TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA 1. GENERALI GENERALIDADE DADES. S.
Para ara efec efectu tuar ar el leva levant ntam amie ient nto o de gran grande dess exte extens nsio ione ness de ter terreno, eno, la técn técnic ica a que que por por su prop propia ia natu natura rale leza za ofr ofrec ece e las las mejores ventajas, es la técnica de la TRIANG!A"I#N, método mediante el cual es posi$le llevar el control % apo%o de todo el levantamien iento planimétrico, no solamente de grandes extensiones, sino tam$ién de los terrenos de mediana extensi&n % en donde la poligonaci&n resultar'a antiecon&mica %a sea por lo accidentado del terreno como por la existencia de o$st(culos que di)cultar'an la medici&n de los lados de la red u otro factor que *ar'a casi impractica$le las poligonaciones+ Para formar una poligonaci&n es necesario unir convenientemente dos o m(s tri(ngulos % en la que uno o m(s lad lados so son n lado ados co comu mune ness de los los tri(n ri(ngu gulo loss ad%ac d%acen ente tes, s, logr(ndose )guras que no necesariamente *an de ser tri(ngulos, sino sino tam$ié tam$ién n cuadr cuadril(t il(ter eros, os, pol'go pol'gonos nos con puntos puntos centra centrales les o redes conformadas por tales )guras+ -n toda triangulaci&n $asta con medir uno de los lados de la )gura .$ase de la triangulaci&n/, calcul(ndose el resto de ellos, por relaci&n trigonométrica siempre % cuando se conozcan los (ngulo (nguloss que forman forman cada cada tri(n tri(ngul gulo+ o+ "uand "uando o la preci precisi& si&n n por alcanzar de$e ser considera$le se tomar( una $ase de compro$aci&n con el de determinar la $ondad de la red+ !oss co !o conc ncep epto toss que que se segu guid idam amen ente te se pres presen enta tan, n, se re)er e)eren en princi principal palmen mente te a las trian triangul gulaci acione oness del tipo tipo topogr topogr()c ()co o aun cuando existen conceptos mu% comunes con las triangulaciones del tipo geodésico+
DEFINICION. Toda Toda triangulaci&n, es la red de apo%o de levantamiento plani lanime mettrito rito que se encu encuen entr tra a for forma mad da por por una una ser erie ie de tri(ngulos en los cuales uno o m(s lados de cada tri(ngulo, lo son tam$ién de tri(ngulos ad%acentes+ TRIANGULACION TOPOGRAFICA. -s toda triangulaci&n en la que no se tiene en cuenta el efecto de la curvatura terrestre, tanto en la medici&n de lados como en la medici&n de los (ngulos+ 0e modo general el alcance de los levantamientos por medio de las triangulaciones topogr()cas, puede llegar a unos 122 o m(s 3il&metros cuadrados de extensi&n4 siempre siempre % cuando se lleve un adecuado control de la precisi&n requerida+
PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION TOPOGRAFICA. !a conveniencia de una triangulaci&n como red de apo%o de levantamiento de$e estimarse teniendo en consideraci&n los siguientes aspectos 5 !a triangulaci&n es conveniente en terrenos de gran extensi&n+ 5 !a triangulaci&n resulta ventajosa ante la poligonaci&n, principalmente en regiones accidentadas % monta6osas, %a que de otro lado, la medici&n directa de lados ser'a lenta, con serias di)cultades % antiecon&mica+ 5 !a triangulaci&n en toda extensi&n de terreno en donde la naturaleza de su topograf'a o la existencia de factores diversos *agan imposi$le o di)culten la técnica de la poligonaci&n4 tal como es el tr()co de ve*'culos en las ciudades o en terrenos tales como cauces de r'os, lagunas, orillas de los mares en donde su propia naturaleza di)culta tremendamente la medici&n de los lados+
2. COMPENSACIÓN TRIANGULACIÓN
DE
FIGURAS
DE
UNA
Antes de procederse al c(lculo de los lados de la red, los (ngulos de$en ser compensados por ecuaciones de condiciones geométricas % trigonométricas % que son propias del tipo de )gura que forman toda compensaci&n se realiza a los valores de los (ngulos compensados por ecuaci&n de vértice siempre % cuando los errores en cada triangulo, sean menores a los m(ximo admisi$les+
METODO DE COMPENSACION DE LOS ANGULOS DE LAS FIGURAS DE UNA TRIANGULACION -ntre los métodos se tiene 7étodo aproximado o método de aproximaciones sucesivas+ 7étodo de los m'nimos cuadrados 0e los dos métodos, estudiaremos con detalle el de las aproximaciones sucesivas % que es el que se emplea para las triangulaciones topogr()cas, el método de los m'nimos cuadrados se emplea con m(s propiedad para las triangulaciones geodésicas .89 % :9 orden/+ 2.1. METODO APROXIMADO DE COMPESACION -s el método m(s empleado para la compensaci&n de triangulaciones topogr()cas . ;9 % 19 orden /, %a que por su sencillez no requiere de muc*o c(lculos+ na de las ventajas es su rapidez de c(lculo, as' como que los valores de los resultados dan la precisi&n deseada para este tipo de triangulaciones sin entrar en métodos de compensaci&n mu% re)nados+
!os principios en los que se $asa son 895 0e modo general, las correcciones de$en ser de signo contrario al error :95 !as correcciones parciales por aplicar a los valores de los (ngulos que intervienen en una determinada ecuaci&n, se logra por un reparto equitativo de la correcci&n total+ ;95 Toda correcci&n que se ejecute de$er( realizarse sin desequili$rar las compensaciones ejecutadas anteriormente+ 195 !a correcci&n de los (ngulos por ecuaci&n de lado se realiza luego de *a$er compensado por ecuaciones de (ngulo+
Ejemplo
