Introducción La transferencia de calor es aquella ciencia que busca predecir la transferencia de energía que puede ocurrir entre cuerpos materiales, como resultado de la diferencia de temperatura. La termodinámica enseña que esta transferencia de energía se define como calor. La ciencia de la transferencia de calor no solo trata de explicar cómo puede ser transferida la energía calorífica, si no también puede predecir la rapidez a la que se realizara este intercambio bajo ciertas condiciones especificadas. La transferencia de calor completa el primer y segundo principio de la termodinámica, al proporcionar reglas experimentales adicionales que se pueden utilizar para establecer rapideces de transferencia de energía.
Transferencia de calor Decimos que la energía es transferida por conducción y que la rapidez de transferencia de energía por unidad de área es proporcional al gradiente normal de temperatura
Cuando se inserta la constante de proporcionalidad,
En donde q es la rapidez de la transferencia de calor y
es el gradiente de temperatura en la
dirección del flujo de calor. A la constante positiva k se le llama conductividad térmica del material, y el signo negativo menos se inserta para que se satisfaga el segundo principio de la termodinámica, es decir, el calor deberá fluir hacia abajo en la escala de temperatura. A la ecuación anterior se le llama ley de conducción de calor de Fourier en honor al físico matemático francés Joseph Fourier, quien realizó importantes contribuciones en el tratamiento analítico de la transferencia de calor por conducción. Tomando en cuenta la ecuación anterior y utilizándola como punto de partida considérese el sistema unidimensional que aparece en la Fig. 1-2. Si el sistema se encuentra en un estado estacionario, es decir, si la temperatura no cambia con el tiempo, entonces el problema es simple y sólo necesitamos integrar la ecuación anterior y sustituir los valores adecuados para resolverla para la cantidad deseada, pero si la temperatura del sólido está cambiando con el tiempo, o si hay fuentes de calor o sumideros dentro del sólido, la situación es más compleja. Consideramos el caso general en el que la temperatura puede estar cambiando con el tiempo y dentro del cuerpo pueden
haber fuentes de calor. Para el elemento de espesor dx se puede realizar el siguiente balance de energía:
Conducción en Estado Estacionario – una dimensión 1.1 Introducción Las aplicaciones de la ley de Fourier sobre conducción de calor, en cálculos de flujo de calor en algunos sistemas unidimensionales sencillos. Varias formas físicas diferentes pueden entrar en la categoría de sistemas unidimensionales: los sistemas cilíndricos y esféricos son unidimensionales cuando la temperatura en el cuerpo es sólo una función de la distancia radial y es independiente del ángulo acimutal o de la distancia axil. En algunos problemas bidimensionales
2.2 La pared plana Considérese primero la pared plana en donde se puede llevar a cabo una aplicación directa de la ley de Fourier
El espesor de la pared es
,y
y
son las temperaturas de la cara de la pared.
La rapidez de transferencia de calor puede considerarse como un flujo y a la combinación de conductividad térmica, espesor del material y área, como una resistencia a este flujo. La temperatura es la función de potencial o motriz para el flujo de calor, y la ecuación de Fourier se puede definir como:
Una relación igual a la ley de Ohm en la teoría de circuitos eléctricos.
La analogía eléctrica puede usarse para resolver problemas más complejos que involucran las resistencias térmicas en serie y en paralelo. La ecuación de flujo de calor unidimensional para este tipo de problemas puede escribirse como
En donde las
∑
, son las resistencias térmicas de los diferentes materiales.
2.3 Aislamiento y valores R En la clasificación del rendimiento de los aislantes, es una práctica común en la industria de la construcción utilizar un término llamado va lor R, que se define como
⁄
Difiere del concepto de resistencia térmica tratado anteriormente, en que aquí se utiliza un flujo de calor por unidad de área . En este punto es útil clasificar los materiales aislantes en términos de su aplicación y los intervalos de temperatura permitida.
