ECUACIONES EMPIRICAS I.
OBJETIVOS Determinar la ecuación empírica del periodo que relaciona entre el periodo y la longitud de un péndulo simple. Desarrollar métodos gráficos y analíticos para tener información del experimento en estudio.
II.
FUNDAMENTO TEORICO Por lo general, al ocurrir un fenómeno se relacionan dos variables, de tal modo que, al variar una de ellas, también varia la otra. La relación de dependencia que existe entre dos cantidades, puede ser expresada en forma esquemática, utilizando una gráfica. Cuando un fenómeno ocurre es útil tomar datos experimentales y elaborar graficas y ecuaciones matemáticas con el fin de relacionar magnitudes que interviene en el fenómeno de una forma más precisa.
2.1 ECUACIÓN EMPÍRICA Es una ecuación obtenida a partir del grafico de un conjunto de valores experimentales de dos variables, la relación entre las dos variables se expresa mediante la función matemática:
Y = f(x) Dónde: “y” es la variable dependiente o función y “x” es la variable independiente.
2.2 TIPOS DE RELACIONES Dentro de las funciones más comunes tenemos:
2.2.1. RELACIÓN LINEAL Las variables dependientes e independientes están relacionadas directamente en forma proporcional, su grafica es una línea recta. (Fig.1)
y = a + bx “a”, es el intercepto: distancia del origen de coordenadas al punto donde la recta intercepta al eje vertical; b, es la pendiente de la recta, es decir:
2.2.2. FUNCIÓN POTENCIAL: La variable dependiente está relacionada con la variable independiente mediante una potencia de esta última.
Si n = 1: La ecuación (2) representa una línea recta que pasa por el origen (Fig.2) Si n = 2: Se tiene una parábola abierta hacia arriba (Fig.3) Si n = ½: Se tiene una parábola abierta hacia la derecha (Fig.4) Si n = -1: Se tiene una hipérbola (Fig.5)
2.3 LA LÍNEA RECTA: De las gráficas anteriores. La línea recta es muy útil porque nos da más información acerca del experimento en estudio:
Y= Ax + b
(1) La pendiente b, es la tangente del Angulo de inclinación θ de la recta, es decir b = tanθ. También podemos encontrar la pendiente, trazando un triángulo rectángulo a partir de 2 puntos que pertenecen ala recta, recomendándonos en lo posible no tomar puntos experimentales (ver fig.1).
(2)
El Intercepto A, es la distancia del origen al punto donde la recta corta al eje vertical. Cuando la recta pasa por el origen A=0 y su ecuación es: Y = Bx
(3)
2.3.1. LINEALIZACIÓN DE LA CURVA: Como se dijo la mayor información de un fenómeno se puede obtener cuando los valores de sus variables representan una curva. Se puede convertir a una recta aplicando alguna operación a ambos miembros de la ecuación y haciendo un cambio de variables. Este proceso se llama liberalización de la curva. Si los datos experimentales representan una curva de potencias e ecuación (2). (4)
Se linealiza aplicando logaritmos a ambos miembros de la ecuación. Con lo que se obtiene: (5) ; y haciendo el cambio de variables:
, entonces se tiene la ecuación de la recta: Y= A + Bx
(6)
También conociendo n, la misma ecuación de 2 se puede linealizar haciendo el cambio de variable siguiente:
Con la cual la nueva ecuación es de una recta del tipo Y=BX Ejemplo: para el caso de la formula del periodo del péndulo simple se tiene:
(7)
; o equivalente mediante expresión en forma potencial:
(8)
su ecuación empírica es: (9) Para linealizarla aplicamos logaritmo a ambos miembros de la ecuación anterior y tenemos: (10) Que es la ecuación de una recta de la forma:
Y = A + Bx La ecuación empírica del péndulo simple. Ecuación (9). Quedará determinado cuando se calcula los valores de K y n. Nótese que k= anti (In A ) y B = n.
PÉNDULO: Dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Los péndulos se emplean en varios mecanismos, como por ejemplo algunos relojes. En el péndulo más sencillo, el llamado péndulo simple, puede considerarse que toda la masa del dispositivo está concentrada en un punto del objeto oscilante, y dicho punto sólo se mueve en un plano. El movimiento del péndulo de un reloj se aproxima bastante al de un péndulo simple. El péndulo esférico, en cambio, no está limitado a oscilar en un único plano, por lo que su movimiento es mucho más complejo. El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo sí depende de ella). Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensa según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.
DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES 2.5.1. METODO GRAFICO Representación de datos en papel milimetrado Trazar en el papel milimetrado los ejes rectangulares. En el eje horizontal se anotan los valores de la variable independiente (x) y en el eje vertical los valores de la variable dependiente y.
Elegir escalas apropiadas en cada uno de los ejes rectangulares de modo que todos los datos experimentales sean graficados.
