DERIVACION-NUMÉRICAgrfhdjntrs

Derivación Numérica

1

DERIVACION NUMERICA 1. Intro Introdu ducci cción ón 2. Derivaci Derivación ón numéric numérica a 3. Métodos Métodos de diere dierencia nciass !nitas 3.1. "ormu#as de dierencias !nitas $acia ade#ante 3.1.1. %rimera dierencia 3.1.2. &e'unda dierencia E(em)#o 1 3.2. "ormu#as ormu#as de dier dierenci encias as !nitas !nitas $acia $acia atr*s atr*s 3.2.1 .2.1.. %rime rimera ra die dierrenci encia a 3.2.2 .2.2.. &e'u &e'und nda a die dierrenci encia a E(em)#o 2 3.3. "ormu#as ormu#as de dieren dierencias cias centra#e centra#ess 3.3.1 .3.1.. %rime rimera ra die dierrenci encia a 3.3.2 .3.2.. &e'u &e'und nda a die dierrenci encia a E(em)#o 3 +. Inesta,i Inesta,i#ida #idad d numérica numérica de #as ormu#as ormu#as de diere dierencia nciass !nitas +.1. Dierencias centra#es Derivación numérica )or dierencia centrada de orden 2

O (h )

"órmu#as de #as dierencias centradas de #os tres )untos Derivación numérica )or dierencia centrada de orden O (h

4

)

"órmu#a de #os tres )untos "órmu#a de #os cinco )untos E(ercicios resue#tos E(ercicios de !(ación


2

CAPÍTULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA Introducción

-a derivada es de uso comn en #a matem*tica / #a in'enier0a sin em,ar'o en #a )r*ctica de muc$as unciones con #as ue se tra,a(a no se conoce su e)resión ana#0tica / so#amente se dis)one de va#ores en un con(unto de )untos. En a#'u a#'unos nos caso casoss es nece necesar sario io )roc )roced eder er a ca#c ca#cu# u#ar ar e# va#o va#orr de a#'u a#'una na deriv derivad ada a de a#'u a#'una nass unci uncion ones es en un )unt )unto o conc concre reto to.. En este este ti)o ti)o de situa situaci cion ones es no se )ued )uede e uti#i uti#i4ar 4ar e# conc conce) e)to to ri'ur ri'uros oso o de deriv derivad ada a )or )or desconocimiento de #a e)resión de #a unción. De esta manera sur'e #a necesidad de dise5ar métodos numéricos ue )ermitan a)roimar e# va#or de #as derivadas de una unción en a#'n )unto a )artir de# conocimiento de #os va#ores de #a unción en un so)orte dado. -os métodos de derivación numérica desarro##ados con e# !n de a)roimar a#'n va#or ,uscado muestran un ,uen com)ortamiento en numerosos casos. Es )or e##o ue a#'unas veces aun dis)oniendo de #a e)resión ana#0tica de #as unciones a derivar se o)ta )or a)roimar #os va#ores de #as derivadas mediante órmu#as numéricas su!cientemente )recisas. -a dierenciación numérica es mu/ ti# en casos en #os cua#es se tiene una unción cu/a derivada es di0ci# o com)#icada de $a##ar o en casos en #os cua cu a#es #es no se tien iene una una unc unció ión n e)#0ci #0cita ta sino sino una seri serie e de dato datoss e)erimenta#es. E# )ro,#em )ro,#ema a de #a derivació derivación n numérica numérica consist consiste e en #a eva#uac eva#uación ión de #a deriva derivada da de #a unción unción en un )unto )unto cuando cuando nicame nicamente nte conoce conocemos mos #os va#ores de #a unción en una co#ección de )untos  6 1...  n. Aunue en a)ariencia se trata de un )ro,#ema )ro,#ema simi#ar a# de #a Inte'ración numé numéri rica ca77 de $ec$ $ec$o o #a deri deriva vaci ción ón es m*s m*s com) com)#i#ica cada da /a ue ue en #a inte'ración #os errores tienden a cance#arse / como vimos no necesitamos ue #a a)roimación descri,a con !de#idad #a unción #oca#mente. &in em,ar'o #a derivada es una )ro)iedad esencia#mente #oca# )or #o cu*# de,eremos a)roimar #a unción #o m*s !e#mente )osi,#e en e# entorno inmediato de# )unto en e# ue #a ueramos ca#cu#ar. ca#cu#ar. Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la soluci solución ón de problem problemas as de contor contorno no en ecuaci ecuacione oness diferen diferencial ciales es ordina ordinaria riass (y en ecuacio ecuaciones nes en deriva derivadas das parcial parciales). es). En general general,, podemo podemoss obtene obtenerr aproxi aproximac macion iones es numéri numéricas cas de la derivad derivadaa en un punto punto deriva derivando ndo alguna alguna funció función n interp interpolan olante, te, por eemplo un polinomio de Lagrange, alg!n tra"ador c!bico, etc. #in embargo, en la


2

CAPÍTULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA Introducción

-a derivada es de uso comn en #a matem*tica / #a in'enier0a sin em,ar'o en #a )r*ctica de muc$as unciones con #as ue se tra,a(a no se conoce su e)resión ana#0tica / so#amente se dis)one de va#ores en un con(unto de )untos. En a#'u a#'unos nos caso casoss es nece necesar sario io )roc )roced eder er a ca#c ca#cu# u#ar ar e# va#o va#orr de a#'u a#'una na deriv derivad ada a de a#'u a#'una nass unci uncion ones es en un )unt )unto o conc concre reto to.. En este este ti)o ti)o de situa situaci cion ones es no se )ued )uede e uti#i uti#i4ar 4ar e# conc conce) e)to to ri'ur ri'uros oso o de deriv derivad ada a )or )or desconocimiento de #a e)resión de #a unción. De esta manera sur'e #a necesidad de dise5ar métodos numéricos ue )ermitan a)roimar e# va#or de #as derivadas de una unción en a#'n )unto a )artir de# conocimiento de #os va#ores de #a unción en un so)orte dado. -os métodos de derivación numérica desarro##ados con e# !n de a)roimar a#'n va#or ,uscado muestran un ,uen com)ortamiento en numerosos casos. Es )or e##o ue a#'unas veces aun dis)oniendo de #a e)resión ana#0tica de #as unciones a derivar se o)ta )or a)roimar #os va#ores de #as derivadas mediante órmu#as numéricas su!cientemente )recisas. -a dierenciación numérica es mu/ ti# en casos en #os cua#es se tiene una unción cu/a derivada es di0ci# o com)#icada de $a##ar o en casos en #os cua cu a#es #es no se tien iene una una unc unció ión n e)#0ci #0cita ta sino sino una seri serie e de dato datoss e)erimenta#es. E# )ro,#em )ro,#ema a de #a derivació derivación n numérica numérica consist consiste e en #a eva#uac eva#uación ión de #a deriva derivada da de #a unción unción en un )unto )unto cuando cuando nicame nicamente nte conoce conocemos mos #os va#ores de #a unción en una co#ección de )untos  6 1...  n. Aunue en a)ariencia se trata de un )ro,#ema )ro,#ema simi#ar a# de #a Inte'ración numé numéri rica ca77 de $ec$ $ec$o o #a deri deriva vaci ción ón es m*s m*s com) com)#i#ica cada da /a ue ue en #a inte'ración #os errores tienden a cance#arse / como vimos no necesitamos ue #a a)roimación descri,a con !de#idad #a unción #oca#mente. &in em,ar'o #a derivada es una )ro)iedad esencia#mente #oca# )or #o cu*# de,eremos a)roimar #a unción #o m*s !e#mente )osi,#e en e# entorno inmediato de# )unto en e# ue #a ueramos ca#cu#ar. ca#cu#ar. Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la soluci solución ón de problem problemas as de contor contorno no en ecuaci ecuacione oness diferen diferencial ciales es ordina ordinaria riass (y en ecuacio ecuaciones nes en deriva derivadas das parcial parciales). es). En general general,, podemo podemoss obtene obtenerr aproxi aproximac macion iones es numéri numéricas cas de la derivad derivadaa en un punto punto deriva derivando ndo alguna alguna funció función n interp interpolan olante, te, por eemplo un polinomio de Lagrange, alg!n tra"ador c!bico, etc. #in embargo, en la


$

pr%ctica pe&ue'os errores en los datos pueden producir malos resultados en las deriva derivadas das.. &u &u vamos vamos a experim experimenta entarr con fórmul fórmulas as &ue se obtien obtienen en deriva derivando ndo el polinomio interpolante de Lagrange.

Derivación nu!rica

f ( ( x )

&ecante ( x0 + h) f (

( x0 ) f (

x 0 ( x 0 + h )

%or de!nición #a derivada de una unción f 8 x x 9 es: f ( x )=lim '

h→ 0

( x ) f ( ( x + h ) −f ( h

-as )osi,#es a)roimaciones a)roimaciones numéricas de #a derivada derivada en un )unto )unto ue )odr0an ca#cu#arse tomando una sucesión

{h k }  ;a# ue

{h k }→ 0  se

tienen #as si'uientes e)resiones. '

Diferencia Diferenciahacia hacia adelante : f ( x x 0 ) ≈

'

Diferenciahacia Diferencia hacia atrás : f ( x 0 ) ≈

( x 0 ) f ( ( x 0+ h )− f ( h

( x 0)− f ( ( x 0−h ) f ( h

-a a)ro a)roima imaci ción ón de #a deriv derivad ada a )or )or este este métod método o entr entre' e'a a resu resu#t #tad ados os ace)ta,#es ace)ta,#es con un determinado determinado error. error. %ara %ara minimi4ar minimi4ar #os errores errores se estima


*

ue e# )romedio de am,as entre'a #a me(or a)roimación numérica a# )ro,#ema dado. M!todo de Di"erencia# $inita#

E# método de dierencias !nitas consiste en a)roimar #a unción )or )o#inomios. -as órmu#as resu#tantes )ueden c#asi!carse de #as si'uientes maneras: a9 En ,ase a# orden de #a derivada o,teniéndose ' ' ' ' '' n f ( x 0 ) , f ( x 0 ) , f ( x 0 ) , … , f ( x 0) ,9 En ,ase a# orden de #a dierencia )ueden ser )rimera se'unda tercera etc. c9 En ,ase a #os )untos de a)o/o de #a ormu#a en #a ta,#a es decir si se em)#ean )untos antes des)ués o am,os #ados de a#'n )unto de interés. Eisten tres ti)os / son: 19 Dierencias $acia ade#ante cuando se usan )untos anteriores de# )unto de interés. 29 Dierencias $acia atr*s cuando se em)#ean )untos )osteriores a# )unto de interés. 39 Dierencias centra#es. Cuando se usan )untos tanto antes como des)ués de# )unto de interés. Reerencias )ara #as órmu#as de dierencias !nitas: x 0

:

Indica e# )unto de interés de estudio o de an*#isis.

h

:

Es)aciamiento constante de #a ta,#a.

x f (¿¿ 0 )

¿

: "unción eva#uada en e# )unto de an*#isis.

f ( x 0+1 ) =f ( x 0 + h ) y f ( x 0−1 )= f ( x 0−h ) f ( x 0+ n )= f ( x 0 + nh ) y f ( x 0−n ) =f ( x 0− nh )

$óru%a# de di"erencia# &nita# 'acia ade%ante Priera di"erencia f ' ( x 0 ) =

f ( x 0+1 )− f ( x 0 ) h

Derivación Numérica f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ' ( x 0 ) =

iv

f ( x0 ) =

+

f ( x 0+2 )−2 f ( x 0 +1 ) + f ( x 0 ) h

2

f ( x 0+3 )− 3 f ( x 0+2 ) + 3 f ( x 0 +1) − f ( x 0 ) h

3

f ( x 0+ 4 )− 4 f ( x 0 +3 ) + 6 f ( x 0+2 ) −4 f ( x 0+1 ) + f ( x0 ) h

4

(e)unda di"erencia f ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ' ( x 0 ) =

iv

f ( x0 ) =

−f ( x 0 +2) + 4 f ( x 0+1 )−3 f ( x0 ) 2h

− f ( x 0 +3 ) + 4 f ( x 0+2 )−5 f ( x 0+1 ) + 2 f ( x 0 ) 2

h

−3 f ( x 0+ 4 ) + 14 f ( x 0+3 )−24 f ( x 0+2 ) + 18 f ( x0 +1 )−5 f ( x 0 ) 2h

3

−2 f ( x 0 +5 )+ 11 f ( x 0+ 4 )−24 f ( x 0+3 ) + 26 f ( x 0+2 )−14 f ( x 0+1 ) 3 f ( x 0 ) h

4

E*e+%o 9,-,

&ea #a unción

ln x

 ca#cu#ar #as derivadas )or métodos numéricos en e#

)unto x =5  en ,ase a #a si'uiente ta,#a con h =0.1  a)#icando #a órmu#a de #a )rimera dierencia !nita $acia ade#ante. x f ( x )

+.<

+.=

+.>

?.6

?.1

?.2

?.3

1.?+
1.?@=@ 2

1.?=>2 2

1.@6>+ +

1.@2>2 +

1.@+=@ @

1.@@< <

(o%ución.

%ara

f ( x )= ln x

' ' ' . E# va#or verdadero de f ( 5 )=0.2 y f ( 5 )=−0.04

Derivación Numérica f ' ( x 0 ) =

|

Er =

V v −V a V v

f ( x 0+1 )− f ( x 0 ) h

||

0.2 −0.198 0.2

=

|=

=

f ( 5.1 )− f ( 5 ) 0.1

=



1.62924−1.60944 =0.198 0.1

0.01, E =| E r × 100 |=( 0.01 ) × 100 =1

(e)unda derivada ' '

f ( x0 ) =

f ( x0 ) = ' '

|

Er =

V v −V a V v

f ( x 0+2 ) −2 f ( x 0+1 ) + f ( x 0 )

f ( 5.2 ) − 2 f ( 5.1 ) + f ( 5 )

1.64866 −2 ( 1.62924 ) + 1.60944 0.01

|| =

2

h

=

(0.1 )2 −4

= 3.8 × 10 0.01

=−0.038

|

−0.04 −(−0.038 ) =0.05, E =| E r × 100 |=( 0.05 ) × 100 =5 −0.04

E*e+%o 9,/,

&ea #a unción

ln x


)unto x =5  en ,ase a #a si'uiente ta,#a con h =0.1  a)#icando #a órmu#a de #a se'unda dierencia !nita $acia ade#ante. x f ( x )

+.<

+.=

+.>

?.6

?.1

?.2

?.3

1.?+
1.?@=@ 2

1.?=>2 2

1.@6>+ +

1.@2>2 +

1.@+=@ @

1.@@< <

(o%ución.

%ara

f ( x )= ln x


Priera derivada f ' ( x 0 ) =

−f ( x 0 +2) + 4 f ( x 0+1 )−3 f ( x0 ) −f ( 5.2 ) + 4 f ( 5.1 )−3 f ( 5 ) = 2h 2 ( 0.1 )

Derivación Numérica f ' ( x 0 ) =

−1.64866 + 4 ( 1.62924 )− 3 ( 1.60944 ) −1.64866 + 6.51696 −4.82832 = 0.2

0.2

f ' ( x 0 ) =

|

Er =

-

V v −V a V v

||

0.2 −0.1999 0.2

=

|=

0.03998 = 0.1999 0.2

−4

1 × 10

, E =|1 × 10

−4

× 100 |=0.01

(e)unda derivada f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

' ' ( x0 )

f

=

|

Er =

− f ( x 0 +3 ) + 4 f ( x 0+2 )−5 f ( x 0+1 ) + 2 f ( x 0 ) 2

h

− f ( 5.3 ) + 4 f ( 5.2 )−5 f ( 5.1 )+ 2 f ( 5 ) ( 0.1 )2 −1.6677 + 4 ( 1.64866 )−5 ( 1.62924 )+ 2 ( 1.60944 ) 0.01

−1.6677 + 6.59464 −8.1462 + 3.21888 −3.8 × 10−4 = =−0.038 0.01

V v −V a V v

|| =

0.01

|

−0.04 −(−0.038 ) =0.05, E =|0.05 × 100 |=5 −0.04

Coentario#.

-a a)roimación #o'rada )resenta errores mu/ e#evados )ues 1 )ara #a )rimera derivada / ? )ara #a se'unda derivada en #a )rimera dierencia $acia ade#ante es )r*cticamente into#era,#e en un c*#cu#o de este ti)o. En #a se'unda dierencia de este mismo método 8dierencias !nitas $acia ade#ante9 )resenta i'ua#mente un error e#evado de# 6.61 )ara #a )rimera derivada ue )arecer0a un resu#tado ,astante ace)ta,#e sin em,ar'o esto es de,ido a #a inesta,i#idad de# método / )ara #a se'unda derivada e# error es de# ? va#or i'ua# o,tenido con #a a)#icación de #a )rimera dierencia. -os resu#tados o,tenidos )or este método son en'a5osos )or #a inesta,i#idad ue )resentan de,ido a #a sim)#icidad de su orma / a #os




)ar*metros reducidos considerados )ara e# c*#cu#o. &i e# resu#tado )rocurado necesita de cierta eactitud res)ecto de# va#or rea# este método no es recomenda,#e /a ue casi a#eatoriamente )uede )resentar ,uena )recisión en a#'unos casos mientras ue en otros )roducir errores mu/ 'randes.

$óru%a# de di"erencia# &nita# 'acia atr0# Priera di"erencia f ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ' ( x 0 ) =

iv

f ( x0 ) =

f ( x 0) − f ( x 0−1) h

f ( x 0 )−2 f ( x 0−1 ) + f ( x 0−2 ) 2

h

f ( x 0 )− 3 f ( x 0−1 ) + 3 f ( x 0−2 ) −f ( x 0− 3 ) h

3

f ( x 0 )− 4 f ( x 0− 1 ) + 6 f ( x 0−2 ) −4 f ( x 0− 3 ) + f ( x 0− 4 ) 4

h


f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ' ( x 0 ) =

iv

f ( x0 ) =

E*e+%o 9,1,

3 f ( x 0 ) −4 f ( x 0− 1 )+ f ( x 0− 2 ) 2h

( x ) −5 f ( x − )+ 4 f ( x − ) − f ( x − )

2 f

0

0

1

0

2

0

3

2

h

5 f ( x0 ) −18 f ( x 0−1 ) + 24 f ( x 0− 2 ) −14 f ( x 0− 3 ) + 3 f ( x 0− 4 ) 2h

3

3 f ( x 0 )−14 f ( x 0−1) + 26 f ( x 0− 2 )−24 f ( x 0−3 )+ 11 f ( x 0−4 ) −2 f ( x 0− 5 ) 4

h

Derivación Numérica ln x

&ea #a unción

/


)unto x =5  en ,ase a #a si'uiente ta,#a con h =0.1  a)#icando #a órmu#a de #a )rimera dierencia !nita $acia atr*s.

+.<

+.=

+.>

?.6

?.1

?.2

?.3

1.?+
1.?@=@ 2

1.?=>2 2

1.@6>+ +

1.@2>2 +

1.@+=@ @

1.@@< <

x f ( x )

(o%ución. f ( x )= ln x

%ara


Di"erencia# &nita# 'acia atr0# 2+riera di"erencia3 Priera derivada f ' ( x 0 ) =

|

Er =

V v −V a V v

f ( x 0) − f ( x 0−1 ) h

||

0.2 −0.2022 0.2

=

=

|=

f ( 5 ) −f ( 4.9 ) 0.1

=

1.60944 −1.58922 =0.2022 0.1

0.011, E =| E r × 100 |=( 0.011 ) × 100 =1.1

(e)unda derivada f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

|

Er =

f ( x 0 )−2 f ( x 0−1 ) + f ( x 0−2 ) h

2

1.60944 −2 ( 1.58922 )+ 1.56862

V v −V a V v

0.01

|| =

=

f ( 5 ) − 2 f ( 4.9 ) + f ( 4.8 )

(0.1 )2

−4 − 3.8 × 10 = =−

0.01

0.038

|

−0.04 −(−0.038 ) =0.05, E =| E r × 100 |=( 0.05 ) × 100 =5 −0.04

E*e+%o 9,4,

&ea #a unción

ln x


)unto x =5  en ,ase a #a si'uiente ta,#a con h =0.1  a)#icando #a órmu#a de #a se'unda dierencia !nita $acia atr*s.


+.<

+.=

+.>

?.6

?.1

?.2

?.3

1.?+
1.?@=@ 2

1.?=>2 2

1.@6>+ +

1.@2>2 +

1.@+=@ @

1.@@< <

x f ( x )

10


%ara


f ' ( x 0 ) =

( ) −4 f ( x − )+ f ( x − )

3 f x 0

0

1

2h

0

2

=

( )− 4 f ( 4.9 )+ f ( 4.8 ) 2 ( 0.1 )

3 f 5

3 ( 1.60944 )− 4 ( 1.58922 )+ 1.56862 0.04006 ' ( x ) f =¿ ¿ = = 0.2003 0.2 0.2 0

|

Er =

V v −V a V v

f ' ' ( x 0 ) =

' ' ( x0 )

f

|

Er =

|=

0.0015, E =|0.0015 × 100 |= 0.15

2 f ( x 0 ) −5 f ( x 0− 1 )+ 4 f ( x 0−2) − f ( x 0−3 )

=

2

h

=

2 f ( 5 )−5 f ( 4.9 ) + 4 f ( 4.8 )−f ( 4.7 )

2 ( 1.60944 )−5 ( 1.58922) + 4 (1.56862 ) −1.54756

V v −V a V v

||

0.2 −0.2003 0.2

=

0.01

|| =

( 0.1 )2 =

−3 × 10−4 0.001

=−0.03

|

−0.04 −(−0.03 ) =0.25, E =|0.25 × 100 |=25 −0.04

Coentario#.

-a a)roimación )resentada )or este método de dierencias $acia atr*s )resenta resu#tados mu/ )arecidos a# método de dierencias $acia ade#ante7 sin em,ar'o )ara #a se'unda derivada se nota ue e# error )roducido es de# 2? tota#mente into#era,#e en un c*#cu#o donde norma#mente se )retende )recisión / eactitud. -os resu#tados o,tenidos )or este método son i'ua#mente en'a5osos de,ido tam,ién a #a inesta,i#idad de# método.


$óru%a# de di"erencia# &nita# centra%e# Priera di"erencia

f ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ' ( x 0 ) =

iv

f ( x0 ) =

f ( x 0+ 1 )− f ( x 0−1) 2h

f ( x 0+1 )−2 f ( x 0 ) + f ( x 0−1) 2

h

f ( x 0+2 )−2 f ( x 0 +1 ) + 2 f ( x 0− 1) − f ( x 0−2 ) 2h

3

f ( x 0+2 ) −4 f ( x 0+1 ) + 6 f ( x 0 ) −4 f ( x 0− 1 )+ f ( x 0− 2 ) 4

h


f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ' ( x 0 ) =

4

f ( x0 ) =

−f ( x 0 +2) + 8 f ( x 0+1 ) −8 f ( x 0−1 ) + f ( x 0−2 ) 12 h

− f ( x 0 +2 )+ 16 f ( x 0+1 ) −30 f ( x 0 ) + 16 f ( x 0−1 )− f ( x 0−2) 12 h

2

− f ( x 0 + 3 ) + 8 f ( x 0+ 2 ) −12 f ( x 0+1 ) +12 f ( x 0−1 )−8 f ( x0 −2 ) + f ( x 0−3 ) 3

8h

−f ( x 0+3 ) + 12 f ( x 0+ 2 ) −39 f ( x 0+1 ) + 56 f ( x 0 ) −39 f ( x 0−1 ) + 12 f ( x 0−2) − f ( x 0−3 ) 4

6h

E*e+%o 9, 5,

&ea #a unción

ln x


)unto x =5  en ,ase a #a si'uiente ta,#a con h =0.1  a)#icando #a ormu#a de #a )rimera dierencia !nita centra#.