2.4 Sistemas radiales-cilindros el calor fluye en una dirección radial, de manera que r es la única coordenada espacial necesaria para especificar el sistema. Una vez más se utiliza la ley de Fourier introduciendo la relación de área adecuada. El área para el flujo de calor en el sistema cilíndrico es
La ley de Fourier es:
O
Con condiciones de la frontera
En este caso la resistencia térmica es
⁄
Los sistemas esféricos también pueden tratarse como unidimensionales, cuando la temperatura es únicamente una función del radio. Entonces el flujo de calor es
) ( ⁄ ⁄ 2.5 El coeficiente de transferencia de calor total El proceso de transferencia de calor puede expresarse por la red de resistencias de la y la transferencia de calor total se calcula como la razón de la diferencia de temperatura total a la suma de las resistencias térmicas
⁄ ⁄ ⁄
El valor l/hA para representar la resistencia de convección. La transferencia de calor total por conducción y convección combinadas, con frecuencia se expresa en términos de un coeficiente de transferencia de calor total U,
⁄ ⁄
en donde A es cierta área adecuada para el flujo de calor. el coeficiente de transferencia total se puede definir como.
2.6 Espesor crítico del aislante Se expresa como:
El concepto de radio crítico de aislamiento. Si el radio externo es menor al valor expresado por esta ecuación, entonces la transferencia de calor se incrementará adicionando más aislante.
2.7 Sistemas con fuentes de calor Pared plana con fuentes de calor El calor generado por unidad de volumen es 4, y suponemos que la conductividad térmica no varía con la temperatura. Estas condiciones pueden producirse en una situación práctica haciendo pasar una corriente a través de un material conductor eléctrico. El flujo de calor es:
̇
Para las condiciones de frontera especificamos las temperaturas en ambas caras de la pared.
La ecuación para la distribución de la temperatura también podría escribirse en la forma:
2.8 Cilindro con fuentes de calor La solución final para la distribución de temperatura es entonces
̇
En forma adimensional
Para un cilindro hueco con fuentes de calor distribuidas uniformemente, las condiciones de frontera adecuadas serían
̇
La aplicación de las nuevas condiciones de frontera da
2.9 Sistemas de conducción-convección Con frecuencia el calor conducido a través de un cuerpo se debe eliminar (o transferirse) por medio de algún proceso de convección. En aplicaciones de cambiadores de calor se podría utilizar un arreglo de aletas para eliminar calor de un líquido caliente. La transferencia de calor hacia el tubo con aletas se realiza a través del material y finalmente se disipa en el ambiente por convección.
()
La ecuación de definición para el coeficiente de transferencia de calor por convección es Una condición de frontera es
La otra condición de frontera depende de la situación física. Se pueden considerar varios casos: CASO 1 La aleta es muy larga y la temperatura en el extremo de la aleta es esencialmente la del líquido que la rodea. CASO 2 La aleta tiene una longitud finita y pierde calor por convección por su extremo. CASO 3 El extremo de la aleta se encuentra aislado de manera que dT/dx = 0.
2.10 Aletas
A fin de mostrar la eficacia de una aleta en la transferencia de una cantidad de calor dada, se define un nuevo parámetro llamado eficiencia de aleta.
√ ⁄
Lt es el área de perfil de la aleta, la cual definimos como
De modo que
Cuando la longitud de la aleta se extiende por la mitad del espesor de la aleta. Se utiliza entonces una longitud corregida L, en todas las ecuaciones que se utilicen para el caso de una aleta con punta aislada.
2.11 Resistencia Térmica de contacto Los materiales pueden tener conductividad térmica diferente, pero si los lados se encuentran aislados, el flujo de calor debe ser el mismo a través de los dos materiales bajo condiciones de estado estacionario.
El mecanismo físico de la resistencia de contacto se puede entender mejor examinando con mayor detalle una unión. Ninguna superficie real es completamente lisa, y se cree que la rugosidad real de una superficie desempeña un papel fundamental en la determinación de la resistencia de contacto. Existen dos contribuciones importantes a la transferencia de calor en la unión: 1 La conducción de sólido a sólido en los puntos de contacto. 2 La conducción a través de gases atrapados en los espacios vacíos creados por el contacto. Se cree que el segundo factor representa la mayor resistencia al flujo de calor, ya que la conductividad térmica del gas es bastante pequeña en comparación con la de los sólidos.
