Asignatura: FÍSICA I Eje Curricular de la Asignatura: BÁSICA Horas presenciales teoría: 4 horas h oras semanales/ 64 horas semestrales semestrales Horas presenciales práctica: 2
Código de la Asignatura: Asignatura: IC – 1.03
Horas atención a estudiantes: 2 horas semanales
Horas trabajo autónomo: Horas 96
Fecha de Inicio Inicio:: 05/10/2015 Prerrequisitos:
Fecha de Finalización: 05/02/2016
Año: 2016 - 2016 Ciclo/Nivel: Primer semestre Número de créditos: 4 créditos ( (semestral semestrales) es)
Correquisitos: Cálculo diferencial Mgs. César Césa r Solano de la
DOCENTE DE LA CÁT EDRA DE CÁTEDRA DE FÍSICA I
Ing. Civ.. CÉSAR AUGUSTO SOLANO DE LA SALA MONTEROS, Mgs.
CORREO ELECTRONICO
[email protected]
En el transcurso de la la presente semana, todos, sin excepción deberán enviarme un email emai l para poderlos registrar.
Se les recuerda recu erda que este medio es el único oficial para nuestra comunicación comunica ción extra clase Mgs. César Solano de la Sala Sa la M, Ing.
Clases prácticas o conferencias
Talleres en clase
Trabajos autónomos individuales y en grupo
Mgs. César Césa r Solano de la
PORTAFOLIO DE LA ASIGNATURA
Los alumnos llevarán una evidencia del avance académico que se denominará Portafolio de la Asignatura. Este comprende la producción realizada en el desarrollo de la asignatura asigna tura (digital e impreso)
Mgs. César Solano de la Sala S ala
Evaluaciones Parciales: Pruebas parciales dentro del proceso, determinadas deter minadas con antelación en las clases. Presentación de organizadores or ganizadores gráficos, informes escritos, investigaciones bibliográficas bib liográficas y talleres, participación en clases a partir del trabajo trabajo autónomo del estudiante de acuerdo a la pertinencia en la asignatura asignatura en el segundo hemisemestre, presentación del proyecto final de d e la asignatura.
Exámenes: Examen Hemisemestre y del fin de semestre, semestre, establecidos establecidos en el el calendario académico del ciclo o nivel
Mgs. César Solano de la Sala M,
PRIMER HEMISEMESTRE Porcen Indicadores taje Eval. I Promedio de trabajo autónomo Exposición individual Eval. 2 Promedio de actividades intraclases intraclases individuales. 70% Presentación de organizadores organizadores Eval. 3 Promedio de actividades intraclases colaborativas Presentación de talleres e informes
30%
Ponderación 10% 20%
20%
Eval. 4 Otras c onsideradas onsideradas desde la 20% asignatura. Evaluaciones Evaluaciones de la unidad Eval. Examen primer hemisemestre. 30%
SEGUNDO HEMISEMESTRE Porcen Indicadores taje Eval. I Promedio de trabajo autónomo Exposición individual Eval. 2 Promedio de actividades intraclases intraclases individuales. 70% Presentación de organizadores organizadores Eval. 3 Promedio de actividades intraclases colaborativas Presentación de talleres e informes
30%
Ponderación 10% 15%
15%
Eval. 4 Proyecto final de la asignatura 30% Presentación de proyectos funcionando de temas te mas vistos vistos en el semestre Eval. Examen primer hemisemestre. 30%
9.1. Bibliografía Básica:
TIPPENS, P.E, (2011), Física. Mexico: Editori Editorial al Mc Graw Hill
Mgs. César Solano de la Sala
9.2. Bibliografía Bib liografía Complementaría :
Blatt, F.J, (1993), Fundamentos de Física Física.. México: Méxic o: Pretince Hall
Zemansky, S, (2009), Física Universitaria: Universitaria: Pearson Física vectorial vectoria l Vallejo Vallejo Zambrano
Mgs. César Césa r Solano de la
UNIDAD No. 1
Definir un vector, sus características y reglas del algebra vectorial, a través de conceptualizaciones y formulas que permitan realizar operaciones con vectores 2D.
