilizas para resolver el problema?
______________________________________________________________________________________ Aplico la estrategia •
Calcula los turistas esperados si se colocan 450 afiches.
281
•
Calcula los afiches a colocarse si se espera la asistencia de 5600 turistas.
Transfiero lo aprendido •
Con los datos brindados anteriormente, calcula el total de asistentes al evento utilizando los datos de la siguiente tabla y la misma relación entre volantes-turistas y afiches-turistas.
Ciudades Volantes
•
Afiches
A
500
360
B
600
400
C
800
500
Turistas (al usar volantes) Turistas (al usar afiches)
Total de turistas por ciudad
¿Qué estrategia o proceso utilizaste para resolver la situación planteada?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
¿Qué conocimientos matemáticos utilizaste para resolverlo?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Crees que la aplicación de esta estrategia aporta en tu vida para solucionar situaciones de tu entorno?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 282
3.
Asistentes a la fiesta (Situaciones problemáticas realistas) Para las fiestas del Inti Raymi, se ha calculado que 2000 personas podrían llegar de diferentes partes del Perú y se ha destinado para vigilar la ciudad a 500 policías; pero si llegan 1500 personas más, ¿cuántos policías deberían haber para resguardar de la misma manera a los visitantes a la ciudad?
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Tuviste alguna complicación en encontrar los datos y en la resolución del problema?
Identifico en qué consiste la reducción a la unidad.
________________________________________ ________________________________________ •
Reconozco la operación que realizo, cuando calculo el valor que representa la unidad en un problema.
¿Consideras útil reducir a la unidad las expresiones de cantidad para calcular así la incógnita faltante?
Planteo y resuelvo correctamente problemas en los que es necesario utilizar la reducción a la unidad.
________________________________________
•
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
________________________________________
Coevaluación
¿Identificas la operación matemática que se usa para encontrar el valor que representa la unidad en la resolución del problema?
Comparamos los procesos y el orden a seguir en la resolución de problemas con mis compañeros.
________________________________________
Propusimos ideas propias en el planteamiento de posibles formas de encontrar la respuesta.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
Metacognición
Recopila datos de la venta de kg de naranjas, sabiendo que el kg cuesta 2 soles. •
Crea un problema y resuélvelo usando el proceso Taller matemático.
•
283
¿Qué pasos sigo para aplicar la reducción a la unidad? ¿En qué situaciones problemáticas puedo aplicar la reducción a la unidad?
é r g o l o L
Cantidad
Ficha
62
El turismo y las fiestas costumbristas
Taller matemático 1. A.
Pingüinos (Problemas de traducción simple)
El fotógrafo de animales Jean Baptiste realizó una expedición de un año de duración y sacó numerosas fotos de pingüinos y sus polluelos. Se interesó especialmente por el aumento de tamaño de distintas colonias de pingüinos. Pregunta 1
Normalmente, una pareja de pingüinos pone dos huevos al año. Por lo general, el polluelo del mayor de los dos huevos es el único que sobrevive. En el caso de los pingüinos de penacho amarillo, el primer huevo pesa aproximadamente 78 g y el segundo huevo pesa alrededor de 110 g. Aproximadamente, ¿en qué porcentaje es más pesado el segundo huevo que el primer huevo? A.
29 %
B.
32 %
C.
41 %
D.
71 %
Pregunta 2
Jean se pregunta cómo evolucionará en los próximos años el tamaño de una colonia de pingüinos. Para determinarlo elabora las siguientes hipótesis: A comienzos de año, la colonia consta de 10 000 pingüinos (5000 parejas). Cada pareja de pingüinos cría un polluelo todos los años por primavera. A finales de año, morirá el 20 % de los pingüinos (adultos y polluelos). •
Al final del primer año, ¿cuántos pingüinos (adultos y polluelos) hay en la colonia?
_______________________________________________________________________________________ Pregunta 3
Jean establece la hipótesis de que la colonia seguirá creciendo de la siguiente manera: Al comienzo de cada año, la colonia consta del mismo número de pingüinos machos y hembras que forman parejas. Cada pareja de pingüinos cría un polluelo todos los años por primavera. Al final de cada año, morirá el 20 % de los pingüinos (adultos y polluelos). Los pingüinos de un año de edad también criarán polluelos. •
Según las anteriores hipótesis, ¿cuál de las siguientes fórmulas expresa el número total de pingüinos, después de 7 años? A.
P = 10 000 × (1,5 × 0,2)7
C.
P = 10 000 × (1,2 × 0,2)7
B.
P = 10 000 × (1,5 × 0,8)7
D.
P = 10 000 × (1,2 × 0,8)7
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee
284
B.
Fiestas patronales Una institución educativa venderá comidas típicas para celebrar las fiestas patronales con el fin de obtener cierta cantidad de dinero, de la cual un porcentaje se destinará a la implementación de aulas virtuales. Mientras más personas asistan, más será la ganancia. Si la sugerencia de las autoridades es que se realicen las programaciones solo en 5 horas, entonces: •
2.
¿Qué relaciones se pueden evidenciar en esta situación?
Función del Inti Raymi (Problemas de traducción compleja) La Municipalidad del Cusco dona el 10 % del valor de cada entrada del espectáculo del Inti Raymi a una fundación para la compra de medicinas. Si cada entrada tiene un valor de 6 soles y se entrega a la fundación 10 000 entradas, ¿cuánta es la ganancia que recibirá la fundación para la compra de medicinas? •
¿Cuántas magnitudes intervienen?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Qué operación matemática debo realizar?
_______________________________________________________________________________________
•
¿Qué resultado se obtendrá si se realiza una solución errónea?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Es lógica la respuesta obtenida?
_______________________________________________________________________________________
285
Una de las condiciones más beneficiosas que tiene el contrato para la fundación es que mientras más pronto se vendan las entradas, aumentará el porcentaje en 2 % por día descontado. El plazo total para vender las 10 000 entradas es de 2 semanas. Calcula la ganancia total si terminaron de vender las entradas 5 días antes de las 2 semanas. Guíate con la siguiente tabla y completa los espacios de ser necesario. Porcentaje %
Tiempo (días)
10
14
12 12 11 10 •
Ahora, si la ganancia con el 10 % del total fue de 6 000, ¿cuál será la ganancia con el 18 %?
Porcentaje (%)
•
Ganancia (S/)
¿Cuál fue el primer paso para resolver el problema?
_______________________________________________________________________________________ •
¿La ganancia es inversamente proporcional a la venta? ¿Por qué?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Qué dificultad se te presentó al resolver el problema?
_______________________________________________________________________________________
3.
Reparto (Situaciones problemáticas realistas) Luego de una fiesta costumbrista, una empresa de alimentos obtiene una ganancia de S/ 780 000 y se reparte los 3/20 del total a las personas que colaboraron. Si el resto lo invierte en compra de mercadería y autos, ¿cuánto dinero gastará?
286
•
¿Qué diferencia encontraste en este problema con respecto a los otros?
_______________________________________________________________________________________ •
Formen parejas y comparen los resultados obtenidos. Contesta: ¿llegaron los dos al mismo resultado?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Qué estrategia utilizó cada uno?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Qué aciertos o errores tuvieron en común?
_______________________________________________________________________________________ •
¿Crees que tienes claro el conocimiento de regla de tres?
_______________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Tuviste alguna complicación en encontrar los datos y en la resolución del problema?
________________________________________
Relaciono correctamente los valores a multiplicar y dividir al usar la regla de tres simple directa e inversa.
¿En qué tipo de problemas crees que es útil resolverlos con una regla de tres directa e inversa?
Planteo y resuelvo correctamente problemas en los que es necesario utilizar la regla de tres simple.
________________________________________ ________________________________________ •
Coevaluación
¿Identificas qué operaciones usas para encontrar la incógnita en el caso de usar una regla de tres directa e inversa?
Comparamos los procesos y el orden a seguir en la resolución de problemas con mis compañeros.
________________________________________
Propusimos ideas propias en el planteo de posibles formas de encontrar la respuesta.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
é r g o l o L
Reconozco dónde y cómo usar la regla de tres simple.
________________________________________
•
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Recopila datos de la venta de boletos, sabiendo que cada uno cuesta S/ 5 y el porcentaje de ganancia por boleto es del 15 % .
Metacognición •
Crea un problema y resuélvelo usando el proceso Taller matemático.
•
287
¿Qué pasos sigo para resolver una regla de tres simple? ¿Puedo identificar en mi vida cotidiana cómo resolver problemas mediante la utilización de la regla de tres simple?
Cantidad
Ficha
63
Festividades peruanas
Taller matemático 1. A.
Las monedas (Problemas de traducción simple)
Se te pide que diseñes un nuevo conjunto de monedas. Todas serán circulares y de color plateado, pero de diferentes diámetros. Los investigadores han llegado a la conclusión de que un sistema ideal de monedas debe cumplir los siguientes requisitos:
•
Los diámetros de las monedas no deben ser menores de 15 mm ni mayores de 45 mm.
•
El diámetro de cada moneda debe ser al menos un 30 % mayor que el de la anterior.
•
La maquinaria de acuñar solo puede producir monedas cuyos diámetros estén expresados en un número entero de milímetros (por ejemplo, 17 mm es válido, pero 17,3 no).
Pregunta 1 •
Diseña un conjunto de monedas que satisfaga los requisitos anteriores. Debes empezar con una moneda de 15 mm, y el conjunto debe tener el mayor número de monedas posible.
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee 288
B.
Crianza de toros Para la crianza de un toro por un periodo de 4 años se gasta S/ 15 700. ¿Qué cantidad de dinero se utilizó para la crianza de 20 toros?
2.
•
Utiliza varias razones e identifica los medios y extremos para resolver.
•
¿Qué dato no es indispensable? ___________________
•
¿Cuál es la razón?
•
Escribe la proporción para conocer el gasto de 20 toros.
•
Resuelve el problema.
Alimentación de toros (Problemas de traducción compleja) En un establo 20 toros se alimentan diariamente con 5 kg de pasto. Si trasladan a 5 toros a otro lugar, ¿cuántas porciones consumirán los que quedan? •
¿Qué magnitudes intervienen en la solución del problema?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué clase de proporción existe entre las dos magnitudes?
___________________________________________________________________________________
•
Resuelve el problema.
289
Cinco camiones viajan a 40 km/h y se demoran 4 horas para trasladar a 20 toros a otro lugar. Si se desea llegar 2 horas antes de lo previsto, ¿a qué velocidad deben ir los camiones para llegar a tiempo?
3.
•
¿Qué datos no son indispensables para la solución?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué magnitudes intervienen en la solución del problema?
___________________________________________________________________________________
•
Resuelve el problema.
•
¿Qué diferencia encuentras entre este problema y el anterior?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué competencia desarrollaste al resolver el problema?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Entrenamiento de toros (Situaciones problemáticas realistas) Se sabe que siete personas tardan 4 horas en alimentar a 80 toros. ¿Cuántas horas tardarán 2 personas menos en alimentar a 100 toros? •
Escribe las magnitudes que existen en el problema.
___________________________________________________________________________________
•
Identifica las proporcionalidades correspondientes. –
Menos personas, más horas demorarán en alimentar a los toros: ___________________________
–
A más toros, más horas se necesitan para alimentarlos: ___________________________________
•
Resuelve.
•
Formen equipos de trabajo e intercambien sus problemas.
290
•
Verifiquen las respuestas y escriban en la tabla los aciertos y errores que encontraron en su solución. Aciertos
•
Errores
Plantea un problema de proporcionalidad.
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Tuviste alguna complicación en encontrar los datos y en la resolución del problema?
Reconozco los extremos y los medios de una proporcionalidad.
________________________________________ ________________________________________ •
Relaciono las magnitudes e identifico la proporcionalidad directa e inversa.
¿Qué tipo de magnitudes se utilizan para resolver problemas de proporcionalidad?
Planteo y resuelvo correctamente problemas en los que es necesario utilizar la proporcionalidad.
________________________________________ ________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
Coevaluación
¿Identificas las operaciones correctas para encontrar la incógnita en problemas de proporcionalidad directa e inversa?
Comparamos los procesos y el orden a seguir en la resolución de problemas con mis compañeros.