11


+.<

+.=

+.>

?.6

?.1

?.2

?.3

1.?+
1.?@=@ 2

1.?=>2 2

1.@6>+ +

1.@2>2 +

1.@+=@ @

1.@@< <

x f ( x )

12


%ara


Priera derivada f ( x 0+1 )− f ( x 0−1) f ( 5.1 ) −f ( 4.9 ) 1.62924 −1.58922 0.04002 = = = =0.2001 2h 0.2 0.2 2 ( 0.1 )

f ' ( x 0 ) =

|

Er =

V v −V a V v

||

0.2 −0.2001 0.2

=

|=

−4

5 × 10

, E =| Er × 100 |=0.05

(e)unda derivada

f ' ' ( x 0 ) =

' ' ( x0 )

f

|

Er =

=

f ( x 0+1 )−2 f ( x 0 ) + f ( x 0−1) f ( 5.1 ) −2 f ( 5 ) + f ( 4.9 ) h

1.62924 −2 ( 1.60944 )+ 1.58922

V v −V a V v

0.01

|| =

=

2

=

( 0.1 )2

1.62924 −3.21888 + 1.58922 =−0.042 0.01

|

−0.04 −(−0.042 ) =0.05, E =| Er × 100 |=( 0.05 ) × 100 =5 −0.04

E*e+%o 9, 6,

&ea #a unción

ln x


)unto x =5  en ,ase a #a si'uiente ta,#a con h =0.1  a)#icando #a ormu#a de #a se'unda dierencia !nita centra#. Priera derivada


f ' ( x 0 ) =

−f ( x 0 +2) + 8 f ( x 0+1 ) −8 f ( x 0−1 ) + f ( x 0−2 ) 12 h

f ' ( x 0 ) =

f ' ( x 0 ) =

|

Er =

V v −V a V v

1$

−f ( 5.2 ) + 8 f ( 5.1 ) −8 f ( 4.9 )+ f ( 4.8 ) 12 ( 0.1)

−1.64866 + 13.03392 −12.71376 + 1.56862 1.2

|| =

0.2 −0.2001 0.2

|=

−4

5 × 10

=

0.24012 =0.2001 1.2

, E =|5 × 10 × 100 |=0.05 −4

(e)unda derivada

a ¿ f ' ' ( x 0 ) =

− f ( x 0 +2 )+ 16 f ( x 0+1 ) −30 f ( x 0 ) +16 f ( x 0−1 )− f ( x 0−2)

f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

|

Er =

12 h

2

− f ( 5.2 ) + 16 f ( 5.1 ) −30 f ( 5 ) +16 f ( 4.9 )−f ( 4.8 ) 2 12 ×( 0.1)

−1.64866 + 16 ( 1.62924 )−30 ( 1.60944 ) + 16 ( 1.58922 )−( 1.56862 ) 0.12

−1.64866 + 26.06784 −48.2772 +25.42752 −1.56862

V v −V a V v

0.12

− | | =

0.04 − 0.0073 −0.04

|=

−4

= 8.8 × 10 0.12

=0.0073

1.1825, E =| E r × 100 |=118.25

,9 &e ,uscar* de nuevo #a derivada se'unda )ero con un va#or de h menor ue e# anterior reduciendo dic$a am)#itud o )eso de $ a #a mitad o sea: de h = 0.1 a h=0.05 x

+.=?

+.>6

+.>?

?.66

?.6?

?.16

?.1?

Derivación Numérica f ( x

1.?<=> <>

1.?=>2 3?

f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) =

f ' ' ( x 0 ) = f ' ' ( x 0 ) =

|

Er =

1.?>>3 ==

1.@6> ++

1*

1.@1>3 ==

1.@2> 2+

1.@3=> ><

− f ( x 0 +2 )+ 16 f ( x 0+1 ) −30 f ( x 0 ) + 16 f ( x 0−1 )− f ( x 0−2) 12 h

2

− f ( 5.1 ) + 16 f ( 5.05 ) −30 f ( 5.00 ) + 16 f ( 4.95 )− f ( 4.90 ) 2 12 ( 0.05 ) −1.62924+ 16 ( 1.619388 ) −30 (1.60944 ) + 16 ( 1.599388 )− f ( 1.589235 ) 0.03

−1.62924 + 25.9102 −48.2832 + 25.5902 −1.589235 0.03

−1.275 × 10−3

V v −V a V v

0.03

|| =

=¿

=−0.0425

|

−0.04 −(−0.0425 ) =0.0625, E =| E r × 100 |=6.25 −0.04

Coentario#

-a )rimera dierencia de estas dierencias !nitas centra#es )resenta resu#tados )arecidos a #os anteriores sin em,ar'o #a se'unda derivada de #a se'unda dierencia de dierencias centra#es )resenta un error muc$o ma/or ue e# 166 811=2?9 ra4ón )or #a cua# ni siuiera necesita ser estudiado no es ue #a órmu#a em)#eada sea errónea sino ue #a inesta,i#idad ue )roduce este 'ru)o de ormu#as no )resenta 'arant0as de ,uen resu#tados en e# c*#cu#o de dierencias a're'*ndose a esto #a am)#itud de h ue en este caso )articu#ar )arece ser mu/ e#evado ue en ve4 de conver'er $acia e# resu#tado eacto diver'e7 sin em,ar'o a# reducir e# va#or de h a #a mitad e# resu#tado o,rtenido se $acerca ,astante a# va#or verdadero )ues e# error )orcentua# )roducido es so#amente de# @2? )ero aun as0 si'ue siendo un error mu/ 'rande. %or #o tanto a modo de conc#usión 'enera# res)ecto a estas ormu#as de dierencias !nitas cuando se desea )recisión estas ormu#as de dierencias !nitas no son #as recomendadas / se tomaran sim)#emente a modo did*ctico. Ine#ta7i%idad nu!rica de %a# "óru%a# de di"erencia# &nita#


1+

-as ormu#as )resentadas anteriormente como ta,#as son inesta,#es )or natura#e4a de,ido a #a o)eración de dividir entre nmeros cercanos a 6. E# )ro,#ema aumenta )ara #as órmu#as de ma/or orden de derivación de,ido a #a división entre )otencias de h cada ve4 ma/ores. Estas órmu#as no son recomendadas en #os )rocesos en ue se desean resu#tados re#ativamente )recisos )ues como se di(o )resentan inesta,i#idad in$erente en #a ormu#a )or #o tanto su uso no es recomendado sin em,ar'o )ara !nes did*cticos son tota#mente ace)ta,#es #a )resentación de esta ta,#a. -a )recisión de #a órmu#a aumenta cuando ma/or sea e# orden de #a dierencia )or otro #ado cuanto ma/or sea e# orden de #a derivada #a ormu#a se vue#ve menos con!a,#e. %or #timo es ,ueno indicar ue #as ormu#as centra#es )resentan ma/or con!a,i#idad ue cua#uiera de #as otras dos. -a deducción de #as órmu#as )uede $acerse em)#eando #as órmu#as de inter)o#ación o directamente #a serie de ;a/#or.

DI"ERENCIA& CEN;RA-E& Este método de a)roimación numérica )resenta #a caracter0stica de ue #os va#ores de ( x + h ) / ( x −h ) se sitan a am,os #ados de x tanto a #a derec$a como a #a i4uierda de x . Derivación nu!rica +or di"erencia centrada de orden

O (h

2

)

3 Teorea 9,-, &u)oniendo ue f ∈ C [ a ,b ] , ( x 0− h ) , ( x 0 + h ) ∈ [ a , b ]  entonces

'

f ( x 0 ) ≈

f ( x 0 + h )− f ( x 0−h ) 2h

Adem*s eisten '

f ( x 0 )=

ξ =ξ ( x ) ∈ [ a , b ]

f ( x 0 + h ) − f ( x 0−h ) 2h

+ E t ( f , h)

 ta# ue


1

2

con Et ( f ,h )=

−h f ' ' ' ( ξ ) 6

2

=O ( h )

Este ;eorema se )resenta sin demostración:1

Derivación nu!rica +or di"erencia centrada de orden

4

O (h )

Teorea 9,/, &u)oniendo ue f ∈ C [ a ,b ] , ( x 0−2 h ) , ( x 0− h ) , ( x 0 + h ) , ( x 0+ 2 h ) ∈ [a ,b ] 5

'

f ( x ) ≈

−f ( x 0+ 2 h )+ 8 f ( x 0 + h ) −8 f ( x 0− h ) + f ( x 0−2 h) 12 h

ξ =ξ ( x 0 ) ∈ [ a , b ]

Adem*s eiste '

f ( x ) ≈

 entonces:

 ta# ue

−f ( x 0+ 2 h )+ 8 f ( x 0 + h ) −8 f ( x 0− h ) + f ( x 0−2 h) 12 h 4

con Et ( f ,h )=

+ Et ( f , h ) ,

5

h f ( ξ ) 30

4

=O ( h )

Este ;eorema se )resenta sin demostración:2 E*e+%o 9,8, ' &i f ( x )=cos x  ca#cu#ar #a a)roimación de f ( 6 )  usando #as órmu#as de 2 #as dierencias centradas de orden O ( h ) con h =0.1

(o%ución 2 a9 Con -a ormu#a de dierencias centradas de orden O ( h )

'

f ( x 0 )=

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 −h ) 2h

1 La demostración de este teorema se encuentra en el%"&ue" 3apateiro, 4orge. (200-). n%lisis 5umérico (p%g. 12). 5otas de clase. Edición 6ninorte. 7arran&uilla. 8olombia 2 La demostración de este teorema se encuentra en el%"&ue" 3apateiro, 4orge. (200-). n%lisis 5umérico. 5otas de clase. Edición 6ninorte. 7arran&uilla. 8olombia

Derivación Numérica f ( 6 ) = '

f ( 6.1 )−f ( 5.9) 2 ( 0.1)

=

1-

0.983268 − 0.927478 0.005579 = = 0.27895 0.2 0.2

E# va#or eacto de f ( x )=cos x  )ara f ( 6 )=0.2794154982

|

Er =

V v −V a V v

|| =

0.279415 −0.27895 0.279415

|

=1.6642 × 10−3 , E =| Er × 100 |=0.166

E*e+%o 9,, ' &i f ( x )=cos x  ca#cu#ar #a a)roimación de f ( 6 )  usando #as órmu#as de 4 #as dierencias centradas de orden O ( h ) con h =0.1

(o%ución '

f ( x )=

f ( 6 ) = '

'

f ( 6 ) =

'

f ( 6 ) =

−f ( x0 + 2 h ) + 8 f ( x 0+ h ) −8 f ( x 0−h ) +f ( x0 −2 h) 12 h

−f ( 6.2 ) + 8 f ( 6.1 ) −8 f ( 5.9 ) + f (5.8 ) 12 ( 0.1) −0.996542 + 8 ( 0.983264 ) −8 ( 0.927478 ) + 0.885520 1.2

−0.996542 + 7.866112−7.419824 +0.885520 1.2

=

0.335266 =0.279388 1.2

E# va#or eacto de f ( x )=cos x  )ara f ( 6 )=0.2794154982

|

Er =

V v −V a V v

|| =

0.279415 −0.279388 0.279415

|=|

−5

2.7 × 10 0.279415

|=

−5

9.663 × 10

,

E =| E r × 100 |=|9.663 × 10 × 100 |= 0.00966 −5

Coentario#

A )rimera vista )arecer0a ser ue estas ormu#as de dierencias centra#es se acercan ,astante a# va#or verdadero de #a derivada de #a unción ,uscada


1 2

O (h )

/a ue con #as dierencias centradas de orden

e# error )roducido en

e# e(em)#o es de a)enas 6.1@@ error ,astante )eue5o7 sin em,ar'o en 4 O h ( ) error )roducido con #a ormu#as de dierencias centradas de orden es aun menor tan so#o de 6.66>@. De nuevo va#e re)etir ue estas ormu#as de dierencias centradas )arecen ,astantes )recisas. 4 -a ormu#a de dierencias centradas de orden O ( h ) es una de #as recomendadas )ara $a##ar #a )rimera derivada de f ( x ) .

$óru%a# de %a# di"erencia# centrada# de %o# tre# +unto# 2

' ' '

h f ( ξ1 ) 1 f ( x )= f ( x 0 + h ) − f ( x 0−h ) − 2h 6 '

'

f ( x )=

[

f ( x 0+ h ) −f ( x 0− h )

1 f ( x 0 )= 2h '

]

2h

2 ' ' '

−

h f

6

( ξ 1)

( 9.1)

3

[−3 f ( x ) + 4 f ( x +h ) −f ( x +2 h )] + 0

0

f ( ξ2 ) h

0

2

3

−3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 0+ h )− f ( x 0 + 2 h ) f 3 ( ξ2 ) h2 f ( x 0 )= + ( 9.2) '

2h

3

-as ecuaciones 8>.19 / 8>.29 son #as ##amadas órmu#as de #os tres )untos de derivación numérica aun cuando #a ormu#a 8>.19 so#amente uti#i4a dos )untos / no a)arece en e##a e# )unto centra# x 0 . E# error )resentado en #a ecuación 8>.19 es a)roimadamente #a mitad ue en #a ecuación 8>.29 esta situación se de,e a ue en #a ecuación 8>.19 se usan datos ue est*n a am,os #ados de x 0  mientras ue en #a ecuación 8>.2.9 se considera so#o un #ado / se desconoce e# va#or de# otro #ado ue est* uera de# interva#o. -a venta(a ue )resenta #a ecuación 8>.19 es su sim)#icidad /a ue f so#amente se eva#a en dos )untos mientras ue #a ecuación 8>.29 necesita tres )untos.


1/

E*e+%o 9,9, ' A)roimar e# va#or de #a unción f ( 3 ) si f ( x )=lnx sen x  uti#i4ando #a órmu#a

8>.19 de #os tres )untos con h =0.1 (o%ución. e !artede la f"r#$la : f ( x ) = '

f ( 3 ) = '

'

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

f ( 3 + 0.1 )−f ( 3−0.1 ) 2 ( 0.1)

=

f ( x + h ) − f ( x −h ) 2h f ( 3.1 )− f ( 2.9 ) 0.2

=

ln3.1 ×sen 3.1− ln2.9 ×sen 2.9 0.2

1.131402 × 0.041581 − 1.064712 × 0.239249 0.047044 −0.254731 = 0.2 0.2 0.207687 =−1.038437 0.2

E#tiación de error.

E# va#or verdadero de #a derivada de #a unción ' f ( x )= lnx sen x es f ( 3 )=−1.040578 −3

E=|V v −V a|=|−1.040578 % (−1.038437 )|= 2.141 × 10 =0.002141

|

Er =

V v −V a V v

| | || = E

V v

0.002141 −1.040578

|=

−3

2.0575 × 10

=0.0020575

E = Er × 100 = 0.0020575 × 100 = 0.2

Coentario#.

-a a)roimación #o'rada es ,astante ,uena )ues e# error )orcentua# es so#amente de# 6.2 / este va#or es ace)ta,#e )ara cua#uier c*#cu#o )romedio. Adem*s de,e tenerse siem)re en cuenta e# ti)o de c*#cu#o ue se rea#i4a / #a )recisión ue se reuiera )ara estimar e# error. E*e+%o 9,-:,

Derivación Numérica A)roimar e# va#or de #a unción

20

f ( 3 ) si f ( x )=lnx sen x '

 uti#i4ando #a órmu#a

8>.29 de #os tres )untos con h =0.1 (o%ución.

-a so#ución inicia con #a ormu#a de #os tres )untos 8>.29 '

f ( x 0 )=

'

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

1 2h

[−3 f ( x )+ 4 f ( x + h ) −f ( x +2 h ) ] 0

0

0

1 1 −3 f ( 3)+ 4 f ( 3 + 0.1 )−f ( 3 + 2 × 0.1 ) ]= [ −3 f ( 3 )+ 4 f ( 3.1 )− f ( 3.2 ) ] [ 0.2 0.2 1 [−3 ( ln 3 ×sen 3 )+ 4 ( ln3.1 ×sen 3.1)− ( ln 3.2 ×sen 3.2 ) ] 0.2

−0.05837 −3 ( 1.09861 × 0.14112)+ 4 ( 1.13140 × 0.04158 )−( 1.16315 ×(¿) ] '

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

1 ¿ 0.2

1 [−3 ( 0.155036 )+ 4 (0.0470436 )− (−0.067893 ) ] 0.2 1 [−0.465108 + 0.1881744 + 0.067893 ] = 1 [ −0.2090406 ] =−1.045203 0.2 0.2



E=|V v −V a|=|−1.040578 % (−1.045203 )|= 4.625 × 10

|

Er =

V v −V a V v

| | || =

=0.004625

|

E 0.004625 =4.4446 × 10−3 =0.0044446 V v −1.040578

E = Er × 100 = 0.0044446× 100 =0.44

Coentario#.

En este caso con #a a)#icación de #a ormu#a 8>.29 de #os tres )untos #a a)roimación #o'rada es de menor )recisión ue #a de 8>.19 aun as0 si'ue siendo ,astante ,uena #a a)roimación #o'rada )ues e# error )orcentua# es de 6.++.


21

Com)arando #os dos e(ercicios resue#tos se nota c#aramente ue #a ecuación 8>.19 )resenta menor error a)roimadamente #a mitad de error )roducido )or 8>.29 #o ue se $a,0a /a indicado a# de!nir #as dos órmu#as de #os tres )untos. I+ortante. Recodar siem)re ue e# error )uede ser )eue5o o 'rande

de)endiendo siem)re de #a )recisión ue se desee a# eva#uar una determinada unción. $óru%a de %o# tre# +unto# 1 f ( x 0 )= 2h '

[−3 f ( x )+ 4 f ( x + h ) −f ( x +2 h ) ] + 0

0

1 f ( x 0 )= f ( x0 + h )− f ( x 0−h ) 2h

[

'

( 3)

f ξ

0

]

3

2

h ,ξ ∈ [ x 0 , x 0 + 2 h ]

(3)

f ξ 2 h , ξ ∈ [ x0 −h , x0 + h ] + 3&

E*e+%o 9,--, ' A)roimar e# va#or de #a unción f ( 3 ) si f ( x )=lnx sen x  uti#i4ando #a órmu#a

de #os tres )untos con h =0.1 (o%ución.

-a so#ución inicia con #a ormu#a de #os tres )untos '

f ( x 0 )=

1 f ( x0 + h )− f ( x 0−h ) 2h

[

e !arte dela f" r#$la : f ( x )= '

'

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

] f ( x + h )− f ( x −h ) 2h

1 1 f ( 3 + 0.1 )− f ( 3−0.1 ) ] = [−3 f ( 3 )+ 4 f ( 3.1 )−f ( 3.2 ) ] [ 2 × 0.1 0.2 1 [−3 ( ln 3 ×sen 3 )+ 4 ( ln3.1 ×sen 3.1)− ( ln 3.2 ×sen 3.2 ) ] 0.2

−0.05837 −3 ( 1.09861 × 0.14112)+ 4 ( 1.13140 × 0.04158 )−( 1.16315 ×(¿) ] '

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

1 ¿ 0.2

1 [−3 ( 0.155036 )+ 4 (0.0470436 )− (−0.067893 ) ] 0.2


'

f ( 3 ) =

22

1 [−0.465108 + 0.1881744 + 0.067893 ] = 1 [ −0.2090406 ] =−1.045203 0.2 0.2



E=|V v −V a|=|−1.040578 % (−1.045203 )|= 4.625 × 10 =0.004625

|

Er =

V v −V a V v

| | || = E

0.004625 −1.040578

V v

|

=4.4446 × 10−3 =0.0044446

E = Er × 100 = 0.0044446 × 100 =0.44446

Coentario#.

En este caso con #a a)#icación de #a ormu#a de #os tres )untos #a a)roimación #o'rada es de menor )recisión ue #a de #as dierencias centradas aun as0 si'ue siendo ,astante ,uena #a a)roimación #o'rada )ues e# error )orcentua# es de 6.++ un )oco ma/or ue #a de #as dierencias centradas de tan so#o de# 6.2. $óru%a de %o# cinco +unto# '

f ( x 0 )=

1 12 h

1 f ( x 0 )= 12 h '

(5 )

[−25 f ( x ) + 48 f ( x + h )−36 f ( x + 2 h ) +16 f ( x 0

0

0

0

0

[−3 f ( x −h )−10 f ( x ) +18 f ( x +h )−6 f ( x +2 h ) + f ( x +3 h ) ] − 0

0

0

0

[

( 5)

]+

4

f ( ξ 2) h 30

,

[

1 f ( x 0 )= f ( x0 −4 h )− 3 f ( x0 −3 h ) + 4 f ( x 0−2 h ) −36 f ( x 0− h ) + 25 f ( x 0 ) 12 h '

[

,

5

1 f ( x 0 )= 4 f ( x 0−3 h ) + 6 f ( x 0 + 2 h )− 8 f ( x 0−h )+ 34 f ( x 0 ) + 3 f ( x 0 + h ) + 34 f ( x 0 ) 12 h '

, 9.5 ¿

4

f ( ξ1 ) h

0

4

5

(5)

1 f ( x 0 )= f ( x0 −2 h )− 8 f ( x 0−h ) + 8 f ( x 0+ h )− f ( x 0 + 2 h ) 12 h '

+ 3 h ) −3 f ( x + 4 h ) ] +

f ( ξ 0) h

( 5)

]+

( 5)

]+

4

f ( ξ3 ) h 30

4

f ( ξ4 ) h 5

,

,


2$

Entre #as distintas órmu#as de cinco )untos #as m*s uti#i4adas son: '

f ( x 0 )=

1 12 h

(5 )

[−25 f ( x ) + 48 f ( x + h )−36 f ( x + 2 h ) +16 f ( x 0

0

0

0

1 f ( x 0 )= f ( x0 −2 h )−8 f ( x 0−h ) + 8 f ( x 0+ h )− f ( x 0 + 2 h ) 12 h

[

'

+ 3 h ) −3 f ( x + 4 h ) ] + 0

( 5)

]+

f

(ξ 2) h4 30

f ( ξ 0) h 5

, 9.6

E*e+%o 9,-/, ' A)roimar e# va#or de #a unción f ( 3 ) si f ( x )=lnx sen x  uti#i4ando #a órmu#a

de #os cinco )untos con h =0.1 (o%ución.