VECTORES ¿SABES QUE ES UN VECTOR Y PARA QUE SIRVEN?
VECTOR Es un segmento de línea recta orientada que sirve para representar gráficamente las magnitudes vectoriales .
A ; Se lee vector A
A; se lee módulo del vector A
A
ELEMENTOS DE UN VECTOR PUNTO DE APLICACIÓN
• Está dado por el origen de un vector • Es el valor del vector, y generalmente, está dado
MÓDULO O MAGNITUD
SENTIDO
por un valor y una unidad. Ejm. 5 N (si se se tratase de fuerza). orientación dada por la saeta, un vector • Es la orientación puede tener 2 sentidos.
• Es el ángulo que forma el vector con uno de los DIRECCIÓN
ejes de referencia
SENTIDO
MODULO
Θ DIRECCIÓN PTO. DE APLICACIÓN APLICACIÓN
TIPOS DE VECTORES VECTORES COLINEALES C OLINEALES
Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. A
B
VECTORES CONCURRENT CONCUR RENTES ES
Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un solo punto.
VECTORES COOPLANARE C OOPLANARES S
Son aquellos vectores que están contenidos contenidos en un u n mismo plano.
VECTORES VECTORES IGUALES. IGUA LES.
Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido. sentido.
VECTOR OPUESTO (- A )
Se llama vector opuesto (- A ) de un vector cuando cu ando tiene tiene el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario. PRODUCTO PRODUCTO DE DE UN VECTOR VECTOR POR UN ESCALAR
Cuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantas veces el escalar por el módulo del vector dado. Si el escalar es positivo, el sentido se conserva, pero si es negativo, el sentido se invierte.
1/2 -2
REPRESEN REP RESENT TACIÓN GRÁFICA GRÁFIC A DE VECTORES VECTOR ES
COORDENADAS RECTANGULARES.
COORDENADAS POLARES
A
• Un vector A vector A puede puede ser
representado por un par ordenado (x,y). Ej • A = (-4,3)
y 3 x
-4
A= 10
• Un vector puede ser
representado por su magnitud (r) y su dirección dirección ϴ. A = (r;ϴ). Ej. • A = (10;50°)
50°
Los ángulos positivos se miden en sentido antihorario.
COORDENADAS GEOGRÁFICAS. Se reemplazan los ejes x i y por ejes geográficos. Ej. A = 10N;S40°E B= 50N;60°N-E C= 30N; 30 N; SO N
B= 50N
60°
O
E
45° 40°
C= 30N S
A= 10N
SUMA Y RESTA DE VECTORES MÉTODO GRÁFICO
OPERACIONES OPERACIONES CON VECTORES SUMA Y RESTA
MULTIPLICACIÓN
SUMA DE VECTORES Sumar dos o más vectores, es representarlos por un solo vector llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma s uma aritmética. aritmética.
SUMA DE VECTORES
MÉTODO GRÁFICO
MÉTODO GRÁFICO
POLÍGONO
MÉTODO ANALÍTICO ANALÍTICO
EL TRIÁNGULO
PARALELOGRAMO
MÉTODOS GRÁFICOS a) MÉTODO DEL POLÍGONO CERRADO Este método es útil para obtener la resultante de dos o más vectores. El método consiste en colocar los vectores uno a continuación de otro (el extremo de un vector con el orige origen n del siguiente). El vector resultante se lo obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.
La suma de vectores cumple con la propiedad conmutativa: A+B=B+A
O sea, el orden no importa. Supongamos que queremos sumar los vectores V1, vectores V1, V2 V2 y V3. V3.
Coloquemos los vectores uno a continuación del otro, conservando su magnitud, dirección y sentido (transportar). V1 V2
V3
V1 +
+ V2
Entonces, la resultante R de la suma de los tres vectores, se obtiene, uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.
