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FORMAS CUADRICAS
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INTRODUCCION
En Algebra y Geometría Analítica A nalítica existen funciones que permiten representar lugares geométric Las que analizaremos a continuación son las formas cuádricas. 3
Enfocándonos en el espacio R , una cuádrica estaría definida por la siguiente regla correspondencia.
f ( x, y, z) Ax By Cz Dxy Exz Fyz 2
2
2
LAS CUADRICAS Y SU REPRESENTACION MATRICIAL
Sea
T
u ( x, y, z ) R3 y el producto interno (u | v) u Av donde A es una matriz simétrica
orden 3. Entonces aplicando la distribución en un producto interno tendremos:
Lo cual nos indica que una cuádrica siempre tendrá representación matricial en base a producto interno y a una matriz simétrica, donde los coeficientes cuadráticos puros son parte diagonal principal de esta matriz.
Sign up to vote on thisrepresentar title Entonces teniendo en cuenta que las ecuaciones de segundo grado pueden luga useful La gran utilid Usefulde esos Not geométricos, es posible obtener alguna representación matricial lugares. de esta notación es la rotación de los ejes coordenados.
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Para efectuar esta rotación de ejes existe en algebra lineal un método menos laborioso y comple
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que los desarrollados en Geometría Analítica y Cálculo.
El método consiste en emplear la forma matricial de la ecuación cuádrica. Como esta matriz
simétrica, implica que a través de sus valores propios, esta se puede diagonalizar y utilizar u matriz de transición para los términos lineales-
Al diagonalizar la matriz se obtendrá la parte cuádrica sin términos cruzados, o cual implicara q
las rectas trascendentales de la curva son paralelas a alguno de los ejes coordenados, hacien más sencillo el análisis de la curva. CLASIFICACION DE LAS SUPERFICIES CUADRICAS
Una superficie cuádrica puede ser identificada por medio del criterio de inercia o llevando
ecuación cuádrica dada a su forma canónica mediante métodos algebraicos sumamente largo apreciando así que forma tiene (Ecuación de un hiperboloide, elipsoide, paraboloide, etc). Primero entendamos el criterio de la inercia:
Para una matriz simétrica A de orden nxm. La inercia de A, denotada mediante In(A), es una ter ordenada de números.
You're Reading a Preview (pos ,neg , cer)
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Donde pos, neg, cer son los números de valores propios de A, positivos, negativos y cer respectivamente.
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Por ejemplo, para la matriz B se tienen los siguientes valores propios;
2 1 1 1 B 1 2 2 3
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En base a esto se puede efectuar la siguiente clasificación;
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IDENTIFICACION DE LAS SUPERFICIES CUADRICAS
ln(A)=(3,0,0)
ELIPSOIDE
ln(A)=(2,0,1)
PARABOLOIDE ELIPTICO
ln(A)=(2,1,0)
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
ln(A)=(1,2,0)
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
ln(A)=(1,1,1)
PARABOLOIDE HIPERBOLICO
ln(A)=(1,0,2)
CILINDRO PARABOLICO
Ahora, la clasificación también se puede efectuar en base a la forma canónica que puede adopta la ecuación cuádrica y aquí una recopilación de las superficies y sus formas canónicas.
ELIPSOIDE
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Download With Free Trial El caso especial a=b=c es una esfera PARABOLOIDE ELIPTICO Sign up to vote on this title
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Un caso degenerado de una parábola es una recta, de modo
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HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
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Un caso degenerado de una hipérbola es un p de rectas que pasa por el origen; por lo tanto,
caso degenerado de un hiperboloide de una ho es un cono dado por;
You're Reading a Preview HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Unlock full access with a free trial.
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PARABOLOIDE HIPERBOLICO
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Un caso degenerado de una parábola una
recta,
degenerado
de
modo
de
que
un
un
ca
paraboloi
hiperbólico es un cilindro hiperból dado por;
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CILINDRO PARABOLICO
Uno de los números, a o b, no es cero
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A continuación propondremos algunos ejercicios para identificar las superficies cuádric
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correspondientes: Ejemplo 1: Clasifique la superficie cuádrica dada por:
2 x 4 y 4 z 6 yz 5 x 3 y 2 2
2
2
Reescribiendo el polinomio como una forma cuádrica de tres variables y pasándolo a form matricial, obtenemos la siguiente matriz simétrica con los valores propios mostrados:
5 2 2 3 5
2 0 0 A 0 4 3 0 3 4
1
En base a la tabla mostrada anteriormente podemos establecer que se trata de un Hiperboloide una Hoja. Ejemplo 2: Determínese la superficie denotada por la ecuación.
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x 2 6 xy y 2 2 z 2 4 3 x 4 2 y 2 6 z 10 0 Unlock full access with a free trial.
Se obtiene la matriz simétrica A
1 3 A 3 1 0 0
0
2 0
Download With Free Trial Cuyos valores propios son:
1
2
2
2
3
4
Obteniendo los espacios característicos, podemos formar laSign siguiente base (no up to vote onortonormal this title cambiara la superficie estudiada solo su ecuación)
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Después, para el cambio de base del vector de términos lineales se realiza la multiplicación de la
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matriz de transición de la base B a la base Canónica.
Finalmente, la superficie se reescribe como sigue
Que ya en su forma canónica queda como sigue:
You're Reading a Preview de revolución de dos hojas . Con centro en Y por lo tanto se trata de un hiperboloide Unlock full access with a free trial.
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CONCLUSIONES
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En el presente trabajo se realizó un estudio de lo que son las superficies cuádricas. Pa
efectuar estos estudios desde la perspectiva que nos brinda el álgebra lineal requerim
de alguno conceptos previamente adquiridos en el curso de algebra lineal. Uno de los m
importantes y recurridos fue el de diagonalizacion de matrices que a su vez requirió d
manejo de valores y vectores propios, temas abordados en la unidad de Transformacion Lineales. También fue necesario el uso de algunos conceptos abordados en la unidad
Espacios con Producto Interno, tales como la misma definición y propiedades del produc interno y el manejo de bases ortogonales y ortonormales, para efectuar la rotación de ejes coordenados.
En base a la ecuación característica pudimos obtener valores propios a las matric
simétricas que estuvimos estudiando y fueron determinantes para conocer la superfi
cuádrica que era representada por una ecuación de esa forma. Esto se apreció al aplicar
criterio de Inercia. Aunque es efectivo y rápido, este criterio no nos permite determinar manera concreta las propiedades geométricas de la superficie estudiada.
En cambio, al aplicar la rotación de ejes a los aejes coordenados y llevar las ecuacion You're Reading Preview cuádricas a su forma canónica se pudo determinar la forma de la superficie e inclu Unlock full access with a free trial.
3
algunos de los puntos que dicha superficie abarcaba en el espacio tridimensional R
para ello fue necesario el empleo de matrices de cambio de base, procesos Download With Free Trial ortonormalizacion, obtención de espacios característicos y la obtención de conjunt generadores de estos espacios (bases).
Para finalizar, es preciso remarcar que también se requieren conocimientos de Geomet Analítica para poder identificar tales superficies y hacer una correcta interpretación de ecuaciones obtenidas.
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