2.5 Derivación implícita ■ Distinguir entre funciones explícitas e implícitas. ■ Hallar la derivada de una función por derivación implícita.
Funciones explícitas e implícitas Hast Hasta a este este punto punto,, la mayorí mayoría a de las funcion funciones es estu estudia diada das s en el texto texto se enunc enunciar iaron on de forma explícita. Por ejemplo, en la ecuación y =3 x
2
−5 Forma explícita .
la variable y
está escrita explícitamente explícitamente como función de x . in embargo, algunas algunas funciones sólo y =1 / x
se enun enunci cian an de mane manera ra impl implíc ícit ita a en una una ecua ecuaci ción ón.. !sí, sí, la func funció ión n
está está definida definida
ecuación xy =1 . upong upongamos amos "ue se pide pide calcula calcularr la derivad derivada a implícita implícitamente mente por la ecuación para esta ecuación. Podemos escribir y como función explícita de
x
Forma implícita
Derivada
xy =1 y =
1
x
= x −1
Forma explícita
dy / dx
, y luego derivar.
dy −1 =− x−2= 2 dx x
#sta estrategia funciona siempre "ue se pueda despejar y como función de x en la ecuación, de lo contrario, este m$todo no es viable. Por ejemplo, %cómo encontrar dy / dx para la ecuación 2
3
x −2 y + 4 y =2
donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x & #n tales situaciones se debe usar la llamada derivación implícita. Para comprender esta t$cnica, es preciso tener en cuenta "ue la derivación se efect'a con respecto a x . #sto "uiere decir "ue cuando se tenga "ue derivar t$rminos "ue sólo contienen a x , la derivación será la (abitual. in embargo, cuando (aya "ue derivar un t$rmino donde apare)ca y , será necesario aplicar la regla de la cadena, ya "ue se está suponiendo "ue y está definida implícitamente como función derivable de x .
EXPLOR!"#$ Representación gráfica de una ecuación ec uación implícita 2
%*ómo se podría utili)ar una (erramienta de graficación para representar
3
x −2 y + 4 y =2 &
He a"uí dos procedimientos posibles+ Despeja pejarr x en la ecua ecuación ción.. nte ntercam rcambiar biar los papeles papeles de x y y , y dibujar la gráfica de las dos a% Des ecuaciones ecuacio nes resultantes. -as gráficas combinadas presentarán presentarán una rotación de /0 con respecto a la gráfica de la ecuación original. b% *onfigurar la (erramienta de graficación en modo paramétrico y representar las ecuaciones 3 x =−√ 2 t −4 t + 2
y =t
1 3 x =√ 2 t − 4 t + 2 y =t
! partir de cual"uie cual"uiera ra de estos estos m$todos, m$todos, %se puede decidir decidir si la gráfica gráfica tiene una recta tangente en el punto 2/, 34& #xplicar el ra)onamiento.
EJEMPLO 1 Derivación respecto de x de x d 3 2 a ¿ [ x x ] =3 x Las variables variables coinciden coinciden : usar usar laregla laregla simpl simplee de las las pote potenci ncias. as. dx
b¿
d 3 2 dy [ y y ] =3 y Las variabl variables es no coincide coinciden n : usarla usarla regla egla de la caden cadena a. dx dx
c¿
d dy d ' [ x x + 3 y ] =1+ 3 Regla Regla dela caden cadena a : [ 3 y ] =3 y . dx dx dx
d¿
d d 2 2 2 d [ [ x x x y ] = x [ y y ] + y x ] Regladel Regla del producto producto . dx dx dx
(
¿ x 2 y
¿ 2 xy
)
dy + y 2 (1 ) Reglade Regla de la cadena. dx
dy + y 2 Simplifi Simplificar car . dx
Derivación implícita Estrate&ias para la derivación implícita '. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x . t$rminos en "ue apare)ca dy / dx en el lado i)"uierdo de la ecuación y pasar 2. !grupar todos los t$rminos todos los demás a la derec(a. (. 5actori)ar dy / dx del lado i)"uierdo de la ecuación.
). Despejar dy / dx .
