Alumno lumno:: Chirinos Chirinos Retuerto Saúl Máximo Código ódigo:: 20140046h Curso urso:: Matemática Matemática ásica ! Código ódigo:: 20140046h "ro#esor ro#esor:: Salinas Salinas $s%ecialidad s%ecialidad:: &2 &2 Sección ección:: '
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1 2
2
2
2
S n=1 − 2 + 3 −4 + ⋯+ (−1 )
n− 1
. n = (−1 )
n−1
.n.
n +1 2
n =1
2
S 1= 1 = ( − 1 )
1− 1
. 1.
1 + 1 =1 2
E n n + 1
n
n
2
S n+1 =S n + (−1 ) . ( n + 1 ) =(−1 ) . ( n + 1 ) .
n + 2 2
(−1 )n −1 . n . n +1 + (−1 )n . ( n +1 )2=(−1 )n . ( n + 1) . n + 2 2
2
−n2 −n + n2 + 2 n + 1= n2 +3 n + 2 2
2
2
2
n + 3 n + 2 =n + 3 n + 2 S e cump cumple le paran paran + 1 ⟹ cumple ∀ n ∊ N
2 n
cos α . cos2 α . cos 4 α . ⋯ . cos 2
α =
n+ 1 α sin sin 2 n+ 1 2 sin α
n =1
cos α . cos2 α =
sin sin 4 α 2sin2 α cos 2 α = =cos α . cos2 α 4 sin α 4sin α
E n n + 1 n +1
n+2
sin2 α sin2 α n +1 . cos2 α = n+2 n+1 2 sin α 2 sin α
n +1
2 . sin2
n +1
α . cos2
α = sin2 . 2
n+ 1
α
S e cumple paran + 1 ⟹ cumple ∀ n ∊ N
3 √ a +√ a +⋯ √ a ¿
1 + √ 4 a + 1 , a> 0 2
nradicales
√ a +√ a +⋯ √ a= P ⟹ 2 P <1 + √ 4 a +1 ( I ) n =1
√ a < 1+ √ 42 a +1 ⟹ √ 4 a <1 + √ 4 a + 1 E n n + 1
√ a + P < 1+ √ 42 a +1 (❑2 ) 4 a + 4 P < 1+ 2 √ 4 a + 1 + 4 a + 1 2 P < 1 + √ 4 a + 1 D e ( I ) S e cumple paran + 1 ⟹ cumple ∀ n ∊ N
4 D adoslos números μ =1 + √ 2 , γ =1− √ 2 se tiene μ = an + bn √ 2 , n
+¿
¿
γ =a n−b n √ 2 an , bn ∊ Z n
2
2
a ¿ an − 2 b n tiene valor absoluto independiente den
|a
2
n
−2 b n |=|(a n+ bn √ 2 )( a n−bn √ 2)|=| μn . γ n|= x 2
| μ . γ |=|(1+ √ 2 )( 1− √ 2 )|=|−1|=1 n =1
an =1 ˄ bn =1
|12−2 . 1 2|=|−1|=1 E n n + 1
|a + n
2 1
|a + n
2
1
1
1
1
2
−2 bn +12|=| μn +1 . γ n+1|=| μn . γ n|.| μ . γ |
2
−2 bn + |= x . 1= x
n 1
|a +
