Conjunto de partida y conjunto llegada A modo de recapitulación, podemos definir definir función de la siguiente manera: Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para todo elemento que pertenece al conjunto A existe un solo elemento, y solo uno, que pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde. Para simoli!ar que se "a estalecido una función f , de un conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación: f:A→B Criterio de la función
#n un sentido astracto, calcular una función consiste en examinar la correspondencia general de “y” con respecto a “x”, expresado en la fórmula astracta: y = f(x)
#sta fórmula estalece que la magnitud $y% est&, de modo general, en función de $x%. 'jo, que la magnitud $y% corresponde a lo que luego llamaremos $imagen%, y que depende del valor que se le asigne a $x% (que ser& la $preimagen%) en f(x). *a notación y = f (x) se lee $y% es una función de $x% o $y% es igual a f de x (esta notación no significa f por (x)). 'viamente en lugar de $x% e $y% "ui+semos podido emplear $variale%, y escriirlo así: Variable Vari able dependiente = f (variable independiente)
!e"plo #
i A - /, 0, 12 y B - 0, 3, 42 y s u correspondencia es el dole.
ntonces f(x) = $x
#n efecto f(/) - 0 5 / - 0 f(0) - 0 5 0 - 3 f(1) - 0 5 1 - 4 6enemos
7ominio - /, 0, 12 8odominio - 0, 3, 42 9mito (rango o recorrido) - 0, 3, 42 !e"plo $
i A - /, 1, 2 y B - 1, , ;, <, //2 y su correspondencia es el dole m&s uno.
ntonces f(x) = $x % #
#n efecto: f(/) - 0 5 / = / - 1 f(1) - 0 5 1 = / - ; f() - 0 5 = / - // 6enemos 7ominio - /, 1, 2 8odominio - 1, , ;, <, //2 9mito (rango o recorrido) - 1, ;, //2 Conceptos b&sicos de la función
7ada una función f : A → B (es lo mismo que f : ' → ) se define: > #l conjunto A se llama conjunto de partida o do"inio , se puede representar como f 7. > Al conjunto B se llama conjunto de llegada o codo"inio . > e llaman prei"&enes a los elementos del conjunto de partida o dominio. > e llaman i"&enes a los elementos del conjunto de llegada o codominio que est&n asociados a una preimagen, mediante el criterio de la función. > e llama rano (recorrido o &"bito) de una función al conjunto formado por las im&genes. #ste conjunto es un suconjunto del codominio, se puede representar como f ? ó f A, respectivamente. Para ilustrar los conceptos anteriores usaremos lo que se denomina 7iagramas de @enn#uler.
!e"plo *
Anali!ar el siguiente diagrama que representa una función y determinar el dominio, codominio y el &mito (rango o recorrido).
6enemos 7ominio (7f) - /, 0, 1, 32 8odominio - /, 3, <, /4, 02 9mito (Af) - /, 3, <, /42 !e"plo +
Anali!ar el siguiente diagrama que representa una función y determinar el dominio, codominio y el &mito.
6enemos 7ominio (7f) - /,0 1, 32 8odominio - /, 0, 1, 32 9mito (Af) - /, 0, 1, 32
?ecuerde que los elementos del dominio se llaman preim&genes y los elementos del &mito (rango o recorrido) se llaman im&genes. 7eido a que es posile que el codominio y el &mito est+n compuestos por el mismo conjunto de elementos, suele pensarse que codominio y &mito es lo mismo, el concepto y los ejemplos anteriores nos permiten darnos cuenta que pensar así es un error. C&lculo de la i"aen
7eemos recordar que el conjunto de partida esta formado por las prei"&enes y, se llama do"inio , las prei"&enes son los valores ,ue to"a la variable independiente. !e"plo -
Un carpintero gasta C1D por c ada silla que "aga m&s un monto fijo de C0.DDD por día Ecu&nto gastar& si "ace 0 sillas por díaF E8u&nto gastar& si "ace 3, 4 u G sillas por díaF Para este ejemplo, x representa cada silla y f(x) el costo de faricarla, lo cual significa que el costo es igual a multiplicar 1D por cada silla y sumarle el gasto fijo. #s decir: f(x) = *-.x % $/...
