UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA INSTITUTO DE ELECTRÓNICA Y MECATRÓNICA INGENIERÍA EN MECATRÓNICA
Diseño de compensadores en adelanto para el motor de cd, equipo de control LTR701 y el convertidor boost Actividad teórica que se presenta como parte de los requisitos de la materia: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
Presentan: Cruz Fuentes Erick Joel Martínez Miguel Asís Santos Ortis Rafael de Jesús
Huajuapan de León, Oaxaca, México, Mayo de 2014
ÍNDICE
iii
Índice 1. Introducción
1
2. Objetivo 2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2
3. Marco Teórico
2
4. Desarrollo 4.1. Diseño de compensador para el controlador LTR701 . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Diseño de compensador para el motor de CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Diseño de compensador para el convertidor boost . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 10 12
5. Conclusiones
20
iv
Reporte de Práctica N◦ V
Introducción
1.
1
Introducción
Este documento está organizado de la siguiente manera: en la sección correspondiente al desarrollo es en donde se lleva a cabo el diseño de compensadores en adelanto. En la primera subsección del desarrolo se realiza el diseño de un compensador de adelanto para el sistema de control LTR701, además se diseñan controladores industriales según aplique: P,PD,PI,PID. En la segunda subsección del desarrollo se diseña un compensador de adelanto para el motor de cd mediante el método de la respuesta en frecuencia. En la tercera subsección del desarrollo se diseña un compensador de adelanto para el convertidor cd/cd tipo boost mediante el método de la respuesta en frecuencia.
Reporte de Práctica N◦ V
2
2.
Objetivo
2.1.
Objetivo General
Diseñar compensadores en adelanto mediante el método de la respuesta en frecuencia para el motor de cd, el convertidor cd/cd tipo boost y el controlador LTR701.
3.
Marco Teórico
4.
Desarrollo
4.1.
Diseño de compensador para el controlador LTR701
Dado la función de transferencia del motor de cd y el convertidor cd/cd tipo Boost, trazar los gráficos de bode de dichos sistemas y determinar su estabilidad en base a dichos gráficos. Diseño del compensador en adelanto mediante el método de respuesta en frecuencia. Dada la datasheet del sistema de temperatura LTR701, la función de transferencia es: 0,485 (1) 12,6 + 1 Usando la aproximación de Pade de primer orden obtenemos las siguiente función de transferencia: G(s) = e−0,8s
2,5 − s 0,485 2,5 + s 12,6s + 1 Expandiendo algebraicamente tenemos: G(s) =
G(s) =
(2)
−0,485S + 1,2125 12,6s2 + 32,5s + 2,5
(3)
Obteniendo Kp Kp = l´ıms→0 G(s) =
1,2125 2,5
= 0,485
Por lo tanto el error en estado estacionario es: ess =
1 1+Kp
= ,06734
Ahora según nuestras especificaciones de diseño proponemos e¯ss = 0,05 y por lo tanto K¯p = 19, K =
19 0,485
= 39,58
M¯F = 60 En la Fig.1 se puede observar los diagramas de bode tanto de la función G(s) tanto como la función ya compensada con la ganancia K. En esta última se observa que el MG= 4.57 y el MF=30.3.
Magnitud (dB)
Fase (deg)
−50
0 −3 10
180
−50 360
0
50
0 −3 10
180
−100 360
Magnitud (dB)
Fase (deg)
0
10
Frequencia (rad/s)
−1
10
1
10
−2
10
1
10
2
10
2
10
0 −3 10
180
−50 360
0
50
−2
10
−1
0
10
Frequencia (rad/s)
10
1
10
Diagrama de Bode de la funcion 39.58*G(s)
Figura 1: Gráficos de Bode del sistema de temperatura.
0
10
Frequencia (rad/s)
−1
10
Diagrama de Bode de la funcion Gc(s)*G(s)
−2
10
Diagra de Bode de la funcion G(s) Magnitud (dB) Fase (deg)
0
2
10
Desarrollo 3
Reporte de Práctica N◦ V
4
A continuación calculamos el compensador de adelanto : φ = 60 − 30,2029,7 sin 34,7 =
1−α 1+α
α = 0,262 −20 log √1α = −3,863 En el diagrama de bode trazado con l función ya compensada procedemos a ubicar la magnitud de -3.863 dB, encontramos que la frecuencia es ω = 2,37 rad . seg 2,37 =
√1 αT
=⇒ T = 0,824
Determinamos que las frecuencias de esquina, tanto como para el polo como para el cero. cero = ω = polo = ω =
1 T 1 αT
Y determinamos Kc como: Kc =
K α
= 151,06
Ya con todos los parámetros calculados, la función del compensador en adelanto queda dela forma: Gc (s)
=
151,06
s+1,213 s+4,63
En la figura 1 se puede observar el sistema con el compensador de adelanto ya implementado. Se puede observar que el sistema compensado no cumple el margen de ganancia deseado, sin embargo después de varia iteraciones variando a un rango menor el margen de ganancia deseado se observó que no podía alcanzar el margen de ganancia deseado como se desea. En la Fig.2 se observa la comparación entre el sistema compensado y sin compensar, ambos ante la respuesta al escalón y se observa que el parámetro de error en estado estacionario calculado se cumple para ambos casos.
