Clase 5
Cantidad de movimiento lineal y colisiones
Cantid Can tidad ad de Movim Movimien iento to Lineal Lineal – Mom Moment entoo Lineal Lineal A los conceptos ya estudiados para una partíc ícuula, vamos a generalilizzar para un sis iste tem ma de partíc ícuulas.
fuer erza zass ac actu tuan ante tess so sobr bree Fuerza Fue rzas s Externa xternas: s: fu
lass par la artí tíccul ulas as de debi bido do a fu fueent ntees ext xter ernnas al si sisste tema ma..
Fue uerz rza as Int nte ern rna as: fuerzas actuantes sobre una
partícula debido a las demás partículas que comp co mpon onen en el si sist stem ema. a.
Cantid Can tidad ad de Movim Movimien iento to Lineal Lineal – Mom Moment entoo Lineal Lineal Al producto de la masa de un cuerpo por s u velocida velocid ad se lo denomina cantidad de movi miento li nea neall y se lo designa con la letra p .
p mv
[p ] = Kg m / s La cantid idaad de movimiento lin ineeal es una ma magn gnitu itud d ve vect ctor oria iall y t ie ien e l a m i sm sm a d i re rec ci ci ón ón y s en en t id id o d e l a v el el oc oc id id ad . Por lo tanto puede ser expresada por sus componentes de la forma:
px = m vx
py = m vy
pz = m vz
Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal Si la fuerza externa resultante sobre un sistema es nula, la cantidad de movimiento lineal total del sistema se conserva. Para dos partículas que interactúan se cumple que:
p Total
p1 p 2 cons tan te
De aquí se obtiene que:
P1 m1 v1
m1
Ptotal 0
m2
P2
m2 v2
La cantidad de movimiento lineal total del sistema se conserva, no necesariamente el de cada partícula.
Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal
La conservación de la cantidad de movimiento movimi ento lineal total del sistema ( 2 partículas) puede ser expresada matemáticamente de varias formas:
p total = p1 + p2 = constante p1 inical p 2 inicial P1final P2final
Se conserva conserva en cada dirección dirección en forma indepen independiente diente p x i-total = p xf-total
p yi-total = p yf-total
p zi-total = p zf-total
Puede ser aplicado a sistemas de varias partículas
Ptotal
P1 P2 P3
. . . . constante
A
Ejemplo de conservación de la cantidad de movimiento lineal Un arq rque uero ro es está tá pa para rad do so sobr bre e hie ielo lo (superf (sup erficie icie sin roz rozami amient ento). o). ¿Qu ¿Q ue su suce ced de de desp spué uéss de la lan nza zarr la flflec ech ha? Análisis:
Con la seg segun unda da ley de New Newton ton No , po porq rquue no hay inform inf ormaci ación ón de la Fue Fuerza rza ni de la ace aceler leraci ación. ón.
Con el teorema teorema Traba Trabajo-En jo-Energí ergíaa No , porq rque ue no ha hay info in form rmac ació iónn de los los trabaj trabajos os o en ener ergí gías as..
Con la conse conservaci rvación ón de la cantida cantidadd de movimie movimiento nto linea lineall Si
Considerand erando o 1: hombre hombre y arco arco Ejemplo: Consid 2: flecha
Como No No actua actuan n Fue uerz rza as Exte xterna rnas s al sistema sistema :
Además
v 1i
v 2i
p1i + p2i = p1f + p2f
0
La cantidad de movimiento movimiento lineal lineal total del sistema sistema antes arrojar la flecha es cero:
La cantidad de movimiento lineal total del sistema después arrojar la flecha también es cero:
0 = p1f + p2f
p 1f
p 2f
m1 v 1f
m2 v 2f
v 1f
v 2f
La velocidad de la flecha negativa indica que se dirige en dirección contraria al arquero y con un valor mayor, ya que su masa es mucho menor.
