Matematica Basica

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

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Prefacio

El presente texto desarrolla el curso de matemática básica, teniendo en cuenta los requerimientos temáticos que deben ser de conocimiento por los alumnos de las diferentes especialidades. especialidades. Comprende temas en sus aspectos teórico y práctico, para lo cual se han desarrollado los contenidos con sus respectivos ejemplos de reforzamiento. Los alumnos al desarrollar este curso estarán aplicando su razonamiento lógico en el momento de solucionar problemas y realizar la comunicación matemática necesaria.

Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:

Unidad I: Teoría De Conjuntos Unidad II: Conjunto De Los Números Reales Unidad III: Expresiones Algebraicas Y Polinomios Unidad IV: Ecuaciones e Inecuaciones

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Teoría de Conjuntos

Conjunto De Los Números Reales

Expresiones Algebraicas y Polinomios

Ecuaciones E Inecuaciones

Idea y Determinación de Conjuntos

Los Números Reales y sus Axiomas

Expresiones Algebraicas: Polinomios

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Operaciones con Conjuntos

Intervalos

Leyes de Exponentes

Inecuaciones de segundo grado e Inecuaciones con Valor Absoluto

Producto Cartesiano

Relaciones

Operaciones con Intervalos

Operaciones con Polinomios y Productos Notables

Sistema de Ecuaciones Lineales con Dos Variables

Inecuaciones Fraccionarias

Factorización Inecuaciones con Radicales

La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es:

“Identificar conjuntos y los elementos que lo

componen, realizar operaciones con números reales

expresando

resultados

a

través

de

intervalos, expresar el conjunto solución de ecuaciones e inecuaciones, demostrando en todo momento seguridad en sus procedimientos”.

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Índice del Contenido

I. PREFACIO II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: TEORIA DE CONJUNTOS 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Idea y determinación de conjuntos. b. Tema 02: Operaciones con conjuntos. c. Tema 03: Producto Cartesiano. d. Tema 04: Relaciones. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: CONJUNTO DE LOS N MEROS REALES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Los Números reales y sus axiomas. b. Tema 02: Intervalos. c. Tema 03: Operaciones con intervalos. d. Tema 04: Sistema de ecuaciones lineales con dos variables. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Expresiones algebraicas: polinomios. b. Tema 02: Leyes de exponentes. c. Tema 03: Operaciones con polinomios y productos notables. d. Tema 04: Factorización. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: ECUACIONES E INECUACIONES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. b. Tema 02: Inecuaciones de segundo grado e inecuaciones con valor absoluto. c. Tema 03: Inecuaciones fraccionarias. d. Tema 04: Inecuaciones con radicales. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen III. GLOSARIO IV. FUENTES DE INFORMACI N V. SOLUCIONARIO

02 03 – 169 05-44 06 06 06 06 06 06 07-38 07 18 27 32 39 39 42 44 45-75 46 46 46 46 46 46 47-70 47 52 58 63 71 71 73 75 76-131 77 77 77 77 77 77 78-127 78 89 100 117 128 128 129 131 132-165 133 133 133 133 133 133 134-161 134 140 150 156 162 162 164 165 166 168 169

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Introducción

a) Presentación y contextualización La matemática como lenguaje se puede estructurar a partir de la Teoría de Conjuntos. Los símbolos primitivos para armar expresiones matemáticas y consecuentemente una red matemática, son los del modelo o Teoría de Conjuntos cuyos entes, conectivos y puntuación se pueden presentar como elementos y conjuntos. Por ello, aquí el alumno refuerza sus nociones básicas sobre agrupación y operaciones entre conjuntos así como sus apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b) Competencia Identifica y determina conjuntos reconociendo sus elementos, así mismo realiza operaciones para resolver situaciones problemáticas y representa resultados en diagramas.

c) Capacidades 1. Identifica claramente la idea o noción de conjunto y determina conjuntos por comprensión y extensión. 2. Realiza operaciones con conjuntos expresando resultados según sean los casos de unión, intersección, diferencia o complemento 3. Identifica los elementos que componen un Producto Cartesiano y expresa gráficamente sus resultados. 4. Expresa relaciones entre conjuntos siguiendo la regla de correspondencia que se le da además de identificar el dominio y rango de las relaciones

d) Actitudes Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje. Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollo de los temas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 01: Teoría De Conjuntos, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Idea y Determinación de Conjuntos TEMA 02: Operaciones con Conjuntos TEMA 03: Producto Cartesiano TEMA 04: Relaciones

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TEMA 1

Identifica claramente la idea o noción de conjunto y determina conjuntos por comprensión y extensión.

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Desarrollo de los Temas

La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, GottlobFrege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.

1) IDEA Y DETERMINACIÓN DE CONJUNTO: En matemática utilizaremos la idea de conjunto con el mismo significado que se le da en la vida diaria, es decir, un c o n j u n t o es una colección, agrupación o reunión de objetos llamados ELEMENTOS y que pueden ser determinados ya sea POR EXTENSIÓN o por COMPRENSIÓN. Generalmente designaremos los conjuntos con letras mayúsculas de imprenta y anotaremos sus elementos entre llaves. Diremos que un conjunto está definido por extensión si enumeramos todos los elementos que lo forman. Un conjunto está definido por comprensión si establecemos una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplo: El conjunto de las notas musicales se escribe: Por extensión: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}. Por comprensión: A = {x / x es nota musical}.

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”. / x ” se lee “ x tal tal que x ”. x / Observación: “ x

Por otra parte, un conjunto se puede representar gráficamente mediante diagramas de Venn; éstos son curvas o polígonos cerrados, dentro de los cuales se indican mediante puntos los elementos que pertenecen al conjunto. En el ejemplo: A

re

mi

do

sol

la fa

si

ENN DIAGRAMA DE V ENN

Un conjunto está bien definido si se puede establecer sin dudar si un elemento pertenece o no al conjunto.

x / x es es mes del año} ¿ M está está  Si consideramos el siguiente conjunto: M = { x

bien definido? Si es así, ¿cuáles son sus elementos?

Solución: M síest síest áb ien de fin id o porque es fácil identificar sus elementos. elementos. M = {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, setiembre,

octubre, noviembre, diciembre}

x / x es alto} ¿M está bien  Si consideramos el siguiente conjunto: M = { x

definido? ¿Por qué?

Solución: M no está bien definido porque no es fácil identificar sus elementos.

= {a, e, i , o, u} podemos decir, Si consideramos el siguiente conjunto: S = por ejemplo: que a pertenece al conjunto S . En símbolos: a S . que b no pertenece pertenece a S . En símbolos: b S.

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Observación: Cardinal De Un Conjunto: es el número natural que indica la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Así: A={ x/x Z, -2 < x ≤ 3} Entonces el conjunto A por extensión será: A = {-1; 0; 1; 2; 3} El cardinal de A será entonces: Card. (A) = n(A) = 5

ACTIVIDAD Escribir por extensión los siguientes conjuntos y representarlos mediante diagramas de Venn.

1)

A = {x / x es un número entero positivo de dos cifras iguales}

Solución: A={11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}

2) B = {x / x es un número entero positivo de dos cifras que suman 6} Solución: B= {15; 24; 33; 42; 51; 60}

3) Responder: ¿555 Solución:

A ? ¿ –33

B ? ¿33

A ? ¿33

B ? ¿45

B ? ¿Por qué?

555

A(F)

po rqu e A estáco nfo rm ado po r número s de dos cifras.

–33

B(F)

po rqu e B estáco nfo rm ado por número s enteros positiv os.

33

A (V)

po rqu e cu mp le co n la característic a del co njun to A.

33

B (V)

po rqu e cu mp le co n la característic a del co njun to B.

45

B (F)

porq ue la suma de las cifras no es 6.

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CUANTIFICADORES: En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son

símbolos

utilizados

para

indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, pero quizás los más estudiados y utilizados sean:

Cuantificador universal

Para todo x, y...

Cuantificador existencial

Existe al menos un x, y...

Cuantificador existencial único Existe exactamente un x, y...

Negación del cuantificador existencial No existe ningún x, y...

2) CONJUNTOS ESPECIALES: A) Universo o Conjunto Universal El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral ).

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Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda: U={ 1, 2, 3, 4, 5 } Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia: Conjunto de números naturales (enteros mayores o iguales que cero) representados por la letra N donde N={ 0, 1, 2, 3, .... } Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I. Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Ejemplos: 1) Denotar el Conjunto Universal conformado por los números naturales menores que 60. U = { x/x N ; x<60 }

2) Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen

intervalos

estos

pueden

ser

representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar el Conjunto Universal conformado por los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente: U = { x/x Z ; -20 < x < 30 }

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B) Conjunto Infinito: En teoría de conjuntos, un conjunto infinito es cualquier conjunto que no pueda ponerse en bisección con ningún número natural. Es decir que no se puede contar sus elementos o saber la cardinalidad del conjunto.

Ejemplo: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito

C) Conjunto Finito: Conjunto finito es un conjunto que tiene un número

finito

ejemplo

de

elementos

Por

es un conjunto

finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural. Todo conjunto finito es un conjunto numerable. Si un conjunto no es finito, entonces es infinito.

D) Conjunto Vacío: El conjunto vacío es el único conjunto que no contiene elementos. El conjunto vacío es denotado por cualquiera de estos símbolos:

derivada de la letra Ø (introducida especialmente por André Weil) en 1939. Otra notación común para el conjunto vacío es:

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Propiedades Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A: Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A: Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta el conjunto vacío: Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío: El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo, el conjunto vacío: El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero, que se puede expresar:

3) RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: a) Inclusión: Definición: Un conjunto A está i n c l u i d o en otro B si y sólo si todo elemento que pertenece a A,

pertenece también a B. En símbolos: A

⊂  ⇔ ∀ :  ∈  ⇒  ∈ 

Observaciones: A  B se lee “ A está incluido en B”  se lee “si y solamente si”  x se lee “para todo x ”  se lee “entonces”

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Ejemplo: Sea A = {8, 20, 4, 10} y B = {20, 4}: Decimos que B  A ya que todo elemento de B está en A.

Gráficamente: A B

20 4

8

10

b) Igualdad: Definición: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A  B y B  A, es decir, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. En símbolos: A = B



A

⊂

B

y

B

⊂

A

Actividad: Sean:

R = { x / x es una letra de la palabra RECITAL}

C = { x / x es una letra de la palabra CITA} L = { x / x es una letra de la palabra LA} A = { x / x es una letra de la palabra ALA}

Definir los conjuntos por extensión, graficarlos y decir qué inclusiones y qué igualdades se verifican.

Solución: Los conjuntos por extensión: R ={r, e, c, i, t, a, l}

R C

C ={c, i, t, a} L ={l, a}

A

A ={a, l}

.l

Gráficamente:

L

.r .a

.c

.i .t

.e

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Se puede verificar: C  R ( C está contenido en R) A  R (A está contenido en R) L  R (L está contenido en R) A = L (A es igual a L) Notemos que el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto .

En símbolos:   A,  A conjunto.

¿Existe alguna relación de inclusión entre un conjunto A consigo mismo? ¿Por qué? Si hay inclusión de un conjunto consigo mismo porque todo conjunto está incluido o contenido en sí mismo. .

Aplicaciones Prácticas: 1) Dar por extensión el conjunto A:





A  x x  2n  1  n  N  x  17

Solución: El conjunto A está formado por “x” tal que x = 2n - 1; además: x > 17 Los “n” son números naturales, recordemos que:

N= {0; 1; 2; 3; 4; 5;…….} Para hallar el conjunto A, tendremos que encontrar los x = 2n – 1

Así tenemos: X = 2 (0) – 1 = -1

A

X = 2 (1) – 1 = 1

A..

X = 2(9) – 1 = 17

A..

X = 2(10)- 1 = 19

A..

X = 2(11) – 1 = 21

A..

Rpta:

A = {19; 21; 23; 25; 27; …}

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2) Halla el valor de “x” para que estos conjuntos sean unitarios:

 x  Z    1;9 2 

;

 2 x ;6  3  

P  

Solución: Se sabe que un conjunto unitario sólo tiene un elemento, entonces vamos a igualar los elementos: En Z:

x 2 x

En P:

1  9

2 x

 10

3 2 x  18

2 x  20

6

x  6

3) ¿El conjunto A = {x2 + 3 / x

N

0 < x < 5} y el

conjunto B = {x - 3 / x  N  7 ≤ x < 15} son iguales}

Solución: A = {4; 7; 12; 19} ;

Luego:

B = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}

A ≠ B

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TEMA 2

Realiza operaciones con conjuntos expresando resultados según sean los casos de unión, intersección, diferencia o complemento.

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Dados dos conjuntos cualesquiera, podemos definir ciertas operaciones que nos den como resultado otro conjunto. A continuación, veremos algunas de ellas:

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: Dados dos conjuntos

A

y B,

denominamos “ A intersección B” al conjunto formado por todos los elementos

que pertenecen a A y a B al mismo tiempo. En símbolos: A  B = { x / x  A  x  B }

Ejemplo: Sea A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y B = {4, 8, 12, 16, 20}. Luego A  B = {4, 8, 12}. Gráficamente: A

B

10 4 2

20 12 16

8 6

Completar según corresponda:

A

= cualquiera sea el

conjunto A. A

A = A cualquiera sea

el conjunto A.

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Unión de Conjuntos: Dados dos conjuntos A y

B, denominamos “ A unión B” al

conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. En símbolos: A  B = { x / x  A  x  B }

Ejemplo: Si consideramos el ejemplo anterior: A  B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20}

Gráficamente: 10 4

2

20 12

8

16

6

Completar los siguientes casos particulares: A   = A cualquiera sea el conjunto A. A  A = A cualquiera sea el conjunto A.

PROPIEDADES PARA LAS OPERACIONES DE UNIÓN E INTERSECCIÓN: La Unión e Intersección también se conocen como operaciones Booleanas.

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Diferencia De Conjuntos: Sean a y b dos conjuntos. la diferencia de conjuntos A - B es:

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos a − b son aquellos elementos que pertenecen a a y no pertenecen a b.

Ejemplos U

o

A

Si dados los conjuntos:

B a b c

d

La diferencia de conjuntos A - B es:

o

Si:

Entonces:

y

Complemento de conjuntos: Cuando estudiamos algo en matemática, trabajamos todo el tiempo con los elementos de un conjunto U al que llamamos universal o referencial . Si tomamos un conjunto A

⊂ U , denominamos “complemento de A”,

y

notamos A’, al conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.

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En símbolos: A’ = { x / x  U  x  A }

Ejemplo: Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {3, 6, 9}. Luego A’ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.

