Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Andro lhander quispe quispe cayo Resumen En general e1 movimiento de los objetos verdaderos se realiza en el espacio real tridimensional. tridimensional. E1 movimiento de una partícula que se realiza en un plano es un movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se realiza en el espacio, se produce en tres dimensiones. En este capítulo se estudia la cinemática de una partícula que se mueve sobre un plano. Ejemplos de un movimiento en dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire, tal como una pelota, un disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de planetas y satlites, etc. El movimiento de los objetos que giran en una !rbita cuya trayectoria es una circun"erencia, se conoce como movimiento circun"erencial# es un caso de movimiento en dos dimensiones, que tambin es estudiado en este capítulo. El vuelo de una mosca, el de un avi!n o el movimiento de las nubes se produce en tres dimensiones. dimensiones. Astrac the movement o" planets and satellites, etc. $he movement o" the objects that you%they rotate in an orbit &hose trajectory is a circum"erence, circum"erence, is 'no&n as movement circun"erencial# circun"erencial# it is a case o" movement in t&o t &o dimensions that it is also studied in this chapter. $he "light o" a "ly, that o" an airplane or the movement o" the clouds ta'es place in three dimensions.
(alab (alabras ras claves claves)) "uerza "uerza de graved gravedad ad,, "uerza "uerza,, análi análisi sis s de movimi movimient ento, o, tiempo tiempo,, traye trayecto ctoria ria,, movim movimien iento to parab!lico.
1. INTR INTROD ODUC UCCI CION ON
nica "uerza que acta sobre l es la gravedad. -ay una variedad de ejemplos de proye proyecti ctile les) s) un objeto objeto que se lanza lanza desde un precipicio es un proyectil# un objeto que se lanza verticalmente hacia arri arriba ba es tamb tambi in n un proy proyec ecti til# l# y un objeto objeto es qu qu lanza lanzado do hacia hacia arrib arriba a en ángulo tambin está un proyectil. $odos estos ejemplos se dan con la condici!n de que la resisten tencia del aire se considera insigni"icante.
2. En el pres presen ente te info inform rmee se da a cono conoce cerr el ejer ejerci cici cio o expe experi rime ment ntal al y los los resu result ltad ados os obtenidos de la práctica de laboratorio hecha dentro del desarrollo del curso cinemática y dinámica newtoniana. El tema central de este traba rabajo jo es "caí "caída da lib libre y movim ovimie ien nto semiparabolico"
objetivos •
•
•
•
3. Obje Objeti tivo voss prac practi tica ca ! ! escribir el movimiento de los cuerpos en caída libre. #all #allaar exp experim erimen enta talm lmen ente te el valo alor de la aceleraci$n %ravitatoria. &. '. Obje Objeti tivo voss prac practi tica ca 2! 2! (dentificar el movimiento parab$lico como composici$n de dos movimientos independientes. escribir en su totalidad cada uno de los movimientos componentes del movimiento parab$lico.
. *. !ovimiento
de
"ro#ectiles
+n proyectil es un objeto sobre el cual la Física
. +n proyectil es cualquier objeto que se proyectara una vez que contina en el movimi movimien ento to por su propia propia inerc inercia ia y es in"l in"lue uenc ncia iado do sola solame ment nte e por por la "uer "uerza za hacia abajo de la gravedad.
Distan ancia cia Rec Recor orrid rida$ a$ 0a dist /. Dist distan anci cia a recorrida por un m!vil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar , se representa s y su unidad en el 2 es el metro 13. 11. 11. Des%la&amiento$ El desplazamiento es un vector cuyo origen es la posici!n del
m!vil en un instante de tiempo que se considera inicial, y cuyo e4tremo es la posici!n del m!vil en un instante considerado "inal. e representa por r y se e4presa en metros. 15. El vector desplazamiento no depende de la trayectoria seguida por el m!vil sino s!lo de los puntos donde se encuentre en los instantes inicial y "inal. Así, si un m!vil regresa al punto de partida, su desplazamiento será nulo aunque no lo sea el espacio recorrido. 16. Ra%ide&$ 0a rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo, se representa y su unidad en el 2 es m%s 17. 0a rapidez media es la distancia recorrida dividida el tiempo total transcurrido al recorrer dicha distancia. 0a representamos) 18. +n proyectil es un objeto sobre el cual la nica "uerza que acta sobre l es la gravedad. -ay una variedad de ejemplos de proyectiles) un objeto que se lanza desde un precipicio es un proyectil# un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba es tambin un proyectil# y un objeto es qu lanzado hacia arriba en ángulo tambin está un proyectil. $odos estos ejemplos se dan con la condici!n de que la resistencia del aire se considera insigni"icante. 19. 1*. 1. 1/. 53. 51. 55. 56. 57. 58. "ROC'DI!I'NTO
'+"'RI!'NT),'*
(
D)TO*
59. 5*. :isponer el equipo como se muestra en la ;igura 5 y asegure que la rampa de lanzamiento quede bien "ija en la mesa. Física
66. 67. 68. 69. 6*. 6. 6/. 73. 71. 75. 76. 5.5. (ara localizar los puntos por los cuales pasa el proyectil, use el panel registrador de impactos =papel carb!n sobre un papel sábana en una super"icie de madera>. ?olocando el panel en la vertical @@ =;igura 5> y mediante un impacto de proyectil marcar en el panel registrador la posici!n del origen de coordenadas =punto @> a partir del cual se medirá la coordenada ByB del proyectil en cualquier instante. 77. 78. 5.6. :esplazar el panel registrador hasta una posici!n de 13 cm =4 C13 cm> y soltar cinco veces la es"erita desde el punto más alto de la rampa de lanzamiento. e visualizará 8 marcas de impactos dispersas a, b, c, d y e, como se ve en la ;igura 5. Dedir las 8 distancias yi a partir del punto @ y an!telas en la $abla 1. 79. 7*. 5.7. Repetir el ítem anterior cambiando la posici!n del pie del panel a 53, 63, 73, 83 y 93 cm del punto @. 7.
