UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vicerrectorado de Investigación
"MATEMÁTICA BÁSICA II" TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA, INGENIERÍA MARÍTIMA, MARÍTIMA, INGENIERÍA DE SOFTWARE
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima - Perú
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Vicerrectorado de Investigación
"MATEMÁTICA BÁSICA II" TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA, INGENIERÍA MARÍTIMA, MARÍTIMA, INGENIERÍA DE SOFTWARE
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima - Perú
MATEMÁTICA BÁSICA II
© MATEMÁTICA BÁSICA II Desarrollo y Edición:
Vicerrectorado de Investigación
Elaboración del TINS:
• Lic. Primitivo Cárdenas Torres • Lic. Carlos Bravo Quispe
Diseño y Diagramación:
Julia Saldaña Balandra
Soporte académico:
Instituto de Investigación
Producción:
Imprenta Grupo IDAT
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.
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MATEMÁTICA BÁSICA II
“El presente material contiene una compilación de contenidos de obras de MATEMÁTICA BÁSICA publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.
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MATEMÁTICA BÁSICA II
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MATEMÁTICA BÁSICA II
PRESENTACIÓN La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo. La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de los diferentes espacios de la creación matemática, del sentimiento y del pensamiento de la humanidad. De allí, que en la formación académica de Ingenieros, a nivel universitario se privilegia el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a los estudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador. En esta dimensión se ha desarrollado el presente texto de instrucción, en su primera edición dirigido a estudiantes de Ingeniería de las Carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industriales, Electrónica y Mecatrónica, Telecomunicaciones, Automotriz, Aeronáutica, Marítima y Software; para la Asignatura de Matemática Básica II. Plasma la preocupación institucional de la innovación de la enseñanzaaprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. La estructura del contenido del texto permitirá lograr conocimientos de Matemática, progresivamente modelada en función del sillabus de la Asignatura acotada líneas arriba; contenido elaborado mediante un proceso cuidadoso de recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes bibliográficas. La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación académica del profesor: Lic. Primitivo Cárdenas Torres. La recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de segundo ciclo, tiene el siguiente ordenamiento temático: Capitulo I : Matrices Capitulo II: Determinantes Capitulo III: Sistema de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICA BÁSICA II
Capitulo IV: sistema de coordenadas Tridimensionales y Vectores Capitulo V: Rectas y planos en el Espacio Capitulo VI: Sistema de Números Complejos Capitulo VII: Polinomios y Ecuaciones de tercer y cuarto grados Al cerrar esta presentación la gratitud institucional al esfuerzo y trabajo del profesor Lic. Primitivo Cárdenas Torres que ha permitido la elaboración del presente texto en su primera edición. Así mismo la Institución agradece al Dr. José Reategui Canga por la revisión del texto y al profesor Lic. Carlos Bravo Quispe, por sus valiosos comentarios al contexto del presente material de estudios.
LUCIO HERACLIO HUAMÁN URETA
Vicerrector de Investigación
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MATEMÁTICA BÁSICA II
ÍNDICE
Capitulo I Matrices .........................................................................................................
11
Capitulo II Determinantes ...............................................................................................
35
Capitulo III Sitema de Ecuaciones Lineales......................................................................
57
Capitulo IV Sistema de coordenadas Tridimensionales y Vectores ................................
77
Capitulo V Rectas y planos en el Espacio .......................................................................
111
Capitulo VI Sistema de Números Complejos ...................................................................
131
Capitulo VII Polinomios y Ecuaciones de tercer y cuarto grados ......................................
153
Bibliografía ...................................................................................................
