Graficas y tablas Tablas: Una tabla es un conjunto de datos ordenados según su origen de pertenencia. Los datos pueden obtenerse de una investigación, de un enunciado o algún problema
Grafcas: Las grafcas son la representacion representacion esquematica de aquellos aquellos datos o valores expuestos enuna tabla.Hay dierentes tipos de grafcas las mas comunes son :• D e •De
b a r r a s puunto-lineal
•Graica geomtrica • D e
p a s t e l
•!ara las graf cas de barra y punto-lineal se toma en cuenta dos e"e s# el e"e $x % y el e"e $y% &"e $x%'orrespond $x%'orresponde e a los datos independientes(on los datos principales en los cuales su cambio no se reali)a por otra condici*n# valor o situaci*n &"e $y%&n $y%&n este e"e se encuentra ubicado los datos dependientes(on aquellos que cambian con respecto a otros Grafca punto-lineal !ara ubicar los datos en una grafca de punto-lineal es necesario primero escribir encada e"e sus datos correspondientes# correspondientes# despues como en orma de cordenada ubicar elcruce del dato de las $x% con el dato correspondiente correspondiente de las $y%# se+alar con un puntodentro de la grafca mareando dic,o cruce# asi sucesivamente con todos los puntostomando puntostomando como inicio de salida o union el punto cero Grafca de barras!ara barras!ara la grafca de barras tambien se deben conocer los datos dependientes eindependientes eindependientes su margen de ubicaci*n en la grafca abarca del fnal de un tra)o alinicio de otro el fnal de cada tra)o se defne por el punto de ubicaci*n.&n ubicaci*n.&n este caso sino se emplean diagonales# verticales y ,ori)antales Grafca de pastelLas pastelLas grafcas de pastel se emplean en encuestas donde se proporcionan proporcionan datos en porcenta"es# siendo que el / equivale al total de aquel dato principal que se requiereconocer# para reali)ar la grafca de pastel es necesario tabular en tres t res columnas losvalores de el dato que se quiere conocer# el porcenta"e correspoondiente correspoondiente a cada dato ylos grados le corresponden para su ubicaci*n en la circunerencia.!ara locali)ar el valor desconocido en la tabla sabiendo que pudiera encontrarse conl*gica matem0tica# es necesario reali)ar una regla de 1 o estequiomtrica. estequiomtrica.
1- Tablas Tablas de frecuencias
Cuando los valores de la variable son mucos, conviene agrupar los datos en intervalos o clases para as! reali"ar un mejor an#lisis e interpretación de ellos. $ %ara construir una tabla de frecuencias con datos agrupados, conociendo los intervalos, se debe determinar la frecuencia absoluta &fi) correspondiente a cada intervalo, contando la cantidad de datos cuyo valor est# entre los e'tremos del intervalo. Luego se calculan las frecuencias relativas y acumuladas, si es pertinente. $ Si no se conocen los intervalos, se pueden determinar de la siguiente manera: ( )e busca el valor m#'imo m#'imo de la variable y el valor m!nimo. Con estos datos se determina el rango. ( )e divide el rango en la cantidad de intervalos *ue se desea tener, obteni+ndose as! la amplitud o tamao tamao de cada intervalo. ( Comen"ando por el m!nimo valor de la variable, *ue ser# el e'tremo e'tremo inferior del primer intervalo, se suma a este valor la amplitud para obtener el e'tremo superior y as! sucesivamente. -eamos -eamos como se resuelve el siguiente ejercicio del libro )antillana : /n un centro comercial, se consultó la edad a todas las personas *ue entraban entre las 01:22 y 01:32 . Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
( Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en ocho intervalos. 04%ara poder construir la tabla de frecuencias lo primero *ue debemos acer es calcular el rango. El rango da la idea de pro'imidad de los datos a la media. )e calcula restando el dato menor al dato mayor.
