ECUACIONES EMPIRICAS

CURSO

:

FISICA I

ING. KATHERINE FERNANDEZ LEON

EQUIPO :

CHAVARRY LLONTOP, Eduardo CHOMBA ACUÑA, Sonya DIAZ NUÑEZ, July MEDINA MORENO, Marisol MONTENEGRO FERNANDEZ, Juan Carlos

CICLO

GRUPO

:

I

:

“

B

”

Cajamarca, 2013

A A A A A

Física

Ecuaciones Empíricas

INTRODUCCIÓN

De acuerdo al sílabos presentado para la asignatura de Física I, desarrollaremos la primera práctica de laboratorio, “ECUACIONES EMPIRICAS”. En esta práctica, se buscará la

formulación de la ecuación matemática por la cual se representa el experimento de un péndulo. Establecer Establecer ecuaciones ecuaciones para describi describirr el movimiento movimiento o cualquier cualquier otro fenómeno fenómeno físico e s d e muc ha

imp ort anc ia

en

el

cam po

de

d es es em em pe p e ño ñ o d e l i ng n g en en ie ie ro r o y a q ue ue

en m uc ha s ocasiones ocasiones o situaciones situaciones a nivel laboral exigirán exigirán el conocimiento para dete determi rmina narr ec uac ion es y pod er Sab er int er pr et ar y dar una solu soluci ción ón ráp rápid ida a a dic dicha ha situación. Un ejemplo práctico para alcanzar dicha práctica de establecer y plantear ecuaciones e s c o n e l m a n e j o d e l p é n d u l o , a n i v e l d e laboratorio, es posible determinar la relación entre la longitud del péndulo y su periodo, ya sea empleando diferentes métodos tales c o m o e l m é t o d o

g r a f i c o o c o m o e l d e l o s mínimos cuadrados,

podemos determinar las funciones que representan de mejor manera el movimiento de un péndulo de diferentes longitudes a través del tiempo.

KATHERINE FERNANDEZ LEON | Grupo B

Física


INTRODUCCIÓN

De acuerdo al sílabos presentado para la asignatura de Física I, desarrollaremos la primera práctica de laboratorio, “ECUACIONES EMPIRICAS”. En esta práctica, se buscará la

formulación de la ecuación matemática por la cual se representa el experimento de un péndulo. Establecer Establecer ecuaciones ecuaciones para describi describirr el movimiento movimiento o cualquier cualquier otro fenómeno fenómeno físico e s d e muc ha

imp ort anc ia

en

el

cam po

de

d es es em em pe p e ño ñ o d e l i ng n g en en ie ie ro r o y a q ue ue

en m uc ha s ocasiones ocasiones o situaciones situaciones a nivel laboral exigirán exigirán el conocimiento para dete determi rmina narr ec uac ion es y pod er Sab er int er pr et ar y dar una solu soluci ción ón ráp rápid ida a a dic dicha ha situación. Un ejemplo práctico para alcanzar dicha práctica de establecer y plantear ecuaciones e s c o n e l m a n e j o d e l p é n d u l o , a n i v e l d e laboratorio, es posible determinar la relación entre la longitud del péndulo y su periodo, ya sea empleando diferentes métodos tales c o m o e l m é t o d o

g r a f i c o o c o m o e l d e l o s mínimos cuadrados,

podemos determinar las funciones que representan de mejor manera el movimiento de un péndulo de diferentes longitudes a través del tiempo.



Física

RESUMEN

Es posible obtener gráficas y sus respectivas ecuaciones empíricas, partiendo únicamente de simples valores numéricos que se da a cualquier variable, las cuales se ubican en el eje “X” y el eje “Y” contenidos estos en el plano.

En el caso de obtener como gráfica una recta, ésta se adecua a una ecuación lineal; lo cual nos hará posible la fácil obtención de valores numéricos que intersectándolos y uniendo dichos puntos obtenidos, en el plano, trataran de buscar correspondencia entre el sistema y el modelo dado.

De dicha gráfica y empleando métodos como: Método de los mínimos cuadrados y el método grafico podemos llegar a encontrar la ecuación empírica del péndulo. En caso de que la gráfica fuera una curva cuya ecuación puede ser la de una función exponencial se procederá a linealizar linealizar la función para así proceder como en el caso de una ecuación lineal.



I)

Física

OBJETIVOS.



Dados los datos experimentales de la experiencia realizada en la UNC, graficarlos en papel milimetrado, identificar el tipo de curva y determinar su ecuación empírica.