173
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MATEMÁTICA BÁSICA II
8
MATEMÁTICA BÁSICA II
DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA Clase N° 1 2
3 4 5 6 7
8
Tema Matrices, tipos de Matrices, igualdad de matrices, Suma y diferencia de Matrices. Propiedades, Multiplicación de un Escalar por una matriz. Producto de Matrices. propiedades. Matrices especiales: conmutativa, indepotente, involutiva y nilpotente de cierto orden. Matriz transpuesta, simétrica y antisimétrica. Propiedades. Determinantes. Definición para matrices de orden 2 y 3. propiedades de los determinantes. Matriz no singular. Definición de Matriz inversa. Propiedades. Rango de una matriz. Menores y cofactores de una matriz. Adjunta de una matriz. Propiedades de la inversa de una matriz por el método de la adjunta. Determinante de una matriz de orden 4 pos cofactores. Generalización a Matrices de orden n. Operaciones elementales con filas y columnas de una matriz. Equivalencia de matrices. Matriz escalonada, aplicación al cálculo del rango de una matriz y al cálculo de la inversa una matriz. Sistema de ecuaciones lineales. Solución por métodos matriciales utilizando: Regla de Cramer y operaciones elementales. Sistemas de Coordenadas Tridimensionales. Distancia entre dos puntos. Vectores en R 3. Suma de vectores. Propiedades. Producto de un vector por un escalar. Propiedades. Producto escalar. Propiedades. Norma de un vector. Vectores ortogonales. Proyección ortogonal y componentes.
Semana
Horas
1
03
2
03
3
03
4
03
5
03
6
03
7
03
8
03
03
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Revisión de Semanas 1 – 8
9
10
EXAMEN PARCIAL
10
11
Ángulos entre dos vectores. Combinación lineal de vectores, independencia lineal de vectores. Producto Vectorial. Propiedades e interpretación geométrica. Triple producto escalar, propiedades e interpretación geométrica.
9
11
03
MATEMÁTICA BÁSICA II
Clase N° 12 13 14
15
16
17
Tema Recta en R 3. Ecuación vectorial de la recta. Ecuación simétrica de la recta. Distancia de un punto a una recta, ángulo entre dos rectas. Planos, ecuación vectorial, normal y general de un plano, distancia de un punto a un plano. Intersección de una recta y un plano. Intersección de planos. Sistema de los números Complejos. Representación e igualdad de complejos. Conjugado de un complejo, suma, resta, multiplicación y división de números complejos. Propiedades. Módulo de un número complejo. Propiedades. Argumento de un Complejo. Forma polar de un complejo. Forma exponencial de un complejo. Propiedades, Fórmula de Moivre. Potencias enteras y raíces n-esimas de un número complejo. Polinomios de grado n definidos en . Igualdad de polinomios. Raíces de polinomios. Teorema fundamental del álgebra y demás Teoremas relacionados a la solución de ecuación polinómica. Métodos para encontrar las raíces racionales, irracionales y Complejas. Polinomio característico, valores propios y vectores propios de una matriz simétrica real.
Semana
Horas
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03
13
03
14
03
15
03
16
03
17
03 03
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Revisión de las semanas 11-17
18
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EXAMEN FINAL
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EXAMEN SUSTITUTORIO
20
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MATEMÁTICA BÁSICA II
CAPÍTULO 1
MATRICES INTRODUCCIÓN Las matrices representan herramientas tan importantes para la sistematización de cálculos laboriosos, puesto que proveen una notación compacta para almacenar información y describir un conjunto de relaciones muy complicadas. En este capítulo nuestra meta es estudiar las matrices reales y dar a conocer las matrices y aquellas operaciones algebraicas básicas que el estudiante debe entender por completo antes de seguir adelante .Es importante practicar la adición y multiplicación de matrices hasta que estas operaciones se vuelvan automáticas. Se proporciona detalles y teoremas básicos para métodos computacionales posteriores.
Definición.- Una matriz de tamaño m × n (orden m × n ) es un arreglo rectangular A de m n números (objetos o símbolos que representan números) encerrados en corchetes cuadrados, estos objetos o números se llaman elementos de la matriz y están colocados o dispuestos en m –filas (renglones horizontales) y n-columnas verticales. El elemento ( i , j ) se denota por a i j∈ R y es lo que se encuentra en la intersección de i- ésima fila con la j- ésima columna . Las matrices se denotan con letras mayúsculas A, B, C, M, P, Q, sucesivamente. Mediante el último dispositivo Nemónico las matrices de orden m × n se escribe ⎡ a 11 a12 a13 ... a1n ⎤ en forma abreviada como A = ⎡⎣a i j ⎤⎦ m×n
⎢a a 22 a 23 ... a 2 n ⎥ 21 ⎢ ⎥ = ⎢....... ....... ........ ....... ⎥ ⎢ ⎥ a a a a ... ⎥ m×n m2 m3 mn ⎦ ⎣⎢ m 1
El orden de una matriz esta definido por producto del número de filas y columnas.
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MATEMÁTICA BÁSICA II
Ejemplos ⎡ −1 2 ⎤ ⎡ 2 −1 3 ⎤ Las matrices A = ⎢ y B = ⎢⎢ 3 0 ⎥⎥ , B = [ 4 8 −3 90]1 ×4 ⎥ ⎣ 4 5 0 ⎦ 2×3 ⎢⎣ 2 3 ⎥⎦ 3×2 B = [ 4
8 −3 90 12]1 ×5
⎡ 1 ⎢ −2 ⎡ 0 −1 3 ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ P = ⎢ 3 M = 4 6 9 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 10 31 32 ⎥⎦ 3×3 ⎢ 12 ⎢⎣ 7 son matrices de orden 2 × 3 ,
2 5 9 0 0 4 5 7 11 15 −16 −10 8 9 0 3× 2 , 3× 3
⎤ ⎥ ⎡ 22 ⎤ ⎥ ⎥ , T = ⎢ 19 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣ −90⎥⎦ 3×1 ⎥ ⎥⎦ 5 ×4 y 5 × 4 , 1× 4 ,1 × 5 y
3 ×1
respectivamente.
MATRICES ESPECIALES O TIPOS DE MATRICES MATRIZ CUADRADA.- Una matriz A es cuadrada, cuando tiene el número de filas igual al número de columnas y se denota por A = ⎡⎣a i j ⎤⎦ n × n . ⎡ 3 2 −1⎤ ⎡ 0 −1 3 ⎤ ⎡ 2 −1⎤ A = ⎢ , B = ⎢⎢7 0 1 ⎥⎥ , C = [ 2] , Q = ⎢⎢ 4 6 9 ⎥⎥ , son matrices ⎥ ⎣1 1 ⎦ ⎢⎣ 10 31 32 ⎥⎦ 3×3 ⎢⎣ 4 3 −1⎥⎦
cuadradas
MATRIZ FILA.- A las matrices de orden 1× n se llama matriz de una fila y n-columnas A = ⎡⎣a 11 a12 … a1 n ⎤⎦ 1× n .También se denomina vector fila. MATRIZ COLUMNA.- A las matrices de orden n ×1 se les denomina matriz ⎡ a11 ⎤ ⎢a ⎥ columna , es denota por A = ⎢ 21 ⎥ ,llamado también como vector columna. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ an1 ⎥⎦ n×1
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MATEMÁTICA BÁSICA II
MATRIZ NULA Una matriz que tiene todos sus elementos nulos Matriz Nula y se denota por θ Ejemplo:
⎡0 0⎤ ⎡0 0 0 ⎤ = , θ ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎣ 0 0 ⎦ 2× 2 ⎣ ⎦ 2×3
θ = [ 0] 1×1 , θ = ⎢
OPERACIONES CON MATRICES En esta sección estudiaremos las propiedades de las operaciones básicas y mas usuales con matrices: suma de matrices; producto de un numero por una matriz (producto de un escalar por un matriz ) y producto de matrices . SUMA DE MATRICES Definición.- Sean A = ⎡⎣a i j ⎤⎦ m× n , B = ⎡⎣b i j ⎤⎦ m× n dos matrices desorden m × n , entonces la suna A + B es otra matriz del mismo orden m × n , definido por C = A + B = ⎡⎣ai j + bi j ⎤⎦
m×n
= ⎡⎣ci j ⎤⎦ m× n
Es importante observar que solo se pueden sumar matrices del mismo orden.