U

1 3

Gráficamente:

5

2

6

A

9

4

8 7

APLICACIONES PRÁCTICAS: 1) Dados los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {1, 2, 4, 5} y

R = {3, 4, 5}

Hallar: a) (Q ∪ R) b) (P ∩ Q) c) (Q’) d) (P - Q)’ a) (Q R) Solución: (Q ∪ R) = {x/x ∈ Q o x ∈ R} = {l, 2, 4, 5} ∪ {3, 4, 5} = {l, 2, 3, 4, 5} =P

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b)

(P ∩ Q)

Solución:

∈

∈

(P ∩ Q) = {x/x P y x Q} = {l, 2, 3, 4, 5} ∩ {l, 2, 4, 5}

= {1, 2, 4, 5} =Q

c)

Q’

Solución: El conjunto Q’ consiste en los elementos que están en

U pero no en Q.

∈ ∧ ∉

Q’ = {x/x U x Q}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Q = {1, 2, 4, 5} Q’ = {3, 6}

d)

(P - Q)’

Solución: P - Q = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4, 5} P - Q = {3} (P-Q)’= {1, 2, 4, 5, 6}

2) Una compañía tiene 350 empleados de los cuales 160 obtuvieron un aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 fueron promovidos y obtuvieron un aumento de salario.

a) ¿Cuántos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos?

b) ¿Cuántos empleados fueron promovidos pero no obtuvieron un aumento?

c) ¿Cuántos empleados no obtuvieron ni aumento de salarios ni fueron promovidos?

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Solución: De los datos que nos dan realizamos el diagrama de Venn, consideremos que el conectivo “y” hace referencia a la intersección.

Aumento De salario = 160

160 – 60 = 100

100

Promovidos=100

60

U=350

100 – 60 = 40

40

150

350 – (100 + 60 + 40)

Respuestas: a) 100 empleados b) 40 empleados c) 150 empleados

3) En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente información: 431 empleados utilizan metropolitano. 396 empleados utilizan taxi. 101 empleados utilizan metropolitano y combi pero no taxi. 176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados. 341 utilizan combi. 634 utilizan metropolitano o combi. 201 utilizan sólo metropolitano.

a) ¿Cuántos empleados utilizan metropolitano o combi pero no taxi? b) ¿Cuántos empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados?

c) ¿Cuántos empleados utilizan sólo combi? d) ¿Cuántos empleados utilizan metropolitano, combi y taxi?

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Solución: Debemos tener en cuenta que el conectivo “o” hace referencia a la Unión.

Metropolitano = 431 201

Taxi=396

d

U=1000

c e

101

b

a Ninguno176

Combi = 341

634 utilizan metropolitano o combi: 201 + (101 + a + b + e) + d = 634 201

+ 341 +

d

d

= 92

= 634

431 empleados utilizan metropolitano: 201 + 101 + d + e = 431 201 + 101 + 92 + e = 431 e = 37 341 utilizan combi: 101 + e + a + b = 341 101 + 37 + a + b = 341 a + b = 203 396 empleados utilizan taxi: (d + e) + b + c = 396 129 + b + c = 396 b + c = 267 Los que utilizan transporte son: 1000 – 176 = 824 Entonces: 201 + 101 + ( a + b ) + c + (d + e) = 824 201 + 101 + ( 203 ) + c + (129 ) = 824 C = 190 Ahora hallamos b

:

b + c = 267

b + 190 = 267 b = 77 Ahora hallamos a:

a + b = 203

a + 77 = 203

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a = 126

En el gráfico:

U=1000

Metropolitano = 431 201

Taxi=396 92

190

37 77

101 126

Ninguno1

Combi = 341

76

Respuesta: a) (201 + 101 + 126) = 428 empleados utilizan metropolitano o combi pero no taxi.

b) (201 + 190 + 126) = 517 empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados.

c) 126 empleados utilizan sólo combi. d) 37 empleados utilizan metropolitano, combi y taxi.

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TEMA 3

Identifica los elementos que componen un Producto Cartesiano y expresa gráficamente sus resultados.

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PAR ORDENADO: Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo. Un par ordenado de componentes a, b se denota (a, b). En general en el par ordenado: (a, b) a "a" se le llama primera componente o abscisa y a "b" se llama segunda componente u ordenada.

Ejemplo: Son pares ordenados: (3; 5) , (-2; 7), etc.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS:

Los pares ordenados (a, b) y (c, d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es: (a, b) = (c, d)

a = c b = d.

Ejemplo: Determinar los valores x e y, si los siguientes pares ordenados son iguales: (4, 2x-10) = (x-1, y+2) Solución: teniendo en cuenta el concepto de igualdad de pares ordenados, se tiene: 4 = x – 1 5=x

;

2x – 10 = y + 2 2(5) – 10 = y + 2 -2

=y

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS: Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) de tal manera que la primer a componente “a” pertenece al conjunto A y la segunda componente “b” pertenece

al conjunto B.

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Así tenemos: A X B = {(a, b) / a A b B}

Ejemplo 1: Sean: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4} . Hallar AXB e indicar su cardinal. Representarlo gráficamente.

Solución: A X B = {(1; 2), (1; 4), (3;2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)} Además el cardinal de AXB será: Card. (AXB) = n(AXB) = n(A) X n(B) = 3 X 2 = 6

Representación Gráfica: A) Diagrama de Árbol: A 1 3 5

B) Diagrama Cartesiano: B

B 2

(1;2)

4 2

(1;4) (3;2) (3;4)

4 2 4

AXB 4 2

(5;2) (5;4)

1

3

5

A

El Plano Cartesiano:

Ejemplo 2: Sean los conjuntos A y B. A={a, b, c} y B={m, n, o} El

producto

cartesiano A x B estará definido como:

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AxB={(a, m), (a, n), (a, o), (b, m), (b, n), (b, o), (c, m), (c, n), (c, o)}

El producto cartesiano BxA estará definido como: BxA={(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c), (o, a), (o, b), (o, c)}

Ejemplo: Representar en el plano cartesiano AxB: Sean A = {x / x R 1  x  3 },

B = {x / x R 2  x  2 }.

Solución:

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Se debe tener en cuenta que los elementos de A y B son reales, por lo tanto en el gráfico se tomarán en cuenta todos los puntos que corresponden a los intervalos de valores para A y B. La representación geométrica de A X B es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.

Propiedades Del Producto Cartesiano: 1) A X B ≠ B X A (está sujeto a los elementos de los conjuntos) 2) A x Ø = Ø x A = Ø 3) A X (B C) = A X B  A X C 4) A X (B C) = A X B  A X C 5) A X (B - C) = A X B - A X C

Ejemplo: Se tiene los productos:

31


TEMA 4

Expresa relaciones entre conjuntos siguiendo la regla de correspondencia que se le da además de identificar el dominio y rango de las relaciones.

32


DEFINICIÓN: Sean

conjuntos no vacíos. Una relación binaria de A en B o relación entre

los elementos de A y B es todo subconjunto R del producto cartesiano

, esto

es:

R es una relación de Tal que: R = {(x;y) A x B / p(x,y)} Donde: p(x,y) es la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la relación. Si R es una relación y

, decimos que

está relacionada con b.

Ejemplo: Dados los conjuntos: B={1; 3; 5} y C={2; 4; 6} Hallar los elementos de las relaciones: .R ={(x;y)  B X C / x + y = 7} 1

R2 ={(x;y)  B X C / y = 6 }

Solución: BXC ={(1;2), (1;4), (1;6), (3;2), (3;4), (3;6), (5;2), (5;4), (5;6)} Y las Relaciones R 1 y R2 son: R1={(1;6), (3;4), (5;2)} R2={(1;6), (3;6), (5;6)}

33


DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN: Dominio: Sea R una relación. Definimos el dominio de R como el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos D ( R ) o dom ( R ). Dicho conjunto lo representamos por comprensión así:

Rango: Sea R una relación. Definimos el rango de R como el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos r ( R ) o ran ( R ). Dicho conjunto lo representamos por comprensión así:

Ejemplo: 1) Dados A = {2,3,4,5} y que "x + y

B = {4,6,9},

siendo , R : A —> B la relación tal

8” , determine:

a) Conjunto Solución b) Dominio c) Rango d) Diagrama de Venn Euler e) Diagrama de Coordenadas.

34


Solución: a) El conjunto solución es R = { ( x , y)

AXB/x+y

8 } = { ( 2, 4 ) ( 2, 6 ) , ( 3, 4 ), ( 4, 4 ) } .

b) El dominio es Dom(R) = { 2, 3, 4 } c) El rango es Ran(R) = { 4, 6 } d) El diagrama de Venn – Euler (también llamado diagrama sagital o de flechas) es:

A

B

e) El Diagrama de Coordenadas es: B 9 R 6 4

2

3

4

5

A

35


2) Siendo N el conjunto de los números Naturales, se define la siguiente relación: R={(x;y)  N2 / x + y ≤ 4} Hallar la relación R e indicar los elementos del dominio y rango.

Solución: Tengamos en cuenta que: N x N = N 2 Recordemos que el conjunto de los números Naturales es: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ………}

Usando la regla de correspondencia de la Relación: x + y ≤ 4 ; empezamos a dar valores naturales a “x” y

se puede hallar también los valores naturales de “y” teniendo en cuanta que debe cumplir la Regla

de Correspondencia: x+y≤4 y ≤ 4 – x

x

0

1

2

3

4

y

4

3

2

1

0

Así tenemos: R={(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)} Dom(R)={0; 1; 2; 3; 4} Ran(R)={0; 1; 2; 3; 4}

3) Si: S={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} y la relación R={(x,y)  S x S / y es múltiplo de x; x ≠ y} hallar la suma de todos los elementos del Dom(R)

Solución: R={(3;6), (3;9), (4;8), (5;10)} Dom(R)={3; 4; 5} La suma pedida es: 3 + 4 + 5 = 12

36


4) Dado el universo U={1; 2; 3; 4} y las relaciones: R1={(x;y) U2 / x = y} R2={(x;y) U2 / x = 3} R3={(x;y) U2 / x ≤ y} Hallar: R3 – (R1  R2)

Solución: R1={(1;1), (2;2), (3;3), (4;4)} R2={(3;1), (3;2), (3;3), (3;4)} R3={(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (2;2), (2;3), (2;4), (3;3), (3;4), (4;4)} (R1  R2) = {(1;1), (2;2), (3;1),(3;3), (3;2), (3;4), (4;4)} R3 – (R1  R2) = {(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4)}

TIPOS DE RELACIONES: Relación Reflexiva R es una relación reflexiva en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada elemento de él está relacionado consigo mismo: Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R={(1, 1),(1,3 ),(2,2),( 3,2),(3 ,3)} R es una relación Reflexiva porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo.

Relación Simétrica R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:

a R b  b Ra

Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R={(1, 3),(2,3 ),(3,1),( 3,2), (3,3)} R es una relación simétrica porque para todo par (a; b) que pertenece a la relación también se tiene el par (b; a) que pertenece a la relación.

37


Relación Antisimétrica R es una relación anti simétrica en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:

aRb  bRa



a =b

Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R={(1, 3),(2,1 ),(2,2), (3,2)} R es una relación Anti simétrica porque para todo par (a; b) que pertenece a la relación, no se tiene el par (b; a) en la relación.

Relación Transitiva R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada trío de elementos de él satisface lo siguiente:

a R b  b Rc



aRc

Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R={(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),( 3,3)} R es una relación Transitiva porque para todo par (a; b) y (b; c) que pertenecen a la relación, también el par (a; c) pertenece a la relación.

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Lecturas Recomendadas

 CONJUNTOS http://ccognoscitiva.iespana.es/rrr_conjuntos.pdf  RELACIONES http://www.itchetumal.edu.mx/paginasvar/Maestros/mduran/Archivos/Unidad%20 4%20Relaciones.pdf  TEORÍA CONJUNTOS http://vimeo.com/6608280

Actividades y Ejercicios Ingresa al Link: “Teoría de conjuntos” lee atentamente las indicaciones, desarrolla desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio:

1) Expresar B por extensión: B   x x  2n  n   x  13 a) b) c) d) e)

B={1; 3; 5; 7; 9; 11; 13……} B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8…….}

B={0; 2; 4; 6; 8; 10; 12} B={0; 2; 4; 6; 8; 10……} B={0; 3; 6; 9; 12……}

2) En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al

juego, 39 son aficionadas aficionadas al vino y 48 a las fiestas, además además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último nueve a las fiestas y el vino solamente. Determinar:

I. El número de personas que es aficionada al vino solamente. II. El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente. a) 11 ; 19 b) 10 ; 19 c) 11 ; 10 d) 11 ; 29 e 39 48

39


3) Una encuesta realizada a 2000 hombres reveló lo siguiente respecto a sus gustos por distintos tipos tipos de mujeres: mujeres: 800 preferían las rubias; 950 preferían las morenas; 750 preferían las colorinas; 150 preferían las rubias y morenas; 300 preferían las morenas y colorinas 250 preferían las rubias y colorinas 200 sólo morenas y colorinas Determine el número de hombres que: I. Preferían los tres tipos de mujeres encuestados. encuestados. II. No preferían estos tipos de mujeres. a) 150 ; 100

b) 250 ; 100 c) 100 ; 100 d) 1900 ; 100 e) 100 ; 50

4) Sean A = {x / x  ÎN  1 ≤ x < 4}, B = {x / x  ÎR  1 ≤ x ≤ 3}. Representar A x B en el plano cartesiano. A

B

B

3

3

3

2

2

2

1

1 B 1

2

1

A 1

3

2

A

3

1

2

3

B

B 3

3

2

2 1

1

A

A 1

2

3

1

2

3

40


5)

Sea R : N → N una relación deﬁnida por:

R = {(n, m)/n + 3m = 12; n, m ∈ N} I. Exprese R como un conjunto de pares ordenados II. Hallar Dom R y Ran R

a) R={(3;3) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)} D(R) = {3;6;9;12} R(R) = {0;1;2;3;4} b) R={(0;4) ; (3;3) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)} D(R) = {0;3;6;9;12} {0;3 ;6;9;12} R(R) = {0;1;2;3;4} c) R={(0;4) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)} D(R) = {0;6;9;12} R(R) = {0;1;2;3;4} d) R={(0;4) ; (3;3) ; (6;2) ; (9;1) } D(R) = {0;3;6;9} R(R) = {0;1;2;3;4}

41


Autoevaluaciones

Ingresa al Link: “Mi autoevaluación 1” lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio. 1) Hallar por extensión: C   x x  5n  n  a. ={0; 5; 10; 20; 30; …} b. C={0; 1; 2; 3; 4; 5} c. C={0; 5; 10; 15; 20; …} d. C={1; 5; 10; 15; 20; …} e. C={0; 5; 15; 25; 35; …} 2) Sean los conjuntos A  a, b, c, d  B  c, d , e, f , g 

y C  b, d , e, g  Determine:

A  ( B  C )

a. {d; e; g} b. {a; b; c} c. {a; b; c; d; e; g} d. {d; e; g; a} e. {a; d} 3) En una encuesta realizada a 320 alumnos de Ingeniería Comercial de la Universidad de Valparaíso, se descubrió que estos prefieren tres lugares para sus “carretes” de fin de semana: 95 prefieren ir al “Kamikaze”; 90 prefieren ir al “Playa”; 120 prefieren ir al “Bar de los Cuatro Vientos”; 30 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Playa” 10 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Bar de los Cuatro Vientos” 40 prefieren ir al “Playa” solamente 60 prefieren ir al “Kamikaze” solamente

Determine el número de estudiantes que prefieren:

I. Sólo ir al “Bar de los Cuatro Vientos” II. Ir a los tres lugares III. No salir y quedarse estudiando el fin de semana

42


a. 90; 75; 5 b. 75; 90; 5 c. 90; 65; 25 d. 90; 50; 75 e. 90 ; 5; 75 4) Dados los conjuntos A={x N/ x<3} ; B={ x N/ x es par y x< 5} ; C={ x N/ x es impar, x≤6} Hallar el conjunto ( A ∩ B) x (C – A)

a. {(0;3);(0;5);(2;3);(2;5)} b. {(0;1);(0;5);(2;1);(2;5)} c. {(0;2);(0;5);(2;2);(2;5)} d. {(2;2);(2;5)} e. {(1;2);(1;5);(2;2);(2;5)} 5) Dado el universo U={1; 2; 3; 4} y las relaciones R1={(x;y) U2 / x = y} ; R2={(x;y) U2 / y=3} ; R3={(x;y) U2 /x≤y} Hallar: R3 – (R1 U R2)

a. b. c. d. e.