Por lo que el valor de la variale independiente x para la primera pregunta es 0. Para encontrar la respuesta sustituimos el valor de dic"a variale en el criterio de la función. f(0) - 1D 5 0 = 0.DDD f(0) - ;DD = 0.DDD f(0) - 0.;DD #ntonces si "ace solamente 0 sillas en un día, gastaría C0.;DD en "acerlas. 7e esto podemos decir que 0 es la preimagen de 0.;DD. Adem&s: f(3) - 1D 5 3 = 0.DDD - 1.3DD f(4) - 1D 5 4 = 0.DDD - 3./DD f(G) - 1D 5 G = 0.DDD - 3.GDD 6enemos, entonces: f7 - 0, 3, 4, G2 8odominio: 0.;DD, 1.3DD, 3./DD, 3.GDD2 !e"plo 0
6enemos f(x)- x0 H 4x =; E8u&l es la imagen de /DF 7ado que nos preguntan por la imagen esto significa que /D es una preimagen por lo que x = #. f(/D) - /D0 4 5 /D = ; f(/D) - /DD 4D = ;
f(/D) - 3; C&lculo de la prei"aen
Para calcular la preimagen de una función, conociendo la imagen y el criterio (el miemro de la derec"a de la ecuación), s e iguala el criterio de la función con la imagen que se tiene. 7espejando la incógnita de la ecuación que se forma se determina el valor de la variale. !e"plo 1
i tenemos f(x)- x 0 H 4 E8u&l es la preimagen de H F 7ado que nos preguntan por la preimagen esto significa que H es una imagen por lo que f(x) - H - x0 H 4 = 4 - x0 / - x0
x=2#
*as preim&genes de H son H/ y /. Para este caso recordemos que en una función una imagen dee tener al menos una preimagen, aunque puede tener m&s de una. !e"plo 3
i tenemos f(x)- 1x = E8u&l es la preimagen de //F 7ado que nos preguntan por la preimagen esto significa que // es una imagen por lo que f(x) - // // - 1x = // - 1x 4 - 1x
0-x *a preimagen de // es 0. !ercicios 4eter"ine o calcule la i"aen en cada caso
/. ea f(x)- x0 H 4x = ; E8u&l es la imagen de ;F 8omo nos preguntan por la imagen de ;, significa que ; es una preimagen.
0. ea f(x)- 1x0 H x =0 E8u&l es la imagen de
/. ea f(x)- x =/0. Mallar la preimagen para cuando: a). f(x) - 0; (es la imagen) ). f(x) -3; (es la imagen) c). f(x) - H 1 (es la imagen)
d). f(x) - H /1 (es la imagen) 0. ea f(x)- 0x 0 = ;. Mallar la preimagen para cuando: a). f(x) - / ). f(x) -/4< c). f(x) - ; d). f(x) - 1< 1. ea f(x)- x 0 = ; E8u&l es la preimagen de ;F f(x) - ; (es la imagen) x es la preimagen
3. ea f(x)- 1x 0 =0 E8u&l es la preimagen de ;;F f(x) - ;; (es la imagen) x es la preimagen
. Un faricante "a determinado que la función de costo de su producto est& determinada por f(x)- 0x1 H /.0D, donde x representa c ada unidad que se farica por d ía. i el gasto de "oy es fue de C G30.DD. E8u&ntas unidades de ese producto faricaronF Lue es lo mismo que preguntar Ecu&l es la preimagen de G30.DDF f(x) - 0x1 /.0D f(x) - G30.DD (es la imagen) x es la preimagen
?esolvemos:
4. Para elaorar pasteles una seIora gasta C 1D por cada pastel que "ace adem&s de C /./D por día en gastos fijos. i saemos que el día de "oy gastó C /4.0DD Ecu&ntos pasteles "ar& elaoradoF #n este caso el criterio de la función de costo es 8(x)- 1Dx=/./D ;. #n una f&rica gastan C /.0; por cada par de !apatos elaorado y tiene un gasto de C /1.DD por día. i en un día gasto C 43.DD Ecu&ntos !apatos "ar& elaoradoF
#n este caso el criterio de la función de costo es J(x)- /.0;x = /1.DD. G. Un carpintero gasta C /.DDD en materiales por cada silla elaorada m&s un gasto fijo de C 0.1DD por día. i el Nltimo día del mes gasto C 1.1DD Ecu&ntas sillas "ar& elaoradoF <. Un viejo ferry que transporta personas de un lado al otro del canal de 8"acao gasta C 0 por persona que transporte y un litro de aceite por día. #l aceite cuesta C /.1G3 el litro. i el gasto de "oy fue de C 1.D< Ecu&ntas personas transportaron "oyF /D. Un modelo de costo para un producto estalece que tiene un costo fijo de C /;.DD y un costo por unidad de C 13G. i es costo total de faricar algunas unidades de ese producto fue de C 00.;0D E8u&ntas unidades se faricaronF P(x)-13Gx = /;.DD