Ejemplo 1.-
⎡ 2 −1⎤ Hallar la suma de A = ⎢⎢ 3 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 4 −1⎥⎦
⎡ −7 0 ⎤ y B = ⎢⎢ 1 2 ⎥⎥ ⎢⎣ −3 1 ⎥⎦
Solución De acuerdo con la definición de suma de matrices ⎡ 2 − 1⎤ ⎡ −7 0 ⎤ ⎡ 2 − 7 −1 + 0 ⎤ ⎡ −5 −1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A + B = 3 2 + 1 2 = 3 + 1 2 + 2 = 4 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 −1⎥⎦ ⎢⎣ −3 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 − 3 −1 + 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 0 ⎥⎦
2.-
⎡ a −1⎤ ⎡c d ⎤ ⎡3 −2 ⎤ Hallar a, b, c y d para que ⎢ ⎥ + ⎢c 2 ⎥ = ⎢1 2 ⎥ b 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Solución Sumando las matrices del primer termino de la igualdad se tiene
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MATEMÁTICA BÁSICA II
⎧ a+c = 3 ⎧ a=4 ⎪ ⎪ ⎡ a + c −1 + d ⎤ ⎡3 −2 ⎤ ⎪ −1 + d = − 2 ⎪ d = −1 ⎢ 2 + c b + 2 ⎥ = ⎢1 2 ⎥ ⇒ ⎨ 2 + c = 1 ⇒ ⎨ c = −1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪⎩ b + 2 = 2 ⎪⎩ b = 0
3.-
Demostrar la propiedad conmutativa de la suma de matrices, es decir si A = ⎡⎣a i j ⎤⎦ m× n B = ⎡⎣a i j ⎤⎦ m× n son dos matrices del mismo orden m × n entonces A + B = B + A Solución. De la definición de suma de matrices se tiene A + B = ⎡⎣a i j ⎤⎦ + ⎡⎣b i j ⎤⎦ = ⎡⎣a i j + b i j ⎤⎦ = ⎡⎣b i j + a i j ⎤⎦ = ⎡⎣b i j ⎤⎦ + ⎡⎣a i j ⎤⎦ = B + A
La tercera igualdad se debe a la propiedad conmutativa de la suma de números reales.
PRODUCTO POR UN ESCALAR Definición 4. Si A = ⎡⎣a i j ⎤⎦ m× n es una matriz de orden m × n y k es un número real, se llama producto del escalar k por la matriz A, a la matriz k A = ⎡⎣ k a i j ⎤⎦ m× n Ejemplos 1.-
⎡ 2 −1⎤ ⎡1 3 ⎤ B Si A = ⎢ y = ⎥ ⎢ 2 −1⎥ son dos matrices .Calcular 4 0 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 A + 5B
,
1 B , 2
Solución ⎡1 ⎢2 ⎡ 8 −4 ⎤ 1 B Operando directamente se obtiene 4 A = ⎢ , = ⎢ ⎥ ⎣0 4 ⎦ 2 ⎢1 ⎣⎢ ⎡6 −3⎤ ⎡ 5 15 ⎤ ⎡11 12 ⎤ 3 A + 2 B = ⎢ ⎥ + ⎢10 −5⎥ = ⎢10 −2 ⎥ 0 3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎤ −2 ⎥ ⎥, −1 ⎥ 2 ⎦⎥