Una escala es apropiada cuando cada unidad de longitud del papel milimetrado, por ejemplo 1cm debe expresar 1, 2 o 5 unidades de la variable de estudio. Es decir, son permitidas las escalas 1:1, 1:2, 1:5 o viceversa. En algunos casos es conveniente usar potencias de 10 por ejemplo si los valores de ciertas variables son 0,002; 0,004; 0,008 estos pueden ser escritos como: No necesariamente debe elegirse la misma escala en ambos ejes rectangulares
2.5.2. MÉTODO ANALITICO O ESTADÍSTICO Consiste en aplicar el método de los mínimos cuadrados para calcular las constantes A y B. para ello usamos las formulas:
(11)
(12)
Este método tiene la ventaja de minimizar los errores experimentales en la determinación de A y B, proporcionándonos un arreglo lineal, y dándonos así la ecuación de la recta que mas se ajuste con la realidad del experimento. La dispersión de los puntos en torno a la recta de regresionesta caracterizada por las diferencias dada por:
(13)
La desviación estándar de estas diferencias es
:
∑ ∑ =
(14)
Las incertidumbres en la pendiente y el intercepto son respectivamente:
∑ ∑
∑ ; ∑ ∑
(15)
III.
MATERIALES E INSTRUMENTOS 3.1 Soporte universal. 3.2 Una varilla. 3.3 Una nuez. 3.4 Regla milimetrada de 30 y 100 cm. 3.5 Prensa y transportador. 3.6 Nivel de burbujas. 3.7 Cronometro. 3.8 Péndulo simple.
IV.
PROCEDIMIENTO Y DATOS EXPERIMENTALES 4.1 Instalar el equipo como se muestra en la fig 6.
Fig.6
4.2 Con una longitud pendular L = 20 cm hacer oscilar el péndulo con una amplitud angular menor a 15° y medir 5 veces el tiempo de 10 oscilaciones completas anotando los resultados en la tabla1, así como el valor promedio del periodo T calculan con la siguiente formula.
( 4.3 Repetir el paso anterior para las siguientes longitudes de L: 25, 30, 40, T=
50, 60, 70, 80,90 y 100 cm .Anotar estos valores en la tabla 1.
N
V.
L(cm)
(s) 8.08
Tabla 1 (s) (s) 8.01
1
20
7.48
2
25
9.69
9.54
9.53
3
30
9.93
10.22
4
40
11.76
5
50
6
(s) 7.62
(s)
T(s)
7.92
0.78
9.84
9.72
0.97
10.34
10.64
10.52
1.03
10.63
10.98
10.89
10.95
1.10
13.14
13.01
13.05
13.04
12.88
1.30
60
14.92
14.78
15.03
14.76
14.80
1.49
7
70
15.70
16.20
16.10
16.25
16.35
1.61
8
80
16.60
16.82
16.74
16.68
16.04
1.66
9
90
17.80
17.71
17.29
17.75
17.92
1.77
10
100
18.35
18.68
18.92
18.80
18.74
1.87
PROCESAMIENTO Y ANALISIS DE DATOS Método gráfico: 5.1 Con los datos de la tabla 1calculamos los logaritmos naturales de L y T y se completa la tabla 2.
Tabla 2 N
L(cm)
T(s)
Ln (L)
Ln(T)
1
20
0.78
3.00
-0.25
2
25
0.97
3.22
-0.03
3
30
1.03
3.40
0.03
4
40
1.10
3.69
0.10
5
50
1.30
3.91
0.26
6
60
1.49
4.09
0.40
7
70
1.61
4.25
0.48
8
80
1.66
4.38
0.51
9
90
1.77
4.50
0.57
10
100
1.87
4.61
0.63
5.2 Con los datos de la tabla 2 construye en papel milimetrado, la gráfica T vs L. Observe que esta grafica es similar a una de las curvas típicas de la figura (3), por lo tanto, la dependencia entre T y L tiene la forma de la ecuación (9).Escriba esta ecuación en términos de T y L.
5.3 Linealizacion de la curva. Usando los datos de la tabla 2,construya en papel milimetrado la gráfica Ln (T) vs Ln (L) la misma grafica de la pendiente B, el intercepto A y anotar los valores de K y n. recuerde que Ln(K) = A; n = B K=
0.17
;
n = 0.52
Método estadístico 5.4 Para aplicar el método de los mínimos complete la tabla 3, solo la penúltima columna. Tabla 3
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
∑
20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 565
0.78 0.97 1.03 1.1 1.3 1.49 1.61 1.66 1.77 1.87 13.58
3.00 3.22 3.40 3.69 3.91 4.09 4.25 4.38 4.50 4.61 39.05
-0.25 -0.03 0.03 0.10 0.26 0.40 0.48 0.51 0.57 0.63 2.70
-0.75 -0.10 0.10 0.37 1.02 1.64 2.04 2.23 2.57 2.90 12.02
9.00 10.37 11.56 13.62 15.29 16.73 18.06 19.18 20.25 21.25 155.31
5.5 Calculamos aplicando las formulas (11) y (12), hallando el intercepto de A y la pendiente B , y con ellos los valores de K y n:
-
A =
= =
B=
= =
LnK=-1.77 K = 0.17 B=n n = 0.52
5.6 C
; CUESTIONARIO
,
CUESTIONARIO 1) Con los datos de la tabla 3, aplique las formulas (8) y (9) y halle el intercepto A y la pendiente B, y con ellos los valores de k y n.
