Tarea 3- Espacios vectoriales
No. DE GRUPO:
362
Tutor
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL 2018
Contenido INTRODUCCION .............................................................................................................................. 2 Objetivo general .............................................................................................................................. 3 Objetivos específicos ...................................................................................................................... 3 Tareas a desarrollar. ............................................................................................................................ 3
Ejercicio 1: Conceptualización de Espacios vectoriales ................................................................. 3 a)
Axiomas (suma y multiplicación) de los espacios vectoriales ............................................ 3
Ejercicio 2. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales. ............................................................................................ 4 Ejercicio 3. Demostraciones matemáticas a partir del uso de conjuntos generadores y combinación lineal. ......................................................................................................................... 6 Ejercicio 4 Demostraciones matemáticas a partir del uso de rango de una matriz, dependencia e independencia lineal. ....................................................................................................................... 8 Ejercicio 5 Demostraciones matemáticas a partir del uso de dependencia e independencia lineal 11 Ejercicio 6. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales ........................................................................................... 13 Conclusiones ................................................................................................................................. 14 Referencias .................................................................................................................................... 15
INTRODUCCION Este documento muestras los ejercicios que se aprendieron dentro de la actividad Tarea 3Espacios vectoriales. El comprender los conceptos matemáticos interpreta los diferentes axiomas, operaciones y propiedades relacionadas con espa cios vectoriales para la realización de demostraciones matemáticas.
Objetivo general Aplicar los conocimientos sobre axiomas resolver las operaciones y propiedades relacionada con espacios.
Objetivos específicos Reconocer los espacios vectoriales. Usar las combinaciones lineales. Aplicar en ejercicios independencia y dependencia lineal Que es el rango de una matriz y aplicarlo en los ejercicios La base de un espacio vectorial.
Tareas a desarrollar. Ejercicio 1: Conceptualización de Espacios vectoriales a) Axiomas (suma y multiplicación) de los espacios vectoriales
axiomas.cmap
Ejercicio 2. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales. a)X = < 1,3,5 > ; Y = < 2,4,5>; Z= <1,0,2> vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores. Datos
=<=< 2,1,43,,55 >> =< 1,0,2 > (1,3,5)+ (2,4,5) (1 + 2,(33,7+,14,0)5 + 5) (3,7,10) + (1,0,2) (3+ 1,(74,+7,10,2)10+ 2) (4,7,12)
Primero sumamos los valores de x y y
Realizamos la operación
Sumamos los valores de resultado de la suma de x+y por z
Realizamos la operación
Esta
es
la
respuesta
ya
que
demuestra
la
suma
de
los
vectores
b)Siendo α y β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para espacios vectoriales usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use valores de 3 y 4 para α y β respectivamente. α(X + Y + Z) = α X + α Y+ α Z (Primera ley distributiva) (α + β)X = α X + β X (Segunda ley distributiva Datos
== 34 ==2 ++34++55 = + 2
Séptimo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar con respecto a la suma de vectores: si α es cualquier número real y X y Y son vectores V, entonces: α(x+y) = αx + αy Sabemos que
( + + ) = + + 3( +3 + 5=+ 3(2 ++43++55)+ + 3(+ 22 )+ 4 + 5) + 3( + 2) 33(++93++155) ++33((22++44++55)) ++3(3(++2)2) 33++99++1515++66 ++1212++1515++3(3 ++ 2)6 (3 + 6 + 3) + (9 + 12) + (15 + 15 + 6) 12 +21 + 36 = 2 + 21 + 36
Remplazando valores
Realizamos las operaciones de
Agrupamos términos de mismo valor
Operamos
Octavo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si α y β son cualquiera par de escalares y X es cualquier vector V, entonces (α + β)*X = α*X + β*X.
Sabemos que
( + )∗ = ∗ + ∗ ( ) 3+ 4 ∗ ( + 3 + 5) = ∗ + ∗ (3 + 4) ∗ ( + 3 + 5) = 3∗ ( + 3 + 5) + 4∗ ( + 3 + 5) (77) ∗+(21+ 3+ +355)==3 3∗(∗(++33+5)+5)++4∗4∗((++33++5)5) 77++2121++3535==33++99++1515++44∗(+ +123++205) 7 + 21 + 35 = 7 + 21 + 35
Remplazando los valores
Realizando las operaciones
Respuesta es
Ejercicio 3. Demostraciones matemáticas a partir del uso de conjuntos generadores y combinación lineal.