Aplicar cambio de variables y/o logaritmos para transformar la ecuación de una curva /exponencial a una lineal.



Aplicar, el método de los mínimos cuadrados para hallar la ecuación empírica de una recta y representarlo gráficamente.



II)

Física

FUNDAMENTO TEORICO. 2.1. ECUACIONES EMPIRICAS 2.1.1. CONCEPTO

Una ecuación empírica se basa en la observación y estudio experimental de un fenómeno del cual generalmente se desconoce o se tiene poca información de las leyes fundamentales que lo gobiernan, o donde la intervención de dichas leyes puede ser tan complicada que impide construir un modelo analítico obligando a recurrir al uso de ecuaciones empíricas para su comprensión.

2.2. ¿QUÉ ES UN PÉNDULO?

El término péndulo tiene su origen etimológico en pendŭlus, un vocablo del latín que puede traducirse como “pendiente”. Un péndulo es un objeto que oscila, colgado de otro. Por ejemplo: “El movimiento del péndulo logró tranquilizarme y finalmente pude dormirme” , “Cuando el hilo se cortó, el péndulo cayó pesadamente contra el suelo y se rompió en mil pedazos” , “Me agrada el sonido de los relojes de péndulo” .

Como sistema de la física, un péndulo implica la oscilación de



Física

un cuerpo gracias a ciertas características y la acción de distintas fuerzas. De acuerdo a la oscilación, un péndulo puede servir para realizar una medición del tiempo o de otras cuestiones.

2.2.1. CLASIFICACION DE PENDULOS. Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera. Sus usos son muy variados: medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo,etc), medida de la intensidad de la gravedad, etc.

2.2.1.1. PENDULO SIMPLE. También llamado péndulo ideal, está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo. Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.

Péndulo Simple o Matemático



Física

2.2.1.2. PÉNDULO COMPUESTO Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.

2.2.1.3. PÉNDULO CICLOIDAD: Las oscilaciones del péndulo simple sólo son isócronas para pequeñas amplitudes. Sin embargo, existe un diseño especial en el que el período es independiente de la amplitud; se trata del péndulo cicloidal, llamado así porque está basado en una propiedad de la curva geométrica llamada cicloide.



Física

2.2.1.4. DOBLE PENDULO:

Un péndulo doble consiste en dos péndulo simple, uno suspendido desde el otro. También se le llama péndulo caótico, ya que sus movimientos se vuelven más caóticos entre más largos son. Un péndulo doble actúa similar a un péndulo simple en los movimientos pequeños, pero se vuelve menos predecible mientras los movimientos incrementan el tamaño. El movimiento del primer péndulo tiende a lanzar al segundo de forma inesperada. Los péndulos dobles son usados principalmente en las simulaciones matemáticas.

2.2.1.5. PÉNDULO DE FOUCAULT



Física

Un péndulo de Foucault es un tipo de péndulo simple que se balancea en dos dimensiones. Este péndulo fue desarrollado por Jean Bernard León Foucault en 1851 y demostraba la rotación de la tierra. Una vez que el péndulo de Foucault se pone en movimiento, su balanceo tiende a rotar en dirección de las manecillas del reloj en un círculo sobre el curso de aproximadamente un día y medio. El péndulo de Foucault fue la primera demostración de rotación de la tierra y no requería observación astronómica.

2.2.1.6. PÉNDULO DE NEWTON: Es un dispositivo que demuestra la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento. Está constituido por un conjunto de péndulos idénticos (normalmente 5) colocados de tal modo que las bolas se encuentran perfectamente alineadas horizontalmente y justamente en contacto con sus adyacentes cuando están en reposo.

2.2.1.7. PENDULO DE TORSION: KATHERINE FERNANDEZ LEON | Grupo B

Física


Consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia. Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales y de rotación.

2.2.1.8. PENDULO

BALISTICO: Un péndulo balístico es un dispositivo que permite determinar la velocidad de un proyectil. Este péndulo está constituido por un bloque grande de madera, de masa M , suspendido mediante dos hilos verticales. El proyectil, de masa m, cuya velocidad v se quiere determinar, se dispara horizontalmente de modo que choque y quede incrustado en el bloque de madera.

2.2.2.

Elementos del Péndulo: KATHERINE FERNANDEZ LEON | Grupo B

Ecuaciones Empíricas o

A y B = Puntos extremos. (Velocidad=0 y Aceleración Máxima).

o

O = Punto de Equilibrio. (Velocidad Máxima y Aceleración=0).

o

Oscilación Simple (AB).

o

Oscilación (2AB): Se dice también oscilación completa y es equivalente a dos

Física

oscilaciones simples.

o

Amplitud (a): Es el máximo ángulo que forma el hilo del péndulo con la vertical.

o

Periodo (T): Es el tiempo que emplea el péndulo para una oscilación completa.

o

Longitud (L): Es el largo del hilo que suspende la partícula. Periodo del Péndulo Simple: Algunas condiciones son necesarias que se evalúen, para poder justificar las características del péndulo simple.

2.2.3. VARIACIONES DEL PERIODO Variaciones del periodo con la amplitud El periodo de un péndulo varía con respecto a la amplitud, cuando se trabaja con ángulos muy pequeños, el periodo varía muy poco, esto físicamente es conocido como la ley del isocronismo.

Variaciones del periodo con la masa del péndulo Utilizando péndulos de la misma longitud y de diferentes masas en un mismo lugar se demuestra que el periodo de un péndulo simple es independiente de su masa, igual ocurre con la naturaleza de la masa que conforma al péndulo.

Variaciones del periodo con la longitud del péndulo KATHERINE FERNANDEZ LEON | Grupo B


Física

Si se miden los periodos de un mismo péndulo simple, haciendo variar únicamente su longitud, se comprueba que, el periodo de un péndulo simple es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

Variaciones del periodo con la aceleración de la gravedad El estudio matemático indica que el periodo varía con razón inversa de la raíz cuadrada de la gravedad.

2.3.

FRECUENCIA

Es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. Para calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido. Según el Sistema Internacional (SI), la frecuencia se mide en hercios (Hz), en honor a Heinrich Rudolf Hertz. Un hercio es la frecuencia de un suceso o fenómeno repetido una vez por segundo. Así, un fenómeno con una frecuencia de dos hercios se repite dos veces por segundo. Esta unidad se llamó originariamente «ciclo por segundo» (cps). Otras unidades para indicar la frecuencia son revoluciones por minuto (rpm). Las



Física

pulsaciones del corazón y el tempo musical se miden en «pulsos por minuto» (bpm, del inglés beats per minute).

Un método alternativo para calcular la frecuencia es medir el tiempo entre dos repeticiones (periodo) y luego calcular la frecuencia (f) recíproca de esta manera:

Donde T es el periodo de la señal

2.4. PERÍODO DE OSCILACIÓN En física, el período de una oscilación es el tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la oscilación. Es el mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado: mismas posiciones, mismas velocidades, mismas amplitudes. Así, el periodo de oscilación de una onda es el tiempo empleado por la misma en completar una longitud de onda. Por ejemplo, en una onda, el periodo es el tiempo transcurrido entre dos crestas o valles sucesivos. El periodo (T) es recíproco de la frecuencia (f):

2.5. OSCILACION.


Física

Ecuaciones Empíricas La oscilación. Hacer un recorrido desde un extreme a otro y volver al primero pasando por un punto central llamado ciclo, es una oscilación. También se

describe como el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición de equilibrio. Los hercios (Hz ) es el número de ciclos por segundo, conocido como frecuencia de oscilación. Un ejemplo de oscilación lo encontramos en puntear la cuerda de una guitarra o cuando se pone en movimiento un péndulo, el péndulo y la cuerda acaban deteniéndose si no actúan sobre ellos otras fuerzas. La fuerza amortiguadora es la que hace que dejen de oscilar. La mayoría de las veces, estas fuerzas son fuerzas de rozamiento. Otras fuerzas amortiguadoras como las eléctricas o magnéticas pueden existir en un sistema oscilante.

2.6. TIEMPO. El Tiempo es la magnitud física que mide la duración o separación de acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación, esto es, el período que transcurre entre el estado del sistema cuando éste aparentaba un estado X y el instante en el que X registra una variación perceptible para un observador (o aparato de medida). Es la magnitud que permite ordenar los sucesos en secuencias, estableciendo un pasado , un presente y un futuro , y da lugar al principio de causalidad ,

uno

de

los

axiomas

del método

científico .

Su unidad básica en el Sistema Internacional es el segundo , cuyo símbolo es s (debido a que es un símbolo y no una abreviatura, no se debe escribir con mayúscula, ni como "seg", ni agregando un punto posterior).

2.7.