________________________________________
Propusimos ideas propias en el planteo de posibles formas de encontrar la respuesta.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
Metacognición
Recopila datos de cuántos toros se utilizan en la celebración de las Fiestas Patrias de alguna región del Perú; por ejemplo, en Apurímac.
•
•
Crea un problema y resuélvelo usando el proceso Taller matemático.
•
291
¿Qué aprendí al resolver estas actividades? ¿Qué pasos sigo para resolver problemas de proporcionalidad? ¿Cómo diferencio las magnitudes directamente proporcionales de las inversamente proporcionales?
é r g o l o L
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
64
La papa, fuente de carbohidratos Es un tubérculo de consumo muy popular, se adapta a diferentes condiciones ambientales como clima, tipo de terreno y altura: aunque un factor que favorece el cultivo de esta, es una temperatura mínima como la que existe en los Andes. Este tubérculo se cultiva en otros países andinos tales como Bolivia, Ecuador, Colombia, Chile y Venezuela, así como en México y Canadá. En nuestro país esta planta alimenticia representa el 25 % del PBI agropecuario y es también el principal cultivo competitivo del trigo y el arroz en la dieta alimenticia; una papa contiene en 100 gramos: 78 g de humedad; 18,5 g de almidón y es rica en potasio (560 mg) y vitamina C (20 mg).
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Se cultiva la papa en tu región? De ser afirmativa tu respuesta, ¿qué variedades se cultivan? ¿Sabes qué platos típicos se pueden preparar con la papa? Comparando con la información de la página 272, ¿dónde encontramos mayor cantidad de vitamina C entre la papa y la tuna?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿Cuánto del porcentaje del PBI representa el cultivo de la papa?
Un plátano contiene 400 mg de potasio por cada 100 g de la fruta. ¿Cuál es la razón entre las cantidades de potasio que aportan una papa y un plátano en la misma cantidad?
Esboza un gráfico circular donde se muestren las proporciones de cada sustancia presente en la papa.
292
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo un problema Angie es una estudiante de segundo grado de Secundaria del colegio Virgen de las Mercedes, de Huancayo, pero se trasladó a un colegio de la ciudad de Trujillo por motivos del trabajo de su padre. En su tierra, ella y su familia acostumbraban consumir frecuentemente los cuatro tipos de papa que se muestran en las siguientes imágenes. Papa canchán Papa huayro
Papa yungay
Papa amarilla
Si dentro de tres días será su cumpleaños y desean preparar una rica pachamanca, ¿de cuántas maneras podrán escoger las papas? 2.
Reconozco el problema principal y trazo un plan •
¿Cuál es la tierra natal de Angie?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
¿Qué tipo de papa es más recomendable para una pachamanca?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
¿Qué tienes que averiguar en el problema?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
¿Qué estrategia usarías para saber de cuántas maneras Angie podrá escoger las papas?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
293
3.
Experimento para resolver el problema •
Supón que en el mercado no hay papa huayro ni amarilla; ¿cuáles son las otras posibilidades?
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
•
¿Cuántos son los posibles tipos de papa que escogerá Angie? Anótalos.
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
•
Expresa en términos de conjuntos la respuesta anterior. Ω =
{___________________________________________}
•
Responde: ¿Cómo denominamos al conjunto de estos eventos?
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
•
4.
Si cada tipo de papa es representado con la letra inicial de su nombre, usa un diagrama para expresar todas las posibilidades de escoger un tipo de papa.
Propongo una expresión matemática •
¿Qué expresión matemática emplearía para hallar el número total de posibilidades?
294
5.
Valido la solución del problema •
Formen equipos y argumenten sobre el proceso del trabajo realizado. –
¿Qué instrumento utilizaron para conocer los posibles eventos?
_______________________________________________________________________________________ –
¿Qué elaboraron para organizar la información que necesitaban? ¿Cómo lo elaboraron?
_______________________________________________________________________________________ –
¿Cómo se organizaron para realizar el trabajo?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ –
¿A qué conclusiones llegaron? ¿Qué diferencia tiene un suceso simple de un compuesto?
______________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en el proceso de resolución del problema?
Reconozco cuándo un suceso es simple o compuesto.
________________________________________ ________________________________________ •
Interpreto correctamente los datos que se encuentran en el diagrama de árbol.
¿Te fue de gran ayuda utilizar el diagrama de árbol? ¿Por qué?
Planteo y resuelvo correctamente problemas en los que se encuentran presentes sucesos simples y compuestos.
________________________________________ ________________________________________ •
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria emplearías diagramas de árbol?
Coevaluación Comparamos los procesos y el orden a seguir en la resolución de problemas con mis compañeros.
________________________________________ ________________________________________
Propusimos ideas propias en el planteo de posibles formas de encontrar la respuesta.
Realiza las siguientes actividades 1. Mentaliza y escribe una situación similar en la
cual identifiques y organices sucesos simples y compuestos. 2. Elabora un diagrama de árbol
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Metacognición
que indique estos
sucesos.
•
3. Crea un problema utilizando los pasos de
•
la investigación escolar en la resolución del problema.
295
¿Qué aprendí al resolver estas actividades? ¿En qué situaciones en mi vida cotidiana puedo identificar sucesos simples y compuestos?
é r g o l o L
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
65
Festival de la Vendimia En la ciudad de Ica, desde el año 1958, en el mes de marzo se celebra el Festival Internacional de la Vendimia, representada principalmente por la cosecha de la uva, el cual dura aproximadamente 2 semanas. La atracción principal es la elección de la reina del festival, quien, una vez elegida, realiza la tradicional "pisa de la uva", que es una forma de extraer el jugo de esta fruta. El año 2016, el festival recibió alrededor de 25 000 visitantes nacionales y extranjeros, quienes permitieron generar ingresos por más de 30 millones de soles, lo que representó un crecimiento aproximado de 12 % respecto al año anterior. Los turistas tuvieron la oportunidad de hacer un recorrido por las bodegas y viñedos de la zona.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Sabes de qué fruta se hacen los vinos? ¿Conoces si existen distintos tipos de vinos?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿En qué ciudad se celebra el Festival Internacional de la Vendimia, y desde qué año?
Representa, empleando gráficos estadísticos, la información mostrada en el texto. ¿A qué conclusiones puedes llegar?
Analiza si todas las plantas de vid tienen la misma oportunidad de ser escogidas para la elaboración de un vino entre un sembradío de cerca de 1000 vides. ¿Por qué?
296
Resolvamos: Investigación escolar 1.
Planteo un problema Una compañía productora de vinos cumple 100 años de vida corporativa, por lo que han tomado la decisión de promocionar la elaboración y venta de 10 vinos de edición limitada, y además un vino especial que representará el espíritu de emprendimiento y perseverancia de la compañía. El principal proveedor de uvas de la compañía ha plantado los mejores viñedos en la localidad de Ica, reconocidos por su calidad a nivel internacional. Se ha seleccionado una de las plantaciones más difundidas del sitio, que consta de 200 vides, las cuales se encuentran numeradas y están muy bien cultivadas y son de idénticas características. Se elegirán 10 vides al azar para la elaboración de los vinos de edición limitada, y otra vid será escogida al azar para la elaboración del vino que representará el aniversario número 100 de la empresa. ¿Qué probabilidad hay de que cada vid sea escogida para la elaboración de estos vinos?
2.
Llevo a cabo un plan para solucionar el problema •
Forma un equipo de hasta 5 compañeros.
•
El equipo debe analizar la probabilidad que tienen las vides de ser elegidas para la edición limitada de vinos.
Ficha de encuesta
Instrucciones: Escoge al menos 2 opciones de vid con las que probablemente se puedan realizar los vinos de edición limitada; toma en cuenta sus características. Marca tus respuestas. Características de la vid 1.
Vides de la 1-40; su fruto es de color verde, son jugosas y medianas.
2.
Vides de la 41-80; su fruto es de color rojo, no tan jugosas y son grandes.
3.
Vides de la 81-120; su fruto es de color negro y son pequeñas, pero muy jugosas.
4.
Vides de la 121-160; su fruto es de color verde y son jugosas y grandes.
5.
Vides de la 161-200; su fruto es de color rojo y son grandes.
Opción
De cada característica, escoge al azar el número de 5 vides para obtener el resultado de 10 vides para edición limitada. Opción 1 Opción 2
•
3.
Realiza la encuesta a diferentes equipos; explica su finalidad y recopila datos.
Recopilo datos •
Toma en cuenta que para encontrar el resultado de un suceso equiprobable, es necesario calcular el cociente entre los casos favorables sobre los casos totales.
297
•
Del resultado de la encuesta y la numeración de vid de las dos opciones, cada equipo tomará datos (máximo 10) al azar para demostrar que en el problema se suscita un suceso equiprobable.
•
Usa una tabla con los datos que se escogieron al azar. Total de vides
Número de vid tomada al azar
Número de vid escogida Número de vid escogida entre cada característica entre el total
200 vides numeradas
Tabla 1 4. Realiza la formulación
cantidad de casos favorables de A , calcula la probabilidad que tiene cada dato cantidad de casos totales tomado al azar de ser escogido entre la totalidad de vides.
•
Con la fórmula P ( A) =
•
Calcula cuál sería la probabilidad si de las 10 vides escogidas, solo una de ellas debe ser seleccionada para el vino especial.
•
Analiza si el resultado de cada probabilidad demuestra que este es un suceso equiprobable. Total de vides
Número de vid tomada al azar
Número de vid escogida Número de vid escogida entre cada característica entre el total
200 vides enumeradas
Tabla 2 298
5.
Valido •
Por equipo argumenten sobre el proceso del trabajo realizado. –
¿Qué elaboraron para obtener posibles opciones de vid?
_______________________________________________________________________________________ –
¿Qué instrumento utilizaron para organizar la información que necesitabas?
_______________________________________________________________________________________ –
¿Cómo se organizaron para realizar el trabajo?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ –
¿A qué conclusiones llegaron? ¿Qué diferencia tiene un suceso simple de un compuesto?
_______________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Tuviste dificultades en el proceso de resolución del problema? Reconozco un suceso equiprobable.
________________________________________
Interpreto correctamente los datos que se encuentran en la recopilación de datos.
________________________________________ •
¿Te fue de gran ayuda utilizar tablas? ¿Por qué? ________________________________________
Planteo y resuelvo correctamente problemas en los que se encuentran presentes sucesos equiprobables.
________________________________________ •
e o m y o d o r t n b a s a e z e r r D f o o g o L l s e
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria identificarías sucesos equiprobables?
Coevaluación
________________________________________
Comparamos los procesos y el orden a seguir en la resolución de problemas con mis compañeros.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades Propusimos ideas propias en el planteo de posibles formas de encontrar la respuesta.
1. Mentaliza una situación similar en la cual puedas
identificar y organizar sucesos equiprobables. 2. Elabora tu propia tabla de recopilación de datos
y calcula la probabilidad del suceso.
Metacognición
3. Crea un problema utilizando los pasos de
la investigación escolar en la resolución del problema.
•
•
4. Elabora un esquema en el que se presenten los
pasos a seguir en una investigación escolar.
299
¿Cómo identifico los sucesos equiprobables? ¿En qué situaciones de mi vida identifico sucesos equiprobables?
é r g o l o L
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
66
Probabilidad en concursos El Concurso Nacional de Marinera se realiza todos los años en el mes de enero en la localidad de Trujillo. Se organiza desde 1960 y está reconocido de manera oficial a partir de 1986. La marinera es un baile muy típico. En el festival participan gran cantidad de parejas de baile de todo el país y también de algunos países invitados, lo que ha convocado a miles de turistas de diversas partes del mundo a presenciar y disfrutar de esta fiesta.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Realizan concursos con tus compañeros(as) del colegio? ¿Alguna vez has ganado en un concurso a tus compañeros(as)?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
¿En qué año el Festival de Marinera fue reconocido de manera oficial?
•
¿Cuántos años han pasado desde su reconocimiento oficial?
•
La probabilidad de que una pareja de extranjeros gane este concurso, ¿de qué depende?