Impulso A partir de la segunda ley de Newton se puede relacionar la cantidad de movimiento lineal de una partícula con la fuerza resultante actuando sobre ella ella::
F ma m
dv dt
d mv dt
dp
[I] = N/s N/s = Kgm / s
dp dt
Fdt I tf
p p f p i Fdt I
ti
In te tegr gra and ndo o pa para ra en co cont ntra rarr el ca camb mbio io de la ca can n ti tida dad d de mo movi vimi mie ent nto o l i n eal d u r an t e u n i n t er v al o d e t i em p o p ar a u n a Fu er za q u e n o es constate
La int integral egral se llama el el im impul pulso so de un una a fu fue erz rza a, I, ac tu tua and ndo o s ob obre re un ob obje jeto to du dura rant nte e un t
Impulso
El Impulso es un unaa ma maggnitituud vectorial. El mó módu dulo lo de dell im impu puls lso o es igual al áre rea a ba bajo jo la cu curv rva a de fuer fu erza za vs titiem empo po.. El Imp mpuls ulso o no es una propiedad de la partícula, pero es una medida del ca camb mbio io en la ca cant ntid ida ad de mo movi vimi mie en to de la pa part rtíícu cula la..
Impulso F
• La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, y se llama fue fu erz rza a de im impu puls lso o.
Fm
t
Se puede ver que la int intera eracci cci ón de la fuerza con el objeto es algo compleja compl eja,, es útil definir:
ti
tf
Área = Fm t
•El impulso se puede escribir como:
I Fm t donde Fm es la fuerza promedio durante el intervalo.
Impulso Por ejemplo:
I Fm t
Los airbags tienen la función de aumentar el el ti empo de acción ( t) de la F de acuerdo a la ecuación Fm disminuye y por lo tanto el daño a causa del del ch oque es menor.
Ejemplo Una pelota de golf de 50 g inicialmente en reposo es golpeada por un palo de golf y ésta alcanza una distancia de 200m, calcule el impulso aplicado por el palo, suponga la velocidad inicial 44 m/s. vA = 0 m/s
A
v B = 44 m/s
B
C
Ipelota = p pelota = p final – p inicial = m v B – m v A = (0, (0,050 050)(4 )(44 4 - 0) = 2,2 kg m/s Si el tiempo de contacto en B dura 4.5 x 10 –4 s F = I / t = 4900 N la fuerza es: En la mayoría de los casos, la fuerza actúa durante un tiempo pequeño sobre la part pa rtíc ícul ula, a, po porr es eso o F es mu muyy gra ran nde co comp mpar arad ada a co con n otr tras as fu fuer erza zass pr pres esen ente tes. s.
Colisio Coli siones nes o Cho Choque quess – Car Caract acterí erísti sticas cas Llamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento estab est ablec lecee qu que: e: p1 inical p 2 inicial P1final P2final
m1v1 + m2v2 = m1 u1 + m2 u2
Debe involucrar un contacto físico, pero puede ser generalizado incluyendo casos en donde no existe co conn contacto físico.
El intervalo de tiempo durante el cual las velocidades cambian desde el valor inicial hasta el final, se asume muy corto. Las fuerzas de interacción se las considera mucho mayor que cual cu alqu quie ierr fu fuer erza za ex exte tern rnaa pr pres esen ente te..
Colisiones Las colisiones pueden ser el resultado del conta contacto cto dire directo cto (a).
La fuerza del impulso v ar ía en el t ie iem p o
de for forma ma com compli plica cada da..
F12
Esta Es ta fu fuer erza za es inte dell si sist stem ema. a. interna rna de
La ca cant ntid idad ad de dell mo movi vimi mien ento to liline neal al
se conse conserva rva..
d p1
F 21
dt
Fuerzas de interacción
De la tercera ley de Newton, tenemos que:
Hay colisiones que n o n ec es i t an c o n t ac t o físi fí sico co en entr tre e la lass pa part rtíc ícu ula lass (b (b). ).
porr ej po ejem empl plo: o: fu fuer erza zass el eléc éctr tric icas as en entr tre e el ella las. s. Este titip po de co collis isio ion nes puede den n ana naliliza zarrse en la mis ism ma fo forrma que las (a (a)).
d p2 dt
F1 2 F 2 1
Clasificación de las colisiones Considerare Conside raremos mos colis iones en u na dimensión.