Amplitud
−1 0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
5
15
20
25
Tiempo (seconds)
30
System: untitled1 Settling time (seconds): 32.8
35
Figura 2: Respuesta al escalón del sistema compensado y sin compensar.
10
System: untitled2 Time (seconds): 17.6 Amplitude: 0.922
Respuesta al escalón
40
45
System: untitled1 Time (seconds): 49.9 Amplitude: 0.326
System: untitled2 Final value: 0.95
50
Desarrollo 5
6
Reporte de Práctica N◦ V
Diseño de los controladores P,PD,PI,PID para sistema de temperatura Para el diseño de los compensadores se utilizara el segundo método de sintonización de Ziegler Nichols, dado que el primer método y el método de Harriot no aplican debido a que la respuesta del sistema ante la entrada escalón no se comporta en forma de s y que no se encontró una ganancia k para la cual el sistema tenga una razón de amortiguamiento de 0.25. Diseño de los controladores por el segundo método de Ziegler Nichols Para este método requieres variar una ganancia K lo suficientemente grande como para generar oscilaciones sostenidas, en la Fig.3 se muestra el lugar geométrico de la rices del sistema, de aquí se puede observar que el Kcr es aproximadamente 65 ya que para valores de K mas grandes a 65 el sistema se volverá inestable ya que sus polos pasaran al lado derecho del semiplano complejo y por lo tanto el sistema empezara a oscilar. En la Fig.3 también se observa el sistema ya compensado con dicha ganancia Kcr ante la entrada escalón y a partir de esta figura se determina Pcr.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
−4 −4
−2
0
2
−0.5
Eje Imaginario (seconds−1)
Amplitud
4
20
0
40
2
6
60
Tiempo (seconds)
80
Respues al escalón de K*G(s)
Eje Real (seconds−1)
4
8
100
Figura 3: LGR y respuesta al escalón del sistema con la ganancia Kcr.
System: untitled1 Time (seconds): 4.08 Amplitude: 2.15
System: untitled1 Time (seconds): 1.48 Amplitude: 2.26
−2
LGR G(s)
10
120
12
140
14
Desarrollo 7
Reporte de Práctica N◦ V
8
Pcr = 2,47 Con Pcr y Kcr ya podemos calcular todos los parámetros de los controladores. Para el controlador P, la función queda como: GP (s)
=
0,5 ∗ 65 ∗
−0,485s 12,6s2 +
+ 1,2125 32,5s + 2,5
(4)
Para el controlador PD, la función queda como: GP D (s)
(12,012s + 39) ∗
=
−0,485s 12,6s2 +
+ 1,2125 32,5s + 2,5
(5)
Para el controlador PI, la función queda como: GP I (s)
=
29,25s
+ s
2,058
∗
−0,485s 12,6s2 +
+ 1,2125 32,5s + 2,5
(6)
Para el controlador PID, la función queda como: GP ID (s)
=
12,041s2
+
39s s
+
31,57
∗
−0,485s 12,6s2 +
+ 1,2125 32,5s + 2,5
(7)
Amplitud
Amplitud
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−0.5
0
0.5
1
0
0
4
Tiempo (seconds)
3
5
6
4
8
10
Tiempo (seconds)
6
12
Respuesta al escalón Controlador PI
2
14
7
16
8
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
0
0
1
1
1.5
Tiempo (seconds)
2
2.5
2
3
5
6
Tiempo (seconds)
4
7
8
Respuesta al escalón Controlador PID
0.5
Respuesta al escalón Controlador PD
Figura 4: Respuesta al escalón del sistema antes los diferentes tipos de controladores.
2
1
Respuesta al escalón Controlador P
Amplitud Amplitud
1.5
9
10
3
Desarrollo 9
Reporte de Práctica N◦ V
10
4.2.