{(1;2); (1;4); (2;4); (3;4)} {(1;1); (2;2); (3;3); (4;4)} {(1;2); (2;3); (3;4); (4;4)} {(2;2); (2;3); (2;4); (4;4)} {(1;2); (1;4); (2;4)}

43

Resumen


1. Idea Y Determinación De Conjuntos:

2. Operaciones Con Conjuntos:

Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula:

elementos de los conjuntos que se están uniendo.

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula:

Intersección ∩ : lo forman todos los

De esta manera:

Al conjunto

se llama determinación por

extensión y cuando se cita sólo las características de los elementos, será la determinación por comprensión.

Escribimos pertenece a de ").

(léase " en ", " " o bien " es un elemento

La negación de se escribe (léase " no pertenece a ").

3. Producto Cartesiano: Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto:

Unión : lo forman todos los

Y solo se da el caso:

elementos comunes de los conjuntos.

Diferencia: lo forman todos los elementos que quedan después de quitar un conjunto. A - B

Complemento: conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A pero forman parte de su universo. U – A = A´

44

4. Relaciones: Decimos que R es una relación de A en B si R es un subconjunto de A × B. Decimos que R es una relación en A si R es una relación de A en A, es decir, un subconjunto de A × A. Si R es una relación de A en B también escribiremos a R b en lugar de (a, b) ∈ R. Sea R una relación en un conjunto A. Decimos que R es reﬂexiva si a R a para todo a ∈ A simétrica si a R b ⇒ b R a antisimétrica si a R b ∧ b R a ⇒ a = b transitiva si a R b ∧ b R c ⇒ a R c


45


Introducción

a) Presentación y Contextualización El conjunto de los Números Reales comprende a los Números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales; por ello, se toma como un conjunto infinito y sus operaciones los realiza mediante intervalos; así mismo éste conjunto le sirve para hallar soluciones de sistemas de ecuaciones con dos variables mediante diferentes métodos. Los contenidos de ésta unidad lleva a que el alumno reflexione sobre los diversos conceptos dados y los refuerza mediante aplicaciones prácticas.

b) Competencia Reconoce el conjunto de los Números Reales(R) identificándolo como un conjunto infinito; realiza operaciones expresando sus resultados mediante intervalos, así mismo resuelve mediante métodos adecuados sistema de ecuaciones con dos variables.

c) Capacidades 1. Identifica claramente los elementos del conjunto de los números reales y los axiomas que tiene como apoyo para la realización de operaciones. 2. Reconoce los diferentes intervalos de números reales y su escritura de acuerdo a como se presentan los números que lo componen. 3. Realiza operaciones de unión, intersección y diferencia con Intervalos de números reales, expresando resultados correctos. 4. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos variables aplicando diferentes métodos para llegar al conjunto solución

d) Actitudes Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje. Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollo de los temas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 02: Conjunto De Los Números Reales, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01 TEMA 02 TEMA 03 TEMA 04

: Los Números Reales y su Axiomas : Intervalos : Operaciones con Intervalos : Sistema de Ecuaciones Lineales con Dos Variables

46


TEMA 1

Identifica claramente los elementos del conjunto de los números reales y los axiomas que tienen como apoyo para la realización de operaciones.

47


Desarrollo de los Temas DEFINICIÓN

Los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22,

25, 4) como a los números

irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como:

.

El conjunto de los números Reales es COMPLETO Y ORDENADO, porque a todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Los números Reales es un CONJUNTO DENSO, porque entre dos números Reales hay infinitos números reales.

N Números Naturales Z Números Enteros Q Números Racionales R Números Reales

N

Z QR C

C Números Complejos

48


I 

   

R Q -4 -3 -2 -1

012345

−5 −  2 0.2 0.511666 0.555…

Z N

   

Observación:

Hay un conjunto llamado Números Complejos que incluye a los Reales y los Imaginarios.

AXIOMAS DE LOS REALES: Axiomas Algebraicos Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de suma y producto.

1. Axiomas de la suma  x, y, z   Propiedad de cerradura de la suma

(x + y)

Propiedad conmutativa de la suma

x+y=y+x

Propiedad asociativa de la suma

(x + y) + z = x + (y + z)

Propiedad del neutro aditivo Propiedad del inverso aditivo

x + 0 = x, 0 Si x + y = 0,

y = - x

49

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 2. Axiomas del producto  x, y, z   Propiedad de cerradura del producto

(x y)

Propiedad conmutativa del producto

xy=yx

Propiedad asociativa del producto

(x y) z = x (y z)

Propiedad del neutro del producto Propiedad del inverso del producto

1 x = x, 1 Si x y = 1,

y = 1/x

3. Axiomas de orden Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad". Esta relación es del tipo mayor o igual. Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo < que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo = que ya conocemos. Se dirá que xx sólo si x es menor que y. O dicho de otra forma, si y es mayor que x . Se dan a continuación los Axiomas de Orden

 x, y, z   Exclusión del converso

Si (x y)

Propiedad de transitividad de la ordenación

Si (x y)

Conservación del orden en la suma

Si (x y)

(x y) (x y) (y z)

(x z)

(x + z) (y + z)

Conservación del orden en el producto

Si (x y)

(0 z)

(xz yz)

Variación del orden en el producto

Si (x y)

(z 0)

(xz yz)

50

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplos: 1. Completa con el símbolo  o , según corresponda. a) 3 _ __ N

c) -3 _ __ I

e) 7 _ __ R g) 0.1 _ __ Z

b) 3 _ _ _ Q

d) 0,2 _ __R

f)  7 _ __ Q

h) 15_ __ I

2. Completa con el símbolo  o , según corresponda: a) I _ _ R

c) N _ _ Q

e) Q _ _ I

g) Z _ _ R

b) N _ __I

d) N _ _ R

f) Z _ _ _ I

h) Q _ _ _ Z

3. Realiza las siguientes operaciones: a) Z  N = __ Q __

b) Q  R = __ Q _ __

c) N  Z = __ N ___

d) Q  I = __  _ _

e) R  I = __ R ___

g) {0}  Z = __ {0} __

4. ¿Cuáles de los conjuntos numéricos, que tú conoces, son densos? Son conjuntos densos los números Racionales (Q) , Irracionales (I) y los Reales (R). Porque tomando dos números de cada uno de éstos conjuntos, entre éstos números tomados se encuentran otros infinitos números.

5. Investiga qué otros conjuntos numéricos existen. Ahora se está viendo el conjunto de los números Reales, pero debemos tener en cuenta que hay un conjunto numérico que incluye o contiene a los Reales y éste conjunto se llama CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.

6. Razona si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes: a) Todo número entero es natural. ( F) b) Algún número racional es entero. ( V) c) Todo número irracional es real. ( V) d) Todo número real es irracional. ( F) e) Algún número entero no es natural. ( V) f) Todos los números enteros son reales. ( V) g) Los números racionales pueden ser o no números reales. ( F)

51


TEMA 2

Reconoce los diferentes intervalos de números reales y su escritura de acuerdo a cómo se presentan los números que lo componen.


52


Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS Intervalo abierto,

Intervalo Abierto

,

Intervalo cerrado,[a,b] es el

es el conjunto de todos los

conjunto

de

todos

los

números reales mayores que

números reales mayores o

a y menores que b.

iguales que a y menores o iguales que b.

 ,   = Є/ ≤  ≤ 

  >= Є/ <  < 

Intervalo Cerrado

< ,

Intervalo semi Abierto por la izquierda

Intervalo semi abierto por la

Intervalo semi abierto por

izquierda,
la derecha, [a,

b],

es

b>, es

el conjunto de todos los

el conjunto de todos los

números reales mayores

números reales mayores o

que a y menores o iguales

iguales que a y menores

que

que b



< , ] =

b

Є/ <  ≤ 
[

,  >= Є/ ≤  < 

Intervalo semi Abierto por la derecha

[a ; b>

53


Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo U(unión) entre ellos

UTILIDAD DE LOS INTERVALOS:

Frecuentemente trabajamos con subconjuntos de números reales, expresados de acuerdo con alguna relación de orden. Así, por ejemplo, ejemplo, hablaremos de

En símbolo

 Є

/

 <  < 5

“Los números reales mayores que 2 y menores que 5”

Números Mayores que 2 reales

y menores que 5 o de

En símbolo

 Є

/

 < 

3

“Los números reales menores o iguales que ” 2

Números Menores o reales iguales a 3/2

Otras veces debemos simbolizar expresiones tales como:

En símbolos,

 <  < 400

La cantidad x de ballenas que puede contabilizarse entre Octubre y Noviembre Noviembre se halla entre 350 y 400

Estos subconjuntos de R se definen mediante intervalos.

En todos los casos, los números a y b se llaman extremo inferior y extremo superior del intervalo respectivamente. respectivamente.

54

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo:

Atención Los símbolos −∞  + ∞ devén ser considerados con especial cuidado, recomendado que se usan

solamente

conveniencia

de

por

notación

Estas

definiciones

se

pueden

generalizar,

considerando a la recta y la semirrecta como intervalos, con introducir los símbolos

−∞  + ∞ .

y

nunca como números reales.

Ejemplos: 1) Escribe como intervalo los conjuntos de números reales: a)  x  R / 1  x  5  Solución: 1 y 5 pertenecen al intervalo

Є/1 ≤  ≤ 5 “x” es mayor o igual que 1 “x” menor o igual que 5

Su representación como intervalo será:

[1 ; 5 ]

Intervalo cerrado.

b)  x  R /  2  x  3 Solución:

Є/−2 <  ≤ 3

-2 no pertenece al intervalo y 3 sí pertenece al intervalo .

“x” es mayor que -2 “x” menor o igual que 3

Su representación representación como intervalo será:

<-2 ; 3 ]

Intervalo semi abierto

55

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP c)  x  R / x  4 Solución:

Є/  < 4

4 no pertenece al conjunto .

“x” es menor que 4

< - ∞ ; 4 > Intervalo infinito

Su representación como intervalo será:

d)  x  R / x  3 Solución:

Є/  ≥ 3

3 sí pertenece al conjunto.

“x” es mayor o igual que 3

[3 ; +∞ >

Su representación como intervalo será: Intervalo infinito

RECUERDA Los extremos infinitos siempre serán abiertos. Si: 2x + 3  <-∞; -4] U [4; +∞> ¿A qué intervalo pertenece x?

Solución: 2x + 3  <-∞; -4] U [4; +∞> significa que: 2x + 3  <-∞; -4]



2x + 3 [4; +∞>

2 x + 3 ≤ -4 2x x

2x + 3 ≥ 4

≤ -7

2x

≤ - 7/2 

x

-7/2

≥ 1

≥ ½

1/2

Rpta: x <-∞; -7/2] U [1/2; +∞>

56


Representa en la recta real los siguientes intervalos (cada uno en una recta distinta):

b)  2; 

a)  1;3 

d)  1;1 

c)  ;2]

Solución: a)

-1

b)

-2

c)

d)

+∞

-1

 2; 

 ;2]

-2

-∞

 1;3 

3

1

 1;1 

57


TEMA 3

Realiza operaciones de unión, intersección y diferencia con intervalos de números reales, expresando resultados correctos.

58


Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos.

INTERSECCIÓN (): Sean

y

conjuntos. Se define la intersección de

al conjunto cuyos elementos pertenecen a

y

y también a

y se denota

,

.

Simbólicamente se tiene que:

Ejemplo 1: Si: y

. Determine

Solución Geométricamente podemos representar los conjuntos siguiente:

y

de la manera

De aquí podemos observar que los elementos que están en y también en son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:

59

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo 2: Si

y

. Determine

Solución

Como podemos observar

y

no tienen elementos comunes por lo que:

UNIÓN (): Sean

y

y conjuntos. Se define la unión de

y

, se denota

, al conjunto

cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos

y

Simbólicamente se tiene que:

Ejemplo 1: Si A=[-3,4] y B=[-1,7].Determine

Solución Representaremos a

ya

geométricamente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en

o en

, son los

números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:

60

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo 2:

Si

y

. Determine

Solución: Representaremos a

ya

geométricamente:

De aquí observamos que: Geométricamente podemos representar

así:

DIFERENCIA ( - ): Sean

y

conjuntos. Se define la diferencia de

conjunto cuyos elementos pertenecen a

y no a

y

y se denota,

al

.

Ejemplo Si

y B = [-2,3[, determine

y

61


Solución Representemos a

ya

geométricamente.

De aquípod emos observar que :

i.

ii.

; o sea:

62


TEMA 4

Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos variables aplicando diferentes métodos para llegar al conjunto solución.