En la mayor parte de los casos, el fluido que llena los espacios vacíos es aire y k, es pequeña comparada con kA y kB. Si el área de contacto es pequeña, la mayor resistencia térmica resulta de los espacios vacíos. Del modelo precedente, podemos sacar como conclusiones tentativas: 1 La resistencia de contacto debería aumentar con una reducción en la presión del gas ambiente, cuando la presión disminuye por debajo del valor en el que la trayectoria libre media es pranc. Z, comparada con una dimensión característica del espacio vacío, ya que en osta condición la conductancia del gas atrapado disminuirá. 2 La resistencia de contacto debería reducirse con un incremento en la presión de la unión, ya que esto da por resultado una deformación de los puntos importantes de las superficies en contacto, creando así un área de contacto mayor entre los sólidos.
6 Relaciones empíricas y prácticas para transferencia de calor por convección forzada Los resultados de datos experimentales se expresan casi siempre en forma de fórmulas empíricas o gráficas, de manera que puedan utilizarse con un máximo de carácter general. Es en este proceso que se intentan generalizar los resultados de nuestros propios experimentos en la forma de alguna correlación empírica, donde se encuentran Las dificultades. Si existe una solución analítica para un problema similar, la correlación de datos es mucho más fácil, ya que podemos suponer la forma funcional de 10s resultados, y en consecuencia, utilizar los datos experimentales para obtener valores de constantes o exponentes de algunos parámetros significativos
6.2 Relaciones empíricas para flujo en tuberías y conductos Para tubos pulidos con flujo turbulento completamente desarrollado, Dittus y Boelter recomiendan la siguiente relación:
Podemos observar una dependencia del proceso de transferencia de calor con el campo de flujo y por consiguiente, con el número de Reynolds. Las rapideces relativas de difusión de calor y momento están relacionadas por el número de Prandtl, de manera que se espera que este número sea un parámetro significativo en la solución final. Podemos confiar bastante de la dependencia de la transferencia de calor con los números de Reynolds y Prandtl.
Se hace primero una gráfica log-log de Na contra Re., para un fluido, para estimar la dependencia de la transferencia de calor sobre el número de Reynolds. Utilizando este primer estimado para el exponente m, se grafican los datos para todos los fluidos como log contra log Pr y se determina un valor para el exponente n
⁄
⁄
utilizando este valor de n, se grafican de nuevo todos los datos como log contra log Re,,, y se determina un valor final para el exponente m así como también un valor para la constante C Si en el flujo se encuentran presentes diferencias grandes de temperatura, puede haber un cambio apreciable en las propiedades del fluido que se encuentra entre la pared del tubo y el flujo central. Estas variaciones en las propiedades pueden manifestarse por un cambio en el perfil de velocidad, Las desviaciones del perfil de velocidad para el flujo isotérmico, como el que se muestra en esta figura, con un resultado del hecho de que la viscosidad de los gases aumenta con un aumento en la temperatura, mientras que la viscosidad de los líquidos disminuye con un incremento en temperatura. Para ese tipo de relaciones es conveniente usar la ecuación
6.3 Flujo a través de cilindros y esferas Como era de esperarse, el desarrollo de capa límite en el cilindro determina las características de la transferencia de calor. Mientras que la capa límite permanezca laminar y se comporte en la forma adecuada, será posible calcular la transferencia de calor por medio de un método similar al análisis de capa límite. No obstante, es necesario incluir en el análisis el gradiente de presión ya que influye en forma apreciable sobre el perfil de velocidad de la capa límite. De hecho, es este gradiente de presión el que origina el desarrollo de una región de flujo separado en la parte posterior del cilindro cuando la velocidad de corriente libre es lo suficientemente grande. De acuerdo con la teoría de capa límite, la presión a través de la capa límite es esencialmente constante en cualquier posición x en el cuerpo. En el caso del cilindro, podríamos medir una distancia x a partir del punto de estancamiento del frente del cilindro. Así, la presión en la capa límite debería seguir la de la corriente libre para el flujo potencial alrededor de un cilindro, siempre y cuando este comportamiento no contradiga algún principio básico que deba aplicarse en la capa límite. A medida que el flujo progresa a lo largo del frente del cilindro, la presión disminuiría y en seguida aumentaría a lo largo