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS KATHERINE FERNANDEZ LEON | Grupo B

Física

Ecuaciones Empíricas El método de los mínimos cuadrados consiste en obtener aquellos

valores

de

los

parámetros que minimizan el sumatorio

de

residuales

al

cuadrado. Siendo los residuales las distancias verticales de los puntos a la curva de ajuste. Consideremos a un Conjunto de observaciones

al cual se desea ajustar una

relación lineal

III)

METODOLOGIA.

3.1. LABORATORIO Con la ayuda de un soporte universal, un hilo pabilo y una esfera elaboramos un péndulo simple el cual sirvió para trabajar en el laboratorio el periodo de oscilación con longitudes específicas que son de: 30, 50, 70, 90 y 110 cm. Los cuales darán como resultado un determinado tiempo el cual servirá para poder hallar la ecuación empírica del Péndulo.

3.2. MATERIALES Y EQUIPOS 3.2.1. MATERIALES KATHERINE FERNANDEZ LEON | Grupo B

Ecuaciones Empíricas Hilo pabilo:

Hilo grueso, resistente, poco tramado, hecho de algodón, que se emplea,entre otras cosas, para tejer alpargatas, hamacas o cubrecamas.

Soporte universal: El soporte universal es una herramienta que se utiliza en laboratorio para realizar montajes con los materiales presentes en el laboratorio y obtener sistemas de medición o de diversas funciones.

Esfera: Pequeña bola que en la practico hacia las veces de la masa


Física


Física

Regla: Instrumento de materia rígida, gralte. delgado y de sección rectangular, usado principalmente para trazar líneas rectas.

Lápiz : Un lápiz o lapicero es un instrumento de escritura o dibujo

Borrador:



Física

Papel milimetrado. Lo usamos para realizar las gráficas de longitud y tiempo

3.2.2. EQUIPOS

Calculadora científica:

Usamos una calculadora científica para poder hacer algunos cálculos necesarios en el método gráfico y el analítico, obteniendo resultados de gran precisión



Cronometro:

Con el cual medimos el tiempo de 3 oscilación con diferentes medidas del hilo, por cada medida se tomó 5 tiempos que luego promediamos.

Computadora

Cámara Lo usamos para tomar fotos de la oscilación


Física


IV)

DISCUSION DE LOS RESULTADOS


Física

Física

Ecuaciones Empíricas Grafico n° 1

T T promedio promedio / 3

N°

Longitud (cm)

T1

T2

T3

T4

T5

1

30

3.2

3.1

3.3

3.3

3.2

3.22

1.07

2

50

4.1

4.1

4.2

4.2

4.2

4.16

1.39

3

70

4.8

4.6

4.9

5

5

4.86

1.62

4

90

5.4

5.4

5.4

5.6

5.5

5.46

1.82

5

110

6.1

6.4

6

6

6.2

6.14

2.05

Fuente: elaboración propia Como se observa en la tabla n°1, podemos afirmar que al ir aumentando la longitud del hilo pabilo en este caso, el periodo que demora en dar las tres oscilaciones va incrementándose, es decir el periodo es directamente proporcional a la longitud.

MÉTODO GRÁFICO Grafico n° 2 KATHERINE FERNANDEZ LEON | Grupo B

Física


Tiempo vs Longitud 2.5 2 1.5 Tiempo vs Longitud

1 0.5 0 0

50

100

150

Fuente: elaboración propia La curva tiene una ecuación de la forma:

∙

T=b +a X Donde: -

b es el punto de intersección de la recta con el eje T

-

m es la pendiente de la recta.

En la gráfica anterior de tiempo vs longitud podemos observar que conforme la longitud del hilo pábilo aumenta los tiempos de oscilación también.

Tabla n° 3

T

Ln T

L

Ln L

1.07

0.07

30

3.4

1.39

0.33

50

3.91


Física

Ecuaciones Empíricas 1.62

0.48

70

4.24

1.82

0.6

90

4.49

2.05 0.72 Fuente: elaboración propia

110

4.7

En la tabla; anterior vemos los tiempos y longitudes medidos del péndulo; con sus respectivos logaritmos que posteriormente serán graficados

Gráfico N° 4

Ln T vs Ln L 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

Ln T vs Ln L

0.3 0.2 0.1 0 0

1

2

3

4

5

Fuente: elaboración propia

La ecuación de la forma T= a L m donde el trabajo es determinar los valores de “a” y “m”.

T= a Lm Log T = Log (a Lm) Log T = Log a + m Log L En la gráfica vemos la ecuación lineal que se forma al sacar los logaritmos de los datos obtenidos.