63


Se llama sistema de ecuaciones a

todo

conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver

un

sistema

de

ecuaciones

simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Método de Reducción o Eliminación Este

método

suele

emplearse

mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar

una

de

las

ecuaciones

(generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose

así

la

reducción

o

cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

64


Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por

para poder cancelar la

incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita

ha sido reducida y que, en este caso, nos da

directamente el valor de la incógnita

:

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita

en

cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de

es igual a:

M TODO DE SUSTITUCI N El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

65


El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la

.

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.

MÉTODO DE IGUALACIÓN El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de a mbas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita

en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita

, se substituye su valor en una de las ecuaciones

originales, y se obtiene el valor de la y



   1  21  7 .

45

3

3

66


Ejemplos: 1) Resuelve por sustitución, igualación, reducción el sistema

Solución: Por sustitución:

De la segunda ecuación:

Ahora remplazamos x en la segunda ecuación:

Conociendo “y” a encontrar el valor de “x”:

Por igualación:

De la primera ecuación despejamos “x”:

De la segunda ecuación también despejamos “x”:

67


Ahora despejamos dos valores que se despejo de “x”:

Conociendo “y” Hallamos “x”:

Se multiplica por la cantidad adecuada para eliminar una de las variables sea “x” o “y”:

Por Reducción:

En el paso anterior al sumar las dos ecuaciones se elimino “x” y se obtuvo el valor de “y”. Ahora reemplazamos para hallar “x”:

68

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 2) Resolver: Se multiplica las ecuaciones por estas cantidades porque se va

Solución:

eliminar “y” para quedarse con el valor de “x”:

Por reducción:

Ahora reemplazando “x” en la primera ecuación se tiene:

3) Resolver

Solución: Por reducción:

Ahora sumamos las dos ecuaciones y se elimina “x” para hallar el valor de “y ”:

69


3) Resolver:

Solución: Realizamos operaciones necesarias para ordenar las ecuaciones:

Reemplazando “y” en la segunda ecuación: Rpta: X=2

;

y=0

70





LOS NÚMEROS REALES http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/marco_reales.htm



NÚMEROS REALES VIDEO DIDACTICO http://www.youtube.com/watch?v=vMeFXlpMmXI



INTERVALOS EN NÚMEROS REALES http://www.slideshare.net/MARIAANGELICAJIMENEZ/intervalos-reales-4420516

Actividades y ejercicios Ingresa al Link: “Número Reales” lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio: 1) Coloca el símbolo >; < ó =, según corresponda: a) 2  2 ……… b)

2  1

3  1 ………. 2 

c) 3

1

d)

2  2 ………..

e)

4

3

1  ……….. 3  

 4 



2 1



a) b) c) d) e)

>;>;>;<;= >;<;<;<;= >;>;<;<;= =;>;>;<;= <;<;>;>;=

1

2 2

………. 2  1

71


2) Si x2  [4; 9] ; ¿A qué intervalo pertenece x? a) b) c) d) e)

x x x x x

[2; 6] [4; 9] [2; 3] [-2; -3] [0; -3]

3) Si: A= [-3; 4> ; B=<-2; 5] y C=[-2; 3] Hallar: (A U B) (C – B) a) b) c) d) e)

[-∞; -2[ {-2} [-2; 2] [-2; +∞[ ]-2; 2[

4) Hallar el conjunto solución de: a) b) c) d) e)

X = 4 ; y = - 2. X = -4 ; y = 2. X = -4 ; y = -2 . X = 4 ; y = 2. X=2;y=4.

5) Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? a) b) c) d) e)

Nº pavos=26 ; Nº cerdos=32 Nº pavos=32 ; Nº cerdos=26 Nº pavos=22 ; Nº cerdos=36 Nº pavos=16 ; Nº cerdos=42 Nº pavos=28 ; Nº cerdos=30

72


Autoevaluación

Ingresa al Link: “Mi autoevaluación 2” lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio: 1) Resuelve con apoyo de tu calculadora y aproxima a los centésimos tus resultados: a)

2  15  19 6

b) 2 

15  19 6

8 2 3

c)

2 3

a.

47,83 ;



b. -

49,5 ; 0,68

47,83 ;



49,5 ; 0,68

c.

47,83 ;

49,5 ; 0,61

d.

47,83 ;

- 49,5 ; 0,61

e.

47,83 ;

- 49,5 ; - 0,61

  

2) Si x <2; 4>, ¿A qué intervalo pertenece 2x + 3? a. [ 7; 11 ] b. < 7 ; 11 ] c. [ 7 ; 11> d. < 7 ; 11 > e. < 7 ; 10 ] 3) Si: A=[-3; 4> ; B=<-2; 5] y C=[-2; 3] Hallar: A´ - (B C)´ a.

[ -2 ; 3]

b. R c.

<-∞ ; 0>

d.  e.

<-2 ; 3>

73


4) Hallar el conjunto solución de:

a. x 

66 7

b. x  

; y  

66 7

66

e. x 

66

7 7

7

; y  

c. x  9 ; y   d. x 

15 15 7

15 7

; y 

15 7

; y  2

5) Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "Si tú me das seis soles, tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno? a. Antonio=12 ; Pedro=24 b. Antonio=10 ; Pedro=5 c. Antonio=24 ; Pedro=12 d. Antonio=36 ; Pedro=18 e. Antonio=14 ; Pedro=7

74

Resumen


2. Intervalos Reales

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.  Intervalo abierto . Se expresa: a < x < b.  Intervalo cerrado [a,b]. Se expresa a ≤ x ≤ b.  Intervalo abierto a la derecha [a,b>. Se expresa a ≤ x< b  Intervalo abierto a la izquierda
1. Los Números Reales y sus Axiomas Racionales Enteros Enteros

Naturales negativos Cero

Irracionales

3. Operaciones Axiomas de la suma A1.1 Para todo , existe un único el emento, también en que llamamos la suma de e . A1.2

para todo

A1.3 A1.4 Existe un elemento de

, denotado por

para todo , denotado por tal que

. para todo

tal que

para todo

.

.

A2.1 Para todo , existe un único elemento, también en llamaremos el producto de e .

4. Sistema de Ecuaciones Lineales con dos Variables , denotado por

Se llama sistema de ecuaciones a todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o m ás soluciones comunes. Los métodos de solución son: 1º. Por eliminación. 2º. Por igualación. 3º. Por sustitución.

que

.

A2.3 para todo . A2.4 Existe un elemento de , que denotaremos por A2.5 Para cada

Intervalos:

Unión: ={x/x A  x B} Diferencia: = { x/x A  x B}

.

A1.5 Para cada existe un Axiomas del producto

A2.2

con

Sean y intervalos: Intersección:

tal que no sea cero, existe un

tal que tal que

.

75


76


Introducción

a) Presentación y contextualización: Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. Los polinomios son expresiones algebraicas racionales enteras, con las cuales se realizan operaciones y aplican propiedades que hacen más cortas los procedimientos; así mismo se realizan factorizaciones con diferentes métodos para resolver situaciones problemáticas. Los contenidos de ésta unidad lleva a que el alumno reflexione sobre los diversos conceptos dados y los refuerza mediante aplicaciones prácticas.

b) Competencia: Reconoce las expresiones algebraicas y dentro de ellas a los monomios y polinomios, resuelve operaciones aplicando leyes de exponentes, productos notables y factorización teniendo orden en su trabajo y así llegar a soluciones correctas.

c) Capacidades 1. Reconoce las Expresiones Algebraicas y los elementos que lo componen, identificando monomios y polinomios. 2. Aplica las Leyes de Exponentes para resolver correctamente operaciones donde interviene potenciación y radicación. 3. Resuelve operaciones con polinomios aplicando productos notables y métodos que lo llevan a soluciones correctas. 4. Realiza factorizaciones mediante la aplicación de métodos diversos, reconociendo previamente el método de factorización más acertado.

d) Actitudes: Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje. Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollo de los temas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 03: Expresiones Algebraicas Y Polinomios comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Expresiones Algebraicas: Polinomios TEMA 02: Leyes de Exponentes TEMA 03: Operaciones con Polinomios y Productos Notables TEMA 04: Factorización

77


TEMA 1

Reconoce las Expresiones Algebraicas y los elementos que lo componen, identificando monomios y polinomios.

78



EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Es aquel conjunto de variables y/o consonantes que se encuentran ligadas entre sí a través de las operaciones de

“adición,

sustracción,

multiplicación,

división,

potenciación y radicación”, para sus variables en un

número finito de veces. La expresión matemática siempre presentará a las variables formando parte de las bases y no en los exponentes.

Ejemplos:

   2 x

E x; y

2

 

xy  3ab 2

5 f  x; y   4 x 2 y 5



2 x y

2

 3 y 5

x + x + x + x + ………∞ no es expresión algebraica porque tienen “∞”

términos.

Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente.

TÉRMINO ALGEBRAICO: Es aquella expresión algebraica en la cual aparecen exclusivamente las diferentes operaciones algebraicas entre sus bases a excepción de la adición y sustracción.

79


Ejemplos: H  x; y  

H  x; y  

3 2

x

P  x; y  

3

7abx 2 y 5 xy

x  y

1

1  No es término algebraico porque reduciendo sale el xy x y

cual ya representa dos términos algebraicos.

A) PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO El coeficiente es la parte numérica del término (comprende el signo y el número).

El signo indica si el término es positivo o negativo y es parte del coeficiente. La parte literal es la variable o variables del término. Los exponentes indican el grado del TÈRMINO.

EXPONENTES

- 2/3 X Y 3

4

SIGNO COEFICIENTE

PARTE LITERAL

B) TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes cuando, no interesando la naturaleza de sus coeficientes, estos contienen la misma parte variable con los mismos exponentes.

Ejemplos:

2x2y3

es semejante a

-

-3x5y

es semejante a

2yx5

4xy1/2

es semejante a

-

4x2y

no es semejante a

2 3

2 3

x2y3

y1/2x

3xy2

80


Para

que

dos

términos

sean

semejantes, deben ser del mismo

género de suma, por ejemplo: 2 manzanas y 4 manzanas son semejantes, de hecho se pueden reducir: 2 manzanas + 4 manzanas = 6 manzanas de igual manera, 3x 2 y 5x2 son términos semejantes, también se pueden sumar: 3x2 + 5x2 = 8x2 Pero 3 peras y 2 piñas, no son términos semejantes.

Reducción de Términos Semejantes:

Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son géneros de suma iguales, pueden sumarse o restarse unos con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de los mismos. Se llama reducir términos semejantes a sumarlos o restarlos según cada caso. Los términos no semejantes, no pueden sumarse ni restarse.

Ejemplo: "Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas. Al escribir tus resultados ordénalos de forma alfabética y omite los términos con coeficiente 0"

a) 3x + 2y - 4z + 2x - 3y + 3z - 4x + 5y + 7z = b) -2x + 5y - 6z + 3x - 7y + 9z - 4x + 2y + 2z = c) 7ab - 6bc + 5ac + 5bc + 7ac - 6ab + 2bc + 3ab 8ac =

d) 5x - 2y - 3z + 6y - 7x + 7z + 3x - 2z - 5y = e) 11ax - 10cz - 9by + 3by + 4ax + 7cz + 6by + 4cz - 14ax =

-3x+5z 4ab+4ac+bc x-y+2z ax+cz x+4y+6z

81


CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la forma o naturaleza de sus exponentes y por su extensión o número de términos:

 Entera Según la Naturaleza del Exponente:

3x2 + 5xy – z

 Racional  Fraccionaria 3x-2 +5xy -1 - z

 Irracional 1/2

1/4

2x +3y-z

Según el número de Términos

 Monomio: 3xyz2  Polinomio: x2 + 2xy – 3z3

MONOMIO: Un monomio es una Expresión Algebraica Racional Entera en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el punto y la potencia de exponente natural. Un monomio es un polinomio con un único término.

Ejemplos:

82


GRADOS DE UN MONOMIO: A) Grado Relativo: Está indicado por el exponente de la variable al cual se hace mención; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada.

Así: el monomio: 4x2 y5 z8 tiene grado relativo:

Respecto a x: 2º grado Respecto a y: 5º grado Respecto a z: 8º grado

B) Grado Absoluto: Se determina sumando algebraicamente los exponentes de sus variables. Así tenemos: El grado absoluto de 2x 2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6º grado

POLINOMIO: Se denomina polinomio a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio.

Así tenemos que el polinomio es la expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0 Siendo an , an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes ao es el término independiente.

83


F ( x; y; z )  3 x 2 y 4 z 3

 5 x 3 y 2 z  4 x 5 yz 2

Tiene grado relativo: Respecto a x: 5º grado (mayor exponente de x) Respecto a y: 4º grado (mayor exponente de y) Respecto a z: 3º grado (mayor exponente de z)

C) Grado Absoluto:

Lo determina el mayor grado que posee uno de los términos del polinomio. Así el polinomio:

F ( x; y; z )  3 x y z 2

4

3

G.A.=9

 5 x3 y 2 z  4 x 5 yz 2

G.A.=6

G.A.=8

El grado absoluto del polinomio lo será el mayor G.A. de los términos:

G.A.(F(x;y;z)) = 9º grado

Clases de polinomios Polinomio nulo

El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos. P(x;y) = 0xy + 0x2 – 0xy3 = 0

84


Polinomio homogéneo El polinomio

homogéneo tiene

todos

sus términos o monomios con

el mismo grado. P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado. P(x) = 2x3 + 3x2 − 3

Polinomio completo Un polinomio

completo tiene todos

los

términos desde

el

término

independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3

Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos en forma creciente o decreciente respecto al grado de sus términos. P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: 1

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2

Los coeficientes de los términos del mismo grado son i guales. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x − 3 + 2x 3

85


Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x 3 + 5x − 3 ; x = 1 P(1) = 2 (1) 3 + 5 ( 1) − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

APLICACIONES PRÁCTICAS: 1) Si los términos: 6xyb-3; 2xy10, son semejantes, hallar “b” Resolución: Si son semejantes 6xy b-3; 2xy10, implica que los exponentes de sus variables son iguales.