Diseño de compensador para el motor de CD
Se tiene la función de transferencia G(s) =
s2
5878,74 + 333s + 3083,86
(8)
Se encuentra el valor de la constante de error estático de posición: kp = l´ıms→0 G(s) = 1,906 Luego el error en estado estacionario ante una entrada escalón es: ess(escaln = kp1+1 = 0,344 Con motivo de diseñar un compensador de adelanto se propone un e¯ss(escaln ≤ 0,05, entonces k¯p = 19. ¯ 19 = 9,9685 Se tiene que K = kkpp = 1,906 Ahora se grafica el diagrama de bode para K*G(s). En la figura 5 puede verse el resultado obtenido usando Matlabr .
Diagrama de Bode para G1(s) 40
Magnitud (dB)
20 0 −20 −40 −60
Fase (deg)
−80 0
−45 System: untitled1 Phase Margin (deg): 66.9 Delay Margin (sec): 0.00723 At frequency (rad/s): 162 Closed loop stable? Yes
−90
−135
−180 −1 10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frecuencia (rad/s)
Figura 5: Diagrama de Bode para la función G1 (s) del motor de cd
El margen de fase de G1 (s) es de 66.9o El margen de ganancia de G1 (s) es ∞ Si proponemos un MF de 80o , entonces el ángulo φ necesario para igualar al ángulo MF es de 13.1o . Luego φm = φ + 5o = 18.1o Ahora se determinará α como sigue:
Desarrollo
11
sin(18,1o ) = 1−α =⇒ α = 0,526 α+1 1 La frecuencia en donde la magnitud del sistema sin compensar G1 (jω) es igual a −20 log √0,526 = -2.79 dB. A partir del gráfico de magnitud de Bode determinamos ω en donde |G1 (jω)| = -2.79 dB. . Realizando una aproximación se tiene que ω = 209 rad s Esta frecuencia es ahora la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Ahora se van a determinar frecuencias de esquina como sigue: √ las √ 1 para el cero: ω = T = αωc = 0,526(209) = 151,57 1 para el polo: αT = 151,57 = 288,15 0,526 Ahora se va a calcular el valor de kc a partir de la expresión: = 18.9515. kc = αk = 9,9685 0,526 La función de transferencia para el compensador de adelanto para el motor de CD queda expresada en la ecuación 9 s + 151,57 Gc = 18,9515 (9) s + 288,15 El diagrama de Bode para el compensador en adelanto para el motor de cd se ve en la figura 6. Puede boservarse que el margen de ganancia del sistema compensado es de 77.8 o , lo cual es un valor muy cercano al MF que fué de 80o . La respuesta ante una entrada escalón en lazo cerrado para el motor de cd puede verse en la figura 7, puede apreciarse que la compensación en adelanto cumple el valor requerido para el error en estado estacionario ya que se requería que fuera menor o igual a 0.05. Además, el tiempo de establecimiento es muy pequeño.
Diagrama de Bode para el sistema compensado 40
Magnitud (dB)
20 0 −20 −40
Fase (deg)
−60 0
−45
System: gcomp Phase Margin (deg): 77.8 Delay Margin (sec): 0.00649 At frequency (rad/s): 209 Closed loop stable? Yes
−90
−135
−180 −1 10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frecuencia (rad/s)
Figura 6: Diagrama de Bode para el motor de cd compensado
Reporte de Práctica N◦ V
12
Respuesta ante una entrada escalón del sistema compensado
1 0.9 0.8 0.7
Amplitud
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Tiempo (seconds)
Figura 7: Respuesta del motor de cd en lazo cerrado ante una entrada escalón
4.3.
Diseño de compensador para el convertidor boost
Tenemos el sistema convertidor elevador CD-CD tipo boost y las ecuaciones diferenciales son las siguientes: L
di = −(1 − u)v + E dt
C
v dv = (1 − u)i − dt R
Representación del sistema en varialbles de estado di = dt
1 E i − L (1 − ω) v L = 1 v (1 − u) i − RC v C −
Con respecto a la p.e. : (v = vd )
Desarrollo
13
i) −
1 E − − 1−u v+ =0 L L −
u=
vd − E vd −
v 1 − − (1 − u) i − =0 ii) C RC −
i=
vd2 RE
Para encontrar la función de transferencia usamos la siguiente formula. T
G(s) = C ∗ (SI − A∗ )−1 B ∗
Encontramos A∗ , B ∗ , C ∗
∗
A =
1 C
0 − L1 (1 − u) 1 (1 − u) − RC
B∗ =
v L − C1
−−−
−−−
=
i , v ,u
∗
C =
=
i , v ,u
1 0
vd L vd2 − RCE
0 E cvd
!
