UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA CONTROL AUTÓMATICO II NOMBRE: DANAHI CASTILLO CARRASCO PROFESOR: ÁNGEL FERNÁNDEZ TAREA 5
COMPENSACIÓN EN ADELANTO. Se diseñará un compensador en adelanto usando dos métodos, LGR y Bode. La compensación en adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. Se utiliza para modificar la característica transitoria de un sistema y mejorar el margen de estabilidad. Su efecto está basado en modificar la l a característica de fase proporcionando el adelanto necesario para obtener el margen de fase deseado del sistema. El máximo margen de fase que aporta a una red es de 65°. El compensador de adelanto obtiene un ancho de banda mayor que de atraso, es decir mayor velocidad de respuesta. El ancho de banda se considera al intervalo de frecuencias desde cero hasta la frecuencia de cruce de ganancias. El aumento del ancho de banda hace al sistema más susceptible a los ruidos de altas frecuencias, ya que el compensador en adelanto actúa a modo de filtro pasa alto.
El compensador en atraso tiene la forma general:
1
La frecuencia donde alcanza el máximo de adelanto de fase es
Siendo la amplificación a esta frecuencia de
Conviene tener en cuenta que el compensador de adelanto de fase siempre sumará ganancias positivas sobre el sistema original , llevando hacia la derecha la frecuencia de cruce de ganancia. Esto originaría que el margen de fase aumente menos de lo esperado. Un adecuado diseño del compensador supone que w m es suficientemente mayor que las frecuencias características del sistema. De esta forma, la ganancia positiva aportada por el compensador no sería muy grande a las frecuencias características del sistema y el desplazamiento hacia la izquierda de la frecuencia de cruce de ganancia no sería significativo. La disminución del margen de fase respecto de lo esperado se compensa con un cierto margen adicional entre 5 ° y 12. Se desea utilizar un compensador en adelanto para el siguiente sistema:
R(s) +
4 s ( s 2 )
C(s)
-
Se utilizarán dos métodos, LGR y Bode con las especificaciones respectivas.
2
La frecuencia donde alcanza el máximo de adelanto de fase es
Siendo la amplificación a esta frecuencia de
Conviene tener en cuenta que el compensador de adelanto de fase siempre sumará ganancias positivas sobre el sistema original , llevando hacia la derecha la frecuencia de cruce de ganancia. Esto originaría que el margen de fase aumente menos de lo esperado. Un adecuado diseño del compensador supone que w m es suficientemente mayor que las frecuencias características del sistema. De esta forma, la ganancia positiva aportada por el compensador no sería muy grande a las frecuencias características del sistema y el desplazamiento hacia la izquierda de la frecuencia de cruce de ganancia no sería significativo. La disminución del margen de fase respecto de lo esperado se compensa con un cierto margen adicional entre 5 ° y 12. Se desea utilizar un compensador en adelanto para el siguiente sistema:
R(s) +
4 s ( s 2 )
C(s)
-
Se utilizarán dos métodos, LGR y Bode con las especificaciones respectivas.
2
MÉTODO DE LGR. Se desea diseñar un compensador en adelanto para el sistema tal que la frecuencia natural no amortiguada wn, sea wn = 4 rad/seg sin cambiar el valor del factor de amortiguamiento relativo (ζ).
Para la solución de este problemas se seguirán los siguientes pasos: 1°
Estudiar el sistema no compensado, estudiar la estabilidad de este sistema.
2°
Diseñar el compensador en adelanto con lo requerimientos especificados.
3°
Estudiar el sistema compensado, comprobando que satisface los requerimientos del problema.
