Compensador en Adelanto Lgr

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICA

Compensación en adelanto

Compensador electrónico en adelanto con amplificadores operacionales

E0 (s) R2R4 R1C1s + 1 R4C1 = = Ei (s) R1R3 R2C2s + 1 R3C2 T = R1C1, K cα =

s+ s+

1

R1C1 1

Ts + 1 = K c α Ts + 1

R2C2

α T = R2C2,

R2R4 , R1R3

= K cα

α =

K c =

s+ s+

1

T 1

α T

R2C2 <1 R1C1

R4C1 R3C2

Esta red tiene una ganancia en cd de K cα Es una red de adelanto si R1C1 > R2C2 . CONTROL CLÁSICO COMPENSAC COMP ENSACIÓN IÓN EN DELANTO

1

M.C. J OSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ NUÑEZ M.C ELIZABETH GPE . LARA HDZ. HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN


Técnicas d e compensación de adelanto

Para compensar en adelanto el sistema debe de tener características no satisfactorias de la respuesta transitoria. Esto es, que los polos dominantes de lazo cerrado no se encuentran sobre el lugar de las raíces del sistema original.

Procedimiento de dis eño de adelanto

1.

A partir de las especificaciones de desempeño ζ , ω n , %M p , t p , ts ) , determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado (sd ) .

2.

Verifique si el punto deseado (sd ) pertenece al lugar de las raíces del sistema original, sino pertenece, determine el ángulo necesarioφ m que deberá contribuir el compensador en adelanto para que el punto deseado pertenezca al lugar de las raíces del sistema compensado.

3.

Determine la ubicación del polo y del cero del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya con ángulo φ m necesario.

4.

Con la ubicación del polo y del cero del compensador se determina los parámetros α y T

5.

La ganancia K c del compensador se determina a partir de la condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.

CONTROL CLÁSICO COMPENSACIÓN EN DELANTO

2

M.C. J OSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C ELIZABETH GPE . LARA HDZ.



Ejemplo 1

La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control G(s) =

4

s(s + 2)

Se desea que el sistema tenga una relación de amortiguamiento ζ = 0.5 y una frecuencia natural no amortiguada ω n = 4 rad / seg . Sistema original Ecuación característica 1+ G(s)H (s) = 1+

4

s(s + 2)

= s2 + 2s + 4 = (s + 1− j1.732)(s + 1+ j1.732) = 0

donde ζω n = 1 y ω d = 1.732

entonces

ζ = 0.5

y ω n = 2 estas son las características transitorias originales,

El punto deseado ζ = 0.5

y ω n = 4 nos da ζω n = 2 y ω d = ω n

1− ζ

2

= 3.464 las raíces serían sd = −2 ± j 3.464

Aplicando la condición de ángulo en el punto deseado −∠s − ∠s + 2 = −120° − 90° = −210°

Se necesita un compensador en adelanto que proporcione 30°, para que el punto deseado este sobre el lugar de las raíces. (φ m = 30°) Se coloca el cero por debajo del punto deseado −

1

= −2

T

Y el polo tanφ m =

x

x= 2

3.464

−

1

α T

= −4

El compensador en adelanto sería Gc (s) =


3

s+ 2 K c s+ 4




El sistema compensado sería ⎛ 4 ⎞⎛ s + 2 ⎞ ⎟⎟⎜ G(s)Gc (s) = ⎜⎜ K c ⎟ ⎝ s(s + 2) ⎠⎝ s + 4 ⎠

Con la condición de magnitud K c =

s s+ 2 s+ 4 4s + 2

= Sd

(4)(3.464)(4) =4 4(3.464)

Por lo tanto ⎛ 4 ⎞⎛ s + 2 ⎞ ⎟⎟⎜ G(s)Gc (s) = ⎜⎜ ⎟(4) ⎝ s(s + 2) ⎠⎝ s + 4 ⎠

El coeficiente estático de error de velocidad es ⎛ 4 ⎞⎛ s + 2 ⎞ −1 ⎟⎟⎜ K v = limsG(s)Gc (s) = lims⎜⎜ ⎟(4) = 4 seg s→0 s→0 ⎝ s(s + 2) ⎠⎝ s + 4 ⎠