/l dato mayor y el menor lo emos destacado con color rojo:
1- Tablas Tablas de frecuencias
Cuando los valores de la variable son mucos, conviene agrupar los datos en intervalos o clases para as! reali"ar un mejor an#lisis e interpretación de ellos. $ %ara construir una tabla de frecuencias con datos agrupados, conociendo los intervalos, se debe determinar la frecuencia absoluta &fi) correspondiente a cada intervalo, contando la cantidad de datos cuyo valor est# entre los e'tremos del intervalo. Luego se calculan las frecuencias relativas y acumuladas, si es pertinente. $ Si no se conocen los intervalos, se pueden determinar de la siguiente manera: ( )e busca el valor m#'imo m#'imo de la variable y el valor m!nimo. Con estos datos se determina el rango. ( )e divide el rango en la cantidad de intervalos *ue se desea tener, obteni+ndose as! la amplitud o tamao tamao de cada intervalo. ( Comen"ando por el m!nimo valor de la variable, *ue ser# el e'tremo e'tremo inferior del primer intervalo, se suma a este valor la amplitud para obtener el e'tremo superior y as! sucesivamente. -eamos -eamos como se resuelve el siguiente ejercicio del libro )antillana : /n un centro comercial, se consultó la edad a todas las personas *ue entraban entre las 01:22 y 01:32 . Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
( Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en ocho intervalos. 04%ara poder construir la tabla de frecuencias lo primero *ue debemos acer es calcular el rango. El rango da la idea de pro'imidad de los datos a la media. )e calcula restando el dato menor al dato mayor.
/l dato mayor y el menor lo emos destacado con color rojo:
5ato mayor ( dato menor 6 7 - 1 6 71 %or lo tanto8 !ango " 7#
14 /n el problema nos dicen *ue debemos agruparlo en intervalos o clases, con este dato podemos calcular la amplitud o tamao de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos *ue se desean obtener &en este caso son 9.
72 / 8 = 9
Por lo tanto la amplitud de cada intervalo será de 9 34 ora podemos comen"ar a construir la tabla de frecuencias:
;esponder las siguientes preguntas: a9 5el total de personas encuestadas, !espuesta$ ?bservamos los datos obtenidos en la tabla y tenemos *ue:
/l dato lo obtenemos de la columna de la frecuencia absoluta. ;ecuerda *ue: %recuencia absoluta Corresponde a la cantidad de veces *ue se repite un dato. 5enotamos este valor por f i.
%or lo tanto la respuesta es & personas.
b9 5el total de personas encuestadas, !espuesta$ ?bservamos los datos obtenidos en la tabla y tenemos *ue:
/l dato lo obtenemos de la columna de frecuencia absoluta acumulada.
;ecuerda *ue: %recuencia absoluta acumulada es la suma de las frecuencias absolutas observadas asta el intervalo i.
/n este caso es el intervalo @. %or lo tanto la respuesta es 3@ personas tienen @2 o menos aos.
c9
!espuesta$ ?bservamos los datos obtenidos en la tabla y tenemos *ue:
/l dato lo obtenemos de la columna de frecuencia relativa. ;ecuerda *ue: %recuencia relativa Corresponde a la probabilidad de pertenecer a cierta categor!a. )e puede e'presar en tantos por ciento.
/n este caso es el intervalo 1, ya *ue es a! donde se encuentran las edades entre 00 y 12 aos. Entonces la respuesta es$ 'a probabilidad es 1(*
%or último vamos a repasar el concepto de: %recuencia relativa acumulada +i), /s la probabilidad de observar un valor menor o igual al valor *ue toma la variable en estudio en ese intervalo.
)e calcula dividiendo Ai por el número total de datos. Tambi+n puedes calcularlo )umando la frecuencia relativa de cada grupo con la frecuencia relativa acumulada del grupo anterior. )i aces correctamente estos c#lculos, el último grupo tendr# una frecuencia acumulada de 0, o muy cerca de 0, permitiendo redondear el error. ;ecuerda *ue este valor se puede e'presar como porcentaje, para esto solo debes multiplicar el valor obtenido por 022 y listoBBB /ste calculo te sirve en el caso de *ue te pregunten: d9 )i le preguntas a una persona cual*uiera
!espuesta$ La probabilidad es de un 7@D
2&!2&(&345'673 G2896'5 D& D54( Las tablas estad;sticas representan toda la inormaci*n de modo esquem0tico y est0n preparadas para los c0lculos posteriores. Los gr0fcos estad;sticos nos transmiten esa inormaci*n de modo m0s expresivo# nos van a permitir# con un s*lo golpe de vista# entender de que se nos ,abla# observar sus caracte;cticas m0s importantes# incluso sacar alguna conclusi*n sobre el comportamiento de la muestra donde se esta reali)ando el estudio.