300
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo un problema vinculado a la realidad En el concurso de marinera, que se realiza cada año en la localidad de Trujillo, asisten miles de turistas y entre ellos muchos se inscriben para este gran concurso de baile. En el concurso se inscribieron 50 parejas de baile de diferentes nacionalidades; 9 parejas peruanas, 9 colombianas, 7 ecuatorianas, 6 argentinas, 3 uruguayas, 6 bolivianas, 2 cubanas, 2 paraguayas, 4 venezolanas y 2 mexicanas. El concurso se divide en dos grandes equipos de 25 parejas cada uno, de las cuales clasificarán las cuatro mejores. El primer equipo participará el primer día de competencias, mientras que el segundo lo hará al día siguiente. •
2.
¿Qué probabilidades tiene cada país de ser elegido mediante un sorteo para formar parte del primer equipo?
Llevo a cabo un plan para solucionar el problema •
¿De qué datos dispones?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
¿Qué te piden averiguar?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ •
¿Qué estrategias usarás para determinar las probabilidades que tiene cada país?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 3.
Experimento •
Ordena los datos en la tabla.
•
Identifiquen y completen la tabla con la posibilidad que tiene cada pareja de cada país de ser elegida frente al total de participantes en el sorteo. Países participantes
Número de parejas por país
Parejas frente al total
Perú Colombia Ecuador Argentina Uruguay Paraguay México Bolivia Venezuela Cuba Total:
50 Tabla 1
301
4. Realizo la formulación matemática
cantidad de casos favorables de A , calcula la probabilidad que tiene cada dato frente cantidad de casos totales al total y completa la tabla.
•
Con la fórmula P ( A) =
•
Interpreta los resultados obtenidos con la frase: ______________________ (país) tiene la posibilidad del ______________________ (P ( A)) de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
Parejas por país
P ( A )
=
cantidad de casos favorables de A cantidad de casos totales
Perú = 9
P ( A) =
Colombia = 9
P ( A) =
Ecuador = 7
P ( A) =
Argentina = 6
P ( A) =
Uruguay = 3
P ( A) =
Paraguay = 2
P ( A) =
México = 2
P ( A) =
Bolivia = 6
P ( A) =
Venezuela = 4
P ( A) =
Cuba = 2
P ( A) =
9 50
Tabla 2 –
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
_____________tiene la posibilidad de
de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo. 302
5.
Valido la solución •
Se reúnen los equipos y argumentan sobre el proceso del trabajo realizado. –
¿Qué elaboraron para organizar la información que necesitaban y qué resultados obtuvieron?
_______________________________________________________________________________________ –
¿Fue necesaria la información brindada para la elaboración de tablas?
_______________________________________________________________________________________ –
¿Cómo se organizaron para realizar el trabajo?
_______________________________________________________________________________________ –
¿A qué conclusiones llegaron?
_______________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué sección del proceso de resolución del problema te causó más dificultad?
Reconozco dónde y cómo puedo calcular la probabilidad de varios sucesos.
________________________________________ ________________________________________ •
Interpreto correctamente los datos que se encuentran recopilados.
¿Te fue de gran ayuda utilizar tablas de recopilación de datos? ¿Por qué?
Planteo y resuelvo correctamente problemas en los que se encuentran presentes varios sucesos.
________________________________________ ________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o L l s e
Coevaluación
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria aplicarías esta forma de cálculo?
Comparamos los procesos y el orden a seguir en la resolución de problemas con mis compañeros.
________________________________________ ________________________________________
Propusimos ideas propias en el planteo de posibles formas de encontrar la respuesta.
Realiza las siguientes actividades 1. Mentaliza una situación donde puedas
identificar y organizar sucesos similares para calcular la probabilidad que tienen.
Metacognición
2. Elabora tu propia tabla de
recopilación de datos y calcula la probabilidad de cada variable.
•
3. Crea un problema utilizando los pasos de
la investigación escolar en la resolución del problema.
•
303
¿Qué conocimientos matemáticos apliqué en esta actividad? ¿En qué situaciones de mi vida cotidiana puedo distinguir sucesos?
é r g o l o L
Gestión de datos e incertidumbre
Ficha
67
Eventos y juegos tradicionales La urda es un juego tradicional en distintas partes del mundo. Este juego comienza con una persona que va integrando en una “cadena” a otras al tocarlas, hasta que todos ingresen a la urda (un lugar seguro, delimitado, que puede ser dibujado en el piso). No hay límite de jugadores en esta actividad, lo que lo hace muy llamativo, popular y participativo. Los orígenes de este juego están en la combinación de elementos culturales de distintas épocas, y son modificados según la región donde se los practica, basándose en sus respectivas culturas y costumbres.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué otros juegos tradicionales conoces? ¿De qué modo forman equipos en algunos juegos?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
¿Cuántos jugadores pueden participar en el juego de la urda?
Si participas en la urda, junto a 15 personas más, ¿cuál es la probabilidad que empieces el juego?
Si en un grupo hay la misma cantidad de damas y varones, ¿cuál es la probabilidad de que empiece el juego una dama?
304
Resolvamos: Investigación escolar 1.
Planteo un problema Para comenzar el juego, por sorteo se designa al jugador que se colocará en la “urda”, un lugar en donde se ubican los que van a perseguir a los demás, que es como su casa (puede dibujarse en el piso). El jugador se coloca en la urda con las manos unidas y grita: “¡Urda!”. Entonces los demás jugadores responden: “¡La burra!”, y luego corren. El que está en la urda los persigue con las manos unidas tratando de tocar a un jugador. Cuando lo haga, los dos regresarán corriendo a la urda para ponerse a salvo, pues los demás los perseguirán tratando de golpearlos suavemente en la espalda con la mano abierta. Una vez en la urda se agarrarán de una mano como haciendo una cadena y así saldrán a tocar a otro jugador, también gritando “¡Urna!”, a lo que los demás volverán a responder: “¡La burra!” (deberán decir lo mismo cada vez que salgan). Cuando logren tocar a otro jugador, se soltarán y regresarán a la urda corriendo, mientras los demás, como ya se ha dicho, los perseguirán para golpearlos en la espalda. Está prohibido que los golpeen en otra parte que no sea la espalda o con la mano cerrada, porque, de lo contrario, el que lo haga pasará a formar parte de la cadena. Ya en la urna, los tres volverán a hacer una cadena tomándose de las manos y nuevamente saldrán a perseguir a los demás. En el momento en que estén tratando de tocar a un nuevo jugador, los perseguidores no deben dejar que los demás rompan la cadena dándoles un golpe en las manos. Si esto ocurriera, deberán regresar corriendo a la urda, también evitando que los golpeen en la espalda. Hay que resaltar que solo los participantes que están en los extremos de la cadena pueden tocar a los demás, ya que únicamente ellos tienen una mano libre. Por este motivo, los perseguidores pueden regresar a la urna cuando lo necesiten para reacomodarse y poner en los extremos a los más hábiles en el juego. El juego continuará de la misma manera hasta que el último jugador se haya integrado a la cadena. Este último será el ganador. Ficha de encuesta Instrucciones: Responde las siguientes preguntas. Marca tus
Edad: ____ años 1.
Grado: 1.°
¿Te gustaría jugar a la urda?
2. Si
Sí
2.°
3.°
4.°
respuestas en los círculos. 5.°
Mujer
Varón
No
tu respuesta es Sí, responde:
¿Qué lugar te gustaría que fuera la urda? Un terreno 2.
3.
Un poste
Una pared
Otro
Llevo a cabo un plan para solucionar el problema •
Formen 5 equipos de trabajo.
•
Realicen la siguiente encuesta a 60 niños entre 8 y 12 años.
•
El equipo debe analizar la probabilidad que tienen para escoger un espacio o lugar que ocupará la urda.
•
Para encontrar el resultado de una probabilidad se debe calcular el cociente entre los casos favorables sobre los casos totales.
Recopilo datos •
El equipo debe analizar la probabilidad que tienen los niños de los distintos equipos de ser escogidos para iniciar el juego.
•
Cada equipo tomará los datos de los otros equipos de niños existentes por edades y los organizará en una tabla.
•
Identificarán y relacionarán la posibilidad que tiene cada niño de ser elegido frente al total de participantes en el sorteo. 305
–
Tabla 1. Edad de los estudiantes encuestados. Equipos de niños por edades
Número de niños por equipo
Número de niños por equipo frente al total
Total: 60 –
Tabla 2. Lugar que se determinará como urda. Lugar que se definirá como urda
Número de niños que contestaron
Número de lugar definido frente al total
terreno poste pared otro Total: 60 4. Analizo los datos •
•
•
cantidad de casos favorables de A calcula la probabilidad de cada dato frente al total. cantidad de casos totales Con los resultados obtenidos analiza y determina cuál de estos tiene mayor posibilidad de ser escogido. Recuerda que, mientras más se acerque a la unidad el resultado, más probable será que ocurra el suceso; por el contrario, mientras más se acerque a 0, el suceso será menos probable. Con la fórmula P ( A) =
,
Ordena la tabla del suceso más probable al menos probable e indica cuál es el equipo de niños que más posibilidad tiene de ser escogido. Equipos de niños
P ( A)
12 años
8 60
P ( A)
=
=
Lugar que se definirá como urda
0,13
P ( A)
terreno
11 años
poste 10 años pared 9 años otro 8 años
Tabla 4 Tabla 3 306
•
•
5.
Orden de frecuencia de los sucesos respecto a la edad de los niños. –
1.º
_________________________
–
4.º
_________________________
–
2.º
_________________________
–
5.º
_________________________
–
3.º
_________________________
Orden de frecuencia de sucesos respecto al lugar definido como urda. –
Pared
______________________
–
–
Poste
______________________
–
Otro
______________________
Terreno ______________________
Planteo conclusiones •
Por equipo argumenten sobre el proceso del trabajo realizado. –
¿Qué elaboraron para organizar la información que necesitaban y qué resultado obtuvieron?
_____________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿De qué manera separé las dificultades? ________________________________________
Ordeno correctamente los datos que se encuentran en una encuesta.
¿Te fue de gran ayuda utilizar tablas de recopilación de datos? ¿Por qué?
Resuelvo correctamente problemas en los que se encuentra presente el cálculo de la probabilidad.
________________________________________ ________________________________________ •
¿En qué otras situaciones de tu vida diaria aplicarías esta forma de cálculo?
Coevaluación Comparamos los procesos y el orden a seguir en la resolución de problemas con mis compañeros(as).
________________________________________ ________________________________________
Propusimos ideas propias en el planteo de posibles formas de encontrar la respuesta.
Realiza las siguientes actividades 1.
2.
3.
é r g o l o L
Propongo las preguntas adecuadas para aplicar una encuesta.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s e z e a r r D f o o g o L l s e
Propón una situación donde puedas identificar y organizar sucesos similares para calcular la probabilidad que tienen y la frecuencia de un suceso frente a los demás.
Metacognición
Elabora tu propia tabla de recopilación de datos y calcula la probabilidad de cada variable.
•
•
Crea un problema utilizando los pasos de la investigación escolar en la resolución del problema.
•
307
¿Para qué fue útil elaborar la encuesta? ¿En qué situaciones de mi vida cotidiana identifico distintos sucesos? ¿Cómo determino la probabilidad de un suceso?
Evaluación Fiestas y costumbres de nuestro país Se ha realizado una campaña publicitaria para dar realce y reconocimiento a las fiestas y costumbres de nuestro país. Debido a que en las generaciones actuales se ha ido perdiendo el interés por la riqueza cultural, las campañas se han centrado en establecimientos educativos como escuelas y universidades. También se han usado estrategias publicitarias como volantes y afiches de exposiciones sobre las principales fiestas y costumbres, para de esa manera crear en los jóvenes un interés genuino en nuestra cultura.
Resuelve las siguientes preguntas. 1.
2.
La compañía publicitaria realizó un concurso en el cual participaron cuatro de los mejores colegios que usaron esta estrategia publicitaria en sus respectivos planteles; el certamen consiste en diseñar un afiche que represente la cultura de nuestro país. El premio para el colegio ganador será de 2000 soles en efectivo y la implementación de canchas deportivas. Identifica y organiza mediante un diagrama de árbol los sucesos simples y compuestos que existen y analiza si son equiprobables o no.
3.