Luego: b - 3 = 10



b = 13

2) Dado el monomio: M(x; y) = 2x2 . y3; calcular

“M(2; -2)”

Resolución:

Reemplazando: x = 2 ; y = -2 M(2; -2) = 2(2)2 (-2)3 Efectuando las operaciones: M(2; -2) = (2)(4)(-8) = -64

86


3) Indicar el valor que puede tomar el coeficiente de M(x; y) en: M(x; y) = mn mn xm+n ym-n Si se sabe que: G.R.(x) = 7 y G.R.(y) = 5

Resolución: De los datos del problema: G.R.(x) = 7



m+n=7

G.R.(y) = 5



m-n=5

Sumando ambas ecuaciones

m + n + m - n = 7 + 5 = 2m = 12 m=6

Luego n = 1

Piden mnmn = 6 . 1 6.1 = 6 . 1 6 = 6(1) = 6

4) Hallar el grado del siguiente monomio: 2 2 ( x 2 y 3 )5 z 2

Resolución: Realizando operaciones en el monomio: 2 2 (x 2 )5 ( y 3 )5 z 2 2 2 x10 . y15 . z 2

Finalmente: Grado = Grado Absoluto = 10 + 15 + 2 = 27

5) Hallar “m” si la expresión es de octavo grado 5 m2 1n n2 x .y .z 4

87


Resolución: Dato del problema:

GRADO = 8

m+2+1-n+n+2 =8 Resolviendo: m+5=8



m=3

6) Calcular el valor numérico de: E = a2 + 2ab + b2

;

para: a = ½;

b=



1 2

Solución: 2

E = a2 + 2ab + b

2

 1   1  1   1   E     2         2   2  2   2  E 

1

2

1

4

4

 

4

2

E  0

7) Hallar la suma de los siguientes términos semejantes: M = (c + 5)x4c - 3 ; N = (2c)xc + 9

Solución: Si: M y N son términos semejantes, entonces el exponente de la variable “x” es igual en ambos términos:

4c - 3 = c + 9



3c = 12



c = 4 Ahora escribimos los términos M y N: M = (4 + 5) x 4(4) – 3 N = (2. 4)x4+9

 M

= 9 x13

 N

= 8 x13

Hallamos la suma M + N: M + N = 9 x13 + 8 x13



M + N = 17 x13

88


TEMA 2

Aplica las Leyes de Exponentes para resolver correctamente operaciones donde interviene potenciación y radicación.

89


LA POTENCIACIÓN: La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe a n, y se lee: « a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente: 

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número

por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo:

.

RADICACIÓN:

Se ve que la radicación es una operación inversa de la potenciación, donde se da el total y el exponente y se quiere hallar la base. Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando.

90


LEYES DE SIGNO: Asumamos la siguiente representación:

(+), Base o cantidad positiva. (-), base o cantidad negativa.

También se asume que: Número Par = 2n; n  Z+ Número Impar = 2n + 1 ó 2n – 1 ; n  Z+

a) Potenciación:

     

2 n ( pa r )

2 n 1( impar )

    





2

n ( pa r )

  



2 n  1(impar )

 



  

b) Radicación:

          

2n

2n 1

2n 1 2n

  

  Im aginario

PRINCIPALES LEYES DE EXPONENTES: 1) Multiplicación de potencias de igual base El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

Ejemplos:

91


2) División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:

; a≠0

Ejemplo:

3) Potencia de exponente negativo Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

; a≠0

Ejemplo: 3

 1   1  1  1  1 2           2   2  2  2  8 3

4) Potencia de exponente 0 Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

; a≠0

NOTA : 0

0

es Indeterminado.

Ejemplo:

0

5

1 0

 2   1    7 

92


5) Potencia de una potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Debido a esto, la notación

se reserva otro procedimiento.

Ejemplo:

2 x 

2 3

2 x2.3  2 x6  64x 6 

6) Exponente de exponente:

a

mn

 mn  a

7) Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

b≠0

Ejemplos:

 xy 

3

 x

3

y

3

2

2  x 2   x 2  x 4  3   3 2  6  y  y  y 

93


8) Exponente fraccionario =

.

Ejemplos =

.

2

8

3

2

 8  22  4 3

9) Raíz de un producto La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores. ;

con n distinto de cero (0).

Ejemplo = = Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

10) Raíz de una fracción La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

Ejemplo

=

; b≠0

Con n distinto de cero (0).

94


= Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

=

Ejemplo

=

11) Raíz de raíz: Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical. =

;

Con n y m distintos de cero (0).

Ejemplos = 48 3

4

3 x



 

32 4  3 x

48



24

3 x

48

48 24

 3 x   3 x 2  9 x 2

95


TIPOS DE PROBLEMAS: 1) Hallar el valor de:

P  100

3  258

1

8

32

9

 2 1

Solución:

Efectuamos cada uno de los términos por separado : 1 1  1  3  3   3  8 





31  8 25

32

100

= 100

1

1 8



 1  2     25 

1 2

1



3  258

32

=

100

32 25

1 25



1 5

1 2

1

 1  5  5 1  1   32 2  32  

= 100

32

1

1 5

=

100 2 = 10 1

9

8

21



1

 89  8 2

   9 

2 x 1  2 x 1 2 x 1  2 x  2

1

 83  2

P  10  2  12

Reemplazando los valores en P:

2) Al simplificar : E 

 1  2

se obtiene:

 2 x 3

Solución: Aplicaremos estas relaciones en el problema: a a

n m

n m

 a n .a m 

a

n

am

96


 1  2    2    2 3   1   1   x  1    2      2  2   2    

5

x

2 .2  2 .2 x

E 

x

2 .2

1

5 E 

2 5



x

2

1

2

 2 x.2  2 x.2

58 25



8 2

3

1 2

2 1

1

4

8

 

4

8

32  2

5 3

M 

3) El valor de:

1 5 3

 32

2



3

5

3 2 2

32 . 27 2 5

2

es:

4

4.3 81

Solución: Aplicando exponente fraccionario en cada radical, tenemos :

3

2

2 5

2 3

32  .27  M  4 .81 M  2

65

5

3

2

4

43

.3

6



4

32 5.27 3 5

3

2

4

4 .81

5



3

326 . 274 5 4

3

4 . 81



26.34 5

3

2 .3

 2.3

M  6

97


4) Reducir a su mínima expresión: S  x x x .

x

Solución: Debemos hacer notar que: 1



x x x



x.

x .

1

1

1 1 1

 x 2 . x 4 . x 8  x 2

x

 

4 8

7

 x8

1

x



 8 x  x 8

Reemplazando en S tenemos: 7

1

S  x 8 . x 8

7 1

8



 x 8 8  x 8

S  x 5) Reducir:

N  2. 2. 2 . 2................radicales Solución: N 

2. 2. 2 . 2................radicales         

N

N  2

N

2. N



2 N



2

2

2

N

 2 N 

N

N

2

N  2

98


6) Si se cumple:

a 

5 3 5 3 . . . . . . .

b 

3 5 3 5 . . . . . . .

Hallar el valor que toma: ab

Solución:

a  5 3 5 3 . . . . . . .



5 3a



a2 = 5 3a



(a2)2 = 5 3a

a4 = 75a



a3 = 75

b  3 5 3 5 . . . . . . .

b2 = 3 5b



b4 = 45b





2



3 5b



(b2)2 = 3 5b 



2





2



a4 = 253a 





a2 =   5 3a 

b =    2

3

5b  

2

b4 = 95b 

b3 = 45

Luego: a 3 . b3 = (75).(45) (a.b)3 = 52.3 . 32.5 (a.b)3 = 53 . 33

 

(a.b)3 = (5 . 3)3 a.b = 15

99


TEMA 3

Resolve operaciones con polinomios aplicando productos notables y métodos que lo llevan a soluciones correctas.

100


ADICIÓN: Para hallar la suma de dos polinomios, sumamos

entre

aquellos monomios semejantes

sí (Monomios

que tengan la misma parte literal).

Ejemplo 1: Consideremos los polinomios:

P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x – 4 El polinomio resultante de la suma: P(x) + Q(x) es:

Solución: Aquellos monomios cuya parte literal aparece en un solo polinomio los copiamos. Efectuamos los coeficientes de aquellos monomios que tienen la misma parte literal (monomios semejantes): 2x3 +8x3 =10x3 -5x2 +3x2 =-2x 2 6-4=2

Luego tenemos como resultado:

P(x) + Q(x) = 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2

101


Ejemplo 2: Sean : P(x) = 2x 3 + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x 2

+ 2x 3

Hallar : P(x) + Q(x)

Solución: P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) + (2x 3 − 3x 2 + 4x)

Agrupamos los monomios del mismo grado . P(x) + Q(x) = 2x 3 + 2x 3 − 3 x 2 + 5x + 4x – 3

Sumamos los monomios semejantes y tenemos como resultado: P(x) + Q(x) = 4x 3 − 3x 2 + 9x − 3

SUSTRACCIÓN: La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

Ejemplo 1: Consideremos los polinomios: P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4 Hallar: P(x) - Q(x)

Solución: Se copia el polinomio P(x) con su mismo signo y los términos de Q(x) se cambian de signo: P(x) - Q(x) = (3x5 + 2x3 - 5x2 + 6) – (8x3 + 3x2 - x – 4) P(x) - Q(x) = 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 - 8x 3 - 3x2 + x + 4

102


Ahora efectuamos los términos semejantes de P(x) y Q(x) 2x3 - 8x3 = -6x3 -5x2 - 3x2 = -8x2 6 +4 = 10 El polinomio resultante de la resta es: P(x) - Q(x)= 3x5 - 6 x3 - 8x2 + x + 10

Ejemplo 2: Sean los polinomios: P(x)= 2x 3 + 5x – 3 Q(x) = 2x 3 − 3x 2 + 4x Hallar: P(x) - Q(x) Solución: P(x) P(x) P(x) P(x)

− Q(x) = (2x 3 − Q(x) = 2x 3 − Q(x) = 2x 3 − Q(x) = 3x 2

+ + − +

5x − 3) − (2x 3 − 3x 2 + 4x) 5x − 3 − 2x 3 + 3x 2 − 4x 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4x − 3 x − 3

MULTIPLICACIÓN: Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del

polinomio por el número. Ejemplo:

3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x 3 − 9x2 + 12x – 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que

forman el polinomio.

103


Recuerda: x n . x m  x nm Así: 5 4 5+4 9 x . x = x =x

Ejemplo: 3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x 5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios Sean los polinomios: P(x) = 2x 2 − 3 y Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio.

Así: P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x

Se suman los monomios semejantes y se tiene como resultado: P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Ejemplo 1: Multiplicar (x 2 + x3) por (2x3 - x2 + 2x- 1)

104


Solución:

(x 2 + x3 ) . (2x3 - x2 + 2x - 1) Tenemos

Luego, multiplicando tenemos: (x2 + x3) . (2x3 - x2 + 2x- 1)= x2(2x3) - x2 (x 2)+ x2 (2x) - x2 (1) + x3 (2x3) - x3 (x2) + x3 (2x) - x3 (1) = 2x5 - x4 + 2x3 - x2 + 2x6 - x5 + 2x4 - x3

Reduciendo términos semejantes: (x2 + x3) . (2x3 - x2 + 2x- 1)= 2x6 + x5 + x4 + x3 - x2

Rpta.

Ejemplo 2: Multiplicar el trinomio: 2x 2 + 6x - 2 por el binomio: 3x - 4

Solución: (2x2 + 6x - 2)(3x - 4) = 2x 2(3x) - 2x2 (4) + 6x(3x) – 6x( 4) - 2(3x) +2(4) = 6x3 - 8x2 + 18x2 - 24x - 6x + 8 Reduciendo términos semejantes: (2x2 + 6x - 2)(3x - 4) = 6x3 + 10x2 - 30x + 8

Rpta.

DIVISIÓN: La división es un proceso en el cual, conocidos dos polinomios llamados:

DIVIDENDO y DIVISOR, se obtienen otros dos llamados

COCIENTE y RESIDUO. DIVIDENDO

RESIDUO

DIVISOR

P(x) S(x) R(x) Q(x) COCIENTE

105


DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS: La división

de

monomios es

otro monomio que

tiene

por coeficiente coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

axn : bxm = (a : b)xn – m

Así tenemos la división:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO: En este caso, cada uno del los términos del dividendo, que es un polinomio, será divido entre el monomio que actúa como divisor.

Así tenemos: 12 x 4 y  18 x 5 y 2

 3 xy

 6 xy



12 x 4 y

 3 xy



18 x 5 y 2

 3 xy



6 xy

 3 xy

 4 x 3  6 x 4 y  2

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO: Ejemplos:

1. Sea el polinomio: P(x) = 5x + 3 + 2x2 + x3 ORDENANDO

P(x) = x3 + 2x2 + 5x + 3

106


Sea el polinomio: Q(x) = 3x3 + 5x - 1

2.

Q(x) = 3x3 + 0x2 + 5x - 1

COMPLETANDO 3.

Sea el polinomio: J(x) = 2x - x2 + 3x4 + 5

ORDENADO Y COMPLETADO

J(x) = 3x4 + 0x3 - x2 + 2x + 5

OBSERVACI N: Para poder dividir dos polinomios éstos deben encontrarse completos y ordenados

Métodos de División: Existen varias maneras de dividir polinomios, pero dos son los más destacados:

a. Método Clásico b. Método de Horner c. Método de Ruffini

a) Método Clásico Ejemplo 1: Sean: P(x) = x4 – 2x3 – 11x2 + 30x – 20 y Q(x) = x2 + 3x – 2 Hallar: P(x) ÷ Q(x) :

107


Solución: P(x) y Q(x) son polinomios completos y ordenados, entonces los disponemos en orden para iniciar la división clásica:

DIVIDENDO DIVISOR

COCIENTE

RESTO O RESIDUO

1º Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor: (x4 ) ÷ (x2 ) = x2, luego se multiplica x 2 por cada término del divisor y se escribe con signo cambiado debajo de los términos del dividendo. 2º Se efectúan los términos del dividendo con los que se acaban de obtener al multiplicar x2(x2+3x-2) 3º Nuevamente se divide el primer término del dividendo que se tiene, entre el primer término del divisor: (-5x 3) ÷ (x2) y se sigue como en el caso anterior. 4º La división concluye cuando el grado del residuo es menor que el divisor.

Ejemplo 2: Sean: P(x) = x6 + 5x4 + 3x2 - 2x y Q(x) = x2 - x + 3 Hallar: P(x) ÷ Q(x) :

Solución: Como P(x) está incompleto, lo completamos con ceros:

108


+ 0x

+ 0x + 0x3

b) Método de Ruffini: Este método es aplicable a divisores de la forma: (x  a) y con ciertas restricciones a divisores de la forma (ax n  b). Aquí, se hará uso del siguiente diagrama:

Se deja sólo 1 término para el residuo.

Las operaciones a realizar con los coeficientes son:

109


Ejemplo 1: 3x 4  2x 3  5x 2  x  1 x 1 Dividir:

Solución: Completamos el diagrama con los coeficientes, teniendo mucho cuidado con los signos. Luego procedemos con las operaciones.