En particular − A = ⎡⎣ −a i j ⎤⎦ m× n , se llama matriz opuesta a A y representa la matriz que se obtiene al multiplicar cada uno de sus elementos por el escalar -1 14
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.3.-
⎡ 2 −8 0⎤ ⎡ −2 8 0 ⎤ Si B = ⎢⎢ 2 6 7⎥⎥ ⇒ − B = ⎢⎢ −2 −6 −7 ⎥⎥ ⎢⎣ −1 3 5⎥⎦ ⎢⎣ 1 −3 −5 ⎥⎦ ⎡ 2 1⎤ Si A = ⎢ ⎥ , calcular A + ( − B ) − 1 3 ⎣ ⎦
Solución Ahora, de la definición de suma de matrices, ⎡ 2 1⎤ ⎡ −2 −3⎤ ⎡0 −2 ⎤ ⎥ + ⎢ 1 0 ⎥ = ⎢0 3 ⎥ . 1 3 − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A + (− B ) = ⎢
En lugar de A + ( − B) suele escribirse A − B y se le llama diferencia de matrices 4.-
⎡ 2 −1 3 ⎤ ⎡1 −2 0 ⎤ X + = ⎥ ⎢1 −2 1 ⎥ ⎣0 1 2 ⎦ ⎣ ⎦
Hallar la matriz X tal que ⎢
Solución ⎡ x11
x12
x13 ⎤
⎣
x22
x23 ⎦
Sea X = ⎢
21
⎥ una matriz de orden 2 × 3 , por lo tanto
⎡ 2 −1 ⎢0 1 ⎣ ⎡ −1 X = ⎢ ⎣1
3⎤ ⎡ 11 x12 x13 ⎤ ⎡1 −2 0 ⎤ = de donde se deduce que + 2⎥⎦ ⎢⎣ 21 x22 x23 ⎥⎦ ⎢⎣1 −2 1 ⎥⎦ −1 −3⎤ −3 −1⎥⎦ El siguiente Teorema recoge las propiedades de la suma de matrices y producto de un escalar por una matriz. Sean A = ⎡⎣a i j ⎤⎦ m× n , B = ⎡⎣b i j ⎤⎦ m× n , C = ⎡⎣c i j ⎤⎦ m× n tres matrices de orden m × n y sean p , q ∈ R arbitrarios. Entonces se cumplen:
Teorema.-
i)
A + B = B + A
ii) iii)
( A + B ) + C = A + ( B + C ) , propiedad asociativa A + θ = A = θ + A , existencia y unicidad del elemento neutro para la suma de matrices.
, propiedad conmutativa
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MATEMÁTICA BÁSICA II
iv)
A + (− A) = θ = − A + A , existenci y unicidad del opuesto para la suma de
matrices. v)
λ ( A + B) = λ A + λ B , propiedad distributiva del producto por un escalar
respecto a la suma de matrices. vi)
(λ + κ ) = λ A + κ A , propiedad distributiva del producto de una matriz respecto a la suma de escalares.
vii)
( pq) A = p (qA) , propiedad asociativa del producto escalares por una matriz.
vii)
1⋅
= A , existencia del elemento neutro multiplicativo para la matriz .
