1
1.1 1.1
Compe Compens nsad ado ores res de de ade adela lant nto/ o/at atra raso so de fase fase
Efec Efecto to de de añad añadir ir polo poloss y cer ceros os a una una func funció ión n de tr tran anssferencia.
Considérese la siguiente función de transferencia G(s) =
4 s(s + 2)
Usando los comandos de Matlab que se muestran enseguida num=[0 4] den=[1 2 0)
rlocus(num,den) sys1cl=feedback(sys1,1) step(sys1cl) se obtienen el lugar de las raíces y respuesta al escalón unitario como se muestra enseguida:
Root Locus
Step Response
0.8
1.4
0.6
1.2
0.4 1 s i x A y r a n i g a m I
0.2 e 0.8 d u t i l p m A 0.6
0
-0.2 0.4 -0.4 0.2
-0.6
-0.8
2
18
16
14
12
1
08
06
04
02
0
0
0
1
2
3
4
5
6
rlocus(num,den) sys1cl=feedback(sys1,1) step(sys1cl) se obtienen el lugar de las raíces y respuesta al escalón unitario como se muestra enseguida:
Root Locus
Step Response
0.8
1.4
0.6
1.2
0.4 1 s i x A y r a n i g a m I
0.2 e 0.8 d u t i l p m A 0.6
0
-0.2 0.4 -0.4 0.2
-0.6
-0.8
2
18
16
14
12
1
08
06
04
02
0
0
0
1
2
3
4
5
6
Añadiendo un polo en s = −.6 se tiene que ˜ (s) = G
4 s(s + 2)(s 2)(s + 0.6)
y el lugar de las raíces será como se muestra en la figura:
Root Locus
Step Response
4
10
3
8 6
2
4 s i x A y r a n i g a m I
1 e d u t i l p m A
0
2 0
-1 -2 -2
-4
-3
-4 -6
-6
-5
-4
-3
-2 Real Axis
-1
0
1
2
-8
0
5
10
15
20
25
Time (sec)
30
35
40
45
tiene la siguiente situación: 4(s + 0.4) ˜ G(s) = s(s + 2)
Root Locus
Step Response
1
1
0.8
0.9
0.6
0.8
0.4
0.7
s 0.2 i x A y r 0 a n i g a m-0.2 I
e d u t i l 0.5 p m A
-0.4
0.3
-0.6
0.2
-0.8
0.1
-1 -6
0.6
0.4
-5
-4
-3 Real Axis
-2
-1
0
0
0
2
4
6
8 Time (sec)
10
12
14
16
En conclusión, se puede decir que:
• Añadir un polo al sistema: mueve el lugar de las raíces hacia la derecha y vuelve el sistema más rápido y reduce la estabilidad. Es equivalente a introducir un integrador.
• Añadir un cero al sistema: mueve al sistema a la izquierda y acelera la respuesta transitoria del sistema. Equivale a introducir un efecto derivativo en el sistema.
Ahora bien, combinando ambos efectos, es decir ˜ G(s) =
4(s + 0.4) s(s + 2)(s + 0.6)
Root Locus
Step Response
3
1.4
1.2
2
1 1 s i x A y r a n i g a m I
e 0.8 d u t i l p m A 0.6
0
-1 0.4
-2
-3 -2
0.2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Time (sec)
Real Axis
Nótese que en este caso el cero está más próximo al eje imaginario que el polo. Ahora bien, poniendo el cero y el polo muy cerca del eje imaginario, es decir, el cero en s = −.01 y el polo en s = −.001 se tiene el siguiente comportamiento para ˜ G(s)
4(s + 0.01)
9
Root Locus
Step Response
0.04
1.4
0.03
1.2
0.02 1 s i x A y r a n i g a m I
0.01 e 0.8 d u t i l p m A 0.6
0
-0.01 0.4
-0.02
0.2
-0.03
-0.04 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1 Real Axis
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
Como puede verse, los polos en lazo cerrado prácticamente no se modificaron, pero la respuesta en estado estacionario si se afecta.
