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Esferas de pared delgada:
Al analizar un recipiente a presión esférico, e l objetivo es determinar el esfuerzo en su pared para garantizar la seguridad. Por la simétrica de una esfera, un diagrama de cuerpo libre conveniente que puede utilizarse en análisis en una semiesfera, como se muestra en la Fig. 12-3. La presión interna del líquido o gas contenido en la esfera actúa perpendicular a las paredes, uniformemente sobre toda la superficie interna. Como la esfera se cortó a través de un diámetro, todas las fuerzas actúan horizontalmente. En consecuencia, se tiene que considerar solo el componente horizontal de las fuerzas producidas por la presión ejercida por el fluido para determinar la magnitud de área A, a la fuerza ejercida en el área es:
Si se considera la fuerza que ac túa en toda la superficie interna de la e sfera y determinar el componente horizontal, vemos que la fuerza resultante en la dirección horizontal es
Donde , es el área proyectada de la esfera en el plano que pasa a través del diámetro. Por consiguiente,
4
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Por equilibrio de las fuerzas horizontales de cuerpo libre, las fuerzas que actúan en las paredes también deben ser iguales a calculada con la ecuación (12-6). Estas fuerzas de tensión que actúan en el área de la sección transversal de las paredes de la esfera crean esfuerzos de tensión. Es decir,
,
Donde es el área del anillo recortado para crear el cuerpo libre, como se muestra en la figura 12-2. El área es
= (0 − ) Sin embargo, el área de la pared de esferas de pared delgada de espesor t menor que radio, puede expresarse de manera aproximada como
de su
= t Esta es el área de una franja rectangular de espesor t y longitud igual a la circunferencia media de la esfera, .
Las ecuaciones (12-6) y (12-8) se combinan para obtener la ecuación del esfuerzo,
y en función de y t de las ecuaciones (12-7) y (12-10) se obtiene
Expresando
(4 ) 4 Esta es la expresión del esfuerzo en la pared de una esfera de pared delgada sometida a presión interna. El error que resulta de utilizar el diámetro externo o el interno en lugar del diámetro medio es mínimo (de menos del 5%)
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Ejemplo:
Calcule el esfuerzo en la pared de una esfera de 300 mm de diámetro interno y 1.50 mm de espesor de pared cuando contiene gas nitrógeno a 3500 kPa de presión interna. Objetivo: Calcular es esfuerzo de la pared de la esfera. Datos: P=3500 kPa:
=mm:
t=mm
Análisis: En primer lugar, debemos determinar la esfer a es de pared delgada, calculando la relación del diámetro medio al espesor de pared
= + 300 mm + 1.50 mm = 301.5 mm /t= 301.5mm/1.50 mm = 201 Como esta es mucho mayor que el límite inferior de 20, la esfera e s de pared delgada. Entonces se utilizará la ecuación (12-12) para calcular el esfuer zo.
Resultados:
)(. ) = ( (. )
175.9106= 175.9 MPa
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Cilindros de pared delgada
Con frecuencia se utiliza cilindros como recipiente a presión, por ejemplo, como tanques de almacenamiento, actuadores hidráulicos y neumáticos, y tubería para conducir fluidos a presión, los esfuerzos en las paredes de cilindros son similares a los que actúan en esferas aunque el v alor máximo es mayor. Aquí se demuestra dos análisis distintos. En un caso, se determina la tendencia de la presión interna de romper por tracción e l cilindro en una dirección paralela a su eje. Esta se llama esfuerzo longitudinal. A continuación, se analiza un anillo alrededor del cilindro para determinar el esfuerzo que tiene a romper el anillo, este se llama esfuerzo anular o esfuerzo tangencial.
Esfuerzo longitudinal.
La fig. 12-4 muestra una parte de una cilindro, sometida a una presión interna, cortada perpendicular a su eje para crear un diagrama de cuerpo libre, suponiendo que el extremo del cilindro está cerrado, la presión que actúa en el área circular del extremo producirá una fuerza resultante de
( 4 ) Figura 12-4: Diagrama de un cuerpo libre de un cilindro sometido a presión interna que muestra el esfuerzo longitudinal.
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Esta fuerza debe ser resistida por la fuerza presente en las paredes del cilindro, la que a su ves crea un esfuerzo de tensión en las paredes. El esfuerzo es.
Suponiendo d=que las paredes son delgadas, como en el caso de las esferas,
Donde t es el espesor de pared. Ahora combinando las ecuaciones (12-13), (12-14) y (12-15)
( 4 ) 4 Este es el esfuerzo que actúa en la pared del cilindro paralelo al eje, llamado esfuerzo longitudinal. observe que su magnitud es igual a la determinada para la pared de una esfera. pero no es el esfuerzo máximo, como se demuestra a c ontinuación. Esfuerzo anular:
La presencia del esfuerzo anular o tangencial se visualiza aislando un anillo del cilindro, como se muestra en la fig. 12-5. La presión interna empuja hacia afuera uniformemente alrededor del anillo. Este desarrolla un esfuerzo de tensión tangencial a su c ircunferencia para resistir la tendencia de la presión de reventarlo.
