ECUACIONES PARAMÉTRICAS, CURVAS PLANAS Y GRAFICAS POLARES. Suponga que una partícula se mueve en un plano de modo que las coordenadas (x, y), de su posición en cualquier tiempo t. están dadas por las ecuaciones:
x = f (t ); y
= g (t )
Entonces, para cada número t del dominio común de f y g la partícula se encuentra en el punto
( f (t ), ), g (t )) ))
y estos puntos describen una curva plana C recorrida por la
partícula. Las ecuaciones dadas se denominan ecuaciones paramétricas de C y la variable t se llama parámetro. Si se elimina el parámetro t del par de ecuaciones dadas, se obtiene una ecuación en
( x, y ) , denominada ecuación
cartesiana de C. La eliminación del parámetro puede
conducir a una ecuación cartesiana cuya gráfica contiene más puntos que la gráfica definida por las ecuaciones paramétricas.
Ejemplo: Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica de las ecuaciones paramétricas
x = 2 cos(t ); ); y = 2sen (t ); );[ 0, 2π ]
= 4 cos 2 (t ); y 2 = 4 sen2 (t ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y = 4 cos (t ) + 4 sen (t ) ⇒ x + y = 4(cos (t ) + sen (t )) ⇒ x + y = 4 x
2
La gráfica de esta ecuación es una circunferencia con centro en el origen y radio 2.
0, 2π ] , se Nota: Si se permite que t tome todos los valores del intervalo cerrado [ 0,2
Sin embargo es posible describir la posición de un punto de la circunferencia de otra manera muy natural. Dado un punto cualquiera sobre la circunferencia, se traza el segmento que lo une al centro de la misma. Se tiene que este segmento forma con el eje de abscisas un ángulo que mide t radianes y las coordenadas del punto son
(r cos(t ), ), rs ) ) . rsen(t ))
Obviamente si se hace variar t en el intervalo [0, 2π ] se obtienen
todos los puntos de la circunferencia. Las ecuaciones paramétricas de la circunferencia son, por tanto x(t ) = r cos(t ); y(t)
= rsen(t) donde t ∈[0, 2π ]
RECTA La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (a, b) y tiene dirección x = a + v1t ; y = b + v2t donde :t ∈ R , por tanto la ecuación de la recta V = v1 , v2 es que pasa por los puntos (a, b) y (c, d) es x = a + (c − a )t; y
= b + (d − b)t
donde : t ∈ R
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN UN PUNTO CUALQUIERA Y RADIO R La ecuación paramétrica de la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r se obtiene
desplazando
la
circunferencia
x(t ) = a + r cos(t ); y (t ) = b + rsen (t ) donde t ∈ [0, 2π ]
ELIPSE
con
centro
en
el
origen
Unos instantes después la circunferencia ha avanzado estando apoyada sobre el punto D de la recta (ver figura).
Si el punto que se considera se encuentra en A, la distancia recorrida por la circunferencia, que es el segmento OD tiene la misma longitud que el arco de la circunferencia AD . La longitud de dicho arco se puede parametrizar fácilmente en
función del ángulo t que forman el radio que une el centro de la circunferencia con el punto que describe la cicloide con el radio que va a la recta.