3 2 -5 1 1 3 +1 5 0 1 3 5 0 1 2

El resultado será completado con las variables, obteniéndose:

Cociente Q(x) = 3 x3 + 5x2 + 0x + 1 = 3x 3 + 5x2 + 1 Residuo R(x) = 2

Ejemplo 2: Dividir: x3 – 2x2 + x – 5 entre x – 2

110


Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera: Se deja sólo 1 término

z

COCIENTE: Q(x) = x2 + 1 RESIDUO:

R(x) = –3

Ejemplo 3: x2

Dividir:

 7x  12 x3

Solución: x + 3 = 0 31 x = -3

7

12

0 -3

-12

1

4

0

Cociente: Q(x) = 1x + 4 = x + 4 Residuo: R(x) = 0 Ejemplo 4:

x 3  27 x 3

111


Dividir Solución: Completando y ordenando el dividendo: x3

 0x 2  0x  27 x3

1

0

0

27

x +3= 0

-3

9

-27

x =-3

1 -3

9

0

Cociente: Q(x) = 1x2 - 3x + 9 = x2 - 3x + 9

Residuo:

R(x) = 0

Ejemplo 5: Calcular la suma de los valores que completan el diagrama:

5 2 2

3

9

1

10 -2

14

-1

2

3

Solución: 5 2 52

-11 3

9

-12 1

10 -2

14

-1

2

73

Ahora la suma es: 5 – 11 + 7 - 12 = - 11

112


PRODUCTOS NOTABLES:

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

BINOMIO AL CUADRADO O CUADRADO DE UN BINOMIO:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo 1: Simplificando:

Ejemplo 2: Reducir: A = (x - 2)2 + (x + 2)2

Solución: Desarrollando cada uno de los binomios:

A = (x2 - 2x(2) + 2 2 ) + (x2 + 2x(2) + 2 2) A = x2 - 4x + 4 + x 2 + 4x + 4 Reconociendo términos semejantes:

A = 2x2 + 8

Rpta.

113


SUMA POR DIFERENCIA DE BINOMIOS: (a + b)(a - b) = a 2 - b2

Ejemplo 1: (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x) 2 − 52 = 4x2− 25

BINOMIO AL CUBO (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)

Ejemplo 1: Hallar:  x  2 y 3 Solución: Efectuando términos semejantes:

Ejemplo 2: (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = x 3 + 9 x2 + 27 x + 27

Ejemplo 3: (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

TRINOMIO AL CUADRADO (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

Ejemplo: (x2 − x + 1)2 = (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1 = x4 + x2 + 1 - 2x 3 + 2x2 - 2x = x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1

114


Suma de Cubos (a + b) · (a2 − ab + b2) = a3 + b3

Ejemplo: (2x + 3) (4x 2 - 6x + 9)

= (2x)3 + (3)3

= 8x3 + 27

Diferencia de Cubos

(a − b) · (a2 + ab + b2) = a3 − b3

Ejemplo: (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

= (2x)3 – (3)3

= 8x3 − 27

Producto De Dos Binomios Que Tienen Un Término Común (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Ejemplo: (x + 2) (x + 3)

= x 2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x2 + 5x + 6

Ejercicios resueltos de productos notables 1)

(x + 5)2

= x2 + 2 · x · 5 + 52 = x 2 + 10 x + 25

2)

(2x - 5)2

= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 5 2 = 4x2 - 20 x + 25

115


3)

(2x - 5)2

= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 5 2 = 4x2 - 20 x + 25

5)

(2x - 3)3

= (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 3 2 - 33 = 8x 3 - 36 x2 + 54 x – 27

6)

(x + 2)3

= x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23 = x3 + 6 x2 + 12 x + 8

7)

(3x - 2)3

= (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23

4)

=27x 3 − 54 x2 + 36 x – 8

8)

(2x + 5)3

= (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 5 2 + 5 3 = 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

9)

(3x - 2) · (3x + 2)

= (3x)2 − 22 = 9x2 – 4

10)

(x + 5) · (x − 5)

= x2 – 25

11)

(3x - 2) · (3x + 2)

= (3x)2 − 22 = 9x4 – 4

12)

(3x-5).(3x-5)

=(3x)2 – 52=9x2 - 25

116


TEMA 4

Realiza factorizaciones mediante la aplicación de métodos diversos, reconociendo previamente el método de factorización más acertado.

117


FACTORIZACIÓN

La Factorización es un proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de 2 o más polinomios dentro de un cierto campo de números, a los cuales se les denomina factores primos, así: Factorización



   

  x 3 x 10   x  5x  2 2

    Multiplicación

Factores Primos: Para obtener el número de factores primos en un factorización, se deberá contar los factores que son base y que contienen variables.

Ejemplos: 1.

P(x) = (x+3)2 (x3+2)7 (2x-1)

Tiene 3 factores primos

2.

G(x) = 35 (x+5) (x4+1)3


3.

F(x,y) = x2y2 (x+2y)5 (x-3y)4


Número de factores Totales: Sean los factores: a α bβ cy donde a, b, c son primos entre sí.

Nº FACTORES    1   1Y  1

118


Ejemplo: Determinar el número de factores de: P(x,y) = (2x-y)2 (x+y)3 (a2+b2)2

Nº Factores = (2 + 1) (3 + 1) (2 + 1) = 36 factores

Recuerda: Un polinomio siempre se factorizará en el campo de los números racionales (coeficientes enteros o fraccionarios) salvo se indique otro conjunto.

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN A) Método De Factor Común Y/O Agrupación De Términos:

Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

Así tenemos: a) a · x + b · x + c · x

= x (a + b + c) podemos notar que “x” es

factor común. b) xy + 3x – yz – 3z

= (xy + 3x) – (yz + 3z) Se agrupa

considerando que hay un factor común en cada grupo.

= x(y + 3) – z(y + 3) = (y + 3) (x – z)

119


Ejemplos: 1.ax + bx +

ay + by

Agrupando x(a+b) + y(a+b)

Factor común Factorizando:

(a+b)(x+y )

1. 6ax + 3a + 1 + 2x 3a(2x + 1) + 1 + 2x

Factor común

Ejercicios: Factorizar

1)

x3 + x2

2)

2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

3)

x2 − ax − bx + ab = (x2 - ax) – (bx – ab)

= x2 (x + 1)

= x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

B) Método De Identidades: Diferencia de cuadrados Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

120


Ejemplos:

1) Factorizar: x2 - 25 Solución: x2 - 25 = x2 - 52 = (x + 5)(x - 5)

2) Factorizar: x4 - 16 Solución: x4 - 16

= (x2)2 - 42 = (x2 + 4)(x2 - 4) 2

2

2

= (x +4)(x - 2 ) 

polinomio se descompone primo en 2 factores

= (x2 + 4)(x + 2)(x - 2)

3) Factorizar: 4a4x6 - 25b6y4 Solución: 4a4x6 - 25b6y4 = (2a2x3)2 - (5b3y2)2 = (2a2x3 + 5b3y2)(2a2x3 - 5b3y2)

4) Factorizar: x4y3 - x2y5 ; indicando sus factores primos Solución: x 4 y 3  x 2 y5  x 2 y 3 x 2  y 2  x 2 y 3 (x + y)(x - y) ; Los factores primos son 4:

x y x +y x -y

121


Suma y Diferencia de Cubos:

a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 − ab + b 2 ) a 3 − b 3 = (a − b) · (a 2 + ab + b 2 )

Ejemplos: 1) Factorizar a3 - 27 Solución: Transformando a una diferencia de cubos a3 - 33

= (a - 3) (a2 + 3a + 32)

= (a - 3) (a2 + 3a + 9)

2) Factorizar: x3 + 8 Solución: Transformando a una suma de cubos x3 + 23

= (x + 2) (x2 - 2x + 22)

= (x + 2) (x2 - 2x + 4)

3) Factorizar: 64x3 - 125y3 Solución: Transformando a una diferencia de cubos 64x3 - 125y3 = (4x)3 - (5y)3 = (4x - 5y) [(4x)2 + (4x) (5y) + (5y) 2] = (4x - 5y) (16x2 + 20xy + 25y2)

122


4) Factorizar: a6 - b6 e indicar el número de factores primos Solución: Transformando a una diferencia de cuadrados

a

6

6

b  a

3

2

3

 b

2

 a3  b3 a3  b3 Observarás que es una suma y diferencia de cubos a6 - b6 = (a + b) (a2 - ab + b2) (a - b) (a2 + ab + b2)

Finalmente el polinomio tiene 4 factores primos.

C) Método De Aspa Simple: Este método lo aplicaremos a trinomios de 2do grado de la forma: ax2 + bx + c Desdoblamos en factores los términos cuadrático e independiente, de tal manera que al multiplicar en aspa (de ahí el nombre del método) la suma de sus resultados nos de el término lineal.

Ejemplos: 1) Factorizar: x2 + 7x +12 Solución: Tenemos:

x2 + 7x + 12





x

3

 3x

x

4

 4x

123


Si sumamos ambos resultados, tenemos: 4x + 3x = 7x, justamente el término lineal. Así que el resultado será:

x2 + 7x +12 = (x + 3)(x + 4)

Nota: el resultado consiste en escribir cada línea horizontal del desdoblamiento.

2) Factorizar: 3x2 - 5x - 2 Solución: Desdoblando y multiplicando en aspa tenemos: 3x2 - 5x - 2 3x

+1

 1x

x -2  -6x Verificando: - 6x + 0x ____ - 5x Así que el resultado es: 3x2 - 5x – 2 = (3x + 1)(x - 2)

3)Factorizar: x4 - 13x2 + 36 Solución: Utilizando el aspa simple: x4 - 13x2 + 36 x2

-9  -9x2

x2

-4



-4x2

124


Verificando: - 9x2 - 4x2 ____ - 13x2 Luego, los factores son: x4 - 13x2 + 36 = (x2 - 9)(x2 - 4) (x2 - 32)(x2 - 22) (x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2) Rpta.

D) MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOS: Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

1) factorizar: P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1º) Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3. 2º) Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta. Si: x = 1

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0 Una raíz es x = 1.

3º) Dividimos por Ruffini:

125


Cociente = 2 3

2

x + 3x

– 5x – 6

4º) Por ser la división exacta, D = d · c (x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

X = 1  (x – 1) = 0 De aquí se toma el factor (x – 1)

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor porque todavía es factorizable: Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. X=1 P(1) = 2 · 1 3 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0 X = -1 P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

Ahora los factores que ya tenemos son: (x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)

126


El tercer factor aún se puede factorizar por el método de Aspa simple: La factorización queda:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = (x – 1) (x + 1) (2x – 3) (x + 2) Rpta.

1) Factorizar: 2x3 − 7x2 + 8x – 3 Solución:

x=1 P(1) = 2 · 1 3 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0 Ahora aplicamos Ruffini:

Los factores son:

(x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 )

El segundo factor aún es factorizable por el método de aspa simple: Finalmente se tiene:

2x3 − 7x2 + 8x – 3 = (x – 1 ) (2x - 3) (x - 1) Rpta.

127



  

Expresiones Algebraicas

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf

Leyes de Exponentes

http://yachay.stormpages.com/04ent/e4p.htm

Tipos de Factorización

http://www.youtube.com/watch?v=Ni3vAmMMbaQ

Actividades y Ejercicios Ingresa al Link: “Expresiones algebraicas y p o l i m o n i o s ” lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio: 1) En el siguiente monomio: P(x, y) = (3a - 5) xa+7 y2a-4 Se cumple que G.A.= 15. Indicar su coeficiente. i. Sí:

X=

42 42 42.......

Calcular: E =

x  x  x  ............

ii. Simplificar: 2n

S=

 2n

m

15

2m  1

3

m

.3

.5

.

m

4

.

4

mn

3

2

mn

3

2

iii. Reducir: P = (m + n)2 - (m - n)2 + (m - 2n)2 - m2 - 4n2

2. Factorizar y reducir : L 

2 x

 3 x  2 x  2

2

128


Autoevaluaciones

Ingresa al Link: “Mi autoevaluación 3” lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio: 1)

Dados los monomios: ; A(x, y) = xa+3 y3b+5 B(x, y) = x2b+11.y2+a Se sabe que ambos poseen el mismo G.A., determinar el valor de "b" a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2) Calcular: N =   9 

0,5

 4 

a) b) c) d) e)

 625     81 

0,25

+ 810,25

1 2 ½ ¼ -1

3) Completa el siguiente diagrama y luego indica el producto de los valores hallados: 3 +1

-3

1

-8

-4

6

-6

8

5

3

-4

2

-2

2

a) -12 b) 12 c) 1 d) 16 e) 0 4) Hallar el valor de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

  

R  16 3 5 2

4

 128  1216  1  1

129


5) Los polinomios P(x) = x3 – 5x2 – 3x + 3 Q(x) = 3x3 - 6x2 – 9x Tienen un factor común. Indicar la suma de coeficientes de dicho factor común

a) -1 b) cero c) 2 d) 4 e) 5

130

Resumen


2) Leyes de Exponentes 1. Expresiones Algebraicas Polinomios Términos Algebraicos

Tipos de expresiones algebraicas Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término. Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un t érmino (Binomio, Trinomio)

4) Factorización 3) Operaciones con Polinomios y Productos Notables

Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización. Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a

todos los términos y agruparlos.

131


132


Introducción

a) Presentación y contextualización Las ecuaciones son relaciones de igualdad entre dos cantidades, algunas de ellas desconocidas y las Inecuaciones son desigualdades entre dos cantidades donde hay unos valores desconocidos. Tanto las Ecuaciones como Inecuaciones son expresiones del lenguaje matemático que representan expresiones verbales y que buscan la solución de una situación problemática. Los contenidos de ésta unidad lleva a que el alumno reflexione sobre los diversos conceptos dados y los refuerza mediante aplicaciones prácticas.

b) Competencia Expresa mediante intervalos el conjunto solución de ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de números reales, demostrando en todo momento seguridad en sus procedimientos y análisis de las situaciones problemáticas.

c) Capacidades 1. Reconoce y resuelve ecuaciones cuadráticas empleando factorización para los casos particulares y ejecuta fórmula general para cualquier caso, concluyendo con el conjunto solución. 2. Resuelve inecuaciones cuadráticas e inecuaciones con valor absoluto, Aplicando el método de puntos críticos y propiedades de valor absoluto, empleando intervalos de números reales para dar el conjunto solución. 3. Identifica y resuelve inecuaciones con fracciones, aplicando criterios y procedimientos correctos hasta dar el conjunto solución mediante intervalos de números reales. 4. Identifica y resuelve Inecuaciones con radicales, aplicando criterios y procedimientos correctos hasta dar el conjunto solución mediante intervalos de números reales.

d) Actitudes Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje. Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas.

e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 4: Ecuaciones e Inecuaciones comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01 : Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas TEMA 02 : Inecuaciones de segundo grado e inecuaciones con valor Absoluto TEMA 03 : Inecuaciones fraccionarias TEMA 04 : Inecuaciones con radicales

133


TEMA 1

Reconoce y resuelve ecuaciones cuadráticas empleando factorización para los casos particulares y ejecuta fórmula general para cualquier caso, concluyendo con el conjunto

134


Desarrollo de los Temas DEFINICIÓN

Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una Ecuación poli nómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

Donde: a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0. b el coeficiente lineal o de primer grado. c es el término independiente.