&e inicia e# c*#cu#o de #a so#ución )artiendo de #a ormu#a de #os cinco )untos '

f ( x 0 )=

'

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

1 f ( x0 −2 h )− 8 f ( x 0−h ) + 8 f ( x 0+ h )− f ( x 0 + 2 h ) 12 h

[

1 12 × 0.1

]

[ f ( 3 −0.2 )− 8 f ( 3−0.1 )+ 8 f ( 3 + 0.1 )− f ( 3 +0.2 ) ]

1 [ f ( 2.8 )−8 f ( 2.9 ) + 8 f ( 3.1 )−f ( 3.2 ) ] 1.2

1 [ ( ln 2.8 ×sen 2.8 )− 8 ( ln 2.91×sen 2.9 ) + 8 ( ln3.1 ×sen 3.1 )−( ln 3.2 ×sen 3.2 )] 1.2

1.16315 ×(−0.058374 ) 1.029619 × ( 0.334988 )−8 ( 1.06471 × 0.239249 ) + 8 ( 1.1314 × 0.04158 )−¿ 1 ' ¿ f ( 3 )= 1.2

4

, 9.5 ¿

Derivación Numérica '

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

'

f ( 3 ) =

2*

1 [ ( 0.34491)− 8 ( 0.25473 )+ 8 ( 0.047044 )−(−0.0678977)] 1.2

1 [ ( 0.34491)−2.03784 + 0.376352 + 0.0678977 ] 1.2

1 [ 1.24868] =−1.0405669 1.2



E=|V v −V a|=|−1.040578 % (−1.0405669 )|=1.111 × 10 =0.0001111

|

Er =

V v −V a V v

| | || = E

V v

0.0001111 −1.040578

|=

−4

1.06768 × 10

= 0.000106768

E = Er × 100 = 0.000106768 × 100 = 0.0106

Coentario#.

-a a)roimación #o'rada con #a ormu#a de #os cinco )untos es ece#ente )uede notarse en este e(ercicio ue e# error )orcentua# es de a)enas 6.61 / ue #a a)roimación #o'rada )uede considerarse un va#or tota#mente va#ido demostrando ue este método es e# me(or ue cua#uiera de #o em)#eado anteriormente.


2+

EBERCICIO& RE&UE-;O&

E*ercicio re#ue%to 9,-1,

%ara estudiar un determinado enómeno 0sico se re'istran #os cam,ios )roducidos en é# en #a si'uiente ta,#a. A)roima e# va#or de #a derivada a ' f ( 1.3 ) uti#i4ando #a ormu#a de derivación numérica )or dierencia 2 centrada de orden O ( h )



1 f ( x ) 2. ?

1.1 2.+3@= ?1

1.2 2.3<2= >?

1.3 2.36=< =?

1.+ 2.2+?6 @@

1.? 2.1=21 <>

1.@ 2.126+< 2

(o%ución '

f ( x 0 )=

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 −h ) 2h

f ( 1.3 ) = '

f ( 1.4 )− f ( 1.2) 2 ( 0.1 )

=

2.245066 − 2.372895 − 0.127829 = =−0.639145 0.2 0.2

E# va#or eacto de f ( 1.3 )=−0.639962

|

Er =

V v −V a V v

||

|

−0.639962 −(−0.639145) 8.17 × 10−4 = = =1.277 × 10−3 , −0.639962 0.639962

E =| E r × 100 |=|1.277 × 10 × 100 |= 0.128 −3

E*ercicio re#ue%to 9,-4,

%ara estudiar un determinado enómeno 0sico se re'istran #os cam,ios )roducidos en é# en #a si'uiente ta,#a. A)roima e# va#or de #a derivada a


f ( 1.3 )

2

uti#i4ando #a ormu#a de derivación numérica )or dierencia

4 centrada de orden O ( h )



1 f ( x ) 2. ?

1.1 2.+3@= ?1

1.2 2.3<2= >?

1.3 2.36=< =?

1.+ 2.2+?6 @@

1.? 2.1=21 <>

1.@ 2.126+< 2

(o%ución '

f ( x )=

f ( x )= '

f ( x )= '

'

f ( x )=

−f ( x0 + 2 h ) + 8 f ( x 0+ h ) −8 f ( x 0−h ) +f ( x0 −2 h) 12 h

−f ( 1.5 )+ 8 f ( 1.4 ) −8 f ( 1.2 ) + f ( 1.1) 12 ( 0.1 )

−2.182179 + 8 ( 2.245066 ) −8 ( 2.372895 ) +f ( 2.436851 ) 1.2

−2.182179 + 17.960528 −18.98316 + 2.436851 −0.76796 = =−0.639967 1.2

1.2

E# va#or eacto de f ( 1.3 )=−0.639962

|

Er =

V v −V a V v

||

|

−0.639962 −(−0.639967 ) 5 × 10−6 = = =7.813 × 10−6 , −0.639962 0.639962

E =| E r × 100 |=|1.813 × 10 × 100 |=0.00078 −6

E*ercicio re#ue%to 9,-5, ' A)roimar e# va#or de #a unción f ( 5.7 ) si f ( x )=2 x cos x  uti#i4ando #a

órmu#a de #os tres )untos 8>.29 con h =0.1 (o%ución

−3 f ( x 0 ) +4 f ( x 0+ h )− f ( x 0 + 2 h ) f 3 ( ξ2 ) h2 f ( x 0 )= + '

2h

3


?.<

x

f ( 5.7 ) = '

'

f ( 5.7 ) =

?.=

>.?1?<2@

f ( x )= 2 x cos x

2-

?.>

16.2<262@

16.>++2+?

−3 f ( 5.7 ) + 4 f ( 5.8 )− f ( 5.9 ) −3 ( 9.515726 )+ 4 ( 10.272026 )−( 10.944245 ) = 2 ( 0.1) 2 ( 0.1 ) , −28.547178 + 41.088104 − 10.944245 0.2

=

1.596681 =7.983405 0.2


E# va#or verdadero de #a derivada de #a unción ' f ( x )= 2 x cos x es f ( 5.7 )=7.947241

|

Er =

V v −V a V v

| | || = E

V v

7.947241 − 7.983405 7.947241

|

= 4.55 × 10−3=0.00455

E = Er × 100 = 0.00455 × 100 = 0.45

E*ercicio re#ue%to 9,-5, A)roimar a f ' ( 4.2 ) #a unción f ( x )= ln x t x  uti#i4ando #a órmu#a de #os

cinco )untos con h =0.1 (o%ución f ( x 0− 2 h )−8 f ( x 0 −h ) + 8 f ( x0 + h )− f ( x 0+ 2 h ) f ( 5) ( ξ 2 ) h 4 + f ( x 0 )= , 12 h 30 '

x f ( x )= lnxt

'

f ( 4.2 ) =

+.6

+.1

+.2

+.3

+.+

+.?

1.@6?6 =1

2.66=? <<

2.??12 @+

3.33+1 <2

+.?=
@.><+> 6@

f ( 4.0 )− 8 f ( 4.1 ) + 8 f ( 4.3 )− f ( 4.4 ) 12 ( 0.1)


f

( 4.2 )=

'

f ( 4.2 ) =

(

1.605081 − 8 2.008577

2

)+ 8 (3.334172 ) −( 4.587527 ) 1.2

1.605081 −16.068616+ 26.673376 − 4.587527 7.622314 = =6.351928 1.2 1.2

E# va#or verdadero de #a derivada de #a unción ' f ( x )= lnx tx es f ( 4.2 )=6.393951

|

Er =

V v −V a V v

| | || = E

V v

6.393951 − 6.351928 6.393951

|=

−3

6.5723 × 10

=0.0065723

E = Er × 100 = 0.0065723× 100 = 0.657

E*ercicio re#ue%to 9,

%or e# método de dierencia $acia ade#ante encontrar #a derivada de #a unción 89 )ara 2 o sea encontrar 89. %ara reso#ver este e(ercicio uti#i4e #a si'uiente ta,#a de  / 89.

Ejercicio medio (Respuesta)

9erivación lineal de 5e:ton

1. Dada la función

, aproxima el valor de su derivada en el punto

, con la fórmula de derivación lineal de Newton. a).- Estalece la fórmula de derivación lineal de Newton para este prolema. ).- !alcula el valor de la derivada con incremento constante

.

c).- !alcula el error asoluto de la aproximación, con el valor real de

Nota" #ara los c$lculos utili%a &asta ' cifras despus del punto decimal.

olución

Derivación Numérica a).- Para establecer la fórmula de derivación de Newton, se recurre a la fórmula de interpolación de Newton:

, En donde:

,

es el incremento constante,

y

la k -ésima diferencia en la posición i .

Derivando con respecto a x, por la rela de la cadena tenemos !e"presión #.$ del libro p%ina &'():

inalmente se llea a la fórmula de derivación lineal por Newton:

b).- *on base en la fórmula anterior se calcula el valor de la derivada con incremento constante

.

Evaluando la función en cada uno de los puntos: y +ueo:

c).- Para el error absoluto de la apro"imación, con el valor real de

E*ercicio re#ue%to N; 8

-a car'a en un circuito e#éctrico con ,ase en e# tiem)o est* dada )or: t  6.666 2.?666 6.662 2.??23 6.66+ 2.@6=<

2/


$0

6.66@ 2.@@=2 6.66= 2.<2>> 6.616 2.<>31 En donde t es e# tiem)o en se'undos /  #a car'a en cou#om,ios. &e sa,e ue #a corriente instant*nea es i'ua# a #a derivada de #a car'a en ese instante7 determina )or derivación #inea# de Neton #a corriente de# circuito en t 6.66? se'undos. a9 Esta,#ece #a órmu#a de derivación #inea# de Neton )ara este )ro,#ema. ,9 Ca#cu#a e# va#or de #a derivada con incremento constante $ 6.662 . Nota: Para los c%lculos utilia asta  cifras después del punto decimal.

E*ercicio re#ue%to N;  /plicación a la medicina Para estudiar la tasa de crecimiento de una bacteria se acen cultivos y se reistran sus cambios periódicamente durante ( d0as obteniéndose los valores de la siuiente tabla: 1iempo en d0as 2acterias 3 '# 4 #& & 5# ' 43  45$ # &66 6 '& ( 6# Empleando los valores de la tabla anterior apro"ima por derivación de Newton la tasa de crecimiento al cuarto d0a. a) Establece la fórmula de derivación lineal de Newton para este problema. b) *alcula el valor de la derivada con incremento constante ; = 1 . Nota: Para los c%lculos utilia asta  cifras después del punto decimal.

E*ercicio re#ue%to N; 9 4. Dada la función $.* 1 $.+ () 2 2 0.2+

++ =

xx xe fx x

, apro"ima el valor de su derivada en el punto x = 1.2+ , con la fórmula de derivación lineal de Newton. a) Establece la fórmula de derivación lineal de Newton para este problema. b) *alcula el valor de la derivada con incremento constante ; = 0.0+ . c) *alcula el error absoluto de la apro"imación, con el valor real de f _(1.2+) =1.0-/1... Nota: Para los c%lculos utilia asta 6 cifras después del punto decimal.


$1

&. Dada la siuiente tabla de valores obtenidos en observaciones en diferentes tiempos de un e"perimento: ty 3 '$.&3 3.&3 '#.&# 3.#3 '3.# 3.63 &(.$3 3.$# &.53 4.43 &&.(# Por medio de la diferenciación de +arane de seundo rado acia delante apro"ima el valor de rapide de decrecimiento del fenómeno en estudio en el tiempo t = 0.++ . a) Establece la fórmula de la derivación de +arane de seundo rado para este problema. b) /pro"ima la derivada numérica en t = 0.++ . Nota: Para los c%lculos utilia asta ' cifras después del punto decimal.

E*ercicio re#ue%to N; -:

1. -a si'uiente ta,#a contiene #os datos de 89  sen$89 correctos $asta #as ciras dadas.  1.2 1.3 1.+ 1.? 1.@ 89 1.?6>? 1.@>=+ 1.>6+3 2.12>3 2.3=. O,tener tam,ien  6681.+9 / com)arar#a con #a rea#. 2. Con #os datos  1 1.61 1.62  i 1.2< 1.32 1.3= a9 A)roimar  681.66?9 /  681.61?9 ,9 A)roimar  6681.619 usando #os resu#tados de# a)artado a9. c9 O,tener  6681.619 con #a ormu#a de #a derivada se'unda 3. -a si'uiente ta,#a contiene #os va#ores de 89  1

F

R F 6 cos8sen t9dt  6 6.2 6.+ 6.@ 6.< 6.>  i 1 6.>>662? 6.>@63>= 6.>1266? 6.==1261 6.=6

$2

c9 Mediante inter)o#acion con 3 )untos estimar  6686.29 / acotar e# error cometido. d9 Mediante inter)o#acion con ? )untos estimar  6686.+9 / acotar e# error cometido. +. De cierta uncion  2 C 18#R9 se conoce #os datos  1.2 1.3 1.+ 1.? 1.@  i 1.?6>? 1.@>=+ 1.>6+3 2.12>3 2.3
E(ercicio resue#to NK 11 EJEMPLO. 8onsideremos la siguiente tabla de datos

0.00

Estimar

y

1.00

0.01

1.0100+01-

0.02

1.020201$*

0.0$

1.0$0*+*+$*

0.0*

1.0*010--*

0.0+

1.0+12-10/

0.0

1.01$+*-

0.0-

1.0-2+011

0.0

1.0$2-0

0.0/

1.0/*1-*2*

.


$$

SOLUCIÓN.
se puede usar la fórmula de cinco puntos

mientras &ue para estimar

podemos usar una fórmula de tres puntos,

para ser exactos, la fórmula apropiada es la fórmula para

.

E(ercicio E4E=8>8>?# 1. 8onsidere la tabla

1.1

1.0*22$/2

1.2

1.022220++

1.$

1.1201*0*1$

1.*

1.1+1+$/

1.+

1.1/0*1--+-

1.

1.22$0+-+

1.-

1.2+*1/+/-/

1.

1.2$/*1-*2

i.) En Excel, estimar con el valor real.

,

ii.) En Excel, estimar con el valor real.

,

y

y

y comparar

y comparar

2. >mplementar una ;oa en Excel, con o sin macros, para &ue poder calcular la aproximación de cada una de las derivadas usando las cinco fórmulas vistas en la teora.


EBERCICIO& DE "IBACILN 119 129 139

1+9

1?9

M!todo de %o# 5 +a#o#

;enemos una unción f 8 x 9 / se uiere $a##ar #a derivada en e# )unto a %ara ca#cu#ar #a derivada )or de!nición se uti#i4a este método ue consiste en #os ? si'uientes )asos: 1 ca#cu#ar f ( a ) 2. Ca#cu#ar

f ( a + h )

3. Ca#cu#ar ( f ue es

f ( a + h )− f ( a )

$*

Derivación Numérica 4. Calc$lar

$+

( f h

5. Calc$lar lim h→ 0

( f h

E*e+%o

Ca#cu#ar #a derivada de f 8 x 9  x 3 en e# )unto a 3 1 ca#cu#ar f ( a )=a

3

3

f ( a + h )=( a + h ) = a +¿

2. Ca#cu#ar

2

2

3 a h + 3 ah

+ h3 3a

( f

3. Ca#cu#ar

¿ a3 +¿

2

2

3 a h + 3 ah

+ h3 −a3=¿

h (¿ ¿ 2+ 3 ah + h2 ) 2 2 3 3 a h + 3 ah + h =¿

&e $a sacado e# actor comn h )ara ue e# si'uiente )aso sea *ci#. 3a

h (¿ ¿ 2 + 3 ah + h 2) =3 a2 + 3 ah +h 2 h ( f =¿ 4. Calc$lar : h

¿

(¿ 3 a +3 ah + h2)= 3 a2 2

( f = lim ¿ h h →0 5. Calc$lar lim ¿ h →0

Di"erenciación nu!rica

Como cua#uier ti)o de o)eración numérica #a dierenciación numérica 2 re!ere a una unción f ∈ C [ a , b ] / un )unto ar,itrario x 0 en [ a ,b ] .

Derivación Numérica &e necesita un método )ara a)roimar h)0

'

f ( x 0 )

$

 con x 1= x 0+ h )ara a#'n

 #o su!cientemente )eue5a )ara ase'urar ue x

1

∈

[ a , b ]  se

ca#cu#a *0,1 ( x ) . Usando #a si'uiente notación:

/, $óru%a# de derivación nu!rica

&ea 89 una unción deriva,#e en un cierto interva#o I de #a recta rea# / sea  un )unto de dic$o interva#o. Consideremos adem*s un so)orte de 8n19 )untos 6 1 ... nP de# interva#o I en e# ue se su)onen conocidos #os va#ores de #a unción 89. %or sim)#icidad su)ondremos adem*s en todo cuanto si'ue ue #os )untos de# so)orte son todos e##os distintos / est*n ordenados de menor a ma/or es decir ue: 6 Q 1 Q ... Q n. De&nición /,-, Siendo f(x) una función de la que se conocen sus valores en el soporte de (n+1) puntos {x0 , x1, ...., xn} del intervalo I, se denoina fórmula de

derivación numérica para aproximar el valor de la primera derivada f’(x) en el punto x* so!re el soporte de puntos considerado, a toda expresión de la fora" f#(x$)  S   % c0.f(x0) + c1.f(x1)+ &. + cn.f(xn) %

n ii i6 c .8 9 T donde c0, c1, &, cn son (n+1) escalares denoinados coecientes (o pesos ) de la fórula de derivación

NOTA. 'a fórula de derivación que se aca!a de denir puede decirse que es una fórula laraniana pues en ella sólo intervienen valores de la función f en los puntos del soporte. *odran considerarse fórulas s enerales, heritianas, en las que el valor de f#(x$) fuese aproxiado a partir del valor de la función f - de alunas de sus derivadas en los puntos del soporte. o o!stante, estas /ltias fórulas tienen un uso ucho s espordico que las de tipo laraniano - es por ello que en este tea nos liitareos a considerar coo fórulas de derivación nurica tan sólo a las que hacen intervenir los valores


$-

de la función en los puntos del soporte.

En 'enera# e# va#or a)roimado S  / e# va#or eacto 89 dierir*n cometiéndose un error en #a a)roimación de 89. Es )or e##o ue (unto a #a de!nición de una órmu#a numérica conviene )recisar de orma ri'urosa #a de!nición de# error ue con e##a se comete. En este sentido se introduce #a si'uiente de!nición: erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

5 De&nición /,/, Siendo S   la aproxiación de f#(x$) que se o!tiene operando sin error de redondeo se/n la fórula de derivación nurica" f#(x$)  S %

n ii i6 c .8 9 T se denoina error de truncamiento de la fórula en el punto x$- para la función f al valor :f(x$) % f#(x$) ; S

  O,viamente se veri!car* ue: S  S89  R89 )or #o ue considerando #a órmu#a en cuestión a)#icada a todos #os )untos  de un dominio dado )uede de!nirse #a unción error de truncamiento de #a órmu#a derivación numérica )ara #a unción  considerada como #a unción: R : I 7 R  7 R89  89  S  En e# an*#isis de# error de truncamiento de #as órmu#as de derivación numérica se )erse'uir* encontrar cotas de# va#or de esta unción de error R89 en e# interva#o I so,re e# ue se tra,a(e. E*e+%o. Siendo {x0 , x1 } un soporte forado por dos puntos tales que x1 % x0 + h, - considerando que x$ % x0, la sustitución de la expresión de f#(x0) por el cociente increental"

S16 6 8 9 8 9


$

 $ J  conduce a una fórula en la que sus coecientes son c0 % (;1x0, x1?) consiste en considerar el desarrollo en serie de 7a-lor siuiente" f(x1) % f(x0+h) % f(x0) + h.f#(x0) +

2 6 $ . 8 .$9 2  W W X 8619 de donde"

J 01J 00 f @( x ) f ( x ) f ( x ) h .f A( x .h) h=

W W X 8619 *or tanto"  J @J  f0000 : (x ) f @(x ) f h .f A(x .h) =

W W X 8619 expresión que puede acotarse por" *roraación - 8todos uricos erivación urica

6

P X JY 01 @ f000 x (x ,x ) : (x ) f @( x ) f h . Sup f A( x ) = *ara el caso particular de la función f(x) % x= el cociente increental considerado conduce a la expresión"

J  == @00


$/

00 f ( x h) x =.x h h por lo que el error de truncatura coetido es en este caso :f(x0) % h. B!srvese que la acotación antes reali5ada conducira (para esta función x=) a la acotación C:f(x0)C Y h coincidente con el error de truncatura realente coetido1.

-as órmu#as ue conducen a# va#or eacto de #a derivada se denominan órmu#as eactas. M*s concretamente: De&nición /,1, &e dice ue #a órmu#a de derivación numérica f#(x$)  S % n ii i6 c .8 9 T es exacta para la función f(x) en el punto x$ - para el soporte {x0, ..., xn} cuando el error de truncatura :f(x$) es nulo.

E*e+%o. ado un soporte {x0 D x1 } - denotando por h % x1 E x0, la fórula"

JJ  J 16 61 16 89  S 8 9 8 9 1Z8 9 1Z8 9 $$ es una fórula exacta para la función f(x) % x=, en el punto x$ % 1 - para el soporte {x0 % 0, x1 % =}. 6n efecto, f#(1) % = -"

J    2 2  2 S819  S 1Z6 1Z2 2 22 3hora !ien esta fórula no tiene que ser exacta si se ca!ia de punto x$ (por eFeplo f#(1.G) % H [ f$# % =) o si se ca!ia de soporte (por eFeplo para x0 % ;1 - x1 % = , siendo f(x) % x= - x$ % 1 se tiene que f#(1) % = [ f$# % 1) o si se ca!ia de función (por eFeplo si f(x) % xH con el soporte {x0 % 0 - x= % =} - para x$ % 1 se tiene que" H % f#(1) [ f$# % )


*0

1 o siepre las acotaciones del error de truncatura que se o!tendrn sern tan JnasK coo la que se aca!a de descri!ir. erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

7

De )oco servir0a tener órmu#as ue só#o uesen eactas )ara unciones concretas con so)ortes concretos / en )untos concretos )ues #a a)#ica,i#idad de dic$as órmu#as ser0a escasa. %or e##o #as órmu#as de derivación numérica sue#en dise5arse de orma ue sean eactas )ara determinadas ami#ias de unciones con inde)endencia de cu*#es sean #os 8n19 )untos de# so)orte ue se e#i(an / )ara cua#uier )unto  en e# ue se a)#iuen. M*s concretamente )uede darse #a de!nición si'uiente: De&nición /,4, Se dice que la fórula de derivación nurica"

n S ii i6  S89  c .8 9  T es exacta de orden k para la familia de funciones de clase 21(>x0 , xn?)" \689\189...\]89....P cuando es nulo el error de truncatura coetido al aplicar la fórula para la estiación de la priera derivada de cualquiera de l as (L+1) prieras funciones de la failia - en cualquier punto x$ perteneciente al intervalo >x0 , xn?" ] 6 n R 89 6  G  H ^  _ X

Pro+iedad /,-, Si la fórula de derivación nurica

n S ii i6  S89  c .8 9    T es exacta de orden L para la failia de funciones  P 6 1 ] ^ 89^89...^ 89.... entonces es exacta para cualquier co!inación lineal de las (L+1) prieras funciones de la failia

Deo#tración.