1.2
Compensadores de adelanto de fase (lead)
Una manera de realizar físicamente los compensadores de adelanto de fase
6
La función de transferencia de este circuito está dada por E o(s) R1R2R4C 1s + 1 = E i(s) R1R2R3C 2s + 1 1 s + T T s + 1 K cα = K c
donde T = R1C 1; αT = R3C 2; K c = K cα =
R2R4 R C ;α = 2 2 R1R3 R1C 1
R4C 1 ; R3C 2
En los casos en que el sistema original sea inestable o sea estable pero con una respuesta transitoria no deseada, es necesario modi ficar el lugar de las raíces de manera que los polos dominantes estén en el lugar deseado en el plano complejo. Esto puede lograrse insertando un compensador de adelanto de fase en cascada con la función de transferencia de la planta.
En general el procedimiento para el diseño de un compensador de adelanto
Ejemplo : Considere el sistema G(s) =
4 s(s + 2)
y retroalimentación unitaria. Para este sistema se desea modi ficar los polos en lazo cerrado de manera que la frecuencia natural no amortiguada sea ωn = 2rad/ sec manteniendo el valor del factor de amortiguamiento ς = 0.5.
Solución: Para este sistema en lazo cerrado se tiene que Y (s) G 4 = = 2 R(s) 1 + GH s + 2s + 4 √ 4 √ = (s + 1 + j 3)(s + 1 − j 3)
√
y los polos están en s = −1 ± j 3. De aquí se calcula ς = 0.5 y ωn = 2. La constante de error de velocidad es de 2sec−1 . El lugar de las raíces para
Se puede notar que aumentando solamente la ganancia no es posible ubicar los polos en lazo cerrado en el lugar deseado. Por lo tanto, se diseñará un compensador de adelanto de fase. Para esto, se calculan primero los polos
se desean ubicar en s1,2 = =
−ςωn ± jω √ n −2 ± j2 3.
q − 1
ς 2
Evaluando ahora G(s) en s1 se tiene que 4 4 1 1 √ √ √ |s = =− + i 3 s(s + 2) 1 (−2 ± j2 3)(−2 ± j2 3 + 2) 4 12
cuyo ángulo es -210◦ o 150◦ por lo que el compensador tiene que proporcionar un ángulo de 30◦. Procediendo de manera analítica, se tiene que
∙
]
1 s + T
µ
1 s + αT
¶− µ ]
¶¸
s=s1
= 30◦
√ 1 1 ](−2 + + 2 3 j) − ](−2 + + 3. 4641 j) = 30◦ T αT En este punto, hay que resolver un sistema de una ecuación con una incógnita, lo que da lugar a infinitas soluciones. Dado que se busca que el valor de α esté en el rango 0 < α < 1, una regla práctica consiste en proponer el valor
En nuestro caso se tomará que 1/T = 2.9,, es decir, el cero estará s = −2.9, de donde T = 0.344 83. Calculando: ]
µ
√ 1 s + = ](0.9 + 2 3 j) = 75◦. T
¶
1 debe dar 30◦, es decir Entonces el término ] s + αT
³
´
1 + 3.464 j) = 45◦ αT Evaluando el término se tiene que ](
−2 +
tan−1
3.464
−2 + 0.3441 83α 3.464
−2 + 0.3441 83α
= 45◦ = tan 45◦ = 1
3.464 2 + 0.3441 83α
=1
−
de donde se obtiene que α = 0.530 74, es decir, el polo se encuentra en
es decir,
¯¯ ¯
K c
¯¯ ¯
4(s + 2.9) = 1 s(s + 2)(s + 5.2) s 1
¯¯ ¯
K c
4(−2 + 3.464 j + 2.9) (−2 + 3.464 j)(−2 + 3.464 j + 2)(−2 + 3.464 j + 5.1)
