Teoría de flujo de fluid uidos en el yacim cimiento. to. Ecuac cuaciión de Difusividad y soluciones básicas. Desarrollo de la Ecuación de difusividad. La ecuación de difusividad es el resultado de aplicar la condición de balance de mate materi rial ales es (ecu (ecuac ació ión n de cont contin inui uida dad: d: Flui Fluido do entr entran ante te – flui fluido do sali salien ente te = acumulado), la ley de Darcy y la ecuación que describe la densidad del fluido en el medio poroso.
ρ Vr
ρ Vr + ∆ ( ρ Vr )
α
h
r Fi. !: "alance de masa (Flu#o radial)
r e
∆r
$n el dibu#o se presenta el desarrollo que conlleva a la ecuación de difusividad, considerando flu#o tipo radial y compuesto de de una sola fase: fase: %omo se aprecia en αφ hr ∆r
la Fi. !, para un elemento de volumen infinitesimal del yacimiento, ( sien siendo do
α
φ
, &nu &nulo lo que que defi define ne el elem element ento, o,
distancia radial al po'o, y
, la porosi porosida dad, d,
h
, el espe espeso sorr,
), r
,
∆r
, incremento infinitesimal de radio)
se cumple que: 1
%antidad de masa entrante –cantidad de masa saliente = aumento neto en el contenido de masa en el elemento de volumen Llam Llamem emos os a
Vr
, el tasa volum*trico de flu#o por unidad de &rea de sección
transversal y ρ la densidad del fluido, se cumple que: +asa +asa de masa entrante durante el intervalo de tiempo ∆t: α (r + ∆r )hρ Vr ∆t
(!) +asa +asa de masa saliente durante el intervalo de tiempo ∆t: α rh[ ρ Vr + ∆ ( ρ Vr )] ∆t
() $n el intervalo de tiempo ∆t, el cambio neto de masa en el elemento de volumen es: αφρ hr ∆r @(t + ∆t ) − αφρ hr ∆r @ t
(-) plicando la ecuación de continuidad tenemos que:
∂ ∂ ( r ρ Vr ) = − ( φρ ) r ∂r ∂t
1
(/)
fin de derivar la ecuación diferencial, debemos de aplicar la ley de Darcy, Darc y, la cual establece la relación entre la velocidad del flu#o y el radiente de presión: Vr = −
k r ∂ p µ ∂r
(0) 1ubstitución de
Vr
en la ecuación / se obtiene:
2
%antidad de masa entrante –cantidad de masa saliente = aumento neto en el contenido de masa en el elemento de volumen Llam Llamem emos os a
Vr
, el tasa volum*trico de flu#o por unidad de &rea de sección
transversal y ρ la densidad del fluido, se cumple que: +asa +asa de masa entrante durante el intervalo de tiempo ∆t: α (r + ∆r )hρ Vr ∆t
(!) +asa +asa de masa saliente durante el intervalo de tiempo ∆t: α rh[ ρ Vr + ∆ ( ρ Vr )] ∆t
() $n el intervalo de tiempo ∆t, el cambio neto de masa en el elemento de volumen es: αφρ hr ∆r @(t + ∆t ) − αφρ hr ∆r @ t
(-) plicando la ecuación de continuidad tenemos que:
∂ ∂ ( r ρ Vr ) = − ( φρ ) r ∂r ∂t
1
(/)
fin de derivar la ecuación diferencial, debemos de aplicar la ley de Darcy, Darc y, la cual establece la relación entre la velocidad del flu#o y el radiente de presión: Vr = −
k r ∂ p µ ∂r
(0) 1ubstitución de
Vr
en la ecuación / se obtiene:
2
∂ r ρ kr ∂ p ∂ ∂ ρ ∂φ = ( φρ ) = φ + ρ ∂t ∂t r ∂r µ ∂r ∂t
1
(2)
La ecuación diferencial final depender& de incorporar la ecuación de estado del fluido cuya densidad es ρ en la ecuación La densidad del fluido esta relacionada con la compresibilidad del mismo. Dos casos casos son de inter*s inter*s en ineni inenier3a er3a de yacimi yacimient entos: os: liquido liquido (petróle (petróleo) o) y as. continuación se presentan los resultados para estos dos casos:
PETRÓLEO una sola fase!" La densidad viene dada por la ecuación: c ( p − po )
ρ = ρ o e
(4) ρ o
$n la cual c, es la compresibilidad del fluido y se asume la misma peque5a, y
,
po
es el valor de la densidad a la presión de referencia 1ubstituyendo la densidad en la ecuación se obtiene:
∂ 2 p 1 ∂ p φµ c ∂ p + = ∂ 2r r ∂r k ∂t (6) $sta ecuación se denomina Difusividad y aplica en el caso de l3quidos 7ipótesis asumidas para la valides de la ecuación:
Fluido lieramente compresible y valor de compresibilidad (c) peque5o
8ermeabilidad constante e isotropica
3
8orosidad constante. Formación de espesor constante y el flu#o del yacimiento al po'o es a trav*s de todo el espesor de la formación
9iscosidad de fluido constante
radientes de presión en el yacimiento
∂ p ∂r
son peque5os peque5os y el cuadrado de
( ) los mismos se puede despreciar
∂ p 2 = 0 ∂r
Fuer'a de ravedad es despreciable
%ondición isot*rmica de flu#o
Flu#o tipo laminar (no turbulento)
#$% una sola fase): $n el caso de que el fluido sea as, la compresibilidad as3 como otras propiedades del fluido en este caso son dependientes de la presión. La densidad para el caso de un as real viene dada por:
M p ρ = RT z RT
$n la $%. ;,
M
, es el peso molecular del as,
(;) R
, la constante de ases,
T
, es la
z
temperatura absoluta, y
, es el factor de desviación del as.
