SUPERFICIES CUADRICAS
Presentado por: Daniel Giovanny López Moncayo Diego Andrés Araque
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA FACULTAD DE INGENIERIAS MEDELLIN-ANTIOQUIA 2015
CALCULO MULTIVARIADO
Presentado por: Daniel Giovanny López Moncayo Diego Andrés Araque
Superficies Cuádricas – Cálculo Multivariado
DOCENTE Carlos Alberto Márquez
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA FACULTAD DE INGENIERIAS MEDELLIN-ANTIOQUIA 2015
Elipsoide:
Como los coeficientes de x 2, y2, z2 son todos positivos entonces la superficie es un ELIPSOIDE con el eje focal el eje z.
Interceptos:
Con el eje x: (2,0,0) y (-2,0,0)
Con el eje y:(0,3,0) y (0,-3,0)
Con el eje z:(0,0,6) y (0,0,-6)
Simetrías:
La superficie es simétrica con los tres planos coordenados, con los tres ejes coordenados y con el origen.
Trazas:
Con el plano xy : Si z=0,entonces
+ = 1 9
.La traza con el plano
xy es una elipse con eje focal el eje y, centro el origen, semieje mayor 3 unidades de longitud y semieje menor 2 unidades de longitud.
Con el plano xz: si y=0, entonces + 6 = 1
.La traza con el plano
xz es una elipse con eje focal el eje z, centro el origen, semieje mayor a 6 unidades de longitud y semieje menor de 2 unidades de longitud.
Con el plano yz: si x=0. + = 1.La traza con el plano yz es una 9 6 elipse con el eje focal el eje z, centro del origen, semieje mayor 6 unidades de longitud y semieje menor 3 unidades de longitud.
Secciones:
Por Planos perpendiculares al eje x
+ = 1.Estas secciones corresponde a
Si x=-1 o x=1, entonces
un par de elipses con centro (-1,0,0) y (1,0,0), eje focal z, semieje mayor igual a
√ 27 y semieje menor igual a unidades de longitud.
Por Planos perpendiculares al eje y
Si y=-2 o y=2, entonces
+ = 1.Estas secciones corresponde a
un par de elipses con centro (0, -2, 0) y (0, 2, 0), eje focal el eje semieje mayor igual a
√ 20 y semieje menor igual a 9 unidades de
longitud.
Por Planos perpendiculares al eje z
Si z=3 o z=-3, entonces
+ = 1. Estas secciones corresponden
a un par de elipses con centro en (0, 0, 3) o (0, 0,-3), eje focal el eje y, semieje mayor igual a de longitud.
y semieje menor igual a √ 3 unidades
Extensiones:
-Cuando x>2 o x<-2, no tenemos un lugar geométrico real. Por lo tanto la extensión de la superficie a lo largo del eje x está limitado al intervalo [-2; 2].
-Cuando y>3 o y<-3, no tenemos un lugar geométrico real. Por lo tanto, la extensión de la superficie a lo largo del eje y está limitada al intervalo [-3; 3].
-Cuando z>6 o z<-6, no tenemos un lugar geométrico real. Por lo tanto la extensión de la superficie a lo largo del eje z está limitado al intervalo [-1; 1].
Gráfica:
Hiperboloide de una hoja:
Interceptos con los ejes coordenados
Con el eje x :(2,0,0) y (-2,0,0)
Con el eje y:(0,3,0) y (0,-3,0)
Con el eje z:No intercepta al eje z
Simetrías
La superficie es simétrica con los tres planos coordenados, con los tres ejes coordenados y con el origen
Trazas
Con el plano xy: Si z=0, entonces
+ = 1.La traza con el plano xy 9
es una elipse con eje focal al eje y, centro el origen, semieje mayor igual a 3, unidades y semieje menor igual a 2 unidades.
Con el plano xz: su y=0, entonces
− = 1.La traza con el plano xz 6
es una hipérbola con el eje focal el eje x, centro en el origen y vértices en (2, 0, 0) y (-2, 0, 0).
Con el plano yz: si x=0, entonces
− = 1.La traza con el plano yz 9 6
es una hipérbola con el eje focal y y centro en el origen y vértices en (0, 3, 0) y (0,-3,0).
Secciones
Al dibujar la gráfica de una superficie cuadrica nos interesa sobremanera conocer las secciones por planos perpendiculares al eje de la superficies;
en este caso, al eje z. Si z=2 o z=-2 entonces
+ = 1
.Estas
corresponden a un par de elipses con centros en (0, 0, 2) y (0, 0, -2),eje focal el eje y, semieje mayor igual a
y semieje menor igual a √ 3 .
Extensión
Para cualquier valor real que tome z siempre encontraremos expresiones reales en términos de x y y: estas expresiones son elipses. Por lo tanto, la superficie se extiende a lo largo de todo el eje z.
Para cualquier valor real que tome y siempre encontraremos expresiones reales en términos de x y z:estas expresiones.
Para cualquier valor real que tome x siempre encontraremos expresiones reales en términos de y y z:estas expresiones son hipérbolas. Por lo tanto, la superficie se extiende a lo largo de todo el eje x.
Gráfica:
Hiperboloide de dos hojas:
Interceptos con los ejes coordenados:
Con el eje x: No intercepta al eje x
Con el eje y:No intercepta con el eje y
Con el eje z:(0,0,4) y (0,0,-4)
Simetrías:
Esta superficie es simétrica con los tres planos coordenados, con los tres ejes coordenados y con el origen.