R(s) +
Compensado r -
en
adelanto
Kc
4 s ( s 2 )
C(s)
3
1° Estudio del sistema sin compensar
>> num=[4]; >> den=poly([0 -2])
; ingresa el numerador de la función ; con el comando poly obtenemos el denominador con sus respectivos exponentes ingresando sólo las raíces de éste.
den = 1
2
0
;resultado de aplicar el comando poly, obteniendo en el denominador:
>> figure(1)
;graficamos la primera figura, sistema sin compensar ;bode comando que grafica la respuesta en frecuencia del sistema por medio de Bode
>> rlocus(num,den) >> grid();
Root Locus 1.5
0.86
0.76
0.64
0.5
0.34
0.16
1 0.94
0.5 0.985
s i x A y r a n i g a m I
. 0
2
1.5
1
0.5
0.985 -0.5
0.94 -1
-1.5 -2.5
0.76
0.86 -2
0.64 -1.5
0.5 -1
0.34 -0.5
0.16 0
0.5
Real Axis
4
>>ga1=tf(num,den)
;se define ga1 como la función de transferencia del num y den, esto se obtiene con el comando tf
Transfer function:
;resultado del comando tf(num,den), obtenemos la función de transferencia de lazo abierto del sistema no compensado.
4 ----------------s^2 + 2 s >> feedback(ga1,1)
Transfer function: 4 ------------------s^2 + 2 s + 4 >> num1=[4]; >> den1=[1 2 4]; >> [z,p]=tf2zp(num1,den1)
z= Empty matrix: 0-by-1 p= -1.0000 + 1.7321i -1.0000 – 1.7321i
;con el comando feedback obtenemos la función de lazo cerrado del sistema no compensado ;función de lazo cerrado
;se ingresa el num y el den de la función de lazo cerrado, estos se definen como num1 y den1 ;con este comando obtenemos los polos y ceros de la función de lazo cerrado del sistema no compensado con K = 4 ;cero no hay
;número de polos y ubicación de éstos
>> [wn,z,p]=damp(tf(num1,den1)) ;este comando nos entrega los parámetros wn (frecuencia natural no amortiguada) y ζ (factor
de amortiguamiento relativo del sistema) para cada polo respectivamente
5
wn = 2.0000 2.0000 z= 0.5000 0.5000 p= -1.0000 + 1.7321i -1.0000 - 1.7321i Ubicamos los polos en el gráfico del LGR: Root Locus 2 0.66
0.8
0.52
0.4
0.26
0.12
System: sys Gain: 0.997 Pole: -1 + 1.73i Damping: 0.501 Overshoot (%): 16.3 Frequency (rad/sec): 2
1.5
0.9 1
0.97 0.5 s i x A y r a n i g a m I
2
0
1.5
1
0.5
-0.5 0.97
-1
System: sys Gain: 0.997 Pole: -1 - 1.73i Damping: 0.501 Overshoot (%): 16.3 Frequency (rad/sec): 2
0.9
-1.5
0.8 -2 -2.5
0.66 -2
0.52 -1.5
0.4 -1
0.26 -0.5
0.12 0
0.5
Real Axis
6
Polos dominantes: s = -1 + j1.7321 s = -1 – j1.7321 >> figure(2)
;grafica en la figura 2
>> step(num1,den1)
;aplica escalón unitario a la función de lazo cerrado del sistema no compensado, correspondiente a num1 y den1 y lo grafica en la figura 2 Step Response
1.4 System: sys Peak amplitude: 1.16 Overshoot (%): 16.3 At time (sec): 1.8
1.2
1 System: sy s Settling Time (sec): 4.04 System: sys Rise Time (sec): 0.822
0.8 e d u t i l p m A
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
En el punto del tiempo pico leemos el sobrepaso máximo (Mp) como Overshoot(%) en este caso: Overshoot(%) = 16.3, es decir Mp = 16.3% Tiempo de asentamiento (ts) = 4.04 s (criterio 2%) Tiempo peak (tp) = 1.8 s
7
2° Diseño del compensador en adelanto.
Se desea que wn = 4 rad/seg y que ζ no cambie. El sistema no compensado tiene: Wn = 2 rad/seg ζ = 0.5
Con las especificaciones podremos saber donde se ubican los polos dominantes del sistema compensado, según:
Los polos dominantes del sistema compensado:
Ahora se determinará el ángulo necesario φ que se va agregar para que la suma total de
los ángulos sea igual a
satisfaciendo la condición de ángulo. EL
compensador en adelanto debe contribuir a este ángulo φ.