1ubstituyendo la densidad en la ecuación se obtiene: p ∂ ∂ p φ ∂ p = r z ( p ) r ∂r µ ( p ) z ( p ) ∂r k t ∂
1
(!<)
$sta es la ecuación de difusividad que aplica para el caso de as %omparando las dos ecuaciones, en el caso de as, la ecuación es no lineal debido a la dependencia de la viscosidad y el factor de compresibilidad con la presión. 4
La solución ó soluciones obtenidas al resolver la ecuación de difusividad sirven de base para la interpretación de los datos de presión obtenidos durante los pruebas de po'o.
%oluciones a la ecuación de difusividad li&uido!" %on la finalidad de tener una ecuación en*rica en cuanto a que sea independiente de los par&metros de yacimiento particulares, como lo son la porosidad, permeabilidad, y otras propiedades del fluido, se introducen variables adimensionales para la presión y el tiempo como se presenta a continuación: 8resión adimensional: P D =
kh [ Pi − P (r , t )] 141.2qB µ
(!!) +iempo adimensional, basado en el radio del po'o r:
t D
=
0.000264 kt φµ cr 2 w
(!)
+iempo adimensional basado en &rea de drena#e :
r 2 w t DA = t D A
(!-)
>adio adimensional
r D =
r r w
(!/) Las unidades para los par&metros involucrados en estas definiciones son las de campo: c = compresibilidad total, 9?9?psi, φ = porosidad, fracción, @ = espesor efectivo, ft, A = permeabilidad efectiva, mD, µ = viscosidad, cp, p = presión, psi, q = tasa, "8D, r = distancia radial al po'o, ft, t = tiempo, @r. $n t*rmino de las variables adimensionales, 8D, tD, y rD, la ecuación de difusividad se eBpresa como: 5
∂ 2 p D 1 ∂ p D ∂ p D + = ∂ 2r D r D ∂r D ∂t D
(!0) continuación se presenta la solución para el caso de flu#o radial de un liquido (petróleo) lieramente compresible y de valor peque5o de compresibilidad.
φ
h
µ
r
P (r , t )
r e
k pozo
Fi. . eometr3a yacimientoCpo'o. >*imen de flu#o radial $l yacimiento se representa como un cilindro de radio eBterno r w
r e
y radio de po'o
. 1e asume que todo el flu#o convere al po'o de forma radial y que todo el
6
h
espesor, , de la formación contribuye a la producción. $l po'o produce a tasa q
constante, . La solución a la ecuación de difusividad depende tanto de las condiciones iniciales as3 como las condiciones internas y de bordes aplicadas. continuación se presenta la solución sen el caso:
'aso $" (acimiento de infinita e)tensión : 8o'o produce a tasa constante, presión inicial del yacimiento 8i es constante y uniforme en todo la eBtensión del yacimiento. Eacimiento de espesor constante, y radio eBterno, re = ∞ La solución en este caso viene dada por
r D P D ( r D, t D ) = − Ε i − 2 4t D 2
1
(!2)
$sta solución se conoce en la literatura como la solución tipo L3nea Fuente $n donde, $i, es la función eBponencial interal que se define como: ∞ e−u
Εi ( − x ) = ∫ x
u
du
(!4) La función eBponencial interal puede aproBimarse mediante la relación:
Εi( − x ) = ln ( x ) + 0.5772 valido para
x
< <.<<0
(!6)
La solución, se puede aproBimar por la eBpresión:
P D ( r D, t D )
1 t D = ln 2 r D
2
+ 0.80907
(!;) 7
t D
9alida para
r D
t D
2
> !<<.
1in embaro la diferencia es de solo un cuando
r D 2
es mayor que 0. $sta solución define el r*imen transiente de flu#o denominado tipo infinito (infinite actin), comnmente tambi*n denominado flu#o radial.
Desde el punto de vista practico, nos interesa la solución de la presión a nivel de po'o, que es donde comnmente se mide la misma., es decir en
r = r w
(
r D = 1
).
$n este caso la $%. !; se puede eBpresar como: 1 P D = [ ln t D + 0.80907] 2
(<)
fin de ilustrar el concepto de variables adimensionales, as3 como la aplicación de la solución a la ecuación de difusividad, presentamos e#emplo num*rico de c&lculo.
Ejem*lo +: %&lculo del valor de la presión en el po'o al cabo de 0<< @oras de producción. Los par&metros de yacimiento y fluido (petróleo en este caso) son: φ = !!, µ = <.6
cp, A = 0< mD, q = -< m-?d (!66.4 "8D), @ = 0 m (!2./ ft), " = !.- ">?"G, c = 4B !
Pi = 3000 psia
= <.0 ft,
%olución" 1ubstituyendo las definiciones de tiempo adimensional, presión adimensional, as3 como radio adimensional en la $%. <, se obtiene que la presión en el po'o viene dada por:
8
Pwf = Pi −
162.6qB µ
kh
k − 3 . 2275 log t + log φµ crw 2
(!) Pwf = 2666 psia
1ubstituyendo los valores para los par&metros, se obtiene que %on el fin de comparar resultados mediante uso de 1oftare, inicialice el mismo y carue los par&metros de yacimiento y fluido, y mediante la opción dise5o, efecte la corrida correspondiente. continuación se presentan los resultados:
60<
40< I a i s p H
20<
2666 psia
00<
I D ? m H
<
!<
500 Hr. < <
!<<
<<
-<<
/<<
0<<
2<<
4<<
7istory plot (8ressure HpsiaI, Liquid >ate Hm-?DI vs +ime H@rI)
Fi. -: $#emplo !. 1olución obtenida mediante 1oftare $l valor obtenido mediante 1oftare es iual al calculado mediante formula (como debe ser). 9
$l siuiente e#emplo sirve como base para la teor3a de las pruebas de interferencia entre po'os.