Las colisiones se clasifican en: Elásticas :
cuando se conserva la energía cinética total, es decir:
Ec i total Ec f total 1 2
2
m1v 1
1 2
2
m2v 2
1 2
2
m1u1
v= veloc. inicial antes del choque u= veloc. final después del choque
1 2
2
m2u2
Semie mielá lástic stica as o Semplá mplástic stica as:
cuando parte de la energ rgía ía ci cin nétiticca to tota tall se tr tra ansfo form rma a en energ rgía ía no recup rec uper erab able le (c (cal alor or,, de defor forma mació ción, n, so soni nido do,, etc etc.). .). In el ás t i c as
Ec i total Ec f total Q
o Pl ás ás t i c as: cuando los objetos
permanecen juntos después de la colisión, perd pe rdie iend ndo o par arte te de la en ene erg rgía ía ci ciné nétitica ca to tota tal.l.
u1 = u 2 En todos los casos la cantidad de movimiento lineal del sistema se conserva
Colisiones elásticas Después de la colisión
Antes de la colisión v1 m1
u1
v2
u2
m2
En colisiones elásticas se conserva: la cantidad cantidad de movimiento lineal del sistema. sistema. m1v 1
m 2v 2 m1u1 m2u 2
y la energía cinética total 1 2
2
m1v 1
21 m2v 22
1 2
2
m1u1
21 m2u22
Es fácil mostrar que a partir de lo anterior: si m 1 = m 2
v 1 u1 v 2 u2
v 1 – v 2 = -u 1 + u 2
v1 + u1 = v2 + u2
A
Colisiones inelásticas m1v 1
Para colisiones inelásticas se cumple:
m2v 2 m1u1 m 2u 2
Ec i total Ec f total Q Antes de la colisión
u1
u2
m1v 1
u
m1
m2 v 2
v1
u
v2
m2
m2
m1
Si m2 está inicialmente en reposo, entonces: v 2 =0
u
m1+m2
m1 v 1
u
Si v 2 = v 1 , entonces:
Después de la colisión
m1
m2
m1
m2
m1
m2
v1
A
Y si en este caso m 1= m 2, entonces: u = 0
Colisiones en dos dimensiones Para el caso de dos dimensiones la conservación de la cantidad de movimiento se expresa para cada componente como: mv 1
1
m v 2
2
m u 1
1
m u 2
2
Eje x:
m1v1x + m2v2x = m1u1x + m2u2x
Eje y:
m1v1y + m2v2y = m1u1y + m2u2y
Antes de la colisión v1
Después de la colisión u1
m1
v2 u2 m2
Por ejemplo:
Después de la colisión
u1
Antes de la colisión v1
m1 m2
u2
Si m2 está en reposo v2 = 0. Después del choque, m1 se mueve a un ángulo con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo con la horizontal. reemplazando: reemplazando:
P sistema antes = P sistema después En eje x:
m1v1
En eje y:
=
0=
m1u1cos m1u1
+ m2u2cos
sen - m2u2sen
Si el el cho que es perfectamente élastico élastico , la ley de la conservaci ón d e la energía ene rgía también se cum ple de acuerdo a la ecuació ecuació n: 1 2
m1v12
1 2
m1u12 12 m2u 22
Colisiones en dos dimensiones
u v1
v2
A
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular Análogamente a la cantidad de movimiento lineal P se puede definir en el movimiento giratorio la cantidad de movimiento movimiento angular L:
L I Si actúa un momento neto, se tiene la siguiente expresión: Como la aceleración angular se define: Reemplazando:
neto
neto
t
neta
I x
I = momento de inercia inercia
t I x t L
variación de la cantidad de movimiento angular.
Si el mom ento n eto =0 , se puede enun enun ciar: el princi pio de conservación de la canti canti dad de movi miento angul ar:
neto
L 0
0
L
inical
L final
COMPARACIÓN ENTRE EL MOVIMIENTO LINEAL Y MOVIMIENTO ANGULAR
Movimiento lineal
Mom ento lineal Fuerza
20 ley de Newton
Movimiento de rotación
Momento angular L = I
p = m v
Momento de una fuerza
F
F
=
dp
= ma
20 ley de Newton
=
dL
=I
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular
neto
0
L 0 L inical L final
inical I final Recordemos que momento de inercia I depende de la masa y de su distancia r al eje de giro La patinadora cuando estira sus brazos,aumenta r, aumenta su momento de inercia inercia I. Para que la cantidad de movimiento angular se conserve debe disminuir
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular El mismo razonamiento se hace:
Para realizar un giro con mayor velocidad ( aumente) El momento de inercia ( L) debe disminuir, para esto acerca su cuerpo al eje de giro