Los gr0fcos estad;sticos son muy
Los gr0fcos estad;sticos m0s usuales son:
D65G25=5 D& >5225(.
(e utili)a para la representaci*n de variables cuantitativas discretas# cada valor de la variable se representa por un punto sobre el e"e ? y sobre l se dibu"a una barra de longitud igual o proporcinal a su recuencia absoluta. (i la recuencia absoluta que se utili)a es la acumulativa# el diagrama de barras que se obtiene es: diagrama de barras acumulativo
H6(4G25=5.
(e utili)a para la representaci*n de variables cuantitativas continuas# cada intervalo se representa sobre el e"e ? # este ser0 la base del rect0ngulo que se dibu"a sobre l con altura igual o proporcional a su recuencia absoluta. 'omo los intervalos son consecutivos# los rect0ngulos quedan adosados. (i se utili)ar0n rect0ngulos de amplitud dierente# el 0rea del rect0ngulo es la que tendr;a que ser proporcional a la recuencia absoluta correspondiente a ese intervalo. Histograma acumulativo# si se utili)a la recuencia absoluta acumulativa.
!L@G3 D& 92&'A&3'65(.
(e utili)an para variables estad;sticas cuantitativas# discretas o continuas.
!ara una variable discreta# el pol;gono de recuencias se obtiene uniendo por una poligonal# los extremos superiores de las barras.
!ara una variable continua# el poligono de ecuencias se obtiene uniendo por una poligonal los puntos medios de la base superior de los poligonos del ,istograma.
Las escalas utili)adas para representar los pol;gonos de recuencias inBuyen muc,o por el impacto visual de los mismos.
D65G25=5 D& (&'42&(.
(e utili)a para todo tipo de variable estad;stica# cuantitativa o cualitativa. 'onsiste en dibu"ar sectores sobre un c;rculo# siendo la amplitud de los sectores proporcional a su recuencia absoluta# cada sector se rellena con un color dierente.
&l c0lculo de la amplitud en grados sexagesimales del sector correspondiente se reali)a as;: 0ngulo C recuencia relativa1E
=edidas de tendencia central: =edia# =ediana# =oda x &l promedio de notas es muy importante.
(up*ngase que un determinado alumno obtiene 1F puntos en una prueba de matem0tica. &ste punta"e# por s; mismo tiene muy poco signifcado a menos que podamos conocer el total de puntos que obtiene una persona promedio al participar en esa prueba# saber cu0l es la califcaci*n menor y mayor que se obtiene# y cu0n variadas son esas califcaciones.
&n otras palabras# para que una califcaci*n tenga signifcado ,ay que contar con elementos de reerencia generalmente relacionados con ciertos criterios estad;sticos.
Las medidas de tendencia central media# mediana y moda sirven como puntos de reerencia para interpretar las califcaciones que se obtienen en una prueba.
Iolviendo a nuestro e"emplo# digamos que la califcaci*n promedio en la prueba que ,i)o el alumno ue de J puntos. 'on este dato podemos decir que la califcaci*n del alumno se ubica notablemente sobre el promedio. !ero si la califcaci*n promedio ue de EF puntos# entonces la conclusi*n ser;a muy dierente# debido a que se ubicar;a muy por deba"o del promedio de la clase.
&n resumen# el prop*sito de las medidas de tendencia central es:
=ostrar en qu lugar se ubica la persona promedio o t;pica del grupo.
(irve como un mtodo para comparar o interpretar cualquier punta"e en relaci*n con el punta"e central o t;pico.
(irve como un mtodo para comparar el punta"e obtenido por una misma persona en dos dierentes ocasiones.
(irve como un mtodo para comparar los resultados medios obtenidos por dos o m0s grupos.
Las medidas de tendencia central m0s comunes son:
La media aritmtica: com
La mediana: la cual es el punta"e que se ubica en el centro de una distribuci*n. (e representa como =d.
La moda: que es el punta"e que se presenta con mayor recuencia en una distribuci*n. (e representa =o. x La media# el me"or dato.