>> polo = -2 + 3.464i; >> G=4/(polo*(polo+2));
;Ingresamos uno de los polos dominantes del sistema compensado ;Se evalúa el polo en la función de lazo abierto
>> fi=180-angle(G)*180/pi
;Se obtiene el ángulo φ
fi = 30.0007
8
φ = 30°
Utilizando el método de la bisectriz calculamos el polo (Pc) y cero (Zc) del compensador en adelanto:
El compensador quedaría de la siguiente forma:
9
R(s) +
( s 2 .9 ) ( s 5 .4 )
-
C(s)
1 s ( s 2 )
K
El sistema compensado tiene una ganancia K = 4Kc, que se calculará mediante el método de LGR. >> num2=[1 2.9]; >> den2=poly([0 -2 -5.4]); >> figure(3) >> rlocus(num2,den2) >> grid(); Como conocemos los polos dominantes del sistema compensado, en el gráfico los ubicamos y leemos el valor de K.
Root Locus 0.38
0.26
6
0.19
0.13
0.085
0.04
6
System: sy s Gain: 18.8 Pole: -1.98 + 3.47i Damping: 0.496 Overshoot (%): 16.6 Frequency (rad/sec): 4
0.52 4
7
5 4 3
2
s i x A y r a n i g a m I
0.8
2 1
0
1 -2
2
0.8
3 System: sy s Gain: 18.8 Pole: -1.98 - 3.47i Damping: 0.496 Overshoot (%): 16.6 Frequency (rad/sec): 3.99
-4 0.52 -6
0.38 -3
0.26 -2.5
-2
0.19 -1.5 Real Axis
4 5 6 0.13 -1
0.085
0.04 -0.5
7 0
10
K = 18.8 Con el nuevo valor de K se graficara la respuesta a un escalón de la función de lazo cerrado.
>> pol1=[18.8]; >> pol2=[1 2.9]; >> num3=conv(pol1,pol2) >> den3=poly([0 -5.4 -2]) >> g2=tf(num3,den3) Transfer function: 18.8 s + 54.52 ---------------------s^3 + 7.4 s^2 + 10.8 s >> feedback(g2,1) Transfer function: 18.8 s + 54.52 -----------------------------s^3 + 7.4 s^2 + 29.6 s + 54.52 >> num4=[18.8 54.52]; >> den4=[1 7.4 29.6 54.52]; >> [z,p]=tf2zp(num4,den4) z= -2.9000 p= -1.9957 + 3.4658i -1.9957 - 3.4658i -3.4086 >> figure(4) >> step(num4,den4)
11
Step Response 1.4 System: sys Peak amplitude: 1.21 Overshoot (%): 20.9 At time (sec): 0.85 1.2
1 System: sys Settling Time (sec): 2.04 System: sys Rise Time (sec): 0.372
0.8 e d u t i l p m A
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec)
Mp = 20.9% Tiempo de asentamiento (ts) = 2.04 s (criterio 2%) Tiempo peak (tp) = 0.85 s
Observando el gráfico de LGR podemos observar en la ubicación de los polos dominantes de lazo cerrado que el sistema compensado satisface los requerimientos del problema. Además con el comando damp en Matlab podemos confirmar esto: >> [wn,z,p]=damp(tf(num4,den4)) wn = 3.4086 3.9994 3.9994
12
z= 1.0000 0.4990 0.4990 p= -3.4086 -1.9957 + 3.4658i -1.9957 - 3.4658i wn = 3.9994 ≈ 4 rad/seg ζ = 0.499 ≈ 0.5 Comparación gráfica del sistema sin compensar y compensado:
>> figure(5) >> rlocus(num,den) >> hold Current plot held >> rlocus(num2,den2) Root Locus 15 0.38
0.26
0.19
0.13
0.085
0.04
14 12
10
10 0.52 8 6
5
s i x A y r a n i g a m I
0.8
4 2
0
2
-5
4
0.8
6 8 -10
0.52 10 12 0.26
0.38 -15 -6
-5
-4
0.19
0.13
-3
-2 Real Axis
0.085
0.04 -1
14 0
1
13
>> figure(6) >> step(num1,den1) >> hold Current plot held >> step(num4,den4) Step Response Sistema sin Compensar Sistema Compensado 1.2
1 System: sys Settling Time (sec): 2.04
System: sy s Settling Time (sec): 4.04
0.8 e d u t i l p m A 0.6
0.4
0.2
0 0
1
2
3
4
5
Time (sec)
El sistema con compensación en adelanto tiene una respuesta mucho más rápida. El tiempo de asentamiento del sistema sin compensar es el doble que el sistema compensado.