*1

&i #a órmu#a es eacta de orden ] )ara #a ami#ia de unciones consideradas se )odr* escri,ir ue: GH  ^  ^ _ X Tn S ( i ( i 6 n i6 89 c . 8 9    8(  6 ... ]9 %or otra )arte una unción cua#uiera ue sea com,inación #inea# de #as 8]19 )rimeras unciones de #a ami#ia ser* de #a orma: ] 6611]](( ( 6 89 89 89 ..... 89 89   `  ^  `  ^   `  ^  T`  ^ )or #o ue su )rimera derivada en cua#uier )unto  de# interva#o G6 nHse )uede e)resar como: *roraación - 8todos uricos erivación urica

8

 bb  ` ^  `  ^   ` ^   fgfg TTTTTT]]nn]n S ( ( ( i ( i i ( ( i i i ( 6 ( 6 i 6 i 6 ( 6 i 6  S89 89 c 8 9 c 8 9 c 8 9 / )uesto ue #a a)#icación de #a órmu#a de derivación numérica a #a unción 89 en cua#uier )unto  conduce a ue: n S ii i6  c.89  T )uede conc#uirse ue: G H  6n R 896 _X  Esto demuestra ue #a órmu#a es eacta )ara cua#uier unción 89 ue sea com,inación #inea# de #as 8]19 )rimeras unciones de #a ami#ia de unciones


*2

considerada. c..d. -as órmu#as de derivación numérica m*s uti#i4adas en #a )r*ctica son eactas de a#'n orden ] )ara #a ami#ia de unciones ormada )or #os monomios es decir: 1  2 ...] ....P. En este tema nos reeriremos en ec#usiva a esta ami#ia de unciones / )or e##o cuando di'amos ue una órmu#a es de orden ] se so,reentender* ue hes de orden ] )ara #a ami#ia de #os monomios es decir ue )ermite estimar sin error a#'uno #a )rimera derivada de cua#uier unción )o#inómica de 'rado menor o i'ua# ue ] en cua#uier )unto . E*e+%o. 'a fórula que se ha utili5ado en eFeplos anteriores consistente en sustituir el lite con el que se dene la derivada por el cociente increental en un soporte de dos puntos consecutivos es una fórula exacta de orden 1. 6n efecto, para la función f(x) % 1 se verica que"

S66GH 66  8 $9 8 9 1 1 6  S89    $ $$ JJ _X 3siiso para la función (x) % x se tiene que"

JJGH S6666_X 66 ' '8 $9 '8 9  $  1 'S89    $ $$ *ero para la función q(x) % x=, en eneral, -a no coincidir el valor de la priera derivada - el valor estiado ediante la fórula de derivación" erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

9

JJGH [_X 22 S6666 666  8 $9 8 9 8 $9  2  $ S89    $ $$ por lo que sólo se puede arar que el error de la fórula es nulo para los


*$

onoios {1, x}. 6n consecuencia, coo se seMaló anteriorente, la fórula es de orden 1.

NOTA. *ara facilitar el seuiiento de todo cuanto hasta aqu se ha dicho, nos heos referido /nicaente a fórulas que periten estiar el valor de la priera derivada de una función. 3nloo trataiento podra reali5arse para las fórulas de derivación nurica que periten estiar derivadas de orden a-or (seundas derivadas, terceras derivadas, etc...). 3 ellas nos referireos en el apartado NO de este tea. *roraación - 8todos uricos erivación urica

! 1, $óru%a# de derivación nu!rica de ti+o inter+o%atorio +ara a+ro
Como se $a comentado en e# a)artado anterior #as órmu#as m*s uti#i4adas en #a )r*ctica se ,uscan de orma ue sean eactas )ara )o#inomios de 'rado menor o i'ua# ue n 8es decir órmu#as de orden de eactitud n9. Una manera natura# de construir órmu#as eactas de orden n consiste en recordar ue e# )o#inomio )n89 ue inter)o#a en e# sentido de -a'ran'e / so,re un so)orte de 8n19 )untos a una unción 89 ue sea )o#inómica de 'rado menor o i'ua# ue n coincide con dic$a unción2. %or e##o es euiva#ente derivar #a unción )o#inómica 89 ue derivar #a su )o#inomio inter)o#ador )n89. A todas #as órmu#as de derivación ue se o,tienen derivando #a e)resión de# )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e se #as denomina órmu#as de derivación de ti)o inter)o#atorio. De&nición 1,-, Se denoina fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio (de "a#ran#e) para aproxiar derivadas de prier orden a cualquier fórula o!tenida derivando una ve5 la expresión del polinoio interpolador de 'arane construido so!re un soporte de (n+1) puntos distintos.

NOTA. B!srvese que en la denición anterior se ha escrito entre parntesis Jde 'araneK. 6n efecto podra pensarse en derivar ta!in la expresión del polinoio interpolador de 4erite o!tenindose otros tipos de fórulas de derivación de tipo interpolatorio. *uesto que nosotros sólo nos vaos a referir a las fórulas que se o!tienen al derivar la expresión del polinoio interpolador


**

de 'arane oitireos en lo sucesivo la coletilla Jde 'araneK sipleente direos fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio.

j Una órmu#a de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio )uede o,tenrse de cua#uiera de #as e)resiones de# )o#inomio inter)o#ador. Recordando #a e)resión de# )o#inomio inter)o#ador en unción de #os )o#inomios de ,ase de -a'ran'e )uede deducirse #a e)resión de #os )esos ue intervienen en dic$a órmu#a. En eecto: = 2ons/ltese, por eFeplo, el tea dedicado a la Interpolación de 'arane ela!orado por 3. 4idalo - 2. 2onde en estos isos apuntes. erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

 Pro+iedad 1,-, 'a condición necesaria - suciente para que la fórula de derivación nurica n @ x$ i i i0 f c.f(x)

  T que sea de tipo interpolatorio es que sus coecientes satisfaan las iualdades" @ ci'i(x$) (i % 0, 1, ..., n) donde se ha denotado por 'i(x) a los (n+1) polinoios de !ase de 'araneH so!re el soporte {x0, x1, ..., xn}.

Deo#tración.

a9 Demostremos en )rimer #u'ar ue si #a órmu#a es de ti)o inter)o#atorio entonces sus )esos satisacen #a re#ación ci  -i89. En eecto #a e)resión deta##ada de# )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e )n89 de una unción 89 so,re e# so)orte de 8n19 )untos 6 1 ... nP en unción de #os 8n19 )o#inomios de ,ase de -a'ran'e  Pn i i 6 - 89  es: n nii i6 89 ) 89 8 9 - 89


*+

  T  de donde en cua#uier )unto  se )uede considerar #a a)roimación: n SS nii i6  S89 ) 89 - 89 8 9   T  Esta órmu#a es una órmu#a de derivación numérica en #a ue sus coe!cientes est*n dados )or #a e)resión: S i i c -89 8i  6 ... n9 ,9 Demostremos ue si #a órmu#a de derivación numérica satisace S i i c -89 8i  6 ... n9 entonces es de ti)o inter)o#atorio. En eecto considerando ue e# )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e de 89 so,re e# so)orte 6 ... nP se )uede e)resar como: )n89   Tn ii i6 8 9Z- 89 se tiene ue si se veri!can #as i'ua#dades consideradas )ara #os coe!cientes: 3 Recuérdese ue: nn i(i( ( 6 ( 6 ( i ( i - 89 8  9 8  9  [[ bb  J   J  fgfg k k 8i  6 1 ... n9 *roraación - 8todos uricos erivación urica

$

89 8 9 8 9  b       fg TTTT


*

nnnnS iiiiiiiin i6i6i6i6 c 8 9 -S 898 9 - 898 9 S - 898 9 )S 89 #o ue demuestra ue e# va#or de #a )rimera derivada en  se a)roima con e# va#or de #a )rimera derivada de# )o#inomio inter)o#ador en . c..d. -a )ro)iedad anterior caracteri4a a #as órmu#as de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio ue )ermiten a)roimar )rimeras derivadas. Adem*s nos )ermite o,tener otras )ro)iedades ue de,en satisacer #os coe!cientes de #as órmu#as de ti)o inter)o#atorio. %or e(em)#o: Pro+iedad 1,/, 6n toda fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio

n S  i i i6  c.89   T se verica que" n i i1 c6  T Deo#tración. %uesto ue se'n #as )ro)iedades de #os )o#inomios de ,ase de -a'ran'e se veri!ca ue: n i i6 - 89 1  T  _  es o,vio ue: nSn S ii i6i6 - 89 - 89 6  b 


*-

fg TT_ En )articu#ar )ara e# )unto  se tendr* ue: nn S ii i6i6 - 89 c 6  T T  c..d. Ocu)émonos a$ora de ana#i4ar e# error en #as órmu#as de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio. Denotando )or l89 a #a unción error de inter)o#ación cometido a# a)roimar una unción 89 )or su )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e )n89 so,re e# so)orte de 8n19 )untos considerado se veri!ca ue: 89  )n89  l89 6 n _X8  9 )or #o ue: Sn  S89) 89lS89 erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

%

#o cua# nos conduce a )oder e)resar e# error en e# )unto  de #a órmu#a de derivación numérica mediante: R89  lS89 En e# caso )articu#ar en ue 89 sea un )o#inomio de 'rado menor o i'ua# ue n se veriicar* ue 89  )n89 / )or tanto l89  6 _  de donde resu#ta ue #a órmu#a de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio construida so,re un so)orte de 8n19 )untos es eacta )ara cua#uier )o#inomio de 'rado menor o i'ua# ue n. En resumen es eacta de orden n. Este $ec$o nos )ermite inc#uir a #as órmu#as de derivación numéricas de ti)o inter)o#atorio en e# con(unto de órmu#as de derivación eactas de orden n. %ero an )uede )recisarse m*s )uesto ue adem*s toda órmu#a eacta de orden n construida so,re un so)orte de 8n19 )untos de,e ser necesariamente de ti)o inter)o#atorio. Este $ec$o se demuestra en e# si'uiente teorema. Teorea 1,-, 'a condición necesaria - suciente para que una fórula de derivación nurica construida so!re un soporte de (n+1) puntos,

n


*

S  i i i6  c.89  T, sea exacta de orden n es que sea de tipo interpolatorio.

Deo#tración:

a9 Demostremos en )rimer #u'ar ue #a condición reco'ida en e# enunciado de# teorema es su!ciente es decir ue si #a órmu#a construida so,re e# so)orte de 8n19 )untos es de ti)o inter)o#atorio entonces es eacta de orden n. %ara e##o ,asta con reca)itu#ar #os ra4onamientos anteriormente rea#i4ados. En eecto si 89 es una unción )o#inómica de 'rado menor o i'ua# ue n su )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e so,re e# so)orte de 8n19 )untos coincide con #a unción / )or tanto: 89  )n89  _ )or #o ue 89  )n89 _ . En )articu#ar )ara cua#uier )unto  se tendr* ue: SS n   S89  ) 89   *roraación - 8todos uricos erivación urica

&

E##o demuestra ue #a órmu#a es eacta sea cua# sea e# )o#inomio 89 de 'rado menor o i'ua# ue n a# ue se a)#iue / e# )unto  en e# ue se a)roime #a )rimera derivada.. En )articu#ar #o ser* cuando se a)#iue a #os 8n19 )rimeros monomios 1  ... nP / )or e##o es eacta de 'rado n. ,9 Demostremos a$ora ue #a condición anterior tam,ién es necesaria es decir ue si #a órmu#a construida so,re e# so)orte de 8n19 )untos es eacta de orden n entonces tiene ue ser de ti)o inter)o#atorio. %ara e##o )artimos de# $ec$o de ue a# ser #a órmu#a eacta de orden n )ara cua#uier unción )o#inómica de 'rado menor o i'ua# ue n )89 se de,e veri!car ue: n ii i6 )S89 c .)8 9  T %or otra )arte )uesto ue $emos considerado ue )89 es un )o#inomio de 'rado menor o i'ua# ue n se veri!car* ue e# )o#inomio inter)o#ador de )89 en e# so)orte de 8n19 )untos coincidir* con )89 / )or tanto )89 se )uede e)resar como: n ii i6 )89 )8 9.- 89

Derivación Numérica  T de donde su )rimera derivada en e# )unto  estar* dada )or: n S ii i6 )S89 - 89.)8 9  T Identi!cando #as dos e)resiones de #a )rimera derivada de )89 en  se tiene ue: nn S iiii i6i6 c .)8 9 - 89.)8 9  T T Esta i'ua#dad de,e ser satisec$a )ara cua#uier )o#inomio )89 ue sea de 'rado menor o i'ua# ue n. %or tanto de,er* veri!carse tam,ién en e# caso de ue consideremos como )89 cua#uiera de #os 8n19 )o#inomios de ,ase de -a'ran'e construidos so,re e# so)orte  Pn i i 6   . Recordemos adem*s ue #os )o#inomios de ,ase de -a'ran'e veri!can: erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

5

i( 6 si i ( - 8 9 1 si i( [ p %or tanto )articu#ari4ando #a i'ua#dad antes o,tenida )ara -689 se tiene ue: nn SS i6ii6i66 i6i6 c.- 8 9 -89.- 8 9 c - 89  T T q  A# $acer#o )ara e# )o#inomio -189 resu#tar* ue: nn SS

*/


+0

i1ii1i11 i6i6 c .- 8 9 - 89.- 8 9 c - 89  T T q   en 'enera# a# )articu#ari4ar )ara cua#uier )o#inomio de ,ase -(89 o,tendremos ue: nn SS i(ii(i(( i6i6 c .- 8 9 - 89.- 8 9 c - 89  T T q  c..d. E*e+%o#. 1O) Si se considera un /nico punto de soporte {x0} el polinoio interpolador de una función f(x) en dicho soporte ser el polinoio" p0(x) % f(x0). 'a ura 1 recoe, Funto al rafo de la función f(x) el rafo de p0(x) - la tanente eotrica a la curva en (x0, f(x0)). 'a pendiente de esta tanente eotrica ser la derivada f#(x0). Piura 1" Interpretación rca del proceso de aproxiación de la derivada priera de una función ediante la fórula de tipo interpolatorio con soporte de un punto. *roraación - 8todos uricos erivación urica

6 6llo nos conducira a que, para cualquier punto x$, la fórula de derivación de tipo interpolatorio de una función con un soporte de un /nico punto es"

SS  S89  )6896 6.86 9 B!viaente esta fórula sólo sera exacta en el caso de derivar constantes (es decir, polinoios de rado 0). =O) Si se considera un soporte de = puntos {x0, x1} el polinoio interpolador de la función f(x) en el sentido de 'arane est dado por"

16 161 6116 ) 89 8 9. 8  9 8 9. 8  9 8  9 8  9 JJ


+1

 JJ 'a derivada de este polinoio es"

S16 161 611616 ) 89 8 9. 1 8 9. 1 8 9 8 9 8  9 8  9 8  9 J  JJJ 3l no depender del punto en el que se eval/e la derivada podeos concluir que para cualquier a!scisa x$ el valor de la priera derivada de la función en ella, f#(x$), se aproxiar ediante"

S16  16 8 9 8 9  S89   J  J 6sta expresión se corresponde con el cociente increental que se utili5ó en los eFeplos de los apartados anteriores. *uede o!servarse que los pesos de la fórula son" c0 % ;1<(x1 E x0) - c1 % 1<(x1 E x0) por lo que su sua se anula. 'a rca de la ura = representa Funto a los rafos del polinoio interpolador - de la función f(x) la tanente eotrica al rafo de f(x) en un punto (x$, f(x$)). erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

7 Piura =" Interpretación rca del proceso de aproxiación de la derivada priera de una función ediante la fórula de tipo interpolatorio con soporte de dos puntos. B!viaente esta fórula de derivación nurica ser exacta so!re cualquier polinoio de rado enor o iual que 1 (es decir so!re lneas rectas).

j Otras re#aciones entre #os )esos / #os )untos de# so)orte de #as órmu#as de


+2

derivación numérica de ti)o inter)o#atorio se reco'en en #a )ro)iedad si'uiente: Pro+iedad 1,1 6n toda fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio

n S  i i i6  c.89   T , construida so!re un soporte de (n+1) puntos, se verica que" 89n LL1 ii i1 c x LQ x$ J

 T  (L % 1, ...n) Deo#tración. %or ser #a órmu#a de ti)o inter)o#atorio es eacta )ara todo )o#inomio de 'rado menor o i'ua# ue n. En )articu#ar #o ser* )ara #a unción 89  ] sea cua# sea e# va#or de# entero )ositivo ] siem)re ue ] Q n. %uesto ue 89  ]Z898] 19 #a eactitud de #a órmu#a im)#ica ue: 89J   Tn ]]1 ii i1 c  ]Z   8 6 Q ] Q n9 c..d. *roraación - 8todos uricos erivación urica

8 ''++, -,-.'/0,1 eustrese que para cualquier función f(x) que sea deriva!le en todo punto del intervalo >x0, x1? siepre existe al/n punto x$ de dicho intervalo para el que la fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio construida so!re el soporte {x0 ,x1} proporciona el valor exacto f #(x$). ótese que, si esto es as, en particular se puede arar que siepre existir al/n punto x$ en el intervalo


+$

>x0, x1? para el que la fórula construida con dos puntos de soporte proporciona el valor exacto de la derivada de xL sea cual sea el valor que le deos al entero no neativo L. R2ontradice esto la aración de que la fórula es de orden 1. 3 la lu5 de este coentario Rno sera s preciso decir que la fórula es de orden innito. erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

9 4, E<+re#ione# de% error de %a# "óru%a# de derivación nu!rica de ti+o inter+o%atorio =ue a+ro
E# )roceso se'uido )ara o,tener #as órmu#as de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio nos conduce de orma natura# a ue e# error de cada órmu#a R89 de derivación as0 determinada es i'ua# a #a )rimera derivada de #a unción de error inter)o#ación l89 )articu#ari4ada en e# )unto  en ue se deriva: R89 lS89 . No o,stante tra,a(ar con #a e)resión de# error de inter)o#ación ue se dedu(o en #os temas dedicados a# estudio de #as técnicas de inter)o#ación+ no es cómodo en muc$as ocasiones. Es )or e##o interesante o,tener otras e)resiones m*s cómodas )ara e# an*#isis de# error de #as órmu#as de derivación numérica. Una )rimera orma de o,tener otra e)resión de# error de derivación numérica se ,asa en uti#i4ar dierencias divididas. %ara e##o como es $a,itua# denotaremos )or G6 1 ... n H a #a dierencia dividida de orden 8n19 de #a unción 89 en #os )untos 6 1 ... n H / consideraremos una unción '89 ue a todo )unto  #e $a'a corres)onder e# va#or: '89  G6 1 ... n H -a )rimera derivada de esta unción estar* dada )or: '89 6 1 n 6 1 n $6$661n #imG  ....  $H G  .... H #imG  ....  $H  8 $9   J  J ue re)resentaremos )or: 6 1 n 'S89  G  .... H M*s concretamente: De&nición -:,4,-, Se dene la diferencia dividida de orden (n+= )de una función en el


+*

soporte {x0, x1, ..., xn, x, x} ediante"

61n 61n dG  .... H G  ... H d   :ecurdese que la expresión o!tenida era"

8n 1 n  i i6 89 89 . 8  9 8n 19    lJ  k donde   era un punto dependiente de la a!scisa x en la que se desea!a estiar el error de interpolación. 6ste error ta!in se poda expresar usando las diferencias divididas coo

n 61ni i6 89 G   ...   H 8  9  l  k J . *roraación - 8todos uricos erivación urica

$!

Con a/uda de #as dierencias divididas con )untos re)etidos ue se aca,an de de!nir / )artiendo de #a e)resión de# error de inter)o#ación ue se o,tuvo a# tra,a(ar con dierencias divididas es senci##o demostrar #a si'uiente )ro)iedad: Pro+iedad 4,-, 'a fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio

n S  i i i6  c.89   T tiene asociado un error de truncatura dado por la expresión G Hn G H nn

Derivación Numérica f01ni01nF i0i0F0 F i : ( x$) f x ,x ,...,x ,x$,x $ . ( x $ x ) f x ,x ,...,x ,x$,x $ . ( x $ x )

 [ b b   J  f f J gg k Tk Deo#tración. asta con )articu#ari4ar en  #a e)resión o,tenida a# derivar una ve4 #a unción de error de inter)o#ación: n 61ni i6 89 G  ... H. 8  9  lkJ c..d. -a e)resión anterior teniendo un interés teórico tam,ién es de di0ci# a)#icación )r*ctica. Es )or eso ue #o ue resta de este a)artado #o dedicaremos a determinar una e)resión de *ci# a)#icación advirtiendo de antemano a# #ector ue m*s ue #a órmu#a ue !na#mente determinemos en #a )r*ctica es e# método ue vamos a se'uir e# ue tiene interés )r*ctico. Consideremos ue 89 es una unción de c#ase Cn1886 n99 / ue )ara a)roimar #a )rimera derivada de #a unción 89 en un )unto  )erteneciente a# interva#o G6  nH se considera #a órmu#a de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio n S  i i i6  c.89   T construida so,re un so)orte de 8n19 )untos distintos 6 Q 1 Q ....Q nP. Adviértase ue )or ser #a órmu#a de ti)o inter)o#atorio a# menos ser* de orden n. E##o en )articu#ar im)#ica ue servir* )ara determinar sin error de truncatura nin'uno #as derivadas de #as unciones 1  2 ... nP. E##o a su ve4 se traduce en ue: nn ] ]S ] 8]19 i i   i i i6i6

++


+

c  8 9 c  ].8 9 J   T   qT   8]  6... n9 erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

$

Denotemos adem*s )or $ a# va#or: $Ma8  J6   Jn9 / sean  Pn i i6 W 8n19 esca#ares de va#or a,so#uto no su)erior a 1 / ta#es ue: i i  W $ %ara cada uno de estos )untos a# $a,er su)uesto #a unción 89 su!cientemente re'u#ar se )uede considerar e# desarro##o en serie de ;a/#or si'uiente: 22nn i i 8n iii 8 9 8  .$9 89 .$. S89 .$ . 89 .... .$ . 89 2 n WW  W  W     n1n1 i 8n 1 i .$ . 8  .$9 8n 19  W  w  %or tanto #a órmu#a de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio considerada )odr* rescri,irse en #a orma: nnn2n S2  i i i i i i i i6i6i6i6  c .8 9 c .89 $. c . . S89 $ . c . . 89 .....    2  bbb      W    W    fgfgfg TTTT  


+-

 b  f W g   W w T T n n n1 n n 8n 8n 19 8n 1 iiiii i6i6 $. c. . 89 $ . c. . 8 .$9 n 8n 19 &im)#i!uemos #a e)resión ue se aca,a de o,tener. E# coe!ciente ue mu#ti)#ica a 89 es nu#o )ues es #a suma de #os )esos de #a órmu#a 8véase #a )ro)iedad 3.2.9. %ara sim)#i!car otros sumandos de #a e)resión uti#i4aremos #as dos )ro)iedades si'uientes: Pro+iedad 4,/, 2on la notación introducida anteriorente - siendo

n S  i i i6  c.89   T una fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio con n T 0, se verica que"

n ii i6 c.1 $ TW Deo#tración. Con #a notación ue estamos uti#i4ando se tiene ue: *roraación - 8todos uricos erivación urica

$$

i i   $ J W de donde: nnnn iiiiiii i6i6i1i6 c . 1. c .8 9 1. c . 1. . c

Derivación Numérica  $ $  $  b W  J   J fg TTTT En esta #tima i'ua#dad se sa,e ue n i i6 c6  T  8véase #a )ro)iedad 3.2.9. %or otra )arte n ii i1 c . T se corres)onde con #a e)resión de #a derivada de# monomio  en e# )unto . %or e##o su va#or ser* 1. En resumen: n ii i6 c . 1 $ T c..d. Pro+iedad 4,1, 2on la notación introducida anteriorente - siendo

n S  i i i6  c.89   T una fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio, con nT1, se verica que"

n ] ii i6 c.6  T W  (L%=,....,n) Deo#tración.