? 82;9 :2@814 A> ? ;BC+B2; m+ Ánglo! "el #$"%&l'(e%o A ) C D .8/ ? 1B98:@82 .:/ ? ;D9 B8@2E .;/ ? B89 21@2C .1/ ? 1B9 B:@B2 .B/ ? ;C9 8F@:8 .C/ ? 1C9 11@2B .D/ ? 1B9 B2@:2 .E/ ? 1F9 2C@:1 ngulos del pol'gono " 0 - = . G / .8/ ? ;;9 1;@BE .:/ ? ;C9 12@82 .;/ ? 1F9 :;@2E .1/ ? 189 :E@21 .B/ ? BB9 8D@;E .C/ ? BC9 22@2; .D/ ? 1:9 88@BD .E/ ? 1B9 8B@:C .18/ ? 82F9 ;B@BD .1:/ ? EF9 2E@B2 .1;/ ? CE9 1:@2C .11/ ? F:9 ;:@B8 ngulos del tri(ngulo - = < .8/ ? C:9 :D@8B .:/ ? BD9 ;8@1: .;/ ? C29 22@1E
Sol#&*n -l procedimiento de compensaci&n de un cuadril(tero por el método de las aproximaciones es
Compen!$#&*n "e #$"%&l'(e%o A ) C D -l procedimiento de compensaci&n de un cuadril(tero por el método de las aproximaciones es+ Compen!$#&*n po% e#$#&one! "e 'nglo+ !on (%e!+ 895 He compensan los (ngulos del cuadril(tero de modo que su suma de todos ellos de el valor ;C29+ !a compensaci&n total se reparte por igual entre los E (ngulos de la )gura, en caso de que la divisi&n no fuera exacta, se toma valores lo m(s aproximadamente posi$le+ :95 "on los valores compensados con el paso anterior, se encuentra la diferencia entre la suma de los (ngulos .8/ .:/ % .B/ .C/, dividiéndola luego entre 1, que ser( la correcci&n para cada uno de estos (ngulos, siendo positiva para aquellos cu%a suma fue de menor valor numérico % negativa para los (ngulos cu%a suma fue ma%or+ ;95 "on los valores de los (ngulos .;/ , .1/ % .D/ , .E/ , se procede de manera similar al paso anterior+ 195 He calcula los valores de los (ngulos compensados por ecuaciones de condici&n de (ngulo+ C$"%o "e #'l#lo p$%$ el ejemplo COMPENSACION POR ECUACION DE ANGULO ANGULO
VALOR CI
Angulo corregido
C II
C III
Angulo compensado
1
45º 12`10”
- 3”
45º 12`07”
+ 2”
45º 12`09”
2
37º 51`08”
- 3”
37º 51`05”
+2”
37º 51`07”
3
51º 04`06”
- 3”
51º 04`03”
- 3”
51º 04`00”
4
45º 52`50”
- 3”
45º 52`47”
- 3”
45º 52`44”
5
36º 19`21”
- 3”
36º 19`18”
- 2”
36º 19`16”
6
46º 44`05”
- 3”
46º 44`02”
- 2”
46º 44`00”
7
47º 50`20”
- 3”
47º 50`17”
+ 3”
47º 50`20”
8
49º 06`24”
- 3”
49º 06`21”
+ 3”
49º 06`24”
!!&
3!" !!#!!&
Sumas
3!" !!#$%&
' $%&
3!" !!(!!&
!!&
.8/ ? 1B9 8:@2D .B/ ? ;C9 8F@8E 0iferencia ? :2 J 8: ? E .:/ ? ;D9 B8@2B .C/ ? 1C9 11@2: E;9 2;@8: E;9 2;@:2 " II ? EK1 ? : .;/ ? B89 21@2; .D/ ? 1D9 B2@8D 8: .1/ ? 1B9 B:@1D .E/ ? 1F9 2C@:8 FC9 BC@B2 FC9 BC@;E
0iferencia ? B2 J ;E ? " III ? 8:K1 ? ;
Compen!$#&*n po% e#$#&*n "e l$"o+ Solo n$ e#$#&*n 8L+5 "on los valores de los (ngulos compensados por las ecuaciones de (ngulo se calcula los valores de los !ogaritmos Henos de los (ngulos, o$teniéndose luego de suma de ellos, de acuerdo a la condici&n de lado+