De estas tres medidas de tendencia central# la media es reconocida como la me"or y m0s
La media es considerada como la me"or medida de tendencia central# por las siguientes ra)ones:
Los punta"es contribuyen de manera proporcional al ,acer el c*mputo de la media.
&s la medida de tendencia central m0s conocida y utili)ada.
Las medias de dos o m0s distribuciones pueden ser 0cilmente promediadas mientras que las medianas y las modas de las distribuciones no se promedian.
La media se utili)a en procesos y tcnicas estad;sticas m0s comple"as mientras que la mediana y la moda en muy pocos casos.
'*mo calcular# la media# la moda y la mediana =edia aritmtica !y&Ko promedio
&s aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la recuencia total. &n palabras m0s simples# corresponde a la suma de un con"unto de datos dividida por el n
!y&KJ
&"emplo :
&n matem0ticas# un alumno tiene las siguientes notas: # M# M# J# F# 1
n C E n
!y&K1
La media aritmtica de las notas de esa asignatura es #N. &ste n
&"emplo J:
'uando se tienen muc,os datos es m0s conveniente agruparlos en una tabla de recuencias y luego calcular la media aritmtica. &l siguiente cuadro con las medidas de E1 varas de pino lo ilustra.
Largo en m
9recuencia absoluta
Largo por 9recuencia absoluta
F
F
E
.
C F
F
E
.
F C O
.
J C
.
J C
M
J
M
N
J
N
O
E
OE
O
.
E C F
9recuencia total C E1
1
!y&K
(e debe recordar que la recuencia absoluta indica cu0ntas veces se repite cada valor# por lo tanto# la tabla es una manera m0s corta de anotar los datos si la recuencia absoluta es # signifca que el valor a que corresponde se repite veces. =oda =o
&s la medida que indica cual dato tiene la mayor recuencia en un con"unto de datosP o sea# cual se repite m0s.
&"emplo :
Determinar la moda en el siguiente con"unto de datos que corresponden a las edades de ni+as de un Qard;n 6nantil.
F# M# 1# 1# M# N# 1# F# O# F# 1# # 1
La edad que m0s se repite es 1# por lo tanto# la =oda es 1 =o C 1
&"emplo J:
J# J# # J1# MN# FE# OE
&n este con"unto de datos no existe ning
!ara reconocer la mediana# es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor o lo contrario. Asted divide el total de casos 3 entre dos# y el valor resultante corresponde al n
&s el valor central de un con"unto de valores ordenados en orma creciente o decreciente. Dic,o en otras palabras# la =ediana corresponde al valor que de"a igual n
(eg
(i el n
(i el n
&"emplo :
(e tienen los siguientes datos: F# # N# # O# # J
5l ordenarlos en orma creciente# es decir de menor a mayor# se tiene: # J# # F# N# O#
&l F corresponde a la =ed# porque es el valor central en este con"unto de datos impares.
&"emplo J:
&l siguiente con"unto de datos est0 ordenado en orma decreciente# de mayor a menor# y corresponde a un con"unto de valores pares# por lo tanto# la =ed ser0 el promedio de los valores centrales.
J# O# N# F# 1# # # O# F# 1
!y&KF
&"emplo 1:
estad;stica
6nterpretando el gr0fco de barras podemos deducir que:
F alumnos obtienen punta"e de EJ
F alumnos obtienen punta"e de EM
N alumnos obtienen punta"e de MJ
J alumnos obtienen punta"e de MM
E alumnos obtienen punta"e de NJ
alumnos obtienen punta"e de NM
lo que ,ace un total de F alumnos
(abemos que la mediana se obtiene ,aciendo
estadisticaa
lo cual signifca que la mediana se ubica en la posici*n intermedia entre los alumnos JF y JE cuyo promedio es JF#F# lo cual vemos en el siguiente cuadro:
punta"e
alumnos
EJ
EJ
J
EJ
1
EJ
EJ
F
EM
E
EM
M
EM
N
EM
O
EM
MJ
MJ
J
MJ
1
MJ
MJ
F
MJ
E
MJ
M
MJ
N
MM
O
MM
J
MM
J
MM
JJ
MM
J1
MM
J
MM
JF
MM
JE
MM
JM
MM
JN
MM
JO
MM
1
NJ
1
NJ
1J
NJ
11
NJ
1
NJ
1F
NJ
1E
NJ
1M
NJ
1N
NJ
1O
NJ
NJ
NJ
J
NJ
1
NJ
NJ
F
NJ
E
NM
M
NM
N
NM
O
NM
F
&l alumno JF obtuvo punta"e de MM
&l alumno JE obtuvo punta"e de MM
&ntonces# como el total de alumnos es par debemos promediar esos punta"es:
estadisticaFa
La mediana es MM# lo cual signifca que JF alumnos obtuvieron punta"e desde MM ,acia aba"o alumnos JF ,asta el en el cuadro y JF alumnos obtuvieron punta"e de MM ,acia arriba alumnos JE ,asta el F en el cuadro.