−2 bn + |=|( an + + bn+ √ 2)( a n+ − bn+ √ 2)|
1
1
2
1
S e cumple paran + 1 ⟹ cumple ∀ n ∊ N
b¿
an bn
es irreductible
ecordar si x , ! son PESI entonces x + ! , ! son PESI
x + ! , ! son PESI entonces x + ! , x + 2 ! son PESI n =1
an =1 ˄ bn =1 an bn
1 1
1 1
= 1 ! 1 son PESI entonces es irreductible
E n n + 1 n+1
=an +1+ bn+1 √ 2
n+ 1
= μ n . μ =(a n+ bn √ 2 )( 1 + √ 2)=an + 2 bn + √ 2 (a n+ bn )
μ μ
an +1=a n+ 2 b n ˄ bn + 1=an + bn Si an ˄ bn son PESI entonces a n +1 ˄ bn +1 sonPESI S e cumple paran + 1 ⟹ cumple ∀ n ∊ N
5 (2 n ) " 4 < #n$ 2 n + 1 ( n " )2 n
(2 n )" 4 S ea = P ˄ =% ⟹ P < % ( I ) n+ 1 (n " )2 n
n =2
(2 . 2 ) " 4 16 2 4 ⟹ < < ⟹ 5 , 3^ < 6 2 2 +1 (2 ") 3 4 2
E n n + 1 n+1 n ( 2 n + 2) " 4 4 . 4 ( 2 n ) " ( 2 n + 1 ) . 2 < < ⟹ n + 2 (( n + 1 ) " )2 n+ 2 ( n ) "2 ( n +1 )
n ( 2 n ) " ( 2 n + 1 ) ( n + 2) (2 n +5 n +2 ) 4 ⟹ P < < % 2 2 n +1 ( n ) " (n +1 ) . 2 (2 n2 + 4 n + 2 ) 2
P <(1 +
n 2
2n
+4 n + 2
)% D e ( I )
S e cumple paran + 1 ⟹ cumple ∀ n $ 2 ∊ N
6 S e a μn de&inido por μ 0 =2 , μ1 =
5 2
μn+1 = μ n ( μn−1 −2 ) − μ1 paran ∊ N 2
1
−¿ ¿ n 2 −¿ 1 dondee n= ¿ 3 en
P robar μn=2
+ 2−e , ∀ n ∊ N n
μn+1 = μ n ( μn−1 −2 ) − 2
5 2
2
(¿¿ e n + 2−e ) [(2e + 2−e ¿2−2 ) ]− n− 1
n
2
en +1
n− 1
− e n+ 1
+2
5 2
=¿
2
(¿¿ e n + 2−e ) [ 22e + 2−2 e ]− n− 1
n
e n+ 1
2
e n+1
2
−en+ 1
+2
n− 1
5 2
=¿
+ 2−e =2e +2 e + 2e −2 e + 2−e +2 e + 2−e −2 e − n+ 1
n
n−1
n
n−1
n
n− 1
n
n−1
5 2
1
−¿ ¿ n 2 −¿ 1 e n= ¿ 3 1
−¿ ¿ 1
−¿ ¿ ¿n n 2 . 2 +¿ n+1 2 −¿=¿ 1 e n + 1= ¿ 3 1
−¿ ¿ 1
−¿ ¿ n 2 +2 . ¿ n−1
2
1 3
−¿ ⟹ 2 en−1= ¿ 1 e n− 1 = ¿ 3 1
−¿ ¿ ¿n ¿ 1
e n+1
2
+ 2−e
−¿ ¿ ¿n −¿ =2e +2 e + 2¿
n+ 1
n
n−1
1
−¿ ¿ ¿n ¿ ¿3 ¿ 1
−¿ ¿ ¿n ¿ ¿3 ¿ 1
−¿ ¿ ¿n ¿ ¿3 ¿ 1
−¿ ¿ ¿n n 2 . 2 +¿ ¿¿ 2