-. Tabla 1. Coordenadas de la %osici/n de im%actos de 0n %ro#ectil 2.
1. N 3
4. x ) c m *
) c m *
-. 1
.
6. 4
8. 1 3
2. 5
91. 1 8
5. -
-. 4 2
.
6. 4
.
62. 5 2
7-. 76. 77. 7. +
7.
. 2 . 4 . 1 . 4. . 5 . . 6 7. 1 4 . 4 61. 1 . 6-. 4 . 7 66. 5 . 72. 5 . 4 75. 5 . 7.
2. +
1. +
2 ) c m *
3 ) c m *
& ) c m *
4. 2 .
5. 2 .
-. 2 .
64. 6
6. 7
67.
71. 1 2
Física
5. +
65. 5 6. 2 6. 74. 2
. 1 . 6 7. . 121. 6.7 12-. 14. 126. 16 112. 4. 115. 55. 11. --.4 11. -.144.
7 . 1 . 7 . . 6 124. 7.4 12. 15.1 127. 17.6 111. 46 11-. 5-.4 116. --.142. . 145.
6 6. 1 . 122. -.7
146.
147.
14.
+'
+
x2
125. 7.6 12. 15. 12. 17.7 114. 46. 11. 5-.5 117. --. 141. .1 14-.
14. 159.
) c m *
152. 2. 155. 1. 15. -.15. 7.6 1-4. 15.5 1-. 1.4 1-7. 47.1 11. 5. 1-. -.5 16. . 12. 196.
) c m *
) c m 2
151.
154.
15-.
15.
156.
157.
1-2.
1-1.
1-5.
1--.
1-.
1-6.
1-.
12.
14.
15.
1.
1.
17.
1.
11.
14.
197. 198. "ROC'*)!I'NTO ( )N8,I*I* 199. 19*. 19. 6.1 ?ompletar la $abla 1 y gra"icar en papel milimetrado # en "unci!n de 9. Fu tipo de relaci!n "uncional e4iste entre # y 9 G 19/. 1*3. 1*1. 1*5. 1*6. 1*7. 1*8. 1*9. 1**. 1*. 1*/. 13. 11. 15. 16. 17. 18. 19. 1*. 1. 1/. 6.5. Hra"icar # en "unci!n de 94. Fu tipo de relaci!n "uncional e4iste entre # y 94G 1/3. 1/1. 1/5. 1/6. 1/7. 1/8. 1/9. 1/*. 1/. 1//. 533. 531. 535. 536. 537. 538. 539. 53*. 53. 53/. 6.6 i la grá"ica # vs 94 muestra una relaci!n lineal, determine en la misma el intercepto, pendiente y ecuaci!n empírica. 513. 511. A1 C IIIIII..J1 C.................... 515. Ecuaci!n)............................................ ...... 516. Física
517. 6.7 ?omparando la ecuaci!n del ítem anterior con la Ecuaci!n 8 deducir el valor de la velocidad inicial del proyectil en el e4tremo "inal de la rampa 518. 519. vo C...................................................... 51*. 51. 9.8 A partir de los resultados obtenidos por ste mtodo, escribir las ecuaciones paramtricas de 51/. 553. 4 C "=t> C........................................... 551. y C "=t> C...................................... 555.
445. 44-.
!:todo 'stad;stico$
558. 6.9 ?ompletar la $abla 5. -acer el siguiente cambio de variables) 559. 55*. K C 4 5 y L C y. 55. 55/. 563. 561. 565. 566. 567.