V3
V1 V2
R V3
b. Método del triángulo Este método es muy útil para sumar o restar dos vectores. Supongamos los siguientes siguientes vectores: B
A
El método consiste en graficar un vector a continuación del otro: A
B
R
La resultante se obtiene al unir el origen del primer vector con el extremo del segundo.
c) MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Este método es efectivo para sumar o restar hasta dos vectores concurrentes concurrentes.. El método consis consiste te en trazar una paralela del vector B al extremo del A del A y y una paralela p aralela del A del A en en el extremo del vector B hasta formar un paralelogramo (como se muestra en la figura) y el vector resultante de la suma A+B A+B se obtiene uniendo la diagonal que parte del punto común de los dos d os vectores. R= A+B B
A
PROPIEDADES La suma de vectores goza de las siguientes propiedades: Conmutativa: a+b=b+a Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro o vector 0 a+0=0+a=a •
•
•
•
Elemento simétrico u opuesto a‘
a + a' = a' + a = 0
a' = -a
SUBSTRACCIÓN DE VECTORES A y B basta con sumar sumar al • Para restar dos vectores A y primer primer vector A vector A el el negativo del segundo vector B (el vector negativo negativo cambia el sentido): sentido): A-B A-B = A+(-B)
A
B
-B
-B
A R
En el caso de 2 vectores concurrentes se pueden presentar los siguientes casos:
REPASEMOS LO APRENDIDO a) ¿Q ¿Qué ué tipo tipo de opera operaci cione oness se puede puede reali realizar zar con vectores ectores?? a. b. b) La suma suma de vectores da d a como como resultado: result ado: a.- Otro vector b.- Un Un escalar
c) Sumar do doss vectores ecto res de magnitud magnitudes es 5 y 3, da necesariamente un unaa resultante resulta nte de valor 8, explique. explique . d)
Indique 3 métodos para sumar y restar vectores: ecto res: a) . b) . c) .
e) Describa el método del políg po lígono. ono. f) Describa el método del paralelogram paral elogramoo g) Describa el métod métodoo del triáng t riángulo ulo h) La suma de vectore vectoress cumple cu mple con la propiedad pro piedad conmutativ conmutat iva, a, explique i) En E n que consiste la resta de vectores j) La resta de vecto vectores res cumple con la propiedad conmutativ conmutat ivaa k) Puede Pued e la suma de 2 vecto vectores res ser cero, explique
B l) Dado los vectores A y B, trace la resultante R = A – B A B m) Dado los l os vecto vectores res A y B, trace la resultante R = B – A
B A B n) Dado los vectores A y B, trace la resultante R = -A – B A B
EJERCICIOS
1
2. Observe los vectores de la figura. En las igualdades siguientes se presentan algunas relaciones entre estos vectores. Identifique cual no es verdadera. a) b) c) d) e)
A +B =E A +C =D B +E +D +C =0 B +E +D =0 E +A =B
( ( ( ( (
) ) ) ) )
C B D
A E
2
La fi figura gura muestra un trapecio, de vértices vértices A, B, C, D. Sabiendo que M es punto medio medio del segmento AB, determi dete rminar nar el módul ód ulo o de la resultante de los vectores vecto res A y B BC= 7 ; AD= 13 a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 B C e) N.D.A A B
A
D
3
Para los vectores vectore s a) A+B=C b) E+H=D c) C+E=H d) F+G+E=0 F+G+E=0 e) H-E=C
dados dad os en la figura, la(s) alternat alternativa(s) iva(s) correcta(s) corre cta(s) son: so n: ( ) ( ) B ( ) ( ) A D C E ( ) G
H
F
4
Encontrar una una expresión para par a el vector
X en
funci funció ó n de los vectores vector es
paral paralelog elogram ramo o (m es pun punto medio) edio)
X
m
A B
A
y B. La figura figura es un
5
Determinar
X
en función función de
A y B,
si ABCD ABCD son los los vértices vértices de un paralel par alelogra ogram mo (M y N
son puntos medios).
B
A
C
X
B
6
En el siguiente gráfico se muestra un triángulo con dos vectores en su interior, si AB= 2 y BC= a, determinar el módulo del vector resultante. Además: AM= MN= NC.