= ( , ( , ( , ( , = + (,) = (5,1) + (3,2) ((,) =) =((55,,1))++((3 3,,2 )2) , ( ) = (5 ,3 , 2 ) a) Dado el conjunto
) donde
= (5,1) y
= (-3,-2). Demostrar que S genera a
R2
para saber que se genera en el conjunto con
de
) . ahora sabiendo que si
. Se puede expresar como una combinación ) van a generar a . Se crea un vector
arbitrario que es b, con coordenadas i y j se debe expresar como la combinación línea de )
usamos la formula
Remplazando los valores
Solucionado
,
Entonces b1 seria
= (5,3) = (,2) = 51 32
B2 seria
El problema ahora se reduce a determinar si el sistema es consistente para los valores de b1y b2. Para ello la matriz de coeficientes, del sistema de ecuaciones propuesto, debe ser invertible y por tanto su determinante diferente de cero. Sea la matriz de coeficientes A
Solucionando
Multiplicamos
solucionando
Ley de signos
= 51 32 = (5∗2) (1 ∗ 3) = (10) (3) = 10+ 3 = 7
Puesto que el determinante de A existe, existe un conjunto de valores b1y b2que satisfacen el sistema de ecuaciones, y por tanto existen valores de k1 y k2, que permiten expresar el conjunto S como una combinación lineal de u1,u2. Por tanto, los vectores u1,u2 generan al espacio vectorial R2 .
= 6 + 9 = + 9 = 11 9 = (6,9), = (1,9), = (11,9) (11,9) = λ(6,9)+ β(1,9)
b) Dados los vectores que el vector Justificar la respuesta.
y ¿es correcto afirmar es una combinación lineal de u y v ?
Se colocan los vectores de forma (a,b)
Hacemos una combinación lineal de u y v
Entonces
6λ9λ β9β==11(9(2)1) 9λ + 9β 54λ 9β = 9 99 45λ =9090 λ = 45 λ=2 6 =∗212+= 1111 = 1 (11,(911,) =9) 2∗= ((12+ 6,9) +1,1∗18(1,9) 9) (11,9) = (11,9) 2∗ (6,9) + 1(1,9)
Sumamos la ecuación número 2 con 9 veces la ecuación 1
Solucionamos
sustituimos el 1
Ahora se comprueba
Con esto se concluye que la combinación línea es
Ejercicio 4 Demostraciones matemáticas a partir del uso de rango d e una matriz, dependencia e independencia lineal. De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio vectorial, calcule:
7 ∗det134 101 (9)det34 101 11 ∗34 134
a) Determinante
413 101 det det(4det∗10(40)) + +(1∗(13)13) det(4013) = 53 34 101 det det(3det∗10(30)) + +((44∗1) ) det(30+ 4) = 26 34 134 detdet(3∗13) ( 4∗ 4) (det(39) ( 1 6) 39 16) = 55 7∗ (53) (9)(26) 11(55) 371 + 234 605 605 0 605
Hayamos los primeros determinantes
Entonces se sabe que
Con esto sabemos que es una matriz independiente lineal.
7|3 94 11 1 | 4 13 10 [(7 ∗ 4 ∗10) ++ ( (1∗3∗ 13∗13∗11)7) ++ ((4∗10∗9 9∗ 1)∗3])] [(11∗4 ∗4)
b) Rango
Sabemos que es de 3 orden Luego hayamos el primer determínate A
[(280) + (429) + [(13856)]] [[1(85]176) + (91) + (270)] 0 (7 ∗ 473) +94(3∗9) (28) + (27) 1
Sabemos que el rango no es 3, pasamos a coger una de menor valor 2
Con este dato sabemos que el rango es 2 c) Matriz escalonada usando Gauss Jordan Usamos la fila2=
−
Fila 3=
−
*f1+f2
*f1+f3
Fila 3=1*f1+f3
70 955 1140 4 137 107 70 955 1140 7 7 0 557 1147 70 955 1140 7 7 0 0 22
Es una matriz línea dependiente
d) Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia lineal. En el primer proceso hay independencia lineal entre los vectores pues el determinante es distinto de cero. En el segundo proceso como el rango es igual a 3 y la matriz es 3x3 entonces hay independencia lineal.