7 S eana 1 , a2 , ⋯ , an satis&acen lacondici'n −1 < ai ( 0 ∀ i ∊ N P robar )ue ∀ n ∊ N cumple )ue
( 1 +a1 ) ( 1 +a 2) ⋯ ( 1 +an ) $ 1 +a1 +a2 + ⋯ +a n S ea ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ⋯ ( 1 + an ) = P ˄ 1 + a1 + a 2+ ⋯ + an=% ⟹ P $ % ( I )
−1 < a1 ( 0 ⟹ 0 < a1 + 1 ( 1 0 < a 2+ 1 ( 1 ( x ) ⋮
0 < a n+ 1 ( 1 0
< P ( 1 ( x an + ) 1
an +1 ( P ( a n+ 1)( II ) n =1 1 + a1 $ 1 + a1 E n n + 1
P ( 1+ an+1 ) $ % + an +1 ⟹ P + P ( a n+1) $ %+ an +1
( I )+( II )= P + P ( an + ) $% + a n+ 1
1
S e cumple paran + 1 ⟹ cumple ∀ n ∊ N
SUMATORIAS 1y2
()
()
()
()
()
()
* = n cos x + n cos2 x + ⋯ + n cos ( n+ 1) x 0 1 n + = n senx + n sen 2 x + ⋯+ n sen ( n + 1 ) x n 0 1 S e a =cos x + isenx
() ()
()
2 n+ 1 * + +i = n + n + ⋯ + n n 0 1
() ( )+( ) ¿
+ ⋯ + n n
n n n 0 1 * + + i = ¿
* + +i = ( 1 + )
n
* + +i = ( 1 + cos x + isenx )
(
2
(
)(
(
)
n
x x x * + +i = 2cos + i 2 sen . cos 2 2 2 x * + +i = 2cos 2
n
n
x x cos + isen 2 2
)
n
)
n
n
x * + +i = 2cos 2 2
(
x * + +i = 2cos 2 x * = 2 cos 2
n
x + =2 cos 2
n
n
n
cos (
n + 1 ) x + isen ( n + 1 ) x 2 2
(
cos (
(
n sen( + 1) x 2
3 3 x
sen ¿
¿
x sen( 2 n −1)¿
¿ +¿ ¿
2
)( n
- =( sen x ) +¿
n + 1) x 2
)
)
)
x sen ( 2 −1 )¿
¿ ¿2 ¿ ¿
n
∑= ¿
- =
1
- =
n
n
1
1
cos ( 4 −2 ) x ∑= 1 −∑ = 2 n
+ uscando el a ! a −1 para
∑= cos ( 4 −2 ) x 1
sen ( 4 − 2+ a ) x sen ( 4 −6 + a ) x − =cos ( 4 −2 ) x b b 2cos ( 4 −4 + a ) x. sen 2 x =cos ( 4 −2 ) x b 4 −2 =4 − 4 + a ⟹ a =2 ˄ b =2cos2 x
a =
sen ( 4 − 4 ) x sen 4 x a −1= 2 sen 2 x 2 sen 2 x
n
n
1
1
sen 4 nx cos ( 4 −2 ) x =∑ ( a − a − )= a − a = −0 ∑ 2 sen 2 x = =
1
n
n
0
n
sen 4 nx cos ( 4 − 2 ) x = 1 =n 2 sen 2 x =1 = 1
∑ n
- =
∑
n
cos ( 4 −2 ) x ∑= 1 −∑ = 1
1
2
n sen 4 nx - = − 2 4 sen 2 x
n−
=
sen 4 nx 2 sen 2 x 2
4 n
D=cos x + 2cos2 x + 3cos3 x + ⋯ + n . cos nx =