14
Código completo Matlab: %Sistema Sin Compensar%
>> num=[4]; >> den=poly([0 -2]) >> figure(1) >> rlocus(num,den) >> ga1=tf(num,den) Transfer function: 4 --------s^2 + 2 s >> feedback(ga1,1) Transfer function: 4 ------------s^2 + 2 s + 4 >> num1=[4]; >> den1=[1 2 4]; >> [z,p]=tf2zp(num1,den1) z= Empty matrix: 0-by-1 p= -1.0000 + 1.7321i -1.0000 - 1.7321i >> [wn,z,p]=damp(tf(num1,den1)) wn = 2.0000 2.0000 15
z= 0.5000 0.5000 p= -1.0000 + 1.7321i -1.0000 - 1.7321i >> figure(2) >> step(num1,den1) >>grid(); %Determinar Angulo φ %
>> polo = -2 + 3.464i >> G=4/(polo*(polo+2)) >> fi=180-angle(G)*180/pi fi = 30.0007 %Sistema Compensado %
>> num2=[1 2.9]; >> den2=poly([0 -2 -5.4]) >> figure(3) >> rlocus(num2,den2) >> grid(); >> pol1=[18.8]; >> pol2=[1 2.9]; >> num3=conv(pol1,pol2) >> den3=poly([0 -5.4 -2]) >> g2=tf(num3,den3)
16
Transfer function: 18.8 s + 54.52 ---------------------s^3 + 7.4 s^2 + 10.8 s
>> feedback(g2,1) Transfer function: 18.8 s + 54.52 -----------------------------s^3 + 7.4 s^2 + 29.6 s + 54.52 >> num4=[18.8 54.52]; >> den4=[1 7.4 29.6 54.52]; >> figure(4) >> step(num4,den4) >>grid(); >> [z,p]=tf2zp(num4,den4) z= -2.9000 p= -1.9957 + 3.4658i -1.9957 - 3.4658i -3.4086 >> [wn,z,p]=damp(tf(num4,den4)) wn = 3.4086 3.9994 3.9994
17
z= 1.0000 0.4990 0.4990 p= -3.4086 -1.9957 + 3.4658i -1.9957 - 3.4658i >> figure(5) >> rlocus(num,den) >> hold Current plot held >> rlocus(num2,den2) >> >> figure(6) >> step(num1,den1) >> hold Current plot held >> step(num4,den4)
18
MÉTODO DE BODE. Se quiere diseñar un compensador en adelanto de modo que la constante de error estático de velocidad Kv sea de 20 seg -1, el margen de fase (M F) sea al menos 50° y el margen de ganancia (M G) se al menos 10 dB. 1° Estudio del sistema sin compensar
>> num=[4]; >> den=poly([0 -2])
den = 1 2
; ingresa el numerador de la función ; con el comando poly obtenemos el denominador con sus respectivos exponentes ingresando sólo las raíces de éste.