Un colegio realiza una exposición de fiestas y costumbres a la que asistirán 700 estudiantes; 319 hombres y 381 mujeres. Al final del evento se hará un sorteo entre todos los estudiantes, en el cual el premio será una tablet . Calcula la probabilidad que tienen un hombre y una mujer de ganarse el premio.
En un colegio se colocarán 70 afiches sobre la exposición, y se espera que por cada 10 de estos, asistan 30 estudiantes. Construye una tabla donde se representen los datos y llénala, relacionando el tiempo (en horas que demorará en ser difundido el mensaje) versus el número de afiches usados. Calcula las constantes de proporcionalidad que se presentan en el problema. Afiches
Tiempo (horas)
10
400 200
40 80 80 40 •
•
Constante de proporcionalidad inversa:
Afiches
Asistentes
10
30
Estudiantes
Constante de proporcionalidad directa:
Cantidad
Hombres Mujeres Total: 308
P ( A)
4.
Luego de los resultados de haber usado afiches como forma de publicidad, otro colegio adoptó la misma estrategia y decidió imprimir 50 afiches por 300 soles. Al colocarlos, se percataron de que harían falta 28 afiches más. ¿Cuánto más deben pagar? Resuelve por regla de tres y reducción a la unidad.
•
Regla de tres simple:
•
Reducción a la unidad:
Producto
5.
Realiza un afiche de propaganda sobre una fiesta costumbrista de nuestro país.
Autoevaluación Indicadores
Siempre
A veces
Pocas veces
Siempre
A veces
Pocas veces
Reconozco relaciones no explícitas en problemas multiplicativos de proporcionalidad. Diferencio y uso modelos basados en la proporcionalidad directa e indirecta al plantear y resolver problemas. Organizo datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre magnitudes. Empleo convenientemente el método de reducción a la unidad y regla de tres simple en problemas de proporcionalidad. Diferencio la proporcionalidad directa de la inversa. Planteo y resuelvo problemas sobre la probabilidad de un evento en una situación aleatoria a partir de un modelo referido a la probabilidad. Represento con diagramas de árbol, por extensión o por comprensión, sucesos simples o compuestos relacionados con una situación aleatoria propuesta. Expreso el concepto de la probabilidad de eventos equiprobables usando terminologías y fórmulas.
Coevaluación Indicadores
Todos participamos en las actividades planteadas. Nuestra comunicación en todo el proceso fue asertiva.
Metacognición 1.
¿Qué conocimientos adquirí al desarrollar las actividades de esta unidad? _______________________
2.
¿En qué situaciones de mi vida puedo aplicar lo aprendido? ____________________________________ 309
Unidad
9
Comunicación a través del teléfono celular La tecnología ha mejorado notablemente nuestro estilo de vida. Uno de los campos donde su accionar es notorio, es el de la comunicación, a tal punto de que bastan unos segundos para comunicarnos con una persona que puede estar a cientos de kilómetros de distancia. Uno de los tantos dispositivos utilizados en la comunicación es el teléfono celular, cuyo uso ha causado bastante polémica, sobre todo en los consumidores adolescentes. El teléfono celular en sus inicios era de uso exclusivo de personas consideradas de élite; sin embargo, en cuestión de una década pasó a ser un aparato de uso común en todo el planeta. Las compañías productoras de los celulares crean nuevas versiones cada vez más inteligentes, es decir, incorporan nuevas opciones de cómo acceder a redes sociales, a la web, a la mensajería instantánea y a los videojuegos, entre otras aplicaciones. Formula estas preguntas a personas mayores que tú: ¿Cómo era la comunicación antes del año 2000? ¿Qué diferencias, en cuanto a la capacidad, encuentras en comparación con teléfonos antiguos? ¿Cómo van mejorando las cámaras de los celulares? ¿Cómo identificamos esos cambios?
310
310
Aprendizajes esperados Competencia
Capacidad
Indicadores •
Matematiza situaciones •
•
Comunica y representa ideas matemáticas
•
•
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
•
Elabora y usa estrategias •
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
•
Matematiza situaciones
•
Comunica y representa ideas matemáticas
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Elabora y usa estrategias
•
•
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
•
311
Reconoce relaciones no explícitas entre datos de dos magnitudes en situaciones de variación, y expresa modelos referidos a proporcionalidad inversa, funciones lineales y lineales afines. Usa modelos de variación referidos a la función lineal al plantear y resolver problemas. Emplea representaciones tabulares, gráficas y algebraicas de la proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. Describe las características de la función lineal y la familia de ella de acuerdo a la variación de la pendiente. Describe gráficos y tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes. Emplea estrategias heurísticas y procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín considerando ciertos valores, su regla de la función, o a partir de su representación. Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. Plantea conjeturas sobre el comportamiento de la función lineal y lineal afín al variar la pendiente. Prueba que las funciones lineales, afines y la proporcionalidad inversa crecen o decrecen por igualdad de diferencias en intervalos iguales. Justifica a partir de ejemplos, reconociendo la pendiente y la ordenada al origen el comportamiento de funciones lineales y lineales afines. Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema. Representa figuras poligonales, trazos de rectas paralelas, perpendiculares y relacionadas a la circunferencia siguiendo instrucciones y usando la regla y el compás. Emplea las propiedades de los lados y ángulos de polígonos regulares al resolver problemas. Plantea conjeturas para reconocer las propiedades de los lados y ángulos de polígonos regulares. Justifica la pertenencia o no de una figura geométrica dada a una clase determinada de paralelogramos y triángulos.
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
68
Operadores móviles
Taller matemático 1.
Armando redes telefónicas (Problemas de traducción simple) Para armar una red telefónica en Otuzco, provincia de la región La Libertad, la operadora contrató a cinco hombres, quienes tardaron 48 días en terminarla. ¿Cuántos días habrían tardado 20 hombres en armar la red telefónica? •
¿Qué magnitudes intervienen en el problema?
___________________________________________________________________________________
•
Elabora una tabla considerando que el doble de hombres tardará la mitad del tiempo; el triple, un tercio, y así sucesivamente.
•
¿Qué sucede con las cantidades de las magnitudes?
___________________________________________________________________________________
•
¿Qué relación existe entre las dos magnitudes?
___________________________________________________________________________________
•
¿Cómo obtienes la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
Realiza un gráfico. Tiempo (d) 48 42 36 30 24 18 12 6 0
5
10 15 20 25 30
312
Número de hombres
2.
Usuarios telefónicos (Problemas de traducción compleja) Una compañía telefónica al ser concebida proyecta tener 1 200 000 usuarios. Para dar atención a sus clientes debe crear centrales de atención. Debido a investigaciones realizadas, se sabe que en una central podrá atender a 8000 usuarios diariamente. Por lo tanto, si pusiera una central de atención al cliente, se demoraría 150 días si tuviera que atender a todos, y 75 días si implementase 2 centrales. ¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona el número de días que se demora en atender a todos los clientes y el número de centrales de atención al cliente? Comprendo el problema •
¿Qué datos nos proporciona el problema?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Diseño la estrategia •
Reúnete con tres compañeros; discutan las posibles ideas para resolver el problema y registren en una tabla los datos referentes a la relación entre las magnitudes mencionadas.
Aplico la estrategia •
Entre dos compañeros partan de datos más sencillos.
•
Agreguen en la tabla de la derecha, en la columna del número de días para atender a todos los clientes, los valores que faltan y deduzcan el número de días que se demorarían en atender a los usuarios proyectados.
•
Escriban una expresión matemática que generalice lo que se quiere conocer.
313
Número de centrales de atención
Número de días para atender a todos los clientes
1
150
2 3 4 5 10
•
Escriban el tipo de relación matemática que se presenta entre las dos magnitudes involucradas en el problema. ___________________________________________________________________________________
•
Con la expresión definida completa la siguiente tabla. Número de centrales Número de días para atender de atención a todos los clientes
6 8 20 25
Transfiero lo aprendido •
Comprueba a través de una gráfica si la relación entre las magnitudes es la señalada inicialmente.
La gráfica muestra que es una proporcionalidad inversa. 3.
Atención al cliente (Situaciones problemáticas realistas) Un móvil recorre la distancia de 36 m a velocidades diferentes, tal como lo muestra la tabla. Determina si la relación entre la velocidad y el tiempo empleado para recorrer dicha distancia es directamente proporcional; luego realiza su representación gráfica.
•
d/t = velocidad (v)
Tiempo en segundos
36 m/s
1s
18 m/s
2s
12 m/s
3s
9 m/s
4s
¿Qué relación existe entre las dos magnitudes? ___________________________________________________________________________________
314
•
¿Cuál es la constante de proporcionalidad? _______________________________________________
•
Grafica y comprueba si la proporcionalidad es inversa.
Finalicemos Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades tuviste en la modelización matemática?
Reconozco la variación entre los datos de una relación de proporcionalidad directa.
________________________________________ ________________________________________ •
Reconozco la variación entre los datos de una relación de proporcionalidad inversa.
¿Para qué sirve la modelización matemática? ________________________________________
Resuelvo problemas usando las características de la variación de datos de una proporcionalidad inversa.
________________________________________ •
¿En qué situaciones de tu vida has utilizado la modelización?
Resuelvo problemas usando las características de la variación de datos de una proporcionalidad directa.
________________________________________ ________________________________________
Coevaluación
Realiza la siguiente actividad 1.
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o s L l e
Logramos comunicarnos entre equipos de trabajo.
Benito decidió pintar su casa; sabe que si contrata a un solo pintor, el trabajo durará 12 días. Determina la expresión matemática que relaciona el número de días con el número de pintores. Elabora la gráfica.
Participamos todos para resolver el problema.
Metacognición •
315
¿En qué situaciones aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha 69
Evolución tecnológica Así como la telefonía móvil ha evolucionado con la tecnología, la telefonía fija también lo ha hecho y las personas no han dejado de utilizar este servicio. Las operadoras, tanto de la telefonía fija como de la telefonía móvil, emiten facturas a sus clientes. Para ello, utilizan modelos matemáticos que son ingresados en las computadoras a través de un lenguaje de programación, de manera que el consumo de cada cliente se calcula en forma automática. En los últimos tiempos, en nuestro país se han aprobado reducciones en las tarifas con la finalidad de acrecentar el uso de la telefonía.
Cuenta tu experiencia •
•
•
Densidad de telefonía fija en el Perú, 2003-2008 (en líneas en servicio por cada 100 habitantes)
¿Qué plan de telefonía fija observas que promocionan en los medios de comunicación?
25
15 13,8
Resto
15,0
Total
16,0
16,8
18,5
19,9
10
¿En qué beneficios se diferencian las distintas empresas que ofrecen telefonía fija? ¿Qué tipo de gráficos encuentras frecuentemente en los recibos de telefonía?
Lima
20
5 0
2003
2004
2005 2006 2007 2008 Fuenta: OSIPTEL Elaboración: IPE
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
Según la información de la gráfica, ¿entre qué años existe un mayor aumento de la densidad de telefonía fija en el Perú?
¿Has revisado alguna vez una factura del consumo telefónico fijo de tu casa? Describe sus características.
¿Sabes cuáles son las empresas de telefonía fija que hay en el mercado?
316
Resolvamos: La cruz demostrativa 1.
Comprendo la situación e identifico la pregunta
A tres analistas de sistemas se les ha encargado modelar la forma más sencilla de un plan de tarifación. La indicación que se les da es: “Por cada minuto consumido se les cobrará 20 céntimos y se les incluirá una pensión básica de S/ 20”. Las propuestas de cada analista se han presentado en distintos formatos y son los que se muestran a continuación. Demostrar si las tres propuestas obedecen a lo solicitado. Analista 1
C = 0,2 x + 20
40 35 30 25 Analista 2
20 15 10 5 –5 0
Analista 3
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Minutos Consumo
•
•
20 24
50 30
100 40
200 60
Lee el problema y escribe una pregunta adecuada que permita saber lo que vas a probar.
Únete con un compañero para intercambiar ideas y observen si sus interrogantes apuntan a los siguientes objetivos: 1. La expresión algebraica propuesta por el analista 1 cumple con la condición propuesta. 2. La gráfica realizada por el analista 2 cumple con la condición del problema. 3. La tabla de valores se acoge a lo solicitado.
2.
