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CAPITULO
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Movimiento en dos y tres dimensiones
La ecuación 3.18 es útil para determinar el alcance de proyectiles con elevaciones inicial y final iguales. Es importante destacar que esta ecuación muestra cómo el alcance depende de 6. Como el valor máximo de sen 20 es 1, cuando 20 = 90°, o sea, 0 = 45°, el alcance del proyectil es máximo cuando 0 = 45°. La figura 3.17 muestra una serie de gráficos de las distancias verticales en función de las distancias horizontales para proyectiles de velocidad inicial 24,5 m/s y varios ángulos iniciales distintos. Los ángulos representados son 45°, que es el de alcance máximo, y pares de ángulos que difieren el mismo número de grados por encima y por debajo de 45°. Obsérvese que estos pares de ángulos tienen el mismo alcance. La curva verde tiene un ángulo inicial de 36,9° (0,64 rad), como en el ejemplo 3.6. En muchas aplicaciones prácticas, las cotas de altura inicial y final pueden no ser iguales y son importantes otras consideraciones. Por ejemplo, en el lanzamiento de peso, la bola termina su recorrido cuando choca contra el suelo, pero ha sido proyectada desde una altura inicial de unos 2 m sobre el suelo. Esto hace que el alcance sea máximo para un ángulo algo inferior a 45°, como se indica en la figura 3.18. Los estudios realizados de los mejores lanzadores de peso muestran que el alcance máximo tiene lugar para un ángulo inicial de unos 42°.
6=70°
F I G U R A 3.17 trayectoria.
70 x, m El módulo de la velocidad inicial es el mismo en cada
45° trayectoria
Altura inicial
Si las alturas inicial y final
fueran la misma, la trayectoria cuyo ángulo de lanzamiento fuese 45° tendría el mayor alcance
Altura final Trayectoria parabólica más aplanada F I G U R A 3.18 Si un proyectil cae al suelo a una altura inferior a la de lanzamiento, el alcance máximo se logra bajo un ángulo de tiro algo menor de 45°.
Ejemplo 3.9
A la caza del ladrón
Un policía persigue a un consumado ladrón de joyas a través de los tejados de la ciudad. Ambos están corriendo a la velocidad de 5 m/s cuando llegan a un espacio vacío entre dos edificios que tiene 4 m de anchura y un desnivel de 3 m, tal como muestra la figura 3.19. El ladrón, que tiene algunos conocimientos de física, salta a 5 m/s con una inclinación de 45° y salva el hueco con facilidad. El policía nunca estudió física y piensa que lo mejor sería saltar con el máximo de velocidad horizontal, de modo que salta a 5 m/s horizontalmente. (fl) ¿Conseguirá salvar el obstáculo? (b) ¿A qué distancia del borde del segundo edificio llegó el ladrón?
J¡
SOLUCIÓN (a) 1. Escribir f cuando y = —3 m: : y(f) para el policía y ( 3m^\yJcalcular :
I :
0
1 '
iw^
2. Determinar la distancia horizontal recorrida durante este 4 m [______________ tiempo:
y = y0 + vj - \gt2 - 3,00 m = 0 + 0 - ¿(9,81 m/s2)f2 t = 0,782 s x
= XÜ + V x = 0 + (5,00m/s)(0,782s)
PLANTEAMIENTO El tiempo en el aire durante el salto depende F I G U R A 3.19 sólo del movimiento vertical. Elegir como origen el punto de lanzamiento con la dirección positiva hacia arriba, para poder aplicar las ecuaciones 3.16. Utilizar la ecuación 3.16b para y(t) y deducir de ella el tiempo para y = — 3 m para 60 = 0 y de nuevo para 90 = 45,0°. El valor de x correspondiente a este tiempo es la distancia horizontal recorrida.
3,91 m Como esta distancia es menor de 4 m, el policía no puede cruzar el espacio vacío entre los edificios.
