ECUACIONES EMPÍRICAS 1. OBJETI OBJETIVO VO:: 1.1. Determinar una ecuación ecuación empírica para para el péndulo simple simple que relacione el el periodo (t) y la masa(m). 1.2. Determinar una una ecuación ecuación empírica para para el péndulo péndulo simple simple que relacione relacione el periodo (t) y la longitud. 2. FUNDAMEN FUNDAMENTO TO TEORICO: TEORICO: METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS Uno de los tipos más comunes e interesantes de experimento involucra la medi medició ción n de vario varioss valor valores es de dos dos dife difere rent ntes es variab variable less físi físicas cas a fin fines es de inve invest stig igar ar la relac relació ión n mat matem emáti ática ca entr entree las dos dos variab variable les. s. Ud. Ud. mismo mismo ha realizado experimentos de esta clase en este curso. Sin embargo, en dichos experimentos el ajuste de los datos a una función propuesta, tal como una línea rect recta, a, fue fue real realiza izada da en form formaa cualitativa, cualitativa, es deci decir, r, a ojo. ojo. Exis Existe ten n form formas as cuantitativas de encontrar el valor de los parámetros que mejor representan a un conj conjun unto to de dato datos, s, y es prec precis isame ament ntee este este tema tema el que que trat tratare aremo moss en esta esta Secció Sección. n. Le recome recomenda ndamos mos nuevame nuevamente nte que, que, además además del breve breve desarro desarrollo llo incluído en este apunte, consulte la bibliografía recomendada por la Cátedra. Probablemente, los experimentos más comunes del tipo descrito más arriba son aquellos para los cuales la relación esperada entre las variables es lineal. lineal. Por ejemplo, si creemos que un cuerpo está cayendo con aceleración constante g, g, entonces su velocidad v debería ser una función lineal del tiempo t, v = v0 + gt gt.. En forma más general, consideraremos un par cualquiera de variables físicas x e y de las cuales sospechemos que están relacionadas por una relación lineal de la forma
y = A + Bx Bx,,
donde A donde A y B son constantes. Si las dos variables y y x están relacionadas de esta manera, entonces un gráfico de y versus x debiera resultar en una línea recta de pendiente B, que intersecta al eje y en y = A. A. Si medimos N diferentes N diferentes valores de x y los correspondientes valores de y, y si nuestras mediciones no están sujetas a incerteza alguna, entonces cada uno de los puntos ( xi, yi) caería exactamente sobre la línea y = A + Bx Bx.. En la práctica, existen incertezas, y lo mejor que podemos esperar es que la distancia entre cada punto y la recta sea razonable comparada con las incertezas, tal como en el caso de la siguiente figura:
Las inevitables incertezas experimentales se muestran a través de las barras de error, y sólo podemos esperar que los puntos estén razonablemente cerca de la recta. En este caso, sólo la variable y está sujeta a incertezas apreciables.
Cuando realizamos una serie de mediciones de este tipo, podemos hacernos dos preg pregun unta tas. s. En prime primerr lugar, lugar, si tomam tomamos os por por gara garant ntid ido o que que y y x están relacionadas linealmente, entonces el problema es encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a las mediciones, es decir, las mejores estimaciones para los valores de A y B. Este problema puede tratarse gráfica o analíticamente. El método analítico de encontrar la mejor recta que se ajusta a una serie de datos experimentales es llamado regresión lineal, lineal , o ajuste de mínimos cuadrados para cuadrados para una recta. recta. La segunda pregunta que surge es si los valores medidos realmente llenan nuestras expectativas acerca de la linealidad entre y y x. Para contestar a esta pregunta, deberíamos primero encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos, y además encontrar alguna forma de medir qué tan bien esta línea se ajusta a los datos. Si conocemos las incertezas asociadas a los datos, como en el caso de la figura 5, podemos evaluar el ajuste visualmente. Si no tenemos una estimación confiable de las incertezas, entonces tenemos que analizar la bondad del ajuste examinando examinando la distribución distribución de los puntos mismos. Este problema, relacionado relacionado con los conceptos de covarianza y correlación, correlación, no será tratado en esta Sección.
Vayamos a la cuestión de encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a un conj conjun unto to de punt puntos os ( x1, y1),.. ),..., ., (xN , yN ). Para Para simpli simplifica ficarr nuestr nuestraa discus discusión ión,, supondremos que sólo las incertezas de la variable y son apreciables. Esta suposición suposición es frecuenteme frecuentemente nte muy razonable, razonable, porque es común el caso en que las las ince incert rtez ezas as en una una vari variab able le son son much muchos os má máss gran grande dess que que en la otra otra.. Supondremos además que todas las incertezas en y tiene la misma magnitud. (Est (Estaa supo suposi sici ción ón es tamb tambié ién n razo razona nabl blee en much muchos os expe experi rime ment ntos os.. Si las las incertezas fueran diferentes, existen formas de generalizar el análisis dándole un peso adecuado a las distintas mediciones). Si conoci conociéram éramos os las consta constante ntess A y B, ento entonc nces es,, para para cualq cualquie uierr valor valor xi podríamos calcular el verdadero valor yi que le corresponde:
(verdadero valor de yi) = A = A + B xi.