Observar que en el ejemplo 2 la derivación implícita puede producir una expresión para dy / dx
en la que aparezcan a la vez
x
y y .
EJEMPLO 2 Derivación implícita #ncontrar
dy / dx
3
2
2
dado "ue y + y −5 y − x =−4
*olución '. Derivar los dos miembros de la ecuación respecto de x . d 3 2 d 2 [ y + y −5 y − x ] = [ −4 ] dx dx d d 2 d d 2 d 3 y ]+ [ y ] − [ 5 y ] − [ x ]= [ −4 ] [ dx dx dx dx dx
3 y
2
dy dy dy + 2 y −5 −2 x =0 dx dx dx
2. !grupar los t$rminos con dy / dx en la parte i)"uierda y pasar todos los demás al lado derec(o. 3 y
2
dy dy dy + 2 y −5 =2 x dx dx dx
(. 5actori)ar dy / dx en la parte i)"uierda dy ( 3 y 2+ 2 y −5 )= 2 x dx 2 ). Despejar dy / dx dividiendo entre ( 3 y + 2 y −5 ) .
dy 2 x = 2 dx 3 y + 2 y −5
Para ver cómo usar la derivación implícita , considerar la gráfica de la figura 6.67. #n ella se puede observar "ue y no es una función de x . ! pesar de ello, la derivada determinada en el ejemplo 6 proporciona una fórmula para la pendiente de la recta tangente en un punto de esta gráfica. Debajo de la gráfica se muestran las pendientes en varios puntos de la gráfica.
+E!$OLO,- *on la mayoría de las (erramientas de graficación es fácil representar una ecuación "ue expresa de manera explícita a y en función de x . Por el contrario, representar las gráficas asociadas a otras ecuaciones re"uiere cierto ingenio. Por ejemplo, tratar de representar la gráfica de la ecuación empleada en el ejemplo 6 configurando la (erramienta de graficación en modo 3 2 paramétrico, a fin de elaborar la gráfica de las representaciones param$tricas x =√ t + t −5 t + 4 , y =t
y
x =√ t +t −5 t + 4 , 3
y =t , para
2
−5 ≤ t ≤ 5 . %*ómo se compara el resultado con la
gráfica "ue se muestra en la figura 6.67&
#n una ecuación "ue no tiene puntos solución, por ejemplo,
2
2
x + y =−4, no tiene sentido despejar
dy / dx . in embargo, si una porción de una gráfica puede representarse mediante una función
derivable,
dy / dx
tendrá sentido como pendiente en cada punto de esa porción. 8ecordar "ue una
función no es derivable en a4 los puntos con tangente vertical y b4 los puntos en los "ue la función no es continua.
EJEMPLO 3 Representación de una &rfica mediante funciones deriva/les i es posible, representar y como función derivable de x . 2
2
2
2
2
a ¿ x + y =0 b ¿ x + y =1 c ¿ x + y =1
*olución a% -a gráfica de esta ecuación se compone de un solo punto. Por tanto, no define y como función derivable de x . 9er la figura 6.6: a. b% -a gráfica de esta ecuación es la circunferencia unidad, centrada en 2/, /4. -a semicircunferencia superior está dada por la función derivable 2 y =√ 1− x ,−1 < x < 1
y la inferior por la función derivable 2 y =−√ 1− x , −1 < x < 1 #n los puntos
(−1,0 ) y ( 1, 0) , la pendiente no está definida. 9er la figura 6.6: b.
c % -a mitad superior de esta parábola está dada por la función derivable y =√ 1− x , x < 1
y la inferior por la función derivable y =−√ 1− x , x < 1 #n el punto 23, /4 la pendiente no está definida. 9er la figura 6.6: c .
EJEMPLO !lculo de la pendiente de una &rfica implícita
*alcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 2 2 x + 4 y = 4 en el punto
( √ 2 ,−1 / √ 2 )
. 9er la figura 6.6.
*olución 2
2
x + 4 y = 4 Ecuaciónoriginal .