7
ADICION Y SUBSTRACC ADICION SUBSTRACCION ION DE VECTORES: VECTORES: METODO ANALÍTICO ANA LÍTICO • Sabiendo
que los métodos gráficos son aproximados, presentamos un método más exacto para encontrar la magnitud, dirección y sentido del vector resultante. resultante.
METODO ANALITICO LEY DEL COSENO LEY DEL SENO COMPONENTES COMPONENTES RECTANGULARES TRIANGULOS OBLICUOS
TRIANGULOS RECTANGULOS
LEY DEL COSENO Este en el método más efectivo para encontrar el vector resultante de la suma y resta de dos vectores. Este método método se puede utilizar cuando:
Se conoce dos vectores y el ángulo entre ellos (VAV) Se conoce los tres vectores (VVV) A A
C
Ө
B
B
R 2= A 2 + B2 + 2AB.Cos
R 2=
A 2 +
B2
– 2AB.Cos
Resultante de la suma
Resultante de la resta
LEY DEL SENO Este método es útil para sumar o restar hasta dos vectores cuando se conoce:
Un vector y dos ángulos (VAA o AVA AVA)) Dos vectores y el ángulo opuesto a uno u no de ellos (VVA). A
A
B
B H
R
A
J
L
B
M
B.Cos
B.Sen
K
En la fig. vemos que para el triángulo HJK, JK= R.Sen , y que en el triángulo MJK, JK= B.Sen JK= B.Sen JK= R.Sen
Igualando: B.Sen = R.Sen Despejando: R/Sen = B/S B/ Sen 1 Análogamente, del triángulo HLM, ML= A.Sen y del triángulo MLJ. ML= B.Sen ML= A.Sen ML= B.Sen Igualando: A.Sen = B.Sen Despejando: B/Sen = A/Sen 2 Com binando las ecuaciones ecua ciones 1 y 2, obtenemos la la relación simétrica: R/Sen = A/Sen = B/S B/Sen en
B/ Sen Sen = Sen R/Sen = A/Sen = B/S
Este es el método más efectivo para sumar dos o más vectores.
A cualquier conjunto de vectores que al sumarse de R , se les llama las componentes del vector R . Si las componentes forman entre sí ángulos rectos, reciben el nombre nomb re de componentes rectangulares.
El método consiste en que cualquier vector R R puede puede ser ser siempre considerado como la suma de dos o más vectores.
R Rx
Ry
Si los ejes con los cuales se analiza el vector forman 90° , se llaman ejes rectangulares u ortogonales. Y X
Considere un vector A vector A contenido contenido en el plano XY como se muestra en la figura. Y
A
Ay Ax
X
Y
A
Ay Ax
La proyec proyección ción del vect vector or A sobre el eje X me da la componente Ax Ax y la la proyección proyec ción del vector A sobre el eje Y me da la componente Ay.
X
La proyección del eje X (Ax) se la obtiene trazando una paralela al eje Y sobre el extremo del vector vector hasta cortar el eje X y la proyecc proyección ión del eje Y (Ay) se obtiene trazando una paralela al eje X en el extremo ex tremo del vector hasta cortar el eje Y.
Esta manera de obtener las proyec proyecciones ciones X i Y es válida para cualquier sistema sistema de ejes no ortogonales.