+


+/

Con #a notación ue se est* uti#i4ando / em)#eando #a órmu#a de Neton )ara desarro##ar )otencias de ,inomios? se tiene ue: nnn] ] ] ( 8] (9 ( ii]ii]ii i6i6i6(6 c . 1. c .8 9 1. c . 8 19 . ] . .89 $$( J  b b b   W  J  f f J f g gg TTTT ]n ( ( 8] (9 ]ii ( 6 i 6 1. 8 19. ] .89. c. $( J  b b  b   J     f f g f gg TT A# ser #a órmu#a de ti)o inter)o#atorio ser* eacta )ara cua#uier )o#inomio de 'rado menor o i'ua# ue n. En )articu#ar a# $a,er considerado n x 1 si se toman va#ores de ] ta#es ue 2 Y ] Y n se de,e veri!car )ara todo va#or de# entero ( com)rendido entre 6 / 8]19 ue e# sumatorio n 8] (9 ii i6 c . J T coincide con e# G 2oo es ha!itual, en dicha fórula se utili5a la notación

] ( b  fg para representar a ]

8] J (9.( erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5

Derivación Numérica 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

%$va#or de #a derivada de# monomio 8](9 )articu#ari4ado en e# )unto . Es decir ue: n 8] (9 8 8] (99S 8] ( 19 ii i 6   c . J  J 8] (9.89 J J  y   J z{ T %ara e# caso en ue ( coincida con e# va#or de ] e# sumatorio uedar* n i i6 c T cu/o va#or es nu#o8véase #a )ro)iedad 3.2.9. %or tanto: n ] ii i6 c.  TW 8] 19 ( ( 8] ( 19 ] ( 6 1 . 8 19 . ] .89 .8] (9.89 $( J JJ  bb J   J  ffgg T 8] 19 8] 19 ( ] ( 6 1 .89 . 8 19 .8] (9. ] $( J

0

Derivación Numérica J  b b   J J   f f gg T %uesto ue@ se veri!ca ue: J  b J J   _ | fg T8] 19 ( ( 6 ] 8 19.8] (9. 6 ] 2 ( )uede conc#uirse ue: n ] ii i6 c.6  T W  8]  2 ... n9 c..d. Estas dos )ro)iedades (unto a #a e)resión ue o,tuvimos antes de enunciar#as nos )ermiten demostrar *ci#mente e# si'uiente teorema: Teorea 4,-, ado el soporte de (n+1) puntos x0 D x1 D ... D xn , siendo f(x) una función de clase 2(n+1)((x0 , xn)), siendo x$ un punto del intervalo >x0 , xn?, denotando hi % xi E x$ , por h al valor h % x(Cx$;x0C , Cx$ ; xnC) - por

 Pn i i6 W a los (n+1) escalares tales que hi % iW .$ , para toda fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio"

n S  i i i6  S89  c .8 9  T existen (n+1) valores w i pertenecientes al intervalo >;1 , 1? tales que"

1

Derivación Numérica U 6l lector interesado puede encontrar la deostración en el anexo a este apartado ('ea .=.) *roraación - 8todos uricos erivación urica

$&

89   J  W w Tnn S n 8n 1   i i i i i6 R 89 89  $ . c . .$. 8  .$9 8n 19 Deo#tración. Introduciendo e# resu#tado de #as )ro)iedades +.2. / +.3. en #a e)resión antes o,tenida resu#ta: nnn2n S2  i i i i i i i i6i6i6i6  c .8 9 c .89 $. c . . S89 $ . c . . 89 .....    2  bbb      W    W    fgfgfg TTTT    b  f W g   W w T T n n n1 n n 8n 8n 19 8n 1 iiiii i6i6 $. c. . 89 $ . c. . 8 .$9 n 8n 19  89    W w Tnn n 8n1 iiii i6  S89 $ . c . .$. 8  .$9

2


$

8n 19 c..d. NOTA(. 1V) B!srvese que en el trino del error se ha descopuesto hn+1 en la fora hnQh, deFando sólo coo factor co/n del suatorio hn - expresando en cada uno de los suandos del trino de error W iQh coo hi. 6l otivo de ello es que los coecientes ci de la fórula de derivación dependen en eneral de los valores hi por lo que procediendo de esta anera el trino de error podr expresarse en función de los valores de las derivadas f(n+1(  i) (siendo  i los puntos x$+ w iQh), de hn - de (n+1) constantes } i % ciQ W i nQhi<(n+1)W. 6n los eFeplos del siuiente apartado se ilustrar este hecho. =V) 'a expresión anterior se resue frecuenteente indicando que el error es de orden B(hn). HV) *ara alunas funciones - en alunos puntos se vericar que el trino que ultiplica a la derivada de orden (n+1) en el desarrollo en serie de 7a-lor del que se parta ta!in se anula. 6n dichos casos, si f(x) es lo sucienteente reular, puede apliarse el desarrollo en serie considerado truncndolo en el priero de los trinos que no se anule (que ser posterior a aquel en el que interviene la derivada n;sia). erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

$5 V) 2on todo, coo -a seMaló anteriorente, lo s interesante de esta fora de proceder no es tanto el resultado o!tenido coo el procediiento seuido para deterinar el error de la fórula (co!inando desarrollos en serie de 7a-lor). GV) 2uando el soporte es equidistante los clculos anteriores suelen rehacerse desinando coo h a la distancia entre los puntos del soporte.

j ~a,itua#mente e# error se acota en va#or a,so#uto •R89•. A )artir de# teorema


*

anterior es *ci# o,tener una cota de este error uti#i4ando e# #ema si'uiente: Lea 4,-, Si (x) es una función continua en >a, !? - se consideran (n+1) coecientes positivos,  Pn i i6 ` , - (n+1) puntos  Pn i i6  pertenecientes al intervalo >a, !?, entonces existe un punto  X Ga,H tal que"

 `   `  Tn ii i6 .'8 9 .'8 9 donde

n i i6 `  T` . Deo#tración. Denotemos )or 'm / )or 'M a #os va#ores m0nimo / m*imo ue toma #a unción '89 en Ga ,H. %or ser todos #os coe!cientes )ositivos se veri!ca ue: i m i i i M `.' Y`.'89Y`.' 8i  6 1 ... n9 &umando #as e)resiones anteriores se tiene ue: nnnn imiiiMmiiM i6i6i6i6 .' .'8 9 .' .' .'8 9 .'  T` YT`  YT` q` YT`  Y` q n miiM i6 ' 1. .'8 9 '  qY`Y `T -as desi'ua#dades anteriores (unto a #a $i)ótesis rea#i4ada so,re #a continuidad de #a unción '89 en e# interva#o Ga ,H nos muestran ue )or a)#icación de# teorema de# va#or medio eistir* en Ga ,H a# menos un )unto  )ara e# ue se veriiue ue: *roraación - 8todos uricos erivación urica

$6

nn iiii i6i6 1 . .'8 9 '8 9 .'8 9 .'8 9 


+

`q`` `T T c..d. E# #ema )recedente / e# teorema +.1. nos )ermiten demostrar *ci#mente e# si'uiente teorema: Teorea 4,/, ado el soporte de (n+1) puntos x0 D x1 D .... D xn, siendo f(x) una función de clase 2(n+1)((x0 , xn)), x$ un punto del intervalo >x0 , xn? - denotando por h al valor h % x( Cx$ E x0 C, Cxn E xC), para toda fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio"

n S  i i i6  S89  c .8 9   T existe al/n punto  X G6nH - aluna constante real positiva € para los que se verica" C:f(x$)C Y €.$n.8n189

Deo#tración.

&e'n e# teorema +.1. / uti#i4ando #a misma notación ue en é# se tiene ue: 89nn S n 8n 1   i i i i i6 R 89 89  $ . c . .$ . 8  .$9 8n 19    J  W w T de donde: 89nn S n 8n 1   i i i i i6 R 89 89  $ . c . .$ . 8  .$9 8n 19    J  W w Y T nn n 8n1




iiii i6 $ . c. .$. 8 .$9 8n 19   Y W w T A)#icando e# #ema +.1. 8)ara #a unción '89  •8n189• eva#uada en #os )untos i    wi.$ / con #os coeicientes ì  •ci.Wi n.$i• 9 se )uede conc#uir ue eistir* un va#or X G6  nH )ara e# ue se veri!car* ue: n i i 6 8n 19 8n 1  R 89 .$ .  8 9 8n 19    `‚ Ypƒ  T de donde se tiene e# resu#tado de este teorema sin m*s ue ##amar € a# esca#ar n i i6 1. 8n 19  € ` T c..d. erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

$7

En e# a)artado si'uiente se deducir*n a#'unas órmu#as de derivación numérica / se deta##ar* cómo o,tener #a e)resión de# error ue con e##as se comete. 23'4, 2" 2-202, & Lea 4,/, *ara todo valor entero L superior o iua a = se verica que" ( L 1) F F 0


-

L ( 1) .(L F). 0 L = F

J  b J J   _ | fg T Deo#tración. &e tiene ue: J  bbbb J J   J J   J  J J   fgfgfgfg T T T T 8] 19 ] ] ] ( ( ( ( ( 6 ( 6 ( 6 ( 6 ]]]] 8 19 Z8] (9Z 8 19 Z8] (9Z ]Z 8 19 Z 8 19 Z(Z ( ( ( ( Ana#icemos uti#i4ando #a órmu#a de# ,inomio de Neton< e# )rimero de #os sumandos de# #ado derec$o de esta i'ua#dad:  b J   J   fg T] ( ] ( 6 ] ]Z 8 19 Z ]Z81 19 ]Z6 6 ( Ana#icemos a$ora e# sumando ue ueda en e# #ado derec$o:  b J fg T] ( ( 6 ] 8 19Z(Z ( . %ara e##o )rocederemos )or inducción. %ara e# va#or ]  2 se tiene ue e#

Derivación Numérica sumando anterior tiene e# va#or:  b J    J   fg T2 ( ( 6 2 8 19 Z(Z 1Z 6 Z1 8 19 Z1Z 2 1Z 2 Z1 6 ( Admitamos entonces ue )ara a#'n va#or 8]19 x 2 se veri!ca ue: J  bJ J   fg T8] 19 ( ( 6 ]1 8 19Z(Z 6 ( N :ecurdese que la fórula del !inoio de eXton esta!lece que"

89J  b  fg T] ] 8] (9 ( ( 6 ] a , Za Z, ( *roraación - 8todos uricos erivación urica

$8

/ demostremos ue en ese caso tam,ién se anu#a e# sumatorio )ara e# entero ]. En eecto con esta su)osición:  b J f g J J  J J  J J J  TTTT]]]] ( ( ( ( ( 6 ( 6 ( 1 ( 1 8 19 Z(Z ] 8 19 Z(Z ] 8 19 Z(Z ] 8 19 Z ]




/

( (Z8] (9 (Z8] (9 8( 19Z8] (9  JJbJ  J J J  J J J  J f g TTT]]] ( ( ( ( 1 ( 6 ( 6 ]Z 8 19 Z 8] 19 ]Z 8 19 Z 8] 19 ]Z 8 19 Z ] 1 6 8( 19Z8] (9 (Z8] ( 19 ( %or tanto: J  bbb JJJJJJ fgfgfg T T T 8] 19 ] ] ( ( ( ( 6 ( 6 ( 6 ]]] 8 19 Z8] (9Z ]Z 8 19 Z 8 19 Z(Z 6 6 6 ( ( ( c..d. erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

$9 5, A%)una# "óru%a# de derivación nu!rica de ti+o inter+o%atorio u#ua%e# +ara a+ro
&i se considera e# so)orte 6  1P / una unción 89 de #a ue se conoce su va#or en #os )untos de# so)orte e# )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e de ta# unción so,re e# so)orte esco'ido est* dado )or: 16 61 6116 )89 8 9. 8  9 8 9. 8  9 8  9 8  9 JJ  JJ %or tanto #a e)resión de #a órmu#a ue )ermite a)roimar 89 se o,tendr* derivando #a e)resión de este )o#inomio de manera ue: S 6161


-0

61161616  S89  )S89 1 .8 9 1 .8 9 1 .8 9 1 .8 9 8  9 8  9 8  9 8  9 J  JJJJ Es $a,itua# en este caso denotar )or ~ a #a distancia entre )untos: ~  81 „ 69 con #o ue #a órmu#a anterior )uede e)resarse como: S  6 1 89  1.8 9 1.8 9 ~~ J  siendo #os coe!cientes de #a órmu#a c6  81 … ~9 / c1  81 … ~9. NOTA(. 1V) B!srvese que la fórula o!tenida coincide con el cociente increental que nos sirvió para ilustrar las fórulas de derivación nurica en la introducción a este tea (apartado 1O). =V) 6n la o!tención de esta fórula se ha partido de la expresión del polinoio interpolador que utili5a los polinoios de !ase de 'arane. 2ualquier otra expresión del polinoio interpolador nos hu!iese conducido a idntico resultado pues el polinoio interpolador de 'arane, so!re un soporte dado, es el iso se utilice el todo que se utilice para deterinarlo. 3s por eFeplo si se hu!iera partido de la fórula de eXton en diferencias divididas" p(x) % f(x0) + f>x0, x1?.(x;x0) *roraación - 8todos uricos erivación urica

%! que al derivarlo, teniendo en cuenta la expresión de la diferencia dividida nos proporciona" p#(x) % f>x0, x1?.(x;x0) % 1 6

6 16 8 9 8 9 .8  9  J J J

Derivación Numérica por lo que particulari5ando esta expresión en el punto x % x$ - denotando por 4 a la distancia entre puntos se tiene nalente que"

S  6 1 89  )S89 1.8 9 1.8 9 ~~ J  6n este caso, al ha!er sólo dos puntos de soporte, se puede considerar el soporte equidistante - podran ha!erse utili5ado las expresiones del polinoio interpolador en diferencias nitas (centradas, reresivas o proresivas) o!tenindose la isa fórula. Se deFa el desarrollo detallado de estos casos coo eFercicio propuesto al lector. HV) 'a ura =V representada anteriorente (ver apartado HO) recoe la interpretación rca de este proceso de aproxiación.

j -a e)resión de# error de esta órmu#a admitiendo #a $i)ótesis de ue 89 sea de c#ase C2 886  199 / ue  )ertene4ca a G6 H )uede o,tenerse sin m*s ue denotar )or $ a# va#or $  m*8•6 „ • •1 „ •9 / considerando entonces ue: 6    6 W .$ 1    1W .$ )or #o ue: S    c6.869  c1.819  8 9 1 6 1 . 8 9 8 9 ~ J8916 1. 8 .$9 8 .$9 ~ W J W  22 111 1. 89 .$. S891. .$ . 8  .$9 ~2 †   W  W w J ‡ˆ 22 666 89 .$. S89 1. .$ . 8  .$9 2 y J JW J W w  z{  1 6.$. S89 ~

-1


-2

WJW 2222 1166 1 .$ . 8  .$9 1 .$ . 8  .$9 2.~ 2.~ W w J W w   1 6 1.   .$. S89 ~$ bJ  fg 2222 1166 1 .$ . 8  .$9 1 .$ . 8  .$9 2.~ 2.~ W w J W w   89  8 9 2 22 1166 $ . .8 .$9 .8 .$9 2.~ W w JW w erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

%

%uesto ue ~ se )odr* e)resar como }.$ con 8} x 19 resu#tar* ina#mente a)#icando e# #ema +.1. ue: R89  $ . 2.}82 2 9 1 1 6 6 W. 8 w.$9JW. 8 w.$9  €.$. 89 En e# caso de ser  un )unto cua#uiera e# orden de# error de #a órmu#a de derivación numérica es 68$9 donde $ re)resenta #a ma/or de #as distancias de# )unto  a #os etremos de# interva#o. M*s recuente an ue #a e)resión de# error anterior es #a ue se o,tiene a# e)resar dic$a órmu#a en unción de #a distancia entre #os )untos de# so)orte 8~9. "*ci#mente se o,tiene esta nueva e)resión sin m*s ue considerar ue $  ‰.~ 8con Š Q ‰ Q 19 )or #o ue #a e)resión de# error ueda en e# caso m*s 'enera# en #a orma: R89  ‹.~.89 -a órmu#a de derivación con dos )untos de so)orte sue#e uti#i4arse cuando  es uno de #os )untos etremos de# interva#o o e# )unto medio de# mismo 8caso este #timo en e# ue e# orden de# error de #a órmu#a se incrementa en una unidad9. A continuación se desarro##an estos casos )articu#ares de #a órmu#a

Derivación Numérica de derivación con un so)orte de dos )untos. 5 asos particulares 3) 2aso en el que x$ % x0

En este caso $  ~ 6 W  6 / 1 W  1 / #a órmu#a se )uede escri,ir en #a orma: S   8  $9 89 $ J  denomin*ndose ha)roimación mediante #a dierencia !nita )ro'resiva de )rimer orden 8o en ade#anto9. E# error de esta órmu#a si 89 es su!cientemente re'u#ar )uede o,tenerse )articu#ari4ando en #a e)resión antes o,tenida resu#tando: S   R 89 89  $. 8  .$9 2  J J w w XG61H %or tanto en este caso #a órmu#a es eacta de orden 1. *roraación - 8todos uricos erivación urica

%$ 3,021 3l iso resultado so!re el error se lleara sin s que considerar que" f(x$+h) % f(x$) + h.f#(x$) + (h=< =).fK(x$) + ..... de donde" f#(x$) % S

 8  $9 89 1.$. 89 ....  1.$. 89 .... $22 J JJJJ Y) 2aso en el que x$ % x1

En este caso $  ~ 6 W  J1 / 1 W  1 / #a órmu#a se )uede escri,ir en #a orma: S   89 8  $9 $ JJ  denomin*ndose ha)roimación mediante #a dierencia !nita re'resiva de )rimer orden 8o en retroceso o u)ind9. E# error de esta órmu#a si 89 es su!cientemente re'u#ar )uede o,tenerse )articu#ari4ando en #a e)resión antes o,tenida resu#tando: S  

-$

Derivación Numérica R 89 89  $. 8  .$9 2  J  Jw w XG61H %or tanto en este caso #a órmu#a es eacta de orden 1. 3,021 3l iso resultado so!re el error se lleara sin s que considerar que" f(x$;h) % f(x$) ; h.f#(x$) + (h=< =).fK(x$) ; ..... de donde" f#(x$) % S

 89 8  $9 1.$. 89 ....  1.$. 89 .... $22 JJ JJ 2) 2aso en que x$ es el punto edio del intervalo" x$ % (x0 + x1) < =

En este caso $  ~…2 6 W  J1 / 1 W  1 )udiéndose rescri,ir #a órmu#a de derivación numérica en #a orma: S   8  $9 8  $9 2.$ JJ  erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

%%

denomin*ndose ha)roimación mediante #a dierencia !nita centrada de )rimer orden. E# error de esta órmu#a si 89 es su!cientemente re'u#ar )uede o,tenerse en un )rimer intento )articu#ari4ando en #a e)resión antes o,tenida resu#tando: S89   1 6 R 89 89  $ .  8  .$9  8  .$9 +  J  w J Jw G H 6 1 ww X61 No o,stante #a e)resión anterior nos de(a con #a duda de si no )odr*n anu#arse m*s términos de# desarro##o en serie de ;a/#or a )artir de# cua# se o,tuvo #a e)resión de# error. En eecto en este caso si se admite ue 89 es su!cientemente re'u#ar se )odr0an considerar #os desarro##os en serie de ;a/#or de 89 con m*s términos ue #os antes )#anteados es decir: 869  8$9  89 „ $.89  8Š9.$289  3+ $. SSS89 $.8iv 89 .... @ 2+ J 819  8$9  89  $.89  8Š9.$289 

-*


-+

3+ $. SSS89 $.8iv 89 .... @ 2+  )or #o ue: 8$9 „ 8$9  2.$.89  3? $. SSS89 $.8v 89 ... 3 @6  de donde: 2+ S 8v   8  $9 8  $9  S89 $ . SSS89 $ . 89 .... 2.$ @ 126 JJ  / )or tanto: R89  89  2+ S 8v   $. SSS89 $ . 89 .... @ 126 J J J En resumen si 89 es de c#ase C3886 199 )uede a!rmarse en este caso ue: 2  R 89 $ . SSS8 $9 @  J w w XG61H )or #o ue en este caso #a órmu#a es eacta de orden 2. 5$ órmula con tres puntos de soporte &ea a$ora e# so)orte de tres )untos 6 Q 1 Q 2 / consideremos un )unto  )erteneciente a# interva#o G6 2H. &ea adem*s 89 una unción de #a ue se conocen sus va#ores en #os )untos de# so)orte. E# )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e de 89 so,re este so)orte )uede e)resarse uti#i4ando #a órmu#a de Neton en dierencias divididas mediante: *roraación - 8todos uricos erivación urica

%&

)289  869  G6 1H.8  69  G6  1 2H.8 „ 69.8 „ 19 )or #o ue: )289  G6 1H G6  1 2H.88 „ 69  8 „ 199


-

#o ue nos conduce a ue #a órmu#a de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio con este so)orte est* dada )or: 89 S S FFFFFFFFFF )289  G6 1H G6  1 2H.88 „ 69  8 „ 199 NOTA(. 1V) 6n este caso se ha utili5ado la fórula de eXton del polinoio interpolador para inferir a partir de ella la fórula de derivación de tipo interpolatorio. *uesto que, so!re un soporte dado, el polinoio interpolador de 'arane es /nico podran ha!erse utili5ado otras expresiones de este polinoio para o!tener el iso resultado. o o!stante es cóodo utili5ar la fórula de eXton en el caso eneral para no o!tener expresiones que, desarrolladas, quedan u- JaparatosasK sin aportar nada para nuestros propósitos. =V) 6n la expresión anterior pueden sustituirse las diferencias divididas que intervienen por sus expresiones respectivasZ. 6llo hace que la fórula toe un aspecto s JenorrosoK para su anipulación. HV) 6n el sentido de lo expresado en la priera de estas JnotasK el polinoio interpolador podra ha!erse expresado en la fora" p=(x) % f(x0).'0(x) + f(x1).'1(x) + f(x=).'=(x) con"

12 6 6162 - 89 8  9.8  9 8  9.8  9 JJ  JJ ,62 1 1612 8  9.8  9 - 89 8  9.8  9 JJ  JJ ,61 2 2621 8  9.8  9 - 89 8  9.8  9

Derivación Numérica JJ  JJ Z :ecurdese que" G H J

 J 10 01 10 f(x)f(x) f x ,x x x ,GH=1 1= =1 f(x)f(x) f x ,x x x

J  J -

GH1=01 01= =0 f > x ,x ? f > x ,x ? f x , x , x x x

J  J erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

%5 para as o!tener la isa fórula de derivación nurica pero ahora con la expresión

SSSSS  2 6 6 1 1 2 2 89  ) 89 - 89.   8 9- 89.8 9- 89.8 9 6n esta /ltia expresión los coecientes de la fórula aparecen de fora s explcita - toan la expresión" c0 S 1 2

