CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS 3. DEFINICIÓN DE CENTROIDE Es el punto respecto al cual el área podría ser equilibrada si estuviera soportada en dicho punto. La palabra deriva del término “centro” y puede ser considerado como el centro geométrico de
un área. Para cuerpos tridimensionales, el término centro de gravedad o centro de masa, se usa para definir un punto similar. En el caso de áreas simples, tales como el círculo, el cuadrado, el rectángulo y el triángulo, el centroide es fácil de visualizar.
FIGURA 3.1 Propiedades de áreas simples. El centroide se denota como C 3.1 CENTROIDE DE FORMAS COMPLEJAS Las formas más complejas pueden ser consideradas como compuestas de varias formas simples. Esto facilita la localización del centroide. Se puede utilizar una regla simple para localizar centroides de algunas combinaciones especiales de áreas:
ING. JORGE E. DE LA CRUZ MARTÍNEZ
-
Si el área tiene un eje de simetría, el centroide quedará en dicho eje.
-
Si el área tiene dos ejes de simetría, el centroide se encuentra en la intersección de estos dos ejes.
Cuando no hay dos ejes de simetría, se puede utilizar el MÉTODO DE ÁREAS COMPUESTAS para localizar el centroide. Por ejemplo en la figura 3.2 se considera que tales áreas se componen de dos o más áreas simples cuyo centroide se puede localizar aplicando el principio siguiente:
El producto del área total por la distancia a su centroide es igual a la suma de los productos del área de cada componente por la distancia a su centroide, con la distancia medida con respecto al mismo eje de referencia.
Este principio utiliza el concepto del momento de un área, es decir, el producto del área por la distancia del eje de referencia al centroide del área. El principio establece que: El momento del área total con respecto a un eje particular es igual a la suma de los momentos de todos los componentes con respecto al mismo eje. Esto se expresa matemáticamente como:
̅ = ( ) Dónde
= área total de la forma compuesta ̅ = distancia al centroide de la forma compuesta medida con respecto a un eje de referencia = área de un componente de la forma = distancia al centroide del componente con respecto a un eje de referencia El subíndice i indica que puede haber varios componentes, y que se debe formas el producto
, por cada uno y luego sumarlos, como lo requiere en la ecuación mostrada. Como nuestro objetivo es calcular ̅, entonces se resuelve la ecuación: ̅ = ∑( ) ING. JORGE E. DE LA CRUZ MARTÍNEZ
Figura 3.2
Figura 3.3 Formas compuestas con dos ejes de simetría
ING. JORGE E. DE LA CRUZ MARTÍNEZ
3.2 CONCEPTO DE MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA En el estudio de la resistencia de materiales, la propiedad del momento de inercia de un área indica la rigidez de una viga, es decir, su resistencia a flexionarse cuando se somete a cargar que tienen a flexionarla. La deflexión de una viga es inversamente proporcional al momento de inercia. Algunos matemáticos y analistas de esfuerzos utilizan el termino segundo momento de área en lugar de momento de inercia. Dicho término, de hecho, describe con más precisión la definición de esta propiedad en el siguiente análisis, Otros se refieren a este término como momento de inercia de área o momento rectangular de inercia para distinguirlo del momento polar de inercia,
tal como se utiliza en el análisis de esfuerzo cortante torsional. Existen otros usos del término momento de inercia en el estudio de la dinámica donde el término se refiere a la propiedad de una masa tridimensional. Sin embargo, el término momento de inercia se ha vuelto de uso común en ciertos manuales y publicaciones industriales. En la mayoría de los casos importantes en el estudio de resistencia de materiales, el momento de inercia de una forma, denotado por el símbolo I, es una función de la colocación del área con respecto al eje centroidal de la forma, el eje que pasa a través de su centroide. Es más deseable, del punto de vista del uso eficiente del material, colocar tanto material lejos del eje centroidal como sea práctico. Esta observación se basa en la definición de momento de inercia.