:L+5 He calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada+ ;9+5 Recalcula la suma de las diferencias ta$ulares en el logaritmo seno 8 para los valores de los (ngulos+ 19+5 !a correcci&n se o$tiene por divisi&n del valor de la diferencia de las sumas de longitud seno, entre el valor de la diferencias ta$ulares4 siendo positiva para los (ngulos cu%a suma de logaritmos seno fue menor % siendo negativa para los (ngulos cu%a suma de logaritmo fue ma%or+ "uadro de c(lculo para el ejemplo ANGUL ,ALOR OS 1B9 .8/ 8:@2F ;D9 .:/ B8@2D B89 .;/ 21@22 1B9 .1/ B:@11 ;C9 .B/ 8F@8C 1C9 .C/ 11@22 1D9 .D/ B2@:2 1F9 .E/ 2C@:1 ;C29 H7AH 22@22
LOGARITMOS SENOS /
D 1-
C I,
ANGULOS COMENSA DOS
:+2E
8;
1B9 8:@::
:+D
5 8;
;D9 B2@B1
8+D
8;
B89 21@8;
:+2;
5 8;
1B9 B:@;8
:+ED
8;
;C9 8F@:F
8+FE
5 8;
1C9 1;@1D
8+F
8;
1D9 B2@;;
58+EDE1E8
8+E:
58;
58+;E111B 58+;E1CC;
8D+2E
2
1F9 2C@88 ;C29 22@22
58+EB8281 58+DEDF2: 58+EF2F88 58+EBC21C 58+DD:B1F 58+EC::;1 58+ECFFD8
0iferencia en sumas !og Hen ? CC; J 11B ? :8E .unidades del C9 orden decimal/ C I, ? :8E K 8D+2E ? 8:+E , adoptaremos 10-, los que de$en ser positivos en los (ngulos .8/, .;/ , .B/ , .D/ % negativos en los (ngulos .:/ , .1/ , .C/ , .E/+
Compen!$#&*n "el polgono C D E F G3+ C&n#o E#$#&one!+ -l procedimiento de compensaci&n de un pol'gono con punto "entral es el siguiente 89+5 He c*equea si los (ngulos en el punto central cumplen la ecuaci&n de condici&n de vértice, de no ser ello, se compensa los (ngulos repartiendo la correcci&n total entre el nMmero de (ngulos en el punto central, valor que ser( la correcci&n por ecuaci&n de vértice+ :9+5 "on los valores corregidos por el paso anterior % los valores los restantes (ngulos de cada uno de los tri(ngulos que
conforman el pol'gono, se determina el valor de la correcci&n total que corresponde aplicar en cada triangulo+ ;9+5 He procede a calcular la correcci&n para los (ngulos en el punto central en su primer tanteo+ Para ello se divide la correcci&n total de cada triangulo entre ;, o$teniéndose luego la sumatoria alge$raica de estas correcciones+ Hi la sumatoria alge$raicas de las correcciones centrales en su primer tanteo no da un valor cero .2/, se procede a corregir estos valores+ 19+5 Para efectuar la correcci&n al primer tanteo, el valor de la suma anteriormente *allada se divide entre el nMmero de (ngulos en el punto central luego de *a$erse ejecutado el cam$io de signo+ B9+5 He o$tiene la suma alge$raica de las correcciones o$tenidas por los dos Mltimos pasos, valor que ser( la correcci&n para los (ngulos en el punto central % por condici&n de (ngulos+ C9+5 He calcula las correcciones para los restantes (ngulos de cada tri(ngulo, dividiendo la correcci&n que falta completar entre dos .:/+ D9+5 He o$tiene los (ngulos compensados por ecuaciones de (ngulo+