Analizo la información y respondo la pregunta •
Detallen para cada propuesta lo que harían para demostrar su validez. Propuesta 1
317
Propuesta 2
Propuesta 3
3.
Demuestro la validez de mi respuesta •
Junto a dos compañeros más, analicen una por una las propuestas de los analistas.
•
Responde las siguientes preguntas para cada caso.
Propuesta 1 a. ¿Cuál es el valor que permanecerá constante? __________________________________________________________________________________ b. ¿Cuál es la variable en el problema?
__________________________________________________________________________________
c. ¿Cómo obtienes el valor del consumo? __________________________________________________________________________________ d. ¿Cómo obtienes el valor a pagar por el uso de ese mes de telefonía fija? __________________________________________________________________________________ e. ¿La expresión algebraica que corresponde a esta propuesta incluye todos los parámetros analizados?
Escribe una conclusión.
_________________________________________________________________________________
Propuesta 2 a. ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a las condiciones del problema? ___________________ b. Recuerda que para determinar los puntos de corte en una función afín se despeja la ecuación de manera
que el término independiente quede en el segundo miembro; luego se divide la ecuación para el valor independiente de manera que obtengas la forma: el punto de corte con el eje Y .
x a
+
x b
= 1, siendo a el punto de corte con el eje X , y b
c. Determina los puntos de corte con los ejes y verifica si la gráfica que corresponde a la propuesta 2 tiene
los puntos de corte que obtuviste. d. De acuerdo con los resultados, escribe una conclusión. __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 318
Propuesta 3 a. Para demostrar esta propuesta toma la expresión algebraica antes determinada y completa la tabla. Minutos
20
50
100
200
Consumo
b. Compara con la tabla de la propuesta y concluye.
4.
_______________________________________________________________________________
Conclusiones •
Revisa la pregunta del problema y con base en ello escribe una conclusión general.
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Cuáles fueron las dificultades que encontraste en la demostración?
________________________________________
o d n a r g o l
é r g o l o L
Empleo representaciones tabulares de la función lineal y lineal afín.
¿Siempre se pueden representar las funciones con un equivalente, ya sean enunciados o tablas?
Empleo representaciones gráficas de la función lineal y lineal afín.
________________________________________
•
y o t s e o L
Describo tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes.
________________________________________
•
e m o r b a e z r D f o s e
________________________________________
Empleo representaciones algebraicas de la función lineal y lineal afín.
¿Qué diferencia existe entre una función constante lineal y lineal afín?
Coevaluación
________________________________________
Logramos comunicarnos entre equipos de trabajo.
________________________________________
Participamos todos para resolver el problema.
Realiza la siguiente actividad 1. Utiliza las tres formas de presentación de la función
afín para diseñar la tarifación del servicio de taxi de tu localidad.
Metacognición
319
•
¿Qué pasos seguí para solucionar el problema?
•
¿En qué casos de la vida tengo que demostrar?
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
70
Teléfonos inteligentes Hoy en día, resulta raro encontrar móviles que sirvan solo para hablar con los demás, aunque este sigue siendo su uso principal. De hecho, el teléfono móvil sirve para una variedad de propósitos; por ejemplo, para controlar de forma remota otros dispositivos, tomar fotos, grabar videos, realizar videollamadas o escuchar música. Existen muchas aplicaciones gratuitas y con costo que son muy útiles en nuestra vida cotidiana, pues nos ayudan a resolver situaciones en pocos minutos.
Cuenta tu experiencia •
•
•
¿Qué aplicaciones conoces o has utilizado? ¿Cuáles te han parecido más interesantes? ¿Con qué expresión matemática se presenta, por lo general, el nivel de batería que les queda a los celulares?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas: •
¿Qué aparatos electrónicos podrías controlar desde un celular?
_______________________________________________________ _______________________________________________________ •
¿Cómo puedes convertir el celular en un control multimedia?
_______________________________________________________ _______________________________________________________ •
¿Qué dificultades podrías encontrar para convertir un celular en un control remoto?
_______________________________________________________ _______________________________________________________ •
¿Para qué te serviría controlar aparatos electrónicos con tu celular?
_______________________________________________________ _______________________________________________________
320
Resolvamos: La cruz demostrativa 1.
Comprendo la situación e identifico la pregunta Cada operadora asigna un costo distinto por consumo de llamadas telefónicas según el tiempo de consumo. ¿Es posible representar con una función lineal de la forma f ( x ) = mx ?, donde m es el precio por minuto de consumo y x la cantidad de minutos consumidos. •
Discute con tu compañero(a) y completa lo que se desea demostrar. ¿La función de la forma ___________________ es una ___________________ lineal?
2.
Analizo la información y respondo la pregunta Antes de contestar la pregunta planteada, junto con tu compañero(a), analiza la información que proporciona la expresión f ( x ) = mx ; compara con las características de la función lineal y contesta. a. La gráfica de una función lineal siempre es una línea ___________________. b. El corte con el eje de las y está siempre en el punto ( ____; ____) c. Una función lineal es creciente si la ___________________ es ___________________. d. Una función lineal es decreciente si la ___________________ es ___________________. e. ¿Qué valores puede tomar m? ___________________ f.
¿Cuál es el menor valor que puede tomar x ? ___________________
g. ¿Por qué m no puede tomar valores negativos? ______________________________________________ h. ¿Qué harías para demostrar tu respuesta?
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
321
3.
Demuestro la validez de mi respuesta Lo que puedes demostrar es que para cualquier valor positivo que pueda tomar m, la función siempre va a ser una función lineal. Esto significa que puedes fijar distintos valores para el precio por minuto consumido, elaborar una tabla de datos y representar gráficamente; así: a. ¿Cómo se representa la expresión f ( x ) = mx cuando el precio se fija en 0,2? __________________________________________________________________________________ b. ¿Cómo se representa la expresión f ( x ) = mx cuando el precio se fija en 0,3?
__________________________________________________________________________________
c. Completa la siguiente tabla y grafica cuando el precio se fija en 0,2. Y
x
f ( x )
12
10
10
20
8
30
6
40
4
50
2 0
10
20
30
40
50
20
30
40
50
X
d. Completa la siguiente tabla y grafica cuando el precio se fija en 0,3. x
Y
f ( x )
10
16
20
14
30
12
40
10
50
8 6 4 2 0
10
X
e. En tu cuaderno elabora una tabla de datos y grafica cuando el precio se fija en 0,25. Escribe la expresión
algebraica para este caso y menciona si es una función lineal. __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
322
4.
Planteo conclusiones •
Discute con tu compañero(a) sobre lo que fue necesario hacer para demostrar que la expresión f ( x ) = mx es una función lineal y registra tus ideas a continuación. _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultades encontraste en la demostración? ________________________________________
________________________________________
é r g o l o L
Empleo representaciones tabulares para graficar una función lineal.
¿De qué maneras se puede representar una función lineal?
Empleo representaciones gráficas para reconocer una función lineal.
________________________________________
Coevaluación
________________________________________
Logramos comunicarnos entre equipos de trabajo.
Realiza las siguientes actividades 1. Representa en un plano cartesiano las funciones f ( x ) = 2 x + 2; f ( x )
o d n a r g o l
Cambio la pendiente de la función lineal y encuentro una familia de funciones lineales.
¿Por qué es importante una demostración? ________________________________________
•
y o t s e o L
Describo las características de la función lineal.
________________________________________ •
e m o r b a e z r D f o s e
Participamos todos para resolver el problema.
= 3 x + 2 y f ( x ) = 4 x + 2. Hazlo en tu
cuaderno. 2. La familia de funciones representadas, ¿es una
Metacognición
familia de funciones del tipo f ( x ) = mx + 2? ________________________________________
•
3. La familia de funciones f ( x ) = mx + 2, ¿es del tipo de
funciones lineales?
•
________________________________________
323
¿Qué aprendí al desarrollar las actividades de la ficha? ¿En qué otras situaciones cotidianas utilizo las funciones?
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
71
Cuanto más, menos...
Taller matemático 1. A. Concentración
de un fármaco (Problemas de traducción simple)
A una mujer internada en un hospital le ponen una inyección de penicilina. Su cuerpo va disolviendo gradualmente la penicilina de modo que, una hora después de la inyección, solo el 60 % de la penicilina permanece activa. Esta pauta continúa: al final de cada hora solo permanece activo el 60 % de la penicilina presente al final de la hora anterior. Supón que a la mujer se le ha administrado una dosis de 300 miligramos de penicilina a las 8 de la mañana. Pregunta 1 •
Completa esta tabla escribiendo la cantidad de penicilina que permanecerá activa en la sangre de la mujer a intervalos de una hora desde las 08:00 hasta las 11:00 horas. Hora
8:00
Penicilina (mg)
300
9:00
10:00
11:00
Pregunta 2 •
Pedro tiene que tomar 80 mg de un fármaco para controlar su presión sanguínea. El siguiente gráfico muestra la cantidad inicial del fármaco y la cantidad que permanece activa en la sangre de Pedro después de uno, dos, tres y cuatro días.
Cantidad de fármaco activo (mg)
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
Tiempo (días) desde que se ha tomado el fármaco
•
¿Qué cantidad de fármaco permanece activa al final del primer día? a.
6 mg
c.
26 mg
b.
12 mg
d.
32 mg
324
Pregunta 3 •
B.
En el gráfico de la pregunta precedente puede verse que, cada día, permanece activa en la sangre de Pedro aproximadamente la misma proporción de fármaco con relación al día anterior. Al final de cada día, ¿cuál de las siguientes alternativas representa el porcentaje aproximado de fármaco del día anterior que permanece activo? A
20 %
B
30 %
C
40 %
D
80 %
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee
Identificando gráficos Andrés analiza gráficos de un estudio estadístico sobre el consumo telefónico. ¿Cuál de los gráficos representa una proporcionalidad inversa? Y 6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
2.
Y
1
2
3
4
5 6
X
0
1
2
3
4
5 6
X
Consumo telefónico en minutos (Problemas de traducción compleja) Cierta operadora peruana calcula el valor de cada minuto consumido por cada usuario, dividiendo 30 por la cantidad de minutos. Es así que se puede representar con la expresión algebraica f ( x ) = 30/ x . ¿Es esta una representación de proporcionalidad inversa? ¿Qué se desea demostrar? ______________________________________________________________________________________ Junto con tu compañero analiza la información que proporciona la expresión f ( x ) = 30/ x ; compara con las características que corresponden a la proporcionalidad inversa y responde. a.
La gráfica de una función de proporcionalidad inversa es decreciente si x es _______________________.
b.
A medida que los valores de x aumentan, los valores de y _____________________________________.
c.
A medida que los valores de y aumentan, los valores de x ______________________________________.
d.
Si elaboramos una tabla de datos, al multiplicar el valor de x con el valor de y , el resultado siempre es el _____________________________________.
325
Lo que puedes demostrar es que para cualquier valor positivo que pueda tomar x , el valor de y siempre va disminuyendo. Registra estos valores en una tabla de datos; multiplica los valores de cada pareja de datos; verifica si siempre se obtiene el mismo resultado al multiplicarlos y, por último, representa esta tabla de datos en un plano cartesiano y confirma si corresponde a la gráfica de una función de proporcionalidad inversa; así: 1. Completa la siguiente tabla para la expresión
2. Copia la tabla anterior y multiplica cada pareja.
f(x) = 30/ x . x
f ( x )
x
f ( x ) = 30/ x
Multiplicación
10 15 20 25 30 40 50 60 Tabla 1
Tabla 2
3. Observa la columna de la tabla anterior y verifica si se obtuvo siempre el mismo valor. En caso de que la res-
puesta sea afirmativa, escribe el resultado obtenido en la columna 3. ____________________________ 4. Representa en el plano cartesiano los datos de la tabla 2. Y
3 2,8 2,6 2,4 2,2 2,1 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 X -5
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
5. ¿La gráfica obtenida en la actividad anterior, corresponde a una función de proporcionalidad inversa? ___________________________________________________________________________________
326
3.
Redes telefónicas (Situaciones problemáticas realistas) •
En una superficie rectangular de 24 m2 de área se debe hacer una instalación de equipos para mejorar la calidad en la señal telefónica. Los técnicos no se ponen de acuerdo en las medidas que tendrán las dimensiones de dicha superficie. ¿Qué valores enteros podrían tener las longitudes del largo y el ancho de esta superficie? Representa todos los posibles valores mediante una gráfica.