∑= . cos x 1
n
+ uscando el a ! a −1 para
∑= . cos x 1
.sen ( + a ) x ( −1 ) .sen ( −1 + a ) x − −c = . cos x b b
2 . cos ( −
1 x + a ) x . sen + sen ( −1 + a ) x 2 2 −c = . cos x b
1 1 x = − + a ⟹ a= ˄ b =2 sen 2 2 2
sen ( −1 + a ) x c= = b
( )
.sen + a =
2 sen
D =
1 x 2
x 2
2 sen
1 x 2
x 2
( )
( −1 ) .sen − 1 x 2
a −1=
2 sen
n
n
1
1
x 2 n
n
( a − a − −c ) =∑ ( a −a − ) −∑ c ∑= . cos x=∑ = = =
n
D=
( )
sen −
∑=
n
( a − a −1 )−
1
∑=
( )
sen −
1
2 sen
∑= sen ( − 12 ) x 1
2 sen
1
n
D= an−a 0−
1
x 2
1 x 2
x 2
1
1
D=
( )−−
1 n.sen n + x 2 2 sen
0
x 2
∑= sen ( − 12 ) x n
1
2 sen
x 2
∑= sen ( − 12 ) x n
+ uscando elb ! b −1 para
(
cos −
)
1 + a x 2
b
(
)=
3 + a x 2
cos −
−
1
b
−2 .sen ( −1 + a ) x. sen
x 2
b
( )
sen −
( ) 1 2
= sen − x
1 1 x − = −1 + a ⟹ a = ˄ b =−2 sen 2 2 2
b =
−cos x 2 sen
n
x 2
b −1=
−cos ( −1 ) x 2 sen
( )
x 2
n
1 sen − x = ( b − b −1)= bn −b0 2 = 1 = 1
∑
∑
n x 2 sen ¿
1 sen ( − ) x = ∑ 2 = n
1
D=
¿ ¿2 ¿ ¿ −cos nx x 2 sen 2
( )−
1 n.sen n + x 2 2 sen
x 2
+
1
x 2 sen 2
=¿
1 sen( − ) x ∑ 2 = n
1
2 sen
x 2
1 x 2
n x 2 sen ¿
¿ ¿2 ¿
¿ sen x 2
¿
n x 2 sen ¿
¿ ¿2 ¿
x 2 sen ¿
¿ 2¿ ¿ ¿ ¿
( )
1 x 2 −¿ x 2 sen 2
n.sen n + D=
5 3 n + 6 + 8
S=
∑= ∑ ( /− 4 ) = 1 / 1
e&ormulando 3 n + 6 + 4
S=
∑= ∑ 1
( )
3 n +6
∑ ∑(
3 n +6
)
∑
= = .2 / − 4 / = 4 = 1 /= 0 / = 1
3 n+ 6
+ uscando el a ! a −1 para
. 2 ∑ =
1
( −1 ) . 2 .2 − b b
− 1
−c = . 2
1 − 1 . 2 . +2 2 −c = . 2 b
− 1
1 2 b= ˄ c= 2 b
=2 −1
a =2 . 2 a −1 =2 ( −1) . 2 3 n +6
S=
3 n+ 6
3 n+6
3n + 6
( a −a − )− ∑ c ∑= . 2 = ∑= ( a −a − −c )= ∑ = =
1
1
1
3 n+ 6
S = an − a 0 −
∑= 2 =2 ( 3 n +6 ) . 2
1
S =( 3 n + 6 ) . 2
( 3 n + 7)
1
1
3 n+ 5
( 3 n+ 6 )
1
3 n +6
−0 −2 ∑ 2 −1 = 1
− 2 ∑ 2 =( 3 n + 6 ) . 2
( 3 n + 7)
3 n +6
−2 .