de donde se obtiene K c = 4.7. El compensador es entonces
Gc = 4.7
(s + 2.9) (s + 5.4)
¯¯ ¯
Root Locus 10
8
s i x A y r a n i g a m I
6
4
0.5 System: sys Gain: 4.9 Pole: -2 + 3.58i Damping: 0.488 Overshoot (%): 17.2 Frequency (rad/sec): 4.1
2
0
-4
-3.5
-3 Real Axis
-2.5
-2
4
Step Response 1.4
1.2
1
e 0.8 d u t i l p m A 0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Time (sec)
El error en velocidad final se calcula como
4
4.5
donde K v = lim sG(s) = lim 4.7 y entonces
s→0
s→0
(s + 2.9) 4 = 5. 0481 (s + 5.4) s(s + 2)
ess = 1/5. 048 1 = 0.198 09
1.2.1
Compensadores de atraso de fase (lag)
La configuración electrónica de estos compensadores es la misma que la de adelanto de fase y la función de transferencia está dada por
1 s + T T s + 1 ˜ cβ ˜c Gc(s) = K = K 1 βT s + 1 s + βT
donde ahora β > 1, es decir, en este caso el cero está más a la izquierda del
transitorio satisfactorio pero comportamiento en estado estable no satisfactorio. Entonces en este caso la compensación consiste en aumentar la ganancia en lazo abierto sin modificar sustancialmente las características de respuesta transitoria, lo cual significa que el lugar de las raíces alrededor de los polos dominantes no deben moverse prácticamente, pero la ganancia en lazo abierto debe incrementarse sustancialmente. Esto se logra con un compensador de atraso de fase. Una regla práctica es que la contribución de ángulo del compensador debe ser pequeño, alrededor de 5◦. Para lograr esto se ponen el polo y el cero muy cercanos entre sí y muy cerca del origen, con lo cual el lugar de las raíces original se moverá ligeramente de su ubicación original. Ahora bien, si se ponen el cero y el polo casi en el mismo lugar y muy pequeños, entonces evaluando la función de transferencia en lazo abierto en un polo dominante s = s1 se tendrá
¯¯ ¯
1 s + T ˜c Gc(s)|s=s1 = K 1
¯¯ ¯≈
˜c K
Asimismo, la contribución del ángulo debe ser pequeña, es decir,
−5◦ <
"µ ]
s +
¶− Ã
1 T
]
s +
1 βT
!#
< 0◦
s=s1
˜ c es aproximadamente uno, el comportamiento transiSi la ganancia K torio no se verá afectado. El procedimiento de diseño se dá a continuación: 1. Dibujar el lugar de las raíces para el sistema sin compensar en lazo abierto. Localizar los polos dominantes de acuerdo con laas especificaciones de la respuesta transitoria. 2. Suponer que la función de transferencia del compensador está dada por 1 s + T T s + 1 ˜ cβ ˜c Gc(s) = K = K βT + 1 + 1
3. Evaluar las constantes de error en estado estacionario especificadas en el problema.
4. Determinar el incremento de la constante de error en estado estacionario necesario para satisfacer las especificaciones.
5. Determinar la ubicación del polo y el cero del compensador que produce el incremento deseado de la constante de error.