de la parte posterior del cilindro, dando como resultado un incremento en la velocidad de corriente libre en el frente del cilindro y una disminución en la parte posterior. El aumento de presión y la reducción en velocidad se relacionan a través de la ecuación de Bernoulli que se escribe a lo largo de una línea de corriente
Suponiendo que la presión es constante a través de la capa límite, el momento de las capas de fluido cercanas a la superficie no es lo suficientemente elevado como para vencer el incremento en presión. Cuando el gradiente de velocidad en la superficie se vuelve Cero, se dice que el flujo ha alcanzado un punto de separación, A medida que el flujo continúa y pasa el punto de separación, pueden ocurrir fenómenos de flujo inverso. Eventualmente, la región de flujo separado en la parte posterior del cilindro se vuelve turbulenta y de movimiento aleatorio. Podemos definir al coeficiente de arrastre para cuerpos ásperos como
La fuerza de arrastre sobre el cilindro es el resultado de una combinación de resistencia de fricción y el llamado arrastre de forma o arrastre por presión, que resulta de una región de baja presión en la parte posterior del cilindro, creada por el proceso de separación de flujo. Para números de Reynolds pequeños del orden de la unidad no hay separación de flujo, y todo el arrastre proviene de la fricción viscosa. Para números de Reynolds del orden de 10, la fricción y el arrastre de forma son del mismo orden, mientras que el arrastre de forma que resulta de la región turbulenta de flujo separado predomina en números de Reynolds mayores que 1000. Para números de Reynolds de aproximadamente 10 5 basados en el diámetro, el flujo de capa límite puede volverse turbulento dando por resultado un perfil de velocidad más agudo y una separación de flujo sumamente tardía Debido a la naturaleza compleja de los procesos de separación de flujo, no es posible calcular en forma analítica los coeficientes de transferencia de calor en el flujo transversal; sin embargo, las correlaciones de datos experimentales de Hilpert para gases, Knudsen y Katz para líquidos, indican que los coeficientes promedio de transferencia de calor se pueden calcular con
La elección de la ecuación que se ha de utilizar para flujo transversal sobre cilindros está sujeta a cierta suposición. Entre más complejas mas herramientas se necesitan siendo la más sencilla la ecuación anterior
6.4 Flujo a través de bancos de tubos Debido a que muchos arreglos en cambiadores de calor involucran hileras múltiples de tubos, las características de transferencia de calor para bancos de tubos son de gran interés práctico, El número de Reynolds está basado en la velocidad máxima que ocurre en el banco de tubos; es decir, la velocidad a través del área mínima de flujo. Esta área dependerá del arreglo geométrico de tubos. Y la caída de presión para flujo de gases sobre una hilera de tubos puede calcularse
]} { [ [ ]
Y el factor de fricción empírico
se puede expresar como
Y para arreglos de tubos alternados y como
6.5 Transferencia de calor en metales líquidos Estos tienen una gran importancia debido a la alta rapidez de transferencia de calor que pueden alcanzar como resultado de la elevada conductividad térmica de los metales líquidos, en comparación con otros fluidos. Y que pueden ser usados en situaciones donde no existe mucho espacio y es necesario extraer cantidades grandes de energías Es importante observar que la transferencia de calor depende del número de Peclet . Las correlaciones empíricas casi siempre se expresan en términos de este parámetro por ejemplo Lubarsky y Kaufman recomiendan la siguiente relación para el cálculo de flujo turbulento completamente desarrollado de metales líquidos, en tubos lisos, con flujo de calor uniforme en la pared
Esta ecuación es válida para 10 2
60
