CONSTRUCCION DE GRAFICAS Y ECUACIONES EMPIRICAS I. OBJETIVOS: 1.1
Dados los datos experimentales de tres experiencias realizadas en la UNS, graficarlos en papel milimetrado, identificar el tipo de curva y determinar su ecuación empírica. Aplicar cambio de variables y/o logaritmos para transformar la ecuación de una curva (exponencial, potencial, logarítmica, etc) a una recta. Aplicar, el método de los mínimos cuadrados para hallar la ecuación empírica de una recta y representarlo gráficamente.
1.2 1.3
II. FUNDAMENTO TEORICO: Una variable es una cantidad a la cual puede asignársele, durante un proceso, un número ilimitado de valores. Cuando dos variables tales como x e y están relacionados de tal forma que a cada valor de x corresponde uno de y, se dice que y es una función de x, y ésta es: y=f(x) A la variable “x” se le llama “Independiente”, porque toma el valor que se le asigna arbitrariamente; la otra se llama “dependiente”, ya que debe tomar los valores que satisfacen la relación particular. Las funciones se representan gráficamente en un sistema de coordenadas rectangulares, mediante puntos que satisfacen la ecuación y=f(x). Estas gráficas, que son líneas rectas o curvas representan el lugar geométrico de los puntos que cumplen con la relación establecida entre las variables. La pendiente “b” de la ecuación de una recta y = a + bx, tal como la representada en la figura #1, que pasa por los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2), se define por:
b y y2 y1 tg(1) x x 2 x
y
1
Q(x2,y2) y P(x1, y1)
x
0
x Figura # 1 Muchas leyes de la Física se expresan mediante la ecuación de una recta, como ejemplo tenemos el movimiento rectilíneo uniforme: e = vt donde: y=e x=t, a=0 , b=v. Así también tenemos funciones de la forma: FUNCION POTENCIA:
y=Ax
FUNCION EXPONENCIAL:
B
y= Ae
y
Bx
y B<0 B=2
0
Figura # 2
B>0
x
0
Figura # 3
x
FUNCION LOGARITMICA: y = A+Blnx y
0
e-A/B
x
Figura # 4 La prolongación de una pequeña cantidad de una línea recta o curva por cualquiera de sus extremos se llama “extrapolación” y es una técnica útil para obtener coordenadas en forma aproximada, propias de la gráfica que no se tenían inicialmente, obteniéndose valores fuera del intervalo experimental. La extrapolación no es un proceso seguro, por lo que se debe tener cuidado en su utilización. Otra técnica es la “Interpolación”, que consiste en obtener una de las coordenadas por ejemplo x´, fijada la otra, es decir y´, a través de la correspondencia que establece entre ambas la gráfica. Ver figuras 5 y 6.
Figura # 5
Figura # 6
Si la gráfica no es una recta, ¿Cómo encontrar los valores de A y B en la función potencia?. Una técnica muy empleada es aplicando logaritmo y cambio de variable. y = AxB Tenemos: Aplicando logarit: log y = log A + log xB log y = log A + Blog x Cambiando variable: Y=log y, X = log x, a=log A, b=B Reemplazando: Y = a + bx … Ecuación de la recta donde:
a = intercepto con Y, b = pendiente de la recta.
METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS En un experimento realizado en el laboratorio se han medido cantidades de dos magnitudes físicas x e y, con el propósito de descubrir o de verificar la ley física que las vincula. Como consecuencia, se han obtenido n pares de valores (xi , yi), que representados gráficamente muestran un conjunto de puntos que sugiere la forma de una línea recta. Existen dos formas de hacer éste gráfico: 1.- Trazando directamente la línea recta entre los puntos (Método Visual). 2.- Encontrando los parámetros a y b de la ecuación de la recta y = a + bx, por el método de los mínimos cuadrados y luego graficarlo. Donde a y b se calcula con las siguientes fórmulas:
n
n
a xi2 i1
i1
y
n
n
i
n
n
x
i
i1
(x y ) i
i
(2)b
i1
n
n
n
i1
i1
i1
n (xi yi ) xi
n
xi2
i1
( x i )
n
n
2
i1
y
i
n
( x i )
xi2
i1
(3)
2
i1
Las desviaciones estándar de a y b se obtienen mediante las siguientes ecuaciones: n
ei
Sa
n
2
i1 n
n n xi2 ( xi
i1
n
xi2
i1
i1
(5)
i1
2
n
ei2
(4) Sb n
)
n
xi i1
2
n
( xi )
2
i1
donde : ei yi a bxi III. PARTE EXPERIMENTAL: 3.1 MATERIALES - Calculadora. - Juego de pistoletes, regla, lápiz y borrador. - 3 unidades de papel milimetrado. 3.2 PROCEDIMIENTO Para representar una curva o recta gráficamente en un papel gráfico, indique cada punto experimental con una señal encerrada por un círculo pequeño o cruz, previamente escoger una escala para cada variable física en forma adecuada. Después de indicar los puntos experimentales, dibuje lo mejor posible una curva o recta continua que pase entre los puntos. Algunas veces no es posible dibujar una curva o recta que pase por todos los puntos trazados. En este caso, quedarán algunos puntos a uno y otro lado de la curva o recta. Cuando aparezcan dos o más curvas en la misma gráfica se deberán utilizar distintos símbolos para cada grupo de datos. 3.3 TABULACION DE DATOS: En el laboratorio de Física de la UNS se realizaron los siguientes experimentos: a) EXPERIMENTO: Ley de Hooke Li (m) Pi (N)
0.052 0.102 0.155 0.206 0.258 1.96 2.94 3.92 4.90 5.88 Donde: Li = Deformación experimentada por el resorte.
Pi = Peso aplicado al resorte que esta suspendido por uno de sus extremos. b) EXPERIMENTO: Caída libre de un cuerpo ti (s) 0.112 Hi (m) 0.05 Donde:
0.155 0.189 0.216 0.264 0.306 0.334 0.10 0.15 0.20 0.30 0.40 0.50 ti = tiempo que demora en recorrer el espacio Hi. Hi = espacio recorrido por el cuerpo que cae.
0.362 0.60
0.391 0.70
0.419 0.80
c) EXPERIMENTO: Descarga de un condensador 4.14 7.58 11.87 13.97 16.92 20.24 24.16 ti (s) 0.00 15 12 10 8 7 6 5 4 Vi (v) Donde: ti = tiempo de descarga. Vi = diferencia de potencial en el condensador.
28.65 3
37.10 2
46.51 1
Con estos datos experimentales hacer las siguientes gráficas: P versus L
H versus T
V versus T
CUESTIONARIO De las gráficas obtenidas, con qué tipo de funciones los puede relacionar. Una vez identificadas las gráficas, la que corresponde a una recta, determinar su ecuación empírica por el Método Visual y también por el Método de los Mínimos Cuadrados. Para las gráficas curvas, transformarlos a una recta y determinar la ecuación empírica de las curvas. Dar tres ejemplos de ecuaciones de leyes físicas que correspondan a una función lineal y de potencia. Identifique cada variable y constantes. Para trazar una gráfica que corresponda a una recta, con cuál método es más conveniente trazarla, con el Método visual o empleando el Método de los Mínimos Cuadrados. Por qué Empleando el análisis dimensional para el experimento (a), hallar las dimensiones de las constantes y dar sus unidades en el Sistema Internacional. En el experimento (a), por extrapolación hallar el valor del intercepto con el eje de los pesos. Trazarla en la gráfica. Por interpolación, en las gráficas hallar: L = para P = 4 N , T = para H = 0.25 m , T = para V = 4.5 v