0
;resultado de aplicar el comando poly, obteniendo en el denominador: ;graficamos la primera figura, sistema sin compensar ;bode comando que grafica la respuesta en frecuencia del sistema por medio de Bode
>> figure(1) >> bode(num,den) >>grid();
Bode Diagram 30 20 10 0 ) B -10 d ( e d -20 u t i n g a -30 M
-40 -50 -60 -70 -90
) g e d (
System: sys Phase Margin (deg): 51.8 Delay Margin (sec): 0.575 At frequency (rad/sec): 1.57 Closed Loop Stable? Yes
-120
e s a h P
-150
-180 -1
10
0
1
10
10 Frequency (rad/sec)
2
10
19
Margen de Ganancia = ∞ Margen de Fase = 51.8° Frecuencia de cruce de fase = 1.57 rad/seg
Ahora se evaluará la respuesta del sistema a un escalón unitario. >> g1=tf(num,den)
Transfer function:
;se obtiene la función de transferencia de lazo abierto
4 ----------------s^2 + 2 s
>> feedback(g1,1) Transfer function:
;se obtiene la función de transferencia de lazo cerrado
4 --------------------s^2 + 2 s + 4
>> num1=[4]; >> den1=[1 2 4]; >> figure(2)
;graficamos la respuesta a escalón unitario de sistema sin compensar
>> step(num1,den1) >>grid;
20
Step Response 1.4 System: sy s Peak amplitude: 1.16 Overshoot (%): 16.3 At time (sec): 1.8
1.2
1 System: sys Settling Time (sec): 4.04 System: sy s Rise Time (sec): 0.822
0.8 e d u t i l p m A
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Mp = 16.3% Tiempo de asentamiento (ts) = 4.04 s (criterio 2%) Tiempo peak (tp) = 1.8 s Time (sec)
2° Diseño del compensador en atraso
Primero: Se desea aumentar Kv a 20 seg -1
Kv para el sistema no compensado:
Donde se toma Kc como la ganancia del compensador. 21
El sistema compensado: Luego el sistema compensado tiene una ganancia K = 4Kc = 40
Sin el compensador, sólo con la ganancia de éste , la gráfica de Bode es: >> num2=[40]; >> den2=poly([0 -2]) >> figure(3)
;graficamos la respuesta frecuencial (Bode) con el K del sistema compensado, pero aún sin el compensador en atraso.
>> bode(num2,den2) >> grid(); Bode Diagram 50 40 30 20 ) B 10 d ( e d 0 u t i n g a -10 M
-20 -30 -40 -50 -90
) g e d ( e s a h P
-120 System: sys Phase Margin (deg): 18 Delay Margin (sec): 0.0508 At f requency (rad/sec): 6.17 Closed Loop Stable? Yes
-150
-180 -1
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
22
Segundo: Se desea que el margen de ganancia sea al menos 10 dB y el de fase al menos 50°.
Se ve que el margen de ganancia es infinito, lo que es propio de sistemas de orden uno o dos. El margen de fase es aproximadamente 18°. La frecuencia de cruce de ganancia es 6 ,16 rad/s. Como esta frecuencia es suficientemente mayor que las frecuencias características del sistema original, se supone un margen adicional sobre el margen de fase de 5°. Si estuviera más próximo, habría que subir hasta 12°. Por tanto el margen de fase que el compensador debe aportar es el margen de fase requerido, más el adicional, menos el original:
El valor de α para el compensador es:
El ángulo de adelanto de fase máximo se da en una frecuencia que es:
Interesa que en la frecuencia de cruce de ganancia del sistema compensado se tenga el máximo de adelanto de fase. Por tanto la frecuencia w m será la frecuencia de cruce de ganancia del sistema compensado. La ganancia que aporta el compensador en la frecuencia de adelanto de fase máximo es:
23
En esta frecuencia se tiene una ganancia:
Por tanto, para que el sistema compensado tenga en esa frecuencia una ganancia 1, se busca en el diagrama de Bode a que frecuencia la ganancia del sistema es -6 dB, de forma que la ganancia del sistema compensado sea unitaria.