2 x + 8 y
dy = 0 erivar respectode x . dx
dy −2 x − x dy = = espe!art"rminos con . 4 y dx 8 y dx
Por los tanto, en
( √ 2 ,−1 / √ 2 ) ,
la pendiente es
dy − dy − = √ 2 = 1 Evaluar cuando x = √ 2 , y y = 1 dx −4 / √ 2 2 dx √ 2
$O+ Para observar las ventajas de la derivación implícita, intentar re(acer el ejemplo ; manejando −1 y = √ 4 − x 2 . la función explícita 2
E0emplo 5 !lculo de la pendiente de una &rfica implícita 2
*alcular la pendiente de la gráfica de
*olución
2
2
x + y ¿ =100 xy 3¿
en el punto 2<, 34.
2
2
2
x + y ¿ d 3 ¿= [ 100 xy ] dx d ¿ dx
3 ( 2 ) ( x
2
12 y ( x
(
+ y 2 ) 2 x + 2 y
2
+ y 2 )
) [
dy dy =100 x + y (1 ) dx dx
]
dy dy −100 x =100 y −12 x ( x 2 + y 2 ) dx dx
=100 y −12 x ( x + y ) [ 12 y ( x + y )−100 x ] dy dx 2
2
2
2
dy 100 y −12 x ( x + y ) = dx −100 x + 12 y ( x2 + y 2 ) 2
25 y −3 x ( x
2
+ y 2 ) ¿ −25 x + 3 y ( x 2 + y 2 ) 2
En el punto (3, !, la pendiente de la "r#$ca es 25− 90 dy 25 ( 1 )−3 ( 3 ) ( 3 + 1 ) −65 13 = = = = dx −25 ( 3 )+ 3 ( 1 ) ( 32+ 12) −75 + 30 −45 9 2
2
como muestra la $"ura 2.3%. Esta "r#$ca se denomina lemniscata.
EJEMPLO 6 Determinación de una función derivable
Encontrar
dy / dx
implícitamente para
la ecuación
determinar el mayor intervalo de la 'orma
−a < y < a
sen y = x .
&
continuación,
en el que y es una 'unción
derivable de x (ver la $"ura 2.3!.
*olución d [ sen y ] = d [ x ] dx dx
cos y
dy =1 dx
dy 1 = dx cos y
#l intervalo más grande cercano al origen en el "ue y es derivable respecto de x es Para verlo, observar "ue
cos y
ese intervalo, es posible escribir cos y = √ 1 −sen y 2
−# / 2 < y < # / 2.
es positivo en ese intervalo y / en sus extremos. i se restringe a dy / dx
explícitamente como función de x . Para ello, usar
#
¿ √ 1 − x 2 , −# / 2< y<
2
y concluir que dy 1 . = dx √ 1− x 2
#ste ejemplo se estudia más adelante cuando se definen las funciones trigonom$tricas inversas en la sección =.>.
-a gráfica de la figura 6.<6 se conoce como la curva 1appa debido a su semejan)a con la letra griega ?appa, $ . -a solución general para la recta tangente a esta curva fue descubierta por el matemático ingl$s saac @arroA. BeAton fue su alumno y con frecuencia intercambiaron correspondencia relacionada con su trabajo en el entonces incipiente desarrollo del cálculo. !l usar la derivación implícita, con frecuencia es posible simplificar la forma de la derivada 2como en el ejemplo >4 utili)ando de manera apropiada la ecuación original . e puede emplear una t$cnica semejante para encontrar y simplificar las derivadas de orden superior obtenidas de forma implícita .
EJEMPLO ! !lculo implícito de la se&unda derivada 2
2
2
ada x + y =25, encontrar
d y 2 d x . Evaluar la primera y se"unda derivadas en el punto
(−3, 4 ). Solución erivando ambos t)rminos respecto de x se obtiene
2 x + 2 y
dy =0 dx
dy −2 x − x = = dx 2 y y
dy −(−3 ) 3 En (−3, 4 ) : = = dx 4 4
Derivando otra ve) respecto de x vemos "ue
2
d y dx
−( y ) ( 1 )−( x )
= 2
y
( ) dy dx
2
( ) = −
( y ) ( 1 )−( x ) − x ¿−
y
y
2
Regla del cociente .
2
y + x y
3
2
=
−25 y
3
.