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La magnitud del esfuerzo de denomina utilizando la mitad del anillo como cuerpo libre, como se muestra en la fig. 12-5 (b) La resultante de las fuerzas creadas por la presión interna se determina en la direc ción horizontal y las fuerzas que actúan en las pare des del anillo la equilibran. Con el mismo razonamiento del análisis de la esfera, vemos que la fuerza resultante es de producto de la presión por el área proyectada del anillo. Para un anillo de diámetro medio y longitud L,
= p () El esfuerzo de tensión de la pared del cilindro es igual a la fuerza resiste nte dividida entre el área de la sección transversal de la pared. De nuevo suponiendo que la pared es delgada, su área es
2 Entonces el esfuerzo es:
2
Combinando las ecuaciones (12-17) y (12-19) se obtiene
2 2
Esta es la ecuación del esfuerzo anular en un cilindro delgado sometido a presión interna. Observe que la magnitud del esfuerzo anular es dos vece s la del esfuerzo longitudinal. asimismo, el esfuerzo anular es dos veces es e sfuerzo presente en un recipiente e sférico del mismo diámetro sometido a la misma presión.
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Ejemplo:
Un tanque cilíndrico que contiene oxígeno a 2000 kPa de presión tiene un diámetro extr emo de 450 mm y un espesor de pared de 10 mm. Calcule el esfuerzo anular y el esfuerzo longitudinal. en la pared del cilindro. Calcular el esfuerzo anular y el esfuer zo longitudinal en la pared del cilindro
=2000 450 =10 En primer lugar, tenemos que dete rminar si el cilindro es de pared delgada c alculando la relación del diámetro medio al espesor de pared.
− 450 − 10 440 440 44 10 Como este valor es mucho mayor que el límite inferior de 20, el c ilindro es delgado. Entonces se utilizará la ecuación (12-20) para calcular el esfuer zo anular y la ecuación (12-16) para calcular e l esfuerzo longitudinal. el esfuerzo anular se calcula primero Resultados:
)(440) (200010 2 44.0 2(10 )
El esfuerzo longitudinal, según la ecuación (12-12) es:
4 22.0
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Ejemplo:
Determine la presión requerida para reve ntar un tubo de acero cedula 40 estándar si la resistencia máxima a la tensión del acero es de 40 000 psi Objetivo: Calcular la presión requerida para reventar el tubo de acero Datos: Resistencia máxima a la tensión del acero = El tubo es de acero cedula 40 de 8 in estándar. Las dimensiones del tubo dadas en el apéndice A-12 son:
40 000
Diámetro extremo = 8.625 in= Diámetro interno = 7.981 in = Espesor de pared = 0.322 in = t
Análisis: El primer lugar determinamos si el tubo e s un cilindro de pared delgada calculando la relación del diámetro medio al espesor de pared.
+2 8.303 8.303 25.8 0.322 Como esta relación es mayor que 20, se utilizan la ecuación para pared delgada. El esfuerzo anular es el esfuerzo máximo y se utilizara para calcular la presión de ruptura Resultados:
2
Con = 40 000 psi y el diámetro medio se determina la presión de ruptura como
( )( ) 2 0.322 000 40 3102 2 8.303
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Cilindros y esferas de pared gruesa
Las fórmulas de las secciones presentes para esferas y cilindros de pared delgada se derivaron con la suposición de que el e sfuerzo es uniforme en toda la pared del recipiente. Tal como se enuncio, si la relación del diámetro del recipiente al espesor de pared es mayor que 20, esta suposición es racionablemente correcta. Por otra parte, si es menor que 20, 9las paredes se consideran gruesas y se requiere una técnica de análisis diferente. La derivación detallada de las fórmulas para recipientes de pared gruesa no se abordará aquí por su complejidad, sin embargo, si se demostrara la aplicación de las formulas
Para un cilindro de pared gruesa, la fig, (12-6) muestra la notación que se utilizara. La geometría está caracterizada por el radio interno A, el radio externo B y cualquier posición entre a y b, llamada r. el esfuerzo anular es : el esfuerzo longitudinal es Estos tiene el mismo significado que para los recipientes de pared delgada, acepto porque ahora sus magnitudes varían con las diferentes posiciones de en la pared. Además de los esfuerzos anular y longitudinal, se crea un esfuerzo radial en en recipiente de pared gruesa. Como el nombre lo implica, el esfuerzo radial actúa a lo largo de un radio del cilindro o de la esfera. Es un esfuerzo de compresión y varía desde 0 en la superficie externa hasta un valor máximo en la superficie interna, donde es igual a la presión interna. La tabla 12-1 resume las formulas requeridas para calcular los 2 esfuerzos que actúan en las paredes de cilindros y esferas de p ared gruesa sometidos a presión interna. Los terminar esfuerzo longitudinal y esfuerzo anula no se aplican a esferas n cambio, nos referimos al esfuerzo tangencial, el cual es igual en todas las direcciones alrededor de la esfera. Entonces
1
.
Esfuerzo tangencial =
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