45. 45. 456. 457. N3
4-1. 1 4--. 4 4-6. 5 42. 45. 4. 4. 6 44. 7 4.
Tabla 4$
4-2.
4-4.
4-5.
4-.
4-.
4-7.
4-.
41.
44.
4-.
4.
46.
47.
42.
41.
45.
4-.
4.
46.
+ j y ) c m *
47. 12 461. 46-. 46. 46. 466. 467. - j+ j
4.
462.
464.
465.
j
2/,.
472. +j
471.
474.
475.
47-.
47.
47.
476.
477.
47.
42.
41.
44.
45.
4-.
4.
4.
46.
47.
4.
522.
521.
524.
525.
52-.
52.
52.
526.
527.
52.
512.
511.
514.
515.
51-. 618. 6.* ?on las "!rmulas de los cuadrados mínimos y sumatorias de la $abla 5, calcule el intercepto A5, la pendiente J5, sus respectivos errores y escriba la ecuaci!n empírica. (uede usar su calculadora cientí"ica o algn procesador de datos. 619. 61*. A5 C.................. M........................... 61. J5CIIII.I......... M............................ 61/. Ecuaci!n) II.............................................. 653. 651. 6. ?omparando la ecuaci!n del ítem anterior con la Ecuaci!n 8 deducir el valor de la velocidad inicial del proyectil en el e4tremo "inal de la rampa 655. 656. vo C...................... M ............................... 657. Física
658. 659. 65*. 6./ A partir de los resultados obtenidos por ste mtodo, escribir las ecuaciones) 65. 65/. 4 C "=t> C ..................................................... 663. y C "=t> C .......................................... 661. 665. 6.13 ?ompare J1 con J5 y decida cuál de ellos se toma como el mejor valor para determinar lavelocidad inicial del proyectil. 666. I........................................................ ........ 667. 668. 6.11 (or qu no es cero el valor del intercepto A1 ! A5G 669. I............................... 66*. 66. R'*U,T)DO* 66/. 673. 671. 675. 676. Dto A J d o 677. 678. 67*. Hrá"i c 679. o 67. 67/. 681. Esta d 683. í s ti c o 685. 686. 687. 688. 689. 68*. Ecua 68/. Nelo ci!n cidad 52. inicia Empírica de la l vo 57. $ray ectoria y C "=4>
51. 54. 5-.
55. 5.
5. 56. 57. 5. 562. 6*1. CONC,U*ION'* 6*5. 6*6. 6*7. 6*8. En condiciones ideales todo cuerpo caería con la misma velocidad a e"ectos de la "uerza de aceleraci!n gravitacional. in embargo, en la e4periencia se pudo evidenciar que la velocidad con la que cae un objeto en caída libre, puede variar por diversos "actores) por la resistencia del aire, el área de contacto y la densidad del cuerpo. 6*9. El movimiento de caída libre se caracteriza por presentar una velocidad inicial de o m%s y una aceleraci!n que es la aceleraci!n de la gravedad. Este movimiento es perpendicular al suelo. Es posible determinar varias características como la altura y su velocidad en un tiempo determinado. 6**. En la práctica el valor de la aceleraci!n gravitacional es de *.77 m%s 5 y comparándolo con la magnitud real que es de /. m%s5 obtuvimos un margen de error del 57 O. Esto se debe a la "ricci!n que hay del papel con la maquina registradora y la resistencia del aire, el coe"iciente de rozamiento es alto debido a que el papel está semiprensado. Además, la cinta estaba sujeta desde la mitad para soltarla y dejarla caer libremente. 0o que caus! que, no e4istiera coordinaci!n en el encendido del registrador y la soltada de la cinta,
esto aporta al error obtenido. (or otra parte, al medir las distancias entre punto y punto marcados en la cinta, había varios que di"ícilmente se podían ver y "ue necesaria una segunda medici!n. ?omo había una alta precisi!n en el tiempo, cualquier error en la medida de las distancias es muy alto. 6*. El movimiento semiparab!lico se presenta en dos dimensiones) en uno se presenta el movimiento rectilíneo uni"orme, perteneciente al eje K# y el otro movimiento es uni"ormemente acelerado presentado en el eje L, que es el mismo de caída libre. 6*/. 0os errores se dan por "allas del sujeto que mide. Al trabajar con valores muy pequePos se puede discriminar ci"ras que luego a"ectaran drásticamente los resultados que se esperan. 63. ?on la determinaci!n de las ecuaciones para la posici!n en "unci!n de tiempo o velocidad en "unci!n de tiempo, es posible predecir lo que puede suceder en un valor de tiempo determinado. A su vez, se puede hallar el tiempo en un alcance, altura o velocidad determinada. 61. 65. 66. RE;ERE
Física