Sustituyendo en la fórmula y resolviendo tenemos. G(s) =
13x103 (S + 851,06) S 2 + 425,53S + 17,0414x106
A este sistema aplicaremos un compensador en adelanto. Primero obtenemos kp . kp = l´ımG(s) s→o
kp = ,649
E − Lv d 1 − RC
Reporte de Práctica N◦ V
14
entonces el error ante una entrada escalón es: 1 1 + kp 1 = ≈ ,6063 1 + ,649
ess(escal´on) = ess(escal´on) −
Pediremos un error deseado e ss(escalon) = ,05 y de la formula de error despejamos el −
k p = 19 luego obtenemos k : −
k=
kp = 29,26 kp
con esto definimos: G1 (S) = k
13x103 (S + 851,06) S 2 + 425,53S + 17,0714x106
En las figuras 8 y ?? podemos ver la resuesta ante una entrada escalón y los diagramas de bode respectivamente de G(s) y G1 (s).
Amplitud
Amplitud
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
Tiempo (seconds)
1.5
0.6
Tiempo (seconds)
0.8
Respuesta de G1(s) ante una entrada escalón
1
Figura 8: Respuesta al escalón de las funciónes G(s) y G1 (s).
0.5
Respuesta de G(s) ante una entrada escalón
1
2
1.2
2.5
1.4 −5
x 10
−3
x 10
Desarrollo 15
Fase (deg)Magnitud (dB)
0
0 90
20
40
60
−180 1 10
−90
Fase (deg) Magnitud (dB)
−180 1 10
−90
0
−20 90
0
20
40
Frecuencia (rad/s)
3
10
Diagrama de bode de G1(s)
Frecuencia (rad/s)
3
10
Figura 9: Diagrama de bode de las funciónes G(s) y G1 (s).
2
10
2
10
Diagrama de bode de G(s)
4
10
4
10
5
10
5
10
16 Reporte de Práctica N◦ V
Desarrollo
17
−
En nuestra función tenemos un M F ≈ 900 y pediremos un M F = 100o por lo tanto tenemos: −
φm = (M F − M F ) + 5o φm = 15o y el valor de α es ebtenido de: 1 − senφm 1 + senφm α ≈ ,5875 α =
1 Luego evaluando |G1(jω)| = −20 log √ 2 α buscamos en la grafica de magnitud la ω a la que se cumple esa magnitud y esa sera nuestra ωm .
1 |G1(jω)| = −20 log √ 2 α 1 = −2,3dB −20 log √ 2 α ωm = 428059 Despues evaluando de la siguiente formula tenemos el cero del compensador: √ 1 = ωm ∗ 2 α = 328101 T Luego para obtener polo del compensador hacemos lo siguiente: 1 = 558469,8 αT Dejandonos nuestra Gc de la siguiente manera. Gc = 49,81
(s + 328101) (s + 558469,8)
En las figuras 10 y 11 podemos ver el diagrama de la respuesta ante una entrada escalón y el diagrama de bode de la función respectivamente.
Amplitud
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1
1.5
Tiempo (seconds)
2
Figura 10: Respuesta al escalón del sistema compensado.
0.5
Sistema compensado ante una entrada escalón
2.5
3 −5
x 10
18 Reporte de Práctica N◦ V
Magnitud (dB)
Fase (deg)
−135 1 10
−90
−45
0
45
−30 90
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
2
10
Frequencia (rad/s)
4
10
Figura 11: diagrama de bode del sistema compensado.
3
10
5
10
Diagrama de bode de la función compensada
6
10
7
10
Desarrollo 19
Reporte de Práctica N◦ V
20
5.
Conclusiones
Cruz Fuentes Erick Joel. Con base a lo realizado yo concluyo que este método para realizar compensadores de adelanto es muy método muy sencillo de implementar y la mayoría de las veces muy eficaz ya que los resultado obtenidos en simulación son muy cercanos a las especificaciones de diseño establecidas. Martínez Miguel Asís Con base a lo realizado puedo concluir que el método de la respuesta en frecuencia para el compensador de adelanto resultó ser muy eficaz debido a que cumplió con los requerimientos (en simulación) exigidos al sistema para controlarlo y es relativamente sencillo de aplicar. Santos Ortiz Rafael de Jesús. Con base a lo realizado yo concluyo que se pudo observar la facilidad para realizar un compensador en adelanto con el método de respuesta en frecuencia, bueno esta facilidad se da gracias a que se cuenta con la herramienta MATLAB, también se pudo observar la precisión para alcanzar los requerimientos de diseño con este método, es bueno recalcar que si no se contara con MATLAB lo mas fácil seria aplicar compensadores con el método de lugar geométrico de las raíces.