En el último proceso se observa que hay independencia lineal ya que de lo contrario tendríamos la última fila con valores nulos. Ejercicio 5 Demostraciones matemáticas a partir del uso de dependencia e independencia lineal Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. a. V1= (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4). Re escribimos la matriz de forma que se use el método de Gauss Jordan
0|2 33 00| 334 2|0 33 00| 334 1|0 1.35 00| 334 1|0 1.35 00| 004 1|0 1.15 00| 004 1|0 01 00| 004
Cambiamos de lugar el primero de fila y columna 1 con el segundo de la columna 1 fila 2
Dividimos la fila 1 en 2
La tercera fila por
Ahora dividimos la segunda fila por 3
De la primera fila restamos la segunda columna p or 1.5
Dividimos el último termino en 4
1|0 01 00| 001 El sistema de vectores es linealmente independiente
b.
V1= (6 ,-2, 8 ). V2= (1/2, 4, 0) . V3= (-10, 6, 2). V4=(2,1,4).
Re escribimos de la forma de Gauss Jordan
Dividimos la primera fila en 6
62 421 106 12 80 00 02 04 12 1241 653 131 80 00 02 04 1 12251 853 531 0 62 463 34 00 03 30 30
Dela las filas 2 y 3 sustraemos la fila 1 y la multiplicamos por -2 y 8
Ahora dividimos 2 fila por
1 121 1653 231 0 12 2546 54 00 03 30 30
De las filas 1 y 3 sustraemos la línea 2 y la multiplicamos por
,
Ahora dividimos el 3 fila por
1 0 164325 2103 0 1 39425 58 00 00 250 50 1 0 164325 2103 0 1 25 205 00 00 01 1970 1 0 0 39418766 0 1 0 19720 00 00 01 1970
Y por último de las filas 1 y 2 sustraigamos la línea 3 y la multiplicamos por
,
Siendo esta la respuesta el sistema de vectores es linealmente dependiente Ejercicio 6. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales Demostrar lo siguiente:
Si A y B son matrices, demuestre las siguientes propiedades y comprobar mediante ejemplo:
a. Rango (AB)= rango
( () = ()
) tenga presente el orden de las matrices.
La solución para este sería la raíz de AB es
Para resolver este ejercicio asumamos que la raíz AB es tal que:
==11
Con este resultado sabemos que el rango es igual a la columna. Así que el rango de la matriz es siempre igual al rango de la respuesta b. Si A no es una matriz cuadrada, los vectores fila o los vectores de columna de A serán linealmente dependientes. Si A, es una matriz cuadrada, puede llegar a establecerse un sistema de ecuaciones de una sola solución de tal modo que se valide la independencia lineal da misma, pues se tiene la misma cantidad de elementos que de relaciones filas y columnas, en cambio si la cantidad de soluciones es menor o mayor directamente serán d ependientes las filas entre sí.
Conclusiones 1. Al desarrollar los ejercicios se comprende la relación que tiene los vectores con las matrices 2. Debido a la realización de los diferentes ejercicios se pudo obtener un conocimiento teórico, que se adquieren con las variadas lecturas realizadas y la aplicación de los mismo con los ejercicios
3. el uso de los axiomas con el espacio de las operaciones y la resolución de problemas de la vida diaria 4. la aplicación de estos temas en la vida diaria mejora la forma de comprender nuestro entorno y mejorar nuestra carrera.
Referencias Título del artículo: Espacios icon Generales. Título del sitio web: Eenube.com URL: http://eenube.com/index.php/matematicas/algebra-lineal/86-espacios-vectoriales-generales
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 241-247-245-255. Disponible en el entorno de conocimiento.
Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual de la UNAD. Páginas 61 a la 30. Guzmán, A. F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Larousse - Grupo Editorial Patria.Páginas 72 a la 90- 113-123. Gutiérrez, G. I., & Robinson, E. B. J. (2012). Álgebra lineal. Colombia: Universidad del Norte.Páginas 20- 27. Disponible en Entorno de conocimiento.