– = -1.90 B= = 0.56 A=
Como B = n, entonces n = 0.56 Ln k = -1.90 entonces k = 0.15 2) Con los valores de A y B hallados anteriormente, llene la siguiente tabla y usando la ecuación (12) hallar las incertidumbres ( ) en B y A.
(Yj – BXj – A)² 0.0057 0.0014
0.0068 0.000013 0.000092 0.000036 0.0016 0.00052 0.00040 0.00047
Sy =
∑ =
= 0.046
Entonces
A = (0.046)
= 0.11
B = (0.046)
= 0.028
0.017
3) Considerando la propagación de errores en mediciones indirectas, utilice A y B para determinar los errores de k y n.
n = B , entonces
n = 0.028
Ln k = A, Ln k = 0.11, por lo tanto k = 1.12 4) Escriba la relación funcional entre T y L (ecuación empírica del periodo del péndulo simple T=kLⁿ con los valores numéricos de k y n)
La ecuación de la recta será:
T = 0.15L⁰˙⁵⁶
5) Resultados A ± A:
Método estadístico A+A = -1.90 + 0.11 = -1.79 A - A = -1.90 – 0.11 = -2.01 Método grafico -ᴔ A - A = -2.01 A+A = -1.79 B ± B:
Método estadístico B+B = 0.56 + 0.028 = 0.588 B - B = 0.56 + 0.028 = 0.532
ᴔ
0
Método grafico -ᴔ 0
ᴔ
B - B = 0.532
B+B = 0.588
k ± k:
Método estadístico k+k = 0.15 +1.12 = 1.27 k - k = 0.15 – 1.12 = - 0.97 Método grafico -ᴔ k - k = - 0.97 0 k +k = 1.27
ᴔ
n ± n:
Método estadístico n+n = 0.56 + 0.028 = 0.588 n - n = 0.56 – 0.028 = 0.532 Método grafico -ᴔ 0 n - n = 0.532
ᴔ
n+n = 0.588
Ecuación empírica:
Método estadístico T = 0.15L⁰˙⁵⁶ Método grafico
T = 0.15L⁰˙⁵⁶
CONCLUSIONES 1. ¿Cuál de los métodos utilizados es de mayor confiabilidad y por qué?
El método de mas confiabilidad creo que es el método estadístico ya que usando este método podemos linealizar la curva lo que minimiza el margen de erros que puede haber en el experimento. 2. ¿Diga por que los métodos grafico y estadístico son complementarios? Estos dos métodos son complementarios porque si representamos la ecuación T = kLⁿ
estadísticamente a simple vista no podemos hallar el intercepto y la pendiente de esta, pero
al representarlo gráficamente lo podemos visualizar de una manera más simple y podemos hallar con más facilidad la pendiente y el intercepto. Por eso es que uno depende del otro.
⁄ √
3. El periodo del péndulo simple está dada por: T = 2π
=(
) L⁰˙⁵.
Comparando esta expresión con la obtenida experimentalmente, se tiene: k = 2π/
√
utilizando esta relación encuentre el valor de la gravedad.
Despejando la ecuación:
√
=
entonces: g = ()²
k = 0,15. Por tanto g = 9.752
Por lo tanto concluimos que: El periodo es independiente a la masa del péndulo. •
El periodo es dependiente de la longitud de la cuerda del péndulo.
•
Según los cálculos obtenidos la gravedad es aproximadamente 9.75 m/ s2
•
La ecuación empírica que relaciona el periodo y la masa del péndulo es: T = 0.15L⁰˙⁵⁶
SUGERENCIAS
La longitud del hilo no debe ser demasiado pequeño pues nos dificulta medir las oscilaciones del péndulo.
No se debe tomar un ángulo de referencia muy pequeño, pues nos Dificulta medir la oscilación.
BIBLIOGRAFIA
FÍSICA TEORÍA Y PROBLEMAS, Walter Pérez Terral.
GIANBERNANDINO, V.
“Teoría de Errores” / Editorial
Reverte / España 1987
SQUIRES, G, L
“Fisica practica” edit.Mc. Graww -hill
1990. CONCLUSIONES SUGERENCIAS BIBLIOGRAFIAS
