UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR Reglas de derivación Derivación por tablas NOMBRE: Jessica Toaza CURSO: Paralelo 1
F ormu or mull as general general es
1)
CONSTANTE
√ √ √ √
2)
3)
/./ . . /
/././ .
=
. / / . /
. / / . / ./ . / . / Ahora cuando
=
y
m=0
4)
=
5)
+
=
yh+
=
*0+
. / / . / ./ . / . / Ahora cuando
=
y
m=0
4)
=
5)
+
=
yh+
=
*0+
SUMA
, - ,
Demostración:
Ejemplos: 1)
2)
3)
4)
5)
DIFERENCIA
Formula:
Demostración:
Si
A continuación escribiremos a la diferencia de las funciones como la función diferenci
Por tanto la diferencia es:
la fórmula de definición de derivada :
Si sustituimos (3) en (4), nos queda:
Ahora volveremos a convertir la función suma en la suma de las funciones por separado:
Operando:
Reagrupando:
Reescribiendo:
el límite de una diferencia es iguala ala resta de los límites de cada termino es decir:
Ejemplos: La derivada de la diferencia de dos funciones es iguala ala resta de las derivadas de dichas funciones. 1.Solución:
2.-
Solución:
3.-
solucion:
4.-
Solucion:
5.-
solucion
MULTIPLO CONSTANSTE
()
, √
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
√ ./ √
Ejemplo5:
PRODUCTO
√ √ ) (
Entonces suponemos que: U = f(x) y que V = g(x)
Por lo tanto tenemos:
Si sustituímos nuestra función (2) en la definición de derivada, nos queda esto:
Ahora vamos a volver a convertir la operación producto en el producto de las funciones por separado, es decir:
Por tanto:
Ahora vamos a hacer una cosa curiosa. Vamos a sumar en el numerador:
Pero para no alterar la expresión, vamos a sumarla a cada uno de los miembros:
Ahora fíjense bien. Si en este trozo: ( que:
Esto: (
por
, nos queda
) es la definición de derivada, es decir:
Esto: (
) se queda igual, ya que no hay ningún
Y esto: ( con , siendo:
Es decir:
Queda demostrado que:
) sustituyo el
COCIENTE
que sustituir.
) es la definición de derivada salvo que con una
en lugar de
Demostracion
./
, -
,- , -
//
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
√ √ √ √ √ √ √√ √ √
5.
POTENCIA
Demostrar:
Aplicando la definición anterior, tenemos que:
Por la fórmula:
Entonces tenemos:
Entonces se demostró que:
REGLA DE LA CADENA
Demostración
() () ()
Sea Si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces y es derivable en x y además u’(x) = f’ (g(x))*g’(x)
() () ( ) Es decir que:
Ejercicios de Aplicación
() () () () ()
F unciones trigonomé tr icas
DEMOSTRACION:
EJEMPLOS: 1.-
2.-
3.-
,- 4.-
5.-
√ . / / . Demostración:
; Definición Trigonométrica ; Teorema:
; LCI (
)
; Por Identidades Trigonométricas // Notación
Ejemplos:
1)
Donde u=
2)
; Por regla: y’=(1+ y u’=
; Por regla: y’=
Donde u=
y u’=
)*u’
*u’
3)
. / . / Donde u=
4)
Donde u=
5)
; Por regla: y’=( y u’=
; Por regla: y’=(
Donde u=
; Por regla: y’=( y u’=
y u’=
Por lo tanto
Ejemplos 1.
)*u’
)*u’
)*u’
, 2.
3.
4.
, . / . /
. /
5.
DEMOSTRACION:
EJEMPLOS:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Por lo tanto:
Ejemplos de aplicación
√ √ √ √ Dado que:
- , - , - , - , - , - , , -, Demostración:
=
Ejemplos: 1.
2.
3.
4.
5.
-,- , , - , -
F unciones exponenciales y logar ítmicas
Por ley de Logaritmos nos sale 1.
Por la ley de derivada de la función sobre la función da lo
mismo 1.
Por ende al dividirse por la función, se debe multiplicarse por la misma función.
La derivada de una función exponencial de base “e”, es la misma función exponencial.
Los 5 ejercicios de aplicación: 1.
2.
3.
4.
5.
Demostración de la Derivada de la Función exponencial y logarítmica
Partimos de la función exponencial f(x)=a
O lo que es lo mismo:
x
En caso concreto a=e tenemos que
Ya que In e= 1
Ejemplos: 1.
Por lo tanto
2.
3.
4.
5.
, -
+ Ejemplos
, - 1.-
, √√ √ √ . / √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2.-
3.
4.
√
, 5.