24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 –2 0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 100
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué estrategia te ayudó a resolver el problema? ________________________________________
¿La información proporcionada por una fórmula es la misma que proporciona una gráfica, una tabla de datos o un enunciado?
Coevaluación
¿De qué maneras se puede representar una función de proporcionalidad inversa?
Logramos comunicarnos en pareja.
________________________________________ ________________________________________
Participamos en todas las actividades planteadas.
Realiza las siguientes actividades
2.
é r g o l o L
Reconozco las características de la función de proporcionalidad inversa.
________________________________________
1.
o d n a r g o l
Represento gráficamente la función de proporcionalidad inversa.
________________________________________
•
y o t s e o L
Diferencio la función de proporcionalidad directa de la muestra.
________________________________________ •
e m o r b a e z r D f o s e
Representa en tu cuaderno como una función de proporcionalidad inversa si un médico trabaja 6 horas diarias, de las cuales a cada paciente le asigna un tiempo para atención de acuerdo con el número de pacientes que hayan hecho la cita.
Metacognición •
Elabora en tu cuaderno en una tabla de datos el tiempo que le corresponde a cada paciente, si en los cinco días de una semana, registró 8; 6; 3; 12 y 5 pacientes, respectivamente.
•
327
¿En qué creo que me ayuda el estudio de la función de proporcionalidad inversa? ¿En qué otros casos de la vida me puede servir el estudio de la función de proporcionalidad inversa?
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
72
Durabilidad de las baterías en los celulares La tecnología ha hecho del celular un dispositivo versátil, pues, además de servir para comunicarse entre personas salvando distancias, en la actualidad ofrece una gama de aplicaciones. Pero si hablamos de la batería que utiliza, debemos decir que, si bien es cierto que ha evolucionado, no lo ha hecho al mismo ritmo de los teléfonos celulares, ya que el tiempo que dura su carga sigue siendo un limitante. Los avances en cuanto a batería se refiere han logrado eliminar el efecto memoria, por el cual antes, la primera vez había que cargarla por algunas horas hasta alcanzar el 100 % de carga. Los fabricantes de baterías han sustituido materiales y han creado circuitos inteligentes que funcionan en el momento de la carga.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué tipos de aplicaciones consumen más energía de una batería? ¿Existe alguna relación entre el tamaño del celular y su capacidad de memoria?
Iniciemos Responde las siguientes preguntas. •
•
•
Enumera algunas aplicaciones que en la actualidad ofrecen los teléfonos celulares.
Un celular usado ha depreciado su valor hasta lograr venderse a la mitad de su precio. Escribe el precio actual en función del precio inicial.
Investiga en qué consiste el efecto memoria que se producía en las baterías de celulares y compártelo en clase.
328
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto Una empresa productora de baterías de 3,7 voltios, presenta a sus clientes la siguiente información gráfica sobre la descarga y carga de uno de sus productos. Determina el tipo de función y la expresión matemática que modela cada situación. Gráfico 1
Energía (voltios) Descarga de la batería en el uso del celular 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Tiempo (horas) Energía (voltios)
Gráfico 2
8 7 6 5
Carga de la batería
4 3 2 1 0 –1
•
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Tiempo (horas)
Coloca en los gráficos los siguientes puntos con sus coordenadas. Gráfico 1
2.
1
(1; 2)
(2; 1)
(4; 0,5)
Gráfico 2
2;
37 30
4;
37 15
Reconozco el principal problema y trazo un plan •
Reúnete con tres compañeros; discutan las posibles ideas para resolver el problema y regístrenlas.
329
3.
Experimento para resolver el problema •
Contesta:
a.
Por la forma de los gráficos, ¿qué función representa cada situación? Gráfico 1
b.
Gráfico 2
¿Qué pretende explicar el productor de baterías con el segundo gráfico? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
•
Toma los valores de las coordenadas de los puntos de los gráficos y organízalos en las tablas. Gráfico 1 x
y
Gráfico 2
Gráfico 2
Primera parte
Segunda parte
x
x
y
y
•
Contesta:
a.
¿Qué sucede cuando multiplicas los valores de x con los valores de y , respectivamente, de la primera tabla? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
b.
¿Qué sucede cuando divides los valores de x entre los valores de y , respectivamente, de la segunda tabla? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
c.
¿Qué sucede con el valor de y para cualquier valor de x en la tercera tabla? ____________________________________________________________________________________
4.
___________________________________________________________________________________ Propongo una expresión matemática •
Únete con un(a) compañero(a); comparen sus respuestas y determinen las expresiones matemáticas para cada situación. Gráfico 1
Gráfico 2
y
330
5.
Valido la solución del problema •
Completa la tabla y realiza el gráfico para otros valores propuestos, según la relación f ( x ) =
2 x
.
Gráfico 3 x
y
4,0
0,5
3,5
8
3,0
10
2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 –0,5
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultad tuviste al realizar el nuevo gráfico? ________________________________________
•
y o t s e o L
o d n a r g o l
é r g o l o L
Empleo métodos heurísticos para resolver problemas de proporcionalidad directa a partir de datos, su representación gráfica o su regla.
________________________________________ •
e m o r b a e z r D f o s e
¿Cómo son los gráficos de la función de proporcionalidad inversa, lineal y constante?
Empleo métodos heurísticos para resolver problemas de proporcionalidad inversa a partir de datos, su representación gráfica o su regla. Determino el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín.
¿El dominio y el rango del gráfico 2 constituyen todos los números reales?
Coevaluación Logramos comunicarnos entre equipos de trabajo. Participamos todos para resolver el problema.
Metacognición
Realiza la siguiente actividad 1. Realiza los
gráficos de descarga y carga de una batería de auto de 12 voltios; para ello, investiga los tiempos empleados para realizar las dos acciones.
•
•
331
¿La información que me proporcionan los productores en forma gráfica resulta útil? Explica. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar la proporcionalidad inversa?
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
73
Tecnología, recurso educativo Actualmente muchos maestros utilizan nuevas tecnologías educativas o programas innovadores que buscan mejorar la calidad de la educación de las escuelas vulnerables. Esto permite que el profesor descargue de manera gratuita videos educativos en su celular o computadora, a fin de proyectarlos o compartirlos con los estudiantes durante la clase. Esta es solo una de las actividades que pueden realizar los docentes de varias escuelas para el desarrollo amigable de una clase. Es importante que el docente incorpore la tecnología al aula, ya que ello aumentará el interés en sus estudiantes por aprender, con lo cual los recursos tecnológicos se convertirán en un complemento y apoyo efectivo.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Cómo realizas los gráficos de funciones? ¿Has usado algún material para graficar funciones?
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas: •
•
¿Has utilizado tu computadora o teléfono celular para reforzar algún conocimiento?
Con ayuda de un graficador, traza los gráficos de distintas funciones.
332
Resolvamos: Modelación matemática 1.
Planteo problemas de acuerdo con el contexto Una institución educativa desea adquirir un sistema de comunicación entre los profesores y los padres de familia. Para esto, ha obtenido tres presupuestos de distintas empresas especializadas en este tipo de plataformas. Estos presupuestos han sido analizados en el departamento técnico, los cuales han sido representados con una función. ¿Cómo podría el asesor recomendar la opción más rentable para la institución? Presupuesto 1
Presupuesto 2
35
35 e r d a p a d a c r o p o i c e r P
35
30
e r d a p a d a c r o p
25 20 15
o i c e r P
10 5 0
50
100
150
200
250
300
30 25
(300; 21)
20 15 10 5 0
50
100
Número de padres afiliados
150
200
250
300
Número de padres afiliados
Presupuesto 3 35 e r d a p a d a c r o p o i c e r P
30 25 20
(300; 16)
15 10
5 (0; 4) 0
50
100
150
200
250
300
Número de padres afiliados
2.
Reconozco el principal problema y trazo un plan •
Reúnete con tres compañeros(as); discutan las posibles ideas para resolver el problema y luego regístrenlas. ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
333
3.
Experimento para resolver el problema a. Entre las rectas que representan los presupuestos 2 y 3, ¿cuál tiene mayor pendiente? ____________________________________________________________________________________ b. Si la diferencia de pago entre 50 y 100 padres de familia es de 3,5 en el presupuesto 2, entonces ¿la diferencia de pago entre 50 y 100 padres de familia en el presupuesto 3 es mayor o menor? ____________________________________________________________________________________ c. Si la diferencia de pago en un mismo intervalo entre el presupuesto 2 y 3 es mayor, ¿la pendiente del presupuesto 2 es mayor o menor? ____________________________________________________________________________________ d. A medida que se afilian más padres, ¿qué presupuesto disminuye el costo que se pagará? ____________________________________________________________________________________ e. Si se afilian menos de 100 padres, ¿qué presupuesto es más barato? ____________________________________________________________________________________ f.
Si se afilian entre 150 y 200 padres, ¿qué presupuesto es más conveniente? ____________________________________________________________________________________
g. Si se afilian más de 250 padres, ¿qué presupuesto es más conveniente? ____________________________________________________________________________________ h. Representa los tres presupuestos en el gráfico que se presenta a continuación.
35 30 25 20 15 10 5 0
•
50
100
150
200
250
300
¿Por qué se deben pagar 4 soles en el presupuesto 3 si no hay padres afiliados? ____________________________________________________________________________________
4.
Propongo una expresión matemática •
Discute y compara con tus compañeros de equipo el método de cómo llegaron a determinar cuál de los tres presupuestos es más barato. Escribe en palabras el resultado al cual pudiste llegar. ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
334
5.
Valido la solución del problema. •
Reúnete con compañeros(as) de otros equipos y discutan cómo el asesor técnico puede sugerir cuál de los presupuestos le conviene tomando en cuenta el número de padres. Para esto pueden responder cuál de los presupuestos es más barato en las siguientes situaciones: a.
La institución con menos de 100 padres afiliados. ________________________________________________________________________________
b.
La institución con menos de 250 padres afiliados. ________________________________________________________________________________
c.
La institución con más de 150, pero menos de 200 padres afiliados. ________________________________________________________________________________
d.
La institución con más de 200, pero menos de 250 padres afiliados. ________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué dificultad tuviste al resolver el problema? ________________________________________
________________________________________
o d n a r g o l
é r g o l o L
Puedo verificar si una función crece o decrece si conozco una tabla de datos, su representación gráfica o su regla.
¿Qué presupuesto convendría escoger? ________________________________________
Justifico a partir de ejemplos el comportamiento de una función lineal o afín.
________________________________________ ________________________________________ •
y o t s e o L
Propongo afirmaciones sobre el comportamiento de la función lineal y lineal afín al variar la pendiente.
________________________________________
•
e m o r b a e z r D f o s e
Coevaluación
¿Crees que las promociones ayudan a incrementar clientes?
Logramos comunicarnos entre equipos de trabajo.
________________________________________
Participamos todos para resolver el problema.
________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
Consulta a tus vecinos o familiares sobre distintos planes para consumo de mensajes de texto en telefonía móvil.
2.
Elabora una tabla de datos para cada plan con distintas situaciones de consumo.
3.
En una hoja de papel milimetrado representa gráficamente los planes y analiza cuál de ellos te convendría más.
Metacognición •
•
335
¿Siempre es posible representar con funciones lineales o de proporcionalidad inversa los planes de consumo de telefonía móvil? ¿Podré utilizar las funciones lineales para representar otro tipo de relaciones?
Regularidad, equivalencia y cambio
Ficha
Comportamiento de funciones
74
Taller matemático 1. A. Paseo
en auto (Problemas de traducción simple)
Mónica fue a dar un paseo con su automóvil. Durante el paseo, un gato se cruzó delante del vehículo. Mónica frenó de golpe y esquivó al gato. Ligeramente afectada, ella decidió volver a casa. El gráfico siguiente es un registro simplificado de la velocidad del auto durante el paseo. Paseo en auto de Mónica
72 60
) h / m48 k ( d 36 a d i c 24 o l e V 12
0 9:00
9:04
Hora
9:08
9:12
Pregunta 1 •
¿Cuál fue la velocidad máxima del auto durante el paseo?