El momento de inercia de un área con respecto a un eje particular se define como la suma de los productos obtenidos multiplicando cada elemento infinitesimalmente pequeño del área por el cuadrado de su distancia al eje.
Así pues, se deduce que si se coloca una gran parte del área alejada centroidal, el momento de inercia tenderá a ser grande. La fórmula matemática de momento de inercia, I.
= 2(∆)
ING. JORGE E. DE LA CRUZ MARTÍNEZ
3.3 MOMENTO DE INERCIA DE PERFILES COMPUESTOS CUYAS PARTES TIENEN EL MISMO EJE CENTROIDAL Un perfil compuesto es uno formado por dos o más partes que por sí mismas son perfiles simples para los cuales existen fórmulas para calcular su momento de inercia, I. Un caso especial es cuando todas las partes tienen el mismo eje centroidal. En ese caso el momento de inercia del perfil compuesto se determina combinando los valores de I y de todas las partes de acuerdo con la siguiente regla: Si todas las partes de un área compuesta tiene el mismo eje centroidal, el momento total de inercia se encuentra sumando o restando los momentos de inercia de las partes componentes con respecto al eje centroidal. El valor de I se suma si la parte es un área sólida positiva y se resta si la parte es hueca. 3.4 MOMENTO DE INERCIA DE PERFILES COMPUESTOS – USO DE TEOREMA DE EJES PARALELOS Cuando una sección compuesta consta de partes cuyos ejes centroidales no quedan en el eje centroidal de toda la sección, no se puede utilizar el proceso de simplemente sumar los valores de I de cada una de las partes. Se tiene que emplear el teorema de eje paralelo. SU ENUNCIADO GENERAL ES:
El momento de inercia de un perfil con respecto a un cierto eje es igual a la suma de su momento de inercia con respecto a su propio eje centroidal más una cantidad llamada TÉRMINO DE TRANSFERENCIA calculado con Ad 2 donde A es el área del perfil y d es la distancia de su centroide al eje de interés. Se puede aplicar el teorema para calcular el momento de inercia de un perfil compuesto general siguiendo el procedimiento siguiente. En este caso el eje de interés es el eje centroidal del perfil compuesto que debe ser encontrado con el método indicado anteriormente. PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR EL MOMENTO DE INERCIA DE UN PERFIL COMPUESTO a) Divida el perfil compuesto en partes simples para las que existan fórmulas con el fin de calcular su momento de inercia con respecto a su propio eje centroidal. Identifique las partes como 1, 2, 3 y así sucesivamente. b) Localice la distancia del centroide de cada una de las partes componentes a algún eje de referencia conveniente, por lo general, la base de la sección compuesta. Designe estas distancias como y1, y2, y3,etc.
ING. JORGE E. DE LA CRUZ MARTÍNEZ
c) Localice el centroide de la sección compuesta con el método dado en la primera parte. Designe la distancia del eje de referencia utilizando el paso (n) al centroide, como
̅
d) Calcule el momento de inercia de cada parte con respecto a su propio eje centroidal y designe estos valores como I 1, I2, I3, etc. e) Determine la distancia del centroide de la figura compuesta al centroide de cada parte y designe estos valores como d 1, d2, d3 , etc. Observe que d1 =
̅ −
1,
d2 =
̅ −
2,
d3 =
̅ −
, etc. Use el valor absoluto de cada distancia. 3
f)
Calcule el término de transferencia para cada una de las partes con A 1d21, donde A1 es el área de la parte y d 1 es la distancia calculada en el paso (e).
g) Calcule el momento total de inercia de la sección compuesta con respecto al eje centroidal con
= 1 + 112 + 2 + 222 + 3 + 332 + ⋯ La ejecución del procedimiento general para calcular el momento de inercia de una forma compuesta se facilita si se prepara una tabla que sea una extensión de la utilizada para localizar el centroide de la forma. El diseño general de la tabla es:
ING. JORGE E. DE LA CRUZ MARTÍNEZ
ING. JORGE E. DE LA CRUZ MARTÍNEZ
ING. JORGE E. DE LA CRUZ MARTÍNEZ