6 6162 - 89 8   9 8   9

--


-

8  9.8  9 JJ  JJ , c1

62 1 1612 8   9 8   9 - 89 8  9.8  9 JJ  JJ c= 6 1 2 2621 8   9 8   9 - 89 8  9.8  9 JJ  JJ V) 'a interpretación rca del proceso de derivación nurica seuido con esta fórula consiste en sustituir la tanente trionotrica del nulo forado entre el eFe de a!scisas - la tanente eotrica al rafo de f(x) en el punto (x$, f(x$)) por la tanente trionotrica del nulo forado entre el eFe de a!scisas - la tanente eotrica en el punto (x$, p=(x$)) al rafo de la par!ola p=(x) que pasa por por los puntos (x0 , f(x0)), (x1 , f(x1)) - (x= , f(x=)). 'a ura H ilustra este proceso.

j Piura H" Interpretación rca del proceso de derivación nurica seuido con una fórula de tipo interpolatorio con tres puntos de soporte. *roraación - 8todos uricos erivación urica

%6

En #o ue se re!ere a# error de truncatura de esta órmu#a su e)resión )uede acotarse si XC3886  199 uti#i4ando e# teorema +.2. mediante: 2 SSS R89 Y€.$ .  89 -os casos de a)#icación m*s t0)icos )ara esta órmu#a de derivación numérica


-/

son aue##os en #os ue e# )unto  coincide con uno de #os )untos de# so)orte siendo adem*s e# so)orte euidistante. A continuación se ana#i4an con deta##e estas situaciones. 5$ asos particulares con soporte euidistante En este caso denotando )or ~ a #a distancia entre )untos consecutivos de# so)orte #as dierencias divididas ue intervienen en #a órmu#a )ueden ser e)resadas mediante: 16 61 8 9 8 9 G  H ~ J 216 6122 8 9 2.8 9 8 9 G   H 2.~ J  )or #o ue #a órmu#a de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio se convierte en: S 1 6 2 1 6  2 6 1  S89  8 9 8 9 8 9 2.8 9 8 9.88  9 8   99 ~ 2.~ JJ JJ 3) 2aso de soporte soporte equidistante en el que x$ % x0 x0

&i se toma como )unto  e# etremo i4uierdo de# so)orte se tiene ue: 6   1    ~ / 2    2.~. Con e##o 8  69  6 / 8  19  ~ )or #o ue: 6 1 2 ~~ erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

%7

S16216   S89  8 9 8 9 8 9 2.8 9 8 9 ~ 2.~ JJ J


0

2 1 6 8 9 +.8 9 3.8 9 8  2.~9 +.8  ~9 3.89 2.~ 2.~ JJJJ  -a órmu#a anterior se conoce con e# nom,re de órmu#a de derivación numérica en dierencias )ro'resivas de se'undo orden. &i se admite ue 89 es una unción su!cientemente mente re'u#ar e# error de derivación )uede o,tenerse *ci#mente com,inando #os desarro##os en serie de ;a/#or: 8  2.~9  89  2.~.89 2.~2.89  8=…@9.~3.89  Œ 8  ~9  89  ~.89  8Š 9 ~2.89  81…@9.~3.89 ... )or #o ue: 82.~9  +.8~9 „ 3.89  2.~.89 „ 82…39.~3.89 82…39.~3.89  Œ. de donde: 89 8  2.~9 +.8  ~9 3.89 1.~2. SSS89 .... 2.~ 3 JJ  )udiéndose conc#uir ue si 89 es a# menos de c#ase C3886  199 entonces: R89  89 „    81…39.~2.89 Y) 2aso de soporte equidistante en el que x$ % x1

&i se toma como )unto  e# )unto medio de# so)orte se tiene ue: 6    ~ 1   / 2    ~. Con e##o 8  69  ~ / 8  19  6 )or #o ue: S1621626   S89  8 9 8 9 8 9 2.8 9 8 9 8 9 8 9 ~ 2.~ 2.~ JJJ  8  ~9 8  ~9 2.~ JJ  *roraación - 8todos uricos erivación urica

%8

órmu#a ue coincide con #a ue se o,tuvo a# uti#i4ar un so)orte de 2 )untos / a)roimar #a derivada en e# )unto medio de e##os. 2) 2aso de soporte equidistante en el que x$ % x=

&i se toma como )unto  e# )unto derec$o de# so)orte se tiene ue: 6    2.~ 1   ~ / 2  . Con e##o 869  2.~ / 819  ~ )or #o ue: S16216  2  S89  8 9 8 9 8 9 2.8 9 8 9.83.~9 ~ 2.~


1

JJ  2 1 6 3.8 9 +.8 9 8 9 3.89 +.8  ~9 8  2.~9 2.~ 2.~ JJJJ  e)resión ue se conoce como órmu#a de derivación numérica en derivadas re'resivas de se'undo orden. &i 89 es su!cientemente re'u#ar )ueden com,inarse #os desarro##os en serie de ;a/#or: 8  2.~9  89  2.~.89 2.~2.89  8=…@9.~3.89  Œ 8  ~9  89  ~.89  8Š 9 ~2.89  81…@9.~3.89 ... o,teniendo: 3.89 „ +.8~9  82.~9  2.~.89 „ 82…39.~3.89  .... de donde si 89 es a# menos de c#ase C3886 29 se o,tiene ue: R89  89 „    81…39.~2.89 erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

%9 6, Otro# !todo# +ara %a o7tención de "óru%a# de derivación nu!rica de ti+o inter+o%atorio, 6,-, Mediante %a co7inación de de#arro%%o# en #erie de Ta>%or,

E# )roceso se'uido en e# a)artado +K )ara determinar e# error de derivación numérica muestra otra manera de ca#cu#ar #as órmu#as de derivación. En eecto una a#ternativa a# )roceso de o,tención de órmu#as de derivación numérica mediante e# c*#cu#o de #a )rimera derivada de# )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e de #a unción 89 en #os 8n19 )untos de# so)orte consiste en com,inar #os desarro##os de ;a/#or en torno a# )unto  de 869 819 ... 8n9 ,uscando ue en dic$a com,inación se anu#en e# ma/or nmero )osi,#e de #os )rimeros términos sa#vo o,viamente e# ue mu#ti)#ica a 89. Des)e(ando des)ués 89 de esta com,inación se o,tendr* #a órmu#a de derivación / e# término de error. De orma m*s deta##ada si se denota )or $i  i „  8i  6 .. n9 / se admite ue 89 )osee #a re'u#aridad necesaria se )uede escri,ir ue: 8i9  8$i9  89  $iZ89      23] i i i 8] $Z 89 $Z SSS89 .... $ Z 89 .... 2 3 ] %or #o ue:


2

 bbb `  `  `    `   fgfgfg TTTTnnnn 2 iiiiiii i6i6i6i6 Z8 9 Z89 Z$ Z S89 1 Z$ Z 89 2  bb `` fgfg TTnn 3 ]8] iiii i6i6 1 Z$ Z SSS89 ....1 Z$ Z 89 ... 3 ] 819 &i se desea ue #a órmu#a de derivación sea de# ma/or orden )osi,#e de,e ,uscarse ue sa#vo e# coe!ciente de 89 se anu#en e# ma/or nmero de #os )rimeros sumandos de# desarro##o anterior. Esto es ue:  `  Tn i i6 6  `  Tn 2 ii i6 Z$ 6 .........  `  Tn ] ii i6 Z$ 6 En 'enera# e# nmero de ecuaciones ue as0 se )ueden ormar es de n ecuaciones uedando un sistema con 8n19 incó'nitas 8`6 ... `n9 / tan só#o n ecuaciones. E##o es de,ido a ue con e# coe!ciente de 89 se de,e a5adir #a


$

inecuación  ` [ Tn ii i6 Z$ 6 . *roraación - 8todos uricos erivación urica

&!

%or e##o #os coeicientes 8`6 ... `n9 ue se determinen mediante #a reso#ución de# sistema:  `  Tn i i6 6  `  Tn 2 ii i6 Z$ 6 ........  `  Tn n ii i6 Z$ 6 uedar*n en unción de# va#or ue #i,remente se #e asi'ne a uno de e##os. En todo caso una ve4 ca#cu#ados estos coe!cientes denotando )or  `  ` Tn ii i6 Z$ se tendr* ue #os coe!cientes de #a órmu#a de derivación se o,tienen mediante: ci  ì … ` 8i  6 ... n9 / ue de# )rimer término ue no se $a/a )odido anu#ar en #a e)resión 819 se )odr* inerir *ci#mente #a e)resión de# error de derivación. I#ustremos estos etremos con un e(em)#o. ':emplo1 eterineos la fórula de derivación nurica del a-or orden de exactitud posi!le que perite calcular el valor aproxiado de f#(x$) usando un soporte de


*

la fora" {x0 % x$ ; =Qh, x1 % x$ ; ([)Qh, x= % x$ + ([)Qh, xH % x$ + (H<=)Qh} donde h es un valor real estrictaente positivo. *ara ello, si suponeos que f(x) es sucienteente reular en (x0, xH) podeos considerar los desarrollos en serie de 7a-lor" f(x$;=Qh) %f(x$) E=QhQf#(x$) + J 

+Z$2Z 89 =Z$3Z SSS89 2@ J + 1@Z$ Z8iv 89 2+ J ? 32Z$ Z8v 89 ... 126 f(x$;([)Qh) %f(x$) E 1Z 2 hQf#(x$) + J  $2Z 89 $3Z SSS89 = += J + $ Z8iv 89 3=+ J ? $ Z8v 89 ... 3=+6 erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

& f(x$+([)Qh) %f(x$) + 1Z

2 hQf#(x$) +  

$2Z 89 $3Z SSS89 = +=  + $ Z8iv 89 3=+  ? $ Z8v 89 ... 3=+6

Derivación Numérica f(x$+ 3

2 Qh) %f(x$) + 3Z

2 hQf#(x$) +  

>Z$2Z 89 21Z$ Z8iv 89 3=+  ? 2<3Z$ Z8v 89 ... 3=+6 de donde"

` J ` J `  `   6 1 2 3 Z8  2Z$9 Z8  1Z$9 Z8  1Z$9 Z8  3Z$9 222 8`  `  `  ` 9  6 1 2 3Z89 bJ ` J `  `  `  fg6123 2Z 1Z 1Z 3Z Z$Z S89 222 b `  `  `  `  fg 2 6123 2Z 1Z 1Z >Z Z$ Z 89 === bJ ` J `  `  `  fg 3 6123 =. 1Z 1Z 21Z Z$Z89 2+ 3=+ 3=+ 3=+ bJ ` J `  `  `  fg ? 8v 6123 32 . 1 Z 1 Z 2<3 Z Z$ Z 89 ....