Pregunta 2 •
¿Qué hora era cuando Mónica frenó de golpe para evitar atropellar al gato?
Pregunta 3 •
¿El camino de vuelta a casa de Mónica fue más corto que la distancia recorrida desde su casa al lugar donde ocurrió el incidente con el gato? Da una explicación que fundamente tu respuesta utilizando la información que proporciona el gráfico.
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee
336
B.
Analizando gráficos Observa el gráfico; elabora una tabla y crea una situación problemática con sus datos.
400 320 ) m k ( 240 a i c n a t s i D160
80
0
1
2
3
4
5
Tiempo (horas)
2.
Teléfonos inteligentes (Problemas de traducción compleja) Juan y Guillermo activaron sus teléfonos inteligentes para registrar la cantidad de kilómetros que recorren diariamente; es así que sus smartphones registran los siguientes datos, respectivamente: Juan o
N. día
•
Guillermo
kilómetros
o
N. día
recorridos
kilómetros recorridos
3
36
5
60
8
96
7
80
Si cada uno recorrió una misma cantidad cada día respectivamente, ¿cómo podrías averiguar si sus celulares tenían kilómetros registrados antes de empezar el registro? a.
¿Cuántos kilómetros recorrió Juan entre los días 3 y 8? ______________________________________
b.
¿Cuántos kilómetros recorrió Guillermo entre los días 5 y 7? __________________________________
c.
¿Quién recorre más kilómetros diarios? __________________________________________________
d.
¿En cuántos días recorre Juan 60 kilómetros? _____________________________________________
e.
¿Cuántos kilómetros recorren diariamente cada uno? ______________________________________
f.
¿Cuántos kilómetros registraría cada celular en el día 20? ____________________________________ 337
g. Indica en un plano cartesiano los puntos que representan los registros y traza una recta para cada uno. Puedes asignar al eje x el número de días, y al eje y el total en kilómetros.
•
Discute y compara con tus compañeros de equipo el método de cómo llegaron a determinar si los celulares tenían registrados los kilómetros antes de empezar el registro. ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ a. ¿Cuántos kilómetros registraron los celulares de Juan y Guillermo en el día uno? ___________________________________________________________________________________ b. ¿Cuántos kilómetros registra cada celular en el día 200? ___________________________________________________________________________________ c. Si uno de los registros del celular de Guillermo es de 160 kilómetros, ¿a qué día corresponde este registro? ___________________________________________________________________________________
3.
Cantidad de mensajes (Situaciones problemáticas realistas) La tabla muestra la cantidad de mensajes que le llegan a Martina a su celular durante ocho días. A cada día le corresponde una cantidad determinada de mensajes, de manera que la tabla muestra una función. Representa en el plano cartesiano los datos de la tabla, considerando como variable independiente el día, y como variable dependiente, la cantidad de mensajes. N.° de día
1
2
3
4
5
6
7
8
Cantidad de mensajes
25
36
41
24
50
55
21
60
338
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué aprendiste con esta estrategia? ________________________________________
e m o r b a e z r D f o s e
y o t s e o L
o d n a r g o l
é r g o l o L
Analizo el comportamiento de las funciones lineales afines a través de pares ordenados.
________________________________________ ________________________________________ •
Justifico a partir de ejemplos el comportamiento de una función lineal o lineal afín conjuntamente.
¿En qué se diferencia una función lineal y una función lineal afín? ________________________________________
Coevaluación
________________________________________ •
Logramos comunicarnos entre equipos de trabajo.
¿Te ayudó a entender la situación graficar las funciones?
Participamos todos para resolver el problema.
________________________________________ ________________________________________
Realiza las siguientes actividades 1.
Metacognición
Mide la distancia entre tu casa y tu colegio; registra en una tabla de datos el recorrido durante una semana.
2.
Averigua la distancia que recorre tu compañero(a) diariamente de su casa al colegio; registra en una tabla el recorrido de una semana.
3.
Representa con una fórmula cada recorrido.
•
•
•
339
¿Siempre es posible representar con expresiones matemáticas un evento cotidiano? ¿Sé distinguir las características que presenta una función lineal? ¿Qué pasos sigo para diferenciar una función lineal de una función lineal afín?
Forma, movimiento y localización
Ficha
75
Tecnología y geometría En el ámbito educativo la tecnología cumple un papel muy importante. Actualmente vivimos en una era tecnológica y los avances que se vienen con ella nos obligan a estar cada vez más actualizados y a utilizar estas innovaciones en nuestro diario vivir educativo. Tanto docentes como estudiantes tienen al alcance recursos informáticos innovadores que permiten trabajar y manipular elementos geométricos, los cuales se convierten en una herramienta importante en el quehacer educativo.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Qué herramienta de tu computadora te ayuda a realizar figuras? ¿Qué conocimientos deberías tener para poder manejar cualquier software de aplicación geométrica? Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
•
¿Crees que el uso de la tecnología es importante para realizar diversos gráficos?
Grafica una serie de figuras geométricas que podrías elaborar sin dificultad en cualquier programa usado comúnmente en la computadora.
340
Resolvamos: El dibujo y la construcción 1.
Represento figuras y cuerpos Unos estudiantes de Secundaria, durante sus clases de geometría, llegaron a la conclusión de que el área de la región amarilla de la figura 1 es equivalente al área de la región amarilla de la figura 2. Figura 1
Figura 2
¿Cómo lo supieron? Sigue las siguientes instrucciones y podrás comprender:
2.
a.
Recorta dos cuadrados de la misma área, por ejemplo de 8 centímetros de base.
b.
Representa la figura 1 dibujando triángulos rectángulos cuyos catetos sean de 2 y 6 centímetros, respectivamente.
c.
Con el segundo cuadrado representa la figura 2, donde cada lado del cuadrado sea dividido en 2 y 6 centímetros, respectivamente.
d.
Recorta los 4 triángulos de la figura 1.
e.
Recorta los 4 triángulos de la figura 2.
•
Compara los triángulos de la figura 1 con respecto a los triángulos de la figura 2. ¿Cómo son los triángulos?
___________________________________________________________________________________
•
Si a cada uno de los cuadrados les quitas 4 triángulos, ¿cómo son las áreas que quedan?
___________________________________________________________________________________
Reproduzco figuras a partir de modelos •
Pega en el siguiente espacio los triángulos obtenidos y demuestra que tienen las mismas áreas.
341
•
Para comprobar, calcula las áreas involucradas; llena la siguiente tabla. Figura
Áreas
Cuadrado de base 8 cm Triángulo de catetos 2 cm y 6 cm Cuadrado mediano figura 1 Cuadrado mediano figura 2 Cuadrado pequeño figura 2
3.
–
¿Cuánto es el área de los 4 triángulos de la figura 1?______________________________________
–
¿Cuánto es el área que queda en la figura 1 al restar los 4 triángulos? ________________________
–
¿Cuánto es el área de los 4 triángulos de la figura 2?______________________________________
–
¿Cuánto es el área que queda en la figura 2 al restar los 4 triángulos? __________________________
Construyo propiedades y conceptos •
Traza un cuadrado de dos maneras diferentes siguiendo estos pasos: Pasos
Dibujo paso a paso B
A
Traza un segmento AB de 4 cm de longitud. 0
1
2
3
Con la ayuda de una escuadra, traza una recta perpendicular por el extremo A. A
B
D
Con el centro en el extremo A y radio igual al segmento AB, traza un arco de circunferencia que corta a la perpendicular en D. A
B
D
Con la ayuda de una escuadra, traza una recta perpendicular por el extremo B. A D
B C
Con el centro en el extremo B y radio igual al segmento BA, traza un arco de circunferencia que corta a la perpendicular en C y une los puntos C y D. A
342
B
4
Pasos
Dibujo paso a paso Cuadrado
R = 35 mm
D
Traza la circunferencia y un diámetro horizontal.
A
0
C
B
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Cuál de los trazos te pareció más comprensible? ________________________________________
•
________________________________________
Trazo perpendiculares con regla y compás.
________________________________________
Trazo paralelas con regla y compás.
e m o r b a e z r D f o s e
y o t s e o L
o d n a r g o l
¿Cuáles fueron las dificultades que encontraste? Trazo triángulos con regla y compás.
________________________________________ ________________________________________
Trazo cuadrados con regla y compás.
________________________________________
Coevaluación Realiza las siguientes actividades
Logramos comunicarnos entre equipos de trabajo.
1. Confecciona un tangram como el siguiente.
Participamos todos para resolver el problema.
Metacognición 2. Forma un triángulo y un rectángulo con todas las
•
piezas. 3. Traza con
regla y compás un rectángulo y un triángulo de las dimensiones que obtuviste con el tangram.
•
343
¿Qué pasos sigo para dibujar un cuadrado empleando regla y transportador? ¿En qué otros casos aplicaría estos nuevos conocimientos en mi vida diaria?
é r g o l o L
Forma, movimiento y localización
Ficha
76
Fondos de pantallas personalizados Muchas de las distintas funciones presentes en los celulares permiten personalizarlos según nuestros propios gustos, ya sea por descargas que cada usuario quiera hacer, o por temas predeterminados que encontramos en los mismos aparatos. De este modo, muchos teléfonos móviles presentan temas, fondos de pantalla y protectores de pantalla, en los cuales encontramos formas y figuras geométricas muy atractivas, las que pueden ser elegidas o descartadas según las preferencias del mismo usuario.
Cuenta tu experiencia •
•
¿Tu celular presenta este tipo de opciones de personalización? ¿Qué figura geométrica encuentras con mayor frecuencia en el diseño de un teléfono celular? Iniciemos
Responde las siguientes preguntas. •
•
¿Qué unidades de longitud usarías para medir la región superficial de la pantalla de un celular?
En la imagen de la situación, ¿qué tipos de ángulos se forman en las esquinas de la pantalla del teléfono celular?
344
Resolvamos: Modelo de Van Hiele 1.
Respondo interrogantes •
Observen los polígonos regulares y contesten las siguientes preguntas:
a. Supón que cada polígono regular será empleado para componer una imagen que será utilizada como fondo de pantalla en un celular. Para esta composición consideraremos elegir un solo tipo de polígono. ¿Cuál elegirías? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ b. ¿Qué polígonos podrías combinar para realizar una composición? ____________________________________________________________________________________ c. ¿Cómo deberían ser los polígonos regulares para hacer otras combinaciones? ____________________________________________________________________________________ 2.
Realizo actividades organizadas •
Recorten los polígonos de las páginas 371 y 373; luego, junto con otros compañeros, pongan los polígonos sobre la mesa y unan los lados de los distintos polígonos y contesten.
a. ¿Es posible llenar la pantalla con los triángulos? ___________________ b. ¿Es posible llenar la pantalla con los cuadrados? ___________________ c. ¿Es posible llenar la pantalla con los pentágonos? ___________________ d. ¿Es posible llenar la pantalla con los hexágonos? ___________________ e. ¿Es posible llenar la pantalla con los heptágonos? ___________________ f.
¿Es posible llenar la pantalla con los octógonos? ___________________
g. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de los polígonos? __________________________ h. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de los polígonos que se pueden usar para llenar la pantalla? _____ •
Observa los siguientes diseños elaborados y decóralos.
345
3.
Explico lo realizado •
Del mismo modo, los criterios para elaborar un diseño para un fondo de pantalla de este tipo, puede aplicarse si quisiéramos recubrir un piso con baldosas.
a. Supón que cada polígono regular es una baldosa y se desea embaldosar un piso con un solo tipo de bal-
dosa. ¿Qué baldosas escogerías? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ b. ¿Qué polígonos podrías combinar para embaldosar el piso? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ c. ¿Cómo deberían ser los polígonos regulares para hacer otras combinaciones? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 4.
Propongo un diseño creativo •
Mira el siguiente recubrimiento; decóralo e inventa otro.
346
5.
Organizo mis ideas •
Reúnete con compañeros de otros equipos y elaboren un cartel para el aula en el que se expongan las características y elementos de los polígonos regulares. Propiedades de los polígonos regulares
•
Escribe otras propiedades de los polígonos.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Finalicemos
Reflexiona •
Autoevaluación
¿Qué usos puedes dar a los polígonos regulares? ________________________________________
¿Se puede decir que una circunferencia es un polígono regular?