Gráfico N° 4


Física

Ecuaciones Empíricas 0.8 0.7 0.6 0.5 T n L

0.4

Ln T vs Ln L Linear (Ln T vs Ln L)

0.3 0.2 0.1 0 0

1

2

3

4

5

Ln L Fuente: elaboración propia Gráfico N° 5

1

0.5 Longitud Vs tiempo

0 0 -0.5

1

2

3

4

5 Linea

-1

-1.5

-2


Física


La gráfica anterior muestra la linealización de la gráfica n° 4 En esta grafica logramos obtener una recta con pendiente (mostrada en el papel milimetrado mostrado anterior), así: m= tan α=

    -

/

-

Luego interceptamos con el eje de las ordenadas tendríamos que:

1) Ln a = -1.6 a= antiln (-1.6)

 ≈ ,

a= 0.20189

(x1;y1)=(4.7 ; 0.72) (x2;y2)=(4.49 ; 0.6)

..−. −. .. m= tanα =

2) m= tanα =

m= tanα = 0.57

m=

tanα ≈ 0,5

7

m= 0.57

3) α = α =

−

(0.57)

29.683

1. MÉTODO ANALÍTICO KATHERINE FERNANDEZ LEON | Grupo B

Física


1.1. ECUACIÓN Ln T VS Ln L La ecuación que relaciona Ln T vs Ln L se puede representar de la siguiente manera:

Ln T = Ln a L m LnT = lna + m*lnL

Se aplica el método de los mínimos cuadrados, y se obtiene:

 [ ∑ ]∑   ∑  ∑.   ln  = n[∑ ] ∑  ∑  ∑ n .        = n[∑]  ∑ ∑ Se establece una tabla de valores:

∙

Ln L

Ln T

(Ln L)2

Ln L LnT

3.4 3.91 4.24 4.49 4.7

0.07 0.33 0.48 0.6 0.72

11.56 15.2881 17.9776 20.1601 22.09

0.238 1.2903 2.0352 2.694 3.384

∑  =

20.74

∑   =

2.2

∑  =

87.0758

∑ .  =


9.6415

Ecuaciones Empíricas Se reemplaza los valores obtenidos anteriormente y se obtiene:

 [ ∑ ]∑ ]∑∑∑.     ln  = n[∑ 

ln  = 87.0758587.02.7582  20.20.74749.6415 91.53667579 430.199.14769647 ln  = 1435. ln  .−. =

ln = 1.603

ln ≈ 1.6

Luego hallamos m:

 = n∑ .n[∑ ] ∑∑∑   = 559.87.64150758  20. 20.742.742 45.612476  = 435. 48.32790 430.  = 5. 2.231458  = 0,  ≈ 0,5 49


Física


Física

De donde se concluye que la ecuación de la gráfica es: Ln T= ln a + m ln L



Ln T= 1.6 + 0.5 ln L

1.2. ECUACIÓN T VS L

Si se quiere determinar ésta ecuación es necesario que debamos partir de la ecuación anterior, y se obtiene:

Ln T= ln a +m ln L Ln T = ln a L m T=a Lm Donde: - a= anti ln ( 1.6)=0.20189 a 0.20 - m= 0.5

 ≈

Reemplazando obtendríamos:

T= 0.20 L0.50



Física

1.3. GRAVEDAD Si L es la longitud del péndulo, se demuestra que en el caso de oscilaciones de pequeña amplitud su periodo T está dado por la fórmula:

 = 2   = √ 2 . Donde g designa la aceleración de la gravedad, de este modo obtenemos, experimentalmente la ecuación de la gravedad, veamos :

 = 0.2. En donde:

 = √ 2  2  = (  )   = (2∗0.3.214) ==985.9.8696⁄ ⁄



V)

CONCLUSIONES

El periodo es una variable dependiente y el tiempo es una variable independiente. Transformamos una gráfica exponencial (curva) de longitud vs tiempo a grafica lineal por medio de los logaritmos. El periodo de las oscilaciones de un péndulo es independiente a la masa de la esfera. La ecuación empírica que relaciona el periodo y la masa del péndulo es:

T= 0.20 L0.50


Física


VI)

Física

RECOMENDACIONES



Que las longitudes del hilo del péndulo sean las mismas para todos los grupos para poder comparar el margen de error.



Mejores pautas en la guía del trabajo para poder hacerlo con más rapidez


ECUACIONES EMPIRICAS

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