La desviación de esta magnitud respecto al valor medido se puede escribir entonces como:
A + B xi). δyi = yi – ( A
Intuitivamente, vemos que un criterio razonable para elegir la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales es elegir aquella que minimice la suma de los cuadrados cuadrados de las desviaciones desviaciones individuales individuales d yi. Esto significa que el valor de los parámetros A parámetros A y B estará dado por las siguientes dos condiciones:
(∂/∂ A)[ A)[Σ(δyi)2] = -2 Σ (yi - A - B xi)2 = 0 (∂/∂B)[Σ(δyi)2] = -2 Σxi (yi - A - B xi)2 = 0.
La reso resolu lució ción n simu simult ltán ánea ea de esta estass ecua ecuaci cion ones es resu result ltaa en las expr expres esio ione ness siguientes (demuéstrelo!):
A = ( Σxi2 Σyi - Σxi Σxi yi )/∆ ,
B = ( N Σxi yi - Σxi Σyi )/∆ ,
donde ∆ = N Σxi2 - (Σxi )2 .
Como vemos, la aplicación del criterio de minimización de la suma de los cuadrados de las desviaciones resulta en la obtención de resultados objetivos para los parámetros A y B. Además de que este criterio es intuitivamente razonable, se puede demostrar que si la medición de cada yi está gobernada por una distribución Gaussiana, entonces la mejor estimación de los parámetros A y B es aquella que minimiza la suma Σ(δyi)2.
3. MATERIAL MATERIAL Y EQUIPO:
- Un péndulo simple. - Un jue juego go de pes pesas as ( 50, 50, 100, 100, 200 200,, 500, 500, 550 550 g) g) - Un hil hiloo de susp uspensi ensióón. - Una wincha. - Un tra trannsportador. - Un cr cronometro. 4. PROCEDIM PROCEDIMIENT IENTO: O: 4.1. Monte el equipo equipo como se muestra muestra en la figura 4.2. Manteniendo la la longitud del péndulo péndulo constante constante ( 70 cm. ), y haciendo variar variar la masa pendular, para cada valor de la masa, tome el tiempo de 10 oscilaciones y luego con sus resultados llene la tabla Nº 1.
Masa (g) 50 100 200 500 550
Tiempo de 10 oscilaciones (s) T1 16.46 16.80 16.96 17.02 17.20
T2 16.50 16.75 16.82 17.20 17.30
T3 16.40 16.85 16.98 17.30 17.40
Periodo de oscilación (s) T 1.65 1.68 1.69 1.71 1.73
4.3. manteniendo manteniendo la masa del péndulo péndulo constante(100 constante(100 g), y haciendo variar variar la longitud pendular, para cada valor de la longitud, tome el tiempo de 10 oscilaciones y luego con sus resultados llene la tabla Nº 2.
Tiempo de 10 oscilaciones (s)
Longitud (cm) 20 40 60 80 100 120 5. CUESTION CUESTIONARIO: ARIO:
T1 9.40 13.00 15.80 18.00 20.40 22.30
T2 9.40 12.94 15.70 18.03 20.18 22.15
T3 9.42 13.20 15.59 18.02 20.60 22.40
Periodo de oscilación (s) T 0.94 1.30 1.56 1.80 2.03 2.23
5.1. Graficar los valores valores de la tabla Nº 01: T vs M, en un papel milimetrado. milimetrado. Deduzca la ecuación de la relación.
T vs M
1,74 1,72 1,7 T
1,68 1,66
t
1,64 1,62 1,6 1
2
3
4
M
Deducimos que es una función lineal. Donde: Y = A + BX Por el método de los mínimos cuadrados hallaremos A y B. Donde: A = (∑Xi2 ∑Yi - ∑Xi B = ( N∑ Xi Yi DONDE : Entonces:
∅=
∑ Xi Yi )/ ∅
∑Xi ∑Yi ) / ∅
N∑Xi2 – (∑Xi )2
5
A=
(605000 )(8.45) − (1400)(2394.5) 5(605000) − (1400) 2
A=
5112250 − 3352300 3025000 − 1960000
A=
1759950 1065000
( gr 2. s )/ gr 2
seg.
= 1.65 seg.