Ejem*lo ," %&lculo del valor de la presión a -<< metros (;6/ ft) del po'o. 1e desea saber cual es la presión a una distancia radial de -<< metros del po'o, al cabo de 0<< @oras de producción:
%olución: 1ubstituyendo las definiciones de tiempo adimensional, presión adimensional, as3 como radio adimensional en la $%. !;, se obtiene que: P ( r , t )
= Pi −
162.6qB µ
kh
k t + log − log 3 . 2275 r 2 φµ crw 2
()
t D r D
2
$l valor de , es iual a !!.2. 8or lo tanto podemos usar la aproBimación loar3tmica con un de error. 1ubstituyendo valores, se obtiene que la presión a -<< metros del po'o es de ;/0 psia, al cabo de 0<< @oras de producción. fin de comparar nuestra solución con la obtenida v3a 1oftare, en este caso
inicialice el mismo, y use la opción
Jnterferencia como tipo de prueba. Kse los mismos datos de yacimiento y fluido y efecte el dise5o de una prueba de 4<< @oras de duración. continuación se
10
presenta
la
solución
enerada
por
el
softare:
2945,6 psia -<<<
;6< I a i s p H
500 hr. ;2<
;/<
I D ? m H
<
!<
< <
!<<
<<
-<<
/<<
0<<
2<<
4<<
7istory plot (8ressure HpsiaI, Liquid >ate Hm-?DI vs +ime H@rI)
Fi. /: 8roblema !. 1olución obtenida mediante 1oftare $n la Fi. /, se presenta la solución a la presión en función del tiempo de producción y valida a -<< metros del po'o durante 4<< @oras de producción del 11
po'o. $l valor de la presión al cabo de 0<< @oras es de ;/0.4 psia, que coincide con el obtenido mediante el uso de la fórmula. Los resultados obtenidos, asumen que el po'o no est& da5ado, y que no se presentan efectos de almacenamiento de po'o.
'aso -" (acimiento limitado ó finito. 8ara el caso de yacimiento finito podemos considerar dos situaciones b&sicas posibles asociadas con *l limite eBterno re: (!) que no @ay flu#o a trav*s del mismo, es decir limite de cero tasa (radiente de presión iual a cero en *l limite eBterno) y () presión constante.
-.+" Límite sellante no ay a*orte de flujo en /l límite! $sta condición es la m&s representativa desde el punto de vista pr&ctico, es decir, la de un yacimiento limitado y no infinito. continuación se presentan posibles eometr3as en cuanto al &rea de drena#e ():
12
rea %ircular 8o'o
re
rea >ectanular
L-
L/ L L! Fi. 0: 8osibles eometr3as de &rea de drena#e $l &rea de drena#e se caracteri'a por su manitud, as3 como por un factor de forma
C A
, cuyo valor depende de la forma del &rea, y la locali'ación del po'o en la
misma. 8or e#emplo para el caso de un &rea tipo circular y estando el po'o ubicado en el centro, el valor de
C A
es de -!.2.
1e puede demostrar que la solución a la ecuación de difusividad, aplicando la condición de sello como limite eBterno, a diferencia de la solución para el caso de yacimiento de eBtensión infinita, se caracteri'a por mostrar tres re3menes de flu#o diferentes: inicialmente tipo infinito, seuidamente un periodo de transición y finalmente un periodo que se denomina 1emiCestacionario (pseudoCsteady state).
13
Durante el periodo de flu#o semiCestacionario, se puede demostrar, que la solución a la presión adimensional en el po'o viene dada por: P D
1 A 2.2458 ln 2 + ln 2 r w C A
= 2π t DA +
(-)
$l tiempo adimensional, para alcan'ar el flu#o tipo semiCestacionario vine dado por: tpss =
φµ cA 0.0002637 k
( t DA ) pss
(/)
$l valor de (tD)pss, depende de la eometr3a del &rea de drena#e y de la ubicación del po'o. 8or e#emplo, en el caso de un yacimiento circular, y el po'o ubicado en el centro, tD = <.! es el tiempo adimensional m3nimo, a partir del cual el r*imen de flu#o es semiCestacionario. "asados en la solución, el periodo semiCestacionario, se caracteri'a por la dp
variación tipo lineal de la presión con el tiempo, es decir, este periodo.
dt
es constante durante
1ubstituyendo los t*rminos adimensionales sen las definiciones tenemos:
Pwf = Pi −
0.23395qB φ chA
−
70 .60qB µ
kh
A + ln 2.2458 r w C A ln
2
(0)
Definiendo, se obtiene que la presión en el po'o viene dada por la siuiente eBpresión: Pwf = Pi + mt −
70.60qB µ
kh
A + ln 2.2458 ln r w C A 2
(2)
14
Ejem*lo 0. %&lculo del valor de la presión en el po'o a /< @oras producción 1uponamos que el &rea de drena#e del po'o es circular y de un radio re = -<< metros (;6/.- ft), y que el po'o est& ubicado en el centro del circulo (% = -!.2). sumamos los mismos valores para los par&metros de yacimiento y po'o que los dados en el $#emplo !:
%olución" 8rimero debemos de aseurarnos que el r*imen de flu#o es semiCestacionario: el valor de
t DA
, es de !.26 por lo tanto mayor que <.!, de aqu3 que se cumpla la
condición requerida en cuanto al tiempo de prueba. 1ustituyendo valores en la ecuación 2, se obtiene que la presión al cabo de /< @oras es de -64.- psia. (menor que para el caso de un po'o en un sistema tipo infinito). fin de comparar resultados mediante el uso de 1oftare, entre los par&metros de yacimiento y fluido, y mediante la opción dise5o efecte la corrida correspondiente. $n este caso use *l circulo sellante como condición de borde. continuación se presentan los resultados:
15
;<<
'omien1a conducta de decaimiento lineal de la *resión +2.3 oras! I a i s p H
0<<
-64.- psia
!<<
I D ? m H
<
!<
/< @rs. < <
!<<
<<
-<<
/<<
0<<
,
Fi. 2 1olución usando softare %omo se aprecia, se obtiene id*ntica solución. "asadas en la conducta lineal de la presión mostrada en la Fi .2, el estado de flu#o semiCestacionario comien'a de @ec@o, muc@o antes que las /< @oras. plicando la ecuación, el inicio del estado semiCestacionario, es a partir de las !/. @oras.
Jual solución se obtiene
mediante el softare. $n an&lisis de pruebas de presión, es muy comn el raficar el cambio de presión, en luar de la presión, es decir, (8iC8) en función del loaritmo del tiempo de prueba, de esta manera se pueden apreciar o identificar visualmente los estados de flu#o. Mediante softare se enera la rafica tipo semiClo, para nuestro e#emplo:
16
00<
1olución sistema con limite cerrado
/0<
%omien'o r*imen de flu#o semiCestacionario (!0 @rs. , proB.) -0<
8o'o 0<
>e = -<< m
1olución conducta de presión en sistema infinito
!0<
<.2
<.6
!
!.
!./
!.2
!.6
.
./
.2
Fi. 4: rafica tipo 1emiClo Jnspección detallada de los resultados r&ficos obtenidos, confirma que el tiempo en que finali'a la solución tipo sistema infinito es a las 2.- @oras, (puntos de presión inician desv3o de la tendencia de l3nea recta semiCloar3tmica, caracter3stico de la solución para el estado infinito, lueo siue un periodo de transición, y finalmente comien'a el r*imen de flu#o tipo semiCestacionario a partir de las !0 @oras aproBimadamente. 1i durante la prueba se presenta ó alcan'a el r*imen de flu#o semiCestacionario, y se dispone de datos de presión durante este periodo, mediante an&lisis de los datos de presión, se puede calcular el &rea de drena#e asociada con el po'o, ó en muc@os casos efectuar dise5o del tiempo de prueba necesario, a fin de alcan'ar el estado de flu#o semiCestacionario (prueba conocida como tipo limite). 17
$n la pr&ctica, la identificación del inicio del r*imen de flu#o semi estacionario as3 como *l poder disponer de datos de presión durante este periodo, es muy importante y por ende el dise5o de la prueba debe de considerar la duración de la misma, en base tanto en la manitud del &rea en s3, as3 como la posible ubicación del po'o en la misma.
-., Límite de mantenimiento de *resión 1e puede demostrar que la solución a la ecuación de difusividad, aplicando la condición de mantenimiento de presión como limite eBterno, se caracteri'a por mostrar tres re3menes de flu#o diferentes: inicialmente tipo infinito, seuidamente un periodo de transición y finalmente un periodo que se denomina estacionario (1teady 1tate). 1e puede demostrar que, el tiempo adimensional m3nimo, necesario para alcan'ar la condición de presión constante, viene dado por la relación:
r e ≥ 1.25 r w 2
t D
2
ó
t DA ≥ 0.40
$l valor de la presión adimensional viene dado por:
r e r w
P D = ln
(4)
P D
l sustituir por su definición y despe#ando la tasa q, del po'o se obtiene la siuiente relación:
18
q=
kh( P i − P w ) r e 141.2µ B ln r w
(6)
$sta es la Ley de Darcy que aplica para el caso de flu#o tipo estacionario.
Ejem*lo 2. %&lculo de la presión en el po'o al cabo de /< @oras de producción. t DA
Ksando los mismos datos del e#emplo -, = !.26 (mayor que <./<), de aqu3 que se cumpla que el estado de flu#o es estacionario. Oueremos saber cual es el valor de la presión al cabo de /< @oras. Despe#ando la presión de la formula anterior (ley de Darcy), tenemos que:
P w = P i −
141.2qBµ kh
r e r w
ln
(;)
1ubstituyendo valores se obtiene que el valor de la presión es de 4!;.6 psia. fin de comparar resultados mediante el uso de 1oftare, entre los par&metros de yacimiento y fluido, y mediante la opción dise5o efecte la corrida correspondiente. $n este caso use el c3rculo tipo mantenimiento de presión, como condición de borde. continuación se presentan los resultados:
19
;<<
6<< I a i s p H
4<<
4<.2 psia
< I D ? m H
!<
/< @r. < <
!<<
<<
-<<
/<<
0<<
Fi. 6: 1olución rafica enerada usando softare (Limite de 8resión constante). %omo se puede apreciar, la solución obtenida mediante el softare, es pr&cticamente id*ntica (como debe de ser) a la dada sen la ecuación de estado estacionario (Ley de Darcy) una ves el sistema alcan'a este r*imen de flu#o.
Estados de flujo" Transiente4 estacionario y semi5estacionario
20
manera de resumen y basados en los conceptos que se eBplicaron en la sección anterior se presentan las definiciones de los re3menes de flu#o: +ransiente: todo estado que no sea estacionario (infinito, transición, y semiC estacionario). $stacionario: se caracteri'a por ser la presión constante en todos los puntos del yacimiento. 1e puede aplicar la Ley de Darcy a nivel de &rea de drena#e de requerir an&lisis de los datos. 1emiCestacionario: estado transiente caracteri'ado por la tendencia tipo lineal de dp
la presión con el tiempo, es decir, se cumple que
dt
es constante en todos los
puntos del yacimiento. $ste estado de flu#o se presenta solo en sistemas de limite cerrado (drena#e volum*trico).
Presión y Presión Derivativa. Las soluciones particulares de la ecuación de difusividad, se presentaron oriinalmente como raficas de presión adimensional versus tiempo adimensional en escala LoCLo, tambi*n denominadas %urvas +ipo. partir del a5o !;6- se introduce el concepto de la presión derivativa, concepto que loró un impacto considerable, sobre todo su uso a nivel de campo, en la identificación de re3menes de flu#o, as3 como an&lisis de datos. 8ara obtener la presión derivativa de cualquier solución, se efecta la derivada de la presión adimensional con respeto al loaritmo del tiempo adimensional y el resultado s* rafica en con#unto con la presión adimensional. +omemos como e#emplo la solución adimensional, para en el caso de flu#o radial de un sistema @omo*neo sin l3mites, y apliquemos el concepto de presión derivativa a fin de ilustrar su aplicación y beneficios. La solución para la presión adimensional a nivel de po'o viene dada por:
21
P D
1
= [ ln tD + 0.80907] 2
(-<)
+enemos que: dP D d ln t D
dP D
= t D
dt D
(-!)
por lo tanto resulta: t D
dP D dt D
=
1 2
t D
, para todo
(-)
$s decir aunque la presión adimensional varia de forma loar3tmica con el tiempo, durante el r*imen de flu#o transiente infinito, la presión derivativa es una constante e iual a !? en este caso. Ptro e#emplo es el caso de la solución adimensional a la ecuación de difusividad, para el caso de r*imen de flu#o semiCestacionario la cual viene dada por: P D
= 2π t DA +
1 A 2.2458 ln 2 + ln 2 r w C A
(--)
8or lo tanto resulta: t DA
dP D dt DA
= 2π t DA (-/)
$s decir durante el r*imen de flu#o semiCestacionario tanto la presión as3 como la presión derivativa se aproBiman asimptoticamente a una pendiente unitaria en un rafico tipo loClo. Ptro e#emplo importante es el caso en donde tenamos mantenimiento de presión, es decir de tener r*imen de flu#o en estado estacionario durante una prueba, en
r e r w
P D = ln
cuyo caso la presión adimensional viene dada por:
, la presión
derivativa es iual a cero. 22
Ejem*lo 6. %alcular el valor de la presión derivativa en estado de sistema infinito. 8odemos usar los datos que se presentan en el e#emplo !: t D
dP D dt D
=
1 2
+enemos la relación: 1ubstituyendo las eBpresiones adimensionales se obtiene: t
d ( ∆ P ) dt
1 141.2qBµ = 2 kh
t
1ubstituyendo valores tenemos que
d ( ∆ P ) dt
(-0)
= 16.92 psia
Ejem*lo 3. Jnicialice softare y use los datos de los e#emplos anteriores, en donde se presentaron casos de re3menes de flu#o de sistema infinito, semiCestacionario y estacionario. Ksando la opción dise5o, se pueden enerar las varias soluciones a efectos de comparación visual:
23
!<<<
Limite de 1ello Limite de Mantenimiento de 8resión 1istema Jnfinito
Limite 1ellante %ambio de 8resión
!<<
16.89 psi
8resión derivativa 8resión constante !<
1olución 8eriodo de flu#o tipo sistema infinito <.
<.!
!
!<
!<<
!<<<
Fi. !<: 1oluciones eneradas usando softare
Radio de investi7ación y Drenaje : unque los conceptos asociados a los t*rminos radio de investiación ó drena#e @an sido y son ob#eto de discusión, es muy comn que la mayor3a de los softares calculen un radio de investiación asociado con el tiempo de prueba. $l entendido ó sentido del mismo es el de saber @asta que distancia radial al po'o, se investió durante la prueba. La revisión de literatura durante los ltimos -< a5os refle#a que las definiciones son ob#eto de confusión y la aplicabilidad debe de considerase con sumo cuidado sobre todo en dise5o de pruebas. lunos softare usan la siuiente definición, a fin de estimar el radio de investiación durante una prueba de fluencia, y asumiendo un solo periodo de flu#o a tasa constante: 24
r in = 0.029
kt φµ c
(-2)
t
$n la $%.-2, , es el tiempo de producción del po'o, durante la prueba, y la ecuación es valida solo para el caso de pruebas de fluencia (no durante periodos de cierre) y asumiendo un solo periodo de fluencia, a tasa constante. $sta definición se basa en la difusión radial de la solución tipo interal eBponencial en un sistema en donde no se detectan l3mites. $s decir es valida su aplicación, solo durante el periodo, en que el po'o acta como en un sistema infinito. %omo se aprecia de la definición dada por la $%. -2, el radio de investiación, no es dependiente de la manitud de la tasa a que fluye el po'o. $l radio de drena#e y el de investiación se usaron indistintamente por alunos autores. De los dos conceptos, qui'&s el m&s importante, es el de radio de drena#e, aun cuando nuevamente el concepto sea ob#eto de confusión. $n principio una ves puesto el po'o en producción, todo el yacimiento es afectado, sin embaro, sabemos que a partir de cierta distancia del po'o @asta *l limite del yacimiento, el efecto en la ca3da de presión es m3nimo, y de aqu3 que no sea practico el considerar el &rea de drena#e como todo el yacimiento, sino m&s bien un &rea de drena#e efectiva, la cual estar3a definida por el radio de drena#e.
Ejem*lo 8. %alculo del radio de investiación al cabo de !<< @oras de flu#o 8ara el caso presentado en el e#emplo !, se desea saber cual es el radio de investiación al cabo de !<< @oras de flu#o. 1ubstituyendo valores en la formula anterior ($%. -2), se obtiene que rinv = 4;2.2 m.
25
plicando softare, usando los datos presentados en el e#emplo !. y mediante la opción dise5o, enere la solución para el caso de limite tipo infinito y una prueba de !<< @oras de duración. $l radio de investiación calculado mediante el softare es de 4;/ m, lo cual es pr&cticamente iual al obtenido mediante la formula. 1uponamos que el yacimiento tiene un l3mite tipo sellante locali'ado a << metros del po'o, efecte el dise5o usando este l3mite. $l valor del radio de investiación calculado mediante el 1ap@ir, ó la $%. -2, es el mismo que en el caso anterior, lo que representa una inconsistencia por cuanto el yacimiento no tiene una eBtensión mayor que << metros. $sto es debido a que al cabo de !<< @oras, el estado de flu#o es del tipo semiC estacionario, y el concepto de radio de investiación ya no aplica. La conducta de presiones y su derivativa se muestran a continuación:
!<<
!<
>e = << m
Fin tiempo r*imen tipo sistema infinito (.0- @r.) ! !$C-
<.
<.!
!
!<
!<<
26
Fi. !!: 1olución enerada mediante 1oftare $n este caso y basados en los resultados obtenidos y que se presentan en la fiura !!, el r*imen de flu#o tipo sistema infinito, finali'a a aproB. .0- @oras de iniciada la prueba. $l radio de investiación calculado a este tiempo es de !4 metros. fin de verificar la noCdependencia del radio de investiación con el valor de la tasa, efecte varios dise5os usando softare, pero cambiando el valor de la tasa, por e#emplo: ! m-?d., !< m-?d, y !<< m-?d. 8uede verificar que para todos lo casos, el radio de investiación al cabo de !<< @oras es de 4;/ m. %laro que la ca3da de presión es diferente sen sea la tasa de producción, como se aprecia en la siuiente r&fica:
6<<
q = -< m-?d (!66.4 "8D)
q = !< m-?d (2.6 "8D)
I a i s p H
q = ! m-?d (2.6 "8D)
/<<
q = !<< m-?d (26 "8D) <<<
I D ? m H
<
!<
< <
!<
<
-<
/<
0<
2<
4<
6<
;<
!<<
Fi. !: 8resión de po'o obtenida usando tasas de producción diferentes
9odelos de (acimiento y fluido e)istentes. 27
$n las anteriores secciones se presentaron las soluciones a la presión que se obtuvieron de resolver la ecuación de difusividad considerando varias condiciones iniciales, y de l3mites. 1e consideró que la producción es a tasa constante y proviene de un solo po'o. La solución ó soluciones obtenidas para la presión, corresponden a una confiuración b&sica como Modelo de yacimiento y po'o. $n la pr&ctica por lo eneral el yacimiento se drena de varios po'os. Jualmente pueden @aber po'os inyectores. $l po'o puede ser vertical, desviado ó @ori'ontal, puede estar fracturado @idr&ulicamente a fin de incrementar su producción. $l po'o puede presentar efectos de da5o y almacenamiento de po'o, que afectan la conducta de los datos de presión. s3 mismo la @istoria de producción del po'o contempla periodos de producción a tasas diferentes as3 como cierres. $l fluido puede ser monof&sico a nivel de yacimiento ó multif&sico. $l yacimiento puede no ser continuo en toda su eBtensión, es decir puede @aber discontinuidades, tales como fallas eolóicas, as3 como varias capas pueden producir a trav*s de un solo po'o. Las pruebas de presión, por lo eneral se efectan en este medio, de aqu3 que debamos enerar soluciones ó modelos que consideren estos factores, que son comunes en la mayor3a de los yacimientos.
8o'o ob#eto de prueba
28
Fi. !: EacimientoCpo'os
Las soluciones eneradas considerando los factores antes mencionados forman parte del banco de datos (Modelos de yacimiento) de la mayor3a de los softares usados en el an&lisis de pruebas. manera de e#emplo, se presenta a continuación las diferentes soluciones, que se pueden construir, basadas en las condiciones de borde internas y eBternas presentes en alunos softares.
'ondiciones de Po1o
:aturale1a del yacimiento
lmacenamiento de po'o y 7omo*neo da5o Doble porosidad 7ori'ontal Doble permeabilidad 9ertical >adial compuesto 7idr&ulicamente fracturado Linear compuesto 8enetración 8arcial
Discontinuidades ó limites Jnfinito Kna falla %irculo Fallas paralelas Fallas intersectantes >ect&nulo
+abla : Modelos de yacimiento y po'o
29
continuación presentamos la solución en forma r&fica de la presión y su derivativa durante periodo de fluencia esperada sen modelos de yacimiento y po'o eBistentes en el mercado. 8ara finali'ar, y a manera de e#emplo, podemos enerar la solución esperada para la presión en el caso de estar el po'o ubicado entre limites (fallas) variables en cuanto a su distancia al po'o, as3 como considerar mantenimiento de presión, debido a po'o inyector en el &rea.
,<<
!<<
Fallas <
C!<<
8o'o Jnyector
8o'o 8roductor C,<<
C-<<
C,<<
C!<<
<
!<<
,<<
-<<
/<<
0<<
2<<
Lent@ HmI vs Lent@ HmI
Fi. !;: 8o'o productor e inyector y eBistencia de fallas eolóicas
30
!<
!
<.! !$C-
<.
<.!
!
!<
!<<
LoCLo plot: dp and dpQ HpsiI vs dt H@rI
Fi. <: 1olución po'o 8roductor (arrelo mostrado en Fi. !;)
$nálisis de los datos de *resión" *rinci*ios básicos. $l entendimiento de los m*todos de an&lisis debe de servir como base para el dise5o de las pruebas de presión sen ob#etivos de evaluación. 9ale mencionar que nuestra tarea es la de evaluar el yacimiento ba#o estudio, en este caso mediante la t*cnica de pruebas de presión $n nota anterior se presentaron los principios f3sicos de la teor3a del flu#o de fluidos en un medio poroso. Las soluciones que se presentaron son validas en cualquier punto del yacimiento y a cualquier tiempo. 1in embaro, la tasa de flu#o, se mide en la cara de la arena, como si no eBistiera el po'o. 1abemos que en la practica se perfora un po'o y se completa en la 'ona de inter*s, durante la perforación puede que se afecte la permeabilidad efectiva en la 31
'ona cercana al po'o, efecto que se denomina da5o, as3 mismo el po'o es el conductor del fluido a superficie, y por lo tanto representa una ca3da de presión adicional a vencer. Debido a la compresibilidad del fluido presente en el po'o, as3 como las diferentes fases que coeBisten debido a la ca3da de presión y temperatura, en el camino a superficie, se induce otro efecto importante que se denomina almacenamiento de po'o. $stos efectos deben de interarse a la solución de la ecuación de difusividad, a fin de que la misma se aplique en el an&lisis de los datos de campo $l proceso involucrado en optimi'ar la producción de un po'o, consiste en el an&lisis y evaluación de la eficiencia de todos los componentes del sistema, desde el yacimiento @asta el separador ó l3nea de entrea. unque podr3amos dedicarnos al estudio de este proceso, no es la intención cubrirlo en este libro, sin embaro la idea es la de tener presente que al efectuar el an&lisis de una prueba, es importante saber el efecto que tiene, una completacion de po'o no eficiente. La idea principal es la de familiari'arnos con las distintas ca3das de presión a vencer por el fluido desde el yacimiento, cara de la formación, completacion del po'o, el po'o mismo @asta el separador de prueba. continuación, se presenta diarama simplificado del entorno involucrado con el sistema de producción de un po'o:
$ntorno completacion del po'o: ca5oneo, cemento da5o ó estimulación (permeabilidad de esta 'ona puede ser diferente ala del yacimiento
8c
∆8
c %a3da de presión en reductor
c@oAe
8resión en 1eparador
32
∆ 8
p %a3da en presión en la tuber3a
re
∆ 8c
%a3da de presión a trav*s de la completacion
8f
∆ 8r
%a3da de presión en el yacimiento
r Fi.!: 1istema de producción y volumen de drena#e del yacimiento Fi.!: 1istema de producción 8or e#emplo, puede que no todo el intervalo ca5oneado contribuya al flu#o, esto puede crear un efecto de penetración parcial y por ende afectar el valor de la tasa esperado. $stos efectos son de importancia, y no deben de atribuirse al yacimiento, sino a la terminación del po'o y 'ona vecina al mismo (el radio de esta 'ona por lo eneral se desconoce, pero s3 se puede determinar la ca3da de presión asociada con la terminación). continuación, y dado que lo que queremos es concentrarnos en los efectos que influyen en el an&lisis de las pruebas, presentaremos los conceptos de da5o y almacenamiento de po'o. 33
Da;o" Go es la intención ac& de cubrir los aspectos relacionados con el orien del da5o, ni su tratamiento en el sentido de reducirlo, solo mencionaremos, que durante la perforación, es posible que se alteren las propiedades de la formación, sobre todo la permeabilidad en la 'ona cercana al po'o. Kna forma cl&sica de visuali'ar el da5o, es la de considerar una 'ona cercana al po'o, que presenta una permeabilidad efectiva ( kd ) diferente (mayor ó menor) que la del resto del yacimiento ( kr ):
P f ∆P (da5o
P f (sin da5o) ∆P (da5o
P f (con da5o)
R)
C)
Eacimiento
rd kd
kr
Sona de Da5o Fi.: Jdeali'ación del concepto de da5o
La 'ona de da5o induce una ca3da de presión en el po'o, adicional a la esperada, sen la solución a la ecuación de difusividad. $l tratamiento del calculo de la ca3da de presión asociada con el da5o, es el de usar la Ley de Darcy y considerar el flu#o tipo estacionario en la 'ona de da5o, de aqu3 que la incorporación del factor de da5o, se basa en incorporar esta ca3da de
34
presión adicional (la cual es constante) a la solución de la ecuación de difusividad que no considera el da5o:
p D + s
=
kh 141.2qB µ
( pi − pwf ) (!)
$l termino adimensional s se basa en:
∆ p s =
141.1qB µ kh
s ()
"asados en la eometr3a que se presenta en la Fi. , se puede demostrar que *l termino adimensional de da5o s se puede eBpresar de la siuiente manera:
s
k r d = − 1 ln k d r w
(-)
Ptra manera de visuali'ar el efecto de da5o, es mediante el concepto de radio de po'o aparente, definido como:
r wa
= r we − s
(/)
"asados en este concepto tenemos que si el da5o s es positivo, el radio del po'o aparente es menor que el actual y de ser s neativo el radio de po'o aparente es mayor que el actual $n conclusión, para incluir el factor de da5o en los modelos de yacimiento, se a5ade una constante (el valor del da5o) a la solución eBistente (sin da5o).
35
manera de e#emplo presentamos la solución a la ecuación de difusividad sin da5o, y con efecto de da5o incluido para el caso de un po'o en un yacimiento infinito:
'ambio Da5o = C- de Presión Da5o = C0
Da;o %!
!<<<
,< +< 6 < !<<
50 9alor de la 8resión Derivativa durante flu#o tipo infinito es iual para todos lo casos
56
!< <.
<.!
!
!<
!<<
!<<<
!<
Fi. -: $fecto de da5o. $s importante mencionar que el efecto de da5o ó ca3da adicional de presión, solo se a5ade a la solución de la presión medida en el po'o. $l valor del da5o, se obtiene del an&lisis de los datos de presión. %abe mencionar que @ay varios factores que inducen al da5o, no solo la alteración de la 36
permeabilidad, sin embaro, el valor del da5o que se obtiene del an&lisis de los datos de presión es el da5o total, es decir es la suma de varios efectos. 8or e#emplo, para el caso de yacimientos de as, se presentan efectos de da5o asociados con flu#o no laminar, iualmente la eBistencia de condensado no movible, cercano a la 'ona del po'o tambi*n induce efectos de da5o. $l da5o es uno de los par&metros que se obtiene del an&lisis de los datos de la prueba, y cuyo valor, permite tomar acciones que pueden conducir al me#oramiento de la productividad del po'o. ntes de presentar alunos valores para el da5o adimensional, se presenta un concepto el cual es un indicador de la productividad del po'o, la eficiencia de flu#o (EF ), definida como:
!"
=
p
−
pwf
p
−
− ∆ p s
pwf (0)
siendo p la presión actual del yacimiento, y pwf , la presión de fondo. 8or e#emplo si tenemos una EF de un !<<, es indicativo de que el po'o no presenta da5o continuación se presentan los varios componentes de los que puede estar compuesto el da5o (total) obtenido del an&lisis de los datos: #
s
= ∑ si i =1
(2)
manera de e#emplo, se presentan componentes del da5o total, los cuales pueden ó no estar presentes en el po'o, y el rano de los valores esperados:
37
⇒
Da5o mec&nico: valores oscilan en el rano de –/ (po'o estimulado) a R < (po'o da5ado).
⇒
Da5o tipo non Darcy (flu#o turbulento) entre 0 y <.
⇒
Da5o debido a varias fases (condensado en la vecindad de un po'o de as): entre 0 y !0.
⇒
Da5o por efecto de anisotrop3a: entre – y <.
⇒
Da5o debido a la completacion: entre –0 (fractura @idr&ulica ó po'o @ori'ontal) a -<< (penetración parcial).
⇒
Da5o eolóico: entre –- (yacimientos de doble porosidad) a <.
Efecto de almacenamiento de *o1o La solución (aproBimación loar3tmica) en t*rminos de la presión de po'o adimensional para la ecuación de difusividad es: p D
=
1 2
[ ln t D
+
0.80907 ]
(4)
$sta solución considera que el flu#o del yacimiento es @asta la cara de la arena, es decir, no incluye el @ec@o pr&ctico, de que eBiste un po'o, el cual almacena un volumen del fluido y que sirve para la conducción del mismo @asta la superficie. De @ec@o al abrir el po'o, la producción inicial en superficie proviene del po'o mismo debido a la compresibilidad del fluido, el aporte del yacimiento en el fondo del po'o es m3nimo durante los instantes iniciales de producción, as3 mismo cuando cerramos el po'o en superficie, en el fondo, continua durante un tiempo el aporte de fluido del yacimiento al po'o. $ste efecto denominado almacenamiento de po'o, es transiente en naturale'a y su duración puede ser de seundos, minutos, @oras ó d3as.
38
qs
1
qf ? qs
qf : tasa en el fondo qs: tasa en superficie
Ti!po a"i!nsional
0
qf
yacimiento
Fi. /: $fecto de almacenamiento de po'o
39
%omo se aprecia en la Fi. /, al abrir el po'o en superficie a producción, el tasa en el fondo (qf ) no es iual al tasa en superficie ( qs), sino lueo de pasado un tiempo, el cual depende tanto del volumen y compresibilidad del fluido eBistente en el po'o en el momento de efectuar la prueba, as3 como otros par&metros, entre ellos la permeabilidad del yacimiento. unque este efecto se puede minimi'ar durante el periodo de cierre, mediante v&lvula de cierre de fondo, no siempre es posible disponer de la misma. $l efecto de almacenamiento de po'o se puede cuantificar mediante la manitud del coeficiente de almacenamiento de po'o definido como: C =
∆V ∆ P
(6)
$n donde: C : coeficiente de almacenamiento de po'o, ""l?psi ∆V :
cambio del volumen del fluido en el po'o, "bl, a condiciones de po'o ∆P : %ambio en la presión de fondo, psi Dos casos son de inter*s: a) $l volumen del po'o este completamente lleno y de un solo fluido, tenemos que: C = V c
(;)
$n donde V , es el volumen del po'o en "arriles y c, es la compresibilidad del fluido en el po'o y a condiciones de po'o en el momento de la prueba b) Givel de fluido variable durante la prueba, tenemos que:
40
C =
Vu
ρ $ 144 $ c
(!<)
$n donde Vu, es el volumen del po'o por unidad de lonitud, medido en "bl?ft l iual que con otros par&metros, se define una constante de po'o adimensional %D, que viene dada por:
C D
=
5.6146C 2πφ chr w
2
(!!)
1e puede demostrar que durante el periodo de almacenamiento puro, la presión adimensional viene dada por:
p D
=
t D C D
(!) La presión derivativa durante este periodo viene dada por:
dp D t D d (ln ) C D
=
t D C D
(!-)
1e concluye que durante el periodo de almacenamiento puro, la presión adimensional y su derivativa son iuales. $n r&fica tipo LoCLo, el efecto de almacenamiento de po'o puro, se caracteri'a por eB@ibir tanto la presión como su derivativa una tendencia lineal y de pendiente unitaria, de no ser este efecto muy severo, siue un periodo de transición y finalmente se puede observar r*imen de flu#o radial asociado con la respuesta del 41
yacimiento, es decir el efecto de almacenamiento de po'o se minimi'a @asta @acerse despreciable una ves en r*imen de flu#o radial puro (asumiendo que el yacimiento es infinito).
Pruebas de =luencia $n su forma m&s simple, una prueba tipo fluencia consiste en abrir el po'o y reistrar su presión de fondo durante un periodo de tiempo, cuya duración, depende del ob#etivo de la prueba, y puede ser de seundos, minutos, @oras, d3as ó meses (en el caso de pruebas tipo limite como veremos mas adelante). continuación se presenta la @istoria en cuanto a la conducta de la presión de po'o obtenida durante una prueba de fluencia a tasa constante:
0<<<
Pi > 6<<< *sia
I a i s p H
/;<<
Presión de fondo4 *si
/6<<
I D ? " + 1 H
tasa constante -PD!
!<<
< <
!<
<
-<
/<
0<
Fi. 6: 8rueba tipo fluencia.
42
$sta prueba tiene una duración de 0< @oras, durante las cuales el po'o se mantuvo a una tasa constante, y se reistró su presión de fondo de forma continua. unque los datos de presión obtenidos durante una prueba tipo fluencia, en muc@os casos no se reistran, debido a las fluctuaciones ó ruido que presentan los datos de presión, y se prefiere el an&lisis de los datos obtenidos durante el periodo de cierre, la prueba tipo fluencia, sirve para el propósito de presentar la t*cnica b&sica comnmente usada en el an&lisis de los datos de presión de cualquier tipo de prueba. La presión adimensional de po'o durante un periodo de fluencia a tasa constante y para el caso del r*imen de flu#o tipo radial viene dada por la $%. 4
p D
=
1 2
[ ln t D
+
0.80907 ]
La incorporación el efecto de da5o s, es un t*rmino aditivo a la presión adimensional como se presentó anteriormente ($%.!):
p D
+ s =
kh 141.2qB µ
( p
i
−
pwf )
$l tiempo y radio de po'o adimensional vienen dados por: t D
=
0.000264kt φµ cr w
r D
2
=
(!2)
r r w
(!4)
1ubstituyendo la definición de la presión y tiempo adimensional tenemos que la presión en el po'o viene dada por:
43