La longitud del arco es
rt . Sea B el punto sobre el radio que une el centro de la
circunferencia C con D que está a la misma altura que A. Entonces la distancia de A a B es rsen(t ) y la distancia de C a B es r cos(t ) . La coordenada x del punto A es la longitud OD menos la longitud AB , ambas
Suponga que una curva lisa C está definida paramétricamente por x = f (t ); y
= g (t )
dy Entonces la derivada de cada función h, denotada por:
dy dx
=
dt ; donde : dx ≠ 0 dx dt dt
Esta ecuación expresa la derivada de y con respecto a x en términos del parámetro t para toda función diferenciable h, tal que y = h(x). 2
Como:
d y dx
2
=
d
(
dy
dx dx
)⇒
2
d y dx
2
=
d ( y′) dx
⇒
d ( y′)
2
d y dx
2
=
dt dx dt
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE La pendiente de la recta tangente en un punto de la curva C definida por las
dy ecuaciones paramétricas x = f (t ); y
= g (t )
es:
dy dx
=
dt dx dt
RECTA TANGENTE HORIZONTAL La gráfica tiene una recta tangente horizontal en un punto donde
RECTA TANGENTE VERTICAL
dy dt
=0
y
dx dt
≠0
2. x = 4 cos t , y = 4sen t ; t ∈ [ 0, π ] x = 4 cos t, y = 4 sin t, t ∈ [ 0π ]
→
x
2
+ y 2 = 16 cos 2 t + 16 sin 2 t = 16, y ≥ 0
1 1 3. x = 4 cos t , y = 4 s e n t, t ∈ ⎡⎢ − π , π ⎤⎥ ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ → x 2 + y 2 = 16 cos2 t + 16 sin 2 t = 16, x ≥ 0 x = 4 cos t , y = 4 sin t , t ∈ ⎢ − π , π ⎥ ⎣ 2 2 ⎦
5. x = 4 cos t , y = 25sen t , t ∈ [ 0, 2π ] x = 4 cos t , y = 25sin t , t ∈ [ 0, 2π ]
→
⎡ 1 1 ⎤ 6. x = 4 cos t , y = 25 sen t, t ∈ ⎢ − π , π ⎥ ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ x = 4 cos t , y = 25sin t , t ∈ ⎢ − π , π ⎥ ⎣ 2 2 ⎦
x = 4 tan t , y = 9 sec t , t ∈ [0
→
x
2
4
2
+
y
2
25
3 1 π ) ∪ [π , π ) 2 2
= cos 2 t + sin 2 t = 1, =≥ 0
1 3 π ) ∪ [π , π ) 2 2 1 3 x = 4 tan t , y = 9 sec t , t ∈ [ 0 π ) ∪ [π , π ) 2 2 8. x = 4 tan t , y = 9 sec t , t ∈ [0
9. x = 3 − 2t, y = 4 + 1 x = 3 − 2t , y = 4 + t
→
x + 2y
→
y
2
9
2
+
x
2
4
2
= ( 3 − 2t ) + ( 8 + 2t ) = 11
= sec 2 t − tan 2 t = 1, x > 0
12. x = 1 − t 2 , y = 1 + t dy dx dt
= −2t ;
dy dt
=1⇒
dx dt
=
dt dx
=−
1 2t
dt
1 −2 t d ( y ') 3 −2 1 dy d y 2 y ' = ⇒ = t ⇒ 2 = =− 3 2 4x dx dt dx −2t 2
13. x = t 2 et , y = t ln t dy dy dx
=
dt dx
=
ln t + 1 t te ( 2 + t )
dt dy′
2
d y dx
e
2
=
dt dx
=
t
( 2 + t ) − ( ln t + 1) ⎡⎣et ( 2 + t ) + tet ( 2 + t ) + tet ⎤⎦ 2 2 t 2 ( 2 + t ) − ( ln t + 1) ( t 2 + 4t + 2 ) t e (2 + t ) = 3 tet ( 2 + t ) t 3e2 t ( 2 + t )
dt
14. x = e 2t , y = 1 + co cos t dy dy dx
=
dt dx dt
=
− sent 1 −2t = − e sent 2e2t 2
En los ejercicios 17 a 21, para las graficas de las ecuaciones paramétricas (a) obtenga las rectas tangentes horizontales y verticales y (b) determine la concavidad (c) dibuje la gráfica.