Y
Ay
A
Ax
X
Por lo tanto, la suma su ma vectorial vectorial de las la s componentes, resulta el vector vector A. A= A X + A Y Ahora, la magnitud de las componentes componentes A x y A y , las obtenemos utilizando utilizand o las funciones trigonométricas trigonométricas Seno y Coseno respecto al ángulo analizado. anal izado. Para Para nuestro caso: A x= A.Cosθ A y = A.Senθ Estas componentes son los lados del triángulo rectángulo, por lo que la magnitud m agnitud A se obtiene por Pitágoras y la dirección por tangente. A y 1 Tg ( ) A x
A A x2
A y
2
Cuando los ejes ejes no forman 90° a b
b’ a’
Un vector A analizado en este sistema de ejes también tiene sus componentes con los ejes a-b de la misma manera que en el caso anterior. a
b
Ab
b’ Aa A
a’
3.- Hallar las componentes de un vector de 10u según dos direcciones que forman un ángulo de 70°, si el vector forma con una de ellas un ángulo de 40°, b 10 a’ 40° 70° a b’
1
6.- Dado los vectores del gráfico y conociendo que A= 10, B= 5 y C= 15; determine la magnitud del vector A+B+C. C
20° A
60° B
2
8.- Para el vector respectivamente. a) -5 , 5 b) -5 , c) 5 , 3
2
d) -5 , 3 e) 5 ,
2
2
M del
gráfico. ¿Cuales serían sus componentes en las direcciones X y D d 5 3 M
2 d’
3
13.- Los vectores mostrados en la figura tienen una resultante determine los valores de θ 1 y θ2 respectivamente. a) 32.6° ; 57.4° b) 42.6° ; 47.4° 47.4° B= 20 c) 53.1° ; 36.9° θ1 A= 15 d) 57.2° ; 32.8° θ2 e) 60.2° ; 29.8°
C
R= A+B+C.
Si θ1+θ2= 90°,
4
16.- Determine la magnitud del vector que al sumarse a los vectores A y B de la figura, dan como resultado una resultante nula. a) 15.1u b) 18u A= 20 c) 19u 40° d) 23.1u e) 25.2u 60° B= 10
5
3.- ¿Es posible que la suma de dos vectores de módulos 6 y 4 respectivamente sea una vector de modulo 2?. ¿Es posible que la diferencia de dos vectores de de módulos 6 y 4 respectivamente sea un vector de modulo 2? (Demuestre su respuesta).
6
22.- Determine la magnitud del vector que al sumarse a los vectores A y B de la figura, dan como resultado una resultante nula. Y A= 20
40° 60°
X B= 10
7
14.- Dado dos vectores A y B tales que: A+B=C y que A+B=C, entonces los vectores son: a) Perpendiculares entre si b) Tienen la misma misma dirección y sentido c) La misma dirección y sentido contrario d) Forman 45° e) No pueden cumplir esta condición
8
7.- Suponga que las manecillas de un reloj corresponden a los vectores A= 15 (para el minutero) y B= 10 (para el horero). Para cuando el reloj marque las 17h15, encuentre la magnitud de A-B.
9
UNIDAD 1
Definir las características y fórmulas que intervienen en la multiplicación de vectores, a través de conceptualización, fórmulas y ejemplos, que permitan comprender y relacionar sus resultados con expresiones y magnitudes vectoriales que intervienen en física
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
DOS MANERAS DE MULTIPLICAR VECTORES
VECTOR x ESCALAR
VECTOR x VECTOR
PRODUCTO PUNTO O ESCALAR
PRODUCTO PUNTO O VECTORIAL
Cuando multiplicamos un vector A por un escalar λ, se obtiene un vector que tiene la misma dirección que el vector original y su magnitud es λ veces veces la del original. Si nos piden obtener o btener el vector 2 A 2 A tenemos: tenemos: A
2A
Si el escalar λ es es un número negativo, el vector resultante tiene la misma dirección, pero sentido contrario del vector original, y su magnitud es λ veces veces la inicial. Si nos piden obtener el vector vector -2 A tenemos: tenemos: A
-2A -2A
Si el escalar es cero, el vector vector resultante resu ltante también lo es.
I.- PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO Se llama producto escalar por que su resultado es un escalar, y se lo llama producto punto, por que el signo de operación es un punto. A.B= C Su valor es igual a la magnitud del del vector vector A A por por la magnitud del vector vector B y por el coseno del menor menor ángulo que que forman los dos vectores. vectores. A.B= A.B.Cosθ A θ B
C= A.B.Cosθ
El producto escalar es un número que puede ser +, -, o cero, dependiendo dependiendo del ángulo θ.
1 2
3 4
propiedad dad conmutativa. • Cumple con la propie • A.B = B.A • El producto escalar de dos vectores
perpendiculares perpendiculares es cero. c ero. • El producto escalar es máximo si los vectores son paralelos. • El producto escalar de 2 vectores paralelos es igual al área del rectángulo que forman los dos vectores.