=0
S =( 3 n + 6 ) .2
( 3 n + 7)
2
−1 2−1
− 2(3 n+ 7 )+ 2=( 3 n + 5 ) . 2(3 n+7 )+ 2
6 6 n+4
* =
3 n . cos 4 n0 ∑ ( ) =−
5
e&ormulando 3n
* =
∑= (3 n ). cos4 n0 0
( )
( )
( )
2 * = 3 n . cos 0 + 3 n . cos4 n0 + ⋯ + 3 n . cos12 n 0 0 1 3n
( )
Sea+=
3n 0
.sen 0 +
( ) 3n 1
( )
.sen 4 n0 + ⋯ +
S e a =cos 4 n0 + isen 4 n0
3n 3n
2
.sen 12 n 0
1
+ ¿ ¿
( )+( ) +⋯+( )
* + +i =
3n
3n
0
1
3n
3n
3n
=¿
1 + cos4 n0 + isen 4 n0
¿ ¿
* + + i =¿ 2
2cos2 n0
+ i . 2 sen 2 n0 . cos2 n0 ¿ ¿ * + +i =¿
2cos2 n0
¿ ¿ cos2 n0 + isen 2 n0 ¿ ¿ * + + i=¿ 3n
3n
2
2
* + +i =2 . ( cos2 n0 ) ( cos6 n 0 + isen 6 n 0 ) 3n
3 n3 n
* = 2 . ( cos 2 n0 )
2
. cos6 n 0
7 −4 n
* =( 1 √ 1 + 1 ) =⋯ + 2 + ⋯ 12
+ =( 2−√ 1 ) =⋯+ ∝ 1 + ⋯ 3
3
4 alla 2 , ∝ , 3 ∊ Z 3 n−
( )( )
2 = n . x 2
−4
. ( x )
3 ( n− )− 4 =0 ⟹ 3 n−3 =8 ⟹ 3 n=11 ⟹ = 3 n 2 11
()
n 2 = 3 n 11
3
∝ 1
=
( )
12 . ( 2 )12− . ( x ) 3 0 ( ( 12 =0 , 3 , 6 , 9 , 12
3 = ⟹ 3 =0 , 1 , 2 , 3 , 4 3
( )
∝=
12
.( 2)
12
−
⟹∝=
( )
( )
∝=
0
. ( 2)
12
=4096
( )
12 . ( 2 ) 9=112640 ∝= 12 . (2 )6 =59136 3 6
( )
∝=
12
12 9
.( 2)
3
=1760 ∝=
( ) 12 12
. ( 2)
0
=1
8 a * = 4 +
4m
4 m
4m
m 1
m 1
m 1
∑= ( 4 +8 m )=4 + ∑= 4 + ∑= 8 m=4 + 4 . 4 m+ 8 m. 4 m
* = 4 + 16 m + 32 m
2
b 3 n+ 6
+=
∑= (2 +1 )( 3−n6 ) 2
e&ormulando
3 n+ 6
+=
∑ = 6
( )
(2 + 1 ) 3 n −6
3n
( )
=∑ (2 + 13 ) 3 n
=0
3n
( ) ( ) ( )+¿ ∑ ( )= ∑ ¿ 3 n −1 −1
3 n
+¿ 13 ∑ 3 n
=0
3n
3n
3n
13
=0
2 .3 n
= 0
3n
+= 2
¿ ∑ = 0
3n
+ =2 . 3 n
∑ ( = 1
)
3 n− 1 −1
3n
+ 13 ∑ = 0
( ) 3n
=2 . 3 n ∑
ecordar )ue n
n 2 ∑ ( )= =
n
0
3n
+ =2 . 3 n . 2
−1
+ 13 . 2 n=2 n ( 3 n + 13) 3
9
4 alle N =
∏ ∑ 5 = = i 1 / 1
3
3 n− 1
= 0
(
3 n −1
)
3n
( )
+ 13 ∑ 3 n =0
log
¿
log
¿
5 −1
¿ a i ¿ (¿¿¿) ¿ ¿
¿ ∏ = / 1
¿
Si
∑ log 5 =∑ ¿ ai
i =1
=1 log
¿
5 ¿ a1 ¿−1
¿ ¿ ¿
¿
5 5 =¿ log a ¿ 1
log a
1
¿
loga = 0 ˅ 1 1
=2
i =1
log
¿
5 −1
¿ ai ¿ 2 ¿ log
¿
5 −1
¿ ai ¿ 2 (¿¿¿¿) ¿ ¿ ¿
5 log a ¿
¿
1
2
5 . log a 5 =¿ 2
¿ ∑ = i 1
log a ¿ 1
log
¿
5 −1
¿ ai ¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿¿
loga 5 . log a 5 ¿ 1
2
¿
2
5 . loga 5 =¿ 2
¿ ∑ = i 1
log a ¿ 1
log
¿
5 −1