Demostración Demostración de (v). Sean A = ⎡⎣ai j ⎤⎦ y B = ⎡⎣b i j ⎤⎦ entonces: λ ( A + B ) = λ ( ⎡⎣ ai j ⎤⎦ + ⎡⎣bi j ⎤⎦ ) = λ ⎡⎣ ai j + bi j ⎤⎦ = ⎡⎣λ (ai j + bi j )⎤⎦ = ⎡⎣λ ai j + λ bi j ⎤⎦ ,
por otra arte, λ A + λ B = λ ⎡⎣ a i j ⎤⎦ + λ ⎡⎣b i j ⎤⎦ = ⎡⎣λ a i j ⎤⎦ + ⎡⎣λ b i j ⎤⎦ = ⎡⎣λ ai j + λ b i j ⎤⎦
Ejemplo 1.Calcular 2(3 A − B ) − 3( B − 2C ) + 4[ 2( A + B − C ) − (4A + 3C )] , si ⎡ 2 −1 0 ⎤ ⎡1 −1 2 ⎤ ⎡ 2 −3 1 ⎤ = = , y B C ⎥ ⎢ 0 −2 1 ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎣0 1 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A = ⎢
Solución De acuerdo con las propiedades dadas en el teorema1 2(3 A − B ) − 3(B − 2C ) + 4 [ 2( A + B − C ) − (4A + 3C )] = 6 A − 2 B − 3B + 6C + 4 [ 2 A + 2B − 2C − 4 A − 3C ] = − 2 A + 3B − 14C = ⎡ −4 2 0 ⎤ ⎡3 −3 6 ⎤ ⎡28 −42 14 ⎤ ⎡ −29 41 −8 ⎤ ⎢ 0 −2 −6 ⎥ + ⎢0 −6 3 ⎥ − ⎢ 0 14 0 ⎥ = ⎢ 0 −22 −3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2.-
⎡ 3 1 −4 ⎤ ⎡ −4 −3 2 ⎤ − = , 2 3 X Y ⎥ ⎢ −6 2 −5⎥ . Hallar la matriz 7 1 5 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Si X + Y = ⎢ X − Y
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MATEMÁTICA BÁSICA II
Solución ⎡ 6 2 −8⎤ ⎡ −4 −3 2 ⎤ Tenemos 2 X + 2Y = ⎢ y 2 3 − = X Y ⎥ ⎢ −6 2 −5⎥ ⎣14 2 10 ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ −10 −5 10 ⎤ ⎡ 2 1 −2⎤ restando se obtiene: −5Y = ⎢ , de donde = Y ⎥ ⎢ 4 0 3 ⎥ ⎣ −20 0 −15 ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 3 1 −4 ⎤ y X = ⎢ ⎥ , entonces: 7 1 5 ⎣ ⎦ ⎡ 3 1 −4 ⎤ ⎡ 2 1 −2 ⎤ ⎡1 0 −2 ⎤ X − Y = ⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 7 1 5 ⎦ ⎣ 4 0 3 ⎦ ⎣3 1 2 ⎦
Teorema (productos nulos) Cualesquiera que sean la matriz A y el escalar k se satisface. i)
θ A = θ y k θ = θ
ii)
Si kA = θ ⇒ k = 0 ∨ A = θ
PRODUCTO DE MATRICES Definición.- Sean A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ m × n , B = ⎡⎣b i j ⎤⎦ n × r .El producto AB (en este orden) se define como la matriz AB = C = ⎡⎣c i j ⎤⎦ m×r , donde los elementos c i j de la fila i y es c i j = a i1 b1 j + ai 2b 2 j + ... + ai n bn j para i = 1,2,..., m , la columna j j = 1,2,..., r . Este producto está definido si y solo si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B . Diremos que A y B se ajustan para la multiplicación si el producto AB está definido ( o sea , si el número de columnas de A es igual al número de filas de B . ⎡ a11 a 12 a13 ⎢a ⎢ 21 a 22 a 23 ⎢ . . . AB = ⎢ ⎢ a i1 a i 2 a i 3 ⎢ . . . ⎢ ⎢⎣ a m1 a m 2 a m3
... ... ... ... ... ...
a1 n ⎤
⎥ ⎡ b11 b12 ⎥ ⎢ b 21 b 22 . ⎥⎢ . ⎥⎢ . a in ⎥ ⎢ . . . ⎥⎢ ⎥ ⎢ b n1 b n 2 a m n ⎥⎦ ⎣ a2n
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... b 1 j ... b1r ⎤ ... b 2 j ... b 2 r ⎥⎥ ... . . . ⎥= ⎥ ... . . . ⎥ ... b n j ... b n r ⎥⎦
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎡ c11 c12 ⎢c ⎢ 21 c 22 ⎢ . . ⎢ . ⎢ . ⎢ . . ⎢ ⎢ c i1 c i 2 ⎢ . . ⎢ . ⎢ . ⎢ . . ⎢ ⎢ c m1 c m 2 ⎢ ⎢⎣
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
c1 j c 2 j
. . . ci j
. . . cm j
... ... ... ... ... ... ... . ... ...