. /
Que podemos transformar en:
Como si h tiende a cero tiene a infinito, podemos hacer el siguiente cambio de variable:
Y por definición del número e tenemos que:
Ejemplos
F unciones tr igonomé tr icas in versas
√
obtenemos sen a ambos lados
=> *seny+’=cos y
√ √ √ =>
=>
1.- f´(x)= Cos (sen (cos (x)))
f´(x)= sen (sen (cos (x)) cos (cos (x))sen(x)
2
3
2.- f´(x)= cos (sen x)
f´(x)= 2cos(sen3 x) cos (sen 3x) f´(x)= 2cos(sen3 x)-sen(sen 3x) (sen 3(x)) f´(x)= - 2cos(sen3(x)) sen(sen3(x))3sen2(sen(x)) f´(x)= -6 c os(sen3(x)) sen(sen3(x)) sen2(x) (cos(x))
() ./ ./
3-
4.-
5.-
√ √ √ √ √ √
. /
Demostración del Arco Coseno
Ejercicios de aplicación
√ √ √ √ √ √ √ 1)
2)
3)
4)
5)
arc cos x
√
Demostración:
√ ;
ó
Ejemplos: 1)
2)
3)
4)
5)
√ √ √ √ √ √
(arccscx)´= (arcsen )´=
Ejemplos:
(
)=
1. F(x)=arcscc
F(x)=
√ *
,
= , x>1
F(x)=
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √
2. G(x)=arccsc
G(x)=
2x
G(x)=
3. H(x)=arccsc(ln2
)
H(x)= H(x)=
4. I(x)=
I(x)= I(x)= I(x)=
* 10x-4
5. B(x)=arccsc
B(x)= B(x)=
|| Para la deducción de la fórmula correspondiente usaremos la propiedad arcsec x= arccos Válida para -1 ≤
≤ 1 o lo que es lo mismo, válida para
Tenemos:
. / . /
(arcsecx)’=
’=
||√ || ||
=
=
=
| |
≥1
Luego
||√ ||
(arcsecx)’=
,
≥1
F unciones hi perbólicas
Dados
Se tiene
Por lo tanto se ha demostrado que:
Ejercicios
*, , -+ , ,-0 1 , ,-,- , ,-,- ,,- ,,- ,- ,-
Demostrar que la derivada del coseno hiperbólico es igual al seno hiperbólico.
( ) () 1. Ejercicios 2.1.Derivar las siguientes funciones. a)
b)
( ) ( )( ) ) ( )(
) (
( ) ( ) () c)
d)
e)
Ejemplos
1)
2)
3)
4)
5)
() () senh(x) = (e^x - e^(-x))/2 cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2 Se cumple la igualdad pitagórica hiperbólica cosh^2(x) - senh^2(x) = ((e^x + e^(-x))/2)^2 - ((e^x - e^(-x))/2)^2 cosh^2(x) - senh^2(x) = ((e^2x + 2 + e^(-2x))/4) - ((e^2x - 2 + e^(-2x))/4) cosh^2(x) - senh^2(x) = (2/4) + (2/4) cosh^2(x) - senh^2(x) = 1
En cuanto a derivadas y' = (cosh(x))' = (e^x - e^(-x))/2 = senh(x) = raiz( cosh^2(x) - 1) Como inversa (arccosh(x))' = 1/√(x^2 - 1)
También y' = (senh(x))' = (e^x + e^(-x))/2 = cosh(x) = raiz(senh^2(x) + 1) Como inversa (arcsenh(x))' = 1/√(x^2 1)
Por otro lado y = sech(x) = 1/cosh(x) y' = (sech(x))' = (1/cosh(x))' = - senh(x) / cosh^2(x) Para hallar la inversa, debemos expresar la derivada en función de sech(x) y luego invertirla como fracción y como variable y' = (sech(x))' = - senh(x) / cosh^2(x) = - √(cosh^2(x) - 1) / cosh^2(x) y' = (sech(x))' = - √(cosh^2(x) - 1) / cosh^2(x) = - √(1/sech^2(x)) - 1) / (1/sech^2(x)) y' = (sech(x))' = - √(1/sech^2(x)) - 1) / (1/sech^2(x)) = - sech(x) √(1 - sech^2(x)) Entonces (arcsech(x))' = - 1/ ( x √(1 - x^2) ) (arcsech(u))' = - u' / ( u √(1 - u^2) )
Demostraciones y = arg sech (sen x)
y = arg ch (e2x)
2
y = arg sh x
2
y = Ln ( th x )
Demostración de la Derivada de la Función Hiperbólica (csch x)
Dado que:
Demostración:
= =
=-csch x coth x
Ejemplos: 1.
y= csch² (x²+1) y´ = 2 csch (x²+1) (-csch (x²+1) coth(x²+1)).2x y´=-4xcsh²(x²+1) coth(x²+1)
2.
y= coth(3x²)+csch(1-x) y´= (-csch²3x²)6x+ (-csch (1-x) coth (1-x)) (-1) y´=-6xcsh² (3x²)+csch (1-x) coth (1-x)
3.