17. x = 4t 2 − 4t , y = 1 − 4t 2 dx dt dx
4; = 8t − 4;
dy
= − 8t .
dt
1 = 0 ⇒ 8t − 4 = 0 ⇒ t = , 2 dt
sustituir eesse valor een n:
ahora sustituir enlaec nlaecu uación: x dy dt
dy dt
⇒
dy dt
= −4 ≠ 0
= 4t 2 − 4t x = −1x = −1 Ec.dela ela rectatg . vertical
= 0 ⇒ − 8t = 0 ⇒ t = 0, sustituir es ese va valor en en :
dx dt
⇒
dx dt
= −4 ≠ 0
la recta tg t g . horizontal = 1 − 4t 2 ⇒ y = −1 Ec. de la 32 dy 2 2 2 8 4 t − ( ) 8 1 dy d y d y − dt = = ⇒ 2 = ⇒ 2 = 3 8t − 4 dx dx 8t − 4 dx dx 1⎞ ⎛ 16 ⎜ t − ⎟ dt ⎝ 2⎠ 1 1 La gráfica es concava hacia arriba cuando t < y hacia abajo cuando t > 2 2 ahora ahora sustit sustit uir en la la ec e cuación: y
19. x = 2t 3 , y = 4t 2 x = 2t
3
, y = 4t 2 ( semicúbica parábola ) ⇒
dx dt
= 6t 2 ;
dy
= 8t
dt
dy dy dx
=
dt dx
=
8t 4 dy recta tg ve vertical = ⇒ si = 0 ⇒ t = 0⇒ x = 0 Ec. de la re 2 6t 3t dx
dt
−4 2 d y 3t 2 d2y ; la gráfica gráfica es siempr siempree concav concava a hacia hacia abajo abajo = ⇒ = = − 2 2 6t 2 9t 4 dt dt 2
20 x = 2t 2 y = 3t 3
3t 3t 2 21. x = 3 , y = 3 ; t ≠ −1 1+ t 1+ t 3 3 3t 3t2 dx 3(1− 2t ) dy 3t ( 2 − t ) , y = 3 ; t ≠ −1⇒ = x = = 2 , 2 1+ t3 1+ t dt (1+ t3 ) dt (1+ t 3 )
3t ( 2 − t 3 ) 3t 2 dx 3 0 0 ; 2 0 3 0 : 0 t t C u a n d o t s u s t e n y y =0⇒ = ⇒ = = = ⇒ = ≠ = ⇒ = 3 3 2 1 dt d t t + (1+ t )
dy
9 3t 2 cuando t = 2 ⇒ = − ≠ 0 sust een n: y = sonlas re rectas tg. horizontales ⇒ y = 3 22 estas so 3 25 1+ t dt 3(1− 2t 3 ) dx 3 2 1 dy 3 2 3t t s u s t e n x x =0 ⇒ = ⇒ = ⇒ = ≠ = ⇒ = 0 2 0 , : 2 ec. r e ctatg. vertical 3 3 3 2 dt d t t + 1 2 (1+ t ) dx
3
Como : t → ± ∞, x →0, y →0 y también dy dy
= dt = dx dx dt
t
( 2 −t 3 ) ± ∞
suna rec rectatg.vert vertic ica al si anexamos alacurv alacurvael ael pun punto(0, 0) . ⇒ x = 0 esuna
1− 2t 3
2
2 ( t 3 +1)
2
2
2
4
3 3 2 2 ( t 3 + 1) d y 2 ( t + 1) (1 + t ) d y = = ⇒ 2 =− 2⇒ 2 . 2 3 3 3 dt d x − 3 1 2 t ) dx 3( 2t 3 −1)3 ( 2t −1) ( 2t −1) (
d ( y ')
2(
3
2
1)
4
22. Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posición en cualquier instante t están dadas por las ecuaciones paramétricas x = 60t y y = 80t − 16t 2 . Dibuje la trayectoria de proyectil.
23. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por las ecuaciones paramétricas x = 2 sen t y y = 5 cos t , para el cual t = dy x = 2 sin t y y = 5
cos t ( elipse ) :
dy dx
=
dt dx
=
−5sen t 5 = − tan t 2 cos t 2
dt
1 5 dy 5 ⎛ π ⎞ = − 3 ⇒ la recta tg . es : π ⇒ x = 2 sen ⎜ ⎟ = 3 , y = , 3 2 dx 2 ⎝3⎠ 5 5 y − = − 3 ( x − 3 ) ⇒ 2 y − 5 = − 5 3x + 15 ⇒ 5 3x + 2 y = 20 2 2 si : t
=
1 π . 3
2
dy d y
3
d y
. 2 y en el punto de la cicloide que tiene ecuaciones 3 dx dx dx cos t ) para el cual y alcanza su valor máximo cuando x esta en x = a(t − sent ); y = a (1 − co
25. calcule
0, 2π a ] el intervalo cerrado [ 0,2 dy si x ∈ [ 0, 2π a ] ⇒ t ∈
[ 0, 2π ];
dy dx
=
dt dx
=
sent
1 − cost 2
dt
1 2 1 d y d y 1 − cos t dt = = ⇒ = 2. 2 2 dx dx a (1 − cos t ) dx a (1 − cos t ) 2
dy′
dt
2 sent 2 3 1 − c o s a t ( ) 2 sent d y dt = = = 3 3 dx dx a (1 − cos t ) a 2 (1 − cos t ) dy ′′
dt
1 d2y = 0. = 0; 2 = − ; y tiene su máximo valor cuando: cos t = −1 ⇒ t = π ⇒ 4a dx dx dx dy
d2y
26. Demuestre que la pendiente de la recta tangente a la cicloide que tiene ecuaciones x = a(t − sent ); y
= a (1 − co cos t ) 1
de la circunferencia fija, A(a, 0) es uno de los puntos en los que el punto P hace contacto con la circunferencia fija, B es el punto móvil de tangencia de las dos circunferencia, y el parámetro t es el numero de radianes del ángulo AOB, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide son,
x = ( a − b) cos t + b cos
a −b b
t ; y = ( a − b ) sen sen t − b sen sen
a −b b
t
De Debido ido a que la medida ida de lalo la lon ngitu itud de AB es igu igual a la medida ida de lon longitu itud BP a a −b se ti tiene qu que: at = bθ ⇒θ = t θ − t = t, por ot otra pa parte: OQ = a− b. b b Da Dado P = ( x, y). vemosen sen la fig figuraqu aque: x = OS + RP
⇒ x = ( a−b) cos t + b cos(θ − t)⇒ x= ( a− b) cos t+ b cos
a −b b
t
a −b y = SQ − QR ⇒ y= ( a−b) sent −bs bsen(θ −t ) ⇒ y = ( a− b) sent − bs bsen t b
29. Trace en la gráfica la hipocicloide del ejercicio 28 si
(a) a = 6
y b = 2 ; t ∈ [ −π , π ] ; ( b ) a = 12 y b = 2 ; t ∈ [ −π , π ]
30.) Si a = 4b en el ejercicio 32, se tiene una hipocicloide de cuatro cúspides. (a) Demuestre que las ecuaciones paramétricas de esta curva son x = a cos3 t y y = a sen3 t . Trace en la gráfica la hipocicloide de cuatro cúspides si ( b ) a = 4 para t ∈[ −π , π ] Si a = 4b ⇒ x = b ( 3 cos t + cos 3t ) = b ⎡3 cos t +
( 4 cos 3 t − 3 cos t )⎤⎦ = 4b cos3 t = a cos3 t 3 3 3 y = b ( 3 sent − sen3t ) =b ⎡3sent − ( 3 sent − 4sen t ) ⎤ = 4bsen t = a sen t , t ∈ [ −π , π ] ⎣ ⎦ ⎣
31) (a) A partir de las ecuaciones paramétricas del ejercicio 30, obtenga una ecuación cartesiana de la hipocicloide de cuatro cúspides. (b) Utilizando la ecuación del inicio (a) para dibujar la grafica de esta hipocicloide. 3 cos3 t and y = a se sen t ⇒
las ec ecuaciones son : x = a x
2
3
2
2
+ y 3 = a 3 cos 2 t + a
2
3 sen2 t
La ecuaciónbuscada ecuación buscada es : x
2
3
=a 2
2
3
+ y 3 =a
2
( sen2t + cos2 t ) = a 3 2
3