c1r ⎤
⎥ ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ ⎥ ci r ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥⎥ cm r ⎥ ⎥ ⎥⎦ c 2 r
Ejemplos
1.-
2.-
3.-
4.-
⎡1⎤ ⎢ ⎥ AB = [ 2 3 1] −1 = [ 2 − 3 + 2] = [1] ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎡1 ⎤ ⎢ −2 ⎥ PQ = [3 −1 4 0 ] ⎢ ⎥ = [3 + 2 + 12] = [17] ⎢3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ ⎡ 1 −1 0 2 ⎤ ⎡ 11 ⎤ ⎡ −41 ⎤ ⎢ 0 1 4 1 ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎢ 44 ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ MN = ⎢ ⎢ 2 0 3 −1⎥ ⎢ 13 ⎥ ⎢ 81 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 4 −2 0 0 ⎦ ⎣ −20 ⎦ ⎣ 20 ⎦ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 0 −1 2 4 −2 3 ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 −2 4 8 −4 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ AB = ⎢ −1 ⎥ [ 0 −1 2 4 −2 3 ] = ⎢ 0 1 −2 −4 2 −3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 −3 6 12 −6 9 ⎥⎦
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MATEMÁTICA BÁSICA II
5.-
⎡1 2 ⎤ ⎡ 2 −1 1 ⎤ Si A = ⎢ y B = ⎢⎢0 −1⎥⎥ . Calcular AB y BA AB ⎥ ⎣1 0 2 ⎦ ⎢⎣ 3 4 ⎥⎦
Solución ⎡1 2 ⎤ ⎡ 2 −1 1 ⎤ ⎢ ⎥= AB = ⎢ 0 1 − ⎥ ⎣ 1 0 2⎦ ⎢⎢ 3 4 ⎥⎥ ⎣ ⎦
⎡5 9 ⎤ ⎢ 7 10 ⎥ ⎣ ⎦
Por otra parte 1.( −1) + 2.0 1.1 + 2.2 ⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡ 1.2 + 2.1 − 2 1 1 ⎤ ⎢ ⎢ ⎥⎡ ⎥ = BA = 0 −1 ⎢ 0.2 ( 1).1 0.( 1) ( 1)0 0.1 ( 1).2 + − − + − + − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 0 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 3.2 3.( −1) + 4.0 3.1 + 4.2 ⎥⎦ ⎡ 4 −1 5 ⎤ = ⎢⎢−1 0 −2 ⎥⎥ ⎢⎣10 −3 11 ⎥⎦ Este ejemplo ilustra el hecho de que el producto de matrices no es conmutativo.
Teoremas 1.-
Si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ m× n , B = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ n× p y C = ⎡⎣c i j ⎤⎦ p × q ⇒ ( AB)C = A( BC )
2.-
Sean
A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
m× n
y
B = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
n× p
,
⇒ C = ⎡⎣c i j ⎤⎦ p × q
A( B + C ) = AB + AC
3.-
Sean B = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ n× p , C = ⎡⎣c i j ⎤⎦ p × q y A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ p × q ⇒ ( B + C ) A = BA + CA
4.-
Sean A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ m× n , B = ⎡⎣a i j ⎤⎦ n× p y λ ∈ R , entonces λ ( AB ) = ( λ A ) B = A(λ B )
En general: 1) B ≠ BA 2) AB = θ , no implica necesariamente que A = θ ∨ B = θ 3) AB = AC , no implica necesariamente que B = C 19