C'l#lo! p$%$ el ejemplo en "e!$%%ollo. .18/ ? 82F9 ;B@BD 1 ? 82F9 ;C@28 .1:/ ? EF9 2E@B2 1 ? EF9 2E@B1 .1;/ ? CE9 1:@2C 1 ? CE9 1E@82 .11/ ? F:9 ;:@B8 1 ? F:9 ;:@BB ;BF9 BF@11 8C ? ;C29 22@22 Co%%e##&*n (o($l 4 / 5.8/ ? ;;9 1;@BE 5 1 .:/ ? ;C9 12@82 5 1 .18/ ? 82F9 BF@11 5 8 8E29 22@2F
? ;;9 1;@B1 ? ;C9 12@2C ? 82F9 ;C@22 ?8E29 22@22
Co%%e##&*n (o($l 4 / 6.;/ ? 1F9 :;@2E 5 ; ? 1F9 :;@2B .1/ ? 189 :E@21 5 ; ? 189 :E@28 .1:/ ? EF9 2E@B15 2 ? EF9 2E@B1 8E29 22@2C 8E29 22@22 Co%%e##&*n (o($l 4 5.B/ ? BB9 8D@;E : .C/ ? BC9 22@2; : .1;/ ? CE9 1:@82 B 8DF9 BF@2F
? BB9 8D@12 ? BC9 22@2B ? CE9 1:@8B 8E29 22@22
Co%%e##&*n (o($l 4 / 17.D/ ? 1:9 88@BD 5 D .E/ ? 1B9 8B@:C 5 D .11/ ? F:9 ;:@BB 5 1
? 1:9 88@B2 ? 1B9 8B@ 8F ? F:9 ;:@ B8
8E29 22@8E
8E29 22@22
"orrecci&n total en tri(ngulo TI 5 F TII 5 C
"orrecci&n "ompensac central 89 i&n al 89 "#RR-""I#N =INA! P#R tanteo tanteo -"A"I#N-H 0-ANG!# 18 5 ; 18 : 18 5 8 8 5 1 : 5 1 1: 5 : 1: : 1: 2 ; 5 ; 1 5 ; TIII F 1; ; 1; : 1; B B : C : TIO 5 8E 11 5 C 11 : 11 5 1 D 5 D E 5 D Humas 5 E E 2
-stas correcciones )nales se suman alge$raicamente a los valores de los (ngulos con lo que se tendr( los (ngulos compensados por ecuaciones de condici&n de (ngulo+
Compen!$#&*n po% e#$#&*n "e l$"o+ Un$ e#$#&*n+ -sta compensaci&n se ejecuta por el mismo procedimiento empleado para el caso de la compensaci&n por ecuaci&n de lado para un cuadril(tero+ "(lculos para el ejemplo+ ANG! #H
OA!#R
.8/
;;9 1;@B1
.:/
;C9 12@2C
.18/
82F9 ;C@22
.;/
1F9 :;@2B
.1/
189 :E@28
.1:/
EF9 2E@B1
.B/
BB9 8D@12
.C/
BC9 22@2B
.1;/
CE9 1:@8B
.D/
1:9 88@B2
!#GARIT7#H H-N#H 5 5 8+D11B; 8 5 8+DDC82 D
0 8
ANG!#H "#RR-""I "#7P-NHA #N 0#H
;+8B
F
;;9 11@2;
:+E:
5 F
;C9 ;F@BD 82F9 ;C@22
5 8+EE2:F E 5 8+E:2FE 8
8+E
F
1F9 :;@81
:+;E
5 F
189 :D@B: EF9 2E@B1
5 8+F81F8 F 5 8+F8EBE 8
8+1D
F
BB9 8D@1F
8+1:
5 F
BB9 BF@BC CE9 1:@8B
5 8+E:D8C C
:+;;
F
1:9 88@BF
5 8+EB818 8
1B9 8B@8F
.E/
:+2E
5 5 8+;CCF8 8+;CD2E 1
Humas
5 F
1B9 8B@82
2
0iferencia de !og Hen 8+;CCF81 J 8+;CD2E2 ? 166 "orrecci&n 8CCK8E+2B ? F+8F ? F ./ .8/, .;/, .B/, .D/ .5/ .:/, .1/, .C/, .E/ -cuaci&n de (ngulo ? uno .8/ lado ? 2
Compen!$#&*n "el (%&'nglo E F 8 + !a compensaci&n de u tri(ngulo independiente, se realiza repartiendo por igual la correcci&n total por aplicarse entre los tres .;/ (ngulos que forman el triangulo+ -ntonces, para el ejemplo+ .8/ ? C:9 :D@8B B .:/ ? BD9 ;8@1: B .;/ ? C29 22@1E B 8DF9 BF@1B
? C:9 :D@:2 ? BD9 ;8@1D ? C29 22@B; 8E29 22@22
0. RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS+
-l par(metro que valora la $ondad de precisi&n de las )guras de una triangulaci&n es el coe)ciente denominado Resistencia de Figura, cuanto menor sea el valor de la resistencia, la )gura es de mejor precisi&n+ !a f&rmula para calcular la resistencia de )gura es D−C R= ∑ (d + d d +d ) 2