2
d y −25 −25 En (−3, 4 ) : = 3 = 2 64 dx 4
EJEMPLO " Recta tan&ente a una &rfica x ( x 2
#ncontrar la recta tangente a la gráfica dada por
2
+ y 2 )= y 2 en el punto ( √ 2 / 2, √ 2 / 2 ) , como
muestra la figura 6.<6.
*olución 8eescribiendo y derivando implícitamente, resulta
4
2
2
2
x + x y − y =0
4 x
3
(
)
dy dy + 2 x y 2−2 y = 0 dx dx
+ x 2 2 y
2 y ( x
2
−1 )
dy =−2 x ( 2 x 2 + y 2 ) dx
dy x ( 2 x + y ) = dx y ( 1 − x 2) 2
2
(√ 2 / 2, √ 2 / 2 ) , la pendiente es
#n el punto
dy = dx
( √ 2 / 2 )
[ ( )+( )] = / = 2
1
1
2
2
3 2
]
1/ 2
[
1
( √ 2 / 2 ) 1−( ) 2
3
y la ecuación de la recta tangente en ese punto es y −
(
√ 2 =3 x − √ 2 2
2
)
y =3 x −√ 2
2.5 Ejercicios En los e0ercicios ' a '3 encontrar dy / dx por medio de la derivación implícita. 1. x
2
+ y 2=9
2. x
2
− y 2=25
3. x
1 /2
4. x
3
+ y 1/ 2=16
+ y3=64
5. x
3
− xy + y 2 =7
2
2
6. x y + y x =−2 3
7. x y
3
− y = x
8. √ xy = x y + 1 2
3
9. x
−3 x 2 y + 2 x y 2=12
10.4cos x sen y =1 11. sen x + 2cos2 y =1
12. ( sen #x −cos #y )
2
=2
13. sen x = x (1 + tan y ) 14. cot y = x − y 15. y =sen xy
16. x = sec
1
y
En los e0ercicios '4 a 23 a% encontrar dos funciones explícitas despe0ando # en t6rminos de x 3 b% construir la &rfica de la ecuación 7 clasificar las partes dadas por las respectivas funciones explícitas3 c % derivar las funciones explícitas 7 d % encontrar dy / dx 7 demostrar 8ue el resultado es e8uivalente al del apartado c %. 17. x
2
+ y 2=64
18. x
2
+ y 2− 4 x + 6 y + 9= 0
19.16 x
2
+ 25 y 2=400
2
− x2 =16
20.16 y
En los e0ercicios 2' a 293 encontrar dy / dx por medio de la derivación implícita 7 calcular la derivada en el punto indicado. 21. xy =6, (−6,− 1 )
22. x
2
− y3 =0, ( 1, 1) 2
x − 49 23. y = 2 , ( 7, 0 ) x + 49 2
24. ( x + y )
25. x
26. x
2 /3
3
3
= x 3 + y 3 , (−1,1 )
+ y 2 /3=5, ( 8,1 )
+ y 3= 6 xy + 1, ( 2,3 )
27. tan ( x + y )= x , ( 0, 0 )
28. xcosy =1, ( 2,
# 3
)
$ur%as fam&sas En los e0ercicios 2: a (23 calcular la pendiente de la recta tan&ente a la &rfica en el punto propuesto. 2:. @ruja de !gnesi+
(. *isoide+
( x + 4 ) y =8 2
Punto+
( 4 − x ) y 2= x 3 Punto+
( 2,2 )
( 2,1 )
('. @ifolio+
2 2
( x + y ) =4 x 2
(2. 5olio de Descartes+
2
y Punto+
3
3
( 1,1 )
x + y −6 xy =0 Punto+
( ) 4 8
,
3 3
$ur%as fam&sas En los e0ercicios (( a )3 encontrar la ecuación de la recta tan&ente a la &rfica en el punto dado. ((. Parábola
(). *ircunferencia
(5. Hip$rbola rotada
(. #lipse rotada
(4. *ruciforme
(9. !stroide
(:. -emniscata
). *urva ?appa
)'. a4 Ctili)ar la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la elipse x
2
2
+
y
2
=1
8
en 23, 64. b4 Demostrar la ecuación de la recta tangente a la elipse 2 2 x y + 2 =1 2 a b en 2 x /, y /4 es x 0 x y 0 y a
2
+
b
2
=1
)2. a4 Ctili)ar la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la (ip$rbola x
2
6
−
y
2
8
=1
en 2<, 64. b4 Demostrar "ue la ecuación de la recta tangente a la (ip$rbola
2
2
x y − 2 =1 2 a b
en 2 x /, y /4 es x 0 x y 0 y a
2
−
b
2
=1
En los e0ercicios )( 7 ))3 calcular dy / dx de manera implícita 7 encontrar el ma7or intervalo con la forma −a < y
2 2 En los e0ercicios )5 a 53 encontrar d y / d x en t6rminos de x 7 # .