+




126 3=+6 3=+6 3=+6 Si se desea que la fórula tena el a-or orden posi!le se o!liar a que"

````61236 6123 2Z 1Z 1Z >Z 6 === ```` 6123 =. 1Z 1Z 2
&$ de donde\, deFando coo incónita li!re `1, se tiene"

612131 =Z  @@Z  3Z +?? @? >1 JJ `````` Si se asina a `1 el valor `1 % 1 se tiene que" 6123 = 1 @@  3 +?? @? >1 JJ ```` *ara estos valores de los coecientes ` i, se tiene entonces que la co!inación de desarrollo en serie de 7a-lor antes o!tenida se convierte en"

=Z8  2Z$9 8 1Z$9 @@Z8  1Z$9 3 Z8  3Z$9 +?? 2 @? 2 >1 2 JJJJ  J12Z$Z S89 J 1 Z$+Z8iv89  .... 13 26= por lo que" f#(x$) % 8 9 8 $9 8 $9 8 3Z$ 9

222 1Z 2 Z   2Z$ 13Z   11Z   1 Z   $ 16? 12 16 2= b J J J   J   fg ;

J 1 Z$3Z8iv89..... 1>2 e esta iualdad se inere que la fórula !uscada es"

8 9 8 $9 8 $9 8 3Z$ 9 222  S89  S 1Z 2 Z   2Z$ 13Z   11Z   1Z  


-

$ 16? 12 16 2=  b J J J   J   fg - que con ella, si f X2((x$;=Qh, x$+HQh<=)), se coete un error dado por" J 3 8iv   R 89 1 Z$ Z 8 9 1>2 para al/n valor X(x$;=Qh, x$+HQh<=). 6s decir un error de orden H. \ B!srvese que si al sistea anterior se le aMadiese la ecuación procedente de o!liar a que se anulase el coeciente de f###(x$) se tendra un sistea que sólo adite la solución trivial `0 % % `1 % `= % `H % 0. erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

&% 6,/, M

odo de coe&ciente# indeterinado#,

Este método de determinación de órmu#as de derivación de ti)o inter)o#atorio so)ortadas en 8n19 )untos se ,asa en ue se'n e# teorema 3.1. toda órmu#a de ta# ti)o de,e ser eacta )ara #os monomios 1  ... nP. %or tanto si se ,usca una órmu#a con e)resión:   Tn ii i6  S89  S c 8 9  su a)#icación a cada uno de #os 8n19 monomios ] 86 Q ] Q n9 nos conduce a ue:   Tn i i6 c6 89J   Tn ] 8] 19 ii i6 c  ]Z   8]  1 ... n9 es decir a# sistema: 89J † y    ‡ z   




‡‡ zz ‚   ‚ ‡ z    ‡ z    ‡ˆ z{p ƒ p ƒ 6 612n1 2222 612n2 n n n n 8n 19 612nn 1 1 1 ... 1 c 6    ...  c 1    ...  c 2  ... ... ... ... ... ... ...    ...  c n  &i #os 8n19 )untos de# so)orte son dierentes )uede ase'urarse ue e# sistema anterior es com)ati,#e determinado. &u reso#ución )ro)orciona #os )esos de #a órmu#a de derivación ,uscada. &iendo h$ un va#or estrictamente )ositivo en unción de# cua# se )uedan escri,ir )ara va#ores convenientes de }i 8i  6 ...n9 #os )untos de# so)orte en #a orma i    }i$ e# sistema anterior )uede sim)#iicarse si en #u'ar de a)#icar #a órmu#a a #os monomios 1  ... nP se a)#ica a #os )o#inomios:  1 89 892 .... 89nP En eecto #a a)#icación de #a órmu#a a 89  1 conduce a ue:   Tn i i6 c6 &i n x 6 su a)#icación a 89  8 „ 9 )ro)orciona #a ecuación:  T }  qT }  n n iiii i6i6 c$1c1 $ *roraación - 8todos uricos erivación urica

&&

 si n x 1  )ara va#ores de# e)onente menores o i'ua#es ue n se tiene ue: 89J  J T } qT }  n n 8] 19 ] ] ]


/

iiii i6i6 ]   c $ c 6 En resumen #os coe!cientes de #a órmu#a de ti)o inter)o#atorio se o,tienen reso#viendo e# sistema: † y    ‡‡‡}} }} }} }}zzz ‚   ‚ ‡ z    ‡ z    ‡ˆ} } } }z{p ƒ p ƒ 6 1 612n1$ 2222 612n2 nnnn 612nn 1 1 1 ... 1 c 6 ... c ... c 6 ... ... ... ... ... ... ... ... c 6 Una ve4 determinada #a órmu#a su error )uede tam,ién ser ca#cu#ado si se ,usca en #a orma R89  ŽZ$8m19Z8m89 a)#ic*ndo#o a# )rimer ,inomio 8 9m 8cu/a derivada mésima es una constante no nu#a9 )ara e# ue #a órmu#a de(a de ser eacta 8$ec$o ue tendr* #u'ar )ara m x n9. I#ustremos esta orma de )roceder o,teniendo nuevamente #a órmu#a de derivación numérica $a##ada en e# su,a)artado anterior mediante com,inaciones de desarro##os en serie de ;a/#or. ':emplo1 eterineos la fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio que perite calcular el valor aproxiado de f#(x$) usando un soporte de la fora" {x0 % x$ ; =Qh, x1 % x$ ; ([)Qh, x= % x$ + ([)Qh, xH % x$ + (H<=)Qh} donde h es un valor real estrictaente positivo.

&e'n se $a visto anteriormente #os coe!cientes de #a órmu#a se )ueden o,tener reso#viendo e# sistema: J J † y    ‡‡‡‡ˆJJ zzzz{p ƒ‚  p ƒ‚ 6 1131 2221$

Derivación Numérica 11> +++2 1 1 2< ===3 1111c6 2c +c6 =c6 o e#iminando denominadores e# sistema euiva#ente: erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

&5

† y    ‡‡‡‡ˆJJ JJ zzzz{p ƒ‚  p ƒ‚ 6 2 1$ 2 3 1111c6 +113c 1@ 1 1 > c 6 @+ 1 1 2< c 6 -a so#ución de# sistema anterior nos )ro)orciona #os va#ores: JJ 612+ c 2c 13c 11c 1 16?Z$ 12Z$ 16Z$ 2=Z$ %ara determinar e# error de #a órmu#a consideraremos #a unción 89  8 9+. -a )rimera derivada de dic$a unción en  es: 89  +.893  6 siendo e# va#or a)roimado dado )or #a órmu#a: J 8 9 8 9 b J J  J  fg S+1+1+3+3 222  1 2 82$9 138 $9 11 $ 1 $ 1$ $ 16? 12 16 2= = )or #o ue J  J  J J + 3 S3 8 9  R 89  S89  6 $ 1$ == . &i se ,usca e# error en #a

/0


/1

orma:  3 8iv  R 89 Ž$  89 )ara #a unción considerada 8cu/a cuarta derivada es: 8iv89  2+9 se tiene ue: Ž  1…1>2 En resumen #a órmu#a ,uscada es: b J J J  8  9J 8  9 fg S113 222  1 2 8  2$9 13 8  $9 11   $ 1    $ $ 16? 12 16 2= / e# error de derivación numérica est* dado )or: J  3 8iv   R 89 1 $  8 9 1>2 *roraación - 8todos uricos erivación urica

&6 E*ercicio +ro+ue#to.

a9 &iendo $ un )ar*metro estrictamente )ositivo determinar #a órmu#a de derivación numérica ue )ermite a)roimar e# va#or de 89 so,re e# so)orte: 6   $ 1    2$ / 2    8? 9 2 $. &u)oniendo ue 89 es su!cientemente re'u#ar en e# interva#o G 2H determ0nese tam,ién #a e)resión de su error e ind0uese #a re'u#aridad ue se #e de,e ei'ir a 89 )ara ue dic$a e)resión sea v*#ida. O,tén'ase #a órmu#a )edida / su error: i9 Derivando e# corres)ondiente )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e ii9 Com,inando desarro##os en serie de ;a/#or / iii9 Mediante e# método de coe!cientes indeterminados. ,9 A)#0uese #a órmu#a o,tenida en e# a)artado anterior a #a o,tención de un va#or a)roimado de #a )rimera derivada de #a unción 89  ecos89 con #os si'uientes va#ores de $: $6  6.1 $1  6.61 $2  6.661 $3  6.6661 / $+  6.66661. Rea#0cense #os c*#cu#os en coma otante usando mantisas con ? decima#es si'ni!cativos. c9 O,tén'ase una cota de# error de derivación numérica v*#ida en e# interva#o G 2H )ara #a unción considerada en e# a)artado anterior. E# error rea#mente cometido es en todos #os casos inerior a #a cota $a##ada‘ &i no #o uese (usti0uese e# motivo. erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

&7


/2

8, $u%a# de derivaci nu ica de ti+o inter+o%atorio +ara %a a+ro
-os métodos de o,tención de órmu#as numéricas )ara a)roimar )rimeras derivadas )ueden etenderse *ci#mente )ara deducir órmu#as de derivación numérica ue )ermitan a)roimar derivadas de orden su)erior a# )rimero. Destinaremos este a)artado a descri,ir este )roceso con deta##e. &ea 89 una unción ] veces deriva,#e en un cierto interva#o I de #a recta rea# / sea  un )unto de dic$o interva#o. Consideremos adem*s un so)orte de 8n19 )untos 6 1 ... nP de# interva#o I en e# ue se su)onen conocidos #os va#ores de #a unción 89. %or sim)#icidad su)ondremos ue #os )untos de# so)orte son todos e##os distintos / est*n ordenados de menor a ma/or es decir ue: 6 Q 1 Q ... Q n. De&nici 8,-, Siendo f(x) una función de la que se conocen sus valores en el soporte de (n+1) puntos {x0 , x1, ...., xn} del intervalo I, se denoina fórmula de

derivación numérica para aproximar el valor de la k;ésima derivada f(k(x) en el punto x* so
n ii i6 c .8 9 T donde c0, c1, &, cn son (n+1) escalares denoinados coecientes (o pesos ) de la fórula de derivación.

NOTA. 'a fórula de derivación que se aca!a de denir puede decirse que es una fórula laraniana pues en ella sólo intervienen valores de la función f en los puntos del soporte. *odran considerarse fórulas s enerales, heritianas, en las que el valor de f(L(x$) fuese aproxiado a partir del valor de la función f - de alunas de sus derivadas en los puntos del soporte. o o!stante, estas /ltias fórulas tienen un uso ucho s espordico que las de tipo laraniano - es por ello que nos liitareos a considerar coo fórulas de derivación nurica tan sólo a las que hacen intervenir los valores de l a función en los puntos del soporte.


/$

*roraación - 8todos uricos erivación urica

&8

En 'enera# e# va#or a)roimado 8]   / e# va#or eacto 8]89 dierir*n cometiéndose un error en #a a)roimación de 8] 89. Es )or e##o ue (unto a #a de!nición anterior conviene )recisar #a de!nición de# error ue con #a órmu#a se comete. En este sentido se introduce #a si'uiente de!nición: De&nici 8,/, Siendo 8]   la aproxiación de f(L(x$) que se o!tiene operando sin error de redondeo se/n la fórula de derivación nurica" f(L(x$)  8] %

n ii i6 c .8 9 T se denoina error de truncamiento de la fórula en el punto x$ al valor :f(x$) % f (L(x$) ; 8]

  O,viamente se veri!car* ue: 8] 8]  89  R89 )or #o ue considerando #a órmu#a en cuestión a)#icada a todos #os )untos  de un dominio dado )uede de!nirse #a unción error de truncamiento de #a órmu#a derivación numérica )ara #a unción  considerada como #a unción: R : I 7 R  7 R89 En e# an*#isis de# error de truncamiento de #as órmu#as de derivación numérica se )erse'uir* encontrar cotas de# va#or de esta unción de error R89 en e# interva#o I so,re e# ue se tra,a(e. E*e+%o. Siendo {x0 , x1 , x= } un soporte forado por tres puntos tales que x0 % x1 E h - x= % x1 + h, considerando que x$ % x1, la sustitución de la expresión de fK(x1) por"

GHJ 216 116122  8 9  2Z    8 9 2Z8 9 8 9 $ conduce a una fórula en la que sus coecientes son c0 % (1

/*

c= % (1x0, x1?) consiste en considerar los desarrollos en serie de 7a-lor siuientes" erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

&9 f(x0) % f(x$;h) % f(x$) ; h.f#(x$) + + =H ( iv 0 h.f A( x$) h.f A@( x$) h .f ( x $ .h) = HW  W

J  W 6 W X8J169 f(x=) % f(x$+h) % f(x$) + h.f# x$) + + =H ( iv 1 h.f A(x$) h.f @@@( x$) h .f ( x $ .h) = HW W

  W 1 W X8619 de donde"  = (iv ( iv =001 f ( x ) f ( x ) =Qf ( x$) h Qf A( x$) h Q(f ( x $ Qh) f ( x$ Qh)) =

    W  W q 89= ( iv ( iv $=01 f A f ( x$ h) =Qf ( x$) f ( x $ h) f A( x$) h Q f ( x $ Qh) f (x$ Qh) h =

WW JJ q *or tanto" 89= ( iv ( iv f00001 : (x ) f A( x ) f A h Q f (x$ Qh) f ( x $ Qh) =

 J J W  W expresión que puede acotarse por"


/+

P 01 = ( iv f000 x (x ,x ) : ( x ) f A( x ) f A h . Sup f ( x ) 1= X

JY *ara el caso particular de la función f(x) % x en que fK(x$) % 1=Q(x$)= se tiene que"

J  +++ 2   8  $9 2Z89 8  $9 $ 1=Q(x$)=+ =Qh= por lo que el error de truncatura coetido es en este caso :f(x0) % ;=Qh=. B!srvese que la acotación antes reali5ada conducira (para esta función x) a la acotación C:f(x0)C Y =Qh= coincidente con el valor a!soluto del error de truncatura realente coetido10. 10 o siepre las acotaciones del error de truncatura que se o!tendrn sern tan JnasK coo la que se aca!a de descri!ir. *roraación - 8todos uricos erivación urica

5! De&nici 8,1, Se dice que la fórula de derivación nurica"

  Tn 8] 8] ii i6  89  c.89 es exacta de orden m para la familia de funciones de clase 2L(>x0 , xn?)" ^ ^ ^ P 6 1 m 89 89... 89.... cuando es nulo el error de truncatura coetido al aplicar la fórula para la estiación de la L;sia derivada de cualquiera de las (+1) prieras funciones de la failia en cualquier punto x$ perteneciente al intervalo >x0 , xn?" F 0 n : ( x ) 0 x > x ,x ?, ( F 0,...,) ^  _ X 

Pro+iedad 8,-, Si la fórula de derivación nurica

  Tn


/

8] 8] ii i6  89  c.89 es exacta de orden  para la failia de funciones ^ ^ ^ P 6 1 m 89 89... 89.... entonces es exacta para cualquier co!inación lineal de las (+1) prieras funciones de la failia

Deo#traci.

&i #a órmu#a es eacta de orden m )ara #a ami#ia de unciones consideradas se )odr* escri,ir ue: GH  ^  ^ _ X Tn 8] ( i ( i 6 n i6 89 c . 8 9    8(  6 ... m9 %or otra )arte una unción cua#uiera ue sea com,inación #inea# de #as 8m19 )rimeras unciones de #a ami#ia ser* de #a orma:   `  ^  `  ^   `  ^  `  ^ Tm 6611mm(( ( 6 89 89 89 ..... 89 89 )or #o ue su ]ésima derivada en cua#uier )unto  de# interva#o G6 nHse )uede e)resar como:  bb  ` ^  `  ^   ` ^   fgfg TTTTTTmmnnmn 8] 8] ( ( ( i ( i i ( ( i i i ( 6 ( 6 i 6 i 6 ( 6 i 6  89 89 c 8 9 c 8 9 c 8 9 erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

5

/ )uesto ue #a a)#icación de #a órmu#a de derivación numérica a #a unción 89 en cua#uier )unto  conduce a ue:  Tn


/-

8] ii i6  c.89 )uede conc#uirse ue: R896 _XG6n H Esto demuestra ue #a órmu#a es eacta )ara cua#uier unción 89 ue sea com,inación #inea# de #as 8m19 )rimeras unciones de #a ami#ia de unciones considerada. c..d. -as órmu#as de derivación numérica m*s uti#i4adas en #a )r*ctica son eactas de a#'n orden m )ara #a ami#ia de unciones ormada )or #os monomios es decir: 1  2 ...m ....P. En este tema nos reeriremos en ec#usiva a esta ami#ia de unciones / )or e##o cuando di'amos ue una órmu#a es de orden de eactitud m se so,reentender* ue hes de orden de eactitud m )ara #a ami#ia de #os monomios es decir ue )ermite estimar sin error a#'uno #a ]ésima derivada de cua#uier unción )o#inómica de 'rado menor o i'ua# ue m. E*e+%o. 'a fórula que se ha utili5ado en el eFeplo anterior A $= f A(x$) f f ( x$ h) =Qf ( x$) f ( x$ h) h

JJ  es una fórula exacta de orden H. 6n efecto, para la función p(x) % 1 se verica que" $= p A 1 =Q1 1 0 pA( x$) x $ h

J _ 3siiso para la función p(x) % x se tiene que" $= p A ( x $ h) =Q(x$) (x$ h) 0 pA( x$) x $ h

JJ _ 7a!in para la la función p(x) % x= se tiene que" ===


/

$= p A ( x $ h) =Q(x$) (x$ h) = pA( x$) x $ h

JJ _ *roraación - 8todos uricos erivación urica

5$ ] para la función p(x) % xH se verica que" HHH x = p A ( x $ h) =Q(x$) (x$ h) UQx$ pA( x ) x$ h

JJ _ *ero para la función q(x) % x se tiene que"  === x = q A ( x $ h) =Q(x$) (x$ h) 1=Q( x$) =Qh qA( x$) =Qh x$ h

JJ _ por lo que sólo se puede arar que el error de la fórula es nulo para los onoios {1, x, x=, xH}. 6n consecuencia, coo se seMaló anteriorente, la fórula es de orden de exactitud H.

j Entre #as órmu#as de derivación numérica )ara a)roimar #as derivadas de orden ] de una unción 89 #as m*s recuentemente uti#i4adas son aue##as ue se )ueden o,tener derivando ] veces e# )o#inomio inter)o#ador de #a unción 89. A ta#es órmu#as se #as denomina órmu#as de ti)o inter)o#atorio. De&nici 8,4, Se denoina fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio (de "a#ran#e) para aproximar derivadas de orden k a cualquier fórula o!tenida derivando una ve5 la expresión del polinoio interpolador de 'arane construido so!re un soporte de (n+1) puntos distintos.

NOTA(. 1V) B!srvese que en la denición anterior se ha escrito entre parntesis Jde 'araneK. 6n efecto podra pensarse en derivar ta!in la expresión del polinoio interpolador de 4erite o!tenindose otros tipos de fórulas de derivación de tipo interpolatorio. *uesto que nosotros sólo nos vaos a referir a las fórulas que se o!tienen al derivar la expresión del polinoio interpolador


//

de 'arane oitireos en lo sucesivo la coletilla Jde 'araneK sipleente direos fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio. =V) Si el orden de derivación L fuese superior o iual al n/ero de puntos (n+1) las fórulas de tipo interpolatorio correspondientes se reduciran a f(L(x$) % 0, pues la derivada de orden L de un polinoio de rado enor o iual que n, si n es inferior a L, es nula. *or dicho otivo, en todo cuanto si#ue= se

supondr> ue n ? k j erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

5%

Una órmu#a de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio )uede o,tenerse a )artir de cua#uiera de #as e)resiones de# )o#inomio inter)o#ador. Recordando #a e)resión de# )o#inomio inter)o#ador en unción de #os )o#inomios de ,ase de -a'ran'e )uede deducirse #a e)resión de #os )esos ue intervienen en dic$a órmu#a. En eecto: Teorea 8,-, 9na condición necesaria - suciente para que la fórula de derivación nurica

 Tn 8]  i i i6  c.89 sea de tipo interpolatorio es que sus coecientes satisfaan las iualdades" ( L ci'i (x$) (i % 0, 1, ..., n) donde se ha denotado por 'i(x) a los (n+1) polinoios de !ase de 'arane11 so!re el soporte {x0, x1, ..., xn}.

Deo#traci.

a9 Demostremos ue en toda órmu#a de ti)o inter)o#atorio sus coe!cientes satisacen #as i'ua#dades reco'iodas en e# enunciado. En eecto #a e)resión deta##ada de# )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e )n89 de una unción 89 so,re e# so)orte de 8n19 )untos 6 1 ... nP en unción de #os 8n19 )o#inomios de


100

,ase de -a'ran'e  Pn i i 6 - 89  es: n nii i6 89 ) 89 8 9 - 89   T  de donde en cua#uier )unto  se )uede considerar #a a)roimación:     Tn 8] 8] 8] nii i6  89 ) 89 - 89 8 9 Esta órmu#a es una órmu#a de derivación numérica en #a ue sus coe!cientes est*n dados )or #a e)resión:  8] i i c - 89 11 :ecurdese que"

nn i(i( ( 6 ( 6 ( i ( i - 89 8  9 8  9  [[ bb  J   J  fgfg k k (i % 0, 1, ..., n) *roraación - 8todos uricos erivación urica

5&

,9 Demostremos ue si #a órmu#a de derivación numérica satisace  8] i i c - 89 8i  6 ... n9 entonces es de ti)o inter)o#atorio. En eecto considerando ue e# )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e de 89 so,re e# so)orte 6 ... nP se )uede e)resar como: )n89   Tn ii i6 8 9Z- 89 se tiene ue si se veri!can #as i'ua#dades consideradas )ara #os coe!cientes: 89 8 9 8 9


101

 b       fg TTTT n n n n 8] 8] 8] 8] iiiiiiiin i6i6i6i6 c 8 9 - 898 9 - 898 9 - 898 9 ) 89 #o ue demuestra ue e# va#or de #a ]ésima derivada en  se a)roima con e# va#or de #a ]ésima derivada de# )o#inomio inter)o#ador en . c..d. De #a )ro)iedad anterior se deduce *ci#mente #a si'uiente: Pro+iedad 8,/, 6n toda fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio

 Tn 8]  i i i6  c.89 se verica que" n i i1 c6  T Deo#traci. %uesto ue se'n #as )ro)iedades de #os )o#inomios de ,ase de -a'ran'e se veri!ca ue: n i i6 - 89 1  T  _  es o,vio ue:  b  fg TT n 8] n 8] ii i6i6


102

- 89 - 89 6 _ En )articu#ar )ara e# )unto  se tendr* ue:  T T  n n 8] ii i6i6 - 89 c 6 c..d. Denotando )or l89 a #a unción error de inter)o#ación cometido a# a)roimar una unción 89 )or su )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e )n89 so,re e# so)orte de 8n19 )untos considerado se veri!ca ue: erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

55

89  )n89  l89 6 n _X8  9 )or #o ue: 8]  8] l8] n  89 ) 89 89 #o ue nos conduce a )oder e)resar e# error en e# )unto  de #a órmu#a de derivación numérica mediante:  l8]  R 89 89 En e# caso )articu#ar en ue 89 sea un )o#inomio de 'rado menor o i'ua# ue n se veriicar* ue 89  )n89 / )or tanto l89  6 _  de donde resu#ta ue #a órmu#a de derivación numérica de ti)o inter)o#atorio construida so,re un so)orte de 8n19 )untos es eacta )ara cua#uier )o#inomio de 'rado menor o i'ua# ue n. En resumen es eacta a# menos de orden n. Este $ec$o nos )ermite inc#uir a #as órmu#as de derivación numéricas de ti)o inter)o#atorio en e# con(unto de órmu#as de derivación eactas de orden n. %ero an )uede )recisarse m*s )uesto ue adem*s toda órmu#a eacta de orden n construida so,re un so)orte de 8n19 )untos de,e ser necesariamente de ti)o inter)o#atorio. Este $ec$o se demuestra en e# si'uiente teorema. Teorea 8,/, 'a condición necesaria - suciente para que una fórula de derivación nurica construida so!re un soporte de (n+1) puntos,

 Tn 8]  i i


10$

i6  c.89, sea exacta de orden n es que sea de tipo interpolatorio.

Deo#traci:

a9 Demostremos en )rimer #u'ar ue #a condición reco'ida en e# enunciado de# teorema es su!ciente es decir ue si #a órmu#a construida so,re e# so)orte de 8n19 )untos es de ti)o inter)o#atorio entonces es eacta de orden n. %ara e##o ,asta con reca)itu#ar #os ra4onamientos anteriormente rea#i4ados. En eecto si 89 es una unción )o#inómica de 'rado menor o i'ua# ue n su )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e so,re e# so)orte de 8n19 )untos coincide con #a unción / )or tanto: 89  )n89  _ *roraación - 8todos uricos erivación urica

56

)or #o ue 8]89  8] )n 89 _. En )articu#ar a# ser #a órmu#a de derivación de ti)o inter)o#atorio )ara cua#uier )unto  se tendr* ue: 8]  8]  8] n   89 ) 89  E##o demuestra ue #a órmu#a es eacta sea cua# sea e# )o#inomio 89 de 'rado menor o i'ua# ue n a# ue se a)#iue. En )articu#ar #o ser* cuando se a)#iue #os 8n19 )rimeros monomios 1  ... nP / )or e##o es eacta de 'rado n. ,9 Demostremos a$ora ue #a condición anterior tam,ién es necesaria es decir ue si #a órmu#a construida so,re e# so)orte de 8n19 )untos es eacta de orden n entonces tiene ue ser de ti)o inter)o#atorio. %ara e##o )artimos de# $ec$o de ue a# ser #a órmu#a eacta de orden n )ara cua#uier unción )o#inómica de 'rado menor o i'ua# ue n )89 se de,e veri!car ue:  Tn 8] ii i6 ) 89 c.)89 %or otra )arte )uesto ue $emos considerado ue )89 es un )o#inomio de 'rado menor o i'ua# ue n se veri!car* ue e# )o#inomio inter)o#ador de )89 en e# so)orte de 8n19 )untos coincidir* con )89 / )or tanto )89 se )uede e)resar como: n ii i6 )89 )8 9.- 89  T de donde su ]ésima derivada en e# )unto  estar* dada )or: 

Derivación Numérica Tn 8] 8] ii i6 ) 89 - 89.)8 9 Identi!cando #as dos e)resiones de #a )rimera derivada de )89 en  se tiene ue:  T T n n 8] iiii i6i6 c .)8 9 - 89.)8 9 Esta i'ua#dad de,e ser satisec$a )ara cua#uier )o#inomio )89 ue sea de 'rado menor o i'ua# ue n. %or tanto de,er* veri!carse tam,ién en e# caso de ue consideremos como )89 cua#uiera de #os 8n19 )o#inomios erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

57

de ,ase de -a'ran'e construidos so,re e# so)orte  Pn i i 6   . Recordemos adem*s ue #os )o#inomios de ,ase de -a'ran'e veri!can: i( 6 si i ( - 8 9 1 si i( [ p %or tanto )articu#ari4ando #a i'ua#dad antes o,tenida )ara -689 se tiene ue:  T T q  n n 8] 8] i6ii6i66 i6i6 c.- 8 9 - 89.- 8 9 c - 89 A# $acer#o )ara e# )o#inomio -189 resu#tar* ue:  T T q  n n 8] 8] i1ii1i11 i6i6 c .- 8 9 - 89.- 8 9 c - 89  en 'enera# a# )articu#ari4ar )ara cua#uier )o#inomio de ,ase -(89 o,tendremos ue: 

10*


10+

T T q  n n 8] 8] i(ii(i(( i6i6 c .- 8 9 - 89.- 8 9 c - 89 c..d. E*e+%o#. 1O. So!re un soporte de tres puntos {x0, x1, x=} el polinoio interpolador de 'arane de una función f(x) puede expresarse coo"

  G H J  G H J J 2 6 6 1 6 6 1 2 6 1 ) 89 8 9    Z8  9     Z8  9Z8 9 por lo que la fórula de derivación nurica que aproxia derivadas seundas so!re este soporte es"

   G H  2 6 1 2  89   ) 89 2Z    =O. So!re un soporte de cuatro puntos {x0, x1, x=, xH} el polinoio interpolador de 'arane de una función f(x) puede expresarse coo" p x f x f G x x H x J x f G x x x H x J x x J x  3 6 6 1 6 6 1 2 6 1 8 9 8 9  Z8 9  