D
A
2
A
B
B
-n donde R Resistencia de )gura 0 NMmero de nuevas direcciones o$servadas en la )gura o red+ "+ NMmero total de ecuaciones de condici&n . " ? "A "8/ d 0iferencia ta$ular de logaritmo seno 8 del (ngulo opuesto al lado conocido, expresada en unidades de C9 orden decimal+ d 0iferencia ta$ular del logaritmo seno 89 del (ngulo opuesto al lado por calcular, expresada en unidade1s de C9 orden decimal+ -l factor ∑ (d + d d + d ) , Hirve adem(s para realizar la selecci&n del mejor camino de c(lculo de la triangulaci&n, tom(ndose aquel cu%o valor es el menor+ A
B
2
A
2
A
B
B
OA!#R-H 7AI7#H R-"#7-N0A0#H PARA !A R-HIHT-N"IA 0=IGRAH 89 #R0-N :9 #R0-N ;9 #R0-N 0-H"RIP"I#N
=igura simple independiente 0esea$le 7(ximo Red entre $ases 0esea$le 7(ximo
8B :B
:B 12
:B B2
E2 882
822 8;2
8:B 8DB
Ejemplo Para la triangulaci&n F&g%$ 1, llevar a ca$o la evaluaci&n de resistencia de )guras, as' como indicar cu(l de$e ser el camino de c(lculo de lados % pro%ecciones+ Holuci&n D −C "(lculo de los factores D
C$"%&l'(e%o+ 0 ? B x : ? 82
D − C
D
= 0.60
"?;8?1
Polgono+ 0 ? D x : ? 81
D − C
D
= 0.57
"?B8?C
T%&'nglo+ 0?:x:?1
D − C
D
= 0.75
"?8?8
T%&$ngl$#&*n (o($l+ 0 ? 81 x : ? :E
D −C D
= 0.61
" ? 1 C 8 ? 88
C'l#lo "e lo! 9$#(o%e!+
∑ (d
2
A
+d
2
A
d B +d B
)
C$"%&l'(e%o+ -n todo cuadril(tero con dos diagonales, existe la posi$ilidad de ejecutar el c(lculo de los lados mediante cuatro .1/ caminos de c(lculo, siendo C$m&no I
C$m&no II
C$m&no III
C$m&no I,
-n consecuencia el mejor camino de c(lculo en el cuadril(tero A > " 0, ser( el camino II+ A> J A0 5 "0 -l camino IO, es el camino m(s desfavora$le para el c(lculo de los lados+
Polgono+ -n todo pol'gono con punto central existe la posi$ilidad de c(lculo por dos caminos, en uno % otro sentido respecto del vértice central, para el caso que nos ocupa se tiene C$m&no I+
C$m&no II+
-n conclusi&n el camino II, es el mejor camino de c(lculo, aunque el camino I podr'a ser como camino de c(lculo %a que los valores no di)eren sustancialmente en nada+
T%&'nglo+ C$m&no I+
C$m&no II+
-l mejor camino es el I+
T%&$ngl$#&*n (o($l+ (d +d d +d ) =6.79 + 25.04 + 4.04 =35.87 (d +d d +d ) =32.80 + 25.16 + 4.88=62.84 2
A
2
A
B
B
2
A
minimo
2
A
B
B
maximo
-n conclusi&n los valores m'nimos % m(ximos de la resistencia de )guras, es "uadril(tero A > " 0 = 0.60 × 6.79= 4.10 R minimo
Rmaximo=0.60 ×32.80 =19.70
Pol'gono " 0 - = .G/ Rminimo= 0.57× 25.04 = 14.30
Rmaximo =0.57 × 25.16 =14.30
Tri(ngulo - = < = 0.75 × 4.04 =3.00 R =0.75 × 4.88=3.70 R Triangulaci&n total minimo
maximo
Rminimo= 0.61×35.87 =21.50
Rmaximo =0.61 × 62.84 =38.30
-l mejor camino de c(lculo es A) : AD : DC : DG : GF : FE : E8.
;. CALCULO DE AOR CAMINO DE CÁLCULO DE LA TRIÁNGULACIÓN.