1.- Ángulo entre dos vectores.
A.B= A.B.Cosθ A. B
Cos
1 A. B
A B
2.- Proyección de un vector.
Trazando la proyección del vector B sobre el vector A obtenemos el segmento OP que es el módulo de la proyección de B sobre A.
B θ
O
A
P
OP= B.Cosθ = B A
Partiendo de la expresión del producto punto: A.B=
A.B.Cosθ
A.B=
A.BA
B A
BA
A B .
A
Con esta expresión podemos calcular la proyección escalar de un vector sobre otro.
Se llama llam a producto vectorial vect orial por que el resultado es un u n vector vector C y cruz, por que el signo de operación es es una cruz.
AxB= C
El vector C es un vect vector or cuya dirección es perpendicular perp endicular al plano formado por los vectores vect ores A A y B.
El módulo módul o del vector vector C está definido por: po r: C= A.B.Senθ El ángulo θ es el menor ángulo entre A y B.
El sentido de C queda dado por la regla de la mano derecha, en el que el pulgar representa el primer vector ( A ), ), el dedo índice representa el segundo vector (B (B) y el dedo medio indica el sentido de C. B
C B
A AxB=C
-C A
B x A = -C
1
2
3 B
Área
A
No posee propiedad conmutati va
A x B ≠ B x A
A x B = -(B x A)
El producto vector vectorial ial es nulo si los lo s vectores vectores son paralel paralelos os (θ= 0° = 180°) El módulo del vector vector C del d el producto cruz de los vectores vectores A A y y B es igual igu al al área del paralelogramo paralelogra mo formado formad o por los lo s dos do s vectores. vectores.
Para facilitar las operaciones con vectores en 3 dimensiones (3D), se expresan los vectores en función de vectores unitarios.
PROPIEDADES:
Son vectores sin unidad, de módulo uno y se utilizan para expresar las direcciones de los vectores. A cada eje coordenado (X,Y,Z) se le asigna correspondientemente un vector unitario i, j, k respectivamente. Cualquier cantidad real en un eje, multiplicada por el correspondiente vector unitario, se convierte en una magnitud vectorial con la dirección de ese eje. b. j j = b c.k = c • a.i = a
En la notación de vectores unitarios, el vector A que está en el plano XY sería: Y P
Py j
P= Pxi + Py j
Pxi
X
Y para un vector A en el espacio: Y
A Ay
Ax
X
Az
Z
A= Ax + Ay + Ax A A x
2
A y
2
A z
2
Sea un u n vector vector A A cuyas cuyas componentes com ponentes ortogonales ortogonal es tienen módulos mód ulos A x, A y , A z; cada uno de estos escalares puede puede ser expresado expresad o como vectores utilizando utilizand o los vectores vectores unitarios. unitarios . A x= A xi A y = Ay j A= A A= A xi + A y j + j + A zk A z= A zk. Ejemplo: A = -2i + 8j + 3k ÁNGULOS DIRECTORE DIRECTORES S Los ángulos que el vector A= Axi + Ayj + Azk forman con los ejes coordenados son respectivamente α, β, γ. Tal como se muestra en la figura.
Y
A
Ax β α Ay
X Az
γ
Z De la la figu figura ra se desprende que: q ue: Cos
A x A
Cos
A y A
Cosg
A z A
Estas ecuaciones son conocidas como cosenos directores y define definen n la dirección dirección del vector A vector A respecto respecto a cada uno de los correspondientes ejes de coordenadas. Los ángulos directores directores varían entre entre 0° 0 ° y 180°. Cos2α + Cos2β + Cos2γ = 1
Para sumar vectores usando usand o sus componentes co mponentes con vecto vectores res unitarios, basta sumar sumar los escalares de las compon componentes entes en cada eje respetando respetan do los signos signos algebraicos. Ej.