&n matem0ticas y estad;stica# la media aritmtica tambin llamada promedio o simplemente media de un con"unto fnito de n
&l conocimiento de la orma de la distribuci*n y del respectivo promedio de una colecci*n de valores de una variable# puede servir para tener una idea bastante clara de la conormaci*n# pero no de de la ,omogeneidad de cada una de los valores con respecto a la medida de tendencia central aplicada.
&n el caso de las variables con valores que pueden defnirse en trminos de alguna escala de medida de igual intervalo# puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado de dispersi*n o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio.
5 estos indicadores les llamamos medidas de dispersi*n# por cuanto que est0n reeridos a la variabilidad que ex,iben los valores de las observaciones# ya que si no ,ubiere variabilidad o dispersi*n en los datos inters# entonces no ,abr;a necesidad de la gran mayor;a de las medidas de la estad;stica descriptiva.
Las medidas de tendencia central tienen como ob"etivo el sinteti)ar los datos en un valor representativo# las medidas de dispersi*n nos dicen ,asta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como s;ntesis de la inormaci*n. Las medidas de dispersi*n cuantifcan la separaci*n# la dispersi*n# la variabilidad de los valores de la distribuci*n respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersi*n absolutas# que no son comparables entre dierentes muestras y las relativas que nos permitir0n comparar varias muestras.
L5 D6(!&2(673.
5l igual que sucede con cualquier con"unto de datos# la media# la mediana y la moda s*lo nos revelan una parte de la inormaci*n que necesitamos acerca de las caracter;sticas de los datos. !ara aumentar nuestro entendimiento del patr*n de los datos# debemos medir tambin su dispersi*n# extensi*n o variabilidad.
La dispersi*n es importante porque:
!roporciona inormaci*n adicional que permite "u)gar la confabilidad de la medida de tendencia central. (i los datos se encuentran ampliamente dispersos# la posici*n central es menos representativa de los datos. Ra que existen problemas caracter;sticos para datos ampliamente dispersos# debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersi*n antes de abordar esos problemas. Sui)0 se desee comparar las dispersiones de dierentes muestras. (i no se desea tener una amplia dispersi*n de valores con respecto al centro de distribuci*n o esto presenta riesgos inaceptables# necesitamos tener ,abilidad
de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones m0s grandes.
!ero si ,ay dispersi*n en la mayor;a de los datos# y debemos estar en capacidad de describirla. Ra que la dispersi*n ocurre recuentemente y su grado de variabilidad es importante# Tc*mo medimos la variabilidad de una distribuci*n emp;ricaU. Iamos a considerar s*lo algunas medidas de dispersi*n absolutas: el rango# la varian)a# la desviaci*n est0ndar y el coefciente de variaci*n. ..- &L 253G 2&'226D 2 :
&s la medida de variabilidad m0s 0cil de calcular. !ara datos fnitos o sin agrupar# el rango se defne como la dierencia entre el valor m0s alto ?n * ?max. y el mas ba"o ? * ?min en un con"unto de datos.
2ango para datos no agrupadosP
2 C ?m0x.-?m;n C ?n-?
&"emplo:
(e tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 6er a+o# a saber: N#J1# JM#1 y JF.# para calcular la media aritmtica promedio de las edades# se tiene que:
2 C ?n-? C 1-N C E a+os
'on datos agrupados no se saben los valores m0ximos y m;nimos. (i no ,ay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los l;mites de clases. (e aproxima el rango tomando el limite superior de la