"on los valore de los (ngulos corregidos por ecuaciones de condici&n de (ngulo % lado % segMn el mejor camino de c(lculo para la triangulaci&n, se procede al c(lculo de los azimut % rum$os de dic*o camino+ -jemplo "alcular los azimut % rum$os del mejor camino de c(lculo para la triangulaci&n de la )gura N9 12, si el azimut del lado A> ? 82;9 :2@ 81+
Sol#&*n Q A> ? 82;9 :2@ 81 R A> ? H DC9 ;F@ 1C -+ "on el valor de Q A> % los (ngulos compensados se tendr( que ejecutar el c(lculo segMn el mejor camino de c(lculo+
Q A> ? 82;9 :2 81 5 .:/ ? ;D9 B2 B1 Q A0 ? CB9 :F :2 8E2L + Q 0A ? :1B9 :F :2 .C/ ? 1C9 1; 1D Q 0" ? :F:9 8; 2D .8/ ? ;;9 11 2; Q 0G ? ;:B9 BD 82 5 8E29 81B9 BD 82 5 .11/ ? F:9 ;: B8 Q G= ? B;9 :1 8F 8E29 :;;9 :1 8F .C/ ? BB9 BF BC Q =- ? :EF9 :1 8B 5 8E29 82F9 :1 8B 5 .:/ ? BD9 ;8 1D Q -< ? B89 B: :E
R A> ? H DC9 ;F 1C R A0 ? N CB9 :F :2 -
R 0" ? N CD9 1C B; # R 0 G ? N ;19 2: B2 #
R G = ? N B;9 :1 8F -
R = - ? N D29 ;B 1B #
R -< ? N B89 B: :E -
?. CÁLCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL ME>OR CAMINO DE CÁLCULO . -l c(lculo las longitudes se realizan aplicando la f&rmula de la le% de senos para un tri(ngulo+ -jemplo "alcular los lados del mejor camino de c(lculo en la triangulaci&n en estudio+ A> ? ;BC+B2; m+ A0 ? ;BC+B2; .Hen F19 8E@;; K Hen 1D9 B2@ ;;/ ? 1DF+BBB m+ 0" ? 1DF+BBB .Hen B89 21@8; K Hen E:9 8:@ 22/ ? ;DC+B;E m+ 0 G ? ;DC+B;E .Hen ;C9 ;F@BD K Hen 82F9 ;C@22/ ? :;E+CDE m+ G= ? :;E+CDE .Hen 1B9 8BS82 K Hen 1:9 88@BF/ ? :B:+;BF m+ =? :B:+;BF .Hen CE9 1:@2C K Hen BB9 8D@1F/ ? :EB+FFE m+ -< ? :EB+FFE .Hen C:9 :D@:2 K Hen C29 22@B; / ? :F:+DCC m+
CALCULOS DE LAS PRO=ECCIONES DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACION.
"onocidos los valores de las longitudes de los lados, as' como los valores de los rum$os de cada uno de ellos se procede al c(lculo de pro%ecciones emple(ndose la formula conocida Pro%ecci&n en eje ? !ado x Heno Rum$o+ Pro%ecci&n en eje ? !ado x "oseno Rum$o+ !ado A> A0 0" 0G G= =-<
!ongitud Pro%ecci&n Pro%ecci&n .m+/ Rum$o !ado ;BC+B2; H DC9 ;F@1C ;1C+EEE 5E:+:;F 1DF+BBB N CB9 :F@:2 1;C+;;E 8FE+FB; N CD9 1C@B; ;DC+B;E # 5;1E+BDF 81:+;EB ;:E+CDE N ;192:@B2 # 58;;+C; 8FD+DC; :B:+;BF N B;9 :1@8F :2:+C8: 8B2+111 N D29 ;B@1B :EB+FF: # 5:CF+DB; FB+28D :F:+DCC N B89 B:@:E :;2+;2D 8E2+DB
6. CALCULO DE LAS CORDENAS DE LOS ,ERTICES DE LA TRIANGULACION. -l c(lculo de las coordenadas de los vértices se o$tienen por la suma alge$raica de las pro%ecciones, as' para nuestro caso es Vértice
A > A 0 " 0 G = <
Abscisa (m)
Ordenada (m)
E 8;1+C28 ;1C+EEE E 1E8+1EF E 8;1+C28 1;C+;;E E BD2+F;F 5 ;1E+BDF E :::+;C2
D :CD+F:1 5 .0atos/ E:+:;F D 8EB+CEB D :CD+F:1 8FE+FB; D 1CC+EDD 81:+;EB D C2F+:C:
E BD2+F;F 8;;+C; E 1;D+;2F :2:+C8: E C;F+F:8 :CF+DB; E ;D2+8CE :;2+;2D E C22+1DB
D 1CC+EDD 8FD+DC; D CC1+C12 8B2+111 D E8B+2E1 FB+28D D F82+828 8E2+DB E 2F2+EB8
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