Bode Diagram 50 40 30 20 ) B 10 d ( e d 0 u t i n g a -10 M
System: sys Frequency (rad/sec): 8.82 Magnitude (dB): -6.01
-20 -30 -40 -50 -90
) g e d ( e s a h P
-120 System: sys Phase Margin (deg): 18 Delay Margin (sec ): 0.0508 At f requency (rad/sec): 6.17 Closed Loop Stable? Yes
-150
-180 -1
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
En -6 dB se tiene una frecuencia de 8.82 rad/seg y esta será la frecuencia central del compensador w m. De aquí se obtienen los valores de T y αT , que son el cero y polo respectivo del compensador.
24
Comprobamos que se satisfaga la condición de Kc, que debe ser por lo menos 40.
Finalmente el compensador queda de la siguiente manera:
El sistema compensado:
25
Gráficos de sistema compensado en Matlab.
>> pol1=[162.8];
;Con los dos polinomios pol1 y pol2 calculamos el
>> pol2=[1 4.4];
numerador del sistema compensado.
>> num3=conv(pol1,pol2) >> den3=poly([0 -17.5 -2]) >> figure(4)
;respuesta frecuencial (Bode) del sistema
>> bode(num3,den3)
compensado Bode Diagram
60
40
20 ) B d 0 ( e d u t i n g -20 a M
-40
-60
-80 -90
) g e d ( e s a h P
-120
System: sys Phase Margin (deg): 49.3 Delay Margin (sec): 0.0956 At frequency (rad/sec): 8.99 Closed Loop Stable? Yes
-150
-180 -1
10
0
10
1
10
2
3
10
10
Frequency (rad/sec)
El margen de fase está por debajo de lo requerido. Se necesita volver a diseñar el compensador modicficando el margen de fase, por lo cual se modificará el margen de fase adicional añadiendo un grado:
26
El valor de α para el compensador es:
En esta frecuencia se tiene una ganancia:
Ubicamos esta ganancia en el gráfico: Bode Diagram 50 40 30 20 ) B d (
System: sys Frequency (rad/sec): 8.94 Magnitude (dB): -6.22
10
e d 0 u t i n g a -10 M
-20 -30 -40 -50 -90
) g e d ( e s a h P
-120 System: sy s Phase Margin (deg): 18 Delay Margin (sec): 0.0508 At frequency (rad/sec): 6.17 Closed Loop Stable? Yes
-150
-180 -1
10
0
1
10
10
10
Frequency (rad/sec)
27
Comprobamos que se satisfaga la condición de Kc, que debe ser por lo menos 40.
Finalmente el compensador queda de la siguiente manera:
El sistema compensado:
Graficamos >> pol1=[168]; >> pol2=[1 4.36];
;Con los dos polinomios pol1 y pol2 calculamos el numerador del sistema compensado.
>> num3=conv(pol1,pol2) >> den3=poly([0 -18.2 -2]) >> figure(4)
;respuesta frecuencial (Bode) del sistema
>> bode(num3,den3)
compensado
28
Bode Diagram 60
40
20 ) B d 0 ( e d u t i n g -20 a M
-40
-60
-80 -90
) g e d (
System: sys Phase Margin (deg): 50.4 Delay Margin (sec): 0.0979 At frequency (rad/sec): 8.98 Closed Loop Stable? Yes
-120
e s a h P
-150
-180 -1
10
0
10
1
10
2
3
10
10
Frequency (rad/sec)
Margen de Ganancia = ∞
Margen de Fase = 50.4° Frecuencia de cruce de fase = 8.98 rad/seg
Ahora se verá la respuesta del sistema compensado a un escalón unitario.
