2. Operaciones entre Subespacios Definición. Sean vectorial V . subespacios:
H
Se
W subespacios
y
definen
las
∪
I ntersecci Intersec cio´n : H ∩ H ∩ W = Unio´n : H W = + W = Suma : H + H
siguientes
operaciones
∈∈ ∈∈ ∧∨ ∈∈ ⊕ ∈ ∈ ∧ ∈
{v V V //v H v W } {v V V //v H v W } {v = h w V V //h H w
W subespacios vectoriales de H ∩ ∩ W y H H + + W también son vectorial V . Entonces H vectoriales de V . Teorema. Sean
H
vectoriales de un espacio
y
Observación. La operación de unión entre subespacios vectoriales de
entre
W }
un
espacio
subespacios
necesariamente va a dar V no necesariamente va
como resul res ultado tado otro subespacio subespa cio vectorial de V , a menos que uno este contenido en el otro.
Ejemplo. Determine si la unión entre los siguientes subespacios vectoriales de
V es
otro subespacio de
H = W =
{( x, x , y y)) {( x, x , y y))
Solución. (contraejemplo)
Si
∀
( x x,, y y), ), ( p, p, q ) H
suma, se tiene que
W =
de donde
{( x, x, y y))
W : ( x, x, y y))
( x, x, y y)) H ( p, p, q) H
∈
2
R y /y = x } 2 R y /y = − x }
∈ ∨ ∈ ∈ ∪ ⊕ ∈ ∪ ∈∈ ∪∪ ⟹⟹ ∈∈ ∨∨ ∈∈
H
∪
∈ ∈
V .
2
R /( x, x, y y)) H ( x, x, y y))
( p, p, q ) H
W W
W por el axioma de cerradura bajo la
( x, x, y y)) H ( x, x, y y)) ( p, p, q) H ( p, p, q)
∈∈ ⟹⟹
( x, x, y y), ), ( p, p, q ) H ( x, x, y y), ), ( p, p, q) W
( x, x, y y)) ( x, x, y y))
W }
⊕⊕
∈∈
W W
( p, p, q) H ( p, p, q) W
⊕
es decir,
(1, 1)
⊕
∈ ∪ ∉ ∪
∈ ∪
( x, y) ( p, q) H W ; sin embargo, si (1, 1), (1, −1) H (1, −1) = (2, 0) H W .
Por consiguiente, H
∪
W no es un subespacio vectorial de V .
H
∪ ⊆
W subespacios vectoriales de un vectorial V . Entonces H W es un subespacio vectorial y solo si H W o W H . Teorema. Sean
⊆
y
W subespacios vectorial V donde H = gen {P } H + W = gen {P Q}. Teorema. Sean
vectorial
H
y
∪
Teorema. Sean
V de
W entonces
H
y
W
subespacios
vectoriales y
de
W = gen {Q}.
vectoriales
de
un
espacio de
V
si
espacio
Entonces
un
espacio
dimensión finita. Entonces
dim( H + W ) = dim( H ) + dim(W ) − dim( H ∩ W )
W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V . La suma H + W se denomina suma directa de H y W , W , si cada vector en el espacio H + W tiene denotada como H una única representación como la suma de un vector en H y un vector en W . Definición. Sean
V .
Ejemplo. Sean
⊕
H
y
⊕
W subespacios vectoriales de un espacio Entonces H + W = H W si y solo si H ∩ W = {0V }.
Teorema. Sean vectorial
H
y
H y W subespacios
de
3
R dado
por
H = gen {(−1, 1, 3)} W = {( x, y, z )/2 x − y + 3 z = 0}
Determine
∪ ∈
a) El subespacio de la intersección entre H y W . 3 b) Muestre que H W no es un subespacio de R . 3 3 c) Que P = {p R / p = h + w ; h H y w W } es R .
∈
∈
Solución.
Literal a. Sean H =
⎧⎨⎛ ⎞ ∀ ∈ ⎫⎬ y ⎧⎨⎛ ⎩⎝ ⎠ ⎭ ⎩⎝ −a a 3a
/ a
H ∩ W
Por consiguiente, H ∩ W =
Literal b. Si H
∪
R
W =
⎛ ⎞ ⎛ ⟹ ⎝ ⎠ ⎝
⎧⎨⎛ ⎩⎝
−a a 3a
=
⎞ ∀ ∈ ⎫⎬ entonces ⎭ ⎠
x 2 x + 3 z z
/ x, z
⎞⟹ ⎠
x 2 x + 3 z z
R
a = x = z = 0
⎞⎫⎬, neutro del espacio vectorial en R . ⎠⎭
0 0 0
3
3
W es subespacio de R , entonces debe cumplir con los dos axiomas de cerradura;
además, la unión de dos subespacios se denota también como la suma de estos, es decir
H
de donde
⎛ ⎞ ⎛ ∪ ⎝ ⎠ ⊕ ⎝ W =
⎧ ⎛ ∪ ⎨⎩⎝ ∀ ∈ ⊕ ∈ H
W =
−a a 3a
⎞ ⎠ ∪
x − a a + 2 x + 3 z 3a + z
/ x, z , a
h, w U : h w U . Si U es H pertenece a U debe pertenecer a H o W , de donde Entonces,
⎛ ⎝
x1 − a1 a 1 + 2 x 1 + 3 z 1 3a 1 + z 1
⎞⊕⎛ ⎠ ⎝
x2 − a2 a 2 + 2 x 2 + 3 z 2 3a 2 + z 2
⎞ ⎠
x 2 x + 3 z z
⎞ ⎛ ⎠ ⎝ =
⎫ ∈ ⎬⎭ R
W se tiene que el vector suma que
( x1 − a1 ) + ( x2 − a2 ) (a 1 + a2 ) + 2 ( x1 + x2 ) + 3 ( z 1 + z 2 ) 3(a 1 + a2 ) + ( z 1 + z 2 )
⎞ ⎠
Nótese que el vector suma no pertenece ni a H ni a W . Por consiguiente, es este caso, la unión de estos subespacios no constituye un subespacio vectorial 3
de R . Literal c. Si P =
3
3
R (lo que se debe demostrar), entonces cualquier vector de R pertenece P ; es 3 decir, que todo vector de R puede ser expresado en función de los vectores de P .
Si p
= h + w, h =
−a a 3a
⎝ ⎠
y w
h + w =
⎝
⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ −a a 3a
y, por lo tanto, cualquier vector de
x
=
x 2 x + 3 z z
entonces
⎞ ⎛ ⎠ ⎝
x 2 x + 3 z z
+
+ z
0 3 1
=
3
R puede ser expresado como una combinación lineal, tal que
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 0
⎞ ⎠
x − a 2 x + 3 z + a z + 3a
−1 1 3
+ a
A continuación, se toma un vector típico de
,
⎧⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫⎬ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ 1 2 0
0 3 1
,
,
3
R para verificar que puede (el vector típico) ser
expresado en función de éstos tres vectores, así se tiene que
α1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 0
0 3 1
+ α2
+ α3
−1 1 3
=
i j k
Al resolver el sistema de ecuaciones lineales asociado se obtiene que
α1 =
9i + k − j 9
, 3
−1 1 3
α2 =
j − 2k 3
Por consiguiente, cualquier vector de R pertenece a P y P =
,
α3 = 3
R .
k − j 9