A= Axi + Ay j + Azk B= Bxi + By j + Bzk A + B= (Ax + Bx)i + (Ay + By) j j + (Az + Bz)k
Se multip mu ltiplican lican siguiendo siguiendo las reglas del d el algebra común. Sabiendo que el producto escalar escalar de d e dos vectores perpendiculares perpendiculares es cero, tenemos que: i.j= i.j= 0 j.k = 0 k.i= k.i= 0 Por lo tanto, si tenemos los vectores vectores A A y y B, el producto produ cto escalar será: A = A xi + A y j + j + A zk B= Bxi + B y j + j + Bzk A.B= A.B= A x.Bx + A y .B y + A z.Bz Para los productos i.i, j.j, k.k tenemos: tenemos: i.i= i.i= 1x1.Cos0°= 1x1.Cos0 °= 1 j.j= j.j= 1 k.k = 1
Sean otra vez los vectores A y B considerados consi derados anteriormente, entonces: C= AxB C= (A xi + A y j + j + A zk ) x (Bxi + B y j + j + Bzk ) La manera más má s practica practica de d e obtener el vector C es mediante media nte el desarrollo desarro llo del determinante de la matriz i j k A x A y A z Bx B y Bz Cx C y Cz
ixi= jxj=
kxk= ixj= kxj=
∗ ° = =
= = ∗ ° =
= Dirección Positiva
= × ° = = −
= = −
ixi= 0 jxj jxj= = 0 kxk= 0 ixj= k jxk= jxk= i kxi= j ixk= -j kxj= -i jxi= jxi= -k
1
PRODUCTO PUNTO
= + + = + + . = . + . + . + . + + + . ∗ . . = 1 . = 1 . = 1
∗ (. ) . = 0 . = 0 . = 0
∗ (. ) . = 0 . = 0 . = 0
= + + . = ( ) + + ( ) = 4 − 3 + 8 =5 + 2 + 4 . = 20 − 6 − 32 . = −18
Sean los vectores: A vectores: A = 2i + 3j – 3k y B= -4i – 4j + 2k. El vector resultante del produc producto to cruz es:
2
El área de la fig. fig. som sombread breadaa en el siguie siguiente nte gráfi gráfico es: a)
2 22
b)
22
c)
22
d)
44
e)
88
3
Y 2 X 2 3 Z
Los vectores A vectores A = 6i – 4j y B= -4i + 6j + 8k son s on ortogonales a) Verdadero b) Falso
4
Sean u y v y v dos dos vectores unitarios y C y D dos vectores tales que C= 2u 2u – v , D= 3 v . Si C y D son ortogonales, ortogonales, entonces el ángulo entre u y v y v es: es: 15° 20° 30° 60° 90°
5
¿Cuál ¿C uál de las sigui siguiee ntes alternat alternativas ivas es un vector uni unitari tar io perpendicul perp endicular ar al plano sombreado sombrea do de la figura? Y a) – 0.77i 0.77i + 0.51j + 0.38k b) 0.77i + 0.27j – 0.58k 6 c) -0.77i - 0.51j - 0.38k d) – 0.27i 0.27i – 0.38j 0.38j – 0.88k 0.88k e) 0.34i + 0.51j + 0.79k X 4 8
6
Considérese los vectores A vectores A = 8i – 4j + 10k y B= ai – 3aj + 4k. Determínese el valor de “a”, para que los
vectores en en referencia, referencia, sean perpendi perpendicu culares lares entre sí: 0 2 10 –2 –10
7
Para los vectores entre ellos: a) 56° b) 50° c) 34° d) 24° e) 20°
A y B
mostrad ostrados os en la figu figura, ra, determi determine ne el valor valor del del ángul ángulo formad formado o Y
A
6u
B
X 8u 10u Z
8
La pro proyección yección esca e scallar del vecto vectorr es: a) 2 b) 2 / 14 c) 1/7 d) 2 / 41 e) 2/41
U=
2i + 3j + k sobre sob re la la dirección del vector
V=
i + 2j – 6k 6k
9
Para Pa ra los vectores vecto res mostrados mostrad os en la fi figura, gura, encuentre el vector vecto r
A – B/2 B/2.
6 Y
A
4 B
8 Z
X
10
Determine un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A vectores A = 3i - j+ k y B= -2i -2j +3k.
11