Trazas:
Con el plano xy: z=0. Entonces
+ = −1 9
Lo cual no corresponde
a ningún lugar geométrico.
Con los planos xz y yz son, respectivamente las hipérbolas:
−1 y 9 − 6 = −1.
− = 6
Secciones:
Nos
interesa
especialmente
analizar
las
secciones
por
planos
perpendiculares al eje de superficie, es decir al eje z. Podemos comprobar que cuando z toma valores en el intervalo(-4,4),la ecuación resultante es una elipse; además, (0,0,4) y(0,0,-4) son los interceptos con el eje z. Si z>4 o y<-4 obtenemos elipses; por ejemplo si z=5 o z=-5 tenemos las elipses:
− = −1,
z=-5
− = −1, z=5
Estas elipses tienen su centro en (0,0,-5) y (0,0,5) respectivamente. Su semieje mayor mide
696 unidades de longitud y su semieje menor mide
unidades de longitud
Extensión:
La variable x puede tomar cualquier valor real
La variable y puede tomar cualquier valor real
La variable z puede tomar valores mayores o iguales a 4 o menores iguales a 4
Gráfica:
Cono Elíptico:
Ya que los coeficientes de x 2 y
y2 son positivos y el de z 2 es negativo,
entonces el eje del cono es el eje z.
Interceptos:
Si y=z=0 entonces
=0
y x= 0 Luego la superficie corta el eje x en el
=0 9
y y=0 Luego la superficie corta el eje y en el
origen P (0, 0, 0)
Si x=z=0 entonces origen P (0, 0, 0)
Si x=y=0 entonces
− 6 =0 y z= 0 Luego la superficie corta el eje z en el
origen P (0, 0, 0)
Simetrías:
La superficie es simétrica con los tres planos coordenados con los tres ejes coordenados y con el origen.
Trazas:
Con el plano xy: si z=0, Con el plano xz: si y=0,
+ = 0 9 − = 0 6
luego la traza es (0,0,0) luego la traza con el plano xz son el
par de rectas x=z/2 o x=-z/2. (ambas pasan por el origen)
Con el plano yz: si y=0,
− = 0 luego la traza con el plano yz son el 9 6
par de rectas y/3=z/8 o y/3=-z/8. (ambas pasan por el origen)
Secciones:
Analizamos las secciones por plano perpendiculares al eje de la superficie; es decir al eje z. Si hacemos z=2 o z=-2 nos queda la ecuación
+ = 9
. Por lo
tanto, estas secciones son elipses:
+ = , z=2 9
y
+ = , z=-2. 9
Extensión:
Las variables x, y y z pueden tomar cualquier valor real; por lo tanto, la superficie se extiende sin ninguna limitación a lo largo de todos los ejes coordenados.
Gráfica:
Paraboloide Elíptico:
Interceptos:
Si y=z=0 entonces
=0
y x= 0 Luego la superficie corta el eje x en el
=0 9
y y=0 Luego la superficie corta el eje y en el
origen P (0, 0, 0)
Si x=z=0 entonces origen P (0, 0, 0)
Si x=y=0 la superficie corta el eje z en el origen P (0, 0, 0)
El único intercepto con los ejes en (0, 0, 0)
Simetrías:
La superficie es simétrica con respecto al eje y, al plano xy y al plano yz.
Trazas:
Con el plano xy: si z=0,
+ = 0 9
Con el plano xz: es el punto (0,0,0)
Con el plano yz: si x=0,
= 9
origen y su eje focal es el eje y.
luego la traza es (0,0,0)
luego esta parábola tiene su vértice en el
Secciones:
Nos interesan las secciones por planos perpendiculares al eje z(eje de la superficie). Si z=4, nos queda la ecuación
+ = 4.Esta 9
ecuación
corresponde a una elipse .
Extensión:
Notemos que z no puede tomar valores negativos. Por lo tanto la gráfica de la superficie está ubicada, a partir del origen en la parte positiva del eje z. Las otras dos variables no tienen ninguna limitación y la gráfica se extiende a lo largo de los ejes x y y.
Grafica:
Paraboloide Hiperbólico
Interceptos: El único intercepto con los ejes es (0,0,0).
Simetrías: La superficies es simétrica con respecto a los planos xz y yz y con
respecto al eje z.
Trazas con los planos coordenados:
Con el plano xy: Si z=0,
+ = 0 9
; es decir, dos rectas que pasan por
el origen y están sobre el plano xy.
Con el plano xz: Si y=0,
= .Esta ecuación corresponde a una parábola
con vértice en el origen, eje focal el eje x y cóncava hacia la parte positiva del eje x.
Con el plano yz: Si x=0,
− 9 = .Esta ecuación corresponde a una
parábola con vértice en el origen, eje focal al eje z y cóncava hacia la parte negativa del eje z.
Secciones:
Nos
interesan
fundamentalmente
las
secciones
por
planos
perpendiculares al eje del paraboloide hiperbólico ya que estas, junto con las trazas, nos arman el “esqueleto” de la silla de montar.,
Si z=4, entonces, entonces
− = 1,la cual corresponde a una 6 6
hipérbola con centro en (0,0,4) y eje focal (0,0,4) y eje focal el eje y.
Si z=-4, entonces,
entonces − + 6 6 = 1,la cual corresponde a
una hipérbola con centro en (0,0,-4) y eje focal el eje x.
Extensión:
La superficie puede extenderse sin ninguna limitación a lo largo de los ejes x, y y z.
Gráfica:
