Concepto de movimiento en dos dimensiones
Se le llama en dos dimensiones, porque la posición de la partícula en cada instante, se puede representar por dos coordenadas, respecto a unos ejes de referencia. El movimiento en 2 dimensiones es cuando la partícula se mueve tanto horizontal como verticalmente. El movimiento de una partícula en dos dimensiones es la trayectoria de la partícula en un plano (vertical, horizontal, o en cualquier otra dirección del plano).Las variables a las que está sometida la partícula son dos y por eso se le denomina movimiento en dos dimensiones. Características del movimiento en dos dimensiones El movimiento en dos dimensiones se caracteriza por dos movimientos uno ascendente, y otro descendente, como caso particular, un objeto o móvil. Esto puede desarrollar dentro de un espacio el movimiento descendente desde un punto alto, esto se llama, movimiento semiparabólico.
Aplicaciones Aplicacione s del movimiento movimiento en dos dimensione dimensiones s Suponiendo que se tienen dos muchachos jugando béisbol La trayectoria que sigue la pelota (o proyectil) es parabólica, además sale con una velocidad vo. El vector inicial v cambia con el tiempo tanto de magnitud como en dirección. El cambio en el vector es el resultado de la aceleración y negativa. La componente x de la velocidad permanece constante en el tiempo debido a que no hay aceleración a lo largo de la dirección horizontal
Movimiento de proyectiles
Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial de dirección arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Un proyectil es un objeto al cual se ha comunicado una velocidad inicial y se ha dejado en libertad para que realice un movimiento bajo la acción de la gravedad. Los proyectiles que están cerca de la Tierra siguen una trayectoria curva muy simple que se conoce como parábola. Para describir el movimiento es útil separarlo en sus componentes horizontal y vertical. Por eso es importante explicar el movimiento de un proyectil como resultado de la superposición de un movimiento rectilíneo uniforme y uno uniformemente variado, estableciendo las ecuaciones de la curva representativa, tiempo de vuelo, tiempo máximo, altura máxima, alcance máximo, velocidad y coordenadas de posición en el plano. ¿Qué es un proyectil?
El movimiento de un proyectil es un ejemplo clásico del movimiento en dos dimensiones con aceleración constante. Un proyectil es cualquier cuerpo que se lanza o proyecta por medio de alguna fuerza y continúa en movimiento por inercia propia. Un proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa es la aceleración de la gravedad. La gravedad actúa para influenciar el movimiento vertical del proyectil. El movimiento horizontal del proyectil es el resultado de la tendencia de cualquier objeto a permanecer en movimiento a velocidad constante.
El término proyectil se aplica por ejemplo a una bala disparada por un arma de fuego, a un cohete después de consumir su combustible, a un objeto lanzado desde un avión o en muchas actividades deportivas (golf, tenis, fútbol, béisbol, atletismo etc.). L os fuegos artificiales y las fuentes del agua son ejemplos del movimiento de proyectiles . El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria . El estudio del movimiento de proyectiles es complejo debido a la influencia de la resistencia del aire, la rotación de la Tierra, variación en la aceleración de la gravedad. La ciencia encargada de hacer el estudio del movimiento de los proyectiles se llama balística.
Experiencia de Galileo Galilei El hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las denominaba así y experimentaba con tiros parabólicos (Por ejemplo, recuerde las destrezas de David frente a Goliat). Galileo fue el primero que dio una descripción moderna y cualitativa del movimiento de proyectiles dando las bases para su conocimiento y demostró que la trayectoria de cualquier proyectil es una parábola. Galileo realizó un experimento con dos objetos: impulsó uno horizontalmente desde una mesa y dejó caer otro cuerpo desde el borde verticalmente. Al dejar caer un cuerpo A verticalmente = 0y lanzando horizontalmente en el mismo instante un objeto B con una velocidad horizontal ( ), Galileo Galilei comprobó que ambos caen al mismo tiempo; es decir tardan lo mismo en llegar al suelo. El objeto A , en Caída libre tiene solamente la velocidad vertical en un instante t y posee una aceleración que es la de gravedad, luego está dotado de un movimiento uniformemente acelerado. El objeto B está animado en ese instante t de dos movimientos y como consecuencia de dos velocidades perpendiculares: la velocidad vertical de caída y la velocidad horizontal debido al impulso de lanzamiento.
Como los objetos A y B tardan lo mismo en caer, Galileo concluyó que la velocidad horizontal debido al movimiento uniforme, ya que el cuerpo no posee aceleración, no influye en el movimiento de caída del cuerpo B , o sea, que las velocidades y actúan simultáneamente sobre B , pero en forma independiente la una de otra. Quiere decir que el cuerpo B se mueve como consecuencia de la acción de dos movimientos: uno uniformemente acelerado (vertical), con una aceleración igual a la de gravedad ( ) y otro uniforme (horizontal), con aceleración igual a cero. El principio de superposición de movimientos:” Si el movimiento de un cuerpo es el resultado de otros dos movimientos simultáneos, la posición que ocupa al cabo de un tiempo t es la misma que ocuparía si ambos movimientos se hubiesen cumplido sucesiva e independientemente uno de otro y cada uno de ellos durante el mismo tiempo t” . Análisis del movimiento de proyectiles
Se examina sólo trayectorias suficientemente cortas para que la fuerza gravitacional se pueda considerar constante en magnitud y dirección. También hay que analizar no tener en cuenta los efectos de la resistencia del aire; Estas hipótesis simplificadas constituyen la base de un modelo idealizado del problema físico. Como, en este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso considerado constante en magnitud y dirección, es mejor referir el movimiento a un sistema de ejes coordenadas rectangulares. Se toma el eje x horizontal y el eje y verticalmente hacia arriba. La componen te x de la fuerza que actúa sobre el proyectil es nula y la componen te y es el
peso del proyectil – mg. Esto es, la componen te horizontal de la aceleració n es nula, y la componen te vertical hacia abajo, es igual a la de un cuerpo que cae librement e. Puesto que la aceleració n nula significa velocidad constante, el movimien to puede definirse como una combinaci ón de movimien to horizontal con velocidad constante y movimien to vertical con aceleració n constante.
Estos dos movimientos hacen que el movimiento resultante sea de trayectoria parabólica . Dichos movimientos son completamente independientes uno del otro.
Considére se un proyectil sencillo La componen te horizontal del movimien to de un proyectil es igual al movimien to horizontal de una pelota que rueda librement e sobre la superficie plana de la mesa. Si podemos despreciar el efecto de la fricción, la bola se mueve a velocidad constante, recorriend o
distancias iguales en intervalos de tiempos iguales. La componente vertical del movimiento de un proyectil que describe una trayectoria curva es exactamente igual que el movimiento de un objeto en caída libre. El movimiento del proyectil de una pelota que se deja caer, tiene una componente vertical en la dirección de la gravedad terrestre, el proyectil se acelera hacia abajo. El aumento de la rapidez en la dirección vertical hace que el objeto recorra distancias cada vez mayores a intervalos de tiempos iguales. Es interesante notar que la componente horizontal del movimiento de un proyectil es totalmente independiente de la componente vertical. Cada uno de ellas actúa de manera independiente. Sus efectos combinados producen toda la gama de trayectorias curvas que describen los proyectiles. Una Fotografía real con luz estrobosc ópica de dos pelotas de golf que caen simultáne amente, una librement e y la otra que se lanza en forma horizontal revela que el movimien to curvilíneo de la pelota es una combinaci
ón de los movimien tos horizontal y vertical.
Más consideraciones del Movimiento de Proyectiles Considérese una bala de cañón que se dispara con determinado ángulo de elevación. Suponga por un momento que no hay gravedad; entonces a causa de la inercia, la bala de cañón seguirá la trayectoria rectilínea representada por la línea discontinua. Pero la gravedad existe, por lo que esto no sucede. Lo que realidad ocurre es que la bala cae continuamente por debajo de la línea imaginaria, hasta que por último llega al suelo. Es important e notar que la distancia vertical que un objto cae por debajo de cualquier punto de la línea discontinu a es la misma distancia vertical que caería si se soltara desde el reposo en el mismo tiempo.
Si se desprecian los efectos de la resistencia del aire, cualquier objeto que se lanza en este medio describirá una trayectoria parabólica. No obstante en situaciones prácticas la resistencia del aire puede considerarse despreciable sólo en el caso de objetos que se mueven lentamente y que posean altas densidades. Como una roca o una esfera sólida. Los proyectiles de alta-velocidad, como balas de rifles o cañón, son frenados en forma continua por la resistencia del aire y su trayectoria difiere de una parábola.
La altura vertical y el alcance horizontal de un proyectil dependen de su velocidad inicial y su ángulo de proyecció n. Se obtiene la altura máxima cuando la proyecció n es vertical hacia arriba 90º y la distancia horizontal máxima cuando el ángulo de proyecció n es de 45º.
Se puede obtener la misma distancia horizontal, o alcance para dos ángulos de proyección diferentes. Esto es verdad para todos los pares de ángulos que suman 90º. Un objeto lanzado al aire a un ángulo de 30º, por ejemplo, tocará tierra tan lejos como si hubiera sido lanzado a la misma velocidad a un ángulo de 60º. Sin embargo, es obvio que el objeto lanzado a mayor ángulo permanece en el aire más tiempo.
Movimiento Parabólico La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.
Un MRU horizontal de velocidad vx constante. Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.
Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los
libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil. Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.
1. Disparo de proyectiles. Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son x=v 0·cosθ·t y=v 0·senθ·t-gt 2 /2
Eliminado el tiempo t , obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola)
Propuesta de trabajo .
Un cañón dispara obuses con una velocidad inicial de 15 m/s. Calcula el alcance y el tiempo que el obús permanece en el aire para ángulos de 30º, 45º y 60º. Observa las leyendas en verde de la pizarra y detén el botón del tiempo cuándo la altura sea cero o muy próxima a cero. En este momento la velocidad de llegada y salida coinciden. Repite la experiencia para una velocidad inicial de 30 m/s. ¿qué conclusiones sacas?
1.1. Alcance. El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y =0.
Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2·30)=sen(2·60).
1.2. Altura máxima.
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con
v y =0.
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.
1.3.Resumen. Tiempo de vuelo
Alcance máximo
Altura máxima
Alcanc e de un proyec til para una veloci dad inicial de 60 m/s y divers os ángulo s de tiro.
Resuelve los siguientes ejercicios, primero a mano y compara después los resultados Propuesta de trabajo.
1.-Se lanza
un cuerpo desde el
origen con velocidad horizontal de 40 m/s, y con un ángulo de 60º. Calcular la máxima altura y el alcance horizontal. 2.Un cañón
dispara una bala con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala. Hallar también la altura máxima. Resuélvelos primero a mano y compara después los resultados
1.4.Tiro parabólico con altura inicial.
Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v 0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecem os un sistema de referencia como se indica en la figura. Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son: v x =v 0·cosθ v y= v 0·senθ-g·t
La posición del proyectil en función del tiempo es x= v 0·cosθ·t y= h+v 0·senθ·t-g·t 2 /2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t , se obtiene la posición x e y del proyectil.
Procediendo de igual manera podemos deducir las ecuaciones del alcance máximo, altura máxima y tiempo de vuelo. 3.Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una
velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componente s de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar también la altura máxima. (Hallar primero, las componente s horizontal y vertical de la velocidad inicial ¿QUÉ DIFERENCIA S OBSERVAS?