4




Podemos reubicar al compensador en adelanto y colocar al cero más a la izquierda. El límite del cero, para este sistema sería cuando este proporcione los tan30° =

3.464

30° . Esto es

x= 6

Entonces, el límite del cero sería de -8

Se coloca el cero por debajo del punto deseado −

1

= −2

T

Y el polo tanφ m =

x

x= 2

3.464

−

1

α T

= −4

El compensador en adelanto sería Gc (s) =

s+ 2 K c s+ 4

El sistema compensado sería


5




⎛ 4 ⎞⎛ s + 2 ⎞ ⎟⎟⎜ G(s)Gc (s) = ⎜⎜ K c ⎟ + ( ) 2 s s ⎝ ⎠⎝ s + 4 ⎠

Con la condición de magnitud K c =

s s+ 2 s+ 4 4s + 2

= Sd

(4)(3.464)(4) =4 4(3.464)

Por lo tanto ⎛ 4 ⎞⎛ s + 2 ⎞ ⎟⎟⎜ G(s)Gc (s) = ⎜⎜ ⎟(4) ⎝ s(s + 2) ⎠⎝ s + 4 ⎠

El coeficiente estático de error de velocidad es ⎛ 4 ⎞⎛ s + 2 ⎞ ⎟⎟⎜ K v = limsG(s)Gc (s) = lims⎜⎜ ⎟(4) = 4 seg−1 s→0 s→0 ⎝ s(s + 2) ⎠ ⎝ s + 4 ⎠


6




Ejemplo 2 (doble compensador en adelanto) La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es

G(s) =

1

s(s + 1)(s + 2)

Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones, la relación de amortiguamiento ζ = 0.6 y la frecuencia natural no amortiguada ω n = 2.5

Sistema original K v = limsG(s) = lims s→0

s→0

1

s(s + 1)(s + 2)

= 0.5 seg−1

La ecuación característica es 1+

1

s(s + 1)(s + 2)

= s3 + 3s2 + 2s + 1= (s + 0.338 + j 0.562)(s + 0.338 − j 0.562) = 0

Entonces el punto deseado es sd = −ζω n + jω n 1− ζ 2

sd = −1.5 + j 2

Por la condición de ángulo − ∠(s) − ∠(s + 1) − ∠(s + 2) = −126.87° − 104.036° − 75.964° = −306.87°

Se necesitan 126.87° para que el punto deseado este sobre el lugar de las raíces, se utilizarán 2 compensadores en adelanto cada uno aportando la mitad del ángulo necesario. φ m =

126.87° 2

= 63.435°

Se ubica al cero del compensador en -2 −

1

T

= −2

El polo se ubicará en tanθ =

0.5

θ = 14.036°

2

tan(63.435° + 14.036° ) =

x 2

= 4.5

x= 9

−


7

1

α T

= −10.5




El compensador será 2

⎛ s + 2 ⎞ Gc (s) = ⎜ ⎟ K c ⎝ s + 10.5 ⎠

El sistema compensado en adelanto sería 2

⎛ ⎞⎛ s + 2 ⎞ 1 ⎟⎟⎜ G(s)Gc (s) = ⎜⎜ ⎟ K c + + + ( )( ) 1 2 10 . 5 s s s s ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Se determina la ganancia K c con la condición de magnitud K c =

s s + 1 s + 2 s + 10.5 s+ 2

2

=

2

Sd = −1.5+ j 2

(2.5)(2.061)(2.061)(9.219)2 = 212.475 (2.061)2

El sistema compensado en adelanto es 2

⎛ ⎞⎛ s + 2 ⎞ 1 ⎟⎟⎜ G(s)Gc (s) = ⎜⎜ ⎟ (212.475) 1 2 10 . 5 s s s s + + + ( )( ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

El coeficiente estático de error de velocidad es 2

⎛ ⎞⎛ s + 2 ⎞ 1 −1 ⎟⎟⎜ K v = limsG(s)Gc (s) = lims⎜⎜ ⎟ (212.475) = 3.854 seg s→0 s→0 ⎝ s(s + 1)(s + 2) ⎠ ⎝ s + 10.5 ⎠


8


Compensador en Adelanto Lgr

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