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

1) Por Factorización:

Esta forma de solución sólo nos ayudará en algunos casos. Ejemplo:



x2 – 4x – 12 = 0  -6 x x

+2

(x – 6) (x + 2) = 0 X – 6 = 0 X=6

x1

 6 ; x 2  2  C.S.  6 ;  2

  

   

2 raices diferentes

2 solución

; x+2=0 x = -2

135


2) Por Fórmula:

La fórmula general siempre solucionará cualquier caso de ecuación cuadrática. x



 b  b 2  4ac 2a

Ejemplo 1: Resolver:

Solución: a = 1 ; b = -5 ; c = 6

En la fórmula general se tiene:

Rpta: C.S. = {2 ; 3}

Ejemplo 2: Resolver: x2 + x + 1 = 0

Solución: a  1  b  1  c  1   x  x1

1

 

3

i

1

1 4 2



x2

1

 

3

i 2 2 2 2              2 raices complejas conjugadas

136


PROPIEDADES I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES Sea: ax2 + bx + c + = ; a  0 Se define el discriminante ( ):

CASO   0 

2 raíces reales e iguales o RAIZ MULTIPLE (Solución única )

1   2  

Ejemplo: 4x 2  4x  1  0  C.S.    = (-4)2 – 4(4) (1) = 0

CASO   0 

2 raíces reales y diferentes

Ejemplo: x2 – 4x – 12 = 0  C.S. = {6 ; -2}  = 16 – 4(1) (-12) > 0

CASO 2 raíces complejas

  0  imaginaria s y conjugadas Si x1 = 2i  x2 = -2i

Ejemplo: x2 + x + 1 = 0 

 C.S. =  1  

2

3 2

i;



1 2



3 2



i



 = 12 – 4(1) (1) = -3 < 0

137


II)

OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a  0 (sus raíces son x1 y x2)

x1  x 2

SUMA DE RAÍCES :

PRODUCTO DE RAÍCES:

x1 . .x 2

RECONSTRUCCION DE LA ECUACIÓN:

Ejemplo 1:

2 x2  4





x2

a

c a

( x1  x 2 )2

DIFERENCIA DE RAÍCES:

x1

b



 (x1  x 2 )2  4x1x 2

 (x1  x 2 )x  x1x 2  0

  8 0 x 6x   2

ecuación re cos truida a partir de sus raíces

Ejercicios:

1)

Resolver:

Solución con Fórmula General:

138

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 2) Resolver: Solución: 

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

  

Los factorizamos por el método de Aspa Simple y obtenemos: X 2 – 7x + 10 = (x – 5) (x – 2) = 0 X – 5 = 0 ; x – 2 = 0 X = 5

x = 2

Rpta: C.S. = {2; 5}

3) Resolver: Solución: Factorizamos el factor común: X2 – 5x = 0 X ( x – 5) = 0



x=0 ;

x-5=0 X=0

Rpta: C.S. = {0 ; 5}

4) Resolver e indicar las raíces y el conjunto solución: x 2 + (7 − x) 2 = 25

Solución: x 2 + 49 – 14x + x 2 = 25 2x 2 – 14x + 24 = 0 x 2 – 7x + 12 = 0

139


TEMA 2

Resuelve Inecuaciones cuadráticas e inecuaciones con Valor Absoluto, aplicando el método de puntos críticos y propiedades de valor absoluto, empleando intervalos de números reales para dar el conjunto solución.

140


Una Inecuación es una desigualdad condicional en la que hay una o más cantidades desconocidas (variables) y que solo se satisface para determinados valores de dicha variable. Las inecuaciones de una sola variable son expresiones de la forma: P(x) > 0 ; P(x) < 0 ; P(x) ≤ 0 ; P(x) ≥ 0

Entendemos por solución de una inecuación al conjunto de todos los números, en la que al reemplazar cada uno de ellos en la variable “x” hace verdadera la

desigualdad. A continuación resolveremos los diversos tipos de inecuaciones de una variable en R.

INECUACIONDE DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS: Son aquellas que se presentan de la siguiente forma

Forma General:  ax 2  bx  c  0 P ( x)  ax 2  bx  x  0 P ( x)

Donde: a ≠ 0 ; a, b, c  R

MÉTODO DE SOLUCIÓN POR PUNTOS CRÍTICOS Este método de solución busca factorizar la expresión cuadrática para luego igualar los factores a cero y así hallar los puntos críticos que serán ubicados en la recta real para dar el conjunto solución según indique la desigualdad de la inecuación.

141

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo 1:

Hallar el conjunto solución de:

x 2 − 6x + 8 > 0

Solución: Factorizamos la expresión cuadrática por el método de Aspa simple: x2 − 6x + 8 = (x – 4) (x – 2) x

- 4  -4x

x

- 2  - 2x - 6x

Ahora escribimos la Inecuación con los factores: (x – 4) (x – 2) > 0 Igualamos a cero cada factor y así hallamos los Puntos Críticos: x – 4 = 0 ; x =4

x – 2 = 0 x =2

Ubicamos éstos puntos en la Recta Real y ésta queda dividida en segmentos (+) y (-):

-∞

+

2

+

+∞

4

Como en la inecuación se tiene: (x – 4) (x – 2) > 0

“Mayor que cero” , nos

quedamos con los segmentos (+) y el conjunto solución serán intervalos abiertos. -∞

+

2

+

+∞

4

Ojo: como la inecuación es sólo MAYOR que cero (no está tomando los valores iguales a los extremos de los intervalos), entonces se toman los intervalos abiertos.

Rpta: C.S. =  ; 2  4;  

142


Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de:

x 2 + 2x +1 ≥ 0

Solución: Factorizamos la expresión cuadrática por el método de Aspa simple: x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 x

+1

 +1x

x

+1

 +1x

+2x Aho ra se tie ne : (x + 1) 2 ≥ 0 Como podemos analizar, todo número elevado al cuadrado es siempre positivo (mayor o igual que cero), entonces los valores de “x” puede ser cualquier número

Real:

Rpta: C.S. = R

Ejemplo 3: Hallar el conjunto solución de: 6x 2 - 11x +9 > 0

Solución: Hallamos la discriminante de la expresión cuadrática:

 = (-11)2 – 4(6)(9) = 121 – 216 < 0  = -95 < 0



 < 0

Como el discriminante es negativo, las raíces de la ecuación no son reales y la inecuación: x2

+

x

+ 1 > 0 siempre será positivo y se verificará para todo x  R por

tanto el conjunto solución será:

Rpta: C.S. = R

143


Ejemplo 4: Hallar el conjunto solución de: 4x 2 - 16 ≤ 0

Solución: Factorizamos la expresión cuadrática por diferencia de cuadrados: 4x2 - 16 = (2x)2 - (4)2 = (2x – 4 ) (2x + 4) Hallamos los puntos críticos: 2x - 4 = 0

;

2x + 4 = 0

X = 2

x = -2

Los ubicamos en la recta real: +

-∞

-2

+

+∞

2

El conjunto solución será el segmento negativo porque ahora la inecuación es: 4x2 - 16 ≤ 0 “menor o igual que cero” y el intervalo será cerrado: Ojo: como la inecuación es MENOR O IGUAL que cero (está admitiendo la condición de igualdad, es decir se toman los extremos de los intervalos), entonces el intervalo solución es cerrado.

Rpta: C.S. =

 2;2

VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo , sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. El

valor

absoluto

está

relacionado

con

las

nociones

de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El valor absolut o de un número Real “x” se denota por: | x | y se define de la siguiente manera: |x|=x |x|=0 | x | = -x

Si: x ≥ 0

Si: x = 0 Si: x < 0

144


Ejemplos: 1) | 5 | = 5 2) | - 5 | = - (- 5 ) = 5 3) | 0 | = 0

Note que, por definición, el valor absoluto de X siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real X es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de un número Real X, es la distancia que hay del cero al número X.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES: No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular

X

2

 X 2 ;  x  R

Si: X  Y  X = Y ó X = -Y

145


OTRAS PROPIEDADES

Otras dos útiles inecuaciones son:

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:

| x | a  a  0  ( x  a  x  a) | x || y | x  y  x   y Ejemplo: 1)

|2x + 1| = 5x + 3

Solución: Se debe asegurar que: 5x + 3 ≥ 0 porque el resultado de un valor absoluto

no puede ser negativo, siempre será positivo ó cero. 5x + 3 ≥ 0  5x ≥ X ≥

-3 -3/5

Además:

i)

2x + 1 = 5x + 3 -3x X

=2 = - 2/3

ó

ii)

2x + 1 = - (5x + 3) 2x + 1 = - 5x - 3 7x = - 4 X = - 4/7

146

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ahora se tiene que: X ≥ -3/5; entonces el valor de X que cumple ésta

condición

Es: X = - 4/7 Rpta: C.S. = {- 4/7 }

2) |2x2 – 2x - 1| = |x2 + 2| Solución: En ésta ecuación ya está garantizado que x 2 + 2 ≥ 0 porque está afectado de valor absoluto.

i) 2x22 – 2x - 1

= x2 + 2 x – 2x - 3 = 0 (x – 3) (x + 1) = 0

ii) 2x22 – 2x - 1 = - (x22 + 2)

ó

2x – 2x + 5 = - x – 2 3x2 – 2x + 7 = 0  = (-2)2 – 4(3)(7) = -80 < 0

X – 3 = 0 ; x + 1 = 0 X =3 x = -1

x no es número Real.

Rpta: C.S. = {-1 ; 3}

SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Resolver las siguientes inecuaciones:

Ejemplo 1: 2 x  1  2

Solución: 2

Elevamos al cuadrado ambos miembros: Por la propiedad X  X 2

;

 x  R

 2 x



1



(2x + 1)2 4x2 + 4x + 1 4x2 + 4x – 3

2



2

2

> 4 > 4 > 0

Ahora factorizamos la expresión

cuadrática:

(2x + 3) (2x – 1) > 0 Hallamos los puntos críticos: 2x + 3 = 0

;

2x – 1 = 0

X = - 3/2

x=½

En la recta real: -∞

+

-3/2

Rpta: C.S. de 2 x  1  2 es:

+

+∞

1/2

 ;  3 / 2 

1 / 2;  

147

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo 2: x 2  x  4

6

Solución: | x2 – x + 4 |2

< ( 6 )2

(x2 – x + 4)2 – (6 )2 < 0

(aplicamos diferencia de cuadrados)

(x2 – x + 4 – 6) (x 2 – x + 4 + 6 ) < 0 (x2 – x – 2 ) (x2 – x + 10 )

< 0

(Factorizamos los términos cuadráticos)

(x – 2) (x + 1) encontramos solución

En (x2 – x + 10 );  < 0 allí no

<0

Los puntos críticos son: X – 2 = 0

;

x+1=0

X =2

-∞

x = -1

+

-1

2 Rpta: C.S. de x  x  4

+

+∞

2

 6 es:

 1;2

Ejemplo 3: Resolver: |3x – 1| < 5x – 3

Solución: Debemos hacer: 5x – 3 > 0



x > 3/5

C.S1. = <3/5 ; +∞> Elevamos al cuadrado ambos miembros de la desigualdad: |3x – 1| < 5x – 3



( |3x – 1|)2 < ( 5x – 3 )2 9x2 – 6x + 1 < 25x2 – 30x + 9 - 16x2 + 24x – 8 < 0 (se multiplica por -1) 16x2 - 24x + 8 > 0 (lo dividimos entre 8) 2x2 - 3x + 1 > 0 (factorizamos con aspa simple)

( x - 1 ) (2x – 1) > 0

148


Los puntos críticos: X – 1 = 0

;

2x – 1 = 0

X =1

x =½

-∞

+

1/2

+

+∞

1

C.S2. = -∞ ; ½> U <1 ; +∞> Finalmente: C.S.1  C.S.2 = <3/5 ; +∞>  ( -∞ ; ½> U <1 ; +∞> )

-∞

+∞

1/2

3/5

1

C.S. = 1 ; +

149


TEMA 3

Identifica y resuelve inecuaciones con fracciones, aplicando criterios y procedimientos correctos hasta dar el conjunto solución mediante intervalos de números reales.

150


Las inecuaciones fraccionarias o racionales tienen la incógnita en el denominador. Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. Las Inecuaciones Fraccionarias reducidas a su más simple expresión toma la siguiente forma

FORMAS GENERALES: P ( x) Q( x)

0

P ( x) Q( x)

0

Donde P(x) y Q(x) son Monomios y Polinomios no nulos con coeficientes reales

SOLUCIONES DE INECUACIONES FRACCIONARIAS: Recuerda:

Si se tiene una desigualdad y se multiplica o divide a ambos miembros un

número positivo, la desigualdad no cambia.

Ejemplo: -2

< 10

- 2 (4) < 10 (4) -8 < 40

La desigualdad se mantiene en el mismo sentido.

Si se tiene una desigualdad y se multiplica o divide a ambos miembros un

número negativo, la desigualdad sí cambia.

Ejemplo: -2 < 10 - 2 (-4) > 10 (-4) 8 > - 40 La desigualdad cambia de sentido.

151


Para hallar el conjunto solución de una Inecuación fraccionaria se realizará los siguientes pasos:

1º) Reducir la Inecuación fraccionaria a su forma general aplicando factorización, para eso ya se conocen los diferentes Métodos de Factorización: ax  b cx  d

ax  b

0

cx  d

0

2º) Identificar el denominador de la expresión fraccionaria e indicar los valores de la variable que la hacen cero, para no tomarlos en el conjunto solución. cx + d = 0 cx = -d

x  

d c

Este valor no debe incluirse en el conjunto solución

3º) Multiplicamos a ambos lados de la desigualdad, el denominador de la fracción elevado al cuadrado. Así: ax  b cx  d

cx  d 2  0.cx  d 2

Debes recordar que: Una desigualdad no cambia si se multiplica a ambo s miembro s un 2

número positivo y la expresión: (cx + d) al estar elevado al cu adrado , estágarantizado qu e es un valor pos itivo (+).

4º) La expresión ahora queda reducida a: ax  b cx  d

cx  d 2  0.cx  d 2

ax  bcx  d   0 (Expresión reducida) 5º) Al tener la Expresión Reducida, se procede con el Método de los Puntos Críticos para hallar finalmente el Conjunto Solución.