2
45. x
+ y 2 =4
2
46. x y
47. x
2
2
−2 x =3
− y 2=36
48.1− xy = x − y
49. y
2
= x 3
50. y
2
=10 x
En los e0ercicios 5' 7 52 usar una ;erramienta de &raficación para representar la ecuación. Encontrar la ecuación de la recta tan&ente en la &rfica o/tenida en el punto 7 la &rfica en la recta tan&ente. 51. √ x + √ y =5, ( 9, 4 )
52. y
2
( )
x − 1 √ 5 , 2, 2 5 x + 1
=
En los e0ercicios 5( 7 5)3 encontrar las ecuaciones de las rectas tan&ente 7 normal a la circunferencia en el punto indicado
tan&ente en ese punto%. =tili>ar una ;erramienta de &raficación para representar la ecuación3 la recta tan&ente 7 la normal. 53. x
2
+ y 2=25, ( 4, 3 ) , (−3, 4 )
54. x
2
+ y 2=36, ( 6, 0 ) , ( 5, √ 11)
55. Demostrar "ue la recta normal a cual"uier punto de la circunferencia
x
2
+ y 2 =r 2 pasa por el
origen.
5. Dos circunferencias de radio ; son tangentes a la gráfica de
2
y = 4 x en el punto 23, 64.
#ncontrar las ecuaciones de esas dos circunferencias.
En los e0ercicios 54 7 593 locali>ar los puntos en los 8ue la &rfica de la ecuación tiene recta tan&ente ;ori>ontal o vertical. 57.25 x 58.4 x
2
2
+ 16 y 2+ 200 x −160 y + 400=0
+ y 2−8 x + 4 y + 4 =0
'ra#ect&rias &rt&g&nales En los e0ercicios 5: a 23 utili>ar ;erramienta de &raficación para representar las ecuaciones 7 pro/ar 8ue en sus intersecciones son orto&onales.
2
+ y 2=6
2
y = 4 x 60 . y
2
= x3
2 x
2
+ 3 y 2=5
61 . x + y =0
x = sen y
62 . x
3
=3 ( y −1 )
x ( 3 y −29 )=3
'ra#ect&rias &rt&g&nales En los e0ercicios ( 7 )3 verificar 8ue las dos familias de curvas son orto&onales3 siendo $ 7 ( n?meros reales. =tili>ar una ;erramienta de &raficación para representar am/as familias con dos valores de $ 7 dos valores de ( .
63. xy =& , x
64 . x
2
2
− y 2= '
+ y 2 =& 2 , y = x
En los e0ercicios 5 a 93 derivar@ a% respecto a x <# es una función de x % 7 b% respecto a t < x 7 y son funciones de t %. 65.2 x
66 . x
2
2
−3 x 4= 0
− 3 x y 2+ y 3=1 0
67 . cos #y −3 sen #y=1 68 . 4 senx cos y =1
Desarrollo de conceptos :. Describir la diferencia "ue existe entre la forma explícita de una ecuación y una ecuación implícita. #laborar un ejemplo de cada una.