Justifico la pertenencia o no de una figura geométrica dada a una clase determinada de paralelogramos y triángulos.
________________________________________ ________________________________________ •
¿En qué se diferencian los polígonos regulares y los triángulos?
Coevaluación
________________________________________
Construimos el cartel para el curso.
________________________________________
Participamos todos para elaborar el cartel.
Realiza las siguientes actividades 1.
Con regla y compás realiza un recubrimiento de cuadrados y decóralo.
2.
Con regla y compás realiza un recubrimiento de hexágonos y decóralo.
Metacognición •
•
3. Inventa un recubrimiento y decóralo. 4.
é r g o l o L
Empleo las propiedades de los lados y ángulos de polígonos regulares al resolver problemas.
________________________________________ •
e o m y d o o r t n b a s a z e r e r D f o o g o s L l e
¿Qué características tienen los recubrimientos? •
347
¿Identifico con facilidad los tipos de polígonos presentes en distintas composiciones? ¿Sé diferenciar, tanto visual como conceptualmente, un polígono regular de uno irregular? ¿Soy capaz de proponer algún diseño de recubrimiento?
Evaluación Redes sociales Uno de los usos que da Juan a su celular es para encontrar a sus compañeros de la infancia a través de las redes sociales. Juan y tres amigos crearon con este propósito una página en Facebook. El primer día cada uno de ellos ingresó a dos nuevos amigos; el segundo hicieron lo mismo con tres, y el tercero con cuatro. Cada día, cada uno puede ingresar a un amigo más que el día anterior. Resuelve las siguientes tareas utilizando la información
4.
previa. Completa la siguiente tabla.
1.
Día
Número de amigos ingresados por cada uno de los 4 miembros
Miembros nuevos
Escribe las expresiones algebraicas que representan la situación de los amigos en Facebook: f ( x ) = 20 x – 3 ; o f ( x ) = 30 /x; debajo de cada gráfica según corresponda.
Miembros en la página
Y
15
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
7
10
11
6
10 5
X
0
5
10
15
20
25
Y
5
2.
3.
5.
¿Cómo pueden saber Juan y sus amigos cuántos miembros hay en su página de la infancia al cabo de 10 días?
4
________________________________________
1
________________________________________
-1 0 -1
3 2
X
¿Cuántos amigos habrá en la página en el día 10?
-2
________________________________________
-3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
En las siguientes tablas de datos, escribe si los datos son de una función lineal, una función lineal afín o una función de proporcionalidad inversa. x
f ( x )
x
f ( x )
x
f ( x )
10
30
12
20
15
20
15
45
15
23
10
30
12
36
20
28
30
10
_________________________
_________________________ 348
_________________________
6. Con las medidas dadas de los catetos, 3 cm y 4 cm,
respectivamente, construye con regla y compás un triángulo rectángulo. ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono? ________________________________________ ¿Cuánto mide el ángulo central de un decágono? ________________________________________
Producto
7. Elabora un mosaico de figuras geométricas a manera de vitral para que lo puedas enmarcar; coloréalo y expón
en clase.
Autoevaluación Indicadores
Siempre
A veces
Pocas veces
Siempre
A veces
Pocas veces
Expreso mediante tablas una situación matemática. Reconozco las diferencias de la función lineal, función lineal afín, función de proporcionalidad y función constante. Reconozco las propiedades de los polígonos regulares. Construyo con regla y compás polígonos regulares. Reconozco la regla de una función lineal. Escribo la expresión algebraica que corresponda a su respectiva gráfica.
Coevaluación Indicadores
Participamos todos en las actividades de equipo. Respetamos los razonamientos diferentes de los nuestros.
Metacognición 1. ¿Cómo reconozco las características de las funciones estudiadas? ________________________________ 2. ¿Identifico casos de situaciones contextualizadas que se pueden representar con funciones? __________ ____________________________________________________________________________________ 349
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EL ACUERDO NACIONAL El 22 de julio de 2002, los representantes de las organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la sociedad
dad, nos sintamos parte de ella. Con so a las oportunidades económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una educación de calidad, a una salud integral, a un lugar para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
todos, para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este compromiso es el Acuerdo Nacional. El acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales. Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir, ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos. Estos son tan importantes que serán respetados como políticas permanentes para el futuro. Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores, debemos promover y fortalecer acciones que garanticen el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los siguientes: 1. Democracia y Estado de Derecho La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los peruanos sólo se pueden dar si conseguimos una verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo Nacional es garantizar una sociedad en la que los derechos son respetados y los ciudadanos viven seguros y expresan con libertad sus opiniones a partir del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor para el país. 2. Equidad y Justicia Social Para poder construir nuestra democracia, es necesario que cada una de las personas que conformamos esta socie-
3. Competitividad del País se compromete a fomentar el espíritu de competitividad en las empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar la colocación de nuestros productos en los mercados internacionales. 4. Estado Transparente y Descentralizado Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus obligaciones de manese al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo se compromete a modernizar la administración pública, desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar el poder y la economía para asegurar que el Estado sirva a todos los peruanos sin excepción.
352
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir constantemente sus acciones a la sociedad en general.
Sección
Desglosable Tarjetas 1. Un poliedro está limitado por regiones poligonales denominadas… a. Aristas b. Caras c. Lados
3. Los lados de la cara de un poliedro se llaman… a. Aristas b. Bases c. Vértices
4. En una arista de un poliedro, ¿cuántas caras pueden intersecarse? a. 2 b. 3 c. Infinitas
5. ¿Qué nombre recibe el poliedro que tiene 4 caras? a. Cuatriedro b. Cuadrilátero c. Tetraedro
7. ¿Qué nombre recibe el poliedro que tiene 6 caras? a. Hexágono b. Hexaedro c. Pentaedro
8. ¿Qué nombre recibe el poliedro que tiene 8 caras? a. Heptaedro b. Octágono c. Octaedro
10. ¿Cuántas caras tiene un dodecaedro? a. 2 b. 12 c. 20
11. ¿Cuántas caras tiene un icosaedro? a. 10 b. 15 c. 20
12. Si un poliedro convexo tiene 10 caras y 5 vértices, ¿cuántas aristas tendrá? a. 11 b. 12 c. 13
14. Si un poliedro convexo tiene 8 caras y 13 aristas, ¿cuántos vértices tendrá? a. 7 b. 8 c. 9
15. Las bases de un prisma son… a. Paralelas b. Congruentes c. Ambas son correctas
17. ¿Cuántas caras laterales tiene un prisma triangular? a. 3 b. 4 c. 5
18. ¿Cuántas caras tiene en total un prisma octagonal? a. 8 b. 9 c. 10
20. ¿Cuántas caras tiene una pirámide triangular? a. 3 b. 4 c. 5
21. ¿Cuántos vértices tiene una pirámide cuadrangular? a. 4 b. 5 c. 6
22. ¿Cuántas aristas tiene una pirámide triangular? a. 3 b. 6 c. 9
24. ¿Cuál es el volumen de una pirámide que tiene una base de 4 m2 y una altura de 6 m? a. 8 m3 b. 10 m3 c. 12 m3
25. ¿Cuál es el volumen de un prisma que tiene una base de 10 cm2 y una altura de 6 cm? a. 20 cm3 b. 40 cm3 c. 60 cm 3
27. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de altura 6 m y cuya base cuadrada tiene 3 m de lado? a. 6 m3 b. 12 m3 c. 18 m3
28. Si los siguientes poliedros son regulares y sus aristas miden 2 m, ¿cuál tendrá un mayor volumen? a. Un tetraedro b. Un hexaedro c. Un octaedro
353
Desglosable
1
El juego de la oca
8
10
Adelanta 2
Adelanta 4
7
11 Retrocede 2
12
Retrocede 1
14
5
15
4
3
1
355
PARTIDA
Desglosable 2
21
Tarjetas
20
22
24
25
17
18
27
28
LLEGADA
357
Desglo Des glosab sable le 3
Recorta y arma la figura.
359
Desglosable
4
Recorta las fichas y juega dominó.
2 __ 3
10 %
_ 6 2 _
% 5 , 2 6
% 5 7
% 0 4
_ 7 4 _
% 0 5
_ 6 5 _
% 5 2
_ 7 2 _
% 0 8
_ 7 3 _
_ 3 2 _
_ 7 6 _
% 0 0 1
% 0 6
_ 3 1 _
% 0 5
_ 6 1 _
% 5 7
% 0 5
_ 7 1 _
% 5 , 2 1
% 0 3
% 5 , 7 3
% 0 7
% 0 5
% 0 2
% 0 5
361
Desglosable
5
Tangram.
363
Desglosable
6
Recorta y arma la figura.
Espectáculo público cultural
Pantalón jean
Vestido de fiesta
S/ 20
S/ 150
S/ 299
Kilogramo de ajo
Transporte público
Refrigeradora
S/ 4,68
S/ 1,20
Jornada diaria de un operario en la construcción
Auto nuevo
Libro
Vivienda
S/ 48 750
S/ 32,50
S/ 160 000
Televisor LED
Metro cuadrado de terreno S/ 4882
S/ 1700
S/ 1500
S/ 60
365
Desglosable
7
Recorta y encuentra a su pareja. 2 xy 22,5 x + 16 y + 31,5 xy
4 xy
10 x 26,5 x + 17 y + 13,5 xy
3 y 20 x + 12 xy
3 y 6 xy
5 x 3 x 6 x
2 x
10 x + 5 xy
28 x + 12 y + 12 xy
4 xy 5 xy
3,5 xy
2 xy 3 xy
3 xy 5 xy
26 x + 12 y + 12 xy
4,5 xy
xy
6 xy
2 x
xy
y
50,5 xy
2,5 y 3,5 xy
2 x 2 xy
xy
2,5 y
48,5 xy 3 x
4 x 2 y 2,5 x
xy
2 xy
3,5 xy
2 x
14 x + 9,5 y + 15 xy
3 y 6 x
y
3 y
14 x + 12 y + 15 xy x
2 xy
2 y
367
Desglosable
8
Recorta y elabora un organizador visual.
POLIEDROS
CARAS
ARISTAS
VÉRTICES
REGULARES
ÁREA TOTAL DE UN PRISMA
IRREGULARES
PRISMA
PIRÁMIDE
VOLUMEN DEL PRISMA
ÁREA TOTAL DE LA PIRÁMIDE
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
CONO
VÉRTICE
ALTURA DE LA PIRÁMIDE
APOTEMA
BASE
PRISMA RECTO
PRISMA OBLICUO
TEOREMA DE EULER
CÚSPIDE
ALTURA DEL CONO
RADIO DE LA BASE
GENERATRIZ
TETRAEDRO REGULAR
HEXAEDRO REGULAR
OCTAEDRO REGULAR
DODECAEDRO REGULAR
ICOSAEDRO REGULAR
369
Desglosable
9
Recorta los polígonos regulares.
371
Desglosable
10
Recorta los polígonos regulares.
Aporta, en proteína, de cada ración.
3 20
Aporta, en grasas, de cada ración.
7 50
Ideal para personas 1 con diabetes. de 16 peruanos padecen de
Una porción contiene 12 los de nuestros 25 requerimientos diarios
esta enfermedad.
de magnesio.
Es equivalente a los del arroz blanco, en contenido proteico.
13 6
3 de 20
Aporta, en fibra, cada ración
Controla los niveles 4 de colesterol. de las 7 personas que acuden al médico sufren de colesterol.
4 del 7 tiempo necesario para
Según la FAO, en 2014, 5 Perú exportó del 19 total que produjo.
Se cocina en
cocinar arroz.
373
Aporta, en carbohidratos, 7 de 10 cada ración.
Es equivalente a los del arroz integral, en
13 7
contenido proteico.
16 de los 11 que produce Bolivia. Perú produce
Desglosable
11
Recorta y arma la pirámide pentagonal.
375
Desglosable
12
Recorta y arma la pirámide cuadrangular.
377
Desglosable
13
Recorta y arma el cubo.
379
Desglosable
14
Recorta y arma el prisma triangular.
381
Desglosable
15
Recorta y arma el prisma pentagonal.
383
Desglosable
16