y= coth3x+sechx²+csch
y´=
4.
y= csch x + cosh x y´= -csch x coth +senh x y´=-csch x (-csch² x)+ cosh x y´=csch³ x + cosh x
5.
y= csch x sechx y´= (-csch x coth x) (-sechx tanhx)
F unciones hi perbólicas inversas
Seno hiperbólico
Seno hiperbólico inverso
() ( ) √ √ √ √ √
() 5 ejemplos Primer ejemplo Encontrar
para
Segundo ejemplo
√ √ || || ||
Tercer ejemplo
Cuarto ejemplo
Quinto ejemplo
√ √ √ √ √ (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) √ √
Derivación de la tangente hiperbólica inversa
./ , términos de y
ln ambos lados
=
Sea
. / . / || En conclusión:
se sigue que:
; Por
./
; RTS ; Por:
||
,
Ejercicios: 1.
2.
3.
4.
( ) . /
5.
/ . ./
Derivación de la cotangente hiperbólica inversa
./ . / . / Realizar 5 ejercicios incluyendo la cotangente hiperbólica
d cosh x senh 2 x cosh2 x 1 csc h 2 x coth x 2 2 dx dx senhx senh x senh x d
1)
d dx
coth u
du dx
u
csc h
2)
3) obtener coth 2x, siendo
√
5).-
2
2
2
2
y' = (- cosech 3x ) 6x + ( - cosech(1-x) coth(1-x) ) (-1) = - 6x cosech (3x ) + cosech cosech (1-x) coth (1-x)
Derivada del coseno hiperbólico inverso
. /
√ √ √ √ . / . / (
Demostración Sea
Conclusión.-
Ejemplos 1.
2.
, entonces:
3.
4.
5.
√ √ √ √ √√ √ √ √
DEMOSTRACIÓN
y= y’=
, - . /
Para hallar la inversa, debemos expresar la derivada en función de sech(x) y luego invertirla como fracción y como variable
y’=
y’=
y’ =
Entonces [arcsech(x)] ’ =
√
Ejercicio uno encontrar la derivada de :
() √ d/dx
() √
√
√
d/dx
d/dx
d/dx
√
d/dx
√ √ | |
√ || √ √ √ || (√ )√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
√ (√ ) √ ) .(√ (√ )/(√ ) ||
EJERCICIOS Ejemplo 1.
2 2 Demostrar que cosh x senh x 1 2
cosh
x senh2 x 1 2
x
e2
2
e x e x e x e x 1 2 2 2 x x x x x x 2 x 2e e e e 2e e e 2 1 4
4
x
2e
e
x
4
2 4
2e x e x
4 4
4 2 4
1
1
1
11
Ejemplo 2.
Derivar la función f x tanh4 x 2 3 . La función más externa es la raíz, por lo tanto, es la primera en derivarse. 2 2 d 8 x sec h 4 x 3 2 tanh4 x 3 dx 2 tanh4 x 2 3 dx 2 tanh4 x 2 3
df
1
Ejemplo 3.
Derivar la función f x ln tanh3 x 2 2 cosh3 x 2 2 .
La función más externa es el logaritmo, por lo tanto, es el primero en derivarse.
df dx
6 x sec h 2 3 x 2 2 6 xsenh3 x 2 2 tanh3 x 2 2 cosh3 x 2 2
Ejemplo 4. 1 Obtener la fórmula para la derivada de la función y senh x .
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperbólico inverso pero sí la del seno hiperbólico, se pueden utilizar el concepto de la función inversa y la derivada implícita para hallar la fórmula en cuestión. y
senh
1
x
senh y x y´cosh y 1 y´
1 cosh y
2 2 2 2 cosh y senh y 1 cosh y senh y 1 y la función Se sabe que , por lo tanto,
2 cosh y x 1 . Al sustituir se obtiene senhy=x, entonces,
y´
1 x 2
1.
El mismo método se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes fórmulas. d dx d dx
d dx d dx
du
1
senh u
cosh
1
1
u 1 du
dx , u2 1
u
tanh u
1
dx
2
u 1
du
dx , 1 u2
sec h u
u 1
du
dx , u 1 u2
0u 1
Ejemplo 5. 1 2 Derivar la función f x xsenh x 3
Se debe resolver la derivada de la multiplicación.
2 x senh x 3 x 2 x 2 3 1 dx
df
1
2
senh x 3 1
senh x 3 1
2 x 2
2
x 6 x 9 1 4
2
2 x 2
2
x 4 6 x 2 10
F unciones paramé tr icas Si
son derivables, entonces
Ejemplos
} {
1. Hallas dy/dx
2.
;
Queremos la pendiente de la línea tangente en
./
3. Problema de practica
4. Determine la recta tangente a la curva dada por las ecuaciones
P(
} {