>> g2=tf(num3,den3) Transfer function:
;se obtiene la función de transferencia de lazo abierto
168 s + 732.5 ----------------------s^3 + 20.2 s^2 + 36.4 s
29
>> feedback(g2,1)
;se obtiene la función de transferencia de lazo cerrado
Transfer function: 168 s + 732.5 -------------------------------s^3 + 20.2 s^2 + 204.4 s + 732.5
>> num4=[168 732.5]; >> den4=[1 20.2 204.4 732.5 ]; >> figure(5)
;respuesta a escalón unitario de sistema
>> step(num4,den4)
compensado
>> grid;
Step Response 1.4
System: sys Peak amplitude: 1.22 Overshoot (%): 21.8 At time (sec): 0.322
1.2 System: sys Settling Time (sec): 0.611 1
System: sys Rise Time (sec): 0.133
0.8 e d u t i l p m A
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Time (sec)
30
tp = 0.322 s ts = 0.611 s Mp = 21.8 %
3° Comprobando que el sistema responda a los requerimientos impuestos.
Comprobamos si el Kv corresponde al requerido:
Margen de Ganancia = ∞
Margen de Fase = 50.4° Se ha logrado compensar el sistema con los requerimientos deseados.
Comparando el sistema no compensado y el compensado:
Sistema No Compensado Sistema Compensado
Comparación >> figure(6) >> bode(num,den) >> hold
31
Current plot held >> bode(num3,den3) Bode Diagram 50 40 30 20 ) B 10 d ( e d 0 u t i n g a -10 M
-20 -30 -40 -50 -45
-90 ) g e d (
e s a h P
-135
-180 -1
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Bode Diagram 50 40 30 20 ) B 10 d ( e d 0 u t i n g a -10 M
-20 -30 -40 -50 -45
System: sy s Phase Margin (deg): 50.4 Delay Margin (sec): 0.0979 At frequency (rad/sec): 8.98 Closed Loop Stable? Yes
-90 ) g e d ( e s a h P
-135
System: sy s Phase Margin (deg): 51.8 Delay Margin (sec): 0.575 At frequency (rad/sec): 1.57 Closed Loop Stable? Yes
-180 -1
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
32
Step Response 1.4
>> figure(7) 1.2
>> step(num1,den1) >> hold
1
Current plot held 0.8
>> step(num4,den4)
e d u t i l p m A
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Step Response 1.4
System: sys Peak amplitude: 1. 22 Overshoot (%): 21.8 At time (sec): 0.322
1.2
System: sys Peak amplitude: 1.16 Overshoot (%): 16.3 At time (sec): 1.8
System: sys Settling Time (sec): 0.611 1 System: sys Settling Time (sec): 4.04 0.8 e d u t i l p m A
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Se nota una respuesta mucho más rápida del sistema compensado. El tiempo de asentamiento es más de 6 veces más rápido. 33
Diseño del compensador en atraso:
C2
C1
R4 R2 R3
R1
Tomamos
valores arbitrarios de :
Y con
10uF
10uF 100k 5.5k 10k 23k
34
Código completo Matlab: % Sistema sin Compensar % >> num=[4]; >> den=poly([0 -2]); >> figure(1) >> bode(num,den) >>grid(); >> g1=tf(num,den) Transfer function: 4 ----------------s^2 + 2 s >> feedback(g1,1) Transfer function: 4 --------------------s^2 + 2 s + 4 >> num1=[4]; >> den1=[1 2 4]; >> figure(2) >> step(num1,den1) >>grid; % Grafica del sistema compensado sólo con la ganancia K %
>> num2=[40]; >> den2=poly([0 -2]) >> figure(3) >> bode(num2,den2) >> grid(); 35
% Sistema Compensado % >> pol1=[168]; >> pol2=[1 4.36]; >> num3=conv(pol1,pol2) >> den3=poly([0 -18.2 -2]) >> figure(4) >> bode(num3,den3) >> g2=tf(num3,den3) Transfer function: 168 s + 732.5 ----------------------s^3 + 20.2 s^2 + 36.4 s >> feedback(g2,1) Transfer function: 168 s + 732.5 -------------------------------s^3 + 20.2 s^2 + 204.4 s + 732.5 >> num4=[168 732.5]; >> den4=[1 20.2 204.4 732.5 ]; >> figure(5) >> step(num4,den4) >> grid;
36