152


Solución: 1º) La expresión ya está reducida a su forma general: 2º) Identificamos el cero del denominador: X – 4 = 0 X = 4 Este valor de X no se debe incluir en el Conjunto Solución 3º) Multiplicamos (x – 4)2 a ambos miembros de la desigualdad:

x  2 x  4

 x  4 2  0. x  42 ( x  2)(x  4)  0 ( x  2)(x  4)  0

4º) Expresión reducida:

Mayor o igual que cero

5º) Hallamos los Puntos Críticos: x – 2 = 0 x

;

x – 4 = 0

= 2

x = 4

En la Recta real se tiene: -∞

+

-

+

2

Rpta: C.S. de

+∞

4

x  2 x  4

 0 es:

 ; 2 

4;


x  3 x  2

2

Solución: 1º) La expresión se reduce a su forma general: x  3 x  2

20 



x  3  2 x  4 x  2 

x  3  2( x  2) x  2

0

0

 x  7

0

153


Cambiamos el signo del numerador multiplicando por (-1) a ambos miembros y tenemos: x  7 x  2

0

Forma general

2º) Identificamos el cero del denominador: x - 2 = 0 x = 2

Este valor de X no se debe incluir en el Conjunto Solución.

3º) Multiplicamos (x – 2)2 a ambos miembros de la desigualdad: x  7 x  2

 x  22  0. x  22

4º) Expresión reducida:

 x  7x  2  0 Mayor que cero

5º) Hallamos los puntos críticos: x - 7 = 0

;

x = 7

x - 2 = 0 x = 2

En la recta real se tiene: +

-∞

-

+

2

Rpta: El C.S. de

x  3 x  2

+∞

7

 2 es:

 ; 2 

7;


Solución: x

2

 9 x  18  0 2 x  1

x 2

 9 x  18 0 x 2  1

 x  6 x  3  0  x 1 x 1

154


x - 1 = 0 x

;

x + 1 = 0

= 1

x = -1

Estos valores no se incluyen en el conjunto solución

 x  6 x  3  x 1 x 1  x 1 x 1

2





 0. x 1 x  12

 x  6 x  3 x 1x 1  0

Los puntos críticos: x + 6 = 0;

x + 3 = 0

x = -6

;

x - 1 = 0

x = -3

;

x + 1 = 0

x = 1

x = -1

En la recta real: +

-

+

-

+

-∞

+∞

-3

-6

Rpta: El C.S. de

x

2

-1

1

 9 x  18  0 es: 2 x  1

 ;  6   3;1  1;

155


TEMA 4

Identifica y resuelve inecuaciones con radicales, aplicando criterios y procedimientos correctos hasta dar el conjunto solución mediante intervalos de números reales.

156


Para resolver inecuaciones con radicales se debe tener precaución en los signos (sentido de la desigualdad); sobre todo cuando eliminamos los radicales, se requiere hacer un estudio (análisis) del campo de variación de la variable contenida en el radical toda vez que la solución dependa de este campo.

Para mejor comprensión veremos a continuación los diferentes casos de inecuaciones con radicales en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: x 2  16  3

Resolver:

Solución: I. Análisis: Recordamos que una expresión contenida bajo una “raíz cuadrada” siempre será cero ó positivo

(x2 – 16 ≥ 0) para que el resultado de dicha radicación sea

un número real. x2 – 16 ≥ 0

Así:

(x- 4) (x + 4)≥ 0

Puntos críticos: x - 4 = 0

;

x + 4 = 0

x = 4

x

= -4

En la recta real: -∞

+

-4

Solución parcial:C.S.1 =

+

+∞

4

 ;  4  4;  

157


II. Ahora trabajos con la inecuación original y buscamos la eliminación del radical: x

2

 16  3



 x



x2 - 25 < 0

2



2

 16  32



x2 - 16 < 9



(x – 5) (x + 5) < 0

;

x + 5 = 0



x2 - 16 - 9 < 0

Puntos críticos: x - 5 = 0 x = 5

x

= -5

En la Recta real: -∞

+

-

+

-5

Solución Parcial:

+∞

5

C.S.2 =

 5;5

Solución Final: Para hallar la solución final de la inecuación, realizamos la intersección de las soluciones parciales -∞

+∞

-5

-4

4

5

2 Rpta. El conjunto solución de: x  16  3 es:

 5;  4  4; 5

158

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo 2: Resolver:

x

2

 2x  24  4

Solución: I. Análisis: La expresión que tenemos bajo el signo radical debe ser cero o positivo para que el resultado del radical sea un número real . x2 - 2x - 24 ≥ 0 

(x – 6 ) (x + 4) ≥ 0

Hallamos los puntos críticos: X - 6 = 0 ;

x + 4 = 0

X = 6

x

= -4

En la recta real. +

-∞

-

+

-4

Solución parcial: C.S.1 =

+∞

6

 ;  4  6;  

II. En la Inecuación: x 2  2 x  24  4 ; siempre el resultado del radical será cero o positivo, es decir siempre será mayor que -4, por lo tanto ahí el conjunto solución serán todos los Reales:

Solución Parcial:

C.S.2 = R

Solución Final: Para hallar la solución final de la inecuación, realizamos la intersección de las soluciones parciales:

C.S.1  C.S.2 = (

 ;  4  6;  

)  R

Rpta. El conjunto solución de:

x

2

 2x  24  4 es:  ;  4  6;  

159


Ejemplo 3: Resolver:

x

2

 x  6  6  x

Solución: I.

Análisis: La expresión que está debajo del signo radical debe ser “mayor o igual a cero” para que la raíz sea Real.

Como el primer miembro es menor que el segundo miembro, entonces el segundo miembro debe ser necesariamente mayor que cero (debe ser positivo) porque ya se dijo que el radical va resultar “mayor o igual que cero”. (Una raíz cuadrada nunca resulta negativo

en los reales) Así tenemos x2 - x -



6 ≥ 0

(x – 3 ) (x + 2 ) ≥ 0

6 – x > 0 x < 6

Tomando los puntos críticos: X - 3 = 0;

x + 2 = 0

X= 3

x

= -2

En la Recta real: -∞

+

-2

+

+∞

3

Solución parcial: C.S.1 : -∞

+∞

160


II. Ahora elevamos al cuadrado ambos miembros de la inecuación: x

2

 x  x  6   6  x 2

2



2

x 2  x  6  36 12 x  x 2





 x  6  6  x

11 x  42  0



C.S.2 : x 

42 11

Solución Final: Para hallar la solución final de la inecuación, realizamos la intersección de las soluciones parciales: C.S.1  C.S.2 -∞

+∞

-2

Rpta.

El

conjunto

3

solución

6

de:

x

2

 x  6  6  x es:

 42  ;  2  3;  11

161





Números Naturales http://wwwxld.dim.uchile.cl/~docencia/calculo/material/presentacion_semana/Semana02_print .pdf



Ecuación Cuadrática



Solucionario de Ecuaciones

http://www.youtube.com/watch?v=MJEkXE0fi6M

http://a-einstein.com/DownloadG/SolIne.pdf

Actividades y ejercicios Ingresa al Link: “Ecuaciones e inec u aciones ” lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio: 2

1) Determinar el valor de “n” en la ecuación: x  (25  n)x  7  0 Si la suma de sus raíces es –23.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2)

Resolver: x2 + 7x + 12 > 0

a) - ; -8 b) - ; 1 c) - ; -4  -3 + d) - ; 2  3 ; + e) - ; -10

162


3) Resolver: |2x – 1| = x a) C.S. = { -1 ; 1} b) C.S. = { - 1/3 ; 1} c) C.S. = { 1/3 ; 1} d) C.S. = { 1 ; 3} e) C.S. = { 1/3 ; 1/2} 1  2 x 1 x

4)

1 x

1

a) - ; -1  0 ; + b) - ; 1  2 ; 5 c) - ; 1  2 ; 3 d) - ; 1 2 ; 5 e) 2 ; 5

5) Resolver:

x

2

 4 x  5x  1

a) x  -1 ; 1/12  1/12 ; 3 b) x  - ; 9  9 ;  c) x  -2 ; 9  9 ; 12 d) x  - ; 12  12 ; + e) x   1/2 ; +

163

Autoevaluación


Ingresa al Link: “Mi autoevaluación 4 ” lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio: 1) Resolver: 2x a) < 3/2 ; 2 ] b) < 3/2 ; 2 > c) [ 3/2 ; 2 > d) [ - 3/2 ; 2 > e) [ 3/2 ; 2 ]

2

 7x  6  0 y dar el conjunto solución en R

2) Dar el conjunto solución de: a) b) c) d) e)

{ -2 ; 2} {2} {0 ; 2} {-1 ; 2} {-2 ; 3}

3) Resolver: |x + 3| < |3x – 4| a)

C.S.

 ;

1 4

b) C .S .    ; c) C .S . 

7 2



7 2

;



1 4

;  1

7

d) C .S .   ;   ;   4 2 C .S . 

e) 4)

1 7  ;    ; 4 2

3 7 x 3 a) - ; -4]  3 ; + b) - ; -1  3 ; + c) - ; 3/8  2 ; + 13 x

d) - ;

25 6



e) 45  3 x  4 0 2 21  x  4 a) < -5 ; 2> U [4 ; 5> b) < -5 ; 2] U [4 ; 5> c) < -5 ; 2> U <4 ; 5> d) < -5 ; 2> U <4 ; +∞> e) < -∞ ; 2> U <4 ; +∞>

5) Resolver: A) B) C) D)

x 2

164

esumen


1. Ecuaciones de Segundo grado o cuadráticas 2

Ax + Bx + C = 0 

Fórmula General:

ax 2 + bx + c = 0 b ± b 2 4ac x= 2a

−

 −

3. Inecuaciones Fraccionarias

Las inecuaciones fraccionarias o racionales tienen la incógnita en el denominador. Son de la forma: ax  b ax  b 0 0 cx  d cx  d

4. Inecuaciones con Radicales

Los elementos de una radicación son:

2. Inecuaciones de Segundo Grado e Inecuaciones con Valor Absoluto

Una inecuación es una desigualdad y que solo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición. Pasos a tener en cuenta para resolver una inecuación. a. si se multiplican los dos mi embros de una inecuación por un número positivo, se mantiene el sentido de la inecuación. b. Ídem si se suma un mismo número a los dos miembros. c. Si se multiplican ambos miembros por un número negativo, se invierte el sentido de la inecuación. Una inecuación cuadrática es de la forma ax2 + bx + c < 0 (ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación. Valor Absoluto:

Para solucionar las inecuaciones con radicales, se realizará: Para determinar el conjunto solución de inecuaciones con radical se recomienda el siguiente proceso Determinar el intervalo de valores para el cual las raíces de índice par exi sten (I.V.A.). Se cambia la interacción por ecuación y se resuelve, de esta manera se obtiene puntos críticos. Se grafica en la recta numérica el I.V.A. y los puntos críticos Se asignan valores pertenecientes a cada subintervalo para determinar solución.

165


Glosario

 CONJUNTO: Es una colección de objetos. Los objetos de la colección pueden ser

cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.  NÚMERO: es

una entidad abstracta

que

representa

una cantidad (de

una magnitud). El símbolo de un número recibe el nombre de numeral o cifra. Los números se usan en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc.  NÚMERO NATURAL: Es cualquiera de los números que se usan para contar los

elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

ℤ

 NÚMERO ENTERO: ( ) Son una generalización del conjunto de números

naturales (ℕ) que incluye números enteros negativos ( resultados de restar a un número natural otro mayor ), además del cero. El hecho de que un número sea

entero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros. El cero (neutro) no se considera ni positivo ni negativo.  NÚMERO RACIONAL: Todo número que puede representarse como el cociente de

dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente». Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales.  NÚMERO IRRACIONAL: Es cualquier número real que no es racional, es decir, es

un número que no puede ser expresado como una fracción. Las raíces inexactas son consideradas Irracionales. Los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes: π

(Número "pi" 3,1415 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

e (Número "e" 2,7182 ...) Φ

(Número "áureo" 1,6180 ...)

 NÚMEROS REALES: Son aquellos usados para representar una cantidad continua

(incluyendo el cero y los negativos). Se puede pensar en un numero real como

166

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP una fracción decimal posiblemente infinita, como 3,141592.... Los números reales tienen una correspondencia biunívoca con los puntos en una línea, llamada recta real . Al conjunto de los números reales se le suele notar con la letra

 ECUACIÓN:

Es

una

igualdad

entre

ℝ.

dos expresiones

algebraicas,

denominadas miembros , en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas , relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores

conocidos

pueden

ser números, coeficientes o constantes;

y

también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

 INECUACIÓN: Es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los

signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como Intervalo.  SISTEMA DE ECUACIONES: Es un conjunto de dos o más ecuaciones con

varias incógnitas que

conforman

un problema

matemático consistente

en

encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.  INTERVALOS: Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de

una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos los puntos intermedios.  PRODUCTOS

NOTABLES:

Es

el

nombre

que

reciben

aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.  FACTORIZACIÓN: Es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número

compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

167


Fuentes de Información BIBLIOGRÁFICAS:

VENERO B. , Armando: Matemática Básica. Ediciones Gemar. Lima – Perú. VENERO B. , Armando: Análisis Matemático I. editorial Ciencias S.R.L. Lima 1991 ESPINOZA RAMOS, Eduardo: Análisis Matemático I. Editorial Ciencias 4º Edición. Lima – Perú HAASER – SULLIVAN LASALLE: Análisis Matemático Vol. I Edit. Trillas, séptima CLAUDIA NEUHAUSER : Matemática Para Ciencias segunda, 2004

ELECTRÓNICAS: 

Teoría De Conjuntos:

http://ccognoscitiva.iespana.es/rrr_conjuntos.pdf http://www.itchetumal.edu.mx/paginasvar/Maestros/mduran/Archivos/Unidad%204%20Rela ciones.pdf



Conjuntos De Los Números Reales

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-realesexpresionesalgebraicas/pdf/NumerosReales.pdf



Expresiones Algebraicas

http://sectormatematica.cl/librosmat/libronivel8.pdf http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-realesexpresionesalgebraicas/pdf/expresiones-algebraicas.pdf



Ecuaciones E Inecuaciones

http://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/r_e.html http://www.vitutor.net/2/9/inecuaciones_fraccionarias.html http://joseluislorente.es/4eso/temas4/Tema4.pdf

VIDEOS http://www.youtube.com/watch?v=BukDIghkThw http://www.youtube.com/watch?v=40VpwaisiMs http://www.youtube.com/watch?v=a7TILobIBEw http://www.youtube.com/watch?v=Ow_JEyvgjeY

168

Matematica Basica

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