6. Dibujar el lugar de las raíces para el sistema compensado. Localizar los polos dominantes deseados.
˜ c del compensador a partir de la condi7. Calcular el valor de la ganancia K ción de magnitud de manera que los polos dominantes en lazo cerrado
Ejemplo : Considere el sistema
G(s) =
1.06 . s(s + 1)(s + 2)
En lazo cerrado se tiene que
C (s) 1.06 = R(s) s(s + 1)(s + 2) + 1.06 =
1.06 (s + 0.3307 − j0.5864)(s + 0.3307 + j0.5864)(s + 2.3386)
Los polos dominantes son s = −0.3307 ± j0.5864 con un factor de amortiguamiento de ς = 0.49 y ω n = 0.673. La constante de
hasta K v = 5sec−1 para reducir el error de velocidad en estado estacionario (recuérdese que ess = 1/K v ), sin mover significativamente los polos de su lugar original. Note que cuando s → 0, la ganancia del compensador es aproximadamente
¯¯ ¯¯
¯¯ ¯¯
1 s + T ˜c K 1 s + βT s=0
˜ cβ ≈ β ≈ K
˜ c ≈ 1, por lo que la ganancia se incrementa alrededor de β. En ya que K este ejemplo se toma un factor de β = 10, poniendo el polo y el cero en s = −.005 y s = −.05 respectivamente. La función de transferencia del compensador es entonces s + .05 ˜ Gc(s) = K c . s + .005 La contribución de ángulo de este compensador en los polos dominantes es
−0.3307 + j0.5864 − .05) − ](−0.3307 + j0.5864 − .005) ≈ 3.5◦
](
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es entonces 1.06 ˜ c (s + .05) Gc(s)G(s) = K (s + .005) s(s + 1)(s + 2) K (s + .05) = s(s + .005)(s + 1)(s + 2) ˜ c. El lugar de las raíces se muestra a continuación con K = 1.06K num=[0 0 0 1] den=[1 3 2 0] numc=[0 0 0 1 .05] denc=[1 3.005 2.015 .01 0]
hold rlocus(numc,denc) text(-2.8,0.2,’Sistema compensado’) title(’Lugar de las raíces del sistema compensado y sin compensar’) hold Root Locus 2 0.49
1.5
System: sys Gain: 1.03 Pole: -0.31 + 0.554i Damping: 0.488 Overshoot (%): 17.2 Frequency (rad/sec): 0.635
1
0.5 s i x A y r a n i g a m I
0
-0.5
-1
-1.5
0.49 -2
3
25
2
15
1
05
0
05
1
El detalle cerca del origen se muestra a continuación: Root Locus 0.49 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1 s i x A y r a n i g a m I
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5 0.49 -0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Real Axis
.
Los polos dominantes se mueven a s = lazo cerrado K se calcula de
¯¯ ¯
¯¯ ¯
−.31 ± j0.55. La ganancia en
(s + .05) K = = 1.0235 s(s + .005)(s + 1)(s + 2) s=−.31+ j0.55 de donde se obtiene K ˜ K 0 9656
Finalmente el compensador resulta ser
Gc(s) = 0.9656
s + .05 20s + 1 = 9.656 s + .005 200s + 1
y ahora la constante de velocidad es
K v = lim Gc(s)G(s) = lim 0.9656 s→0
= 5.12 sec−1
s→0
(s + .05) 1.06 (s + .005) (s + 1)(s + 2)
Las respuestas al escalón y a la rampa unitarias de los sistemas compensados
Como se ve, dado que la frecuencia natural no amortiguada es menor, el sistema compensado oscila un poco más que sincompensar, mientras que el sobrepaso es ligeramente mayor. Si este comportamiento es tolerable, entonces el diseño cumple con las especificaciones. Para la entrada rampa se tiene t=[0:0.1:50
[c2,x2,t]=step(num,den,t)
plot(t,c1,t,c2)
grid
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1.3
Compensadores de adelanto-atraso de fase
Este compensador combina las ventajas de los compensadores de adelanto y de atraso de fase. La función de transferencia está dada por
⎡ s + 1 ⎤ ⎡ s + 1 ⎤ T ⎦ ⎣ T ⎦ K ⎣c γ s + s + 1 1
T 1
2
βT 2
con γ > 1, β > 1. Se toma la ganancia K c como parte del compensador de adelanto. El procedimiento de diseño (γ = 6 β) es el siguiente
1. Determinar la ubicación de los polos dominantes deseados a partir de las especificaciones de respuesta transitoria.
2. Determinar la deficiencia de ángulo φ que debe proveer la parte de ade-
3. Determinar el valor de T 1, K c y γ tal que
"Ã ]
s +
1 T 1
! à − ¯¯ ¯¯ ]
K c
s +
γ T 1
s + T 1
1
!# ¯¯ ¯¯
= φ
s=s1
G(s) s + T γ 1 s=s1
= 1
4. Si la constante de error de velocidad K v está especificada, determinar el valor de β de manera de satisfacer el requerimiento para K v , es decir, K v = lim sGc(s)G(s) s→0
=
⎡ s + 1 ⎤ ⎡ s + 1 ⎤ T ⎦ ⎣ T ⎦ lim sK c ⎣c G(s) s→0 s + γ s + 1 1
T 1
β = lim sK c G(s). s→0 γ
2
βT 2