4. *on sus propias palabras, estable)ca las estrategias a seguir en la derivación implícita. 4'. 'ra#ect&rias &rt&g&nales #n la siguiente figura se muestra un mapa topográfico reali)ado por un grupo de excursionistas. #llos se encuentran en el área boscosa "ue está en la parte superior de la colina "ue se muestra en el mapa y deciden seguir la ruta de descenso menos empinada 2trayectorias ortogonales a los contornos del mapa4. Dibujar la ruta "ue deben seguir si parten desde el punto A y si lo (acen desde el punto B. i su objetivo es llegar a la carretera "ue pasa por la parte superior del mapa, %cuál de esos puntos de partida deben utili)ar&
42. Mapa climátic& #l siguiente mapa climático muestra varias curvas isobáricas 2curvas "ue representan áreas con presión constante de aire4E tres de alta presión H y una de baja presión L.
Puesto "ue la velocidad del viento es mayor a lo largo de las trayectorias ortogonales de las curvas isobáricas, utili)ar el mapa para determinar las áreas con mayor velocidad del viento.
4 2 2 4(. *onsiderando la ecuación x = 4 ( 4 x − y ) :
a4 Ctili)ar una (erramienta de graficación para representarla. b4 #ncontrar y representar gráficamente las cuatro rectas tangentes a la curva en y F <. c 4 *alcular las coordenadas exactas del punto de intersección de las dos rectas tangentes en el primer cuadrante.
Para discusión 74. eterminar si el enunciado es verdadero. *i es 'also, explicar por qu) y corre"ir. +ara cada caso, suponer que y es una 'unción de x . a¿
d 2 2 cos ( x )=−2 xsen ( x ) dx
b¿
d 2 2 cos ( y )= 2 y sen ( y ) dx
c¿
d 2 2 cos ( y )=−2 y sen ( y ) dx
45. ea L una recta tangente a la curva de L en los ejes x
y y
√ x + √ y = √ c . Demostrar "ue la suma de las intersecciones
es c .
4. Demostrar 2teorema 6.<4 "ue+ d n [ x ]=n x n−1 dx
p /(
para el caso donde n es un n'mero racional. 2 Sugerencia+ #scribir y = x derivar de forma implícita. uponer "ue p y q son enteros, con q G /.4
(
p
en la forma y = x
y
2 2 44. Pendiente #ncontrar todos los puntos de la circunferencia x + y =100 donde la pendiente es igual a 3 / 4 .
4 2 2 49. 'angente )&ri*&ntal Determinar el 2los4 punto2s4 en el 2los4 "ue la gráfica de y = y − x tiene
una tangente (ori)ontal. x
4:. Rectas tangentes #ncontrar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse
2
4
+
y
2
9
=1
"ue pasa por el punto 2;, /4.
9. +&rmales a una paráb&la #n la gráfica se mostraron las rectas normales desde el punto 26, /4 a 2 x = y la gráfica de la parábola . #ncontrar cuántas rectas normales existen desde el punto 2 x /, /4 a la gráfica de la parábola si a4
x 0=1 / 4
, b4
x 0=1 / 2
y c 4
x 0=1
. %Para "u$ valor de x / existen
dos rectas normales perpendiculares entre sí&
2
9'. Rectas n&rmales a4 #ncontrar la ecuación de la recta normal a la elipse
x
32
+
y
2
8
=1 en el
punto 2;, 64. b4 Ctili)ar una (erramienta de graficación para representar la elipse y la recta normal. c 4 %#n "u$ otros puntos interseca esta recta normal a la elipse&
"lusiones ópticas En cada una de las si&uientes &rficas se &enera una ilusión óptica por intersecciones de rectas con una familia de curvas. En todos los casos3 las rectas parecen ser curvas. Encontrar el valor de dy / dx para los valores de x 7 y . 2
2
2
a ¿ &ircunferencia : x + y =& x =3, y =4, & =5
b ¿ )ip*rbolas : xy =& x =1 , y =4, & =4
c ¿ Rectas : ax =by
x =√ 3 , y =3 a =√ 3 ,b =1
d ¿ &urvas coseno : y=& cos x
x =
# 3
1
2
3
3
, y = , & =
P,R, M,-OR .+/ORM,$.0+ Para obtener más información sobre las matemáticas de las ilusiones ópticas, leer el artículo Descriptive Iodels for Perception of Jptical llusionsK, de David !. mit(, en Te !"A# $ournal .