B=
5(2394.5) − (1400)(8.45) 1065000
B=
11972.5 − 11830 142.5 = = 1.33 1065000 1065000
Entonces la ecuación será:
×
10-4 seg./gr
Y = 1.65 + 1.33 × 10- 4X
5.2. Graficar los los valores valores de la tabla tabla Nº2: T vs. L en un papel milimetrado. milimetrado. Deduzca la ecuación de la relación.
T VS. L 2,5 2 O P 1,5 M E I 1 T
0,5 0
20
1
420
630
804
LONGITUD
Deducimos que es una función exponencial. Y = CXD Aplicando a ambos miembros logaritmo: Ln Y = Ln CX D Ln Y = Ln C + Ln X D
1500
1260
Ln Y = Ln C + D Ln X Y’ = C’ + DX
Observamos que es una función lineal, entonces hallamos C ’ Y D por el método de los mínimos cuadrados. OBSERVACIÓN: Este caso X y Y estarán afectadas por el logaritmo. → C’ = (∑Xi2 ∑Yi - ∑Xi ∑ Xi Yi )/ ∅ D = ( N∑ Xi Yi - ∑Xi ∑Yi ) / ∅ DONDE :
∅=
N∑Xi2 – (∑Xi )2
ENTONCES: C’ = C’=
(102.67)(2.74) − (24.55)(12.27) 6(102.62) − (24.55) 2 − 19.91 281.31 − 301.22 = = 616.02 − 602.70 13.31 ⇒
-1.49
AntiLn(- 1.49) = C C= 0.22
D=
6(12.27) − (24.55)(2.74) 6(102.67) − (24.55) 2
D=
73.62 − 67.26 6.36 = = 0.48 13.31 13.31
Entonces la ecuación sera :
Y = 0.22X 0.48
5.3. Graficar : logT vs. vs. logL en un un papel milimetrado. milimetrado. Usando el método método de mínimos cuadrados determinar las constantes de la ecuación que relaciona los parámetros ( longitud y periodo de oscilación) y determine la ecuación final.
T
Log T
L
Log L
0,94
-0,026
20
1,3
1,3
0,11
40
1,6
1,56
0,19
60
1,77
1,8
0,25
80
1,9
2,03
0,3
100
2
2,23
0,34
120
2,07
Log T vs log L 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 0
0,5
1
1,5
Observamos que es una función lineal: Y = A + BX Por el método de los mínimos cuadrados hallaremos A y B. Donde: A = (∑Xi2 ∑Yi - ∑Xi B = ( N∑ Xi Yi DONDE :
∅=
∑ Xi Yi )/ ∅
∑Xi ∑Yi ) / ∅
N∑Xi2 – (∑Xi )2
ENTONCES: A=
(19.36)(1.19) − (10.66)(2.31) 6(19.36) − (10.66) 2
A=
23.03 − 24.62 − 1.59 = = -0.63 116.16 − 113.63 2.52
6(2.31) − (10.66)(1.19) B= 6(19.36) − (10.66) 2 B=
1.17 = 0.47 2.57
2
2,5
5.4. Según sus resultados resultados obtenidos, estime el valor valor de la aceleración de la gravedad en la cuidad de Cajamarca. Hallaremos la gravedad de Cajamarca con la formula del periodo ya demostrada en los libros universitarios. La cual es: T=2 Π
L g
Despejando “g” g=
4 Π 2L 2
T
……… ( 1)
TOMANDO LOS VALORES VALORES DE LA TABLA TABLA Nº 2 L:80cm = 0.8 m T: 1.80 seg. Reemplazando en la ecuación 1 4( 3.1415)2 (0.8) g= (1.8)2 g=
31.5827 3.24
g = 9.747
m/s2 m/s2
m/s2
6. CONCLUSI CONCLUSIONES ONES • • • • •
El periodo es independiente a la masa del péndulo. El periodo es dependiente de la longitud de la cuerda del péndulo. Según los cálculos obtenidos la gravedad en la cuidad de Cajamarca es aproximadamente aproximadamente 9.75 m/ s 2 La ecuación empírica empír ica que relaciona re laciona el periodo y la masa del péndulo es: 4 Y = 1.65 + 1.33 × 10 X La ecuación empírica que relaciona re laciona el periodo y la longitud del péndulo es: Y = 0.22X 0.48
7. SUGER SUGERENC ENCIAS IAS • La longitud del hilo no debe ser demasiado pequeño pues nos dificulta medir las oscilaciones del péndulo. • No se debe tomar un ángulo de referencia muy pequeño, pues nos dificulta medir la oscilación.
8. BIBLIOGRA BIBLIOGRAFIA FIA • FÍSICA TEORÍA Y PROBLEMAS, Walter Pérez Terrel. • fisica