L3. MOVIMIENTO Y DETERMINACIÓN DEL ALCANCE DE UN PROYECTIL INTRODUCCIÓN: Sdenominm aovim b oienptraóicolrazedop ournobetjucay b rteocriad p secuna árbo p a.Sleocr sondoeca yntreocliradlede ounyp liqtecrusemuvenunmdeoiquneo rcesitfnalvnecyq uestájouanacmpovagtioruniofm r e.También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniformehizonarltym om viienoterílincounofi m r ementcalrdovictrl.T aep oids m eovm i b ienotpraóiclo():El movm i oiendtem p b ediaárolasm e p i-arbóciloal(nzameinothoiz ronseat):lpuedecondsiear comoaclompocsóindeunavanceho izronaeltrnclíiteounifom r eyalc b adíailrei)(.Em l ovim b ienotpraóiclom p toeps:ludeocnidsrecaom oaclmpoicósnduenvanech oizrelraíintcotunofim r eyunalzmoeni b vteicrlhaqr ,auesu nmovm iienoteílincrounifom rem enta b clrd johiacM o(RUA p)olarcióndlaegv dera. OBJETIVOS Encontrar como la distancia vertical que ha caído un proyectil está relacionada con la distancia horizontal alcanzada.Predecir y verificar el alcance de un proyectil lanzado a cierto ángulo. La velocidad inicial del proyectil es determinada disparando el proyectil horizontalmente y midiendo su alcance y la altura desde la que fue lanzado. EQUIPO Lanzador y proyectil con proyectil esférico de acero, tabla (para colocarla de blanco como muestra la fig. 1) y cinta métrica y plomada.Papel carbón, papel blanco, papel milimetrado y cinta pegante (Materiales que debe traer cada sub-grupo). MARCO TEÓRICO Un caso particular del estudio del movimiento en dos dimensiones es el tiro parabólico por tanto puede tratarse de manera vectorial. Sianalizamos un movimiento uniformemente acelerado de manera general vemos que la ecuaciones principales pueden escribirse de lasiguiente forma: () 000 ttdt tt o −+=+= ∫ avavv rrrrr (1) () [] ( ) ( ) ( ) 2021000000000 ttttdtttdtdttt tttttt ooo −+−+=−++=−++= ∫∫∫ avravravrr rrrrrrrrrr
(2)En su aplicación al movimiento parabólico (o de proyectil), a = g = aceleración de la gravedad. Si se escoge el plano XY coincidente con el plano definido por v 0 y a ; el eje Y hacia arriba de modo que g = j g, y el origen O coincidente con r 0 (no en general, ver figura 1).Entonces α=α=+= senycos donde ˆˆ 000000 vvvvvv yxyx jiv 0 r (3)La ecuación (1) puede separarse en sus componentes (si t 0 = 0) se escribe ) gtvvvv yxyx j ji jiv ˆˆˆˆˆ 00 −+=+= r o v x = v 0 x ,
v y = v 0 y – gt , (4)que indica que la componente de v en la dirección X permanece constante, como debe ser, ya que no hay aceleración en dicha dirección.Similarmente, la ec. (2) con r 0 =0y t 0 = 0, cuando se separa en sus componentes se transforma en: ) 22100 ˆˆˆˆˆ gttvvyx yx j ji jir −+=+= r o x = v 0 x t , y = v 0 y t – ½ gt 2 , (5)que dan las componentes de la partícula en función del tiempo. El tiempo requerido para que el proyectil alcance la máxima altura
A ( t s =tiempo de subida) se encuentra haciendo v y = 0 ya que en ese punto, la velocidad del proyectil es horizontal. Luego gvgvt ys α== sen 00 La máxima altura H se obtiene sustituyendo este valor de t en la ecuación de y , dando gvgvH oy 2sen2 2202 α== El tiempo necesario para que el proyectil retorne al nivel del suelo en B , coordenadas ( x , 0) denominado iem tdopuelv , se obtienehaciendo y = 0. El tiempo de vuelo es el doble del tiempo de subida. El alcneR = OB es la distancia horizontal cubierta, y se obtienesustituyendo el valor del tiempo de vuelo en la ecuación de x , resultando: gvgvgvvtvR yxvx α=αα=== 2sencossen2 2 2020000
Al eliminar el tiempo entre las ecuaciones de x = v 0 x t y y = v 0 y t – ½ gt 2 , se obtiene la ecuación de la trayectoria: c 22202200 cos2tan2 xvgxxvgxvvy xoxy α−α=−= El alcance horizontal es máximo para sen2 α = 1, es decir, para un ángulo de lanzamiento de 45 ° .Estos resultados son válidos si la velocidad inicial es suficientemente pequeña para que se puedan despreciar (1) la curvatura de la Tierra,(2) la variación de la gravedad con la altura y (3) la resistencia del aire. Si se toma en cuenta la resistencia del aire, la trayectoria se apartade su forma parabólica como se ve en la figura 2, y disminuyen la altura y el alcance máximos. Para un proyectil de largo alcance (comoel misil balístico intercontinental), la situación es como se muestra en al figura 3, donde todos los vectores g apuntan hacia el centro delatiera y su magnitud varía con la altura. La trayectoria en este caso es un arco de una elipse.