¿ a1 ¿ 2 ¿ ¿ ¿ log
¿
5 −1
¿ a2 ¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿
log a 5 . log a 5 ¿ 1
2
5 . log a 5 =¿ ¿ log a ¿ 2
1
5 =¿ 0 ⟹ cumpleel caso =2 donde 5 =1 Si loga ¿ 1
5 =¿ 1 Si log a ¿ 1
log
¿
5 −1
¿ a2 ¿ 2 ¿ ¿ ¿ log
¿
5 −1
¿ a2 ¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿
log a 5 ¿ 2
5 =¿ log a 5 +¿ log a ¿ 2
2
5 =¿ 0 ⟹ 5 =1 log a ¿ 2
N =
∏ ∑ 5 =∏ ∑ 1= = = = =
i 1 / 1
i 1 / 1
10 8n
+=
6 n . cos 5 0 ∑ ( ) 3 = 0
e&ormulando 6n
+=
6 n . cos 5 0 ∑ ( ) 3 = 0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
5 + = 6 n . cos0 + 6 n . cos 0 + ⋯ + 6 n . cos10 n0 3 0 1 6n 5 - = 6 n .sen 0 + 6 n .sen 0 + ⋯ + 6 n .sen 10 n0 3 0 1 6n 5 5 Sea = cos 0 + isen 0 3 3 1 +
¿ ¿
( )( )
( )
6n + + -i= 6 n + 6 n + ⋯ + 6 n =¿ 0 1 6n
5 5 1 + cos 0 + isen 0 3 3
¿ ¿
+ + -i =¿
5
2cos
6
2
5
5
6
6
0 + i 2 sen 0 . cos 0
¿ ¿
+ + - i =¿
2cos
5 0 6
¿ ¿ 5 5 cos 0 + isen 0 6
6
¿ ¿
+ + -i =¿ 5 + + -i= 2 . cos 0 6 6n
6n
( cos5 n0 + isen 5 n0 )
6n
5 + =2 . cos 0 . cos5 n0 6 6n
11 3
Determineel coe&iciente de n de :
(nα + 6 )2 +(( n− 1) α + 2 6 )2 + ⋯ + ( α + n6 )2 n
(( n− + 1 ) α + 6 ) ∑ =
2
1
n
( n − + 1 ) α + 2 ( n − + 1 ) . . α . 6 + 6 ∑ = 2
2
2
2
1
n
n
n
( n − +1 ) α + ∑ 2 ( n − + 1 ) . . α . 6 +∑ 6 ∑ = = = 2
2
1
1
n
2
α
2
1
n
n
( n − + 1 ) + 2. α . 6 ∑ ( n − + 1 ) . + 6 ∑ ∑ = = = 2
1
2
2
1
2
1
n
2
α
n
2
2
1
α
n
n
n
2
2
3
2
2
1
2
α n + α .
1
n
n
[
3
3
2
[
1
n
n
2
2
n
1
2
1
3
3
3
3
3
2 n n n n −2 α + 2 . α . 6 . − 4 . α . 6 . + 6 2 2 2 6 6 2
2
2
n α +
2
n
1
1
2
1
2
1
n ( n + 1)( 2 n + 1 ) 2 n ( n + 1 ) n ( n + 1 ) n ( n+1 ) n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) + α n−2 α 2 n . + 2 α 2 n2− 2 α 2 . +2 . α . 6 . n . −2 . α . 6 . +2 . α . 6 2 2 2 6
2n α n + α . 6 2
2
1
7 os)ue tienenal n
2
2 . α . 6 6 α −α 2 + α . 6 − + 3 3 3 2
] [
]
2
α α . 6 6 n + + ⟹ n3 α + α . 6 + 6 3 3 3 3 3
2
n + α ∑ + α ∑ 1− 2 α ∑ n + 2 α ∑ n− 2 α ∑ + ( 2. α . 6 ) ∑ n −( 2. α . 6 ) ∑ + ( 2. α . 6 ) ∑ +( 6 ) ∑ ∑ = = = = = = = = = = 2
1
3
2
1
n
2
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