Z8 9Z8 9 f G x x x x H x J x x J x x J x 6 1 2 3 6 1 2    Z8 9Z8 9Z8 9 *roraación - 8todos uricos erivación urica

58 por lo que la fórula que aproxia fK(x) es" @@ G H x$ H 0 1 = f A(x$)f  pA (x$)=Qf x ,x ,x  f G x x x x H x J x J x J x 6 1 2 3 6 1

2 2Z    Z83Z  9 - para la aproxiación de la tercera derivada" @@@ G H x$ H 0 1 = H f @@@(x$)f  p@@@ (x$)UQf x ,x ,x ,x

j Pro+iedad 8,1 6n toda fórula de derivación nurica de tipo interpolatorio

 Tn 8]  i i i6  c.89, construida so!re un soporte de (n+1) puntos con n T L, se verica que" n F ii(FL) i1 0 si F L c x F W ( x$) si L F n


10

( F L)W

J  Q   p J Y Y T (F % 1, ...n) Demostración: -a demostración de esta )ro)iedad se de(a como e(ercicio )ro)uesto a# #ector / consiste sim)#emente en com)arar e# va#or 8eacto9 )ro)orcionado )or #a órmu#a de derivación a# ser a)#icada a #a unción 89  ( 8(  6 ... n9 con e# va#or de 8]89 . c..d. En cuanto a# error de #as órmu#as de derivación ue )ermiten a)roimar derivadas de orden ma/or ue 1 )uede rea#i4arse un an*#isis simi#ar a# descrito anteriormente )ara #as órmu#as ue a)roima,an a)roima,an #a )rimera derivada. De(amos a# #ector interesado #a tarea de ada)tar #as )ro)iedades / teoremas desarro##ados en e# a)artado +K a este ti)o de órmu#as. Nosotros nos centraremos en #a descri)ción de# )roceso ue )ermite o,tener órmu#as de derivación de ti)o inter)o#atorio (unto a #a e)resión de su error com,inando desarro##os en serie de ;a/#or ;a/#or )ara unciones  unciones ue ten'an #a su!ciente re'u#aridad. %ara e##o siendo n x ] consideremos e# so)orte de 8n19 )untos 6 Q 1 Q... Q nP / siendo  e# )unto en e# ue se desea a)roimar 8]89 denotemos )or $i a# erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

59

va#or: $i  $i  i „  8i  6 .. n9. &u)oniendo ue 89 es su!ecientemente re'u#ar )ueden considerarse #os desarro##os en serie de ;a/#or: 8i9  8$i9  89  $iZ89      23] i i i 8] $Z 89 $Z SSS89 .... $ Z 89 .... 2 3 ] %or #o ue:  bbb `  `  `    `   fgfgfg TTTTnnnn 2 iiiiiii


10-

i6i6i6i6 Z8 9 Z89 Z$ Z S89 1 Z$ Z 89 2  bb `` fgfg TTnn 3 ]8] iiii i6i6 1 Z$ Z SSS89 ....1 Z$ Z 89 ... 3 ] 819 &i se desea ue #a órmu#a de derivación sea de# ma/or orden )osi,#e de,e ,uscarse ue sa#vo e# coe!ciente de 8]89 se anu#en e# ma/or nmero de #os )rimeros sumandos de# desarro##o anterior. Esto es ue:  `  Tn ( ii i6 Z$ 6 8(  6 1...8]19 8]19 ...n9 En 'enera# e# nmero de ecuaciones ue as0 se )ueden ormar es de n ecuaciones o,teniéndose un sistema con 8n19 incó'nitas 8`6 ... `n9 / tan só#o n ecuaciones. E##o es de,ido a ue con e# coe!ciente de 8]89 se de,e a5adir #a inecuación  ` [ Tn ] ii i6 Z$ 6 . %or e##o #os coeicientes 8`6 ... `n9 ue se determinen mediante #a reso#ución de# sistema:  `  Tn i i6 6  `  Tn ii i6 Z$ 6


10

........ J  `  Tn 8] 19 ii i6 Z$ 6   `  Tn 8] 19 ii i6 Z$ 6 ........  `  Tn n ii i6 Z$ 6 uedar*n e)resados en unción de# va#or ue #i,remente se #e asi'ne a uno de e##os. *roraación - 8todos uricos erivación urica

6!

En todo caso una ve4 ca#cu#ados estos coe!cientes denotando )or  `  ` Tn ii i6 Z$ se tendr* ue #os coe!cientes de #a órmu#a de derivación se o,tienen mediante: ci  ì … ` 8i  6 ... n9 / ue de# )rimer término ue no se $a/a )odido anu#ar en #a e)resión 819 se )odr* inerir *ci#mente #a e)resión de# error de derivación. I#ustremos estos etremos con un e(em)#o. ':emplo1 eterineos la fórula de derivación nurica del a-or orden de exactitud posi!le que perite calcular el valor aproxiado de f###(x$) usando un soporte de la fora" {x0 % x$ ; =Qh, x1 % x$ ; Qh, x= % x$, xH % x$ +h, x % x$ + =Qh} donde h es un valor real r eal estrictaente positivo.

%ara e##o si su)onemos ue 89  89 es su!cientemente re'u#ar en 82Z$ 2Z$9

Derivación Numérica )odemos considerar #os desarro##os en serie de ;a/#or: f(x$; =Qh) %f(x$) E=QhQf#(x$) + J  +Z$2Z 89 =Z$3Z SSS89 2@ J + 1@Z$ Z8iv 89 2+ JJ ?@< 32Z$ Z8v 89 @+Z$ Z8vi89 12=Z$ Z8vii89... 126 <26 ?6+6 f(x$;Qh) %f(x$) ; hQf#(x$) + J  $2Z 89 $3Z SSS89 2@ J + $ Z8iv 89 2+ JJ ?@< $ Z8v 89 $ Z8vi89 $ Z8vii89... 126 <26 ?6+6 f(x$) % f(x$) f(x$+ h) %f(x$) + hQf#(x$) +  

$2Z 89 $3Z SSS89 2@  + $ Z8iv 89 2+  ?@< $ Z8v 89 $ Z8vi89 $ Z8vii89 ... 126 <26 ?6+6 f(x$+=Qh) %f(x$) +=QhQf#(x$) +   +Z$2Z 89 =Z$3Z SSS89 2@  + 1@Z$ Z8iv 89 2+  ?@< 32Z$ Z8v 89 @+Z$ Z8vi89 12=Z$ Z8vii89... 126 <26 ?6+6 erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5

10/


110

67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

6 de donde"

` J ` J ` `  `   6 1 2 3 + Z8  2Z$9 Z8  $9 Z89 Z8  $9 Z8  2Z$9 8`  `  `  `  `9  6 1 2 3 +Z89 8J ` J `  `  `9  6 1 3 + 2Z 2Z Z$Z S89 8 `  `  `  `9  2 613+ $ +Z +Z Z Z 89 2 8J ` J `  `  `9  3 613+ $ =. =Z Z Z SSS89 @ 8 `  `  `  `9  + 8iv 613+ $ 1@. 1@Z Z Z 89 2+ 8J ` J `  `  `9  ? 8v 613+ $ 32. 32Z Z Z 89 .... 126 Si se desea construir una fórula que con el soporte anterior aproxie el valor de f###(x$) - que tena el a-or orden de exactitud posi!le se o!liar a que" `  `  `  `  `  6 1 2 3 + 6 (2oeciente en h0 - f(x$)) J ` J `  `  `  6 1 3 + 2Z 2Z 6 (2oeciente en h - f#(x$)) `  `  `  `  6 1 3 + +. +Z 6 (2oeciente en h= - fK(x$)) `  `  `  `  6 1 3 + 1@. 1@Z 6 (2oeciente en h - f(iv (x$)) de donde1=, deFando coo incónita li!re `H, se tiene"

`6 J`+ `1  `+ `2  `3  J `+ `+ X R  2Z  6  2Z  2ualquier elección no nula de ` nos conducir a la fórula !uscada. B!srvese que se descarta la opción ` % 0 -a que ello anulara el coeciente de f###(x) con lo que no lo podraos despeFar del desarrollo resultante. Si se asina a ` el valor ` % 1 se tiene que" 1= B!srvese que si al sistea anterior se le aMadiese la ecuación procedente de o!liar a que


111

se anulase el coeciente de f #(v(x$) se tendra un sistea que sólo adite la solución trivial `0 % % `1 % `= % `H % ` % 0. *roraación - 8todos uricos erivación urica

6$

`6J `1 `2 `3J `+ 1 2  6  2  1 *ara estos valores de los coecientes ` i, se tiene entonces que la co!inación de desarrollo en serie de 7a-lor antes o!tenida se convierte en"

J8 J2Z$92Z8 J$9J8 $92Z8 2Z$9  3? 12Z$Z SSS89 @6Z$Z8v 89 .... @ 126 de donde" f###(x$) % J 8 J 9 8 J 9J 8  9 8  9 3 3 3 3

1Z   2Z$ 1Z   $ 1 Z   $ 1 Z   2Z$ 2Z$ $ $ 2Z$ ;

J1Z$2Z8v89..... + e esta iualdad se inere que la fórula !uscada es"

 J 8 J 9 8 J 9J 8  9 8  9  3 3 3 3  SSS89  SSS 1Z   2Z$ 1Z   $ 1 Z   $ 1 Z   2Z$ 2Z$ $ $ 2Z$ - que con ella, si f X2G((x$;=Qh, x$+=Qh)), se coete un error dado por" J 2 8v  R 89 1Z$ Z 8 9 + para al/n valor X(x$;=Qh, x$+=Qh). 6s decir un error de orden 0(h=).1H 1H o de!e confundirse el orden de exactitud de una fórula de derivación nurica con el orden del error de dicha fórula. 8ientras que el priero seMala el xio rado de los polinoios que pueden derivarse sin error con dicha fórula, el seundo seMala la potencia enor a la que aparece elevado el paretro JhK en la expresión del error. erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

6% 8,-, O7tenci de "u%a# de derivaci de ti+o inter+o%atorio ediante e%  odo de %o# coe&ciente# indeterinado#, 9n todo alternativo para la deterinación de fórulas de derivación de tipo


112

interpolatorio soportadas en (n+1) puntos se !asa en que, se/n el teorea N.=. toda fórula de tal tipo de!e ser exacta para los onoios {1, x, ..., xn}. *or tanto, si se !usca una fórula cu-a expresión sea"

  Tn 8] 8] ii i6  89  c89 , su aplicación a los !inoios (x;x$)F (0 D F D n) nos conduce a un sistea de ecuaciones cu-a solución nos proporciona los pesos de la fórula. e fora s concreta, siendo JhK un valor estrictaente positivo en función del cual se puedan escri!ir, para valores convenientes de } i (i % 0, ...,n), los puntos del soporte en la fora xi % x$ + }i$, la aplicación de la fórula a los !inoios f(x) % (x;x$)F (F % 0, ..., n) conduce a que, si L D n"

 [ }  p  Tn ( ii( i6 6 si( ] c (…$ si ( ] 6n resuen, los coecientes de la fórula de tipo interpolatorio se o!tienen resolviendo el sistea"

JJJJ  †y ‡‡} } } } zz ‡} } } } z ‡ z ‡ z ‡‡} } } } zz ‡} } } } z ‡} } } } z ‡z ‡z ‡‡ˆ} } } } zz{ 612n 2222 612n6 1


11$

8] 19 8] 19 8] 19 8] 19 612n2 ]]]] 612n 8] 19 8] 19 8] 19 8] 19 612nn nnnn 612n 1 1 1 ... 1 ... ... c ... ... ... ... ... c ... c ... ... ... c ... ... ... ... ... ...       ‚   ‚   p ƒ     p ƒ ] ] $ 6 6 6 ... 6 6 ... 6 Una ve4 determinada #a órmu#a su error )uede tam,ién ser ca#cu#ado si se ,usca en #a orma R89  ŽZ$8m]9Z8m89 a)#ic*ndo#o a# )rimer ,inomio 8 9m 8cu/a derivada mésima es m9 )ara e# ue #a órmu#a de(a de ser eacta 8$ec$o ue tendr* #u'ar )ara m x n9. *roraación - 8todos uricos erivación urica

6&

I#ustremos esta orma de )roceder o,teniendo nuevamente #a órmu#a de


11*

derivación numérica $a##ada en e# su,a)artado anterior mediante com,inaciones de desarro##os en serie de ;a/#or. ':emplo1 eterineos la fórula de derivación nurica del a-or orden de exactitud posi!le que perite calcular el valor aproxiado de f###(x$) usando un soporte de la fora" {x0 % x$ ; =Qh, x1 % x$ ; Qh, x= % x$, xH % x$ +h, x % x$ + =Qh} donde h es un valor real estrictaente positivo. Se/n se ha visto anteriorente, los coecientes de la fórula, soportada por  puntos, se pueden o!tener resolviendo el sistea o!tenido al aplicar la fórula a los cuatro !inoios {1, (x;x$), (x;x$)=, (x;x$)H} . 7al sistea es" c c c ch

† y    ‡‡‡‡ˆJJ JJ zzzz{p ƒ‚  p ƒ‚ 6 1 2 3 3 11116 21126 +11+6 = 1 1 = @… cu-a solución nos proporciona los valores" cccc hhhh

JJ 631323+3 1 1 1 1 2Z 2Z *ara deterinar el error de la fórula considerareos la función f(x) % (x; x$). 'a tercera derivada de dicha función en x$ es" f###(x$) % QHQ=.(x$;x$) % 0 siendo el valor aproxiado dado por la fórula" f h h 8h9 8 h9 h

 bJ J  J J   fg SSS + + + +


11+

3 1 18 2 9 8 9 12 6 22 lo que nos indica que la fórula es ta!in exacta para los polinoios de orden O. Increenteos una unidad el rado del !inoio - apliquosla a f(x) %(x E x$)G. 6l valor exacto de la tercera derivada de este !inoio es" f###(x$) % GQQH.(x$;x$) % 0 erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

65 siendo ahora el valor aproxiado" f h h 8h9 8 h9 h h

 bJ J  J J   fg SSS ? ? ? ? 2 3 1 18 2 9 8 9 12 36Z 22 por lo que el error de derivación est dado, para esta esta función por" x x : x h h J  J  J ?

22 8 9 8 9 6 36Z 36Z Si !uscaos la expresión enrica del error en la fora" v 9^ Zh2Zf 8 89 f :8 x x 9 es fcil vericar, aplicndolo a (x;x$)G, que" h ^h ^

JJ J36Z 2 Z 2Z?q  36 1 ? + por lo que en eneral" eneral" v f : x h f x

J 8 9 1 2 8 8 9 + 6n resuen la fórula !uscada es" f 8fx h f x h f 8 x x h9 f 8 x x h99 h

SSS J J  J J    3 182928922 2 J2h x 2hH9 est dado por" - el error de derivación derivación nurica, si f X2?8G x x J2 x 2 v


11

f:xhf

J 8 9 1 2 8 8 9 + es decir un error de orden =. *roraación - 8todos uricos erivación urica

66 E*ercicio +ro+ue#to.

d9 &iendo $ un )ar*metro estrictamente )ositivo determinar #a órmu#a de derivación numérica ue )ermite a)roimar e# va#or de 89 so,re e# so)orte: 6   $ 1   2    2$ / 3    8? 9 2 $. &u)oniendo ue 89 es su!cientemente re'u#ar en e# interva#o G6 3H determ0nese tam,ién #a e)resión de su error e ind0uese #a re'u#aridad ue se #e de,e ei'ir a 89 )ara ue dic$a e)resión sea v*#ida. O,tén'ase #a órmu#a )edida / su error: i9 Derivando e# corres)ondiente )o#inomio inter)o#ador de -a'ran'e ii9 Com,inando desarro##os en e n serie de ;a/#or ;a/#or / iii9 Mediante e# método de coe!cientes indeterminados. e9 A)#0uese #a órmu#a o,tenida en e# a)artado anterior a #a o,tención de un va#or a)roimado de #a se'unda derivada de #a unción 89  ecos89 con #os si'uientes va#ores de $: $6  6.1 $1  6.61 $2  6.661 $3  6.6661 / $+  6.66661. Rea#0cense #os c*#cu#os en coma otante usando mantisas con ? decima#es si'ni!cativos. 9 O,tén'ase una cota de# error de derivación numérica v*#ida en e# interva#o G6 2H )ara #a unción considerada conside rada en e# a)artado anterior. anterior. E# error rea#mente cometido es en todos #os casos inerior a #a cota $a##ada‘ &i no #o uese (usti0uese e# motivo. erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

67 , Me*o Me*ora ra de %a +rec +reci# i#ii de %a# %a# "u u%a %a# # de de deri deriva vac ci nu odo de e
ica, M

Como se )resentó en a)artados anteriores e# error de #as órmu#as de derivación numérica 8/a sea )ara a)roimar #a )rimera derivada o derivadas de orden su)erior9 res)onde a e)resiones en #as ue interviene $) donde ) es un nmero no ne'ativo / h$ es una lonitud caracterstica de# so)orte 8#a distancia entre )untos consecutivos de# so)orte cuando este es euidistante #a distancia entre #os )untos etremos de# so)orte #a ma/or de #as distancias de# )unto 


11-

en e# ue se eva#a #a derivada a #os )untos de# so)orte ....9. %or e##o si se uiere me(orar #a )recisión de una órmu#a de derivación numérica #a )rimera idea ue sur'e intuitivamente es #a de reducir e# va#or de $ 8#o ue 'enera#mente se traduce en tomar )untos m*s )róimos entre s0 / m*s cercanos a# )unto 9. En este sentido #a orma $a,itua# de )roceder consiste en siendo  un va#or ta# ue 6 Q  Q 1 a)#icar #a órmu#a numérica )ara #os va#ores $6  $ $1  Z$ $2  Z$1  2Z$  .... $(  Z$(1  (Z$ .... .... &e o,tienen as0 dierentes va#ores V6 V1 .... V( .... ue a)roiman #a derivada en cuestión. Este )roceso se !na#i4a cuando •V( „ V(1• sea #o su!cientemente )eue5o 8menor ue un cierto l )redeinido de antemano9. ':emplo1 Si se utili5a la fórula"

  8  9J 8  9   S89  S 1Z   $ 1Z   $ 2Z$ 2Z$ para aproxiar el valor de la priera derivada de la función función f(x) % ex en el punto x$ % 0 ( cu-o valor valor exacto es f#(0) % 1) se o!tendrn los siuientes siuientes valores para el valor aproxiado de la derivada (calculados con el proraa 83*'6 N utili5ando =0 ditos), para diferentes valores de h" h0 % 0.G, _0 % 1.0=1\0U10\ZN.... C6rrorC%0.0=1\0U... h1 % 0.=G, _1 % 1.010\=UN=H=.... C6rrorC%0.010\=... h= % 0.1=G, _= % 1.00=U0U=01\=Z.... C6rrorC%0.00=U0U=... hH % 0.0U=G, _H % 1.000UG11UZZHG.... C6rrorC%0.000UG11... h % 0.0H1=G,_ % 1.0001U=NUZHU.... C6rrorC%0.0001U=N... C6rror C%0.0001U=N... pudiendo o!servarse coo coo el error se reduce reduce de una aproxiación a la siuiente al reducir el paso a la itad. ótese que el error se reduce aproxiadaente a la cuarta parte alreducir el paso a la itad al ser el orden del error de la fórula epleada B(h=).

j *roraación - 8todos uricos erivación urica

68

-a reducción de# h)aso $ uti#i4ado en una órmu#a  órmu#a ue )resente un error de orden ) )ro)orciona una sucesión de va#ores a)roimados  P’ (6 V ue si se admite ue 89 es su!cientemente s u!cientemente re'u#ar conver'e $acia e# va#or eacto con una ve#ocidad de conver'encia de orden ) es e s decir ue e# error o,tenido con un )aso 8($9 es a)roimadamente ) veces menor ue e# ue se )roduce con


11

)aso 8(1$9. En este sentido cuanto ma/or sea e# orden de# error de# método m*s r*)ida ser* #a conver'encia $acia e# va#or eacto. %or e##o esta reducción de# )aso se sue#e com,inar con #a denominada t nica de e

11/

11 1 6n honor al atetico inls 'eXis Pr- :ichardson (1ZZ1 E 1\GH) que fue uno de los pioneros del clculo cientco (- en concreto el priero en aplicar todos de diferencias nitas a la predicción del tiepo). erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

69

#o ue nos indica ue e# va#or: JJ  JJ ) 1616 11 6 ) ) V V V V V ZV 11 a)roima a# va#or eacto Ve con un error de orden 8)19. An*#o'amente si se considera e# va#or V1 o,tenido con )aso 8Z$9 / e# va#or V2 o,tenido con )aso 82$9 se tiene ue: Ve  V1  `Z8m89Z)Z$)€Z8m189Z)1Z$)1  ... Ve  V2  `Z8m89Z2)Z$)€Z8m189Z2)2Z$)1  ... de donde un )roceso an*#o'o a# ue se aca,a de descri,ir nos conduce a ue: 89  JbJ   J € f J J g  )1 2 1 8m 1 8) 19 e1)) V V V V Z 89Z1 1  Z$ ... 11 #o ue nos indica ue JJ  JJ ) 2121 12 1 ) ) V V V V V ZV 11 a)roima e# va#or eacto con un error de orden 8)19. De manera m*s 'enera# si dado un va#or de# )ar*metro $ se consideran #as


120

a)roimaciones V6( 8 (  6 1 ...9 o,tenidas con un )aso 8(Z$9 usando una órmu#a de derivación numérica ue )resente un error de orden ) )ueden construirse #os va#ores: JJ  J ) 6( 6( 1 1( ) V ZV V 1 8(  1 2 ...9 veri!c*ndose si 89 es su!cientemente re'u#ar ue: 89JbJ  € f J J g  8m 1 ) 1 8 ( 19 ) 1 e 1( ) V V Z 89Z 1 1  Z  $ ... 1 Denotando )or , a# va#or Q111 1

bJ  €f J J g ) ) ,  escri,iremos #a e)resión anterior en #a orma: 8 9    J   8m 1 8 ( 19 ) 1 e 1( V V ,Z 89Z $ ... *roraación - 8todos uricos erivación urica

7!

&e'n #o anterior #a sucesión de va#ores  P 1, 1 ’ ( ( V conver'e cuando $a tiende $acia 6 $acia e# va#or eacto con un orden de conver'encia 8)19 una unidad ma/or ue e# orden de conver'encia ue )resenta,a #a sucesión  P 0, 0 ’ ( ( V . &o,re #a )ro)ia sucesión  P 1, 1 ’ ( ( V )uede entonces vo#verse a actuar. En eecto como:


121

  8m1 )1 )2  e 11 V V ,Z 89Z$ O8$ 9 ... /: 8 9        8m 1 8) 19 ) 2 e 12 V V ,Z 89Z$ O8$ 9 ... se tiene ue: 6  V11 „ V12  ,Z8m189Z$)1Z81)19  O8$)29  .... q   J q J 8m 1 ) 1 12 11 ) 2 )1 VV ,Z 89Z$ O8$ 9 1 e introduciendo esta e)resión en #a )rimera de #as ue se $an uti#i4ado )ara o,tener#a resu#ta ue:    JJ  JJ )1 12 11 ) 2 12 11 ) 2 e 11 ) 1 ) 1 VVVV V V O8$ 9 ... O8$ 9 11 De manera m*s 'enera# un ra4onamiento como e# )recedente muestra ue si 89 es su!cientemente re'u#ar #a sucesión  P’ 2( (2 V o,tenida mediante:  J  J  J )1 1( 1( 1 2( ) 1 VV V


122

1 8(  2 3 ....9 conver'e $acia e# va#or eacto con un orden de conver'encia 8)29. Estos nuevos va#ores  P’ 2( (2 V )ueden ser me(orados constru/endo a )artir de e##os una sucesión  P’ 3( (3 V ue conver(a con orden 8)39 / as0 sucesivamente. En 'enera# si se )arte de un método ue conver'e con ve#ocidad de orden ) e# método de etra)o#ación de Ric$ardson consiste en: 1K9 &iendo 6 Q  Q 1 o,tener #as a)roimaciones V6( usando #a órmu#a con un )aso 8($9 8(  6 1 ...N9. 2K9 Me(orar #as a)roimaciones ca#cu#ando #os va#ores  P  N ]( ( ] V )ara ]  1 2 .... N mediante #a órmu#a de recurrencia: erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5 67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

7

J JJJ J J  J 8) ] 19 ] 1( ] 1( 1 ]( 8) ] 19 V  ZV V 1 Cuanto ma/ores sean #os va#ores de #os su,0ndices ] / ( m*s )recisas ser*n #as a)roimaciones o,tenidas. ':emplo1 Ilustreos el todo de extrapolación de :ichardson calculando el valor de la priera derivada de la función

b  f  g “ 2 1  89 e Zsen8 9 en el punto x$% 1 ediante la fórula"

J   S89  S 8  $9 89 $


12$

que presenta un error de orden 1 (es decir B(h)). *ara ello partireos inicialente del paso h % [ - posteriorente lo ireos reduciendo a la itad die5 veces. 2on ello se o!tienen los valores _0,F que uran en la seunda coluna de la ta!la siuiente, siendo _0,F el valor o!tenido para el paso hF %([)(F+1). 'as colunas HV, V - GV de la ta!la se corresponden con los valores _1,F , _=,F - _H,F respectivaente que proporciona la aplicación del todo de extrapolación de :ichardson. *ara poder apreciar eFor la evolución del error, en la ta!la siuiente se han recoido los valores de error coetido con cada una de las aproxiaciones de esta ta!la, es decir la diferencia entre valor exacto de f #(1) - el valor aproxiado que ura en cada la - coluna de la ta!la, siendo el valor exacto"

 “ “ J 1  S819 e 2Z Zcos8 9 ?.1<>@16@31=.... 'os clculos se han reali5ado con el proraa 83*'6 N utili5ando una precisión de =0 ditos (aunque en la ta!la se uestran redondeados a G deciales sinicativos). *roraación - 8todos uricos erivación urica

7$ 3proxiaciones

J J JJ JJJ JJJJ JJJJ JJJJ JJJ 8 ( 19 6( 1( 2( 3( ( 8$ 2 9 V V V V 6 +.>1>21 1 ?.@@+26 @.+6>1> 2 ?.??3=6 ?.++3+6 ?.121+= 3 ?.3>?>3 ?.23=6? ?.1@>@6 ?.1<@+= + ?.2>+?@ ?.1>326 ?.1<=2? ?.1<>+= ? ?.23=<2 ?.1=2== ?.1<>++ ?.1<>@6 @ ?.26>?< ?.1=6+1 ?.1< J JJJJ JJJJ JJJJ JJJJ >?> ?.1<>@1 < ?.1>+@> ?.1<>=1 ?.1<>@1 ?.1<>@1 = ?.1=<1< ?.1<>@@ ?.1<>@1 ?.1<>@1 > ?.1=3+6 ?.1<>@2 ?.1<>@1 ?.1<>@1


12*

16 ?.1=1?1 ?.1<>@1 ?.1<>@1 ?.1<>@1 6rror de las aproxiaciones

JJJJJ J J JJ JJ J 8 ( 19 6( 1( 2( 3( ( 8$ 2 9  S819 V  S819 V  S819 V  S819 V 6 6.2@6+6+ 1 6.+=+?=< 1.22>?= 2 6.3<+1>1 6.2@3<>+ 6.6?=133? 3 6.21@31< 6.6?=+++ 6.61666@3 6.663131 + 6.11+>?+ 6.613?>6 6.6613@13 6.66612@ ? 6.6?>16>> 6.6632@@ 6.66 J J J J JJ J JJ JJ JJ JJ J @ < = 16 = 11 61>?+> 6.666=66 6.6666222 2.2>2Z16 < 6.61?6<@+ 6.6661>= 6.666662= 1.@21Z16 = 6.66 6.6666663 >.?62Z16 > 6.663<=?3 6.666663 ?.+?=Z16J> J3.?2>Z16J12 -a ta,#a de errores muestra cómo estos se reducen a a)roimadamente #a mitad 881…2919 a# )asar de un va#or a# si'uiente en #a )rimera co#umna #a cuarta )arte 881…2929 a# )asar de un va#or a# si'uiente en #a se'unda co#umna #a octava )arte 881…2939 a# )asar de un va#or a# si'uiente en #a tercera co#umna / #a decimoseta )arte 881…29+9 a# )asar de un va#or a# si'uiente en #a cuarta co#umna. Este $ec$o )uede verse m*s c#aramente en #a !'ura si'uiente en #a erivación urica 2arlos 2onde, 3rturo 4idalo, 3lfredo 'ópe5


12+

67SI 8inas de la 9niversidad *olitcnica de 8adrid .

7%

ue se re)resenta #a evo#ución de# #o'aritmo decima# de# va#or a,so#uto de# error rente a# #o'aritmo decima# de# tama5o de )aso )ara #as cuatro sucesiones de va#ores reco'idos en #a ta,#a anterior. %uede com)ro,arse en #a 'r*!ca como #as )endientes 8indicativas de# orden de conver'encia9 de #as curvas de error son m*s )ronunciadas cuanto m*s se itera en #a a)#icación de# método de etra)o#ación de Ric$ardson. #o'168$9 #o'168•819V](•9 _alores proporcionados por la fórula _alores correidos aplicando el todo de :ichardson una ve5 _alores correidos aplicando el todo de :ichardson dos veces _alores correidos aplicando el todo de :ichardson tres veces *roraación - 8todos uricos erivación urica

7& @+@"+,A2B2 /,@' '" 0'C2

G1H. URDEN R. -. / "AIRE& B. D. 81.>>=9. An i#i# nu ico. 8@” edición9. Ed. Internationa# ;$omson editores. G2H. ŽINCAID D. / C~ENE . 81.>>+9. An i#i# nu ico, La# ate ica# de% c cu%o cient ico. Ed. Addisones#e/ I,eroamericana. G3H. MIC~AVI-A ". / CONDE C. 81.>==9. M odo# de A+ro=69. Introduction to nuerica% ana%>#i# . Ed. &)rin'er Ver#a'. G?H. VIA–O B.M. / UR—UERA M. 826669 Leccione# de  odo# nu ico#? 1. Inter+o%aci . Ed. ;órcu#o edicionsFF @I@LIORA$ÍA UNIVER(IDAD POLITÉCNICA DE MADRID E(CUELA TÉCNICA (UPERIOR DE INENIERO( DE MINA( DEPARTAMENTO DE MATEMBTICA APLICADA  MÉTODO( IN$ORMBTICO(

DERIVACION-NUMÉRICAgrfhdjntrs

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